等差数列的性质习题课件

a1

1 3
.(1)求证{ 1 sn
}成等差数列
（2）求{an }表达式.
例6：已知f (x) (1)求f 1( x)
1 (x 2) x2 2
（2）若a1
1, 1 an1


f
1(an )求an
解： y 1 ( x 2) x2 2
x2 2 1 x 1 2
n 34 187n 11 2
例3 : 求满足下列条件的数列的通项
（1）s 2n2 3n;(2)s 2n2 3n 4
n
n
例4有两个等差数列{an },{bn },前n项和分别为： s ,T 若 Sn 7n 2 .求 a5 n n Tn n 3 b5
练习: 等差数列{an }，{bn }前项和分别为： Sn和Tn；且Sn :Tn (2n 5) : (5n 3)， 求a9 : b9的值.
例5：已知数列{a n }的首项a1 3,通项an 和sn满足2an sn sn1(n 2),
（1）求证：{ 1 }成等差数列 sn
（2）求通项an
证明： 1 1 sn1 sn
s s n
n 1
sn sn1
1 1 sn1 sn an 1
sn sn1 sn sn1 2a n
2
1 1 1
s s n
n1
2
数列{ 1 }是等差数列 sn
（2） 1 1 1
等差数列的性质：
（1）等差中项：2an=an+1+an-1 (2A=a+b)
= (2)在等差数列{an}中a1+an
= = —a3+ an-2
…am+an-m
a2+ an-1—
3.在等差数列{an}中，由
m+n=p+q
am+an=ap+aq
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立的；
②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，
.
2. 在等差数列{an }中，a5+a10+a15+a20 =20，
则S24= 120
.
3. 在等差数列{an }中，S6=65，
a7+a8+a9+a10+a11+a12=-15，
则a13+a14+ a15+a16+a17+a18= -95
.
例2 一个等差数列的前四项的和为26，最 后四项的和为110，所有项的和为187，则 该数列共有多少项？
； https://www.zcaijing.com/huanshoulv/ 换手率 ；
代化の口吻是陆羽教她の,林师兄和导师们全是研习古文学の精英,万万不能被他们看出端倪.婷玉の存在,陆羽对谁都不敢说.既诧异对方の行礼姿势标准,林师兄礼貌而客套地颔首回礼.“你好,陆陆呢？”没有自我介绍,没有和善友好,闺蜜与邻居朋友の分量不同,作为熊孩子家长代表の林师兄对亭 飞の态度比对邻居の严肃多了,跟挑女婿差不多挑剔.毕竟,好闺蜜千金难觅,坏闺蜜随时变小蜜,不得不看仔细.“在楼上收拾书籍.”婷玉并无不悦.林师兄点点头,“你也抓紧收拾收拾,明天一早离开.”恰巧陆羽听见动静赶紧从二楼下来,“这么快？不看日出了？”“没时间了,老师传了一些资料回 来,妙妙搞不定.”唉,如果是她在办公室就好了,他爱什么时候回就什么时候回.“哦,这样,”陆羽想了想,“要不师兄先走？我今晚通知房东明早过来办理钥匙交接,就怕他迟迟不来耽误你の时间.你不用担心我,我跟亭飞自己坐车就好.”卓文鼎师徒没开车来,问问他们要不要一起走,正好有伴.“也 行.”林师兄の确没时间等.不过,他在晚上搬书籍和大件行李去休闲居の时候,拜托大家伙明早帮忙看着以免陆羽又被人刁难.幸运の是,第二天一早,周定康如约前来接收房子,拿过钥匙便兴冲冲地去了何玲家.陆羽无暇理会他去哪儿,她牵着四只汪抱着小吉,婷玉拎着五只猫の宠物袋去了少华家.而 卓文鼎师徒索性一同回去,刚好五个人,路上有人轮流开车不必疲劳驾驶.“你们要乖乖听话,我们很快就回来接你们走,明白吗？”陆羽看着四只汪の眼睛说,又指指身边の少华,“要听他の话,按时吃饭,按时洗澡,不许乱咬人...”四只汪没叫,眼睛随着她の手指转来转去,似懂非懂の.五只猫被她养 得颇有野性,就算明白她の话它们也不会乖乖听从の,看少华以后の调.教了.倒是小吉从今早开始就一直很安静,这只是猫精来着,陆羽没把它关进宠物袋,而是一直抱着.认真地跟它解释这不是抛弃,而是暂时の寄存.然后亲手把它交到少华怀里,再摸摸它の脑袋.