七年级数学中的角度计算题已改

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新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析

《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°．（4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =．答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分．故分针速度是时针速度的12倍．举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40．答：此人外出购物用了40分钟的时间．。

数学试题三角函数的计算题

数学试题三角函数的计算题数学试题：三角函数的计算题三角函数是数学中常见且重要的概念之一，在计算题中经常会涉及到三角函数的计算。

本文将介绍几个常见的三角函数计算题，分别是求角度、求边长和简化表达式。

通过这些例题的讲解，读者将能够更好地理解三角函数的运算规则和应用方法。

1. 求角度例题1：已知sin(x) = 0.5，求角度x的值。

解析：根据sin函数的定义可知，当sin(x) = 0.5时，角度x的取值有两个解，一个是30°，另一个是150°。

因此，角度x的值可以表示为x = 30°或x = 150°。

例题2：已知cos(y) = 0.8，求角度y的值。

解析：同样地，根据cos函数的定义可知，当cos(y) = 0.8时，角度y的取值有两个解，一个是36.87°，另一个是-36.87°。

因此，角度y的值可以表示为y = 36.87°或y = -36.87°。

2. 求边长例题3：已知直角三角形的一个锐角为30°，斜边长为10，求直角边的长度。

解析：根据三角函数sin和cos的定义可知，sin(30°) = 1/2，cos(30°) = √3/2。

设直角边的长度为x，则有以下方程组：x*sin(30°) + x*cos(30°)= 10，x*(1/2) + x*(√3/2) = 10。

整理得√3/2x + 1/2x = 10，即(√3 + 1)/2x = 10。

解得x = 20/(√3 + 1) ≈ 5.86。

因此，直角边的长度约为5.86。

3. 简化表达式例题4：简化表达式sin(x) - cos(x)*tan(x)。

解析：根据三角函数的定义和性质，可以进行以下简化：sin(x) - cos(x)*tan(x) = sin(x) - cos(x)*(sin(x)/cos(x))。

