线性代数1.6Cramer法则与行列式应用
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
行列式的应用
解 设 Aij 分别表示元素 aij 的代数余子式
( i , j = 1, 2, 3,4) 。
令 x1 = A11 , x 2 = A12 , x 3 = A13 , x4 = A14 ，代 入方程组。由行列式的性质得， 入方程组。由行列式的性质得，( A11 , A12 , A13 , A14 ) 恰为方程组的一个解。 恰为方程组的一个解。 可逆， 因 A可逆，故 可逆
的系数行列式
a11 a21 D= M
a12 L a1n a22 L a2n ≠0 M L M
an1 an2 L ann
那么该方程组有唯一解
D1 D2 Dn x1 = , x2 = , L , xn = D D D
其中 Dj 是把 D的第 j 列换为常数项后得到的行列式， 的第 列换为常数项后得到的行列式， 即
A1n L A2 n M L Ann
A11 A T A′→( A′ ) A* = 12 → M A1n
An1 An2 M Ann
例 已知
a b A= c d
则
d b A* = c a
是方阵， 性质 设A是方阵，则 是方阵
AA* = A * A =| A | I
为A的伴随矩阵，记为 A *。 的伴随矩阵，
a11 a12 L a1n a a22 L a2 n A = 21 M M M a an2 L ann n1
A11 A aij → Aij A′ = 21 → M An1 A21 A22 M A2 n M M
A12 L A22 M An2
( A11 , A12 , A13 , A14 ) 就是一个基础解系。 因此，所求一 就是一个基础解系。 因此，
这里k是任意常数 是任意常数。 解为 k ( A11 , A12 , A13 , A14 ) ，这里 是任意常数。
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
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carmer法则
carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
1.6高等代数 Cramer法则
1 1 1 2 1 1 1 2
1 4 284, 5 11 5 2 142. 2 0
∴ 方程组有唯一解（1，2，3，－1）.
撇开求解公式，克兰姆法则可叙述为下面的定理 定理1 如果线性方程组（1）的系数行列式 d 0, 则方程组（1）一定有解，且解是唯一的． 推论 如果线性方程组（1）无解或有两个不同解， 则方程组的系数行列式 d 必为零． 定理2 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式
(1)
, bn 不全为零，则称（1）为
非齐次线性方程组， 简记为
aij x j bi , j 1
i 1, 2,
, n.
若常数项 b1 b2
bn 0, 即
a1n xn 0, a2 n xn 0, ann xn 0,
(2)
a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 a x a x n2 2 n1 1
§6 克兰姆法则
一、非齐次与齐次线性方程组的概念 二、克兰姆法则及有关定理
一、非齐次与齐次线性方程组的概念
设有线性方程组
a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 a x a x n2 2 n1 1
若常数项b1 , b2 ,
n
a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .
a1n xn 0 a 2 n xn 0 ann xn 0
有非零解 det(aij ) 0.
例2 问 取何值时，齐次线性方程组有非零解?
(5 ) x1 2 x2 2 x3 0, 2 x1 (6 ) x2 0, 2 x1 (4 ) x3 0.
线性代数习题1.6克拉默法则
b1 a1, j1 a1n bn an, j1 ann
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§1.6 克拉默法则
x1 x2 x3 1
例1.
求解
x1 2 x2 x3 x4 8 2 x1 x2 3x4 3
3x1 3x2 5x3 6 x4 5
ex
:
k为
何
值,
kx1
x2
4 x3
0
, 有非零解.
