陕西省西安交大阳光中学高中数学选修1-2 341 反证法导学案

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人教版高中数学选修(1-2)-2.2《反证法》教学设计

2.2.2 反证法（陈昌杰）一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与。

陕西省西安交大阳光中学高中数学学案选修1-2《3.3.3综合法和分析法》

第时间目标重点难点
课时第周
课题名称星期课型主备课人张赟
1. 能结合已经学过的数学示例，了解综合法和分析法的思考过程和特点; 2. 学会用综合法和分析法证明实际问题，并理解分析法和综合法之间的内在联系; 3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质. 综合法分析法的概念及思考过程和特征；利用综合法和分析法解答问题. 综合法分析法的概念及思考过程和特征；利用综合法和分析法解答问题. 二次备课
问题生成记录：
例 1（探究任务二中的问题）【思路点拨】比较条件和结论由(1)和(2)消去精讲互动
得只含有 , 的等
式用分析法从结论出发化切为弦整理得由条件推出结论问题得证
例 2 已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0. 【思路点拨】参阅教材 P63 的例 8.
复习 1：综合法是由
导
;
索 .
复习 2：分析法是由
探究任务一：通过阅读教材 P63 的例 7 和例 8，找出疑惑之处.（小组讨论）探究任务二：综合法和分析法的综合运用问题：已知 , k
(k Z ) ,且(1) sin cos 2sin , 2 2 (2) sin cos sin ,
1. 教材 P64 练习 2
2. 分别用分析法和、综合法证明： a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd .
2

达标训练
※ 知识拓展
综合法是 “由因导果” ，而分析法是“执果索因” ，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.

