13.1_1函数
沪科版八年级数学上册13.1三角形中的边角关系教学设计
作业要求：
-学生需按照作业要求，认真完成，书写工整，保持作业整洁。
-鼓励学生在解题过程中，标注解题思路，以便于教师了解学生的思考过程。
-对于完成作业过程中遇到的困难，学生应积极寻求帮助，及时解决疑问。
-计算给定三角形的内角和，以及未知角度。
-利用勾股定理求解直角三角形的未知边长。
2.实践应用题：设计一些与生活实际相关的问题，让学生将所学的三角形知识应用到解决实际问题中，培养学生的建模能力和实践能力。
-测量并计算学校旗杆的高度，如果知道旗杆底部与观察点的距离以及旗杆顶部的仰角。
-分析并计算给定三角形形状的屋顶面积。
-教师关注学生的学习过程，鼓励学生积极参与，体验数学学习的乐趣。
-学生通过自主探究、合作交流，形成良好的学习习惯，为终身学习打下基础。
二、学情分析
八年级学生已经在之前的数学学习中，掌握了基本的几何图形知识和相关性质，具备了一定的空间想象能力。在此基础上，他们对三角形的边角关系有了初步的认识，但对于三角形中较为复杂的边角关系及其应用，仍需进一步引导和拓展。此外，学生在解决实际问题时，可能存在以下困难：对三角形概念的理解不够深入，无法熟练运用相关定理和公式；缺乏将实际问题转化为数学模型的意识，导致解题思路不明确。因此，在本章节的教学中，教师应关注学生的基础知识掌握情况，结合生活实例，激发学生兴趣，引导他们主动探究三角形边角关系，提高解决问题的能力。同时，注重培养学生的逻辑思维和团队合作精神，使其在互动交流中，不断提升数学素养。
3.拓展提高题：提供一些综合性强、难度较高的题目，鼓励学有余力的学生挑战自我，拓展思维。
-解决涉及多个三角形的复合问题，如多边形的内角和计算。
新人教版八年级上册数学课件
新人教版八年级上册数学课件注:直接按Ctrl键点击你所要下载的课件即可.可以长期关注11.1 全等三角形PPT课件.ppt11.2 三角形全等的判定PPT课件1.ppt11.2 三角形全等的判定PPT课件2.ppt11.2 三角形全等的判定(ASA AAS) PPT课件.ppt11.2 三角形全等的判定(SAS) PPT课件.ppt11.2 三角形全等的判定(SSS) PPT课件.ppt11.2 三角形全等的判定２PPT课件.ppt11.2 三角形全等的条件PPT课件.ppt11.3 角的平分线的性质PPT课件1.ppt11.3 角的平分线的性质PPT课件2.ppt12.1 轴对称 PPT课件1a.ppt12.1 轴对称 PPT课件2a.ppt12.1 轴对称 PPT课件3a.ppt12.2 作轴对称图形PPT课件1.ppt12.2 作轴对称图形PPT课件2.ppt12.2 作轴对称图形PPT课件3.ppt12.2 作轴对称图形PPT课件4.ppt12.2.1 作轴对称图形PPT课件.ppt 12.2.2 用坐标表示轴对称PPT课件.ppt 12.3.1 等腰三角形PPT课件1.ppt12.3.1 等腰三角形PPT课件2.ppt12.3.1 等腰三角形的判定课件.ppt 12.3.1 等腰三角形的性质课件1.ppt 12.3.1 等腰三角形的性质课件2.ppt 12.3.1 等腰三角形的性质课件3.ppt 12.3.2 等边三角形PPT课件1.ppt12.3.2 等边三角形PPT课件2.ppt12.3.2 等边三角形PPT课件3.ppt13.1 平方根PPT课件1.ppt13.1 平方根PPT课件2.ppt13.1 平方根PPT课件3.ppt13.1 平方根PPT课件4.ppt13.1 平方根PPT课件5.ppt13.1 算术平方根PPT课件.ppt13.1 习题讲解PPT课件.ppt13.2 立方根PPT课件1.ppt13.2 立方根PPT课件2.ppt13.2 立方根PPT课件3.ppt13.2 平方根、立方根习题课课件.ppt13.2 习题讲解PPT课件.ppt13.3 实数PPT课件1.ppt13.3 实数PPT课件2.ppt13.3 实数PPT课件3.ppt13.3 实数（实数的概念）课件.ppt13.3 实数习题讲解课件.ppt14.1 变量与函数的初步认识课件.ppt14.1.1 变量PPT课件.ppt14.1.2 变量与函数PPT课件1.ppt 14.1.2 变量与函数PPT课件2.ppt 14.1.2 函数PPT课件.ppt14.1.3 函数的图象PPT课件1.ppt 14.1.3 函数的图象PPT课件2.ppt 14.2 一次函数＿待定系数法PPT课件.ppt 14.2 一次函数＿复习课PPT课件.ppt 14.2 一次函数＿实际问题PPT课件.ppt 14.2 一次函数＿正比例函数PPT课件.ppt 14.2 一次函数的图象和性质课件.ppt 14.2.1正比例函数（第1课时）课件.ppt 14.2.1正比例函数（第2课时）课件.ppt 14.3 一次函数与一元一次方程(1课时).ppt 14.3 一次函数与一元一次方程(2课时).ppt14.3 一次函数与一元一次方程(3课时).ppt 14.3.1一次函数与一元一次方程课件.ppt 14.3.2一次函数与与一元一次不等式.ppt 14.3.3一次函数与二元一次方程组.ppt14.3.4用函数观点看方程(组)与不等式1.ppt 14.3.4用函数观点看方程(组)与不等式2.ppt14.3.4用函数观点看方程(组)与不等式3.ppt15.1 整式的乘法PPT课件1.ppt15.1 整式的乘法PPT课件2.ppt15.1 整式的乘法（1）PPT课件.ppt15.1 整式的乘法（2）PPT课件.ppt15.1.1 单项式乘以单项式PPT课件.ppt 15.1.2 单项式与多项式相乘课件1.ppt 15.1.2 单项式与多项式相乘课件2.ppt 15.1.3 多项式与多项式相乘课件.ppt15.1.4 同底数幂的乘法PPT课件.ppt15.2 乘法公式（第1课时）PPT课件.ppt 15.2 乘法公式（第2课时）PPT课件.ppt 15.2 乘法公式（第3课时）PPT课件.ppt 15.2 乘法公式＿平方差公式课件.ppt15.2.1 平方差公式PPT课件.ppt15.2.2 完全平方公式PPT课件.ppt15.3 整式的除法（第1课时）课件.ppt 15.3 整式的除法（第2课时）课件.ppt 15.3.2 单项式除单项式PPT课件.ppt 15.3.2 整式的除法PPT课件.ppt15.4 因式分解.ppt15.4 因式分解（1）.ppt15.4 因式分解（2）(平方差公式).ppt 15.4 因式分解（3）(完全平方公式法).ppt 15.4《因式分解》复习ppt课件.ppt。
函数列与函数项级数一致收敛性解析
第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。
3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。
(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。
使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。
函数极限的性质
第十三讲、函数极限的性质定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.证明：我们使用反证法加以证明。
假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，A B <。
取()/2B A ε=−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时3()22A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得()()2A B f x f x +<< 矛盾！证毕。
定理13.2 .（函数极限的局部有界性）若极限0lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有推论13.1 .( 局部保号性). 若0lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
13.1 函数(1)
2
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因 变量？
（2）如果用 h 表示距离地面的高度，用 t 表示温度，那么随着 h 的变化 t 如何变化？
（3）你知道距离地面 5 千米的高空温度是多少吗？
（4）你能预测出距离地面 6 千米的高空温度是多少吗？
） 三、收获大家谈（及时小结，自我评价！ 收获大家谈（及时小结，自我评价！ 1.通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？
（3）你能求出上升后 3min、6min 时热气球到达的海拔高度吗？
1
小组活动二： 小组活动二： 【问题展示】 问题 2 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用制动后仍将滑行一段距 离才能停住。制动距离是分析事故原因的一个重要因素。某型号的汽 车在平整路面上的制动距离 s m 与车速 vkm/h 之间有下列经验公式： s= v2 . 256
（1）这个问题中，有哪几个量？ （2）当刹车时车速 v 分别为 40km/h、60km/h 时，相应的滑行距离 s 分别是多少？
小组活动三： 小组活动三：常量与变量的意义
） 二、演练反馈（学得怎样，检验一下吧！ 演练反馈（学得怎样，检验一下吧！ 1. 支持下列变化过程中，哪些 y 是 x 的函数？并说明理由。 （1） y = x 2 + 1 （2） | y |= x 1 （3 ） x + 2 y = 1
（4 ） x
y
（5 ） x
y
1 2 3
1 2
1 0 3
1 0 2
2. 父亲告诉小明： “距离地面越远，温度越低” ，并且出示了下面的 表格： 距离地面高度/千米 0 1 2 3 4 5 温度/℃ 20 14 8 2 －4 －10 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答：
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
数学分析13.1一致收敛性