4 x1 x2 x3 0
2k 3 解 : D k 1 4 0
4 1 1
k 2, k 11
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§1.6 克拉默法则
内容小结
1.用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
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§1.6 克拉默法则
则方程组有唯一解,其解为:
x1
D1 , D
x2
D2 , D
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即
a11 a1, j1 Dj
1.若常数项b1,b2 , ,bm不全为零,
则称此方程组为非齐次线性方程组;
2.若常数项b1, b2, ,bm 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
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克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
生于瑞士，卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。
克拉默法则判断解的情况
克拉默法则（Cramer's Rule）是一种用于解决线性方程组的数学方法。
根据克拉默法则，线性方程组有解的条件是系数行列式不为0，当系数行列式为0时，方程组有无数解。
首先，我们需要了解克拉默法则的基本思想。
对于一个n个未知数n个方程的线性方程组，克拉默法则主张将每个方程左端乘以1，再相加，得到的结果就是原方程组的系数行列式。
这样做的理由是，这个行列式代表了所有方程的公共部分，即所有方程在公共部分上的值都相等。
根据克拉默法则，一个线性方程组有解的条件是其系数行列式不为0。
这个条件有实际意义，因为它保证了至少有一个解（因为若系数行列式为0，则解会变得无规律，不能反映问题的实际含义）。
当系数行列式为0时，方程组可以有无穷多解或者无解（如果还有其他约束条件）。
举个例子来说明这个问题。
假设我们有一个3个未知数4个方程的线性方程组：x + y = 2x - y = 12x + 3y = 3这个方程组的系数行列式为：1 1 21 -1 3该行列式的值为0，所以这个方程组有无数解。
在这种情况下，系数行列式为0保证了存在无数满足条件的x、y值。
如果一个线性方程组的系数行列式为负数，那么该方程组无解。
这是因为克拉默法则要求所有等式都相等（或者说等价），当一个等式不成立时（即系数行列式为负数），所有其他等式也就不再成立，因此方程组无解。
总结起来，克拉默法则判断解的情况主要基于两个条件：一是系数行列式不为0，保证至少有一个解；二是系数行列式为0或负数时，可能有无穷多解、无解或有一组负数的解。
需要注意的是，克拉默法则虽然是一种经典的线性代数方法，但在实际应用中仍存在一些局限性。
例如，克拉默法则只能处理简单线性方程组，对于更复杂的线性系统可能无法得出有效结果。
此外，克拉默法则对系数矩阵的要求较高，如果系数矩阵存在奇异、不适定等问题，克拉默法则可能无法得出正确结果。
因此，在实际应用中，通常会结合其他方法如高斯消元法、LU分解等来处理线性方程组。
克拉默法则及其推广在方程组求解中的应用
克拉默法则及其在方程组求解中的应用数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级赵丽指导教师刘学文摘要：线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。
而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。
本文描述了克拉默法则产生的背景与意义，归纳了克拉默法则及其推广形式的各种证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。
关键词：克拉默法则；线性方程组；消去法Abstract: Linear algebra is an important component of the algebra. Widely used in many branches of science. It is one of the core problems of linear equations. Therefore, usually have two solutions, namely elimination and Cramer＇s Rule. In studying the Cramer＇s rule before, we learn a variety of determinant method, while the Cramer＇s rule is used to solve linear equations of the problem of determinant, the concise, graceful expression is symbolic of a model.Cramer＇s rule is linear algebra A on solving linear equations theorem. It is suitable for variables and equations is equal to the number of linear equations, is a Swiss mathematician Cramer (1704-1752) on 1750, in his" linear algebra analysis introduction" published in..Key words:Cramer＇s rule; linear equations; proof; application引言克拉默法则（Cramer's Rule），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
