江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学文试题Word版含答案

武进区2014届第一学期期中考试高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 ▲ ． 2．函数()2cos f x x =的最小正周期是 ▲ ．3．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ▲ ． 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则7S 的值为 ▲ ． 5．已知向量()1,3a =，()2,1b =-，()3,2c =.若向量c 与向量a kb +共线， 则实数k = ▲ ．6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ① 若//αβ，则l m ⊥； ② 若αβ⊥，则//l m ； ③ 若//l m ，则αβ⊥； ④ 若l m ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是 ▲ ．（把所有正确的命题序号都填上） 7．定义在R 上的函数()f x 满足:()()23f x f x +⋅=，且()12f -=， 则()2013f ＝ ▲ ．8．若实数x ，y 满足22(2)1x y -+=，则z x y =+的最大值是 ▲ ．9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ▲ ． 10．已知函数()sin 2f x x =，其中π[,]6x a ∈-．若()f x的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a 的取值范围是 ▲ ．2013.1111．如图，在正三棱锥A －BCD 中，底面正三角形BCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，AC ⊥DE ，则正三棱锥A －BCD 的体积是 ▲ ．12．已知点P 的坐标4(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 ．13. 定义域为R 的函数()2log 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则(1)f b c +-等于 ▲ ．14．曲线C ：)0,0(||>>-=b a ax by 与y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C 有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当1,1==b a 时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 且()f A =2cossin()22A A π-22sin cos 22A A+-. ⑴ 求函数()f A 的最大值； ⑵ 若()0,,12f A B a 5π===c 的值．BD16．（本题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面PDC ， ⑴ 求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；⑵ 在棱PD 上是否存在一点E ，使得PB // 平面EAC ？如果存在，请找出点E 并加以证明；如果不存在，请说明理由．17．（本题满分14分）已知函数()52f x x x=+的定义域为()0,+∞.设点P 是函数图像上的任意一点，过点P 分别作直线2y x =和y 轴的垂线，垂足分别为M 、N .⑴ PM PN ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； ⑵ 设点O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.DPABC18．（本题满分16分）甲乙两地相距300千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过a 千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是43111519200160P v v v =-+.⑴ 试将全程运输成本Q (元)表示为速度v 的函数；⑵ 为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值.19．（本题满分16分）已知数列{}n a 中，112a =，()111222n n n a a n -=+≥，数列{}n b 满足n n n a b 2=. ⑴ 求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；⑵ 求数列{}n a 的前n 项和n S ；⑶ 设数列{}n c 满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.20．（本题满分16分）已知函数()1ln ,f x a x x x R x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭． ⑴ 若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； ⑵ 若0a >，求函数()f x 的单调区间； ⑶ 设函数()ag x x=-．若至少存在一个[)01,x ∈+∞，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围．2014届第一学期期中考试高三文科数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1、 12、 π3、 24、 215、1-6、①③7、32 8、2+9、4 10、2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11、312、13、 2 14、π3 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分） 解：（1）22()2cos sin sin cos 2222A A A A f A =+-sin cos )4A A A π=-=-.……3分因为0A <<π，所以444A ππ3π-<-<.………………4分 则所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A………7分（2）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又知444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，则4A π=.………………10分因为12B 5π=，所以712A C π+=，则3C π=.………………12分由sin sin a c A C =得，sinsin 36sin sin 4a C c A π===π．………………14分 16．（本题满分14分）2013.11C（1）证明：⊥PA 平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，∴ CD PA ⊥．………………2分四边形ABCD 为矩形，∴CD AD ⊥， ………………4分PA AD A =，∴⊥CD 平面PAD ． ………………6分CD ⊂平面ABCD ∴平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………7分（2）答：当点E 为棱PD 中点时，PB // 平面EAC . ………………9分 证明：取棱PD 中点E ，连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．四边形ABCD 为矩形，∴O 为BD 中点．E 为棱PD 中点． ∴ EO PB //．………………12分⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，∴直线PB //平面EAC ． ………………14分17．