第十三章 函数列与函数项级数1 一致收敛性一、函数列及其一致收敛性概念：设f 1,f 2,…,f n ,…是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，也可以简单地写作{f n }或f n , n=1,2,…. 设x 0∈E ，以x 0代入函数列可得数列：f 1(x 0),f 2(x 0),…,f n (x 0),…. 若该数列收敛，则称对应的函数列在点x 0收敛，x 0称为该函数列的收敛点. 若数列发散，则称函数列在点x 0发散. 若函数列在数集D ⊂E 上每一点都收敛，则称该函数列在数集D 上收敛. 这时D 上每一点x 都有数列{f n (x)}的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为原函数的极限函数. 若把此极限函数记作f ，则有∞n lim +→f n (x)=f(x), x ∈D ，或f n (x)→f(x) (n →∞), x ∈D.使函数列{f n }收敛的全体收敛点集合，称为函数列{f n }的收敛域.函数列极限的ε-N 定义：对每一个固定的x ∈D ，任给正数ε， 恒存在正数N(ε,x)，使得当n>N 时，总有|f n (x)-f(x)|< ε.例1：设f n (x)=x n , n=1,2,…为定义在R 上的函数列，证明它的收敛域是(-1,1]且有极限函数f(x)=⎩⎨⎧=<1x 11|x |0，，.证：任给正数ε<1, 当|x|<1时，∵|f n (x)-f(x)|=|x|n ， ∴只要取N(ε,x)=|x |ln ln ε，当n>N 时，就有|f n (x)-f(x)|< ε.当x=0或x=1时，对任何正整数n ，都有|f n (x)-f(x)|=0< ε. ∴f n (x)在(-1,1]上收敛，且有极限函数f(x) =⎩⎨⎧=<1x 11|x |0，，.又当|x|>1时，有|x|n →∞ (n →∞)，当x=-1时，对应的数列为： -1,1,-1,1…发散. ∴函数列{x n }在(-1,1]外都是发散的. 得证！例2：证明：函数列f n (x)=nsinnx, n=1,2,…的收敛域是R ，极限函数f(x)=0. 证：∵对任意实数x ，都有n sinnx ≤n 1，∴任给ε>0，只要n>N=ε1, 就有0nsinnx-< ε，得证！定义1：设函数列{f n }与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈D ，都有 |f n (x)-f(x)|< ε，则称函数列{f n }在D 上一致收敛于f ，记作 f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D.注：反之，若存在某正数ε0，对任何正数N ，都有D 上某一点x ’与正整数n ’>N ，使|f n (x ’)-f(x ’)|≥ε0，则函数列{f n }在D 上不一致收敛于f. 如：例1中的函数列{x n }在(0,1)上收敛于f(x)=0，但不一致收敛.∵令ε0=21，对任何正数N ，取正整数n>N+1及x ’=21n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈(0,1)，则有|x ’2 -0|=1-n 1≥21. ∴函数列{x n }在(0,1)上不一致收敛于f(x)=0.函数列一致收敛于f 的几何意义：对任何正数ε，存在正整数N ，对于一切序号大于N 的曲线y=f n (x)，都落在以曲线y=f(x)+ ε与y=f(x)- ε为边(即以y=f(x)为“中心线”，宽度为2ε)的带形区域内(如图1).(图1)(图2)函数列{x n }在(0,1)内不一致收敛，即对于某个事先给定的正数ε<1， 无论N 多么大，总有曲线y=x n (n>N)不能全部落在以y=ε与y=-ε为边的带形区域内(如图2). 若函数列{x n }只限于在区间(0,b) (b<1)内讨论，则只要n>lnbln ε(其中0<ε<1)，曲线y=x n 就全部落在y=ε与y=-ε为边的带形区域内，所以{x n }在区间(0,b)内一致收敛.定理13.1：(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{f n }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给ε>0，总存在正数N ，使得当n,m>N 时， 对一切x ∈D ，都有|f n (x)-f m (x)|< ε.证：[必要性]若f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D ，则∀ε>0，∃正数N ， 使得当n,m>N 时，对一切x ∈D ，都有|f n (x)-f(x)|<2ε及|f m (x)-f(x)|<2ε. ∴|f n (x)- f m (x)|≤|f n (x)-f(x)|+ |f m (x)-f(x)|<2ε+2ε= ε. [充分性]若|f n (x)-f m (x)|< ε, 则由数列收敛的柯西准则知， {f n }在D 上任一点都收敛，记其极限函数f(x)，则有∞m lim +→|f n (x)-f m (x)|=|f n (x)-f(x)|<ε，由定义1知f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D.定理13.2：函数列{f n }在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0.证：[必要性]若f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D ，则∀ε>0，∃正整数N ，当n>N 时，有|f n (x)-f(x)|<ε, x ∈D.由上确界定义，有Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|≤ε. ∴Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0. [充分性]若Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0，则∀ε>0，∃正整数N ， 使得当n>N 时，有Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|<ε. 又对一切x ∈D ，总有|f n (x)-f(x)|≤Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|<ε，∴{f n }在D 上一致收敛于f.推论：函数列{f n }在D 上不一致收敛于f 的充要条件是： 存在{x n }⊂D ，使得{f n (x n )-f(x n )}不收敛于0.例3：设f n (x)=nx 2-nx e , x ∈D=R +,n=1,2,….判别{f n (x)}在D 上的一致收敛性.解法一：对任意x ∈R +, ∞n lim +→nx 2-nx e=0=f(x). 又当f ’n (x)=222ex 2n -n =0时， x=2n1，且f ”(2n1)=-2e 2n2n <0， ∴在R +上，每个nx 2-nx e 只有一个极大值点x n =2n1，而Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=∞n lim +→f n (x n )=2enlim∞n +→=+ ∞≠0， ∴{f n (x)}在D 上不一致收敛于f.解法二：取x n =n1∈R +，则∞n lim +→f n (x n )=n 1-∞n e lim +→=1≠0， ∴{f n }在D 上不一致收敛于f.定义1：设函数列{f n }与f 定义在区间I 上，若对任意闭区间[a,b]⊂I, {f n }在[a,b]上一致收敛于f ，则称{f n }在I 上内闭一致收敛于f.注：若I 为有界闭区间，则{f n }在I 上内闭一致收敛于f 与{f n }在I 上一致收敛于f 是一致的.例1中函数列{x n }在[0,1)上不一致收敛于0，但对任意δ>0,]δ,0[x sup ∈|x n |≤δn→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,1)上内闭一致收敛于0.例3中函数列{f n }在R +上不一致收敛于0，但对任意[a,b]⊂R +，]b ,a [x sup ∈|nx 2-nx e |≤nb 2-na e →0 (n →∞)，∴{f n }在R +上内闭一致收敛于0.二、函数项级数及其一致收敛性概念：设{u n (x)}是定义在数集E 上的一个函数列，表达式： u 1(x)+ u 2(x)+…+u n (x)+…, x ∈E称为定义在E 上的函数项级数，简记为∑∞=1n n (x )u 或∑(x)u n .称S n (x)=∑=n1k k (x )u , x ∈E, n=1,2,…为函数项级数∑(x)u n 的部分和函数.若x 0∈E, 数项级数u 1(x 0)+ u 2(x 0)+…+u n (x 0)+…收敛，即部分和 S n (x 0)=∑=n1k 0k )(x u 当n →∞时极限存在，则称级数∑(x)u n 在点x 0收敛，x 0称为级数∑(x)u n 的收敛点.若级数∑)(x u 0n 发散，则称级数∑(x)u n 在点x 0发散.若∑(x)u n 在E 的某个子集D 上每点都收敛，则称∑(x)u n 在D 上收敛. 若D 为级数∑(x)u n 全部收敛点的集合，则称D 为∑(x)u n 的收敛域. 级数∑(x)u n 在D 上每一点x 0与其所对应的数项级数∑)(x u 0n 的和S(x 0)构成一个定义在D 上的函数，称为级数∑(x)u n 的和函数，并写作： S(x)=u 1(x)+ u 2(x)+…+u n (x)+…, x ∈D 即∞n lim +→S n (x)=S(x), x ∈D ，于是函数项级数的收敛性等价于它的部分和函数列{S n (x)}的收敛性.例4：判别函数项级数(几何级数)1+x+x 2+…+x n +…在R 上的收敛性.解：几何级数的部分和函数为S n (x)=x-1x -1n .当|x|<1时，S(x)=∞n lim +→S n (x)=x-11; 当|x|≥1时，S(x)=∞n lim +→S n (x)=+∞.∴几何级数在(-1,1)内收敛于和函数S(x)=x-11；当|x|≥1时，发散.定义3：设{S n (x)}函数项级数∑(x)u n 的部分和函数列. 若{S n (x)}在数集D 上一致收敛于S(x)，则称∑(x)u n 在D 上一致收敛于S(x). 若∑(x)u n 在任意闭区间[a,b]⊂I 上一致收敛，则称∑(x)u n 在I 上内闭一致收敛.定理13.3：(一致收敛的柯西准则)函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给ε>0，总存在某正整数N ，使得当n>N 时， 对一切x ∈D 和一切正整数p ，都有|S n+p (x)-S n (x)|< ε或∑++=pn 1n k k(x)u< ε.推论：函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{u n (x)}在D 上一致收敛于0.注：设函数项级数∑(x)u n 在数集D 上的和函数为S(x), 称 R n (x)=S(x)-S n (x)为函数项级数∑(x)u n 的余项.定理13.4：函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛于S(x)的充要条件是：Dx ∞n sup lim∈+→|R n (x)|=Dx ∞n sup lim ∈+→|S(x)-S n (x)|=0.注：几何级数∑n x 在(-1,1)上不一致收敛，因为)(-1,1x sup ∈|S(x)-S n (x)|=1-x x sup n )(-1,1x ∈≥1n n -11n n n+⎪⎭⎫⎝⎛+=n 1-n 1n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ →∞ (n →∞). 又对任意a(0<a<1)，]a -a,[x sup ∈|S(x)-S n (x)|=1-x x sup n]a -a,[x ∈=a -1a n →0 (n →∞).∴几何级数∑n x 在(-1,1)上内闭一致收敛.三、函数项级数的一致收敛性判别法定理13.5：(魏尔斯特拉斯判别法或M 判别法或优级数判别法) 设函数项级数∑(x)u n 定义在数集D 上，∑n M 为收敛的正项级数， 若对一切x ∈D ，有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…， 则函数项级数∑(x)u n 在D 上一致收敛.