克莱姆法则求解行列式
克莱姆法则求解行列式1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下内容：概述部分应该介绍文章的主题和背景，同时概述克莱姆法则在求解行列式中的重要性和应用。
可以简要介绍克莱姆法则的定义和原理，以及它在线性代数中的重要性和广泛应用的领域。
克莱姆法则是线性代数中解线性方程组的一种方法，通过利用行列式的性质来求解方程组中的变量。
它得名于法国数学家克莱姆，被广泛应用于数学、物理学、工程学等各个领域中。
在解决实际问题时，常常需要求解一些线性方程组，通过克莱姆法则，我们可以将这一过程转化为求解行列式的问题，从而简化求解过程。
克莱姆法则基于行列式的性质，将方程组的系数矩阵转化为行列式，然后通过计算行列式的值来求解方程组的解。
这种方法在一些具有特殊结构的方程组中特别有效。
克莱姆法则在求解行列式中具有一些重要的优势。
首先，它提供了一种简便的方法来求解行列式，避免了其他复杂的计算过程。
其次，它可以通过行列式的性质直接得到方程组的解，无需进行矩阵的求逆等运算。
这使得克莱姆法则在一些特殊情况下具有更高的效率和精度。
通过本文的研究，我们旨在深入探讨克莱姆法则在求解行列式中的原理和应用，分析其优势和局限性，并总结出一些有关克莱姆法则的重要结论。
在后续的章节中，我们将介绍克莱姆法则的详细原理和应用，并通过具体的例子来说明其实际应用的过程和效果。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下内容进行讨论和阐述克莱姆法则在求解行列式中的应用：1. 克莱姆法则的介绍和原理：我们将详细介绍克莱姆法则的基本概念和原理。
包括行列式的定义和性质，以及克莱姆法则的推导和证明过程。
通过深入理解克莱姆法则的基本原理，我们可以更好地应用该法则解决实际问题。
2. 克莱姆法则的应用：本节将重点讨论克莱姆法则在求解行列式中的具体应用。
我们将通过一些实例和案例来说明如何利用克莱姆法则求解各种规模的行列式。
同时，我们将介绍一些常见的应用场景，如线性方程组的求解和矩阵的逆运算等，以展示克莱姆法则在实际问题中的广泛适用性。
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
《线性代数》克拉默法则
《线性代数》克拉默法则克拉默法则是线性代数中的一种重要方法，它可以用于解决线性方程组的问题。
克拉默法则基于行列式的概念，通过计算各个未知数对应的行列式值来求解方程组。
本文将详细介绍克拉默法则的概念、原理和应用，以及该方法的优缺点。
克拉默法则是由法国数学家克拉默于18世纪创立的，它通过计算系数矩阵的各个子行列式对应的行列式值来求解线性方程组。
设线性方程组为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2......an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann为系数矩阵，b1, b2, ..., bn为常数向量，x1, x2, ..., xn为未知数向量。
则克拉默法则的求解步骤如下：1.计算系数矩阵的行列式值D：D=，a11a12 (1)a21a22...a2........an1 an2 ... an2.计算常数向量和第i列系数矩阵替换的行列式值Di：将第i列系数替换为常数向量，得到新的矩阵Ai，然后计算行列式值Di=，a'11a'12...a'1na'21a'22...a'2........a'n1 a'n2 ... a'n3. 计算未知数xi的值：未知数xi的值等于Di除以D的商，即xi= Di / D。
4.重复步骤2和步骤3，求解所有的未知数。
克拉默法则的优点是简单易懂，可以直接通过计算行列式的值来求解未知数的值，不需要进行矩阵的运算。
同时，克拉默法则适用于各种大小的方程组，不论是2x2的方程组还是nxn的方程组都可以使用该方法求解。
此外，克拉默法则也可以用于求解非线性方程组，只需要将非线性方程线性化后，再使用克拉默法则求解即可。
然而，克拉默法则也存在一些缺点。
首先，克拉默法则在实际应用中计算量较大，特别是当方程组的规模较大时，求解时间会显著增加。
行列式的计算法则
行列式的计算法则行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、线性方程组求解、向量空间等领域都有重要应用。
行列式的计算法则是指在给定一个n阶方阵时，如何通过一定的规则来计算其行列式的值。
本文将介绍行列式的计算法则，包括展开定理、性质与性质的应用、克拉默法则等内容。
一、展开定理对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过展开定理来进行。