高中数学《反证法》导学案

2.2.2反证法1．反证法是□01间接证明的一种基本方法．假设原命题□02不成立，经过正确的推理，最后得出□03矛盾，因此说明假设□04错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为：(1)反设：假设命题的结论□05不成立，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从□06假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与□07已知条件矛盾，或与□08假设矛盾，或与□09定义、定理、公理、事实矛盾等．反证法中的“反设”和“归谬”(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一解，适宜用________证明．(2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，则假设的内容是________．(3)用反证法证明命题“如果a>b，则3a>3b”时，假设的内容是________．答案(1)反证法(2)a，b都不能被5整除(3)3a≤3b探究1用反证法证明否定性命题例1已知f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．[证明]假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＝－x0－2 x0＋1，由0<ax0<1可知0<－x0－2x0＋1<1，解得12<x0<2，这与x0<0矛盾，故假设不成立．即方程f(x)＝0没有负数根．拓展提升反证法属于逻辑方法范畴，它的本质体现在“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．【跟踪训练1】已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc.所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0.所以2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0.所以(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0.所以a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0，所以a ＝b ＝c ＝d ＝0，所以ad －bc ＝0，这与ab －bc ＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.探究2 用反证法证明“至多”“至少”型命题例2 已知a ，b ，c 是互不相等且均不为0的实数，求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．[证明] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点．由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.同向不等式求和得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0， ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0， ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，∴a ＝b ＝c . 这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．拓展提升常见结论词与反设词列表如下：【跟踪训练2】求证下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根时实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32.证明若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4(3－4a )<0，(a －1)2－4a 2<0，4a 2＋8a <0.解得－32<a <－1.所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32.探究3 用反证法证明唯一性命题例3 用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行．[证明] 由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行．假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a . 因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b ，这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立．拓展提升证明“唯一性”命题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．【跟踪训练3】已知直线m 与直线a 和b 分别交于A ，B 且a ∥b ，求证：过a ，b ，m 有且只有一个平面．证明 ∵如图，a ∥b ，∴过a ，b 有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a，b，m有一个平面α.假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．1.“否定结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．否定结论的步骤是：弄清结论本身的情况；找出结论的全部相反情况；正确否定上述结论.2.反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.3.在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的.1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D ．假设三个内角至多有两个大于60° 答案 B解析 “至少有一个不大于”的否定为“都大于”，所以选B. 2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数答案 C解析假设两个数都不是正数，则其和必为负数或零．所以选C.3．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________．答案无解或至少两解解析方程解的情况有：①无解；②唯一解；③两个或两个以上的解． 4．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 {a |a ≤－2或a ≥－1}解析假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得a 的取值集合为：{a |－2<a <－1}，所以其补集为{a |a ≤－2或a ≥－1}，即为所求的a 的取值范围．5．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，求证：2b ＝1a ＋1c 不成立．证明假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac .故b 2＝ac .又b ＝a ＋c 2，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，所以a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，因此2b ＝1a ＋1c 不成立．A 级：基础巩固练一、选择题1．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数答案 B解析用反证法证明命题时，“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”的反设为假设a ，b ，c 都不是偶数．故选B.2．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2 D ．至少有一个不小于2答案 D解析假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数都小于2，则必有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b ＋2c ·1c ＝6，故二者相矛盾，所以假设不成立． 3．实数a ，b ，c 不全为0等价于( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0 答案 D解析 “不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．4．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R >0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R >0，则P ，Q ，R 同时大于零或其中两个负的一个正的，不妨设P <0，Q <0，R >0.∵P <0，Q <0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，∴a ＋b ＋b ＋c <c ＋a ，∴b <0，这与a ，b ，c 都是正数矛盾．故P ，Q ，R 同时大于零．5．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 A解析假如甲：我没有偷，是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一个人说真话矛盾；假如甲：我没有偷，是假的，即丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立，所以A 正确．6．对于定义在实数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f (x )的一个“好点”．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在“好点”，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 A解析假设函数f (x )存在“好点”，即x 2＋2ax ＋1＝x 有解， ∴x 2＋(2a －1)x ＋1＝0.∴Δ＝(2a －1)2－4≥0，解之，得a ≤－12或a ≥32.∴f (x )不存在“好点”时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.故选A.二、填空题7．已知f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R ，下列四个命题： ①若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.其中真命题是________(填序号)．答案①②③④解析易知①③均为真命题；②用反证法：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，与条件矛盾，所以a ＋b≥0，所以②为真命题；④类似于②用反证法也可得出是真命题．8．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为________．答案a，b都不能被3整除解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”或“都不是”．9．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<12，那么他的反设应该是________．答案∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，则|f(x1)－f(x2)|≥1 2解析根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)剥离出来作为已知条件．三、解答题10．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．B 级：能力提升练11．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证： (1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14. 证明假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14 . 因为a ，b ，c ∈(0,1)，所以1－a >0,1－b >0,1－c >0. 所以(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12.三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.数学·选修2-2[A]∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．。

陕西省西安交大阳光中学高中数学 4.1.2 复数的有关概念学案新人教版选修12

3．两复数相等的充要条件
探究新知：
一、探究以下问题
1．实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复数是否也可以用点来表示吗？
2．复数与从原点出发的向量的是如何对应的？
3．复数的几何意义你是怎样理解的？
4．复数的模与向量的模有什么联系？
问题生成记录：
精
讲
互
动
二、带着以上问题阅读教材P74~P75相关内容，并完成下面题目
1. 复平面：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是的
叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做
．
实轴上的点都表示虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示
2. 复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点平面向量
3. 复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)的模
陕西省西安交大阳光中学高中数学4.1.2复数的有关概念学案新人教版选修1-2
目标
1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.理解复数的几何意义并掌握复数模的计算方法．
重点
复数的基本概念以及复数相等的充要条件数相等的充要条件．
自
主
学
习
复习：
1．复数的定义
2．复数集的分类
作业
若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.[来源
反思
板书
设计
三、例题
例1 已知复数试比较它们模的大小；
例2 满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）
A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆
+X+X+K]
达
标

