乘方科学计数法有理数的混合运算

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(晨鸟)初一数学暑假讲义第4讲.乘方、科学记数法与有理数混合运算.教师版

定义示例剖析概念：求n 个相同因数的积．．．．．．的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：na 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，na 表示有n 个a 连续相乘．53表示5个3相乘，即：33333，5(3)表示5个(3)相乘，即：(3)(3)(3)(3)(3)，53表示5个3相乘的相反数，即：(33333)537表示5个37相乘，即：3333377777，537表示5个3相乘再除以7，即：333337“奇负偶正．．．．”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重符号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数是奇数个还是偶数个．当有奇数个负号时，结果为负，有偶数个负号时，结果为正．⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，当有奇数个负因数时，结果为负，有偶数个负因数时，结果为正．⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数是奇数还是偶数．当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．例如：(3)3；(3)3例如：(3)(2)(6)36，而(3)(2)(6)36．例如：2(3)9，3(3)27特别地：当n 为奇数时，()nna a ；而当n 为偶数时，()nna a ．211311模块一有理数乘方4乘方、科学记数法与有理数的混合运算负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1．规定：任何不为0的数的0次幂都是“1”，即10aa．815注意：负数及分数的乘方，应把底数加上括号．【例1】把下列各式写成乘方运算的形式：⑴111111444444⑵1333335⑶222227⑷66666⑸()()()()n a ba b a b a b a b 个【解析】⑴614；⑵535；⑶527；⑷56；⑸na b【例2】计算下列各题：⑴43⑵43⑶332⑷332【解析】⑴ 81；⑵81；⑶278；⑷272【例3】⑴下列各数互为相反数的是（）A ．23与32B ．23与23C ．23与23D ．23与23⑵下列各式中，计算结果得0的是（）A ．2222B ．2222C ．221122D ．221122⑶计算2007200822所得结果为（）．A ．20072B ．20072C ．20072D ．2（北京四中期中）【解析】⑴C ⑵ C ⑶ A【例4】⑴如果a 为有理数，那么下列各式一定为正数的是（）A ．2008aB ．2008a C ．20081aD ．||a （三帆中学期中）⑵若23(2)xy，则xy（）能力提升夯实基础A ． 5B ． 1C ．5D ．1⑶若23(2)0mn，则2007()mn 的值等于．（北京四中期中）⑷若23110ab ，则100ab_______．（北大附中期中）⑸已知：a 、b 、c 是有理数，满足215(51)0a b c ，求127a b c值．【解析】⑴ C ⑵ A ⑶1⑷23⑸1【例5】①填空：12344950；123499100101；②计算：112341n n（北京四中期中）【解析】①25；51；②若n 为奇数，原式12n ；若n 为偶数，原式2n 【例6】下图中各数均为有理数，各行、各列以及两条对角线上三个数之和都相等，试计算33(3)(28)bcgb c d e f的值．gf e d c b a 32【解析】因为3bd g c d ，所以3b g c ，则30b c g ；又因为b ec d ，23ef ，所以283bcdef；所以原式33(3)27【例7】设234922221335579799S，248122235799T，则S T （）A ．49299B ．492199C ．492199D ．492199【解析】B ．2481111111(1)2()2()2()335579799S2474811111122223579799探索创新247481222213579799所以4849221219999S T【例8】三个互不相等的数，可以表示成1，a b ，a 的形式，也可以表示成0，b a，b 的形式，那么20122011ab【解析】由题意知，a 与a b 中必有一个等于0，b 与b a中必有一个等于1．但显然a 不为0，于是0a b，即a ，b 互为相反数，从而1b a，于是1b．这样就有1a ，所以201220122011201111112ab．【例9】⑴3221122|3|323（人大附中期中）⑵221313524042354÷（北京师范大学附属实验中学期中）⑶2221153222（北大附中期中）⑷232234233（北京四中期中）⑸22221158.53242【解析】⑴3；⑵1；⑶7；⑷49；⑸19【附加】计算：⑴23412111312342⑵410110742211⑶32315322154模块二有理数混合运算⑷23201120.2524113（十一学校期中）【解析】⑴76；⑵32；⑶ 85；⑷13定义示例剖析科学记数法：把一个大于10的数表示成10na 的形式（其中110a ≤，n 是正整数．．．．），此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210就是科学记数法表示数的形式．710200000 1.0210也是科学记数法表示数的形式．有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止所有数字．．．．都是这个数的有效数字．如：0.00027有两个有效数字：2，7；1.2027有5个有效数字：1，2，0，2，7．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要用科学记数法表示，实际就是小数点向左移动到1和8之间，移动了6位，故记为61.810．易错点：万410，亿810常考点及易错点：科学记数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别．【例10】⑴国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积是260000平方米，将260000用科学记数法表示应为（）A ．60.2610B ．42610C ．62.610D ．52.610（北京中考）⑵截止到2008年5月19日，已有21600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最，将21600用科学记数法表示应为（）A ．50.21610B ．321.610C ．32.1610D ．42.1610（北京中考）⑶改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元．将300670用科学记数法表示应为（）A ．60.3006710B ．53.006710C ．43.006710D ．430.06710（北京中考）【解析】⑴ D ；⑵ D ；⑶ B ．夯实基础模块三科学记数法·有效数字【例11】⑴已知：5c，25.6110d，5.610b，41.110a，31.210将a，b，c，d按从小到大顺序排列正确的是（）A．a b c d B．d b c aC．d c b a D．a c b d⑵下列说法正确的是（）A．近似数 3.00与近似数 3.0的精确度相同2.410与近似数240中都有三个有效数字B．近似数2C．近似数0.0147与近似数23.6中有效数字的个数相同D．69.593四舍五入精确到个位，所得近似数有一个有效数字【解析】⑴B；⑵ C能力提升【例12】⑴指出下列各近似值精确到哪一位：①56.3；② 5.630；③65.6310；④ 5.630万；⑤0.017；⑥3800⑵指出下列近似数有几个有效数字：①0.319；②0.0170；③0.25037；④ 4.46万；⑤85.2910；⑥38.7【解析】⑴①十分位；②千分位；③万位；④十位；⑤千分位；⑥个位．⑵①3；②3；③5；④3；⑤3；⑥3．【例13】用四舍五入法，按照括号内的要求求出下列各数的近似值：⑴0.02466（精确到千分位）；⑵42.67910（保留三个有效数字）；⑶1.967（精确到0.1）；⑷5247.9（保留两个有效数字）；⑸4.79651（精确到百分位）；⑹4.79651（精确到0.1）；⑺479651（保留四个有效数字）；⑻0.035741（保留三个有效数字）．【解析】由有效数字的定义可知，精确到哪一位就是四舍五入到那一位．⑴0.025；⑵42.6810；⑶2.0；⑷35.210⑸4.80；⑹4.8；⑺54.79710；⑻0.0357知识模块一有理数乘方课后演练【演练1】一根1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次以后剩下的绳子的长度为（）A．31m2B．51m2C．61m2D．121m2【解析】C【演练2】用“”、“”或“”填空：⑴42(2)_____(4)；⑵355_____(3)；⑶21____0m（m为有理数）；⑷45____a a（0a）；⑸2332；⑹3|3|23；⑺20.240.2；⑻212213．【解析】⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻【演练3】⑴一个数的偶数次幂和它的奇数次幂互为相反数，这个数是（）A．l B．1C．l或0 D．1或0（北京三帆期中）⑵在31，21，22，23这四个数中，最大的数与最小的数的和等于．⑶已知22a与|3|b互为相反数，则|2|a b的值是（）A．8B．8 C．8D．7【解析】⑴ D ⑵ 5 ⑶ B知识模块二有理数混合运算课后演练【演练4】⑴3331113323326实战演练⑵2129312323⑶42423237⑷211110.51233【解析】⑴11；⑵10；⑶5000；⑷32．知识模块三科学记数法·有效数字课后演练【演练5】⑴2009年10月5日，为期10天的第七届中国花卉博览会圆满闭幕．展会期间，花博会主展馆及室外展区、国际鲜花港与和谐广场三大功能展区组团游客数量达到180万人次．请你将180万人次用科学记数法表示为（）人次．A ．51.810B ．70.1810C ．61.810D ．51810（北京四中期中）⑵我国18岁以下的未成年人约有367000000人，此数据用科学记数法表示为_________．（北大附中期中）【解析】⑴ C ⑵83.6710【演练6】⑴国家财政收入达到11377亿元，用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为（）亿元．A ．41.110B ．51.110C ．311.410D ．11000（人大附中期中）⑵根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似数．① 1.4149≈（精确到百分位）；②3952≈（保留两位有效数字）．（北京师范大学附属实验中学期中）【解析】⑴A ⑵①1．41；②34.010。