证：∵∑n M 为收敛的正项级数，根据数项级数的柯西准则， ∀ε>0，∃正整数N ，使得当n>N 及任何正整数p ，有∑++=pn 1n k kM=∑++=pn 1n k kM< ε，又对一切x ∈D ，有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…，∴∑++=pn 1n k k(x)u≤∑++=pn 1n k k(x )u≤∑++=pn 1n k kM< ε，由函数项级数一致收敛的柯西准则知，级数∑(x)u n 在D 上一致收敛.例5：证明函数项级数∑2n nx sin 和∑2n cosnx在R 上一致收敛. 证：∵对一切x ∈R ，有2n nx sin ≤2n 1，∑2n cosnx ≤2n1. 又级数∑2n 1收敛，∴函数项级数∑2n nx sin 和∑2n cosnx在R 上一致收敛.注：当级数∑(x)u n 与级数∑n M 在 [a,b]上，都有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…时，称级数∑n M 在[a,b]优于∑(x)u n ，或称∑n M 为∑(x)u n 的优级数.定理13.6：(阿贝尔判别法)设 (1)∑(x)u n 在区间I 上一致收敛； (2)对每一个x ∈I ，{v n (x)}是单调的；(3){v n (x)}在I 上一致有界，即对一切x ∈I 和正整数n ，存在正数M ，使得|v n (x)|≤M ，则级数∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛. 证：由条件(1)，∀ε>0，∃某正整数N ，使得 当n>N 及任何正整数p ，对一切x ∈I ，有∑++=pn 1n k k(x)u< ε.又由条件(2),(3)，根据阿贝尔引理得：∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u≤[|v n+1(x)|+2|v n+p (x)|]ε≤3M ε.由函数项级数一致收敛的柯西准则知，∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.定理13.7：(狄利克雷判别法)设(1)∑(x)u n 的部分和函数列S n (x)=∑=n1k k (x )u , (n=1,2,…)在I 上一致有界；(2)对于每一个x ∈I ，{v n (x)}是单调的； (3)在I 上v n (x)⇉0 (n →∞)， 则级数∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.证：由条件(1)，存在正数M ，对一切x ∈I ，有|S n (x)|≤M ， ∴当n,p 为任何正整数时，∑++=pn 1n k k(x)u=|S n+p (x)-S n (x)|<2M.对任何一个x ∈I ，由条件(2)及阿贝尔引理得：∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u≤2M[|v n+1(x)|+2|v n+p (x)|]又由条件(3)，∀ε>0，∃正数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈I ， 有|v n (x)|<ε. ∴∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u<6M ε.由函数项级数一致收敛的柯西准则知，∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.例6：证明：函数项级数∑++-1n nn n )n x ()1(在[0,1]上一致收敛. 证：记u n (x)=n )1(n -, v n (x)=nn x 1⎪⎭⎫⎝⎛+，则∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛；又{v n (x)}单调增，且1≤v n (x)≤e, x ∈[0,1]，即{ v n (x)}在[0,1]上一致有界.根据阿贝尔判别法知数∑++-1n n n )n x ()1(在[0,1]上一致收敛.例7：证明：若数列{a n }单调且收敛于0，则级数∑cosnx a n 在[α,2π-α] (0<α<π)上一致收敛.证：∵∑=n1k coskx = 21-2x 2sin x 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin21+21≤2α2sin 1+21, x ∈[α,2π-α]，∴级数∑cosnx 的部分和函数列在[α,2π-α]上一致有界. 令u n (x)=cosnx, v n (x)=a n ，∵数列{a n }单调且收敛于0， 根据狄利克雷判别法知，级数∑cosnx a n 在[α,2π-α]上一致收敛.注：只要{a n }单调且收敛于0，那么级数∑cosnx a n 在不包含2k π (k 为整数)的任何闭区间上都一致收敛.习题1、讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛，并说明理由： (1)f n (x)=22n1x +, n=1,2,…，D=(-1,1)； (2)f n (x)=22xn 1x+, n=1,2,…，D=R ；(3)f n (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<++≤≤++-1x 1n 101n 1x 01x )1n (，，, n=1,2,…； (4)f n (x)=n x, n=1,2,…，D=[0,+∞)；(5)f n (x)=nxsin , n=1,2,…，D=R.解：(1)∞n lim +→f n (x)=22∞n n 1x lim ++→ =|x|=f(x), x ∈D=(-1,1)；又 D x sup ∈|f n (x)-f(x)|=|x |n 1x sup 22D x -+∈=|x |n1x n 1sup 222D x ++∈≤n 1→0(n →∞).∴22n 1x +⇉|x| (n →∞)，x ∈(-1,1). (2)∞n lim +→f n (x)=22∞n x n 1xlim++→ =0=f(x), x ∈D=R ；又Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|=22D x xn 1x sup+∈≤nx 2x =n 21→0(n →∞). ∴22x n 1x+⇉0 (n →∞)，x ∈R.(3)当x=0时，∞n lim +→f n (x)=1；当0<x ≤1时，只要n>x1-1，就有f n (x)=0， ∴f n (x)在[0,1]上的极限函数为f(x)= ⎩⎨⎧≤<=1x 000x 1，，.又]1,0[x ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=1≠0. ∴f n (x)在[0,1]上不一致收敛. (4)∞n lim +→f n (x)=nxlim ∞n +→=0=f(x), x ∈D=[0,+∞)；又 )∞[0,+x ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=nxsuplim )∞[0,+x ∞n ∈+→=+∞, ∴f n (x)在[0,+∞)上不一致收敛. 在任意[0,a]上，a][0,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|=nalim ∞n +→=0, ∴f n (x)在[0,+∞)上内闭一致收敛.(5)∞n lim +→f n (x)=nx sin lim ∞n +→=0=f(x), x ∈D=R ；又 Rx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=nxsinsup lim Rx ∞n ∈+→=1, ∴f n (x)在R 上不一致收敛. 在任意[-a,a]上，a][-a,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|=nx sin sup lim a][-a,x ∞n ∈+→≤n a lim ∞n +→=0, ∴f n (x)在R 上内闭一致收敛.2、证明：设f n (x)→f(x), x ∈D ， a n →0(n →∞) (a n >0). 若对每一个正整数n 有|f n (x)-f(x)|≤a n , x ∈D ，则{f n }在D 上一致收敛于f. 证：∵|f n (x)-f(x)|≤a n , x ∈D ，且a n →0(n →∞)，∴a][-a,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|= 0，∴f n (x)⇉f(x) (n →∞)，x ∈D.3、判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性：(1)∑1)!-(n x n , x ∈[-r,r]；(2)∑+n221-n )x (1x (-1), x ∈R ；(3)∑n x n , |x|>r>1； (4)∑2n n x , x ∈[0,1]；(5)∑+n x (-1)21-n , x ∈R ；(6)∑+1-n 22)x (1x , x ∈R. 解：(1)∀x ∈[-r,r], 有1)!-(n x n≤1)!-(n r n ,记u n =1)!-(n r n ,则n 1n u u +=n r →0(n →∞)，∴∑1)!-(n r n 收敛，∴∑1)!-(n x n在[-r,r]上一致收敛.(2)记u n (x)=(-1)n-1, v n (x)=n22)x (1x +，则对任意的x ∈R ，有 |∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在R 上有界；又{v n (x)}单调减，且由0≤n22)x (1x +≤n 1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知∑+n221-n )x (1x (-1)在R 上一致收敛. (3)∀|x|>r>1, 有n x n <n r n ,记u n =nrn,则n 1n u u +=rn 1n +→r 1<1 (n →∞)， ∴∑n r n 收敛，∴∑n xn在|x|>r>1上一致收敛. (4)∀x ∈[0,1], 有2nnx ≤2n 1, 又∑2n 1收敛，∴∑2n n x 在[0,1]上一致收敛.(5)方法一：记u n (x)=(-1)n-1, v n (x)=nx 12+，则对任意的x ∈R ，有 |∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在R 上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<nx 12+≤n 1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知∑+n x (-1)21-n 在R 上一致收敛.方法二：|∑++=+pn 1n k 21-k kx (-1)|≤1n x 12+++p n x 12++≤n 2.∀ε>0，只要取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε2，则当n>N 及任意自然数p ，就有|∑++=+pn 1n k 21-k kx (-1)|<ε，由柯西准则知，∑+n x (-1)21-n 在R 上一致收敛.方法三：由莱布尼兹判别法知，对R 上的任意一点x ，∑+nx (-1)21-n 收敛.