陕西省西安交大阳光中学高中数学 4.3.1 复数学案新人教版选修1-2

陕西省西安交大阳光中学高中数学4.3.1复数学案新人教版选修1-2
目标
1.加深对复数概念的理解；
2.灵活运用复数的四则运算．
重点
对复数概念的理解．
二次备课
难点
复数的四则运算的运用.
自
主
学
习
知识结构
数系的扩充
复数
复数的概念
复数的运算
定义
代数形式
四则运算
几何意义
知识点精析：
（一）数系的扩充和复数的概念
1.记住复数的有关概念（实部、虚部、虚数、纯虚数、复数相等），弄清几种数集之间的包含关系。
2.理解复数的几何意义，记住模、共轭复数的定义和性质
（二）复数的运算
1．共轭复数规律，；
2．几种常见运算规律
（1）i =1，i =i，i = 1，i = i；
（3）i ·i ·i ·i = 1，i ＋i ＋i ＋i”．
问题生成记录：
精
讲
互
动
①实数？②虚数？③纯虚数？
2．下列命题中，假命题是（）
A．两个复数不可以比较大小B．两个实数可以比较大小
C．两个虚数不可以比较大小D．一虚数和一实数不可以比较大小
3．已知对于x的方程 +（1 2i）x+3m i=0有实根，则实数m满足（）
4．复数1+i+ +…+ 等于（）
A．i B． I C．2i D． 2i
作业
反思
板书
设计
【说明】要注意复数z实部的定义域是m≠ 3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．
达

高中数学选修1-2精品学案5：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法(重点)．2.理解反证法的思考过程、特点，会用反证法证明数学问题(重点、难点)．知识提炼1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．温馨提示反证法不是通过证明逆否命题来证明原命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确.思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()(4)反证法是通过证明逆否命题来证明原命题．()2．用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”时，假设的内容应是()A．a2＝b2B．a2＜b2C．a2≤b2D．a2＜b2，且a2＝b23．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③4．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使f(c)＞0”反设，所得命题为“_______________________________________”．5．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为______________．核心突破类型1用反证法证明否定性命题(自主研析)典例1已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．归纳升华1．用反证法证明否定性命题的适用类型．结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤．变式训练如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分．类型2用反证法证明“至多”“至少”等存在性问题典例2用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．(不考虑重根)归纳升华1．反证法是利用原命题的否定不成立则原命题成立来进行证明的．在使用反证法时，必须在假设中罗列出所有与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．2．对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．变式训练已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．类型3用反证法证明唯一性问题典例3已知一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．归纳升华(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．(2)若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．变式训练已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平面只有一个．类型4 用反证法证明不等式成立问题(误区警示)典例4已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.易错提示：本题易出现如下错误：假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0，与题设条件a＋b＋c＞0，abc＞0矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．防范措施：(1)错解没有弄清原题待证的结论是什么，导致反设错误．“求证：a＞0，b＞0，c＞0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0”．(2)含“至多”“至少”“唯一”等的结论，或以否定形式给出的结论，常用反证法证明．证明的第一步是写出结论的否定，否定一定要准确，证明时要将全部可能情形一一推证．类题尝试已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．课堂小结1．反证法证题的原理与实质．(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法证题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．2．反证法的适用对象．作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)结论是含有“至多”“至少”等词语的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．——★参考答案★——思考尝试1．[答案](1)√(2)×(3)√(4)×[解析](1)对，反证法是间接证明问题的方法．(2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理．(3)对，根据反证法的概念知说法正确．(4)错，2．[答案]C[解析]将结论否定，即为a2≤b2.3．[答案]C4．[答案]函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上恒小于等于0[解析]将命题反设，意思是“对区间[－1，1]上的任何x，都有f(x)≤0”．5．[答案]a≠1或b≠1[解析]“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以假设为a≠1或b≠1.核心突破类型1用反证法证明否定性命题(自主研析)典例1证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a，b，c不成等差数列．变式训练证明：连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，所以∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.因为四边形ACBD为圆的内接四边形，所以∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°，所以∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，所以对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，假设错误，所以AB，CD不能互相平分.类型2用反证法证明“至多”“至少”等存在性问题典例2证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f(α)＝f(β)＝0.因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．变式训练证明：假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又因为(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd＞1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．类型3用反证法证明唯一性问题典例3证明：根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图①所示，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图②所示，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C 为垂足)那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂平面α，所以AB⊥BC，AC⊥BC，在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．图①图②变式训练证明：假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立．类型4 用反证法证明不等式成立问题(误区警示)典例4解：假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a＜0，则由abc＞0，得bc＜0，由a＋b＋c＞0得，b＋c＞－a＞0，所以ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知ab＋bc＋ca＞0矛盾．又若a＝0，则abc＝0与abc＞0矛盾．故“a≤0”不成立，所以a＞0，同理可证b＞0，c＞0.类题尝试已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．证明：因为a∥b，所以过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，所以m⊂α.即过a、b、m有一个平面α.假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．。

