陕西省师大附中2013届高三第四次模拟考试【数学(文)试题】(含答案)

俯视图

陕西师大附中高2013届第四次模拟考试

数学试题（文科）2013.04.19

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(A) i - (B) i (C) -1 (D) 1 2．已知2log x x f (x)f (x ) x >⎧=⎨+≤⎩

10，则)1(-f =（ ）

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 4

3．若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）充要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件

4.

一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是( ) (A) 4

(B) (C) 2

(D) 5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

6万元时销售额为( )

(A) .636万元 (B) .655万元 (C) .677万元 (D) .720万元

6．设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若α∥β，l ⊂α，m ⊂β则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则α⊥β.则下列命题为真命题的是( )

(A) p 或q （B ）p 且q (C)非p 或q (D) p 且非q

7．数列{}n a 的通项公式为n a n =-249，当该数列的前n 项和n S 达到最小时，n 等于( ) (A)24 （B ）25 (C)26 (D)27 8.函数sin

3

y x π

=在区间[]0,t 上至少取得2个最大值，则正整数t 的最小值是（ ）

(A)10 （B ）9 (C)8 (D)7

象为（ ）

10.如图，已知圆M ：4)3()3(22=-+-y x ，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动

时，OF ME ⋅的取值范围是( ) (A)]26,26[- (B)]6,6[- (C)]23,23[- (D)]4,4[-

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上. 11．在区间[]-12，上随机取一个数x ，则[]x ,∈01的概率

为 ．

12．下面程序框图，输出的结果是________．

13.方程

x

y

t

t +

=--2

2

141

表示曲线C ，给出以下命题：

①曲线C 不可能为圆；

②若t <<14，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则t <<

512

.

其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号)．

14.我校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6,x y x y x -≥⎧⎪

-≤⎨⎪<⎩

则我校招聘

的教师人数最多是 名.

15.本题A 、B 、C 三个选答题，请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

A.（不等式选讲）不等式

x

x

++->11123的解集是 .

B.（坐标系与参数方程）在极坐标中，圆4cos ρθ

=的圆心C 到直线sin()4

π

ρθ+=的

距离为 .

C ．（几何证明选讲）圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的圆 的切线与AB 的延长线交于点

D ，72=CD ， AB BC ==3，则AC 的长为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）某地三所高中校A 、B 、C 联合组织一项活动，用分层抽样方法从三所学校的相关人员 中，抽取若干人组成领导小组，有关数据如下表(单位：人) （Ⅰ）求x ，y ；

（Ⅱ）若从B 、C

两校抽取的人中选2人任领导小组组长，求这二人都来自学校C 的概率.

A

17.（本题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）求三棱锥C OEF -的体积.

18.（本题满分12分）如图，A 、B 是单位圆上的动点，C 是单位圆与x 轴的正半轴的交点，且6

π

=

∠AOB ，记θ=∠COA ，),0(πθ∈，AOC ∆的面积为S .

（Ⅰ）若S OC OB f 2)(+⋅=→

--→--θ，试求)(θf 的最大值以及此时θ的值.

（Ⅱ）当A

点坐标为)5

4

,53(-时，求2

→-BC 的值.

19.（本题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前10项和1055S =，且248a a a ，，成等比数列.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)2n n n n b a =-+，求{}n b 的前n 项和n T .

20．(本题满分14分)已知函数32()10f x x ax =-+，

（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；

（II ）在区间[]1,2内至少存在一个实数x ，使得()<0f x 成立，求实数a 的取值范围．

21.(本题满分13分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点(,)21. （Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆1)1(2

2

=++y x 相切的直线t kx y l +=:交抛物线于不同的两点N M ,若抛物线上一点C 满足)(ON OM OC +=λ)0(>λ，求λ的取值范围.