又)x (R sup lim n R x ∞n ∈+→=1n 1lim ∞n ++→=0，∴∑+nx (-1)21-n 在R 上一致收敛.(6)当x ≠0时，该函数项级数的部分和函数S n (x)=x 2+22x 1x ++…+1-n 22)x (1x +=1+x 2-1-n 2)x (11+→1+x 2=S(x) (n →∞)， ∴Rx sup ∈|R n (x)|=1-n 2Rx )x (11sup+∈=1→/0 (n →∞)， ∴∑+1-n 22)x (1x 在R 上不一致收敛.4、设函数项级数∑)x (u n 在D 上一致收敛于S(x)，函数g(x)在D 上有界. 证明：级数∑)x (g(x)u n 在D 上一致收敛于g(x)S(x).证：可设|g(x)|≤M ，x ∈D. ∵∑)x (u n 在D 上一致收敛于S(x)， ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈D ，都有|∑=n1k k (x )u -S(x)|<Mε. ∴|∑=n 1k k (x )g(x )u - g(x)S(x)|=|g(x)|·|∑=n1k k (x )u -S(x)|< ε. 得证！5、若区间I 上，对任何正整数n ，|u n (x)|≤v n (x)，证明： 当∑)x (v n 在I 上一致收敛时，级数∑)x (u n 在I 上也一致收敛. 证：∵|u n (x)|≤v n (x)，∴∑=+p1k k n |(x )u |≤∑=+p1k k n (x )v .又∑)x (v n 在I 上一致收敛，∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时， 对一切x ∈I 和一切自然数p ，都有|∑=+p1k k n (x )v |<ε.∴|∑=+p 1k k n (x )u |≤∑=+p 1k k n |(x )u |≤∑=+p 1k k n (x )v ≤|∑=+p1k k n (x )v |<ε，得证！6、设u n (x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数，证明：若∑)a (u n 与∑)b (u n 都绝对收敛，则∑)x (u n 在[a,b]绝对且一致收敛. 证：∵u n (x)(n=1,2,…)在[a,b]上单调，∴|u n (x)|≤|u n (a)|+|u n (b)|， 又∑|)a (u |n 与∑|)b (u |n 都收敛，∴正项级数|))b (u ||)a (u (|n n +∑收敛； 根据优级数判别法知，∑)x (u n 在[a,b]绝对且一致收敛.7、证明：{f n } 区间I 上内闭一致收敛于f 的充要条件是：对任意x 0∈I ，存在x 0的邻域U(x 0)，使{f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f. 证： [必要性]设{f n } 区间I 上内闭一致收敛于f ，对任意x 0∈I ，任意邻域U(x 0)∩I ⊂I ，根据内闭一致收敛的定义， {f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f.[充分性]设任意x 0∈I ，存在x 0的一个邻域U(x 0)， 使得{f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f ，即 对一切x ∈I ，{f n }一致收敛于f ，∴{f n }在I 上一致收敛，从而内闭一致收敛.8、在[0,1]上定义函数列u n (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=n 1x 0n 1x n1，，，证明： 级数∑)x (u n 在[0,1]上一致收敛，但它不存在优级数.证：∵|∑=+p1k k n (x )u |=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⋯+=+==+⋯++++=++⋯+⋯+=+⋯++++=+⋯+++其它点p n 1x 2n 1x 1n 1x 00000p n 1p n 102n 102n 101n 1001n 1，，，，，∴当0≤x<1时，恒有|∑=+p1k k n (x )u |<n1，于是∀ε>0，取N=[ε1]，则当n>N 时，对一切x ∈[0,1]和一切自然数p ，都有|∑=+p1k k n (x )u |<ε，∴级数∑)x (u n 在[0,1]上一致收敛.若∑)x (u n 在[0,1]上存在优级数∑n M ，取x=n1，则M n ≥|u n (x)|=|u n (n 1)|=n 1>0. 由∑n M 收敛知∑n1收敛，不合理! ∴∑)x (u n 不存在优级数.9、讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上的一致连续性： (1)∑∞=++2n 2222]1)-(n )[x n (x 2n -1, D=[-1,1]；(2)∑nn3x sin 2, D=R +； (3)∑++)nx 1](1)x -(n [1x 222, D=R +；(4)∑nx n , D=[-1,0]； (5)∑++1n 2x (-1)12n n, D=(-1,1)；(6)∑∞=1n n sinnx, D=(0,2π).解：(1)∵∑++=++pn 1n k 2222]1)-(k )[x k (x 2k -1=2222n x 1p)(n x 1+-++<22n x 1+≤2n 1； ∴∀ε>0，取N=[ε1]+1，当n>N 时，对一切x ∈[-1,1]和一切自然数p ，都有∑++=++pn 1n k 2222]1)-(k )[x k (x 2k-1<ε，∴原级数在[-1,1]上一致收敛. (2)对任意自然数n ，取x n =n 32π⋅∈R +，有|n n 3x sin 2|=2n →/ 0 (n →∞)， ∵原级数在R +上不一致收敛. (3)S n (x)=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n1k 22kx 111)x-(k 11=1-2nx 11+→1(n →∞)，+∈R x sup |S n (x)-1|=≥2n 1n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21(n=1,2,…)；∵原级数在R +上不一致收敛.(4)记u n (x)=(-1)n, v n (x)=n(-x)n，则对任意的x ∈[-1,0]，有|∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在[-1,0]上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<n(-x)n≤n1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)，由狄利克雷判别法知原级数在[-1,0]上一致收敛.(5)记u n (x)=(-1)n, v n (x)=1n 2x 12n ++，则对任意的x ∈(-1,1)，有|∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在(-1,1)上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<1n 2x 12n ++≤1n 21+→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)，由狄利克雷判别法知原级数在(-1,1)上一致收敛. (6)取ε0=21sin 31，对任意自然数N ，存在n=N ，p=N+1，x 0=1)2(N 1+∈(0,2π),使∑++=pn 1n k 0k )(x u =∑++=+1N 21N k 1)2(N k sin k1>∑++=1N 21N k 2k 1sin >21sin 21>ε0.∴原级数在(0,2π)上不一致收敛.10、证明：级数∑∞=-0n n n )x 1(x (-1)在[0,1]上绝对收敛并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0,1]上却不一致收敛. 证：易见|R n |≤(1-x)x n+1. 又由((1-x)x n+1)’=(n+1)(1-x)x n -x n+1=(n+1)x n -(n+2)x n+1=(n+2)x n (2n 1n ++-x)，知 当x=2n 1n ++时，|R n |≤(1-2n 1n ++)1n 2n 1n +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1n 2n 1n 2n 1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++<2n 1+， ∴[0,1]x ∞n sup lim ∈+→|R n |≤2n 1lim ∞n ++→=0. ∴原级数在[0,1]上一致收敛. 对级数∑∞=-0n nn)x 1(x (-1)各项绝对值组成的级数∑∞=-0n n )x 1(x ，∵)x 1(x lim n ∞n -+→=0, x ∈[0,1]，∴原级数在[0,1]上绝对收敛.又∞n lim +→S n (x)=∞n lim +→(1-x)∑=nk k x =∞n lim +→(1-x n )=⎩⎨⎧=<≤1x 01x 01，，，可见[0,1]x ∞n sup lim ∈+→|R n |=1→/ 0 (n →∞)，得证.11、设f 为定义在区间(a,b)内的任一函数，记f n (x)=n[nf(x)], n=1,2,…， 证明：函数列{f n }在(a,b)内一致收敛于f. 证：由|R n |=|n [nf(x)]-f(x)|=n nf(x )-[nf(x )]≤n11→0 (n →∞)，得证！12、设{u n (x)}为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列，每一个u n (x)都是[a,b]上的单调函数. 证明：级数u 1(x)-u 2(x)+u 3(x)-u 4(x)+…在[a,b]上不仅收敛，而且一致收敛. 证：根据莱布尼茨判别法，该级数在[a,b]上收敛. 记v n (x)=(-1)n-1，则对任意的x ∈[a,b]，有|∑=n1k k (x )v |≤1, (n=1,2,…)，即{v n (x)}的部分和函数列在[a,b]上有界；又u n (x)在[a,b]上单调，且u n (a),u n (b)都收敛于零，∴0<u n (x)<u n (a)+u n (b)→0(n →∞)，∴u n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知该级数在[a,b]上一致收敛.13、证明：若{f n (x)}在区间I 上一致收敛于0，则存在子列{in f }，使得∑=n1k n if在I 上一致收敛.证：∵{f n (x)}在区间I 上一致收敛于0，∴对任意自然数i ，总存在自然数n i ，使得∀x ∈I ，有|i n f |<2i 1，又级数∑=n1k 2i1收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，∑=n1k n if 在I 上一致收敛.。
13_1 一致收敛性
n x ( , )
su p
sin n x n
sin n x n
0 lim
0
1 n
n
0,
所 以 在 ( , )上 ,
( n ).
