二项式定理知识点及典型题型总结
高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）
高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）每个人都可以通过不断学习、积累知识来提高自己的竞争力和创造力。
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下面就让小编给大家带来高中数学二项式定理知识点总结，希望大家喜欢!高中数学二项式定理知识点总结篇1空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
高中数学二项式定理知识点总结篇21、求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数;(2)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为减函数;(3)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x);③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);(2)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为减函数，则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);(3)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为常数函数，则f(x)0恒成立。
二项式定理知识点及题型归纳总结
二项式定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二项式定理()nn n r r n r n n n n n nb a C b a C b a C b a C b a 01100+⋯++⋯++=+--()*Nn ∈.展开式具有以下特点： （1）项数：共1+n 项.（2）二项式系数：依次为组合数nn n n n C C C C ，⋯,,,21.（3）每一项的次数是一样的，都为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地，()nn n n n n x C x C x C x +⋯+++=+22111.二、二项式展开式的通项（第1+r 项）二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ⋯=.其中rn C 的二项式系数.令变量（常用x ）取1，可得1+r T 的系数.注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清r rn rn b aC -是第1+r 项，而不是第r 项；②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中，含n r b a C T rn r ,,,,,1+这6个参数，只有n r b a ,,,是独立的，在未知n r ,的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数 （1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指nn n n n C C C C ，⋯,,,21而言，不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如：()nx +2的展开式中，含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21，其中r n C 叫做该项的二项式系数，而rx 的系数应该是r n r n C -2（即含r x 项的系数）.（2）二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ，…，r n n r n C C -=.②二项展开式中间项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数n 是偶数，中间项是第12+n 项，其二项式系数n n C 2最大；如果二项式的幂指数n是奇数，中间项有两项，即为第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数21-n n C 和21+n n C 相等并且最大. （3）二项式系数和与系数和 ①二项式系数和011+12n nnn n n C C C ++⋯+==（） .奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋯=+++⋯=即 .②系数和求所有项系数和，令1x =；求变号系数和，令1x =-；求常数项，令0x =。
二项式定理十种题型及解法
二项式定理十种题型及解法1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n .③项数：共(1)r 项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r 项rn rr n C a b 叫做二项式展开式的通项。
用1r n r r r n T C a b 表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n 项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()na b 与()nb a 是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C 项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N 令1,,a b x 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N 5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C ，···1k k n n C C ②二项式系数和：令1a b ,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ，变形式1221r nn n n n n C C C C 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ，则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
高中数学 二项式定理 知识点与常见题型解法