有理数的混合运算及科学计数法

授课类型C有理数的混合运算C科学记数法T运用能力教学目标有理数的混合运算和科学记数法教学内容有理数的混合运算1．有理数的运算级别：级别名称运算顺序第一级运算加、减第二级运算乘、除第三级运算乘方（目前）2．有理数的运算顺序：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。

（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。

（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。

例题：例1：分析：这是有理数的加、减混合运算，若按括号顺序做加减，则通分非常麻烦。

应当把算式中的减法化成加法后，应用加法交换律重新结合，把分母为17的分数和分母为3、6的分数先分别相加，可简化计算。

例2：3 22143655314⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-÷-练一练（1）、（-0.75）+0.125+243+1873+⎪⎭⎫ ⎝⎛-816-⎪⎭⎫ ⎝⎛-7410（2）、3-+（-3.5）-⎪⎭⎫⎝⎛-21+()25.0--⎪⎭⎫ ⎝⎛-411. 正确运用运算律例3：计算21-49.5+10.2-2-3.5+19．解：原式=21+19+10.2-49.5-3.5-2=〔(21+19)+10.2〕+〔(-49.5-3.5)-2〕 =50.2-55=-4.8说明运用加法的交换律、结合律，把正数和负数分别结合在一起再相加，比较简便。

说明：正确应用乘法的分配律。

2. 把小数化成分数计算：（1）、（-1.4）×1111×⎪⎭⎫⎝⎛-321×（-5.5）×74（2）、16×（-72.8）×0×⎪⎭⎫ ⎝⎛-328（3）科学记数法（1）定义：一个大于10的数记成na 10⨯的形式。

其中n a ,101<≤是正整数。

像这样的记数法叫做科学记数法。

（2）10的指数n 确定方法：①等于原数的整数位数减1；②等于小数点向右移动的位数。

（3）一般的，10的n 次幂，在1的后面有n 的0。

有理数的运算规则

有理数的运算规则
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目录
有理数的加法运算有理数的乘法运算有理数的乘方运算
有理数的减法运算有理数的除法运算有理数的混合运算
01
有理数的加法运算
相同符号的有理数相加
定义：两个或多个具有相同符号的有理数相加，其结果仍保持相同的符号，并把绝
对值相加。
举例：如 2+3=5，7+(-5)=-12
04
有理数的除法运算
除法的基本性质
除数不能为0 除以一个数等于乘以它的倒数除法运算结果仍为有理数除法运算满足结合律和交换律
除法的运算规则
定义：除法是乘法的逆运算，即求一个数a除以另一个数b的商，等于求a乘以b的倒数。
符号：除法结果用分数表示，分子为被除数，分母为除数，符号为正号或负号。
运算性质：除法具有结合律、交换律和分配律，即(a+b)/c=a/c+b/c，a/b/c=(a/b)/c， a/(b+c)=a/b+a/c。
运算步骤：首先将被除数和除数变为同号，然后确定商的符号，再计算商的绝对值，最后求得商的近似值或准确值。
除法的运算技巧
除法运算可以转化为乘法运算
商的符号与被除数保持一致
解决实际问题：乘方运算在实际问题中也有很多应用，如计算增长率、解决几何问题等。
06
有理数的混合运算
混合运算的顺序
先进行乘方运算
然后进行乘除运算
最后进行加减运算
同级运算按照从左到右的顺序进行
混合运算的技巧
优先级：先乘除后加减，括号内的优先顺序：从左到右依次计算简化：合并同类项，化简为最简形式运算律：运用交换律、结合律和分配律等运算律简化计算

有理数加减乘除乘方混合运算相关法则知识整理汇总

有理数加减乘除乘方混合运算相关法则知识整理一、知识整理填空答案符号计算绝对值加法同号取相同的符号绝对值相加异号取绝对值大的符号绝对值相减减法减去一个数等于加上这个数的相反数乘法同号取正绝对值相乘异号取负除法同号取正绝对值相除异号取负除以一个数等于乘以这个数的倒数二、一个运算中，含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算，称为有理数的混合运算.三、运算法则1、有理数的加法法则：1）同号两数的相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数同0相加仍得这个数.2、有理数的减法法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数.3、有理数的乘法法则：1）两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2）任何数与0相乘，积仍为0.4、有理数的除法法则: 1）除以一个数就是乘以这个数的倒数；2）两数相除同号得正，异号得负；并把绝对值相除；3）零除以任何非零的数得为零.注：0不能作除数5、有理数的乘方符号法则：1）正数的任何次幂都是正数；2）负数的奇次幂为负，偶次幂为正.四、有理数的运算律1、加法交换律：a+b=b+a2、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)3、乘法交换律：ab=ba4、乘法结合律：(ab)c=a(bc)5、乘法分配律：a(b+c)=ab+ac五、有理数混合运算的法则：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。

（2）如有括号，先进行括号里的运算。

1．先算乘方，再算乘除，最后算加减。

2．同级运算依照从左到右的顺序运算；3．若有括号，先小括号，再中括号，最后大括号，依次运算；。

(6)有理数的乘方及其混合运算、科学计数法---金雨欣

教师姓名学生姓名年级上课日期学科数学课题名称有理数的乘方及其混合运算计划时长2h教学目标教学重难点一、教学设计：活动1下图是细胞分裂示意图，当细胞分裂到第10次时，细胞的个数是多少？由活动1和活动2我们是否可以推断出：4m m m m m =⨯⨯⨯65mm m m m m m m m m m m m =⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯?m m m m m m n=⨯⨯⨯⨯ΛΛ （n 个m 相乘）把m 换成其他的数，它还成立么？知识点一、有理数的乘方定义：求n 个相同同因数的运算表示：一般n 个a 相乘，记作na ，读作a 的n 次方，也可以读作a 的n 次幕，a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂。

例如1：744444444=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，读作4的七次方，也叫4的7次幕，4是底数，7是指数8515151515151515151⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，读作51的8次方，也叫51的8次幕，51是底数，8是指数()()()()()433333-=-⨯-⨯-⨯-，读作-3的4次方，也叫-3的4次幕，-3是底数，8是指数尝试把下列各式写成na 形式，读出来，并指出它的底数和指数例题2： ①写出指数是8，底数是2的幕：13. 21122()(2)2233-+⨯-- 14. 199711(10.5)3---⨯15. 2232[3()2]23-⨯-⨯-- 20. 666(5)(3)(7)(3)12(3)777-⨯-+-⨯-+⨯-21. 235()(4)0.25(5)(4)8-⨯--⨯-⨯- 22. 23122(3)(1)6293--⨯-÷-知识点四：科学计数法1．10n的特征101=10，102=100，103=1000，104=10000， (1010)=10000000000。

提问：10n中的n 表示n 个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系?与运算结果的数位有什么关系? (1)10n=321Λ00100个n ，n 恰巧是1后面0的个数；(2) 10n=321Λ位)1(0100+n ，比运算结果的位数少1。