（本题满分14分）解：⑴设点P 的坐标为()00,x y ，则有00052y x x =+，………………2分由点到直线的距离公式得0PM ===，..................4分 0PN x =， (6)分PM PN ∴⋅=PM PN ⋅7分（2）由题意可设(),2M t t ，知()00,N y . 由PM 与直线2y x =垂直，知12PM K =-，即00212y t x t -=--，又00052y x x =+，解得002t x x =+，故002OM x x ⎫=+⎪⎭.………………10分 所以020*********OPMS x x x ∆⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭，20000155222OPN S x x x x ∆⎛⎫=⋅⋅+=+ ⎪⎝⎭.………………12分所以22002200525515522OMPN OPM OPN S S S x x x x ∆∆⎛⎫=+=+++=++≥ ⎪⎝⎭. 当且仅当1405x =时等号成立，故四边形面积有最小值5.………………14分 18．（本题满分16分） 解：（1）43300113001519200160Q P v v v v v⎛⎫=⋅=-+⋅⎪⎝⎭………………3分32111530019200160v v ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，0100v <≤.………………5分（2）()'2380323001920016064v v Q v v -⎛⎫=-⋅=⎪⎝⎭，………………7分 令0,0=='v Q 则（舍去）或80=v ，当;0,800<'<<Q v 时 当80v >时，0>'Q ，………………9分当80a ≥时， 80v =时，全程运输成本取得极小值，即最小值()80500Q =；……………………………………12分当80a <时，Q 在[]0,a 上单调递减，所以在v a =时，全程运输成本取得最小值()32154500648a a Q a =-+.……………………16分19．（本题满分16分） 解：（1）由()111222n n n a a n -=+≥，则12211+=--n n n n a a . ∵n n n a b 2=，∴11+=-n n b b ，即当2≥n 时，11=--n n b b .………………3分 又1211==a b ，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 于是n n n a n n b 21)1(1==⋅-+=，∴n n na 2=.………………5分（2）由（1）得nn na 2=，所以211112222nnS n =⨯+⨯++⋅①， 2311111122222n n S n +∴=⨯+⨯++⋅ ②，………………7分 由①－②得211111122222n n n S n +=+++-⋅111122n n n +=--⋅， 222n n nS +∴=-.………………9分 （3）∵()()1113312n n n n n nnn c a λλ---⋅=+=+-⋅，∴]2)1(3[]2)1(3[1111n n n n n n n n c c ⋅-+-⋅-+=--+++λλ02)1(3321>⋅--⋅=-n n n λ∴1123)1(--⎪⎭⎫⎝⎛<⋅-n n λ ①………………11分当n =2k －1，k =1，2，3，……时，①式即为2223-⎪⎭⎫⎝⎛<k λ ②依题意，②式对k =1，2，3……都成立，∴1<λ………………13分当n =2k ，k =1，2，3，……时，①式即为1223-⎪⎭⎫⎝⎛->k λ ③依题意，③式对k =1，2，3……都成立， ∴23->λ ∴123<<-λ，又0≠λ………………15分 ∴存在整数1-=λ，使得对任意*N n ∈有n n c c >+1.………………16分20．（本题满分16分） 解：函数的定义域为()0,+∞，()2'22111ax x a f x a x x x -+⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭222122()(1)ax x af x a x x x-+'=+-=． …………………………………………………1分 （1）当2a =时，函数()12ln f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()10f =，()'13f =．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()31y x =-，即330x y --=．………………………………………………………………………4分 （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞．由0a >，214a ∆=-，（ⅰ）若102a <<， 由()'0f x >，即()0h x >，得12x a <或12x a>由()'0f x <，即()0h x <，得1122x a a<<．……………………6分所以函数()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭． ……………………………………8分（ⅱ）若12a ≥，()0h x ≥在()0,+∞上恒成立，则()'0f x ≥在()0,+∞上恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递增． ………………………………………………………………10分（3））因为存在一个[)01,x ∈+∞使得()()00f x g x >， 则00ln ax x >，等价于0ln x a x >. 令()[)ln ,1,xF x x x=∈+∞，等价于“当[)1,x ∈+∞ 时，()min a F x >”. ………12分 对()F x 求导，得()'21ln xF x x-=. 因为当[]1,x e ∈时，()'0F x ≥，所以()F x 在[]1,e 上单调递增. 故此时()10,F x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当(),x e ∈+∞时，()'0F x <，所以()F x 在[]1,e 上单调递减.，又()0F x >，故此时()10,F x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，…………………………………………………14分综上，()10,F x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()()min 10F x F ==，所以0a >.………………………16分另解：当()1,x ∈+∞时，()0F x >；当1x =时，()0F x =. 即()()min 10F x F ==，所以0a >.另解：设()()()ln F x f x g x ax x =-=-，[)1,x ∈+∞，()'11ax F x a x x-=-=. 依题意，至少存在一个[)1,x ∈+∞，使得00()()f x g x >成立，等价于当[)1,x ∈+∞ 时，()max 0F x >. ………………………………………12分 （1）当0a ≤时，()0F x '<在[)1,+∞恒成立，所以()F x 在[)1,+∞单调递减，只要()()max 10F x F a ==>，则不满足题意. ………………………………13分（2）当0a >时，()'11a x ax a F x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==，令()0F x '=得1x a=. （ⅰ）当101a<≤，即1a ≥时， 在[)1,+∞上()'0F x ≥，所以()F x 在[)1,+∞上单调递增，由()10F a =>， 所以()0F x >恒成立……………………………………………………………14分 （ⅱ）当11a>，即01a <<时， 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上()0F x '<，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()0F x '>， 所以()F x 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，由()10F a =>，所以()0F x >恒成立…………………………………………15分. ………………………………………16分综上所述，实数a的取值范围为(0,)。