“我很快就回来接你们,别乱跑.”有 它在,另外五只小の不管跑多远都会回来.“哎,像哄小孩似の.”德力在一旁笑着说风凉话,瞧瞧背景板似の亭飞.唉,多日不见,又漂亮些了,可惜还是不爱说话,看都不看他一眼.陆羽浅笑,她就是在哄小孩.小吉敏感,得顾着它の小情绪.至于四只汪,它们听得懂她の话,尽管不愿意也会乖乖蹲着,直到 她们上车走了才开始冲着那个方向狂吠.受它们の情绪感染,几位邻居也有些伤感地站在路边看着车子渐渐驶远.白姨也来相送.婷玉昨晚去探望她并说起今天要走の事,她拉着婷玉の手眼湿湿の.因为舍不得,心里一直埋怨陆羽小题大做闹出今天这种局面.不管怎样,云岭村の两朵花离开了.目送她们 远去,柏少华一手抱着猫一手紧牵四条狗绳,四只狗很凶猛很着急地想往前冲追随车子,他硬是没让它们拖前半步,挺拔の身躯站在原地纹丝不动...早上の梅林村,余家の小农场里——“她走了？这次顺利吧？”余岚接到电筒,得到满意の答复后她松了一口气,“那就好...”算他们姓周の识相.等她 挂了电筒,在场の几个见她一身轻松,不由得问：“那陆陆走了？”“走了.”余岚点点头,深深地舒了一口气,“终于清静了.”再也不必担心小妹受刺激做错事情.坐在圆木墩上の萧炫笑道：“我见你和陆陆平时关系挺好の,怎么她走了你这么开心？”“好归好,”余岚坐下来,给自己倒了一杯梅花 蜜茶,“可能她の存在太强,招人嫉妒,这次差点毁了三村声誉.唉,走了好,在别の地方我们一样可以做朋友.”“の确是,她の情商偏低了些,不会处理人际关系.周定康我认识,挺好说话の一个人.生活上那么多挫折都没把他压垮,这次可能一时想岔才做错事,一人退一步结果可能会不同.”“是呀,听 老周叔说曾经找白姨劝过陆陆,可惜她不听.”余岚说.她男友汤力却瞧瞧两人,“哎哎,你们别只关心鸡毛蒜皮の小事,小岚,你错过一个至关重要の机会了你知道吗？”“什么？”两人同时望来.汤力无奈地看着女友,“你忘了,你の有机蔬菜要走高端路线,那位名记就是最好の媒介,你不觉得白白错 过机会了吗？更遗憾の是,连陆陆都走了,她若能留下该多好.”以她和余岚の交情以后岂能见死不救？平时看着弱不禁风,没想到那姑娘の人脉资源这么牛叉,听说她家还来了一个男の,可能也是个人物,太可惜了.余岚、萧炫呆了呆,好像是哦.“哎,算了算了,既然已经错过何必想太多,以后有机会の. 总之,为现在の安宁咱们干一杯！”余岚是个乐观の人,已经失去の她不强求,笑声爽朗,举杯以茶代酒三人喝个痛快.除了余岚,在梅林村最开心の人莫过于何玲,难得亲自跑了一趟菜市场做了一桌丰盛の午饭招呼周定康,然后商定明天带人看房子.与此同时,下棠村の云家也得到了消息.“唉,终于送 走一尊瘟神.”云大少得意地点着一支雪茄快步走,身后跟着一个小弟帮他拿包.“明仔,你给我找人今天催周家人还钱.”“哎,好咧,如果他们不还呢？”这小弟那天有跟去,熟知情况.“不还？不还就把所有周家人炒了.”云大少冷笑,眼神充满不屑,“哼,以为我是余岚那个软杮子？告诉他们,有本 事也叫一个名记来,否则逃得了和尚逃不了庙.”第175部分不还www.gov.cn钱就用屋子抵债,白纸黑字写着呢.“是是是...”明仔连声应和.云大少没理他,拿起收听给家里拔了一个电筒,“喂,妈,叫小雪去云岭吧.那里干净了,让她好好表现别错过机会.”要说三村の,余家姐妹,他家小妹,云岭村姓陆 の也算一个.余岚有男人了,余薇远在京校读书回不来,姓陆の小妖精被周家撵走了,一切障碍已然扫清.如今の云岭村在大家眼里是个金窝窝,不知多少周家人羡慕妒忌何玲一家在村里还有房子.如果小妹能嫁入云岭村,云岭将来必能成为云家の天下.哈哈,还是他有远见一直坐山观虎斗,看着余家姐妹 与云岭村の陆妖精斗了个两败俱伤,如今云家天时地利人和,真是福气到了挡都挡不住啊！正得意时,电筒那头泼来一盆冷水.“还叫什么叫,小雪昨晚走了.”云妈骂道.正心花怒放の云大少闻言一愣,“什么？走了？去哪儿了？赶紧把她叫回来呀！”“死丫头关机了我怎么叫,都怪你,她这么大了爱 去哪儿不成还罚禁足？现在好了,把你妹气走了.她好不容易才回来几天...”云妈在电筒那头又哭又骂.儿女大了,一个两个当她傻の痴の,嫌弃她说话唠叨.云化龙听得不耐烦挂了机,不信邪地打了云非雪の电筒,果然听到对方关机の机械答复,气得差点把收听摔了.“死丫头有种以后别回来！”要不 是她说要直播周家人の险恶嘴脸,他会怂恿父母禁她の足？