《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析 由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。
(完整版)二项式定理知识点及典型题型总结
二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n nn 2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C rn=叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T rr n r nr ==-+ 3、展开式的特点（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C nn ,…,C nn(2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。
②b 的指数由0 n （升幂）。
③a 和b 的指数和为n 。
(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。
4、二项式系数的性质： （1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n nC当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n nC=21+n nC（3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即mn n m n C C -=nnn k n n n n C C C C C 2210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++∴0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；a2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn n n n n n 3)1( (279313)21-++-+-；二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为2．确定二项展开式的常数项 例5．103)1(xx -展开式中的常数项是3．求单一二项式指定幂的系数 例6． 92)21(xx -展开式中9x 的系数是三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于例8．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项 例9．求（103)1xx -的展开式的中间项；。
二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习
二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
二项式定理知识点及典型题型总结
二项式定理一、基本知识点１、二项式定理:)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n nn 2、几个基本概念(1)二项展开式:右边得多项式叫做得二项展开式(2)项数:二项展开式中共有项(3)二项式系数:叫做二项展开式中第项得二项式系数(4)通项:展开式得第项,即3、展开式得特点(1)系数 都就是组合数,依次为C,C,Ｃ,…,C(2)指数得特点①a 得指数 由n ０( 降幂)。
②b 得指数由0 n(升幂)、③ａ与b 得指数与为n 、(3)展开式就是一个恒等式,a,b 可取任意得复数,ｎ为任意得自然数、４、二项式系数得性质:(1)对称性:在二项展开式中,与首末两端等距离得任意两项得二项式系数相等、即(２)增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当就是偶数时,中间一项取得最大值当就是奇数时,中间两项相等且同时取得最大值=(３)二项式系数得与:奇数项得二项式系数得与等于偶数项得二项式系数与、即二项式定理得常见题型一、求二项展开式1、“"型得展开式例1、求得展开式;a２、“”型得展开式例2、求得展开式;3、二项式展开式得“逆用"例3、计算;二、通项公式得应用１。
确定二项式中得有关元素例4、已知得展开式中得系数为,常数得值为2。
确定二项展开式得常数项例5、展开式中得常数项就是３、求单一二项式指定幂得系数例6、展开式中得系数就是三、求几个二项式得与(积)得展开式中得条件项得系数例7。
得展开式中,得系数等于例8。
得展开式中,项得系数就是四、利用二项式定理得性质解题1．求中间项例9、求(得展开式得中间项;。
2．求有理项例1０、求得展开式中有理项共有项;3．求系数最大或最小项（1）特殊得系数最大或最小问题例11、在二项式得展开式中,系数最小得项得系数就是;（2）一般得系数最大或最小问题例12、求展开式中系数最大得项;(３)系数绝对值最大得项例13、在(得展开式中,系数绝对值最大项就是___＿___＿;五、利用“赋值法”求部分项系数,二项式系数与例14。
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3Sn Cn1 3 Cn2 32 Cn333 Cnn 3n Cn0 Cn1 3 Cn2 32 Cn333 Cnn 3n 1 (1 3)n 1
Sn
(1 3)n 3
1
4n 1 3
题型二：利用通项公式求 xn 的系数；
例：在二项式 ( 4 1 3 x2 )n 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ，求含有 x3 的项的系数？ x
(a
1)n
2
(a
1) n
(
)
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数
n
Cn2 取得最大值。
n1
如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 Cn 2 ,
n1
Cn 2 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是
Cn0 , Cn1, Cn2 ,, Cnr ,, Cnn. 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令 a 1,b x,
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr xr Cnn xn (n N )
解：由条件知
C n2 n
45 ，即 Cn2
45 ，n2
n
90
0 ，解得 n
9(舍去)或
n
10
，
由
Tr 1
