2018年高考数学文科考点过关习题第五章不等式推理与证明算法初步与复数36和答案

考点测试36 合情推理与演绎推理一、基础小题1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴；……，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A．6－6－1只B．66只C．63只D．62只答案 B解析根据题意可知，第一天共有蜜蜂1＋5＝6只；第二天共有蜜蜂6＋6×5＝62只；第三天共有蜜蜂62＋62×5＝63只；……；故第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂65＋65×5＝66只，选B.2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n＝( )A．2n ＋2B．2n n＋C．22n－1D．22n－1答案 B解析由a1＝1，可得a1＋a2＝4a2，即a2＝13，同理可得a3＝16，a4＝110，所以选B.3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an－1＋1an－1，由此归纳出{a n}的通项公式答案 C解析A、D是归纳推理；B是类比推理；C运用了“三段论”是演绎推理．5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )答案 D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．6．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”；④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”．其中类比结论正确的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①在复数C 中，若两个复数满足a －b ＝0，则它们的实部和虚部均相等，则a 、b 相等，故①正确；②在有理数Q 中，若a ＋b 2＝c ＋d 2，则|a －c |＋2(b －d )＝0，解得a ＝c ，故②正确；③若a ，b ∈C ，当a ＝1＋i ，b ＝i 时，a －b ＝1>0，但a 、b 是两个虚数，不能比较大小，故③错误；④若Z ∈C ，当Z ＝12i 时，|Z |<1，但是Z 是虚数，不能比较大小，故④错误，故只有两个结论正确，选B.7．已知2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若a ＋7t＝a 7t(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则t－a ＝( )A ．31B ．41C ．55D ．71答案 B解析 观察所给的等式，等号左边是2＋23， 3＋38， 4＋415，…，等号的右边是223，338，…，则第n 个式子的左边是 n ＋＋n ＋1n ＋2－1，右边是(n ＋1)·n ＋1n ＋2－1，故a ＝7，t ＝72－1＝48.t －a ＝41，故选B.8．已知结论：“在正△ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是△ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A －BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63，r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 条“金鱼”需要火柴棒的根数为________． 答案 6n ＋2解析 由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋2×6根火柴棒，以此类推第n 个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6(n －1)，即6n ＋2.10．在△ABC 中，角C 的内角平分线CE 分△ABC 的面积所成的比例为S △AECS △BEC＝ACBC.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于点E ，则类比的结论为________．答案V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC解析 此类问题由平面类比到空间，则可由面积类比体积，由长度类比面积，由S △AEC S △BEC ＝AC BC ，类比得V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC. 11. 如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，则在第二十个拐弯处的正整数是________．答案 211解析 观察题图可知， 第一个拐弯处2＝1＋1， 第二个拐弯处4＝1＋1＋2， 第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3， 第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4， 第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211.12．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0；将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体A －BCD 内一点，则有________．答案 V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 解析 由线段到平面，线段的长类比为面积， 由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为：O 是四面体A －BCD 内一点， 则有V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0. 二、高考小题13．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．30秒跳绳决赛的有6人，则( )A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛答案 B解析因为这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，故立定跳远成绩排名最后的9号和10号学生就被淘汰了．又因为同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则1～8号学生中必有2人被淘汰，因为a－1<a，其余数字最小的为60，故有以下几种情况：①若a－1≥63，此时淘汰的不止2人，故此种情况不可能；②若a－1<a<60，此时被淘汰的为2号和8号；③若60≤a－1<a≤63，此时被淘汰的为4号和8号．综上，8,9,10号学生一定会被淘汰，2号有可能会被淘汰，故选B.14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．答案1和3解析丙的卡片上的数字之和不是5，则丙有两种情况：①丙的卡片上的数字为1和2，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和3，满足题意；②丙的卡片上的数字为1和3，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和2，这时甲与乙的卡片上有相同的数字2，与已知矛盾，故情况②不符合，所以甲的卡片上的数字为1和3.15．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.答案4nn ＋3解析 观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n n ＋3.16．