有理数的混合运算

有理数的混合运算一、有理数的运算（1）有理数的加法：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同0相加，仍得这个数.（2）有理数的减法：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b -=+-（3）有理数的乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.（4）有理数的除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1a b a b÷=⋅（0b ≠）（5）有理数的乘方：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.二、科学计数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是整数），此种记法叫做科学记数法．【例1】计算下列各题：（1）（一11）+（一9）；（2）（一3.5）+（+7）；（3）（一1.08）+0；．（4）（23+）+（23-) （5）[（-22）+（-27）]+（+27）；（6）（-22）+[（-27）+（+27）]【变式练习】计算：（1）()()()()()-+++-+-++36475（2）()()-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++++⎛⎝ ⎫⎭⎪234025*********..（3）+⎛ ⎫⎭⎪+-⎛ ⎫⎭⎪+-⎛ ⎫⎭⎪++⎛ ⎫⎭⎪++⎛ ⎫⎭⎪+-⎛ ⎫⎭⎪5751432527225914【例2】小明家冰箱冷冻室的温度为-5℃，调高4℃后的温度为（）A ．4℃B ．9℃C ．-1℃D ．-9℃【例3】绝对值不大于10的所有整数的和等于（）A ．-10B ．0C ．10D ．20【例4】已知a ，b ，c 的位置如图，化简：|a -b |+|b +c |+|c -a |= ______________【例5】计算（1）(3)(5)--+ （2）()()+59--【变式练习】计算（1）21(4)(3)33-+-⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)55-+-+-+++-⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-⑷111(8.5)3(6)11332-++-+【例6】对于任何有理数a ，下列各式中一定为负数的是（）A ．()3a --+B ．a -C ．1a -+D ．1a --【例7】 a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a ，b ，a +b ，a -b 中，负数的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例8】两个数的差是负数，则这两个数一定是（）A ．被减数是正数，减数是负数B ．被减数是负数，减数是正数C ．被减数是负数，减数也是负数D ．被减数比减数小【例9】如果a ，b 均为有理数，且b ＜0，则a ，a-b ，a +b 的大小关系是（）A ．a ＜a +b ＜a -bB ．a ＜a -b ＜a +bC ．a +b ＜a ＜a -bD ．a -b ＜a +b ＜a三、有理数的乘法【例10】下面计算正确的是（）A ．-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80B ．12×（-5）=-50C ．（-9）×5×（-4）×0=9×5×4=180D ．（-36）×（-1）=-36 【变式练习】1337⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭316169⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________【变式练习】（1）4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）11171113()71113⨯⨯⨯++；（3）()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭【例11】若两个有理数的和与积都是正数，则这两个有理数（）A ．都是负数B ．一正一负且正数的绝对值大C ．都是正数D ．无法确定【例12】a 、b 、c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（）A ．0a >，b ．c 同号B ．0b >，a ．c 异号C ．0c >，a ．b 异号D ．a ．b ．c 同号【例13】已知|x |=3，|y |=2，且x •y ＜0，则x +y 的值等于（） A ．5或-5 B ．1或-1 C ．5或1 D ．-5或-1【例14】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：b a-11（1）abc ＜0 （2）|a -b |+|b -c |=|a -c | （3）（a-b ）（b-c ）（c-a ）＞0 （4）|a |＜1-bc 其中正确的命题有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个四、有理数的除法【例15】下列关于0的说法中，正确的个数是（）①0既不是正数，也不是负数；②0既是整数也是有理数；③0没有倒数；④0没有绝对值．A ．1B ．2C ．3D ．4【例16】下列运算有错误的是（） A ．()()13333÷-=⨯- B ．()()15522⎛⎫-÷-=-⨯- ⎪⎝⎭C ．8-（-2）=8+2D ．2-7=（+2）+（-7）【变式练习】计算：（1）111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）231(4)()324+÷⨯÷-；（4）71()2(3)93-÷⨯+；【例17】两个有理数的商为正，则（）A ．和为正B ．和为负C ．至少一个为正D ．积为正数【例18】用“＞”或“＜”填空（1）如果0abc>，0ac <那么b _____ 0 ；（2）如果0a b>，0bc <那么ac _______0 .五、有理数的乘方【例19】计算：（1）3)4(-（2）4)2(-【例20】计算：)2()3(]2)4[()3()2(223-÷--+-⨯-+-【例21】观察下面三行数：2-．4．8-．16．32-．64…… ①0．6．6-．18．30-．66…… ②1-．2．4-．8．16-．32…… ③（1）第①行按什么规律排列？（2）第②③行与第①行分别有什么关系？（3）取每行第10个数求这几个数的和？六、科学计数法【例22】我国第六欢人口普查的结果表明，目前肇庆市的人口约为4050000人，这个数用科学记教法表示为（）A ．410405⨯ B ．51005.4⨯C ．61005.4⨯D ．71005.4⨯【例23】某种鲸的体重约为1.36×105kg ．关于这个近似数，下列说法正确的是（）A ．精确到百分位，有3个有效数字B ．精确到个位，有6个有效数字C ．精确到千位，有6个有效数字D ．精确到千位，有3个有效数字【例24】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（）A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0.05（精确到千分位）D ．0.050（精确到0.001）【例25】据国家统计局2011年4月28日发布的《2011年第六次全国人口普查主要数据公报（第一号）》，总人口为1370536875人，这一数字用科学记数法表示为（）（保留四个有效数字）A ．91037.1⨯B ．81037.1⨯C ．910371.1⨯D ．810371.1⨯七、有理数的混合运算【例26】计算（1）13502215⎛⎫+÷⨯-- ⎪⎝⎭ （2）()21110.5233⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦（3）()()()22101423212125.0-⨯-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-（4）（－32 ）×（－1115 ）－32 ×（－1315 ）＋32 ×（－1415 ）八、有理数的大小比较【例27】比较111234--，，的大小，结果正确的是（） A ．111234-<-< B ．111243-<<-C ．111432<-<-D ．111324-<-<【例28】给出两个结论：（1）a b b a -=-，（2）1123->-．其中（）A ．只有（1）正确B ．只有（2）正确C ．（1）和（2）都正确D ．（1）和（2）都不正确【例29】a ，b ，c 在数轴上的位置如图．则在1a c b c a a---+，，，中，最大的一个是（）bc -11A ．a -B ．c b -C ．c a +D ．1a -【例30】若b ＜0，则a+b ，a ，a-b 的大小关系为（）A ．a+b ＞a ＞a-bB ．a-b ＞a ＞a+bC ．a ＞a-b ＞a+bD ．a-b ＞a+b ＞a练习【习题1】式子-2-（-1）+3-（+2）省略括号后的形式是（）A ．2+1-3+2B ．-2+1+3-2C ．2-1+3-2D ．2-1-3-2【习题2】计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100= 1684_______ 【习题3】计算()74 1.6 2.54÷--÷之值为何（） A ．-1.1 B ．-1.8 C ．-3.2 D ．-3.9【习题4】下列判断：①若ab =0，则a =0或b =0；②若22a b =，则a =b ；③若22ac bc =，则a b =；④若a b =，则()()a b a b +⋅-是正数．其中正确的有（） A ．①④ B ．①②③ C ．① D ．②③【习题5】下列计算正确的是（）A ．113122-⨯=-B ．()32321---=C ．16363÷⨯=D ．()220051111324⎛⎫--= ⎪⎝⎭【习题6】下列算式中：（1）0-（-3）=-3；（2）（-2）×|-3|=-6；（3）5÷ ×5=5；（4）23=6，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【习题7】已知|x |=0.19，|y |=0.99，且0<yx，则x -y 的值为（） A ．1.18或-1.18 B ．0.8或-1.18 C ．0.8或-0.8 D ．1.18或-0.8【习题8】计算：-2-（-3）+（-8）+42= ______；（2）计算：（122)637+-×（-42）= ________.【习题9】若a ．b ．c 在数轴上位置如图所示，则必有（）a -2-10A ．abc ＞0B ．ab -ac ＞0C ．（a+b ）c ＞0D ．（a-c ）b ＞0【习题10】有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则在a +b ，a -b ，ab ，3a ，23a b 这五个数中，正数的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【习题11】定义a ※b =a b -，则（1※2）※3=_________。

4、有理数乘方、混合运算、科学记数法-教师版

1、有理数的乘方：（1）求几个相同因数的积得运算，叫做乘方.乘方的结果叫做幂。

在n n aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个中，a 叫做底数，n 叫做指数.读作a 的n 次方.n a 看作是a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂；特别地，11n =，00n=（n 为正整数）；（2）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；任何数的偶次幂都是非负数，即20a ≥，20n a ≥；2、有理数的混合运算：（1）有理数混合运算的顺序：先乘方，后乘除，再加减；按从左到右的顺序运算；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号。

（2）括号前带负号，去掉括号后，括号内各项要变号，即：()a b a b ++=+，()a b a b -+=--；（3）运算时，可合理运用运算律，使运算简便。

3、科学记数法：（1）把一个数写成10na ⨯（其中110a ≤<，n 是正整数），这种形式的计数方法叫做科学记数法；（2）在10na ⨯中，n 由这个数的整数位数来确定.即：n =整数位数-1；二、例题精讲：例1、指出下列各幂的底数和指数并计算下列各幂：（1）512⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）512⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）512⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）512⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（5）2211(0.2)5⎛⎫--+- ⎪⎝⎭；321,5,21 321,5,21-- 321,5,21- 321,5,21- 57,2,2.0,2,511--- 例2、20147的个位数字是多少？9例3、计算： 220131111{1[3()]30}(1)654---⨯-⨯÷-3例4、小强家卖给国家10袋稻谷，重量分别如下：61千克，59千克，60千克，62千克，58千克，58千克，61千克，63千克，59千克，60千克，问平均每袋重多少千克？（用两种方法解）601例5、来了一批外星人，他们的“乘法”记为☆，并且对任意两个有理数a 、b ，a ☆b =32a b -。