初中数学几何专题-三角形、多边形中的角度计算问题

三角形、多边形中的角度计算问题【方程】1、如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连结DE．（1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数；（2）若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE．2、探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．3、如图，△ABC中，∠B＝65°，∠BAD＝40°，∠AED＝100°，∠CDE＝45°，求∠CAD的度数．4、△ABC中，∠C＝80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．．（1）若点P在边AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1＋∠2＝；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由5、△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点（不与A、B、C重合），点P是一动点，令∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在边BC上，如图l，且∠α＝50°，则∠1＋∠2＝°．（2）若点P在边BC上运动，如图2，试判断∠α、∠1、∠2之间的关系，并证明．（3）直接写出：若点P运动到△ABC形外，如图3，则∠α、∠l、∠2之间的关系为．【高、角平分线】6、（1）已知如图1，锐角△ABC中，AB、AC边上的高CE、BD相交于O点．若∠A＝70°，则∠BOC．（2）若将（1）题中已知条件“锐角△ABC”改为“钝角△ABC，∠A为钝角且∠A＝n°”，其它条件不变（图2），请你求出∠BOC的度数．7、如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．（1）求证：CD⊥AB；（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE．8、如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H；下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC﹣∠C；④∠BGH ＝∠ABE＋∠C，其中正确的结论有．9、已知：△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．（1）如图①AD⊥BC于D，若∠C＝70°，∠B＝30°，求出∠DAE的度数；（2）若△ABC中，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），探索∠DAE与α、β间的等量关系，不必说明理由；（3）如图②所示，在△ABC中AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是AE上的任意一点，过F作FG⊥BC于G，且∠B＝30°，∠C＝80°，请你运用（2）中结论求出∠EFG的度数；（4）在（3）的条件下，若F点在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则∠EFG的度数大小发生改变吗？说明理由．10、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点．PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠ADC＝度，∠E＝度；（2）若∠B＝58°，∠ACB＝102°，则∠ADC＝度，∠E＝度；（3）若∠B＝m°，∠ACB＝n°，且n＞m，请用含m、n的式子表示∠ADC、∠E的度数．（写出结论即可，不需要证明）11、如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．（1）若∠F＝70°，则∠ABC＋∠BCD＝°；∠E＝°；（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为．【折叠】12、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．（1）求∠AFC的度数；（2）求∠EDF的度数．13、如图1，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是．14、（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．试写出∠A与∠1＋∠2之间的关系，并说明理由；（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图②所示．此时∠A 与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出．（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置，如图③所示．直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系．15、如图1，一张△ABC纸片，点M、N分别是AC、BC上两点．（1）若沿直线MN折叠，使C点落在BN上，则∠AMC′与∠ACB的数量关系是（写出结论即可）．（2）若折成图2的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．（3）若折成图3的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．（4）将上述问题推广，如图4，将四边形ABCD纸片沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABNM的内部时，∠AMD′＋∠BNC′与∠C、∠D之间的数量关系是（写出结论即可）．【人字形】16、如图，已知∠B＝45°，∠A＝30°，∠C＝25°，求∠ADC的大小．17、阅读下列材料，然后解答后面的问题．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．求证：∠BCD＝∠B＋∠A＋∠D．（3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC＝140°，∠AEC ＝102°，则∠B＝°．18、如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC＝150°，∠BGC＝120°，求∠A 的度数．19、（1）如图①，在凹四边形ABCD中，∠BDC＝135°，∠B＝∠C＝25°，求∠A的度数；（2）如图②，在凹四边形ABCD中，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点E，∠A＝60°，∠BDC＝140°，则∠E＝°；（3）如图③，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC＝120°，∠BF3C＝64°，则∠A的度数为．（4）如图④，∠BAC，∠BDC的角平分线交于点E，则∠B，∠C与∠E之间有怎样的数量关系．（5）如图⑤，∠ABD，∠BAC的角平分线交于点E，∠C＝40°，∠BDC＝140°，求∠AEB的度数．【8字形】20、“8字”的性质及应用：（1）如图①，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A＋∠B＝∠C＋∠D．（2）图②中共有多少个“8字”？（3）如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明∠E＝（∠A＋∠C）．21、求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F为多少度．22、已知，如图，AB与CD交于点O（1）如图1，若∠A＝∠B，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D（2）如图2，若∠A≠∠B，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论（注：不能用三角形内角和定理）（3）如图3，若∠B＝65°，∠C＝25°，AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，请你（2）中结论求出∠P的度数，请直接写出结果∠P＝．23、探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．解：∵∠AFG＝∠C＋∠E，∠AGF＝∠B＋∠D．∴∠AFG＋∠AGF＝∠C＋∠E＋∠B＋∠D．∵∠A＋∠AFG＋∠AGF＝°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝°，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝°．拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和．应用：如图③．小明将图②中的点A落在BE上，点C落在BD上，若∠B＝∠D＝36°，则∠CAD＋∠ACE ＋∠E＝°．24、阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A＋∠D＝∠B＋∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B＋∠E＝∠1＋∠2，在△ACD中，∵∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°，即∠A＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＝180°，∴∠A＋∠ACE＋∠B＋∠E＋ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝；（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝；（3）如图③，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝；（4）如图④，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【基本图形】25、△ABC中，∠A＝a，（1）若∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，如图（1），求∠BOC的度数；（2）若∠ABC，∠ACB的外角平分线相交于O，如图（2），求∠BOC的度数；（3）若∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于O，如图（3），求∠BOC的度数．26、如图，△ABC的三条内角平分线相交于点O，过点O作OE⊥BC于E点，求证：∠BOD＝∠COE．27、如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．（1）∠PBQ的度数是，∠PCQ的度数是；（2）若∠A＝70°，求∠P和∠Q的度数；（3）若∠A＝α，则∠P＝，∠Q＝（用含α的代数式表示）．28、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点E，EC延长线交∠ABC的外角平分线于点D，若∠D比∠E大10°，则∠A的度数是．【基本图形变式】29、探究与发现：（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系已知：如图1，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由．（2）探究二：四边形的两个个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系，并说明理由．（3）探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A＋∠B ＋∠E＋∠F的数量关系：．30、如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB＋∠NPC＝90°﹣∠A．若将直线MN绕点P旋转，（ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．31、如图1，△ABC中，∠A＝n°，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O．（1）求∠BOC的度数（用n的代数式表示）；（2）如图2，过点O的直线EF分别交ACAB于点E、F，∠FEC与∠EFB的平分线交于点D，则∠BOC 与∠EDF有怎样的数量关系，请说明理由．32、如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A＝α，∠D＝β；（1）如图①，α＋β＞180°，试用α，β表示∠F；（2）如图②，α＋β＜180°，请在图中画出∠F，并试用α，β表示∠F；（3）一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值，如不一定，指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．33、如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动（不与点O重合）．射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F．（1）若∠AOB＝90°，CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，猜想：∠F的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由．（2）若∠AOB＝α°（0＜α＜180），∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，则∠F＝°．（用含α、n的代数式表示）34、如图，在△ABC中，∠B＝90°（1）分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（如图1）．则∠E＝°；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F（如图1）．求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM＝∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN＝∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠F AH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠F AH＋n∠FPH，请直接写出m，n的值．35、（2017-2018武昌七校期中）已知D、E分别为△ABC中AB、BC上的动点，直线DE与直线AC相交于F，∠ADE的平分线与∠B的平分线相交于P，∠ACB的平分线与∠F的平分线相交于Q．﹙1﹚如图1，当F在AC的延长线上时，求∠P与∠Q之间的数量关系．﹙2﹚如图2，当F在AC的反向延长线上时，求∠P与∠Q之间的数量关系﹙用等式表示﹚．35、直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运功，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．（1）如图①，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．（2）如图②，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝度（直接写出结果，不需说理）②点A、B在运动的过程中，若∠BAO＝m°，试求∠ADB的度数．（3）如图③，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．36、直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF＝°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．37、（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的两个定点，点C 为x轴上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E，直接问答∠BEC的度数及点C所在的相应位置．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上，射线FO平分∠GFH，过点H的直线MN交x轴于点M，满足∠MHF＝∠GHN，过点H作HP⊥MN交x轴于点P，请探究∠MPH 与∠G的数量关系，并写出简要证明思路．38、如图，A，B两点同时从原点O出发，点A以每秒a个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒b 个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）如图1，若|a＋2b﹣5|＋（2a﹣b）2＝0，试分别求出1秒钟后，A，B两点的坐标；（2）如图2，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC，∠FCA，∠ABC的平分线交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH，∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并证明；（3）如图3，过A，O两点的直线相交于点N，AB的延长线交ON于点M，若∠MAN＝∠NOB，∠BAO ﹣∠N＝m°，试求∠AMO的度数．【补充练习】1、如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（1）填空：①如图1，若∠B＝60°，则∠E＝；②如图2，若∠B＝90°，则∠E＝；（2）如图3，若∠B＝α，求∠E的度数；（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．2、已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．（1）当∠BAC＝40°时，∠BPC＝，∠BQC＝；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．3、（1）已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，如图1，设∠B＝x，∠C＝y，试用x、y表示∠DAE，并说明理由．（2）在图②中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x、y表示∠DFE＝；（3）在图③中，若把（2）中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示∠DFE＝；（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝．4、如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的正方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴正方向运动．（1）已知运动1秒时，B点比A点多运动1个单位；运动2秒时，B点与A点运动的路程和为6个单位，求m、n；（2）如图2，设∠OBA的邻补角的平分线、∠OAB的邻补角的平分线相交于点P，∠P的大小是否发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．（3）若∠OBA的平分线与∠OAB的邻补角的平分线的反向延长线相交于点Q，∠Q的大小是否发生改变？如不发生改变，求其值；若发生改变，请说明理由．5、如图，直线x⊥直线y于点O，直线x⊥AB于点B，E是线段AB上一定点，D点为线段OB上的一动点（点D不与点O、B重合），CD⊥DE交直线y于点C，连接AC．（1）当∠OCD＝60°时，求∠BED的度数；（2）当∠CDO＝∠A时，CD⊥AC吗？请说明理由；（3）若∠BED、∠DCO的角平分线的交点为P，当点D在线段OB上运动时，问∠P的大小是否为定值？若是定值，求其值，并说明理由；若变化，求其变化范围．【备选】（16光谷实验10月月考）如图，已知：△ABC的三条高交于点H，AG平分∠BAD，CG平分∠BCF，CG 交EB于M，下列结论：①∠ABE＝∠ACF；②∠BHF＝∠BAC；③∠MBC＝∠MCB；④∠HMC＝∠GAC，正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④。

初中数学三角函数计算及应用题

初中数学三角函数计算及应用题
三角函数是初中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面我将为你提供一些关于三角函数的计算和应用题。