前页 后页 返回
例3 定义在[0,1]上的函数列
2 2n x, 2 fn ( x ) 2n 2n x, 0, 0 x 1 2n 1 n
2
2
.
充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则,
{ f n } 在D上任一点都收敛,
记其极限函数为
f ( x ),
前页 后页 返回
x D . 现 固 定 ( 4 )式 中 的 n , 让 m , 于 是 当 n N 时 , 对 一 切 x D 都 有 | f n ( x ) f ( x ) | . fn ( x ) f ( x )
f n ( x ) f ( x )( n ) , x D .
由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
前页 后页 返回
为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的
取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作
x0 称
为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 x 0 发散. 当函数列(1)在数集 D E 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 一点
x
都有数列 {
f n ( x )} 的一个极限值与之相对应
,
函数的基本性质(教案)
函数的基本性质教学目标：1. 了解函数的定义和基本概念。
2. 掌握函数的域和值域的概念。
3. 理解函数的单调性、连续性和可导性的概念。
4. 学会运用函数的基本性质解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的定义与域1.1 函数的定义1.2 函数的域第二章：值域2.1 值域的概念2.2 确定函数的值域第三章：函数的单调性3.1 单调性的定义3.2 单调性的判定第四章：函数的连续性4.1 连续性的定义4.2 连续性的判定第五章：函数的可导性5.1 可导性的定义5.2 可导性的判定教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的基本性质。
2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示函数的单调性、连续性和可导性。
3. 组织小组讨论和实践活动，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
教学评估：1. 课堂讨论和提问，评估学生对函数基本性质的理解程度。
2. 布置课后习题和作业，巩固学生对函数基本性质的掌握。
3. 进行定期的测验和考试，检验学生对函数基本性质的掌握情况。
教学资源：1. 教科书和参考书籍，提供详细的知识点和实例。
2. 多媒体课件和教学软件，提供直观的图形和动画展示。
3. 在线学习平台和论坛，提供额外的学习资源和交流平台。
教学计划：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：2课时教学总结：通过本章的教学，学生应该能够理解函数的定义和基本概念，掌握函数的域和值域的概念，理解函数的单调性、连续性和可导性的概念，并能够运用函数的基本性质解决实际问题。
函数的基本性质（续）教学内容：第六章：函数的极值与最值6.1 极值的概念6.2 函数的最值第七章：函数的周期性7.1 周期性的定义7.2 周期函数的性质第八章：函数的奇偶性8.1 奇偶性的定义8.2 奇偶函数的性质第九章：函数的图像9.1 图像的性质9.2 图像的变换第十章：函数的极限10.1 极限的概念10.2 极限的计算教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的极值、周期性、奇偶性、图像和极限的基本性质。
一次函数导学案
13．1函数（1）学习目标：1．了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与自变量和函数．2．了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式；学习重点：：在了解函数、常量、变量的基础上，能指出实例中的常量、变量，并能写出简单的函数关系式．学习难点：是对函数意义的正确理解．一、学前准备1. 问题1 如图，用热气球探测高空气象.当t=2min，当=1，h为600mt min当t=0min，h为550mh为500m设热气球从海拔500m处的某地升空，它上升后到达的海拔高度hm与上升时间tmin的关系记录如下表：时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 ,海拔高度500 550 600 650 700 750 800 850 ,h/m(1)在这个问题中，有_______个量.(2)观察上表，热气球在上升的过程中平均每分上升________米.(3)上升后10min时热气球到达的海拔高度________.总结:在某个变化过程中,数值保持______的量叫做常量;可以取______数值的量叫做变量.2.问题2下图是我市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线.(1)这个问题中，有________个变量.(2)任意给出这一天中的某一时刻，如 4.5h、20h，这一时刻的用电负荷yMW（兆瓦）是_______,_________._______.找到的值是唯一确定的吗？(3)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是_______,_______.它们分别是在_______,________达到的.3.问题3汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，刹车距离是分析事故原因的一个重要因素。
某型号的汽车在平整路面上的刹车距离sm与车速vkmh之间有下列经验公式：/sv2256(1)上式中涉及哪几个量？_________________________________________.(2)当刹车时车速v分别是40、80、120km/h时，相应的滑行距离s分别是多少？___________，________________，_________________.总结:在上面三个问题中，每个变化过程都只涉及两个变量，当给定其中一个变量（这个量叫_______）的值，相应地就确定了另一个变量（这个量叫______）的值.函数:一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在它允许取y都有的值与它对应，那么我们就说x是，值范围内的_________，_____________ y是x的_______.有两个变量字母x与y只是代号；对于注意：(1)在一个变化过程中；(2) ()(3)x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应。
数学分析之十三章函数列与函数项级数
连续 .即证: 对 0 , 0 , 当 | x x0 | 时, | f (x) f (x0 ) | . )
| f (x) f (x0) || f (x) fn(x) | | fn(x) fn(x0) | | fn(x0) f (x0) |
估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项
说明: 虽然函数序列 sn ( x) xn 在( 0, 1 )内处处 收敛于 s( x) 0 , 但 sn ( x)在( 0, 1 )内各点处收
敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从下图可以看出:
y y sn ( x) x n (1,1)
n1
n2
n n410
n 30
o
1x
注意：对于任意正数r 1，这级数在[0,r] 上 一致收敛．
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
例 1 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域. n1 n 1 x 解 由达朗贝尔判别法
un1( x) n 1 1 (n )
un ( x) n 1 1 x 1 x
註 定理表明: 对于各项都连续且一致收敛
的函数列{ f n (x) }, 有
lim lim
xx0 n
fn (x)
lim lim
n xx0
fn (x)
即极限次序可换 .