有理数混合运算(6种题型)(解析版)

有理数混合运算（6种题型）会进行有理数的混合运算，合理应用运算律，进行简便运算．一．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．二．计算器—基础知识（1）计算器的面板是由键盘和显示器组成．（2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键．（3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用．（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE．（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE．（7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC．注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．三．计算器—有理数计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL ）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．（3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值．（4）开方运算按用到乘方运算键x 2的第二功能键”和的第二功能键“”．（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx 2被开方数ENTE 或直接按键，再输入数字后按“＝”即可．（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf ∧被开方数ENTE 或直接按x 3，再输入数字后按“＝”即可注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．题型一：有理数四则混合运算一、填空题1．（2022秋·江苏无锡·七年级统考期中）定义一种新运算：x y x y xy =+−★，则计算()32−=★___________．【答案】5【详解】解：∵x y x y xy =+−★，∴()()3232323265−=−+−−⨯=−++=★，故答案为：5【点睛】本题考查了新运算和有理数的混合运算，理解新运算的定义是解题的关键．二、解答题 2．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）计算(1)13251216−+−(2)()()()0510037÷−⨯+−÷−(3)()()()25549−⨯−÷−+【答案】(1)16− (2)37(3)47(4)1−【分析】（1）原式结合后，相加即可求出值；（2）原式先算乘除运算，再算加减运算即可求出值；（3）原式先算乘除运算，再算加法运算即可求出值；（4）原式利用减法法则变形，结合后相加即可求出值．【详解】（1）原式()1312251616=+−−=−；（2）原式33077=+=；（3）原式24947=−+=；（4）原式223331212113344=−++−=−+=−．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【答案】(1)24−(2)14 【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可；（2）先计算乘除法，再计算加减法即可．【详解】（1）解：1336124⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭ 133636124⎛⎫=⨯+⨯− ⎪⎝⎭327=−24=−（2）()()18632−÷−⨯−()118623⎛⎫=−⨯−⨯− ⎪⎝⎭184=−14=【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键．【答案】(1)5−(2)11−(3)1179919− (4)6−(5)81(6)75=【分析】（1）根据有理数加法的运算律，同分母的相结合，能凑整的相结合，再进行计算.（2）运用乘法分配律进行计算即可.（3）将原式写成1(100)(18)19−⨯−，再根据乘法分配律进行计算即可. （4）倒用乘法分配律+ab ac ad a b c d +=++（）进行计算即可.（5）先根据“除以一个数等于乘以它的倒数”，将除法运算变为乘法运算，再运用乘法分配律进行计算即可.（6）按照有理数混合运算法则：先乘方，再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里边的，进行计算即可.【详解】（1）34(3)12.5(16)( 2.5)77−++−−−34(3)12.5(16) 2.577=−++−+34[(3)(16)](12.5 2.5)77=−+−++2015=−+=5−；（2）7537()(36)96418−+−⨯−75373636363696418=−⨯+⨯−⨯+⨯28302714=−+−+22714=−+2514=−+11=−；（3）18991819−⨯1(100)(18)19=−⨯−1100181819=−⨯+⨯ 18180019=−+ 1179919=−；（4）22218()134333⨯−+⨯−⨯ 22218134333=−⨯+⨯−⨯2(18134)3=−+−⨯2(9)3=−⨯ 6=−；（5）1571(3)()261236−+−÷−157(3)(36)2612=−+−⨯−1573633636362612=−⨯+⨯−⨯+⨯181083021=−+−+903021=−+6021=+81=；（6）211[(4)(0.4)]3(2)343÷−−⨯−÷⨯−−21[()0.1]33234=⨯−+⨯⨯+11()332610=−+⨯⨯+133215=−⨯⨯+325=−+75=【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算律和运算法则是解题的关键.【答案】(1)6(2)5 【详解】（1）解：()()745−−+−745=+−6=；（2）解：113(60)234⎛⎫−−+⨯− ⎪⎝⎭113(60)(60)(60)234=−⨯−−⨯−+⨯−302045=+−5=．【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的四则混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题关键．注意在解（2）时利用乘法分配律更简便．6．（2020秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）计算：(1)()()2317716−−−+−112019++−【答案】(1)3−(2)45.08−(3)19 30(4)1 3(5)7 4−(6)7(7)54−(8)17 60【详解】（1）解：()() 2317716−−−+−2317716 =−+−710=−3=−；（2）()()26.54 6.418.54 6.4−+−−+26.5418.54 6.4 6.4 =−−−+45.08=−；（3）3111253⎛⎫+−−+ ⎪⎝⎭ 3111253=−−+ 456301*********=−−+1930=；（4）531245⎛⎫⎛⎫−⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭58245=⨯ 13=；（5）172.5(8)516⎛⎫⎛⎫−⨯⨯−⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15785216=−⨯⨯⨯74=−；（6）251(18)(3)29115⎛⎫⎛⎫−⨯−+−⨯−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 15114115=+⨯43=+7=；（7）12(45)35⎡⎤⎛⎫⎛⎫−÷−÷− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 15(45)32⎛⎫=−÷⨯ ⎪⎝⎭5(45)6=−÷ 6(45)5=−⨯54=−；（8）111111114354652019−+−+−++−111111113445561920=−+−+−++−11320=− 2036060=−1760=．【点睛】此题考查了有理数的四则混合运算，正确掌握有理数混合运算的法则及运算顺序是解题的关键．【答案】25【分析】根据题意的算法进行运算，即可求得结果．【详解】解：原式的倒数是129314510220⎛⎫⎛⎫−−+−÷− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12932045102⎛⎫=−−+−⨯− ⎪⎝⎭581830=+−+25=故原式125=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确运算是解决本题的关键．8．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．131538=⨯+=，3135116=⨯+=，5455429=⨯+=，请你想一想：43= a b = ab b a （填入()543−．【答案】(1)23，5a b +(2)≠(3)42−【分析】（1）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可；（2）先根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则将a b 和b a 计算出来，再用作差法比较即可；（3）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：4345323=⨯+=；5a b a b =+；故答案为：23，5a b +．（2）∵5a b a b =+，5b a b a =+，∴()()()()5544a b b a a b b a a b −=+−+=−，∵a b ¹，∴440a b −≠∴a b b a ≠．故答案为：≠．（3）()543−−()5453=−−⨯+ ()517=−−()5517=−⨯+− 42=−．【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明白题中所给新定义的运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．题型二：有理数四则混合运算的应用一、填空题1．（2022秋·江苏·七年级开学考试）园林公司在林州大道旁种植了120棵树，有116棵成活，后来又补栽4棵，全部成活，这124棵树苗的成活率为_____【答案】97%【分析】根据成活率等于成活数除以总数再乘以100%计算即可．【详解】解：1164100%97% 1204+⨯≈+．答：成活率是97%．故答案为：97%．【点睛】此题属于百分率问题，明确成活率是指成活的棵数占总棵数的百分之几；要注意题中的“全部成活”，是指后来又补种的4棵全部成活，而不是种的120棵全部成活．二、解答题(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在邗江路和文昌路十字路口什么方向，距离十字路口多少千米？(2)后来他开车回到出发地，途中没有带到客人，若该出租车每千米耗油0.09升，那么在整个过程中共耗油多少升？(3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费9元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在整个行驶过程中，该出租车驾驶员共收到车费多少元？【答案】(1)东3千米处(2)2.16升(3)57.6元【分析】（1）求出行驶路程的代数和，利用结果的符号和数值作出判断即可；（2）求出行驶路程的绝对值的和，利用路程和乘以每千米耗油量即可得出结论；（3）分别计算接送每批客人的收费数额再相加即可得出结论．【详解】（1）∵()()347253km ++−+−+=，∴出租车在解放路和青年路十字路口东边，距离十字路口3千米；（2）∵34725324km ++−+−++=，∴240.09 2.16⨯=（升）．∴在这过程中共耗油2.16升．（3）∵接送第一批客人的收费为：9元，接送第二批客人的收费为：()9 1.84310.8+⨯−=（元），接送第三批客人的收费为：()9 1.87316.2+⨯−=（元），送第四批客人的收费为：9元，接送第五批客人的收费为：()9 1.85312.6+⨯−=（元），∴910.816.2912.657.6++++=（元）．所以在这过程中该出租车驾驶员共收到车费57.6元．【点睛】本题考查了正负数的意义和有理数的运算，解题关键是明确正负数的意义，能熟练运用有理数运算法则进行计算．【答案】(1)小明家这10天轿车行驶的路程为240km(2)估计小明家一个月耗电费用为162元【分析】（1）记录数字的和再加上10个25即可得到结果；（2）用（1）的结论乘以3即可得到总路程，再根据“该轿车每行驶100km耗电15度，且轿车充电的价格为每度1.5元，”列式解答即可；【详解】（1）解：()314182623210km +−+−+−+−+=−，()251010240km ⨯−=，答：小明家这10天轿车行驶的路程为240km ．（2）240310015 1.5162⨯÷⨯⨯=（元），答：估计小明家一个月（按30天算）的电动轿车耗电费用为162元．【点睛】本题考查正数与负数以及有理数的加减乘除混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．4．（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）小刚坐公交车去参加志愿者活动，他从南站上车，上车后发现车上连自己共有12人，经过A 、B 、C 、D 4个站点时，他观察到上下车情况如下（记上车为正，下车为负）：()3,2A +−，()5,3B +−，()3,4C +−，()7,4D +−． (1)经过4个站点后车上还有人；(2)小刚发现在A 、B 、C 、D 这四站上车的人中，有一半投币付费（每人2元），还有一半刷卡付费（每人1.4元），求这四站公交公司共收入多少元？