C1r0
(
x
1 4
)10r
(
x
2 3
)
r
C x r
10r 2 r 43
10
，由题意 10 r 4
二项式定理经典例题总结
二项式定理一、二项式定理的推导()n b a +展开式如何？()()________________________________________32=+=+b a b a ()?10=+b a 例析()?4=+b a归纳()=+nb a ____________________________________________________ 二、二项式定理的有关概念1、二项展开式2、项数3、二项式系数4、二项展开式的通项5、二项式()nb a +展开式的特点 ①②③注意：①二项式()n b a +的第1+r 项是_________和二项式()na b +展开式的第1+r 项是__________，所以______________________②二项式系数即__________与二项展开式中对应项的系数___________,所以___________. 例如：()521x +第3项的二项式系数与第3项的系数 ③()nb a -的展开式？ ④当1,1==b a 时，()n n 2__________________________11==+即___________________________________________________典型例题：二项式定理的应用例1、展开612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 例2、求()721x +的展开式的第4项的二项式系数和系数.例3、求1521⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 展开式中含9a 项的系数. 三、杨辉三角 ()n b a +展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以单独列成下表：___________________________称为“杨辉三角”.四、二项式系数的性质1、每一行的两端都是____，其余每个数都等于它“_____”两个数的和..即____________________________2、对称性（等距性）：每一行中，与首末两端“等距离“的两个数________.即___________________________3、增减性与最大值：①若二项式的幂指数n 是偶数，那么二项展开式中间一项，即________________二项式系数最大.②若二项式的幂指数n 是奇数，那么二项展开式中间两项，即_________________二项式系数最大.4、二项式系数和为_____.即____________________________________________________典型例题（一）：二项式定理通项的直接应用例1、（12天津）在5212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为______ 例2、(12重庆) 821⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中常数项为_______ 例3、（10陕西）)(5R x x a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中3x 的系数为10，则实数a 为_____ 例4、（10安徽）6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式中，3x 的系数为_______ 例5、（06山东）已知n x i x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2展开式中第三项与第五项系数之比为143-，则展开式中的常数项为______例6、已知,)cos (sin 0dx x x a +⎰=π则61⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 二项式展开式中含2x 项的系数为_____例7、（10湖北）在()2043y x +展开式中，系数为有理数的项共有_____项.例8、（06江苏）1031⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含x 的正整数指数幂的项数为______ 例9、（12全国）若n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的21x 系数为___ 典型例题（二）：多项式问题例1、（12安徽）()522112⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项是______ 例2、（10辽宁）()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 的展开式中的常数项为_____ 例3、（08辽宁）已知()nx x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++3211展开式中的没有常数项，82,≤≤∈*n N n ，则_____=n例4、（08浙江）在()()()()()54321-----x x x x x 展开式中，含4x 的项的系数为___ 例5、（10全国）()()533121x x-+展开式中的x 系数为_____ 例6、（08江西）()1010111⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中常数项为_____ 例7、（08全国）()()4611x x +-展开式中的x 系数为_____典型例题（三）：二项式系数与展开式系数性质的应用 例1、若()01556677713a x a x a x a x a x +++++=- ⑴7654321a a a a a a a ++++++=________⑵7531a a a a +++=__________⑶6420a a a a +++=___________例2、（08福建）若()012233445552a x a x a x a x a x a x +++++=-，则_____54321=++++a a a a a 例3、若012233444)1()1()1()1(a x a x a x a x a x ++++++++=，则______123=+-a a a例4、()0166778883)1()1()1()1()2(1a x a x a x a x a x x +-++-+-+-=-++ ，则______6=a例5、已知()01223344555)1()1()1()1()1(1a x a x a x a x a x a x +-+-+-+-+-=+，则______531=++a a a例6、（12浙江）5)(x x f = 0122334455)1()1()1()1()1()(a x a x a x a x a x a x f ++++++++++=，则_____3=a 例7、（10江西）()82x -展开式中不含4x 项的系数的和为______ 例8、在102)1(xx -的展开式中系数最大的项是第_______项. 