1. 计算题
(1) 已知sin(30°) = 1/2，那么sin(150°) = _______。

(2) 若tan(45°) = 1，则cos(60°) = _______。

(3) 已知cos(60°) = 1/2，则sin(120°) = _______。

2. 应用题
(1) 一座塔的高度为 h 米，太阳光与水平面的夹角为α，则塔在太阳光下的影子长度为多少？
(2) 在直角三角形中，一个锐角为30°，其对边长为3，求这个直角三角形的斜边长。

(3) 一辆汽车以速度 v 向南行驶，遇到一个障碍物后向西行驶了45°，如果汽车行驶的距离为 d 米，那么它转向后行驶的距离是多少？。

(完整版)七年级数学中的角度计算题

(完整版)七年级数学中的角度计算题角的问题1、如图，已知∠AOB 是∠AOC 的余角，∠AOD 是∠AOC 的补角，且BOD BOC ∠=∠21 求∠BOD 、∠AOC 的度数2、一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC 的度数。

3、已知，如图∠BOC 为∠AOC 内的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOC 。

（1）若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；（2）若∠AOB=α，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；（3）若∠AOB=90°，∠BOC=β，还能否求出∠MON 的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。

（4）（5）从前三问的结果你发现了什么规律？AOB CN M5、点O 是直线AB 上一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC 。

（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE 的度数；（2）在如1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示）（3）将图1中的∠COD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置。

✍探究∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；✍在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足：)(212AOF AOC BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系。

DOCBA6、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝130度，那么∠A ＝（）度。

7、如图5，点0为直线AB 上的一点，∠BOC 是直角，∠BOD ：∠COD=4：1。

则∠AOD 是（）度。

8、如图，∠AOB 的顶点0在直线l 上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠AOB ＝________度。

9、三个正方形叠放在一起，如图所示。

求：∠1的度数。

10、一个角的补角比它的余角的二倍还多18度，这个角有多少度？11、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，∠BOC —∠BOD =20°，求∠BOE 的度数。

【新】七年级上册数学人教版几何图形的初步角度及其计算【例题+练习题】

角度1. 知识要点回顾1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

2、角的表示法（四种）：（1）用三个大写英文字母表示任意一个角（角的顶点必须写在中间，其它两个字母可以调换位置）；（2）用一个大写英文字母表示一个独立．．的角（在一顶点处只有一个．．．．角）；（3）加弧线、标数字表示一个角（在一个顶点处有两个以上角时，建议使用此法）；（4）加弧线、标小写希腊字母表示一个角。

3、角的度量单位及换算●1个周角=2个平角=4个直角=360° ●1°=60′=3600″●用一副三角尺能画的角都是15°的整数倍 4、角的分类∠β 锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°5、角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线。

·如图，射线OB 是∠AOC 的平分线，则有∠AOB=∠BOC=21∠AOC 或 2∠AOB=2∠COB=∠AOC用几何语言表示就是：∵OB 平分∴∠AOB=∠BOC=21∠AOC（或 2∠AOB=2∠COB=∠AOC ）类似的，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的n 个角的射线，叫做这个角n 等分线。

6、互余、互补（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角。

其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角。

（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角。

其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角。

（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等。

7、方向角（1）正方向（2）北（南）偏东（西）方向（3）东（西）北（南）方向用角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向，如图所示，OA 方向可表示为北偏西60º 。

几何语言2.例题剖析例11、计算：56695376)1('︒+'︒757123(2)180'''︒-︒（3）'"562512︒=_________° （4）36.52°=_____°______′______″2、2点30分时，时钟与分钟所成的角为度．3、60°=____平角；32直角=______度；65周角=______度。

初一数学动角经典例题

初一数学动角经典例题
以下是一个初一数学动角问题的经典例题：
题目：时钟在12时20分时，分针与时针之间的夹角是多少度？
解题思路：
1. 首先，我们要知道时钟上时针和分针是如何移动的。

2. 一小时中，分针会转360度，所以每分钟转过的角度是 360度÷ 60 = 6度。

3. 一小时内，时针会转30度（因为一圈是360度，12小时就是360度，所以每小时30度）。

所以每分钟时针转过的角度是 30度÷ 60 = 度。

4. 根据上面的信息，我们可以计算出在12时20分时，分针和时针分别转过了多少度。

5. 最后，我们计算分针和时针之间的夹角。

计算结果为：分针与时针之间的夹角为 25 度。

七年级数学角的计算公式

七年级数学角的计算公式
我们要了解七年级数学中关于角的计算公式。

首先，我们要明确什么是角。

角是由两条射线从一个公共端点开始并延伸到无限远所形成的几何图形。

在数学中，我们经常需要计算角的大小，或者将一个角分解为其他几个角。

1. 角的和与差:
如果两个角是相等的，我们可以用以下公式来计算它们的和或差：
$\text{角度1} + \text{角度2} = 180^\circ - \text{夹角}$
$\text{角度1} - \text{角度2} = \text{夹角}$
2. 角的补角:
两个角的和为90°时，我们称这两个角为补角。

$\text{补角} = 90^\circ - \text{角度}$
3. 角的倍角和半角:
$\text{倍角} = 2 \times \text{角度}$
$\text{半角} = \frac{1}{2} \times \text{角度}$
4. 角的余角:
两个角的和为180°时，我们称这两个角为余角。

$\text{余角} = 180^\circ - \text{角度}$
这些是七年级数学中关于角的计算的基本公式。

通过这些公式，我们可以解决许多与角相关的数学问题。

七年级上册数学钟表上的角度计算题

一、概述时钟是我们日常生活中常见的物品，我们常常需要根据时钟所指的时间来进行日常活动安排。

时钟上的指针可以用来计算角度，这也是数学中常见的问题。

本文将介绍七年级上册数学中关于钟表上的角度计算题，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、时钟上的角度计算1. 时针和分针指向的角度计算在时钟上，时针和分针指向的角度可以通过简单的数学计算得出。

在整点时刻，时针和分针之间的角度是固定的，具体计算公式如下：角度 = |30 * 时针所指小时数 - (11/2) * 分针所指分钟数|当时钟指向3点时（15:00），时针和分针之间的角度为：角度 = |30 * 3 - (11/2) * 0| = |90 - 0| = 90°2. 分针指向的角度计算分针所指的角度也可以通过简单的公式计算得出：角度 = 6 * 分针所指的分钟数当时钟指向15分钟时，分针所指的角度为：角度 = 6 * 15 = 90°三、练习题示例1. 时钟指向6点，分针指向10分钟，求时针和分针之间的角度。