【答案】(1)17(2)这四站公交公司共收入30.6元【分析】（1（2）先求出4个站一共上车的人数，再根据这四站上车的人中，有一半投币付费（每人2元），还有一半刷卡付费（每人1.4元），进行求解即可．【详解】（1）解：()()()()()()()()1232533474+++−+++−+++−+++−1232533474=+−+−+−+−125=+ 17=人，∴经过4个站点后车上还有17人；（2）解：353718+++=人，11218 1.41830.622⨯⨯+⨯⨯=元，∴这四站公交公司共收入30.6元，答：这四站公交公司共收入30.6元．【点睛】本题主要考查了有理数的加法的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键．(1)这20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐多重千克．(2)与标准重量比较，这20筐苹果总计超过或不足多少千克？(3)若苹果每千克售价85元，则出售这20筐苹果可卖多少元？【答案】(1)5.5(2)超过8千克(3)43180元【分析】（1）根据正负数的意义确定最重的一筐和最轻的一筐，然后利用有理数减法计算法则求解即可；（2）把所给的记录相加，如果结果为正则超过标准重量，如果结果为负则不足；（3）先求出这20筐苹果的总重量，然后根据可卖的钱数=单价×重量进行求解即可．【详解】（1）解：由表格可知，最重的一筐比最轻的一筐重：()2.53 5.5−−=（千克）．答：最重的一筐比最轻的一筐多重5.5千克．（2）解：由表格可得，()()()3124 1.520321 2.58−⨯+−⨯+−⨯+⨯+⨯+⨯()()()3830220=−+−+−+++8=（千克）．答：与标准重量比较，20筐苹果总计超过8千克．（3）解：由题意可得，()202588543180⨯+⨯=（元），∴出售这20筐苹果可卖43180元．【点睛】本题主要考查了有理数减法的应用，有理数四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键．6．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）思考下列问题并在横线上填上答案．(1)已知数轴上有M ，N 两点，点M 与原点的距离为2，M ，N 两点的距离为1.5，则满足条件的点N 所表示的数是__________；(2)在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示4−的点重合，若数轴上E ，F 两点之间的距离是10（E 在F 的左侧），且E 、F 两点经过上述折叠后重合，则点E 表示的数是__________，点F 表示的数是__________；(3)数轴上点A 表示数8，点B 表示数8−，点C 在点A 与点B 之间，点A 以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B 以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C 以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A 后立即返回向左运动，碰到点B 后又立即返回向右运动，碰到点A 后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C 在整个运动过程中，移动了多少单位？【答案】(1)3.5或0.5或 3.5−或0.5− (2)6−，4 (3)8，4，24【分析】（1）先求出点M 所表示的数，进而即可求解；（2）先求出折痕对应的数为：-1，进而即可求解；（3）先求出A 、B 相遇时所花的时间，进而即可求解．【详解】（1）解：∵点M 2， ∴点M 表示的数为：2±， ∵,M N 两点的距离为1.5，∴N 表示的数为：2 1.5 3.5±=或0.5；2 1.5 3.5−±=−或0.5−，故答案是：3.5或0.5或 3.5−或0.5−；（2）∵折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示4−的点重合， ∴折痕对应的数为：1−，∵数轴上,E F 两点之间的距离是10（E 在F 的左侧），且,E F 两点经过上述折叠后重合， ∴点E 表示的数是：156−−=−，点F 表示的数是：154−+=，故答案是：6−，4；（3）当三个点聚于一个点时，则A 、B 相遇，运动的时间为：()()880.5 1.58+÷+=（秒），此时，这一点表示的数是：8 1.584−+⨯=，点C 在整个运动过程中，移动了：2483=⨯个单位．【点睛】本题主要考查数轴上的点所表示的数，两点间的距离，折叠的性质，掌握数轴上两点的距离等于对应的两数之差的绝对值，是解题的关键．【答案】(1)3(2)a 的值为8，点A 表示的数为2−，点B 表示的数为6 (3)72【分析】（1）根据数轴的性质列出运算式子，再计算有理数的加法即可得；（2）先根据3根木条的长度等于14与10−之间的距离可求出a 的值，再根据数轴的性质列出运算式子，计算有理数的加减法即可得；（3）先参照（2）的思路求出爷爷比小红大52岁，再利用124减去52即可得．【详解】（1）解：由题意得：点B 表示的数为253−+=，故答案为：3．（2）解：由题意得：a 的值为()141038−−÷=⎡⎤⎣⎦，则点A 表示的数为1082−+=−，点B 表示的数为1486−=，即a 的值为8，点A 表示的数为2−，点B 表示的数为6．（3）解：由题意得：爷爷比小红大()12432352−−÷=⎡⎤⎣⎦（岁），则爷爷现在的年龄为1245272−=（岁），故答案为：72．【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法与除法的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．题型三：程序流程图与有理数计算一、单选题【答案】B【分析】分别将三组数据代入程序流程图运算求解即可．【详解】解：①当7x =，2y =时x y >， 222()(72)525x y ∴−=−==；②当2x =−，=3y −时x y >，[]222()2(3)11x y ∴−=−−−==；③当4,1x y =−=−时x y <，[]222()4(1)(5)25x y ∴+=−+−=−=，∴能使输出的结果为25的有①③，故选：B ．【点睛】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，有理数比较大小，正确读懂程序流程图是解题的关键．二、填空题2．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图所示是计算机某计算型序，若开始输入2x =−，则最后输出的结果是__________．【答案】14−【分析】直接利用运算程序，进而计算得出答案．【详解】解：当2x =−时，()231615−⨯−−=−+=−，则5x =−时，()53115114−⨯−−=−+=−，故答案为：14−．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则，理解本题的运算程序是解决本题的关键． 3．（2020秋·江苏扬州·七年级校考期中）根据如图所示的程序计算，若输入x 的数值为2−，则输出的数值为______．【答案】 3.625−/538−/298−【分析】把x 的值代入程序中计算，再根据结果3<−输出即可．【详解】解：把2x =−代入程序中计算得：()()2212⎡⎤⎣+⎦−÷−()()412=+÷−()52=÷−2.53=−>−，把 2.5x =−代入程序中计算得：()()22.512⎡+⎤⎣⎦−÷−()()6.2512=+÷−()7.252=÷−3.6253=−<−．故输出的数值为 3.625−．故答案为： 3.625−．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【答案】4【分析】根据程序流程图的流程，列出算式，进行计算即可．【详解】解：输入的值为1时，由图可得：212420⨯−=−<；输入2−可得：()222440−⨯−=>；∴输出的值应为4；故答案为：4．【点睛】本题考查程序流程图．按照流程图的流程准确的列出算式，是解题的关键．5．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =−，则最后输出的结果是___．【答案】-11【分析】读懂计算程序，把1x =−，代入，按计算程序计算，直到结果小于5−即可．【详解】解：当输入x ，若()41x ⨯−−小于5−，即为输出的数，当1x =−时，()()()414113x ⨯−−=⨯−−−=−，3−不小于5−，因此，把3x =−再输入得，()()()4143111x ⨯−−=⨯−−−=−，11−小于5−，故答案为：11−．【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键．6．（2022秋·江苏无锡·七年级校考期中）如图是一个对于正整数x 的循环迭代的计算机程序．根据该程序指令，如果第一次输入x 的值是3时，那么第一次输出的值是10；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是5；把第二次输出的值再次输入，那么第三次输出的值是16；以此类推得到一列输出的数为10，5，16，8，4，2，1，4，…若第五次输出的结果为1，则第一次输入的x 为 _____．【答案】32、5、4【详解】解：若第五次输出的结果为1，则第5次输入为：2，第4次输出为：2，第4次输入为：4，第3次输出为：4，第3次输入为：8或1，第2次输出为：8或1，第2次输入为：16或2，第1次输出为：16或2，第1次输入为：32、5或4，故答案为：32、5、4．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是读懂题意，寻找到数字变化的规律，利用规律解决问题．三、解答题 7．（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，按图中的程序进行计算.(1)当输入的30x =时，输出的数为______；当输入的16x =−时，输出的数为______；(2)若输出的数为52－时，求输入的整数x 的值.【答案】(1)60−，64−；(2)26x =±或13±【分析】（1）根据图中的程进行列式计算，即可求解；（2）当输出的数为52－时，分两种情况进行讨论．【详解】（1）解：根据运算程序可知：当输入的30x =时，得：()3026045⨯−=−−<， ∴输入的30x =时，输出的数为60−；根据运算程序可知：当输入的16x =−时，得：()1623245−⨯−=−−>；再输入32x =−，得：()3226445−⨯−=−−<，∴输入的32x =−时，输出的数为64−；故答案为：60−，64−；（2）解：当输出的数为52－时，分两种情况：第一种情况：()252x ⨯−=−，解得：26x =±；第二种情况：当第一次计算结果为26−时，再循环一次输入的结果为52－，则()226x ⨯−=−，解得：13x =±，综上所述，输出的数为52－时，求输入的整数x 的值为：26x =±或13±. 【点睛】本题考查程序流程图与有理数的计算、绝对值，解题的关键是掌握有理数的运算法则和解绝对值方程．题型四：算“24”点一、填空题1．（2022秋·七年级单元测试）用一组数3，4，﹣4，﹣6算24点（每个数只能用一次）：________．【答案】3×4×[﹣4﹣（﹣6）]＝24（答案不唯一）【分析】此题只要符合题的要求，得数等于24即可，答案不唯一．【详解】解：3×4×[﹣4﹣（﹣6）]＝12×（﹣4＋6）＝12×2＝24，故答案为：3×4×[﹣4﹣（﹣6）]＝24（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，此题要注意要求的得数为24，而且每个数字只能用一次． 2．（2022秋·江苏镇江·七年级校联考阶段练习）“24点游戏”指的是将一副扑克牌中任意抽出四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能使用一次），使得运算结果是24或者是24−，现抽出的牌所对的数字是4，5−，3，1−，请你写出刚好凑成24的算式__________．【答案】[]34(5)1⨯−−−【分析】利用“24点游戏”的游戏规则写出算式即可．【详解】解：根据题意得：[]34(5)1⨯−−−38=⨯=24．故答案为：[]34(5)1⨯−−−（答案不唯一）．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2022秋·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）已知4个有理数：1,2,3,4−−−−，在这4个有理数之间用“,,,+−⨯÷”连接进行四则运算，每个数只用一次，使其结果等于24，你的算法是___________．【答案】(1)(2)(3)(4)24−⨯−⨯−⨯−=（答案不唯一）【分析】根据“24点”游戏规则列出算式即可．【详解】解：(1)(2)(3)(4)24−⨯−⨯−⨯−=故答案为：(1)(2)(3)(4)24−⨯−⨯−⨯−=（答案不唯一）【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解题的关键 4．（2022秋·江苏南京·七年级阶段练习）算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连接起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“5、5、5、1”这4个数字算“24点”，列出的算式是____．【答案】555124⨯−=（答案不唯一）【分析】解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数即可解决问题。