展开定理的基本思想是将n阶方阵的行列式表示为n个n-1阶子式的线性组合。
具体来说，对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过以下公式来表示：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n其中，a11, a12, ..., a1n分别为矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别为a11, a12, ..., a1n对应的代数余子式。
代数余子式的计算可以通过递归的方式来进行，即将n阶方阵的行列式表示为n个n-1阶子式的线性组合，直至计算到1阶方阵的行列式为止。
二、性质与性质的应用在行列式的计算中，有一些性质可以帮助简化计算过程。
这些性质包括行列式的转置、行列式的倍乘、行列式的相加等。
具体来说，对于一个n阶方阵A和一个标量k，有以下性质：1. 行列式的转置：det(A^T) = det(A)2. 行列式的倍乘：det(kA) = k^n det(A)3. 行列式的相加：det(A + B) ≠ det(A) + det(B)这些性质可以在实际计算中帮助简化行列式的计算过程，特别是在展开定理的应用中。
通过这些性质，我们可以将一个复杂的n阶方阵的行列式计算简化为一系列简单的步骤，从而提高计算效率。
三、克拉默法则在线性代数中，克拉默法则是一种利用行列式来求解线性方程组的方法。
具体来说，对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A为一个n阶方阵，b为一个n维列向量，x为一个n维未知向量，如果A的行列式不为0，那么方程组有唯一解，并且可以通过以下公式来表示：xi = det(Ai) / det(A)其中，Ai是将A的第i列替换为b得到的新矩阵，det(Ai)为新矩阵的行列式。
线性代数 克莱姆(Cramer)法则
克莱姆(Cramer) 法则◼克莱姆(Cramer) 法则克莱姆(Cramer) 法则◼概念◼n阶线性方程组的解在这一节里,⚫克莱姆（Cramer ）法则我们讨论用n 阶行列式解n 元线性方程组的问题.设n 个未知量,n 个方程的线性方程组为11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1.4.1)⚫克莱姆（Cramer ）法则称为方程组(1.4.1) 的系数行列式.111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =定义1.4.1b1,b2,…,b n不全为零时，当线性方程组(1.4.1)右端的常数项当b1,b2,…,b n全为零时，称为非齐次线性方程组；称为齐次线性方程组.如果线性方程组则方程组有唯一解，11112211211222221122 1.4.1n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（）的系数行列式D ≠0,定理1.4.1 (克莱姆(Cramer)法则)非齐次线性方程组n n D x D =( 1.4.2 )并且解可以用行列式表示为22,D x D =11,D x D =33,D x D =,其中D j (j =1,2,…,n ) 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组（1.4.1）右端的常数项b 1,b 2,…,b n 代替后所得到的n 阶行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=11112211211222221122 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩证先求x 1,分别用A 11,A 21,⋯,A n1同时A 11A 11A 11A 21A 21A 21A n1A n1A 11A 21A n1A n1乘以第1个方程到第n 个方程两边,得：将这n 个方程两边分别相加，得：Dx 1+0x 2+⋯+0x n =D 1即Dx 1=D 1.因D ≠0，所以x 1=D1D .同理可求.j j D x D =然后将11,D x D =22,D x D =33,D x D =nn D x D=,带入原方程组验证即可.证毕.因为显然齐次线性方程组总是有解的, 如果齐次线性方程组的解x 1, x 2,…, x n 不全零解.则称为非零解.为零, x 1=0, x 2=0, …, x n =0 就是它的一个解, 称为若齐次线性方程组10nij j j a x ==∑，12,i n =，，(1.4.4)的系数行列式D ≠0 ,又因为常数项均为0,定理1.4.2证因为D ≠0 ，于是0jj D x D ==1,2,,j n =（）.所以方程组(1.4.4)有唯一解.那么D j =0 (j =1,2,…,n ) .则它只有唯一的零解.推论若齐次线性方程组（1.4.4）有非零解，则系数行列式D=0.克莱姆法则解决了方程个数和未知量个数相等且系数行列式不为零的线性方程组的求解问题，在线性方程组的理论研究上具有十分重要的意义.但是当n 元线性方程组中未知量的个数应用克莱姆法则计算量还是比较需要寻求更简单的方法.我们在第四章中讨论.