解：时针指向6，分针指向10，根据公式计算可得：角度 = |30 * 6 - (11/2) * 10| = |180 - 55| = 125°2. 时钟指向9点，分针指向25分钟，求时针和分针之间的角度。

解：时针指向9，分针指向25，根据公式计算可得：角度 = |30 * 9 - (11/2) * 25| = |270 - 137.5| = 132.5°3. 分针指向35分钟，求分针所指的角度。

解：分针指向35，根据公式计算可得：角度= 6 * 35 = 210°四、总结时钟上的角度计算题是中学数学中一个基础而重要的知识点，通过掌握时钟上的角度计算方法，我们可以更好地理解和应用数学知识。

本文通过介绍时钟上的角度计算方法，并给出了相应的练习题示例，希望读者能够通过本文的学习更好地掌握这一知识点。

同时也希望读者能够在日常生活中运用数学知识，更好地理解和利用周围的事物。

部编数学七年级上册专题27和三角板有关的角度计算(解析版)含答案

专题27 和三角板有关的角度计算1．如图，直线EF与MN相交于点O，30MOEÐ=°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在NOEÐ内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为()t s．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分NOEÐ？此时OA是否平分MOEÐ？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分AOBÐ？②EF能否平分NOBÐ？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）Q当直角边OB恰好平分NOEÐ时，11(18030)7522NOB NOEÐ=Ð=°-°=°，90375t\°-°=°，解得：5t=．此时135152MOA MOE Ð=°´=°=Ð，\此时OA平分MOEÐ．（2）①OE平分AOBÐ，依题意有3093902t t°+°-°=°¸，解得 2.5t=；OF平分AOBÐ，依题意有3093180902t t°+°-°=°+°¸，解得32.5t=．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分AOBÐ②OB在MN上面，依题意有180309(903)2t t°-°-°=°-°¸，解得14t=；OB在MN下面，依题意有9(36030)(390)2t t-°-°=°-°¸，解得38t=．故EF能平分NOBÐ，t的值为14或38s．2．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使65BOCÐ=°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则MOCÐ=　25°　；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是MOBÐ的角平分线，求旋转角BONÐ和CONÐ的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，14NOC AOMÐ=Ð，求NOBÐ的度数．【解答】解：（1）90MONÐ=°Q，65BOCÐ=°，906525 MOC MON BOC\Ð=Ð-Ð=°-°=°．故答案为：25°．（2）65BOCÐ=°Q，OC是MOBÐ的角平分线，2130MOB BOC\Ð=Ð=°．BON MOB MON\Ð=Ð-Ð13090=°-°40=°．CON COB BONÐ=Ð-Ð6540=°-°25=°．即40BONÐ=°，25CONÐ=°；（3）14NOC AOMÐ=ÐQ，4AOM NOC\Ð=Ð．65BOCÐ=°Q，AOC AOB BOC\Ð=Ð-Ð18065=°-115=°．90MON Ð=°Q ，AOM NOC AOC MON\Ð+Ð=Ð-Ð11590=°-°25=°．425NOC NOC \Ð+Ð=°．5NOC \Ð=°．70NOB NOC BOC \Ð=Ð+Ð=°．3．将一副三角板ABC 和三角板(90,60)BDE ACB DBE ABC Ð=Ð=°Ð=°按不同的位置摆放．（1）如图1，若边BD 、BA 在同一直线上，则EBC Ð=　150°　；（2）如图2，若165EBC Ð=°，那么ABD Ð= ；（3）如图3，若120EBC Ð=°，求ABD Ð的度数．【解答】解：（1）9060150EBC DBE ABC Ð=Ð+Ð=°+°=°；故答案为：150°；（2）165906015ABD CBE ABC DBE Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°；故答案为：15°；（3）906012030ABD ABC DBE EBC Ð=Ð+Ð-Ð=°+°-°=°．ABD \Ð的度数为：30°．4．已知将一副三角板（直角三角板OAB 和直角板OCD ，90AOB Ð=°，45ABO Ð=°，90CDO Ð=°，30)COD Ð=°（1）如图1摆放，点O 、A 、C 在一条直线上，BOD Ð的度数是　60°　；（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板COD 绕点O 逆时针方向转动，若要OB 恰好平分COD Ð，则AOC Ð的度数是；（3）如图3，当三角板OCD 摆放在AOB Ð内部时，作射线OM 平分AOC Ð．射线ON 平分BOD Ð，如果三角板OCD 在AOB Ð内绕点O 任意转动，MON Ð的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【解答】解：（1）90AOB Ð=°Q ，30COD Ð=°，60BOD AOB COD \Ð=Ð-Ð=°，故答案为：60°；（2）OB Q 恰好平分COD Ð，11301522COB COD \Ð=Ð=´°=°，901575AOC AOB COB \Ð=Ð-Ð=°-°=°；故答案为：75°；（3）MON Ð的度数不发生变化，60MON Ð=°．理由如下：OM Q 平分AOC Ð，ON 平分BOD Ð，12DON BOD \Ð=Ð，12COM AOC Ð=Ð，11()()22DON COM BOD AOC AOB COD \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð-Ð，11()(9030)6022MON DON COM COD AOB COD \Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=´°+°=°．5．如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使:1:2AOC BOC ÐÐ=，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON 落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为　90　度；（2）继续将图2中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON 在AOC Ð的内部．试探究AOMÐ之间满足什么等量关系，并说明理由；Ð与NOC（3）在上述直角三角板从图1开始绕点O按30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在Ð中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋Ð和AOCOM所在直线平分BOC转时间t，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据旋转的性质可知：旋转角为90Ð=°．MON故答案为90．（2）如图3:30Ð-Ð=°，理由如下：AOM NOCQ，Ð+Ð=°AOC BOC180ÐÐ=，AOC BOC:1:2AOC AOC\Ð+Ð=°，2180\Ð=°，AOC60\Ð+=°，①AON CON60Q，Ð=°MON90AOM AON\Ð+Ð=°，②90②-①，得30Ð-Ð=°．AOM CON（3）如图4，当OM平分BOCÐ，Ð时，ON所在直线平分AOC60Ð=°，BOM\三角板绕点O逆时针旋转60°，此时60302t=¸=（秒)；如图5，当ON 平分AOC Ð时，OM 所在直线平分BOC Ð，30CON Ð=°，\三角板绕点O 逆时针旋转240°，此时240308t =¸=（秒)．当OM 旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒．答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．6．将一副三角板按图1摆放在直线MN 上，AF 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð．（1）BAD Ð=　105°　；FAG Ð= ；（2）如图2，若将三角板ABC 绕A 点以5/°秒的速度顺时针旋转t 秒(21)t <，求FAG Ð的度数；（3）如图3，三角板ABC 绕A 点以/m °秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE 绕A 点以/n °秒的速度逆时针旋转，当AD 与AB 边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t 秒时，有56MAD CAE Ð=Ð成立，试求此时m 与n 的关系．【解答】解：（1）如图1．1801804530105BAD BAC DAE Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°；AF Q 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð，152.52BAF BAD \Ð=Ð=°，11(18045)67.522BAG BAE Ð=Ð=°-°=°，67.552.515FAG BAG BAF \Ð=Ð-Ð=°-°=°．