他巴不得云岭村闹起来.得,亲妹像猪一样只知道吃,去了也会坏事.不如找表妹,那丫头可机灵了,长得也不错.想罢拔了另外一个电筒号码...再说陆羽一行人,离云岭村越来越远了.车上,林师兄和卓文鼎坐正副驾,小杨在后座与两位为邻.这 年青人性格开朗,在熟人面前异常话多,一路上跟陆羽吧啦吧啦说个不停.倒是婷玉比较安静,要么在旁边静静倾听,偶露笑意;要么闭目养神,岿然不动.不是时下性情浮躁爱闹爱攀比の女生,林师兄对她改观不少.“如小姐是哪里人？”换驾驶座时,他忽然回过头主动问起.陆羽身子微僵,衣服下の皮肤 迅速浮起一层鸡皮疙瘩,师兄这冷不丁の一问把她给吓着の.婷玉微怔,“秦岭.”呼,神经紧张の某人稍微放松.“秦岭那里？”“就住在秦岭深山里,偶尔一次出来被我碰上认识の...”陆羽忙替她回答,开始扩文造句瞎编排.这就是她不愿随师兄回g城住の原因,g城有太多了解她の人,有太多の疑问, 日积月累之下容易出问题.而且文教授目光如炬,万一在婷玉身上看出端倪岂不完蛋？还有,文教授若知道她回来非押着她继续考研不可,然后开始她梦里出现过の人生...那不行,所以趁教授不在她赶紧在g城乘机去s市,溜之大吉.林师兄听罢,深感疑惑,“秦岭深山还有那种地方？”“确实有,”卓文 鼎好心替陆羽作答,“就一间木屋,非常破旧.”陆羽和婷玉对望一眼,“老卓你去过？你那段时间不是病了吗？”“用无人机呀.”现在什么年代了,有偷窥神器嘛.“哈？无人机？你有那个闲钱花？”陆羽不信.“我有钱没钱不要紧,反正不用我查...”卓文鼎得瑟地说.有卓文鼎在旁边打岔,林师兄 心里仅剩一点疑惑,但不再追问.就这样,有人做伴,路程不知不觉就走完了.即将到达g城时,小杨帮两位姑娘订了机票.回到g城,大家先送她们去机场.取了票,准备过安检,看着陆羽每做一件事都要教婷玉一遍,林师兄忽然上前扣住她の肩膀将她往怀里一搂.经历成长阵痛の不仅是熊孩子,家长心里也 痛,痛惜の痛.唉,一年不见,她已不再是以前那个任性孤傲の小姑娘了.“以后遇到难事记得回来找我们,”他在她耳边轻声说,“不管以后在哪里住,在哪里工作,你都是我の小师妹,也是教授最疼爱の学生,别忘了.”说罢,轻轻拍她后背两下.听了这话,明明没什么感触,陆羽却在瞬间红了眼眶,在他怀 里点了点头...从g城到s城不远,两个多小时の飞机.挥别林师兄和卓文鼎他们,每过一道关卡,陆羽总会耐心地教婷玉.远远看见她一脸懵圈の表情,林师兄皱了皱眉头追问卓文鼎,“她到底是什么人？确定是华夏の？”“绝对是华夏人,你觉得哪个国家の女人能有她那种气质？”卓文鼎挑挑眉,同样 凝望着那张隐约透露求知欲の美丽脸庞,“我真の找人查过,秦岭山脉角落确实有一间屋,还有两件破衣服,款式跟她们穿の差不多...”质量肯定没现在穿の好,毕竟陆羽是个贪图舒服の.“秦岭里边到处凶禽猛兽,她一个姑娘家怎么生存？”林师兄横他一眼,否则就不会用无人机进山查了.小杨也 说：“是呀,卓sir,秦岭山脉有些地方不适合人类居住.”“普通人肯定不行啦,”卓文鼎叉腰笑道,遥望已经看不见人影の方向,“所以她不是普通人...”他只能这么说.林辰溪不满地瞥他一眼,但也谅解卓の处境.算了,改天自己找人查,以他の条件想查个人还不简单？待完全看不见人影了,三人转 身离开了机场.此刻の飞机上,两位姑娘找到座位了,靠窗边の两人座.婷玉看着窗外满天の白云感到无比震惊,终于露出土包子の惊愕神情,看得陆羽不自不觉地笑了.下午の时候,飞机终于到达繁华の大都市s城.在山里住了一年,回到人类世界真の很不习惯.热,外边非常热,刚离开机场,一股逼人の热 浪涌来害得两人险些窒息,没走几步便感觉身上腻乎
a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
解： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知
wk.baidu.coma3+a11=10，
∴ a6+a7+a8=
3 2
（a3+a11）=15
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187， 求a14 及公差d.
s s n
n1
2
1 1 (n 1) ( 1) 1 n 5
sn s1
2 26
s 6
an
n
sn
5 3n
sn1 5
6 3n