第六课_乘方_科学计数法_有理数的混合运算

第六课乘方科学计数法有理数的混合运算知识点：1、乘方乘方的定义：求几个相同因数积的运算。

乘方的结果叫做幂。

在a n中a叫做底数，n叫做指数。

读作a的n次方，看作是a的n次方的结果时，也可读作a 的n次幂。

有理数乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数。

总结成一句话：“一看底数，二看指数”，若底数是正数，结果为正；当底数是负数的时候，再看指数，若指数为偶数，结果为正，若指数是奇数，结果为负。

2、科学计数法：把一个数记作a×10n形式（其中1≤ a ＜10，n为正整数。

）将一个数用科学计数法表示的时候，10的指数比原数的整数位数少1，例如原数有6位，则10的指数为5。

确定a值的时候，一定要注意a的范围1≤ a ＜10。

将一个用科学计数法表示的数写出原数的时候，10n=100……0（共有n个0）即a×10n= a×100……0（共有n个0）3、有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减。

如果有括号，先进行括号内的运算。

乘方同步练习（一）1.直接写出计算结果：（1）(－2)×(－2)＝（2）(－2)×(－2)×(－2)＝（3）(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝（4）(－2)×(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝2.把下列各数写成数的乘积的形式：（1）53＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）(－7)4＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）(－12)5＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.把下列各数写成乘方的形式：（1）3×3＝＿＿＿＿＿＿；（2）2×2×2＝＿＿＿＿＿＿；（3）(－5)×(－5)×(－5)×(－5)＝＿＿；（4）(－0.6)×(－0.6)×(－0.6)＝＿＿.4.填空：（1）94的底数是＿＿＿，指数是＿＿＿，幂是＿＿＿，读作＿＿＿＿＿＿＿；（2）(－7)3的底数是＿＿，指数是＿＿，幂是＿＿＿，读作＿＿＿＿＿＿＿；（3）8的底数是＿＿＿，指数是＿＿＿，幂是＿＿＿，读作＿＿＿＿＿＿＿.6.探究题：（1）直接写出计算结果：(－2)2＝(－2)3＝(－2)4＝(－2)5＝（2）从上面四道题，你发现：当底数是负数，指数是奇数时，乘方的结果是＿＿＿数，也就是说，负数的奇次方是＿＿＿数；当底数是负数，指数是偶数时，乘方的结果是＿＿＿数，也就是说，负数的偶次方是＿＿＿数.7.不计算，判断下列乘方结果是正数还是负数：83， (－8)3， (－8)4， (－8)16， (－8)17.乘方同步练习（二）1.直接写出下面乘方的结果：（1）(－2)3＝（2）(－3)2＝（3）(－3)3＝（4）(－1)7＝（5）(－1)8＝（6）(－1)9＝（7）0.12＝（8）0.13＝（9）0.14＝（10）(－10)3＝（11）(－10)4＝（12）(－10)5＝2.填空：负数的奇次方是＿＿＿＿，负数的偶次方是＿＿＿＿.3.辨析题：（1）2×3与23相同吗？为什么？（2）23与32相同吗？为什么？（3）(－3)4与－34相同吗？为什么？5.计算：（1）(－1)10×2＋(－2)3÷4；（2）(－5)3－3÷(－12)4；（3）115×(13－12)×311÷54；（4）(－10)4＋［(－4)2－(3＋32)×2］.科学记数法同步练习1.计算：102＝ 103＝104＝105＝2.填空：（1）由1题你发现的规律是：10的几次方等于1后面带几个＿＿＿；（2）根据你发现的规律，直接写出下面乘方的结果：106＝＿＿＿＿＿，107＝＿＿＿＿＿；（3）根据你发现的规律，将下面的数写成乘方的形式：100000000＝＿＿，1000000000＝＿＿.3.下列是科学记数法的是( )．(A)50×106(B)0.5×104(C)－1.560×107(D)1.5104.填空：用科学记数法表示数.（1）800000＝8×＿＿＿＿＝8×＿＿＿＿；（2）56000000＝5.6×＿＿＝5.6×＿＿＿；（3）－7400000＝－7.4×＿＿＿＿＿＿＝－7.4×＿＿＿＿.5.用科学记数法表示数：（1）30000＝（2）4030000000＝（3）－1240000＝6.下列各数是用科学记数法表示的数，写出它的原数：（1）4×103＝（2）8.5×106＝（3）7.04×105＝（4）－3.96×104＝ 7.选择题：350000000用科学记数法表示成（）（A ）35×107 （B ）3.5×107 （C ）0.35×109 （D ）3.5×108有理数的混合运算(一)一、填空题1．混合运算的顺序是先______，再______，后______，______优先．特别要注意的是，如果能运用______时，可改变______达到简化计算的目的． 2．计算：(1)(－8)－(－4)2×5＝_______； (2)[(－8)－(－4)2]×5＝_______；(3)[(－8)－(－4)]2×5＝_______； (4)(－8)－(－4×5)2＝_______．二、计算题(能简算的要简算) 4．15.12156.24135.0+-++- 5．)87()12787431(-÷--6．7412(54)7215÷-⨯⨯÷-）（ 7．(－3)2×(－1.22)÷(－0.3)38．(－7.33)×(＋42.07)＋(－2.07)×(－7.33)9．将计算结果直接写在横线上：(1)－22－(－3)2＝_______； (2)=-⨯-3)21(54________；(3)－23－3×(－1)3－(－1)4＝______ (4)=÷-⨯23)32(2________；(5)2×(－3)3－4×(－3)＋15＝________； (6)－9＋12÷(－6)－(－4)2÷(－8)＝_______(8)=⨯--⨯-2236.0321)32()5.1(________； (9)=-+--222332)32(2)2(________；二、计算题11．|)3(2|31)5.01(124--⨯⨯-+- 12．5]43)436183(2411[÷÷-+-13．22)32(3|)411()52(2|-⨯--÷-⨯【方法能力提高】二：选择题1. 在()222121,3,2,0,21----⎪⎭⎫ ⎝⎛--中，是负数的个数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个2. 把10 500用科学记数法表示，正确的是（）A 510105.0⨯B 51005.1⨯C 5105.1⨯D 51005.1⨯3.()121+-k 和()k 21--（k 是正整数）的大小关系是（）A ()()k k 21211-->-+B ()()kk 21211--<-+C ()()k k 21211--=-+D 大小由K 决定4. 如果b a >，那么下列结论正确的是（）A 22b a >B 22b a <C 22b a ≠D 以上答案都有错误三：综合题5.()232131322241⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+- 6、()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛÷--⨯÷2231211212432117、计算()()105.0612153222324⨯-+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛÷-8、计算：()()()111033113222525.13-÷--⎥⎦⎤⎢⎣⎡÷-+-⨯⨯-9、计算：22223254211215132211)32(⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-÷+⨯⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-⨯10、计算：()20102152141722111-÷⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+--。