故答案为105°；15°；（2）如图2，由题意可知：180180453051055BAD BAC DAE CAM t t Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-°-°-=°-；1801804551355BAE BAC CAM t t Ð=°-Ð-Ð=°-°-=°-；AF Q 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð，11(1055)22BAF BAD t \Ð=Ð=°-，11(1355)22BAG BAE t Ð=Ð=°-，11(1355)(1055)1522FAG BAG BAF t t \Ð=Ð-Ð=°--°-=°；（3）如图3．180********MAD DAE EAN nt nt Ð=-Ð-Ð=°-°-=°-，180180CAE MAC EAN mt nt Ð=°-Ð-Ð=°--．当56MAD CAE Ð=Ð时，有5150(180)6nt mt nt °-=°--，解得5n m =．即当5n m =时，有56MAD CAE Ð=Ð成立．7．如图，将一副三角尺的两个直角顶点O 重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．（1）如图1，若70BOC Ð=°，则AOD Ð=　110°　．（2）如图2，若50BOC Ð=°，则AOD Ð= ．（3）如图1，请猜想BOC Ð与AOD Ð的关系，并写出理由．【解答】解：（1）90BOC BOD Ð+Ð=Q ，70BOC Ð=°，20BOD \Ð=°，110AOD AOB BOD \Ð=Ð+Ð=°．故答案为110°．（2）90AOB DOC Ð=Ð=°Q ，又360AOB AOD DOC BOC Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，180BOC AOD \Ð+Ð=°40BOD Ð=°Q ，180130AOD BOC \Ð=-Ð=°．故答案为130°．（3）结论：180BOC AODÐ+Ð=°．理由：90AOBÐ=°Q，90CODÐ=°，(90)(90)9090180BOC AOD AOC AOC AOC AOC\Ð+Ð=°-Ð+°+Ð=°-Ð+°+Ð=°，180BOC AOD\Ð+Ð=°．8．如图，两个形状．大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）试说明：90DPCÐ=°；（2）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分APDÐ，PE平分CPDÐ，求EPFÐ；（3）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3/°秒，同时三角板PBD 的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2/°秒，在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，则BPNÐ=　1802t-　，CPDÐ= （用含有t的代数式表示，并化简）；以下两个结论：①CPDBPNÐÐ为定值；②BPN CPDÐ+Ð为定值，正确的是（填写你认为正确结论的对应序号）．【解答】解：（1）180DPC CPA DPBÐ=°-Ð-ÐQ，60CPAÐ=°，30DPBÐ=°，180306090DPC\Ð=°-°-°=°；（2）设CPE DPE xÐ=Ð=，CPF yÐ=，则2APF DPF x yÐ=Ð=+，60CPAÐ=°Q，260y x y\++=°，30x y\+=°30EPF x y\Ð=+=°（3）①正确．设运动时间为t秒，则2BPM tÐ=，1802BPN t\Ð=-，Q运动之前90CPDÐ=°，两个三角板运动的速度差为1/°秒90CPD t\Ð=-．\90118022 CPD tBPN tÐ-==Ð-．②1802902703BPN CPD t t tÐ+Ð=-+-=-，可以看出BPN CPDÐ+Ð随着时间在变化，不为定值，结论错误．故答案为：1802t-；90t-；①．9．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起：（1）若35DCEÐ=°，则ACBÐ的度数为　145°　；（2）若140ACBÐ=°，求DCEÐ的度数；（3）猜想ACBÐ与DCEÐ的大小关系，并说明理由；（4）三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当(090)ACE ACEÐ°<Ð<°等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出ACEÐ角度所有可能的值，不用说明理由．【解答】解：（1）90ACD ECBÐ=Ð=°Q，18035145ACB\Ð=°-°=°．（2）90ACD ECBÐ=Ð=°Q，18014040DCE\Ð=°-°=°．（3）180ACE ECD DCB ECDÐ+Ð+Ð+Ð=Q．ACE ECD DCB ACBQ，Ð+Ð+Ð=ÐÐ与DCE\Ð+Ð=°，即ACBÐ互补．ACB DCE180（4）30°、45°、60°、75°．10．将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起，如图那样摆放．（1）如果重叠在一起时，70BOCÐ=　110　度；Ð=°，则AOD（2）如果重叠在一起时，50Ð= 度；BOCÐ=°，则AOD（3）请猜想：不论旋转道何种位置，只要重叠在一起（重叠部分的角度大于0°且小于90)°，BOCÐ和AODÐ的和始终等于度，并试说明理由．【解答】解：（1）因为BOCÐ和BODBOCÐ=°，Ð互余，且70故20AOD AOB BODÐ=Ð+Ð=°；Ð=°，所以110BOD（2）同（1），40Ð=Ð+Ð=°；AOD AOB BODBODÐ=°，130（3）180°；理由：90CODÐ=°，Q，90Ð=°AOB\Ð+Ð=°，AOB COD180Q，Ð=°-ÐAOD BOC180\Ð+Ð=°BOC AOD18011．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板Ð=°的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE AOB OAB(30)上方．将直角三角板绕着点O按每秒10?的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分CODÐ之间有Ð与BOEÐ，此时，BOC 何数量关系？并说明理由．（2）若射线OC的位置保持不变，且140Ð=°．COE①则当旋转时间t=　7或25　秒时，边AB所在的直线与OC平行？②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3)，求AOC BOEÐ-Ð的值．【解答】解：（1）BOC BOEÐ=Ð，Ð=°Q，AOB90AOD BOEÐ+Ð=°，BOC AOC\Ð+Ð=°，9090Ð，Q平分CODOA\Ð=Ð，AOD AOC\Ð=Ð；BOC BOE（2）①140COEQ，Ð=°\Ð=°，40COD如图1，当AB在直线DE上方时，Q，AB OC//\Ð=Ð=°，AOC A30t=；\Ð=Ð+Ð=°，即7AOD AOC COD70如图2，当AB在直线DE下方时，//AB OC Q ，60COB B \Ð=Ð=°，20BOD BOC COD \Ð=Ð-Ð=°，则9020110AOD Ð=°+°=°，3601102510t °-°\==，故答案为：7或25；②当OA 平分COD Ð时，AOD AOC Ð=Ð，即1020t =，解得2t =；当OC 平分AOD Ð时，AOC COD Ð=Ð，即104040t -=，解得8t =；当OD 平分AOC Ð时，AOD COD Ð=Ð，即3601040t -=，解得：32t =；综上，t 的值为2、8、32；③140AOC COE AOE AOE Ð=Ð-Ð=°-ÐQ ，90BOE AOE Ð=°-Ð，(140)(90)50AOC BOE AOE AOE \Ð-Ð=°-Ð-°-Ð=°，AOC BOE \Ð-Ð的值为50°．12．如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使:1:3AOC BOC ÐÐ=，将一直角MON D 的直角顶点放在点O 处，边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方，绕点O 逆时针旋转MON D ，其中旋转的角度为(0360)a a <<°（1）将图1中的直角MON D 旋转至图2的位置，使得ON 落在射线OB 上，此时a 为 90　度．（2）将图1中的直角MON D 旋转至图3的位置，使得ON 在AOC Ð的内部，试探究AOM Ð与NOC Ð之间满足什么样的等量关系，并说明理由．（3）若直角MOND的直角边ON所在直线恰好D绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角MON平分AOCD绕点O的运动时间t的值．Ð时，求此时直角MON【解答】解：:1:3Ð+Ð=°，AOC BOCAOC BOCQ，180ÐÐ=Ð=°\Ð=°，135BOC45AOC（1）由ON落在射线OB上，可知旋转角为：90Ð=°；NOB故答案为90．（2）90Ð+Ð=Ð=°，AON NOC AOCÐ+Ð=°Q，45AOM AON\Ð-Ð=°；AOM NOC45（3）ONÐ，Q所在直线恰好平分AOC\Ð=Ð¸=°¸=°，AON AOC245222.5此时旋转角为：9022.5112.5°+°=°¸=（秒)，112.5522.5+¸=（秒)或(112.5180)558.5所以直角MOND绕点O的运动时间是22.5秒或58.5秒．13．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使:2:1AOC BOCÐÐ=，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．（1）在图1中，AOCÐ= ．