观察下列等式： 1－12＝12；1－12＋13－14＝13＋14；1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16；……据此规律，第n 个等式可为________．答案1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n解析规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2，…，2n，分子为1，奇数项为正、偶数项为负，即为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n；等式右边共有n项且分母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为1n＋1＋1n＋2＋…＋12n .所以第n个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n. 17．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．答案 A解析根据甲、乙、丙说的可列表得18．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．答案201解析当a≠2正确时，c＝0，b≠2，{a，b，c}中没有元素2，与集合相等矛盾，①不正确；当b＝2正确时，c＝0，a＝2，这与集合元素的互异性矛盾，②不正确；当c≠0正确时，a＝2，b≠2，此时b＝0，c＝1，符合题意，这时100a＋10b＋c ＝201.三、模拟小题19．①已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则①②两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理答案 A解析 ①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.20．某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )A ．今天是周六B ．今天是周四C ．A 车周三限行D ．C 车周五限行 答案 B解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.21．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a 2009＋a 2010＋a 2011等于( )A．1003 B．1005C．1006 D．2011答案 B解析观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．则a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.又2009＝4×503－3,2011＝4×503－1，∴a2009＝503，a2011＝－503，a2010＝1005.∴a2009＋a2010＋a2011＝1005.22．设函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＋x2＝2a时，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)＝x3＋sin x＋1图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(－2016)＋f(－2015)＋f(－2014)＋…＋f(2015)＋f(2016)＝( ) A．0 B．2016C．4032 D．4033答案 D解析函数y＝x3与y＝sin x均是奇函数，因此y＝x3＋sin x是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，函数f(x)＝x3＋sin x＋1的图象关于点(0,1)对称，于是有f(－x)＋f(x)＝2，因此f(－2016)＋f(2016)＝2，f(－2015)＋f(2015)＝2，…，f(0)＝1，所求的和等于1＋2016×2＝4033，选D.23．已知cos π3＝12；cos π5cos2π5＝14；cos π7cos2π7cos3π7＝18；…根据以上等式，可猜想出的一般结论是________．答案cosπ2n＋1cos2π2n＋1…cosnπ2n＋1＝12n，n∈N*解析观察所给等式，左侧项数依次递增，角的分母是奇数列，右侧分母是2n，故可猜想出一般结论为cosπ2n＋1·cos2π2n＋1…cosnπ2n＋1＝12n，n∈N*.24．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．答案465解析类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ①，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ②，由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ③.令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝A＋B2，β＝A－B2，代入③得sin A＋sin B＝2sin A＋B2cosA－B2.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A－cos B＝－2sin A＋B2sinA－B2；(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A－cos2B＝1－cos2C，试判断△ABC的形状．(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)解(1)证明：因为cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝A＋B2，β＝A－B2，代入③得cos A－cos B＝－2sin A＋B2sinA－B2.(2)由二倍角公式，cos2A－cos2B＝1－cos2C可化为1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C，所以sin2A＋sin2C＝sin2B.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．2．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝3 4 .证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34. 3．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”．(1)数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可)；表1(2)数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值．表2解(1)解法一：(2)每一列所有数之和分别为2,0，－2,0，每一行所有数之和分别为－1,1.①如果首先操作第三列，则则第一行之和为2a－1，第二行之和为5－2a，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以a≤12或a≥52.当a≤12时，则接下来只能操作第一行，则此时每列之和分别为2－2a,2－2a2,2－2a,2a2，必有2－2a2≥0，解得a＝0，－1.当a≥52时，则接下来操作第二行，则此时第4列和为负，不符合题意．②如果首先操作第一行，则则每一列之和分别为2－2a,2－2a2,2a－2,2a2，当a＝1时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉；当a≠1时，2－2a,2a－2至少有一个为负数，所以此时必须有2－2a2≥0，即－1≤a≤1，所以a＝0或a＝－1，经检验，a＝0或a＝－1符合要求．综上a＝0，－1.。