有理数的乘方、混合运算、科学计数法及近似数

第二章有理数第二讲有理数的乘方、混合运算、科学计数法及近似数 ※知识要点：一、乘方及相关概念1、求几个相同因数的积的运算叫做乘方，其运算的结果叫做幂；2、在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数；3、正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。

二、有理数的混合运算有理数的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的。

三、科学计数法把一个数记成10n a ⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是整数。

四、近似数近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数。

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

※思维驿站例1、计算：（1） 23(4)⨯-（2） ()()3432-⨯-（3） 2222133⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭（4） ()()()2212012111n n +---+-例2、有一张厚度为0.1mm 的纸片，将它对折1次后，厚度为0.1×2mm ，对折两次后，厚度是毫米，如果对折20次后，厚度为毫米。

练习：一个面积为2平方米的正方形纸片，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第5次剩下的面积是多少平方米？第10次呢？例3、计算：（1） ()2411322272⨯+-⨯÷（2）()()()115551010---⨯÷⨯- （3） ()2411236⎡⎤--⨯--⎣⎦（4） 111135532114⎛⎫⨯-⨯÷ ⎪⎝⎭ 练习：（1） 3778141283⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()21110.5233⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 例4、（1）用科学计数法表示下列各数127 000 000， -70 600 000 000（2）写出下列用科学计数法表示的原数中国森林面积有1.28×108公顷。

一天共有1.2863×104s 。

北师大版初中数学七年级上册第2章第4讲有理数的乘方和科学计数教材

（2）计算：13 23 33 9933 10025 日有 700 多位来自全国各地的知名企业家聚首湖北共同签约项目，共投
资总额 909260000000 元。将 909260000000 元用科学记数法表示
（保留 3 个有效数
字）
2. 某种细胞开始时有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1
考点 2. 有理数的科学计数法
知识点链接
1.科学记数法把一个数写成 a 10n 的形式（其中1 a 10 ，n 是整数），这种记法叫做科学记数法．如：将 200000 用科学记数法为 200000 2105 的形式．10200000 用科学计数法表示为1.02 107 ． 2.近似数与有效数字（1）近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫近似值．（2）有效数字：从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数
10个
【例 1】计算：（1）- 34 ；（2） 34 ；（3） - 3 3 ；（4） 33 ；（5）- 1 101 ；（6）1 1 3
4
4
2
变式训练 1. 已知 a 2 25，b3 27 ，求 a b 的值
2. 观察下列等式：31 3，32 9，33 27，34 81 ......，解答下列问题：31 32 33 34 32018 的末位数字是
变式训练 1. 一根长 1m 的绳子,第一次剪去一半,第二次剪下剩下的一半,如此剪下去,第六次剪后剩下的绳子长度是
考点 5. 有理数的乘方的综合
【例 5】探索研究：
（1）观察一列数 2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个
常数，这个常数是______；根据此规律．如果 n．（n 为正整数）表示这个数列的第 n 项，

有理数混合运算集

有理数除法、乘方运算及混合运算近似数和科学记数法重点、难点：1. 有理数混合运算；2. 乘方运算意义和符号法则；3. 科学记数法中的负指数幂的意义；4. 有效数字、近似数的意义和精确度。

教学过程：1. 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（零不能作除数）即：a b abb/()=≠·1另一种说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数，都得零。

提示：把除法转化为乘法进行运算，又一次体现了数学中的转化思想。

特别地：0不能做除数。

2. 倒数：乘积得1的两个数互为倒数。

即：若a b·=1，则a与b互为倒数，且反之也成立。

（或：ab=1）提示：零没有倒数。

互为倒数的两个数的符号相同。

要与相反数区别开：相加为0的两个数互为相反数。

即：a b+=0，则a与b互为相反数，且反之也成立。

3. 乘方的定义：求几个相同因数积的运算。

乘方的结果叫做幂。

在a n中a叫做底数，n 叫做指数。

a n读作a的n次方，a n看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。

幂指数底数永久免费在线组卷课件教案下载无需永久免费在线组卷课件教案下载无需结论：乘方是乘法的特例，因此乘方运算可转化成乘法法则，由乘法法则又得到了乘方符号法则，即正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