例9、设展开式n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-15的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240=-N M ，则展开式中x 的系数为_____例10、已知n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的展开式中第5项的系数与第3项的系数比3:56，则该展开式中2x 的系数为_____例11、在n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-312展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为_____ 例12、若)(6271327*++∈=N n C C n n ,nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32展开式中的常数项为____ 例13、（11课标全国）512⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x a x 展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为_____。
二项式定理知识点及典型题型总结(经典)强烈推荐
二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：0111()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1n +项（3）二项式系数：(0,1,2,,)rnr C n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数（4）系数：未知数前的常数叫做系数（注意系数不同于二项式系数）（4）通项：展开式的第1+r 项，即1(0,1,,)r n r rr nT C a b r n -+==3、展开式的特点（1）二项式系数都是组合数，依次为012,,,,,k nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅（2）指数的特点：① a 的指数 由0n → ( 降幂)。
② b 的指数由0n →（升幂）。
③ a 和b 的指数和为n 。
(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数，一般2n ≥。
4、二项式系数的性质： （1）对称性:在二项展开式中，与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -=（2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n nC当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值1122n n nnCC-+=（3）二项式系数的和：0122k n n nn n n n C C C C C +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+= 变形式：1221k nn n n n n C C C C +++++=-奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和（注意不是二项式系数和）：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和（5）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
二项式定理知识点及典型题型总结(经典)强烈推荐
二项式定理知识点及典型题型总结(经典)强烈推荐二项式定理是高中数学中的重要概念之一。
它表示了一个二元多项式的n次幂可以用二项式系数展开成一系列项的和。
其中，二项式系数是组合数，表示从n个元素中选取r个元素的方案数。
展开式共有n+1项，每一项的系数即为二项式系数。
展开式的指数有一些特点：a的指数从n开始递减，b的指数从0开始递增，a和b的指数之和为n。
需要注意的是，展开式是一个恒等式，a，b可以取任意的复数，n为任意的自然数，一般n≥2.二项式系数具有一些性质。
首先是对称性，即在二项展开式中，与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等。
其次是增减性与最值，二项式系数先增后减，在中间取得最大值。
当n 是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值。
此外，二项式系数的和也有一些特殊的形式。
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，这可以通过二项式定理的特殊情况得到。
另外，奇数项的系数和与偶数项的系数和也可以用展开式表示出来。
总之，二项式定理是高中数学中的基础概念之一，具有很多特殊的性质。
熟练掌握这些概念和性质，对于高中数学的研究和应用都有很大的帮助。
题型一：利用通项公式求xn的系数例1、在二项式(4x+3)2n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解析：由条件知系数等于二项式系数，Cn=45，解出n=10，代入展开式中可得：T7=C10,7(4x)7(3)3=210(4)7(3)3=所以含有x3的项的系数为.例2、求展开式(1+x)5中x4的系数。
解析：根据二项式定理可得：1+x)5=C5,0(1)5x0+C5,1(1)4x1+C5,2(1)3x2+C5,3(1)2x3+C5, 4(1)x4+C5,5x5所以x4的系数为C5,4=5.题型二：利用通项公式求常数项例3、求展开式(2x+3)6中的常数项。
解析：根据二项式定理可得：2x+3)6=C6,0(2x)6(3)0+C6,1(2x)5(3)1+C6,2(2x)4(3)2+C6,3( 2x)3(3)3+C6,4(2x)2(3)4+C6,5(2x)(3)5+C6,6(3)6所以常数项为C6,0(2x)6(3)0=2^6=64.题型五：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。