关于一般的n 较大时，大的，线性方程组的解法，例112341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +−+=⎧⎪−−=⎪⎨−+=−⎪⎪+−+=⎩解线性方程组系数行列式D =解2151130602121476−−−=−−270≠又1D =8151930652120476−−−=−−−81，108−2851190605121076−−=−−−2D =3D =27−，4D =27由克莱姆法则，113D x D ==224D x D ==−331D x D ==−441D x D ==方程组有唯一解例21231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+−=⎨⎪−+=⎩有非零解.k 为何值时，方程组解1111211k D k =−−由定理1.4.2的推论知，若齐次线性方程则其系数行列式D =0. 因为(1)(4)k k =+−k = −1或k =4 时，方程组有非零解.所以, 组有非零解，例3解22()0a x y bx cy d ++++=（1.4.5）这个方程含有四个待定系数a ,b ,c ,d , 给定平面上不共线的三个点(x 1,y 1), (x 2,y 2),(x 3,y 3),平面上一般圆的方程为求过这三个点的圆的方程.且a ≠0.点(x 1,y 1), (x 2,y 2),(x 3,y 3)在圆上，应满足方程(1.4.5),于是得到一个以a ,b ,c ,d 为未知量的齐次线性方程组.22221111222222223333()0,()0,()0,()0.a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d ⎧++++=⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩(1.4.6)由于a ≠0 ，齐次线性方程组(1.4.6) 有非零解.经展开后，就为所求圆的方程.222211112222222233331111x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++由定理1.4.2的推论,(1.4.6) 的系数行列式应为零，即例401()n n f x a a x a x =+++(0)n a ≠最多有n 个互异的根.试证: n 次多项式证若不然,将其逐个代入方程f (x )=0,可得设f (x ) 有n +1个互异的根c 0,c 1,…,c n ,010********00n n nn n n n n a a c a c a a c a c a a c a c ⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1.4.7) 把a 0,a 1,…,a n 看作未知量,则(1.4.7)是由n +1个其系数行列式未知量n+1个方程组成的一个齐次线性方程组,200021112111n n nn n nc c c c c c D c c c =为n +1阶范德蒙行列式的转置,故D ≠0 .由定理1.4.2,从而a n =0,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,此与题设条件矛盾. 证毕.ቐa +b −2c =−2a −2b +3c =92a −3b +c =1思考题用行列式求下列方程组中的c 值为1310。
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆法则是线性代数中的一个定理，用于求解n元线性方程组的解。
它有两种证明方法：代数法证明和几何法证明。
1. 代数法证明：
- 首先，假设有一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个
n×n的矩阵，x和b是n维列向量。
- 根据克莱姆法则，如果A是可逆矩阵，即det(A)≠0，那么方程组有唯一解，解为x=A⁻¹b，其中A⁻¹是A的逆矩阵。
- 现在我们使用线性代数的定理，在矩阵A的逆矩阵存在的条件下，通过线性方程组的变换可以得出唯一解的表达式。
- 我们可以通过对Ax=b两边同时左乘A的逆矩阵A⁻¹，得到x=A⁻¹b。
- 这样就证明了克莱姆法则成立。
2. 几何法证明：
- 首先，我们将n元线性方程组转化为矩阵形式Ax=b，并将其视为方程组的几何表示。
- 根据几何直观，如果矩阵A是可逆的，即行向量或列向量的线性组合不为零，那么方程组有唯一解。
- 当A是可逆矩阵时，矩阵A的行向量或列向量构成一个n维的空间，称为列空间或行空间。
- 如果矩阵A是可逆的，那么由于列空间或行空间的维数等于n，所以方程组有唯一解。
- 因此，几何上的直观理解也证明了克莱姆法则的成立。
这些证明方法都是基于线性代数的基本原理和定理，可以通过严谨的推导和数学推理来证明克莱姆法则的正确性。
线性代数-克拉默法则
克拉默法则先复习在前面得出以下结论：{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2当系数行列式D=|a11a12a21a22|≠0方程组有解：x1=|b1a12b2a22||a11a12a21a22|=D1Dx2=|a11b1a21b2||a11a12a21a22|=D2D那么：{a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3当系数行列式D=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|≠0，方程组有解：x1=|b1a12a13b2a22a23b3a32a33||a11a12a13a21a22a23a31a32a33|x2=|a11b1a13a21b2a23a31b3a33||a11a12a13a21a22a23a31a32a33|x3=|a11a12b1a21a22b2a31a32b3||a11a12a13a21a22a23a31a32a33|本节要将以上结论推广到含有n个未知数的线性方程组。