0的任何次幂都是0。

注：（1）乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。

五种运算：加、减、乘、除、乘方；（2）有两种读法：次方或次幂。

（3）()-32与-32的区别。

底数不同，结果不同。

（4）分式形式需加括号。

例如：-⎛⎝ ⎫⎭⎪232与-232的意义不同且运算结果也不同。

4. 有理数的混合运算：含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算的算式。

根据几种运算的法则可知：减法、除法可以转化成加法和乘法，乘方是利用乘法法则来定义的，所以有理数混合运算的关键是加法和乘法。

加法和乘法的法则都包括符号和绝对值两部分，同学在计算中要学会正确确定结果的符号，再进行绝对值的运算。

有理数的乘方、混合运算及科学记数法(提高)__有理数的乘方及混合运算(提高)知识讲解

有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）责编：康红梅【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.4. 会用科学记数法表示大数.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数， n 叫做指数．要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 2a ≥0．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l ≤|a |<10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯. 要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3310-⨯；（2）把一个数写成10n a ⨯形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.【典型例题】类型一、有理数的乘方1．计算：（1）44443333----；；（）；（）（2）3333222(2)3333--；（）；（-）；【答案与解析】解：由乘方的定义可得：(1)43＝3×3×3×3＝81；-43＝-（3×3×3×3）＝-81； 4(3)(3)(3)(3)(3)81-=-⨯-⨯-⨯-=；4(3)[(3)(3)(3)(3)]81--=--⨯-⨯-⨯-=-(2)322228333⨯⨯==； 322228()()()()333327=⨯⨯=； 322228()()()()333327-=-⨯-⨯-=-； 3(2)(2)(2)(2)883333--⨯-⨯---=-=-= 【总结升华】注意()n a -与n a -的意义的区别．22()n n a a -=（n 为正整数），2121()n n a a ++-=-（n 为正整数）．举一反三：【变式】已知2a <，且24a -=，则3a 的倒数的相反数是．【答案】18类型二、乘方运算的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫ ⎪⎝⎭，-(-2)2010【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553⎛⎫ ⎪⎝⎭运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．举一反三：【变式】（2015春•富阳市校级期中）计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（）A ．﹣2B ． 2C ． ﹣22014D ．22015【答案】C ．解：（﹣2）2015+（﹣2）2014=（﹣2）2014（﹣2+1）=22014×（﹣1）=﹣22014.类型三、有理数的混合运算3．计算：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214) （3）3112222233⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()2311113121121324424340.2⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 【答案与解析】解：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]＝-9+(-8)÷(-3+5)＝-9+(-8)÷2＝-9+(-4)＝-13（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)＝[72×(7-6)-1]÷(-24)＝(49-1)÷(-24)＝-2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式11221111[(2)]82338324=-+⨯--=--=- （4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.()23311113121121324424340.215457551()()241162434()5125724241251652316056125403912040⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=÷-++-⨯--=-⨯-⨯+⨯+=--++=【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．类型四、科学记数法4．（2015•酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（）A ．0.675×105B ． 6.75×104C ． 67.5×103D ．675×102【思路点拨】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【答案】B ．将67500用科学记数法表示为：6.75×104．【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法10n a ⨯的形式时，其中1≤|a|＜10，n 为比整数位数少1的数．在进行运算时，a 部分和10n 的部分分别运算，然后再把结果整理成10n a ⨯的形式．类型五、探索规律5．下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-----⎛⎫-+++++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； …第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫-++++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦…．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）．A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数【答案】A【解析】第1个数结果为11022-=；第2个数结果为111326-=-；第3个数结果为111424-=-；…；发现运算中在112-⎛⎫+ ⎪⎝⎭后边的各式为43653456⨯⨯⨯⨯…，分子、分母相约为1，所以第n 个数结果为1112n -+，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．举一反三：【变式】观察下面三行数：①-3，9，-27，81，-243，729，…②0，12，-24，84，-240，732，…③-1，3，-9，27，-81，243，…(1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．【答案】解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的13，即133-⨯，21(3)3-⨯，31(3)3-⨯，41(3)3-⨯，…； (3)每行数中的第10个数的和是：1010101(3)[(3)3](3)3-+-++-⨯=59049+59052+19683＝137784．。

有理数加减乘除、乘方、科学计数法

一、（一）有理数的加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，如：(3)(9)(________)_______+++=+= (2)(5)(________)_______-+-=-=2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，如：(5)(7)__________________-++== (10)(8)__________________-++==3、互为相反的两个数相加得零。

如：(4)(4)_______-++=4、一个数与零相加，仍得这个数。

如：(6)0_______-+=（二）有理数加法仍然可以灵活运用加法运算律进行简化运算。

1、加法交换律：可用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a 。

如：由(5)(7)______-+-=，(7)(5)______-+-=，所以：(5)(7)____(7)(5)-+--+-2、加法结合律：可用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )。

如：[][](2)(4)(9)(2)(4)(9)(2)(4)(9)__________-+-++=-+-++=-+-++=二、经典归纳考点一有理数加法【例1】计算：（1）)12()1(+++（2）)19()4(-+-（3）)9()4(++-【例2】41-的相反数与绝对值等于41的数的和应等于（）。

A ．21B ．0C ．21-D ．21或0【例3】若x 是-3的相反数，y =5，求x +y 的值。

【例4】若320a b ++-=，则a+b 的值为（） A ．5B ．-1C ．1D ． -5考点二简便计算【例1】利用运算律，用简便方法计算下列各题：（1）(6)539(4)(7)+++++---解：原式=[])935()7()4()6(+++-+-+-（2）4)5.0()5.2()7.3()5.2(+-+++-+-解：原式=考点三实际应用【例】出租车司机小张某天下午营运全是在东西走向的大道上行驶的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午行车里程如下：（单位：千米）＋11， -2，＋15， -12，＋10， -11，＋5， -15，＋18， -16 （1）当最后一名乘客送到目的地时，距出车地点的距离为多少千米？（2）若每千米的收费标准为7元，这天下午的营业额为多少？（与路程有关，与方向无关）（3）若成本为1.5元/千米，这天下午他盈利为多少元？有理数减法和加减混合运算一、知识清单（一）探索新知在上一讲中，同学们已经学习了有理数的加法。

七年级数学-有理数的乘方、混合运算、科学记数法

一、选择题1、下列运算中正确的是（）. A. a 2·a 3=a 6 B.=2 C. |（3-π）|=－π－3 D. 32=-92、下列各判断句中错误的是（） A.数轴上原点的位置可以任意选定B.数轴上与原点的距离等于317个单位的点有两个C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点。

3、a 、b 是有理数，若a ＞b 且b a ，下列说法正确的是（）A.a 一定是正数B.a 一定是负数C.b 一定是正数D.b 一定是负数 4、两数相加，如果比每个加数都小，那么这两个数是（）A.同为正数B.同为负数C.一个正数，一个负数D.0和一个负数 5、两个非零有理数的和为零，则它们的商是（）A.0B.-1C.+1D.不能确定 6、一个数和它的倒数相等，则这个数是（）A.1B.-1C. ±1D. ±1和0 7、如果|a|=-a ，下列成立的是（）A.a>0B.a<0C.a>0或a=0D.a<0或a=0 8、（-2）11+（-2）10的值是（）A.-2B.（-2）21C.0D.-2109、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（） A. 3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶 10、在下列说法中，正确的个数是（） ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数A 、1B 、2C 、3D 、411、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（） A 、正数 B 、负数C 、整数D 、不等于零的有理数12、下列说法正确的是（）A 、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；B 、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；C 、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；D 、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；二、填空题 1、在有理数-7，43-，-（-1.43），312--，0，510-，-1.7321中，是整数的有_____________，是负分数的有_______________。

(完整版)有理数混合运算的解题方法和技巧

一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序:①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键.例1:计算：3＋50÷22×(51-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。

例2：计算：()[]232315.011--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-- ③从左向右:同级运算,按照从左至右的顺序进行。

例3：计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--388712787431 二、应用四个原则：1、整体性原则：乘除混合运算统一化乘,统一进行约分；加减混合运算按正负数分类,分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开,分别统一计算。

2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来;运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用.3、口算原则:在每一步的计算中,都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。

4、分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。

如何分段呢？主要有:(1)运算符号分段法。

有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方,其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。

在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。

一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和。

即(先乘方、后乘除、再加减。

）把算式进行分段,关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段,这是进行有理数混合运算行之有效的方法。

（2）括号分段法,有括号的应先算括号里面的。

在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算.（3）绝对值符号分段法.绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段,同时进行计算。

有理数的混合运算及科学记数法

后算中括号，再算大括号。 2．去括号法则：
（1）括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即 (a b) a b ， (a b) a b 。
（2）括号前带正号，去括号后括号内各项不变号，即 (a b) a b 。 (a b) a b
3．带着符号搬家在同级运算中，有时为了方便计算可以带着数字前面的符号搬家。
1989 1988 1987 1986 1985 1984 1983 1982 1981 6 5 4 3 2 1 解：原式 331 9 6 2985。
16
19
19
19
3. 计算
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2005 2006 2007 2008
4. 计算： 1.5 2.2 0.8 ； 2.5 1.1 1.8
5. 计算： 2 2 4 2 2 6.2 5.8 2 2 1 2 2 9 ；
【巩固与提高】 1. 计算
（1） (12) (3) (15) 5
（3） (12) (3) (15) 5
（2） (12) (3) (15) 5
2. 计算下列各题
（1） (1.25) (4) 8 ( 1 ) 25 10
（3） (2 1 3 1 1 4 ) ( 7 ) 3 2 45 6
2
1 2
(3 8
1 6
3) 4
24
(32
4)
(1)2013 ；
4
3.已知 a 5 和 (b 4)2 互为相反数，求[ 4ab ( a b ) ( 1 1 )] (a 2 2ab b2 ) ； ab b a a b
有理数的混合运算（2）
【知识回顾】 1．有理数混合运算的顺序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，