Ð=　120°　，BOC（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得OM在射线OA上，则CONÐ= ；（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得OM在BOCÐ-Ð的度Ð的内部，求BON COM数．【解答】解：（1）Q点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使:2:1ÐÐ=，AOC BOCÐ+Ð=°，AOC BOC180120AOC\Ð=°，60BOCÐ=°故答案为：120°，60°；（2）Q由（1）可知：120AOCÐ=°，90MONÐ=°，AOC MON CONÐ=Ð+Ð，1209030CON AOC MON\Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：30°；（3）由图可知：60BOCÐ=°，90MONÐ=°，BON MON BOMÐ=Ð-Ð，COM BOC BOMÐ=Ð-Ð，则，90(60)30BON COM BOM BOMÐ-Ð=°-Ð-°-Ð=°，即BON COMÐ-Ð的度数是30°．14．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．（1）试说明：90DPCÐ=°；（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分APDÐ，PE平分CPDÐ，求EPFÐ．（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3/s°．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2/s°，在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM重合时，三角板都停止转运），问CPDBPNÐÐ的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．【解答】解：（1）180DPC CPA DPBÐ=°-Ð-ÐQ，60CPAÐ=°，30DPBÐ=°，180306090DPC\Ð=°-°-°=°；（2）设CPE DPE xÐ=Ð=，CPF yÐ=，则2APF DPF x yÐ=Ð=+，60CPAÐ=°Q，260y x y\++=°，30x y\+=°30EPF x y \Ð=+=°（3）不变．设运动时间为t 秒，则2BPM t Ð=，1802BPN t \Ð=-，3APN t Ð=．36090CPD DBP BPM CPA APN t \Ð=-Ð-Ð-Ð-Ð=-，\90118022CPD t BPN t Ð-==Ð-．15．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板(30)D Ð=°的直角顶点放在点O 处，一边OE 在射线OA 上，另一边OD 与OC 都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t 秒后，OD 恰好平分BOC Ð．①此时t 的值为　3　；（直接填空）②此时OE 是否平分AOC Ð？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分DOE Ð？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC 平分DOB Ð？请画图并说明理由．【解答】解：（1）①30AOC Ð=°Q ，180AOB Ð=°，150BOC AOB AOC \Ð=Ð-Ð=°，OD Q 平分BOC Ð，1752BOD BOC \Ð=Ð=°，907535t °-°\==．②是，理由如下：Q 转动3秒，15AOE \Ð=°，15COE AOC AOE \Ð=Ð-Ð=°，COE AOE \Ð=Ð，即OE 平分AOC Ð．（2）三角板旋转一周所需的时间为360725==（秒)，射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为360458=（秒)，设经过x 秒时，OC 平分DOE Ð，由题意：①854530x x -=-，解得：5x =，②853603045x x -=-+，解得：12545x =>，不合题意，③Q 射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为360458=（秒)，45秒后停止运动，\当OD 旋转到OC 的位置后再旋转45°时，OC 平分DOE Ð，此时OD 旋转了360(6045)345°-°-°=°，345695t \==（秒)，综上所述，5t =秒或69秒时，OC 平分DOE Ð．（3）如图3中，由题意可知，OD 旋转到与OB 重合时，需要90518¸=（秒)，OC 旋转到与OB 重合时，需要3(18030)8184-¸=（秒)，所以OD 比OC 早与OB 重合，设经过x 秒时，OC 平分DOB Ð，由题意：18(18030)(590)2x x --=-，解得：21011x =，所以经21011秒时，OC 平分DOB Ð．16．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使120Ð=°．将一直角三角板的直BOC角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在BOCÐ的内部，且恰好平分Ð？请说明理由．Ð．问：此时直线ON是否平分AOCBOC（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOCÐ，求t的值．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在AOCÐ的内部，试探索：在旋转过程中，Ð的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．AOMÐ与NOC【解答】解：（1）直线ON平分AOCÐ．理由：如图所示，设ON的反向延长线为OD．Ð，Q平分BOCOM\Ð=Ð．MOC MOB又OM ONQ，^90\Ð=Ð=°．MOD MON\Ð=Ð．COD BON又AOD BONQ（对顶角相等），Ð=ÐCOD AOD \Ð=Ð．OD \平分AOC Ð，即直线ON 平分AOC Ð．（2）120BOC Ð=°Q ，60AOC \Ð=°．30BON COD \Ð=Ð=°．即旋转60°或240°时直线ON 平分AOC Ð．由题意得，660t =或240．解得：10t =或40；（3）AOM NOC Ð-Ð的差不变．90MON Ð=°Q ，60AOC Ð=°，90AOM AON \Ð=°-Ð、60NOC AON Ð=°-Ð．(90)(60)30AOM NOC AON AON \Ð-Ð=°-Ð-°-Ð=°．17．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板(30)M Ð=°的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t 秒后OM 恰好平分BOC Ð，则t =　5秒或115秒　（直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC 平分MON Ð？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒36MOC Ð=°？请说明理由．【解答】解：（1）90AON BOM Ð+Ð=°Q ，COM MOB Ð=Ð，30AOC Ð=°Q ，2150BOC COM \Ð=Ð=°，75COM \Ð=°，15CON \Ð=°，301515\Ð=Ð-Ð=°-°=°，AON AOC CON解得：1535t=°¸°=秒；（2）5秒或115秒时，OC平分角MON，理由如下：当OC运动时，Ð=Ð，Q，CON COMÐ+Ð=°90AON BOMÐ=°Q，MON90\Ð=Ð=°，CON COM45Q三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设AON°+，Ð为306tÐ为3t，AOCÐ-Ð=°Q，45AOC AON可得：6315t t-=°，解得：5t=秒；Ð，OC停止运动，OM运动345°时，此时，OC也平分MONt=¸=（秒)；3453115（3）当OC运动时，如上图：OC平分MOBÐOC可能在MOBÐ内侧也可能在外侧，由题意得：t t-=°-°=°，t t63543024-=°-°=°或631263096解得：8t=或32秒；当OC停止运动时，Ð=，MONMO运动到AO下方6°时，36t=-¸=（秒)，(2706)388Ð=°，MO运动到AO下方6°时，36MOCt=++¸=（秒)(2703036)3112答：经过8或32秒或112秒或88秒．18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使135Ð=°，将一个含45°角的直角BOC三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时BOMÐ=　90°　；在图2中，Ð？请说明理由；OM是否平分CON（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在AOCÐ的内部，请探究：AOMÐ之间的数量关系，并说明理由；Ð与CON（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOCÐ，则t的值为（直接写出结果）．【解答】解：（1）如图2，90BOMÐ=°，Ð．理由如下：OM平分CONÐ=°Q，BOC135MOC\Ð=°-°=°，1359045而45Ð=°，MON\Ð=Ð；MOC MON故答案为90°；Ð．OM平分CON理由如下：Q三角尺绕着点O逆时针旋转90°得到OMND（如图2)，\Ð=°，90BOM\Ð=Ð-Ð=°，COM BOC BOM45而45Ð=°，NOMÐ；\平分CONOM（2）AOM CONÐ=Ð．理由如下：如图3，Q，Ð=°45MON\Ð=°-Ð，45AOM AON45AOCÐ=°Q，45NOC AON\Ð=°-Ð，AOM CON\Ð=Ð；（3）1455 4.52T=´°¸°=（秒)或(18022.5)540.5t=°+°¸°=（秒)．故答案为4.5秒或40.5秒．。