陕西省西安交大阳光中学高中数学学案选修1-2《第一章小结》

第课时课题名称
时间第周星期课型主备课人张赟
目标
1. 了解两种统计方法的基本思想及其初步应用;
2. 通过实例，从感性到理性逐层深入地探求线性相关程度进行检验的统计量(相关系数)，
从而建立线性回归分析的基本算法步骤；.
3. 通过对典型的案例探究，了解独立性检验(只要求22
⨯列联表)的基本思想、方法及初步应用.
重点回归分析与独立性检验的基本思想与方法
二次备课难点回归分析与独立性检验的初步应用
自
主
学
习
一、本章知识框架
二、关键信息强化：
１．独立性检验的两个重要工具是：2
χ统计量和临界值，只有准确计算2χ（熟记计算公式），熟记两个临界值3.841和6.635及统计决断的原则，才能正
确地处理独立性检验的问题；
2．回归直线方程y bx a
=+中回归系数a、b的意义；
3．由回归直线方程中a、b的计算公式a, b知：回归直线y bx a
=+必过点（x，y）；
4．相关系数r和临界值
0.05
r是正确进行相关性检验的两大重要因素；
5．相关性检验就是检验||r与
0.05
r的大小关系．
三、特别警示：
1．分析两个变量是否具有相关关系的常用方法
(1)利用散点图进行判断：把样本数据表示的点在平面直角坐标系中作出，从而
得到散点图，如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就
说这两个变量之间具有线性相关关系．
（2）利用相关系数r进行判断：｜r｜≤１而且｜r｜越接近于１，相关程度越
强；｜
希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

高中数学选修1-2教案：2.2.2第三课时反证法

精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

陕西省西安交大阳光中学高中数学 1.2.4 独立性检验应用学案新人教版选修1-2

达
标
训
练
教材P27练习题
作业
反思
板书
设计
目标
1.能利用独立性检验来考察两个变量是否有关联;
2.能够较准确的给出这种判断的可靠程度的具体做法.
重点
独立性检验在具体问题中检验的方法步骤
二次备课
难点
独立性检验在具体问题中检验的方法步骤
自Hale Waihona Puke 主学习1.在2×2列联表的独立性检验中表格列为：
2.独立性检验计算的量 =
问题生成记录：
精
讲
互
动
1.阅读教材P25例2，回答：
1）所给的数据时关于
2）表格中的a =，b =，c =，d =
3）列出表格：
4）根据表格计算：
=
结论：因为，所有
．
自己总结做题步骤：
2.阅读教材P26例3，回答：
1）问题是关于考察的关系
2）将表中的数据换成a= 28，b= 600，c= 52，d=
3)计算 =
结论：
3.阅读教材P26~P27例4，回答：
1）研究的是关于的关系
2）自己对表中的数具进行修改，a=，b，=c，=，d=
然后计算 =
3)结论是：头发的颜色与眼睛虹膜的颜色关系是：
例（选讲）．某校高二年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数和如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？(该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人)