3. 可积性定理
若在区间 [ a ,b ] 上函数列{ fn (x) }一致收
敛 , 且每个 f n (x) 在[ a , b ] 上连续. 则有
函数的单调性
《函数的单调性》说课稿各位评委老师，大家好！今天我要说的课是高中数学必修一第一章第三节的内容，题目：《函数的单调性》。
本次说课包括以下几个部分:说教材，说教法、学法，说教学设计，说板书．说教材1、教材的地位和作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质，函数的单调性既是学生学习函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数，对数函数，三角函数的单调性的基础，此外在比较数的大小，函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核新知识之一.2、教学目标分析知识与技能：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握证明函数单调性的方法.过程与方法：从观察具体函数的图象特征入手，结合相应问题，引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立增（减）函数的概念．情感、态度与价值观：体会运用由特殊到一般，由具体到抽象，由自然语言到符号语言的研究问题的方法，提升学生的数学思维能力，使学生学会科学地思考问题，科学地解决问题，同时提高学生的判断能力、推理能力和化归转化能力．3、教材重点、难点重点：函数单调性的概念难点：函数单调性的判断和证明重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破．说教法、学法1、说教法新课程标准要求教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程中要充分调动学生的积极性、主动性．本着这一原则，在教学过程中我主要采用开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法的教学方法，以问题引导学生，采用“归纳式”让学生历经概念的概括过程，思想方法的形成过程．2、说学法学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素.在学法指导上，主要是通过让学生观察、分析函数图象的直观特征激起学生的学习兴趣，引导学生发现问题、探索问题，不断的激发学生的求知欲望,鼓励他们面对问题能够独立思考，勇于探索，合作交流，积极主动的探索学习．说教学设计1、复习回顾，导入课题让学生观察以前学过的一次函数()x x f =和二次函数()2x x f = 的图象，引导学生从左至右看函数()x x f = 的图象是如何变化的？（图象是上升的）；启发学生思考函数()2x x f = 的图象的升降特点，发现二次函数()2x x f = 的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的.函数图象的“上升”和“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性，就是我们今天所要研究的内容．2、创设问题，探索新知（1）引导学生观察()2x x f =的对应值表，并由学生思考回答：函数()2x x f =在()+∞,0上的图象是上升的，随着x 的增大，相应的()x f 也在增大， 用函数解析式如何来描述呢？师生共同分析得出结论：对于()2x x f =在()+∞,0上的任意的1x , 2x ，当21x x < 时，都有()()21x f x f < ，这时，我们就说函数()2x x f =在区间()+∞,0是增函数．（2）由具体到一般引出增函数的定义，一般地，设函数()x f y = 的定义域为I :如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ,2x ，当21x x <，都有()()21x f x f <，那么就说函数()x f y = 在区间D 上是增函数；（3）由学生类比思考概括出减函数的定义．（4）深化概念强调函数的增减性是对于定义域I 内的某个区间D 而言的，它是一个局部概念．强调定义中区间D 上的两个自变量的值1x ,2x 是任意的；（5）教师介绍单调性和单调区间的概念．3、例题分析，学以致用例1观察函数在区间（—5，5）上的图象，根据图像说出函数的单调区间．以及在每一单调区间上它是增函数还是减函数？设计意图：这一例题主要是对函数单调区间的巩固运用，对增函数减函数的图像特点加深理解。
三角函数与复数
专题四 三角函数与复数[考点聚焦]考点1：函数y =Asin<)0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以与根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题； 考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理； 考点6、复数的基本概念与运算.[自我检测]1． 同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿. 2． 诱导公式是指α的三角函数与－α,180ºα±,90ºα±,270ºα±,360º－α,k 360º+α<k ∈Z>三角函数之间关系：奇变偶不变,符号看象限. 3． 两角和与差的三角函数：sin<α±β>=_______________________;cos <α±β>=________________________;tan <α±β>=_________________________. 4． 二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________ tan 2α=_____________. 5． 半角公式：sin2α=_______,cos 2α=_______,tan 2α=________=________=______. 6． 万能公式sin α=_____________,cos α=_____________,tan α=_____________.[重点难点热点]问题1：三角函数的图象问题关于三角函数的图象问题,要掌握函数图象的平移变化、压缩变化,重点要掌握函数y =Asin<)0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系,注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的,要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式. 例1．〔05##理〕要得到2cos y x =的图象,只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕,再向右平行移动4π个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕,再向左平行移动8π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕,再向右平行移动4π个单位长度思路点拨：将)42sin(2π+=x y 化为)42cos(2π-=x y ,再进行变换.解答：变换1：先将)42cos(2π-=x y 的图象向左平移8π个单位,得到x x y 2cos 2]4)8(2cos[2=-+=ππ的图象,再将x y 2cos 2=的图象的横坐标缩短到原来的2倍得到x y cos 2=.变换2：先将)42cos(2π-=x y 的图象的横坐标缩短到原来的2倍,得到)4cos(2π-=x y 的图象,再将)4cos(2π-=x y 的图象向左平移4π个单位,得到x y cos 2=.由上可得,应选C.演变1：函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图,则〔 〕A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅,再将〔1,10坐标代入即可. 问题2：三角函数的求值问题关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号例2：已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.〔I 〕求sin x －cos x 的值；〔Ⅱ〕求xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值. 思路分析：将sin x -cos x =51平方,求出sin x cos x 的值,进而求出〔sin x -cos x 〕2,然后由角的范围确定sin x -cos x 的符号.解法一：〔Ⅰ〕由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即.2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故.57cos sin -=-x x〔Ⅱ〕xx x x x x xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x 解法二：〔Ⅰ〕联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②,整理得,012cos 5cos 252=--x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54cos ,53sin ,02.54cos 53cos x x x x x π 或故.57cos sin -=-x x〔Ⅱ〕x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 322++-xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 22++-=①②125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识,以与推理和运算能力. 演变1：已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求. 点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题有关三角函数的单调性、周期性等问题,通常需要先变形化简,然后求解.例3：设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .〔Ⅰ〕求ϕ；〔Ⅱ〕求函数)(x f y =的单调增区间；〔Ⅲ〕画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像.思路点拨：正弦y =sin x 的图象的对称轴为直线)(2Z k k x ∈+=ππ,其对称轴与x 轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x 值. 解：〔Ⅰ〕)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴,,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为〔Ⅲ〕由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =点评：本小题主要考查三角函数性质与图像的基本知识,考查推理和运算能力. 演变3：已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ.求函数f <x >的最大值,最小正周期,并写出f <x >在[0,π]上的单调区间.问题4："拆项"与"添项"的问题"拆项"与"添项"是指在作三角变换时,对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例4：〔1〕求8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++的值； 〔2〕已知：41)2tan(,52)tan(=-=+πββα,求：)4tan(απ+的值. 思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如〔1〕中的含有角7º、15º、8º,发现它们之间的关系是15º＝7º＋8º,故可将7º拆成15º－8º；同理在第〔2〕题中απ+4可以拆成两角差,即)4()(πββα--+.解：〔1〕 8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++＝8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(+-+-＝15cos 8cos 15sin 8cos ＝tan15º=30sin 30cos 1-=32- <2>∵απ+4=)4()(πββα--+∴tan<απ+4>=tan[)4()(πββα--+]＝)4tan()tan(1)4tan()tan(πββαπββα-++--+＝415214152⨯+-＝223 点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系,根据实际情况,对角进行"拆"或"添"变形,这样可以大大减少运算量.演变4：求20cos 20sin 10cos 2-的值. 点拨与提示：10º＝30º－20º. 问题五：复数方程和共轭复数复数方程常见解法是将复数方程转化为实数方程组；关于共轭复数有两个充要条件：①Z ∈R Z Z =⇔,②非零复数y 为纯虚数0=+⇔y y ,这两个充要条件是用整体观点处理复数的生要工具.例5：##数k 的值,使方程02)2(2=++++ki x i k x 至少有一个实根.思路分析：已知方程是一元二次方程,系数含有参数,并且方程有一个实根,设出实根,利用复数相等可得出实数方程组,从而得解.解：设α是方程的实根,则02)2(2=++++ki i k αα,即0)2()2(2=++++i k k ααα根据复数相等的充要条件得：⎩⎨⎧=+=++02022k k ααα,消去α得k 2=8,∴k =22±点评：如果利用一元二次方程的判别式△＝〔k +2i 〕2－4<2+k i>＝k 2－12,要使方程至少有一个实根,只需△≥0,即k ≤32-,k ≥32,这样的解法是错误的.错误的原因在于：一元二次方程的判别式△＝b 2-4ac ≥0是实系数一元二次方程有实根的充要条件,不适合于复系数一元二次方程.对于这类虚数系数一元二次方程有实根的常见解法是设实根为α,将x ＝α代入方程,根据复数相等的条件来解.演变5：解复数集中的方程：0)2()252(22=--++-i x x x x 点拨与提示：整理成关于x 的一元二次方程,用求根公式求解. 例6：设z 是虚数,z z W 1+=是实数,uu u +-=11,求证：u 为纯虚数.思路分析：本题证法很多,可以从共轭复数运算的角度给出证明. 证明：∵z z W 1+=∈R,∴zz z z z z 111+=+=+,∴0)11(=-+-z z z z∴0)||11)((2=--z z z ,∵z 是纯虚数,∴0≠-z z ,∴|z |＝1,∴zz 1= ∵u z z zz zz z z u -=+-=+-=+-=+-=11111111)11(.∴0=+u u .∵z 是虚数,∴1≠z ,∴0≠u ,∴u 为纯虚数.点评：用整体观点处理复数问题时,应注意利用前面提到的充要条件. 演变6：设z 1,z 2为两个非零复数,且｜z 1+z 2｜=|z 1－z 2|,求证：221)(z z 为负数. 点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解. 专题小结1．三角变换常用的方法技巧有切割化弦法,升幂降幂法、辅助元素法,"1”的代换法等．对于三角公式要记忆准确〔在理解基础上〕,并要注意公式成立的条件,在应用时,要认真分析,合理转化,避免盲目性．2．三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点．最基本的三角函数图象的形状和位置特征,要准确掌握,它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握,不能从形式上简单判断．3．解三角形时,要根据条件正确选择正、余弦定理以与三角变换式．要充分发挥图形的作用,注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能 [临阵磨枪] 一、选择题1．已知f <cos x >=cos3x ,则f <sin30º>的值为〔 〕A0B1C －1D23 2．