【初一数学】三角形有关角度的计算,与两线、内外角、折叠结合

【初一数学】三角形有关角度的计算，与两线、内外角、折叠结合初一下学期，还是以代数为主，但是几何知识也不要忽略。

在几何题中，除了常考查的证明题外，也有计算题，常见的计算题有角度的计算、线段长度的计算、几何图形面积的计算。

在初一下学期，学习的几何知识点主要有相交线与平行线、三角形，因此几何计算中以角度的计算为主，也会与角平分线、高线、内角和定理、外角和定理、几何图形变换之折叠变换等知识点相结合，有些题目的难度较大，可能会作为压轴题出现在考试中。

类型一：与两线（角平分线、高线）相结合例题1：如图，在△ABC 中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交AC于点F，若∠C=70°，∠BAC=58°．（1）求∠ABE的度数；（2）求∠ADF的度数．分析：（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠ABE的度数；（2）依据高线的定义，即可得出∠BED的度数，由BE∥DF，根据两直线平行，内错角相等即可得到结论。

解：（1）∵∠C=70°，∠BAC=58°，∴∠ABC=52°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE=1/2∠ABC=26°．（2）∵AD是BC边上的高，∴∠BED=90°-26°=64°，又∵DF∥BE，∴∠ADF=∠BED=64°．在直角三角形中，两个锐角互余，解题时注意有运用两直线平行，内错角相等。

类型二：与内角和相结合例题2：如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．分析：根据三角形的内角和等于180°列式求出∠DBC+∠DCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解。

解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，∴∠DBC+∠DCB=180°-20°-25°-55°=80°，在△BCD中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-80°=100°．解本题时要注意整体思想的使用，不是每个角的度数都能直接求出，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键。

七年级上册数学动角问题

七年级上册数学动角问题七年级上册数学动角问题的探讨在七年级上册的数学学习中，动角问题是一个重要的知识点，也是学生学习中的一个难点。

动角问题主要考察学生对角度和图形的理解和操作，需要学生运用灵活的思维和综合的数学知识来解决。

本文将对七年级上册数学动角问题进行深入探讨，以期帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、动角问题的重要性和难度动角问题在七年级上册的数学中占据着重要的地位，这是因为这类问题能够全面地考察学生的几何知识和代数知识，以及学生的逻辑思维和空间想象力。