选修1-2《反证法》导学案

2.2.2 反证法及其应用【学习目标】能正确地运用反证法进行简单的推理。

【学习重难点】反证法的应用，及其过程中矛盾的构造。

【学习过程】一、温故知新复习1：直接证明的两种基本方法: 和。

复习2：这两种基本方法的推证特点：二、新课导学故事《路边苦李》：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。

思考：王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？问题：.ABC B C ≠∠≠∠在△中，若AB AC,则如何说明呢？方法迁移：假设那么假设不正确，则探究1：掀起你的盖头来——认识反证法新知：一般地，假设原命题（即在原命题的条件下，），经过正确的推理，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题.这种证明方法叫.探究2：让我看看你的脸——了解反证法反证法的一般步骤：（1）___________。

假设命题的________不成立。

即假设原结论的________成立；（2）___________。

从这个假设出发，经过推理论证，得出__ __；（3）___________。

由矛盾判定_________，从而__________________结论成立。

探究3：终于抱得美人归——反证法的应用例1：已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数不可能是奇数。

准确地作出反设是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式：例2：已知,0x y >,且2x y +>.2.求证：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分小结：哪些问题适宜用反证法？三、总结提升1. 反证法的基本步骤？2. 反证法的适用范围？.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差四、课后反馈1．用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60° 2．下列命题不适合用反证法证明的是( )A ．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B ．两个不相等的角不是对顶角C ．平行四边形的对角线互相平分D ．已知x ，y ∈R ，且x ＋y ＞2，求证：x ，y 中至少有一个大于13．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是__________ ____． 4．证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为__ ______． 5．求证：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．6．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．。

陕西省西安交大阳光中学高中数学 3.3.2 分析法学案新人教版选修1-2

2a ,aFra biblioteka a2
（3）立方和公式： a3 b3 a b a 2 ab b2
证明：
1. 教材 P63 练习 1
2. （选做）设 f (x) ax2 bx c(a 0) ，若函数 f (x 1) 与 f (x) 的图像关
达
标
于 y 轴对称.求证： f (x 1 ) 为偶数.
训
2
练
1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 目标
2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法．
重点难点
分析法的概念及思考过程和特征；利用分析法解答问题. 分析法的概念及思考过程和特征；利用分析法解答问题.
二次备课
探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式 a b ab (a 0,b 0) .（小组分析讨论）
【思路点拨】由题目可以获得以下主要信息：（1）f (x) 是二次函数；（2）f (x 1)
与 f (x) 的图像关于 y 轴对称. 解答本题时可先分析 f (x 1 ) 为偶数的条件， 2
再利用已知，推出满足条件或寻找结论成立的条件.
作业
反思
板书设计
问题生成记录：
例 1 求证 3 5 2 6
【思路点拨】证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析
精
法探索证明的途径.
讲
互
动
例 2 已知 a，b 是正实数，求证： a b a b . ba
【思路点拨】利用分析法证明，需要注意一下三点：(1)分式化成正式；（2）
3
a
2
探究任务二：通过阅读教材 P61~P62 的例 4、例 5 和例 6，找出疑惑之处.（小组讨论）

陕西省西安交大阳光中学高中数学 4.2.1 复数的四则运算(一)学案新人教版选修1-2

6.复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式．
7.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
问题生成记录：
精
讲
互
动
1.共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复
数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.通常记复数的共轭复数为．
2.共轭复数的性质
（1）；； . (此性质必须阅读课本P77例1和例2并完成P78练习
例2阅读课本P78的例3和例4，以及P78~P80的例5、例6并完成P81练习
达
标
训
练
1．计算：(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i)；
2．计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)；
3．计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i)；
4．计算(a+bi) (a-bi)．
作业
1．若且的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知复数满足，求复数 .
反思
板书
设计
陕西省西安交大阳光中学高中数学4.2.1复数的四则运算（一）学案新人教版选修1-2
目标
1.掌握复数的加法运算及意义
2.理解并掌握实数进行四则运算的规律
重点