设有n个未知数工x1，x2，⋯x n，的n个线性方程的方程组：{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n可表示为：Ax=b其中系数为A，未知数为x，常量为b。
克拉默法则（Cramer’s Rule）如果线性方程组Ax=b的系数行列式不等于零：{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n，|A|=|a11a12a21a22⋯a1n⋯a2n⋯⋯a n1a n2⋯⋯⋯a nn|≠0则线性方程组Ax=b有唯一解：x1=|A1||A|，x2=|A2||A|，⋯，x n=|A n||A|其中A j是把A中的第j列的元素用方程组右端的常数项代替后得到的矩阵：|A j|=|a11⋯a1，j−1b1a21⋯a n1⋯⋯⋯a2，j−1⋯a2，j+1b2⋯b na1，j+1⋯a1na2，j+1⋯an，j+1⋯⋯⋯a2n⋯a nn|(j=1，2，⋯，n)注意：|A j |=|a 11⋯a 1j−1b 1a21⋯a n1⋯⋯⋯a 2j−1⋯a 2j+1b 2⋯b na 1j+1⋯a 1n a 2j+1⋯a nj+1⋯⋯⋯a 2n ⋯a nn| |A |=|a 11a 12a21a 22⋯a 1n ⋯a 2n⋯⋯a n1a n2⋯⋯⋯a nn|按第j 列展开 =b 1A j +b 2A 2j +⋯+b n A nj其中A ij 是|A |的第j 列元素的代数余子式。
线性代数：Crame法则
10
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
11
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
9
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
n
n , j1
nn
5
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
4
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
线性方程组Crammer法则
证明 将方程组（2.1)表为矩阵形式
AX B (2.2)
其中A (aij )nn, X (x1, x2,...,xn )T , B (b1,b2,...,bn )T .
由于det A 0, 故A可逆.
X A1B (2.3)（注意与 BA1的区别）
由A1 1 A*, 从而上式成为
（2）解是唯一的
（3）求解公式 x j
det Bj det A
强调完全解决三个问题
例 2x1 x2 x3 3
x1
x2
2
2
x1
x2 2
3
x1 x2 2
x1x1
x2 x2
3
2
例1 解线性方程组
x1 2x2 x3 3 2x1 x2 x3 3 x1 4x2 2x3 5
1 5 2
1 31 31
0
3
1
8
11 1
0 8 1
123 det B3 2 1 3
1 4 5
12 3 5 0 5 3 6 0 6 8
故方程组的解为
x1 x2
3 1
x3 2
3 22
8
如果方程组（2.1）中，所有常数b1，b2， ，bn 全为零，则称线性方程组为齐次线性方程组．
否则称为非齐次线性方程组．
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a21x1 a22x2 a2nxn 0, an1x1 an2 x2 ann xn 0.
而齐次线性方程组除了存在零解 （x1 x2 xn 0）外，还可能存在非零解。
用cramer法则解方程组
用cramer法则解方程组
Cramer法则是用于解决线性方程组的方法，特别适用于方程个数和未知数个数相等的情况。
下面是使用Cramer法则解决方程组的步骤：
1. 可以将线性方程组表示为矩阵形式。
假设有n个未知数和n 个方程，则方程组可以表示为Ax = b的形式，其中A是一个n×n的系数矩阵，x是一个n×1的未知数向量，b是一个n×1的常数向量。
2. 计算系数矩阵A的行列式值det(A)，如果det(A) = 0，则Cramer法则无法解决该方程组，因为A的逆矩阵不存在。
3. 对于每个未知数xi，使用Cramer法则计算其对应的解xi。
具体步骤如下：
a) 创建一个临时矩阵Ai，将A的第i列替换为常数向量b。
例如，如果有三个未知数，则创建三个临时矩阵A1、A2和A3。
b) 计算临时矩阵Ai的行列式值det(Ai)。
c) 使用公式xi = det(Ai)/det(A)计算xi的值。
4. 将每个未知数的值xi作为方程组的解。
请注意，Cramer法则的主要限制是它的计算复杂度较高，尤
其是对于大型矩阵。
在实际应用中，可以使用其他更高效的解决线性方程组的方法。
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齐次线性方程组 (2) 一定有零解，但不一定有非零解.
