数学物理方法11

平面内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方
M'
'
向运动。
ds
M
所谓“微小”是指运动的幅度及弦在任 意位置处切线的倾角都很小，以致它们

T
gds
的高于一次方的项可以忽略不计。
O
N
N'
x
x dx
x
弦是均匀的，设其线密度为 ；
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设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置为M，其位移MN记为u。 显然，在振动过程中，位移u是变量x和t的函数，即
三角函数和反三角函数
4
主要内容
第一章 数学物理方程及其定解条件 §1.1 基本方程的建立 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题的提法 §1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简
第二章 分离变量法 §2.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法 §2.2 二维Laplace方程的定解问题 §2.3 非齐次方程的解法 §2.4 非齐次边界条件的处理
由牛顿第二定律有
T sin
T ' sin ' gds ds 2u x,t
t 2
将近似式代入，T

u

x dx, x
t


u
x,
x
t




gdx


2u
t
x,
2
t

dx
16
T

u

x dx, x
t


u
x,
1
教材与参考书
教材：《数学物理方法——理论、历史与计算机》，郭玉 翠，大连理工大学出版社
《数学物理方法》第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等， 高教出版社，2002年
《实用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯 曼，机械工业出版社，2005年
学时
32学时
2
对大家的要求
按时上课 课上记笔记，做标记 独立完成作业
教学目的
通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握波动方程、热传导 方程和Laplace方程等典型数学物理方程的常用解法：分 离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法等等。熟 悉和掌握Bessel函数和Legendre函数等两类特殊函数的 性质和应用。
通过对所讨论问题的综合分析，使学生逐步掌握运用数学 的思想和方法来解决实际物理问题的思路和具体步骤，为 电磁场、微波理论等后续课程的学习及培养初步的科研能 力打下基础。
T'
1 tan2
x
M'
'
sin ' tan ' u x dx,t ,
x
ds
M

gds
u x,t 2
T
ds 1
x
dx dx.
N
N'
O
x
x dx
x
小弧段在时刻t沿u方向的加速度近似为
u2 (x, t) t 2
，
小弧段的质量为 ds
x1x
将虎克定律 (x,t) E u(x,t) 代入上式
x
得：
S x
2u( ,t)
t 2
x1x

ES
u( ,t)
xx

ES
u( ,t)
x

F(x
2x, t )S x
将函数 u( ,t)
在 x 处展开为泰勒级数并取前两项，得：
N
N'
O
x
x dx
x
按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上M和M’点处切线 的倾角都很小，即：
0, ' 0
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由 cos 1 2 4
2! 4!
略去 和 ' 的所有高于一次方的项时，就有
cos 1, cos ' 1
u
T'
代入式 T cos T ' cos ' 0 便可近似得到： T T '
统计法：通过统计规律建立所研究问题满足的广义数学物理 方程，常用于经济、社会科学等领域。
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§1.1.1 波动方程
1. 均匀弦的微小横振动
设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变 化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。
下面研究弦作微小横振动的规律。
u
T'
所谓“横向”是指全部运动出现在一个
u u(x,t) u
T'
采用微元法来建立位移u满足的方程：
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
ds
M


gds
在弦上任取一弧段 MM，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
5
第三章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 §3.1 二阶常微分方程的级数解法 §3.2 Legendre（勒让德）方程的级数解 §3.3 Bessel（贝塞尔）方程的级数解 §3.4 Sturm-Liouville（斯特姆--刘维尔）本征值问题
第四章 Bessel函数的性质及其应用 §4.1 Bessel方程的引出 §4.2 Bessel函数的性质 §4.3 Bessel函数的应用 *§4.4 修正Bessel函数 *§4.5 可化为Bessel方程的方程
——
AB

u(x

x, t ) x
u(x,t)
x点的应变为：
lim u(x x,t) u(x,t) u(x,t)
x0
x
x
A
P( x, t ) A'
u( x, t )


B x
P(x x,t) B'
u(x x,t)
由于振动是微小的，可认为不超过杆的弹性限度
虎克（Hooke）定律：应力=弹性模量*应变
x
t




gdx



2u
t
x,
2
t

dx（*）
上式左端方括号的部分是由于x产生 的改变量，可以用微分近似代替：
dx
的变化引起的
u( x, t ) x
u

x dx, x
t


u
x,
x
t


x

u
x,
x
t


dx

2u x,
x2
重复以上的推导过程，可得有外力作用时弦的振动方程为：
u2 (x,t) t 2

a2
2u( x, t ) x2

f
( x, t )
（**）
其中，f (x,t) F(x,t) / ，表示t时刻单位质量的弦在x点所受的外力。 式（**）称为弦的受迫振动方程。
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u2 (x,t) t 2
任务：将物理规律“翻译”为数学语言，即列出某 类物理现象所满足的数学物理方程
常用的方法：
微元法：在整个系统中分出一个小部分，分析邻近部分与这 一小部分的相互作用，通过对表达式的化简、整理，即得到 所研究问题满足的数学物理方程
规律法：将物理规律（比如Maxwell方程组）用（容易求解 的）数学物理方程表示出来

a2
2u( x, t ) x2
u2 (x,t) t 2

a2
2u( x, t ) x2

f
( x, t )
（*） （**）
方程（*）和方程（**）的差别在于方程（ ** ）的右端多了一个与未 知函数u无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。
包括有非零自由项的方程称为非齐次方程。
自由项恒等于零的方程称为齐次方程。 方程（*）为一维齐次波动方程，

xx
S x
2u( ,t)
t 2
x1x

ES
2u( ,t) 2
x
x

F(x
2x, t )S x
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，1,2 满足 0 i 1 (i 1, 2)
22

S
x

2u(
t 2
,
t
)

ES
2u( , 2
可得：
u2 (x,t) t 2

a2
2u( x, t ) x2
其中， a2 T /
这就是均匀弦的横振动所满足的泛定方程。它是一种波动方程。由于在
空间上是一维的，故称一维波动方程。
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受迫振动
如果均匀弦上沿位移方向还经受外力场作用，单位长度弦上所受之力， 即力密度为F(x,t)。则在方程左端还应加上一项外力 F(x,t)dx 。
熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量 法，行波法、积分变换法等；
熟悉Bessel函数和Legendre函数的性质及其 应用。
学习方法
物理过程 数学模型 数学解
物理解 物理现象
第1章 数学物理方程及其 定解条件
——典型方程和定解条件的导出
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§1-1 基本方程的建立
基本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的 数学表达