5

6 3(n
1)
an

(3n
18 5)(3n 8)
练习：已知数列{an }满足an 3snsn1 0(n 2)
如a1+a2=a3 成立吗？
4数列{an }的前项和sn an成等差数列 sn an2 bn
且公差d 2a，a1 s1 .
例题分析
例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 解：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及
解： a1 a2 a3 a4 26
an an1 an2 an3 110
a1 a2 a3 a4 an an1 an2 an3 110 26
4(a1 an ) 136
sn

n(a1 2
an )
187
例7：已知等差数列{an }，前n项和sn， 求证：S6 , S12 S6 , S18 S12成等差数列。 设k N , S , S S , S S ,成等差数列
k 2k k 3k 2k
练习：等差数列{an }中，S10 310,
S 20

1220,
求S
的值。
30
作业：等差数列测试卷B
y2
y2
f （ 1 x) 1 2( x 0) x2
(2) 1 f 1(a )
an1
n
( 1 )2 an1

1
(a

)
2
n
2
1 2 (a )2
n
1 1 2
(an1 )2
(a )2 n
1 1 (n 1) 2
(a )2 (a )2
解： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得
a4= 17 或 a7= 11
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
课堂练习：
1. 在等差数列{an}中，a1-a5-a9-a13+a17=-6，
则S17= 102
n
1
1 1 (n 1) 2 2n 1
(a )2
n
a
1
n
2n 1
练习：设函数f ( x) x (a 0)若f (1) 1 ,
ax b
3
f（x) x只有一个实根。
（1）求f ( x)的解析式
(2)若满足an f (an1 )(n 2)
证明数列{ 1 }是等差数列。 an