以上说明：如果齐次线性方程组(2)的系数行列式
D 0，则齐次线性方程组(2) 没有非零解. 推论： 如果齐次线性方程组 (2) 有非零解，则
它的系数行列式必为零.
2 0 4 (5 )(6 )(4 ) 4(4 ) 4(6 )
(5 )(2 )(8 ), 由D 0 , 得 2、 5或 8 .
不难验证，当 2、5或8时，所给方程组有非零 解 .
1 4 16 64
是范德蒙德行列式，可得 D 1 2 3 1 2 1 12 .
3 11 1
0 10 0
而
4 D1 3
2 3
4 9
8 27
cc43
cc32
c1 3c2
2 6
2 3
24 6 18
3 4 16 64
15 4 12 48
2 2 4
0 24
(1)3 6
6 18 c1 1 c2 0
6 18
24
(3)
15 12 48
3 12 48
13 1 1
6 18
36 ;
14 D2 1 3
4 8 18 ; 9 27
1 3 16 64
11 3 1
11 1 3
12 D3 1 3
4 3
8 24 ; 27
1 D4 1
1.6行列式的应用－Cramer法则
克拉默法则
含有n个未知数x1, x2,, xn的n个线性方程的方
程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
.a.2.1..x.1......a.2.2..x.2.
........
a2n xn b2 , ..................
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
与二、三元线性方程组类似，
它的解可以用n 阶行列式表示.
定理：克拉默法则 如果线性方程组 (1)的系数行列
式不等于零，即
a11 a1n
D 0,
那么，方程组 (1)有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
an1 ann
解 把四个点的坐标代入曲线方程，得线性方程组
a0 a1 a2 a3 3, 其系数行列式 1 1 1 1
a0 2a1 4a2 8a3 4, a0 3a1 9a2 27a3 3,
12 4 8 D
1 3 9 27
a0 4a1 16a2 64a3 3.
例2
问取何值时，齐次线性方程组
(5 )x 2 y 2z 0, 2x (6 ) y 0, 2x (4 )z 0
有非零解？
解 由Cramer法则推论可知，若所给齐次线性方程组有
非零解，则其系数行列式D 0 .
5 2 2 而 D 2 6 0
零时，线性方程组(1) 叫做齐次线性方程组.
a11x1 a12x2 a1n xn 0, 对于齐次线性方程组.a..2.1.x..1.....a..2.2.x..2.............a..2.n.x..n......0..,.. (2)
an1x1 an2 x2 ann xn 0, x1 x2 xn 0一定是它的解,这个解叫做齐次线性方程 组 (2) 的零解.
,
xn
Dn D
,
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n
Dj . Nhomakorabeaan1 an, j1 bn an, j1 ann
例1
设曲线y a0 a1x a2 x2 a3 x3通过四点
(1,3)、(2,4)、(3,3)、(4,3)，求系数a0，a1，a2，a3。
2 3
4 9
4 6 . 3
1 4 3 64
1 4 16 3
因此，按克拉默法则，得唯一解 a0 3, a1
3 2
,
a2
2,
a3
1, 2
即曲线方程为 y 3 3 x 2x2 1 x3 .
2
2
线性方程组（1）右端的常数项b1,b2 ,,bn不全为零时，
线性方程组(1) 叫做非齐次线性方程组，当b1,b2 ,,bn全为