高三数学二项式定理(知识点和例题)
二项式定理1． 知识精讲：（1）二项式定理：()nn n r r n r n n n n n nb C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T rnr n aba C )(()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=--- （*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n nx C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）其中，rn C ——二项式系数。
而系数是字母前的常数。
例1．n nn n n n C C C C 1321393-++++ 等于 （ ） A ．n4 B 。
n43⋅ C 。
134-n D.314-n 解：设nnn n n n n C C C C S 1321393-++++= ，于是： n n n n n n n C C C C S 3333333221++++= =13333332210-+++++nn n n n n n C C C C C故选D例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：（1）7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 ,,,,2211kn nkn n n n n n n nn n C C C C C C C C ---====②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
二项式定理知识点归纳总结
二项式定理知识点归纳总结一、二项式定理公式。
1. 二项式定理。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中n∈ N^*。
- 这里C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，叫做二项式系数。
例如(a + b)^2=a^2 +2ab+b^2，这里n = 2，当k = 0时，C_2^0a^2-0b^0=a^2；当k = 1时，C_2^1a^2 -1b^1=2ab；当k = 2时，C_2^2a^2-2b^2=b^2。
2. 二项展开式的通项公式。
- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k(k = 0,1,·s,n)。
例如在(x+2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。
当k = 2时，T_3=C_5^2x^5-22^2=10× x^3×4 = 40x^3。
二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
例如在(a + b)^6中，C_6^2=(6!)/(2!(6 - 2)!)=(6×5)/(2×1)=15，C_6^4=(6!)/(4!(6 -4)!)=(6×5)/(2×1)=15，所以C_6^2 = C_6^4。
2. 增减性与最大值。
- 当n是偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数C_n^(n)/(2)取得最大值；当n是奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数C_n^(n - 1)/(2)=C_n^(n+1)/(2)相等且取得最大值。
- 二项式系数先增大后减小，其增减性由frac{C_n^k}{C_n^k - 1}=(n - k+1)/(k)来判断。
当(n - k + 1)/(k)>1，即k<(n + 1)/(2)时，二项式系数逐渐增大；当(n -k+1)/(k)<1，即k>(n + 1)/(2)时，二项式系数逐渐减小。
高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳
高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳知识点梳理一、定理内容二、基本概念①二项式展开式：等式右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式②二项式系数：展开式中各项的系数中的③项数：展开式第r+1项，是关于a,b的齐次多项式.④通项：展开式的第r+1项，记作三、几个提醒①项数：展开式共有n+1项.②顺序：注意正确选择a与b，其顺序不能更改，即：(a+b)n和(b+a)n是不同的.③指数：a的指数从n到0, 降幂排列；b的指数从0到n,升幂排列。
各项中a，b的指数之和始终为n.④系数：正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数指各项前面的组合数；项的系数指各项中除去变量的部分（含二项式系数）。
⑤通项：通项是指展开式的第r+1项.四、常用结论由此可得贝努力不等式。
当x>-1时，有：n≥1时，(1+x)n≥1+nx;0≤n≤1时，(1+x)n≤1+nx.（贝努力不等式常用于函数不等式证明中的放缩）五、几个性质①二项式系数对称性：展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等。
②二项式系数最大值：展开式的二项式系数中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大。
即：③二项式系数和：二项展开式中，所有二项式系数和等于，即：奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：（注：凡系数和问题均用赋值法处理）④杨辉三角中的二项式系数：题型归纳一、求二项展开式二、求展开式的指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。
说明：凡二项展开式中指定项的问题，均直接使用通项公式处理.说明：对于位置指定的展开项问题，要注意用原式，底数中项的顺序不得随意调整。
说明：积的展开式问题，一般分别计算两个因式的通项。
练习：1. 求常数项1、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45i B. 45i C. －45 D. 45解析：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。
二项式定理知识点总结材料
二项式定理知识点总结材料一、二项式定理的定义二项式定理是指如何展开一个二项式的幂的公式。