高中数学选修1-2教学设计-反证法教案

2．2.2 反证法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合实例了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题．2．过程与方法使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识．3．情感、态度与价值观注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而发展学生的数学思维能力，提高思维品质．●重点难点重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾．在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或己知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相矛盾的地方；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学法，让学生参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学生积极参与的热情，开发其论证推理能力的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下几点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出矛盾——得出结论．(2)提出反设的方式方法：引导学生弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬方法：在归谬过程中要注意假设条件的利用，通过例题分析总结归谬的方法技巧．(4)反证法的适用范围及对象：反证法一般适用于题目条件中含有量词“至多”“至少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．●教学流程创设问题情境，通过“道旁苦李”的故事，引导学生认识反证法，了解其特点、推理方式及应用范畴．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解反证法的证明格式、步骤、思维方式、证明思想等．引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，老师指导完善，并完成变式训练．学生分组探究例题2解法，总结反证法证明唯一性命题的反设方式及证明的方法，完成例题2变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，教师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点)2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(难点)反证法【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？【提示】实质运用了反证法的思想．1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等.用反证法证明否(肯)定式命题设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．【自主解答】假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．2．常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在已知非零实数a 、b 、c 成等差数列a ≠c ，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．【证明】假设1a ，1b ，1c成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac，又a 、b 、c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴b ＝a ＋c 2，∴4a ＋c ＝a ＋c ac， ∴(a －c )2＝0，即a ＝c . 这与a ≠c 矛盾．故假设错误，原命题正确.用反证法证明“唯一性”命题若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断开，f (a )＜0，f (b )＞0，且f (x )在[a ，b ]上单调递增，求证：f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．【思路探究】先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a ，b )内有零点，再用反证法证明零点唯一．【自主解答】由于f (x )在[a ，b ]上的图象连续不断开，且f (a )＜0，f (b )＞0，即f (a )·f (b )＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，即f (n )＝0，则n ≠m .若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾；若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．【证明】如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立.用反证法证明“至多、至少”问题已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.【思路探究】明确“至少”的含义―→对结论作出假设―→得出矛盾．【自主解答】假设1＋xy，1＋yx都不小于2，即1＋xy≥2，1＋yx≥2.∵x＞0，y＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2矛盾．∴1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.常见结论词与反设词列表如下：成立存在某个x成立一个都没有至少两个在本例中，若x，y>0且x＋y＝2，求证：1＋xy，1＋yx中至少有一个不小于2.【证明】假设1＋xy，1＋yx都小于2.则1＋x<2y,1＋y<2x，，那么2＋x＋y<2x＋2y，∴x＋y>2与已知x＋y＝2矛盾．所以假设不成立，原命题成立.利用反证法证题时，假设错误而致误已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c ＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0.【防范措施】用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．1．反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．2．反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．3．反证法的基本步骤是：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是( )A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a≤3b D．3a≥3b【解析】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a≤3b”．【答案】 C2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为( )A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角【解析】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．【答案】 A3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．【解析】 ∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1. 【答案】 a ≠1或b ≠14．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【证明】 ∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ②由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根.一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③【解析】由反证法的定义可知应选C.【答案】 C2．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设( )A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【解析】三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．【答案】 B3．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D.【答案】 D4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确【解析】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．【答案】 D5．下列命题不适合用反证法证明的是( )A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1【解析】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．【答案】 C二、填空题6．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是______________．【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．【答案】“三角形中最少有两个内角是直角”7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．【解析】“a、b全为0”即“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”【答案】“a、b不全为0”8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．【答案】③①②三、解答题9．(2013·泰安高二检测)用反证法证明：无论m取何值，关于x的方程x2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【解】假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－86－m ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．10．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0.【证明】假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0.11．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【解】假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0.这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a ，b ，c 中至少有一个大于0.(教师用书独具)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【思路探究】第(1)问考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求解．第(2)问先假设任三项b p 、b q 、b r 成等比数列，再用反证法证明．【自主解答】 (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32， ∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，是否有f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )?(2)若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，是否有a ＋b ≥0?以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．【解】(1)若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立．证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0成立．证明：(反证法)假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，而f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．以上两式相加，得f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，所以假设错误，因此a＋b≥0.。