〔2006年##卷〕ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为<A>6π <B>3π <C> 2π<D>23π3．〔2006年##卷〕将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是〔 〕A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- 4．把函数)3sin 3(cos 22x x y -=的图象适当变动,就可得到y =－sin3x 的图象,这种变动可以是〔 〕A 沿x 轴向右平移4πB 沿x 轴向左平移4π C 沿x 轴向右平移12πD 沿x 轴向左平移12π5．已知复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别是A,B,O 为坐标原点,当z 1=2〔cos60º+isin60º〕•z 2,|z 2|=2,则△AOB 的面积为〔 〕 A 34 B 32 C3 D 26．复数z ＝1－cos θ－isin θ〔3π＜θ＜4π〕的辐角主值是〔 〕 A23θπ- B 23πθ- C 2θπ+ D 23θπ+ 7．函数y =3sin<x +20º>+5sin<x +80º>的最大值为〔 〕 A211 B 213 C 7 D 8 8．在△OAB 中,O 为坐标原点,]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ,则当△OAB 的面积达最大值时,=θ〔 〕A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π9．在△ABC 中,若ba ba B A +-=-2tan ,其中a,b 分别是∠A,∠B 的对边,则△ABC 是〔 〕A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰或直角三角形 10．函数y =23cos 32sin 212+-=x x y 的最小正周期为〔 〕 A2πB πC2πD 4π二、填空题11已知sin α=53,α∈<2π,π>,tan<π－β>=21,则tan<α－2β>=______ 12设α∈<43,4ππ>,β∈<0,4π>,cos<α－4π>=53,sin<43π+β>=135,则sin<α+β>=_________13．已知复数：032z i =+,复数z 满足003z z z z ⋅=+,则复数z =14．设函数f <x >的图象与直线x =a ,x =b 与x 轴所围成图形的面积称为f <x >在[a ,b ]上的面积,已知函数y ＝sin 〔nx 〕在[0,n π]上的面积为n 2〔n ∈N * 〕,〔i 〕y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为；〔ii 〕y ＝sin 〔3x －π〕＋1在[3π,34π]上的面积为.三、解答题15不查表求值：.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒16〔2006年##卷〕已知310,tan cot 43παπαα<<+=- 〔Ⅰ〕求tan α的值；〔Ⅱ〕求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．在复数范围内解方程：iii z z z +-=++23)(2<i 为虚数单位>. 18．〔2006年四川卷〕已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角,向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=,且1m n ⋅=.〔Ⅰ〕求角A ；〔Ⅱ〕若221sin 23cos sin BB B+=--,求tan B . 19已知cos α+sin β=3,sin α+cos β的取值范围是D ,x ∈D ,求函数y =10432log 21++x x 的最小值,并求取得最小值时x 的值参考答案1．C 提示：1180cos )60(cos )30(sin -=︒=︒=︒f f2B 提示：222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=,利用余弦定理可得2cos 1C =,即1cos 23C C π=⇒=,故选择答案B. 3．C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移,平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+,由图象知,73()1262πππω+=,所以2ω=. 4．D 提示：)]12(3sin[)43sin(ππ--=--=x x y 5．B 提示∠AOB ＝60º,｜z 2|=2|z 1|=4,3260sin ||||2121=︒⋅=∆z z S AOB 6．B提示：)]23sin()23[cos(2sin 2πθπθθ-+--=i z ,∵02sin ,2223<-<<θπθπ,).3(21arg ,2230πθππθ-=∴<-<Z7．C 提示：y =3sin<x +20º>+5sin<x +80º>＝3sin<x +20º>+5sin[<x +20º>＋60º] ＝7)20sin(7)20cos(235)20sin(211≤+︒+=︒++︒+ϕx x x 8．D提示：θθθθθθcos sin 2121)sin 1)(cos 1(21cos 21sin 211-=-----=∆OAB S 11sin 224θ=-, 当2θπ=即2πθ=时,面积最大. 9．D 提示：由正弦定理得：2cos2sin 22cos2sin 2sin sin sin sin 2tan B A B A B A B A Ba B Ab a b a B A -++-=+-=+-=- ＝2cot 2tan B A B A +-,∴02tan =-B A 或12cot =+B A ∴02=-B A 或22π=+B A∴A ＝B 或A ＋B ＝90º 10．D 提示：)22sin(23232cos 232sin 21π-=+--=x x x y ,则π=T 11．247提示∵sin α=53,α∈<2π,π>,∴cos α=－54则tan α=－43,又tan<π－β>=21可得tan β=－21, 2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯- 126556提示α∈<43,4ππ>,α－4π∈<0,2π>,又cos<α－4π>=53 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=+=⨯+-⨯-=+⋅-++⋅--=++--=-++-=+∴-=+∴=+∈+∴∈=-∴βαβππαβππαβππαπβππαβαβπβπππβππβπα即13．1-32i 提示：设z =a +b i,由<3+2i><a +b i>=3<a +b i>+3+2i,得3a -2b =3a +3,2a +3b =3b +2, ∴a =1,b =32-. 14．π+32,34 提示：由题意得：，，x y 34232]320[3sin =⨯=上的面积为在π 上的图象在]343[1)3sin(πππ，x y +-=为一个半周期结合图象分析其面积为π+32. 15答案2 16．解：<Ⅰ>由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=,即1tan 3tan 3αα=-=-或,又34παπ<<,所以1tan 3α=-为所求. 〔Ⅱ〕225sin 8sin cos 11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==6- 17．解：原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z =x +y i<x 、y ∈R>,代入上述方程得x 2+y 2+2x i=1－i,∴x 2+y 2=1且2x =－1,解得x =－21且y =±23, ∴原方程的解是z =-21±23i .18． 解：〔Ⅰ〕∵1m n ⋅=∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-=∴3A π= 〔Ⅱ〕由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--,整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠∴2tan tan 20B B --=∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=,舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan1tan tan A B A B +=--== 19解设u =sin α+cos β则u 2+<3>2 =<sin α+cos β>2+<cos α+sin β>2=2+2sin<α+β>≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1即D =［－1,1］,设t=32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t 232-t2max 0.5min 0.50.50.514410248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M x t t tt t M t y M M y t x ∴===≤=+++====>∴======-当且仅当即在时是减函数时此时 [挑战自我]设a,b ,c 为△ABC 的三边,a ≤b ≤c,R 是△ABC 的外接圆半径,令f =a+b －2R-8R 2sin 2sin 2sin C B A ,试用C 的大小来判定f 的符号. 解：f =2R 〔sinA+sinB －1－42sin 2sin 2sin C B A 〕 ＝2R[2sin )2cos 2(cos 212cos 2sin 2C A B A B A B A B --++--+] ＝4R 2sin 2cos 42)2sin 2(sin 2cos C C R R C A B A B -+--+-π ＝4R 2sin 42)2sin 2(sin 2cos 2C R R C C A B +----π ＝2R )2sin 2cos 2cos 2)(2sin 2(cos C C A B C C ---- 由a ≤b ≤c,得A ≤B ≤C,所以0＜B －A ＜B ＋A,因此2cos 2cos C A B >-, 2sin 2cos 2cos C A B A B =+>-,所以2sin 2cos 2cos 2C C A B +>- 故当f >0时,2sin 2cos C C >,则0＜C ＜2π 当f ＝0时,2sin 2cos C C =,则C ＝2π 当f ＜0时,2sin 2cos C C <,则C ＞2π [答案与点拨]演变1：由图得2,84T T =∴=,由T=2πω,得4πω=,在y =sin<4x πϕ+>中令x =1,y =1,得242k ππϕπ+=+,24k πϕπ=+,得4πϕ=,选<C>演变2：〔解法一〕由题设条件,应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α=, 即57cos sin =α-α① 由题设条件,应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α② 由①式和②式得54cos ,53sin -=α=α.因此,43tan -=α,由两角和的正切公式 .11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α 解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin 212cos 257 解得53sin ,259sin 2±=α=α即 由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得 由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且,故α在第二象限,于是53sin =α. 从而5457sin cos -=-α=α,以下同解法一. 演变3：)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ--++=⋅=x x x x b a x f21tan tan 122(cos )222221tan 1tan 222sin cos 2cos 1222x x x x x x x x x x +-=++⋅-+=+- x x cos sin +==)4sin(2π+x .所以2)(的最大值为x f ,最小正周期为,2π]4,0[)(π在x f 上单调增加,[,]42ππ上单调减少.演变4：∵10º＝30º－20º, ∴原式＝︒︒-︒︒+︒︒=︒︒-︒-︒20cos 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 220cos 20sin )2030cos(2 ＝2cos30º=3.演变5：原方程可化为022)5()2(2=-++-+i x i x i△＝[]i i i i i i 188241024)22)(2(4)5(2=+-+=-+-+-. 而18i 的平方根为)1(3i +±,所以方程的根为)2(2)1(352,1i i i x ++±+=,∴i x x 5351,221-==. 演变6：提示：∵｜z 1+z 2｜=|z 1－z 2|〔y 1y 20≠〕,∴|1||1|2121-=+z z z z .即21z z 在复平面内对应的点到〔－1,0〕、〔1,0〕的距离相等,∴21z z 对应的点在虚轴上,即21z z 为纯虚数. 演变题要有点拨,原创题有详解,一般题给答案。
(加强版)程序设计答案word版
1.1题目:请编写函数fun,该函数的功能是: 将放在字符串数组中的M个字符串(每串的长度不超过N)，按顺序合并组成一个新的字符串。
例如: 若字符串数组中的M个字符串为{AAAA",“BBBBBB","CC"则合并后的字符串内容应该是“AAABBBBBBCC"注意: 请勿改动main函数和其他函数中的任何内容，仅在函数fun的花括号中填入所编写的若干语可。
int i,j, k=0;for (i=0;i<M;i++)for (j=0;a[i][j]!=’\0’;j++)b[k++]=a[i][j];b[k]=’\0’;1.2题目：题目: 请编写fun函数程序，从键盘输入某一年，判断该年是否为闰年。
闰年的条件是: (1) 能被4整除但不能被100整除。
(2) 能被400整除。
符合任何一个条件就是闰年。
输入年份为整型if ((year%4==0&&year%100!=0)||year%400==0)return 1;elsereturn 0;1.3题目：(待议)题目: 编写函数fun; 其功能是: 根据以下公式求的值，结果由函数值带回。
m与n为两个正整数且要求m>n.如“样张”。
P=m!/n!(m-n)!）例如: m=12,n=8时，运行结果为495 000000注意请勿改动主函数main和其他函数中的任何内容。
仅在函数fun的花括号中填入你编写的若干语句。
(参考百度)float p ;p=1.0*jc(m)/jc(n)/jc(m-n);return p;2.1功能: 对长度为8个字符的字符串，将8个字符按降序排列。
例如: 原来的字符串为CEAedcab,排序后输出为edcbaECAint i,j;char t;for(i=0;i<mum; i++)for (j=i+1;j<num;j++)if(s[i]<s[j]){t=s[i];s[i]=s[j];s[j]=t;}2.2编写程序，实现矩阵(3 行、3 列)的转置(即行列互换)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习2：
人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关。 如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这 个人在运动时所能承受的每分心跳的最高次数，那 么 b = 0.8（220－a）。 （1）计算当a分别为10岁、15岁、20岁、25岁、30 岁的相应的b值，并填写下表； a/岁 b/次 10 168 15 164 20 160 25 156 30 152
生活中哪些变化过程中存在 具有函数关系的量？
与同伴交流，互相说一说自己发 现的函数关系.