设a、b为实数，n为非负整数，则二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,r)a^(n-r)b^r+...+C(n,n)b^n其中，C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选出r个元素的组合方式的数量。
二、二项式定理的推导二项式定理的推导可以使用数学归纳法来进行。
当n=1时，(a+b)^1=a+b，符合公式。
假设当n=k时，公式成立，即(a+b)^k=C(k,0)a^k+C(k,1)a^(k-1)b+...+C(k,r)a^(k-r)b^r+...+C(k,k)b^k。
要证明当n=k+1时，公式也成立。
可以利用二项式定理展开(a+b)^(k+1)：(a+b)^(k+1)=(a+b)*(a+b)^k=(a+b)*(C(k,0)a^k+C(k,1)a^(k-1)b+...+C(k,r)a^(k-r)b^r+...+C(k,k)b^k)= C(k,0)a^(k+1) + C(k,1)a^kb + ... + C(k,r)a^(k-r+1)b^r + ... + C(k,k-1)ab^k + C(k,k)b^(k+1)= C(k,0)a^(k+1) + (C(k,1)a^k + C(k,1)a^(k-1))b + ... +(C(k,r)a^(k-r) + C(k,r-1)a^(k-r+1))b^r + ... + C(k,k-1)ab^k +C(k,k)b^(k+1)= C(k,0)a^(k+1) + C(k+1,1)a^kb + ... + C(k+1,r)a^(k-r+1)b^r+ ... + C(k+1,k)a^1b^k + C(k+1,k+1)b^(k+1)从推导过程可以看出，当n=k+1时，展开的结果可以重新写成符合二项式定理的形式，因此当n=k+1时，公式也成立。
二项式定理知识点及典型题型总结
二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a b)n=C n O a n -C；a nJ b^- -C n r a n^b^- -C n n b n (n ∙N )2、几个基本概念(1)二项展开式：右边的多项式叫做(a ■ b)n的二项展开式(2)项数：二项展开式中共有n ∙1项(3)二项式系数：C；(r =0,1,2,…，n)叫做二项展开式中第r+1项的二项式系数(4)通项：展开式的第r - 1项，即T rI=C n a n丄b r (r = 0,1,…，n)3、展开式的特点(1)系数都是组合数,依次为C n c ,C；,…,C；(2)指数的特点①a的指数由厂0(降幕)。
②b的指数由0 n (升幕)。
③a和b的指数和为n。
(3)展开式是一个恒等式，a, b可取任意的复数，n为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等•即C； =C；"(2)增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值n当n是偶数时，中间一项取得最大值C n2当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值0 12 kC 0+ C 1+ C 2+ …+c k+ …+ C(3)二项式系数的和：n n n nn -1 n C n2=C n2 =2n奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即C0"* …=C1n+c3+…A二项式定理的常见题型一、求二项展开式1•“ (a b)n”型的展开式例1•求(3 ,x1 )4的展开式；a2. “ (a -b)n”型的展开式例2•求(3.X 一1 )4的展开式;J X3•二项式展开式的“逆用”例3•计算1 -3c：∙9c n-27c n •.…•(-1)"3、；；二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素例4.已知(旦- x )9的展开式中X3的系数为9,常数a的值为____________________ X \ 2 42.确定二项展开式的常数项例5. C-x-J )10展开式中的常数项是__________________站X3.求单一二项式指定幕的系数例6∙（χ2 一丄）9展开式中X9的系数是2 X三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7.（X _1） _（x _1）2∙（X _1）3一（X _1）4•（X _1）5的展开式中，X2的系数等于例8. （X2∙1）（x-2）7的展开式中，X3项的系数是______四、利用二项式定理的性质解题1. 求中间项例9. 求（T X 二）10的展开式的中间项;V XO2. 求有理项例10.求（77-厶）10的展开式中有理项共有____________ 项;VX3. 求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例11. 在二项式（X -1）11的展开式中，系数最小的项的系数是; ____ （2）一般的系数最大或最小问题例12•求（X- 2√8展开式中系数最大的项;（3）系数绝对值最大的项例13.在（X —y）7的展开式中，系数绝对值最大项是五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和例14.若（2x 亠3）4 = a0■ a1x ■ a2χ2■ a3χ3■ a4χ4,则(a0■ θ2 ∙a4)27a1 ■ a3)2的值为__________________ ;例15.设(2x -1)6 =a6χ6■ a5χ5 - ... ■ a1X ■ a0,贝U a°+ a1 +∣a2∣+…+ a6 _______ ；六、利用二项式定理求近似值例16.求0.998 6的近似值，使误差小于0.001 ；七、利用二项式定理证明整除问题例17.求证：5151 -1能被7整除。
二项式定理知识点和各种题型归纳带答案
二项式定理1•二项式定理：(a b)n=C0a n Ca n」b • ||「c n a n=b r•- C；；b n(n・ N ),2. 基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数c n (r =0,1,2, , n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项c n a n-b r叫做二项式展开式的通项。
用丁i =C；a n」b r表示。
3. 注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a , b ,其顺序不能更改。