【教学设计】课标版选修1-2《反证法》教学设计

课标版选修1-2<《反证法》教学设计一、教材内容分析：本课是教科2003课标版选修1-2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容——反证法。

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力，从而完善解题过程中正反面结合的思维习惯.二、学情分析：反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却让学生感到困难，原因如下：反证法主要是需要逆向思维，逆向思维训练和发展都是不充分的；其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识，学生在学习那部分的知识时就存在一定的困难；再有就是本班学生的基础并不是太好，在理解上有一定的困难。

三、教学目标:1、知识技能：理解反证法的概念，掌握反证法证题的步骤；2过程与方法：通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系；会用反证法证明简单的命题；3、情感、态度与价值观：通过反证法的学习，培养审慎思维的习惯，认识数学的科学价值。

让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

4.数学核心素养的培养：要注重学生逻辑推理、数学运算、数学抽象等数学核心素养。

四、教学重难点教学重点：掌握反证法的证明步骤，体会反证法证明命题的思考过程及特点，学会建立起使用反证法的意识。

教学难点：理解反证法中的“假设”内在含义及作用；理解反证法中的矛盾推导。

五、教学过程：（一）、情景导入：引例1 王戎的《路边苦李》小故事情景引入新课。

（让学生对比王戎和其他小朋友的方法，得出有时候间接证明要比直接证明的方式好一些，从而引出间接证明——反证法）引例2：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？引例3：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。