做一做：
1、瓶子和罐头盒等圆柱形的物体，常常如 下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数 是如何变化的？
层数n 物体总数Y
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
·· ·· ·· ·· ·· ··
做一做：
2、大家都知道，路程（S）、速度（v）、 时间（t）之间存在关系：s=vt
3.根据你的理解,对同学说一说什么样的 两个量具有函数关系？
一般的，在某个变化过程中,有两个变 量x和y,（其中x是自变量,y是因变量。） 如果给定一个x值,相应地 就确定了一个y值, 那么称y是x的 函数(function).
判断两个变量是否具有函数关系以什么为 依据 呢？
对于一个变量的每一个值，另 一个变量都有唯一确定的值与之对 应，即一种对应关系。
水深 h 是时间 t 的函数；
②汽车速度v 自变量） 刹车距离s 因变量） 、 ； （ （ 刹车距离 s 是汽车速度v 的函数. （ ③层数n（自变量） 物体总数y 因变量） 、 ；
物体总数 y 是层数n 的函数.
2.每个变化过程中的两个变量之间有什么关系？ 答：一个是自变量,一个是因变量.如果给定一 个自变量的值,相应地就确定一个因变量的值.
速v km/h 之间有下列 经验公式： v 2
s
300
汽车速度v
（1）计算当v分别为50，60，100时， 相应的滑行距离s是多少？ （2）给定一个v值，你 能求出相应的s值吗？ 滑行距离 s对应有几个值？
v2 s 300 （3）其中对于给定的每一个速度v ，
滑行距离s
1.上面三个问题的变化过程中分别有几个变量？ 答：在每一个变化过程中,都有两个变量： （ ①时间t 自变量） 相应的水深h（因变量）； 、
问题1 如图，用热气球探测高空气象。
当t=0min， h为1800m
当t=1min， h为1830m
当t=2min， h为1860m
当t=3min， h为1890m
设热气球从海拔1800m处的某地升空，它上升后到达的海 拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表：
时间t/min
0 1 2 3 4 5 6 7
问题2 下图是我市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线。 (1)这个问题中，有哪几个量？ (2)任意给出这一天中的某一时刻，如4.5h、20h， 你能找到这一时刻的用电负荷y MW（兆瓦）是多少吗？ 你是怎样找到的？找到的值是唯一确定的吗？ (3)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？ 它们是在什么时刻达到的？
…
海拔高度h/m
1800
1830
1860
1890
1920
1950
1980
2010
…
(1)在这个问题中，有几个量？ (2)观察上表，热气球在上升的过程中平均每分上升多少米？ (3)你能求出上升后3min、6min时热气球到达的海拔高度吗？
在问题1中，热气球在上升的过程 中有哪些量是变化的？哪些量始终保 持不变？
象问题3中的速度60在整个过程保持不变的是常量
一般地，在某个变化过程中，有 两个变量x和y，如果在x允许取值的 范围内，每取一个x值，y都有唯一的
值与它对应，那么我们称y是x的函
数（function），其中x是自变
量，y是因变量。
函数的表示法
S=60t
n y 1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 … …
20
14 8 2 O 1 2 3 4 h（km）
（2）按下列程序输入一数x，便可输出一个相 应的数y：
输入x
＋2
×5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
－4
输出y；
（3）圆周长C（厘米）与半径R（厘米）的对 应关系如下表（π取3.14）
半径R（厘米） 圆周长C（厘米） 1 2 3 4 5 6.28 12.56 18.84 25.12 31.40
下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点 的高度h（米）之间的关系。
根据上 t/分 图填表 h/米
0
3
1
11
2
37
3
45
4
37
5
11
·· ·· ·· ·· ·· ··
刹车距离：行驶的汽车在刹 车后由于惯性的作用,继续 向前滑行一段距离后才会停 下,这段距离叫做刹车距离.
某型号汽车在路面上 的刹车距离s m与车
§13.1
函数
如果你坐 在摩天轮上， 随着时间的 变化，你离 开地面的高 度是如何变 化的？
h（米）
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
假设某车的速度为60千米/时，当时间t为 1小时，路程s为多少千米？当时间t为2小时 和3小时时候呢？请用公式表示此问题中路 程（S）与时间（t）之间存在的关系。
S=60t
想一想：
n y
1 1
2 3 3 6
4 10
5 15
… …
S=60t
以上各例中，都有两个变量，给定其中 一个变量（自变量）的值，相应地就确定了 另一个变量（因变量）的值。
下面是某港口从0时到12时的水深情况图. （1）下图表示的哪些量之间的关系？ 其中哪个量是自变量,哪个量是因变量？ 答：下图表示水深与时间之间的关系, 时间是自变量,水深是因变量.
（2）根据图像填表：
时间/时 1 8 3 5 5 3 8 2
11
7
水深/米
时间/时
1
3 5
5 3
8 2
11
7
水深/米
你有什么收获?
链接生活
下面问题中某个变量能看成另一个变量的函数 吗？如果能,请写出它们的关系式。 （1）每一个同学购买一本代数书,书的单价为 2元,则x个同学共付y元。 （2）计划购买50元的乒乓球,则所购的总数 y（个）与单价x（元）的关系。
答:关系式为：y=2x ,其中总钱数y是人数x的函数。
50 答:关系式为：y= , 总数y是单价x的函数。 x
课堂作业: p30-31，习题13.1第1题、
第2题；
实践作业：观察生活中的某个变化过程看是
否存在函数关系，并描述其函数 关系。 课外作业：基础训练p13-14,13.1同步练习1； 其他资料上有关习题。
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
像热气球上升高度h的数值是随时间t的数 值变化而变化的，像这样可以取不同数值的量， 叫做变量；热气球上升的速度为50m/min，这 个50在过程中始终保持不变，这样的量叫做常 量。h是随着t的变化而变化的。任给变量t的一 个值，就可以相应地得到变量h的一个确定的 值。t是自变量，h是因变量。
电是国民经济的命脉，电给我们的 生活带来方便。
红星与南照相距7400m,小明骑自行车去南照赶集,自行 车的平均速度为200 m/min .
问:(1)小明从红星到南照所需的时间是多少?
(2)小明骑5min、10min的路程分别是多少?
(3)在行驶的过程中你能写出所走路程s(m)与时间t(min)的 关系式吗?
想一想: 在这个问题中哪些是不断变化的量?哪些是保持不变的量?
高度h是时 间t的函数
物体总数y是 层数n的函数
时间t是速 度v的函数
图象法
列表法
解析法
同学们，我们生活在一个不断变化的世界中，正是 因为斗转星移，才有寒来暑往，岁月更新。你看，小树 慢慢地长高了，你也渐渐地长大了，还有时间、温度等 等都在悄悄地发生变化，一个量往往随着其他量的变化 而变化。如热气球上升后到达的海拔高度随着上升时间 的变化而变化,城市的用电负荷随着时间的变化而变化。 从本章开始，我们将学习刻画两个变量之间关系的常用 模型——函数，并重点研究一次函数。
试一试：
2、在国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量m/克 邮资y/元 0<m≤20 0.80 20<m ≤40 1.20 40<m ≤60 1.60
上表中有几个变量？你能将其中某个变 量看成另一个变量的函数吗？
练习1： 下列问题反映了哪两个量之间的关系？你 能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？ （1）地面气温是20 oC，如果每升高1千米，气 温下降6 oC ，气温T（ oC ）随高度h（千米） 的变化 T（oC）
练 习
２.指出下列关系式中的变量与常量：球的 表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是： S=4πR2.