(a ■ b)n与(b ■ a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是cnw’c：,…,C；,…,c n.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4. 常用的结论：令a =1,b 二x, (1 - x)n=c0C：x C；x2十| • Qx r Fl C；x n(n N )令a =1,b = -x, (1 -x)n=C° -C：x C；x2-川C：x r ||( (-1)n C：x n(n N )5. 性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0 - c n , •••C n^Cn J②二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为c0 ■ c1 ■ Cn- C；Jll ■ c；-2n,变形式c n C2-Cn^H c； =2^1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a =1,b = —1，贝y C0—c n +c2 —Cj+川+(_1)n c n =(1_1)n= 0 ,从而得到：C： +C： +C：…+- = cn +C；+IH+c：r41+ …二丄X2n= 2n_l2④奇数项的系数和与偶数项的系数和:n OnO 小Jn」2n _22[[. nOn 1 2』』L n(a x) C n a x C n a x C*a x . C*a x a。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结1．二项式定理公式：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r r r n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn n n n nn n x C C x C x C x C xn N*+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r rnnn n n nnnx C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈ 5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0,n n n C C =·1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnnn n n nn C C C C C ++++++=，变形式1221rnn nn n n C C C C +++++=-。
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、基本知识点
n On 1n 1. 1 rnrr nn,
1、二项式疋理：(a b) Ca 6a b C.a b
C n b (n N )
2、几个基本概念
(1)二项展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式
(2)项数：二项展开式中共有n 1项
(3)二项式系数：C n (r 0,1,2, ,n)叫做二项展开式中第r 1项的二项式系数
(4)通项：展开式的第r 1项，即T r 1 C；a n r b r (r 0,1, ,n)
3、展开式的特点
(1) 系数都是组合数，依次为c,,c：,c n,…,c n
(2) 指数的特点①a的指数由厂0(降幕)。
②b的指数由0 * n (升幕)。
③a和b的指数和为n。
(3) 展开式是一个恒等式，a, b可取任意的复数，n为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：
(1)对称性：
在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等•即C m c：m (2)增减性与最值
二项式系数先增后减且在中间取得最大值
n
当n是偶数时，中间一项取得最大值c n2
n 1 n 1
当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值=CF
二项式定理
c0 c1 c2
(3)二项式系数的和：Cn Cn Cn
Cn C：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和2n
即C0+Cn+L W + L =2n-1
二项式定理的常见题型
一、求二项展开式
1•“ (a b)n”型的展开式
例1•求(3 . x1 )4的展开式；a J x
2. “(a b)n”型的展开式
—1
例2•求)4的展开式；
J V
3•二项式展开式的“逆用”
例3•计算 1 3C：9C2 27 C3 .... ( 1)勺匕：；
二、通项公式的应用
1.确定二项式中的有关元素
例4.已知(£.. X)9的展开式中x3的系数为9，常数a的值为_______________ x \ 2 4
2.确定二项展开式的常数项
例5. (-x 31 )10展开式中的常数项是_________________
3' X
3 •求单一二项式指定幕的系数
例6. (x 2丄)9展开式中x 9的系数是
2x
三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数 例7. (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展开式中，x 2的系数等于 例8. (x 2 1)(x 2)7的展开式中，x 3项的系数是 ______
四、利用二项式定理的性质解题
1. 求中间项
2. 求有理项
例10.求CX 3：)10的展开式中有理项共有 ---------------- 项; 3. 求系数最大或最小项
(1)特殊的系数最大或最小问题
例11. 在二项式(x 1)11的展开式中，系数最小的项的系数是
例9.求(、x
31 )10的展开式的中间项; v'x
(2) 一般的系数最大或最小问题
(3) 系数绝对值最大的项
例13.在(x y)7的展开式中，系数绝对值最大项是
五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 a 6
六、利用二项式定理求近似值 例16.求0.9986的近似值，使误差小于0.001 ;
七、利用二项式定理证明整除问题
例17 .求证：5151 1能被7整除
例12.求Cx 2打展开式中系数最大的项;
例14 .若(2x 3) a 。
2 3 4 a 〔x a ?x a s X a q X ,
则(a 。
a 2
a 4)2 (a i a 3)2的值为 例15 .设(2x
1)6 6 a e x 5 a §x a i x a 。
,
a 2。