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问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？
探究任务二：直接证明和间接证明
问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？
精讲互动
题型一：归纳推理
例1．已知数列 ⑴求出；⑵猜想前项和 .
精讲互动
一、理解反证法的定义
（1）如何否定结论？请写出下列关键词的否定形式：
关键词
否定词
关键词
否定词
等于
大于
能
小于
至少有一个
至多有一个
都是
是
没有
属于
（2）通过教材的例1和例2，如何理解“矛盾”？
（3）反证法的证明步骤：
二、用反证法的证明命题
例1.求证：是无理数。
分析：（1）若以“ 是无理数”为原命题，你能写出它的命题的否定和逆否命题吗？
难点：用综合法和分析法解答问题、用反证法解答问题.
学习
过程
与方
法
自主学习
本章知识结构：
复习1：归纳推理是由到的推理.
类比推理是由到的推理.
合情推理的结论.
演绎推理是由到的推理.
演绎推理的结论.
复习2：综合法是由导;
分析法是由索.
直接证明的两种方法:和;
是间接证明的一种基本方法.
探究任务一：合情推理与演绎推理
§3.4.1反证法
授课
时间
第周星期第节
课型
新授课
主备课人
学习
目标
1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
重点难点
重点：反证法的概念及思考过程和特征；
难点：用反证法解答问题.
学习
过程
与方
法
自主学习
复习1：直接证明的两种方法:和;
复习2：原命题与逆否命题的关系是;原命题与命题的否定的关系是;
问题：你能写出下列命题的否定和逆否命题吗？
（1）原命题：a是整数，如果2能整除a2，那么2能整除a.
命题的否定：
逆否命题：
（2）原命题：在一个平面内，如果两条直线a，b都和直线c垂直，那么a与b平行.
命题的否定：
逆否命题：
探究任务：反证法（阅读教材P65~P66，找出疑惑之处）
诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾，才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.
作业
布置
学习小结/教学
反思
§3.4.2反证法
授课
时间
第周星期第节
（2）请说出用反证法证明该题的思路。
解：
达标训练
1．求证：是无理数.
2.在不等边中，A是最小角，求证：A<
3（选做）．若a，b，c均为实数，且，， .求证：a，b，c中至少有一个大于0.
分析：解答本题可先假设命题的反面成立，再利用正确的推理得到矛盾。
※知识拓展
空城计与反证法
空城计相传三国时代，蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头，怎么办?诸葛亮冷静思考之后，传令大开城门，让老弱士兵在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声优雅，司马懿来到城前见此情况，心中疑惑，他想诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，今天如此这般与其一生表现矛盾，恐怕城内必有伏兵，故意诱我入城，决不能中计，于是急令退兵.
【思路点拨】由题目可获得以下主要信息：（1）a，b，c是含在x，y，z的代数式；（2）含
有“至少”的命题需要用反证法。
解：
精讲互动
1.阅读教材P66例5和例6思考下面问题：
（1）“不可能”的否定是什么？数列的通项公式是什么？
（2）通过例6，谈谈反证法在立体几何中的应用。例6的推导与什么“矛盾”？
题型二：“否定”型命题
新知：1.在数学证明时，先成立，在这个前提下，若推出的结果与、、
相矛盾，或与命题中的的相矛盾，或与相矛盾，从而说明不可能成立，由此断定成立，这种证明方法叫.
2.是间接证明的一种基本方法.（理解并掌握该定义）
小组讨论：1.通过例1和例2，谈谈你对反证法的理解。在什么情况首先考虑用反证法呢？
2.（知识的延伸）反证法的理论依据是什么？（即：为什么用反证法可以证明原命题成立？）
题型二：综合法证明不等式
例2．若a> 0，b> 0，则 .
题型三：分析法证明不等式
例3．设a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证： .
达标训练
教材P69复习题（三）（选做）5 6 7 8
※知识拓展
帽子颜色问题
“有3顶黑帽子，2顶白帽.让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子.每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色.（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见.现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人.事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子.为什么?
例1．设a，b，c，d ，且，求证：
【思路点拨】由条件不能正面证明结论，采用反证法假设结论不成立，将已知条件代入整理可得出于已条件矛盾。
解：
达标训练
1.已知x，y> 0，且x+y> 2，求证：中至少一个小于2.
2.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：不成等差数列.
作业
布置
课型
习题课
主备课人
学习
目标
1.了解反证法间接证明的一种基本方法；
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
重点难点
重点：反证法思考过程和特征；
难点：用反证法解答问题.
学习
过程
与方
法
自主学习
复习1反证法：在数学证明时，先成立，在这个前提下，若推出的结果与、、
相矛盾，或与命题中的的相矛盾，或与相矛盾，从而说明不可能成立，由此断定成立，这种证明方法叫.
复习2反证法的证明步骤：
复习3反证法的使用范围：
题型一：用反证法证明“至少”“至多”型命题
1.阅读教材P66例4，思考下面问题：
（1）“至少有一个”的否定是什么？
（2）用反证法证明时，推出的结果与什么结论“矛盾”？
2．（变式训练）若a，b，c均为实数，且，，
.求证：a，b，c中至少有一个大于0.（见上一节“达标训练”选做）
学习小结/教学
反思
§第三章推理与证明
授课
时间
第周星期第节
课型
复习课
主备课人
学习
目标
1.了解合情推理和演绎推理的含义；
2.能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；
3.能用综合法和分析法进行数学证明；
4.能用反证法进行数学证明.
重点难点
重点：（1）合情推理和演绎推理的含义；（2）综合法、分析法和反证法的理解和应用；

陕西省西安交大阳光中学高中数学 选修1-2 341 反证法 导学案