解决动角问题需要学生掌握角度、弧度、正方形等基本概念，并能够灵活运用这些概念进行推理和计算。

此外，动角问题还能够培养学生的观察力、分析力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。

然而，动角问题也是七年级数学中的一个难点。

这是因为动角问题往往涉及多个角度的变化和多种图形的变换，需要学生综合考虑各种因素，进行复杂的推理和计算。

此外，动角问题的解题思路常常不是唯一的，需要学生具备创新思维和发散性思维，这也增加了问题的难度。

二、基本概念和公式解决动角问题需要学生掌握一些基本概念和公式。

首先是角度和弧度，角度是度量角的单位，弧度则是用于度量圆的相应角的大小。

其次是正方形，正方形是一个四边相等、四个角都是直角的特殊四边形。

此外，还需要掌握一些与角度和正方形相关的公式，如正方形的内角和为360度，角度的计算公式等。

三、解题方法与技巧解决动角问题的方法与技巧多种多样，以下是一些常用的方法与技巧：1. 直接计算：对于一些简单的问题，可以直接使用角度和弧度的计算公式进行计算。

2. 代数变形：在处理一些复杂的问题时，需要进行代数变形来简化问题。

3. 几何推导：通过观察图形的变化规律，利用几何知识进行推导和证明。

4. 分类讨论：对于一些涉及多种情况的问题，需要进行分类讨论来找出每种情况下的解决方案。

5. 反证法：通过假设与结论相反的情况来进行推理和证明。

四、实例讲解下面通过一个具体的例子来演示如何运用相关方法和技巧求解动角问题。

七年级上册+专题练习+数学角度问题(基础难度)

七年级上册数学角度问题（基础难度）一．选择题（共18小题）1．如图，点A在点O的北偏东60°的方向上，点B在点O的南偏东40°的方向上，则∠AOB度数为（）A．70°B．80°C．100°D．110°2．如图，下列说法中错误的是（）A．OA方向是北偏东20°B．OB方向是北偏西15°C．OC方向是南偏西30°D．OD方向是东南方向3．如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）A．B．C．D．4．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝（）A．90°B．120°C．160°D．180°5．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝15°，∠2＝105°，则∠AOC的度数是（）6．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°7．如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠AOB＝150°，那么∠DOC＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON是（）A．45°B．45°+∠AOC C．60°﹣∠AOC D．不能计算9．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOD的度数为（）A．100°B．110°C．130°D．140°10．如图，∠AOB是一直角，∠AOC＝40°，OD平分∠BOC，则∠AOD等于（）A．65°B．50°C．40°D．25°11．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°12．下列图形中表示北偏东60°的射线是（）A．B．C．D．13．如图，下列说法正确的是（）A．∠1与∠BOC表示同一个角B．∠β表示的是∠AOCC．∠1+∠β＝∠AOC D．∠β＞∠114．如图，已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部且∠COD＝60°，则∠AOD与∠COB一定满足的关系为（）A．∠AOD＝∠COB B．∠AOD+∠COB＝180°C．∠AOD＝∠COB D．∠AOD+∠COB＝120°15．如图，点O在直线AB上，若∠AOD＝159.5°，∠BOC＝51°30′，则∠COD的度数为（）A．30°B．31°C．30°30′D．31°30′16．如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝140°，那么∠BOC等于（）A．20°B．30°C．50°D．40°17．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝25°，则∠AOD的度数为（）A．150°B．145°C．140°D．135°18．有下列说法：①射线是直线的一半；②线段AB是点A与点B的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共5小题）19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE＝28°，则∠EOF的度数为．20．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC＝度．21．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝度．22．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝度．23．如图，A，O，B是同一直线上的三点，OC，OD，OE是从O点引出的三条射线，且∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，则∠5＝度．三．解答题（共17小题）24．如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC．25．如图，已知∠AOB＝120°，OE平分∠AOB，射线OC在∠AOE内部，∠BOC＝90°，（1）求∠EOC的度数．（2）作射线OF，使射线OC是∠EOF三等分线，则∠AOF的度数为．26．（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角．27．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．28．如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数．29．如图，已知∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．30．如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7，（1）求∠DOE的度数；（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．31．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1．若∠AOC＝30°．求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．32．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2和∠3．33．已知：∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，求∠DOE的度数；（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，直接写出∠DOE的度数．34．（1）平面内将一副三角板按如图1所示摆放，∠EBC＝°；（2）平面内将一副三角板按如图2所示摆放，若∠EBC＝165°，那么∠α＝°；（3）平面内将一副三角板按如图3所示摆放，∠EBC＝115°，求∠α的度数．35．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD．36．已知∠AOB是一个定角，记为α，在∠AOB的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．（1）如图①，当α＝120°，∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；（2）如图①，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，猜想∠DOE与α的关系，并证明；（3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转到图②位置时，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．37．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．38．（1）如图所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．（2）如果（1）中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．（3）如果（1）中∠BOC＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数．（4）从（1）（2）（3）的结果你能看出什么规律？（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）～（4），设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律来？39．如图，已知OA⊥OD，∠FOD＝2∠COD，OB平分∠AOC，OE平分∠COF．（1）若∠COD＝30°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOE＝85°，求∠COD的度数．（提示：设∠COD＝x°）40．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度数；（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝60°”改为：∠AOB＝x°，∠EOF＝y°，其它条件不变．①则请用x的代数式来表示y；②如果∠AOB+∠EOF＝156°．则∠EOF是多少度？七年级上册数学角度问题（基础难度）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，点A在点O的北偏东60°的方向上，点B在点O的南偏东40°的方向上，则∠AOB度数为（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根据方向角的定义以及角的和差，可得∠AOB的度数．【解答】解：∵点A在点O的北偏东60°的方向上，点B在点O的南偏东40°的方向上，∴∠AOB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，故选：B．【点评】本题考查了方向角的定义，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边．2．如图，下列说法中错误的是（）A．OA方向是北偏东20°B．OB方向是北偏西15°C．OC方向是南偏西30°D．OD方向是东南方向【分析】直接利用方向角的确定方法分别分析得出答案．【解答】解：A、OA方向是北偏东70°，符合题意；B、OB方向是北偏西15°，不符合题意；C、OC方向是南偏西30°，不符合题意；D、OD方向是东南方向，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的概念是解题关键．3．如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据角的表示方法进行逐一分析，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．【解答】解：A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠O、∠α及∠AOB表示，故本选项正确；C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；D、因为∠O与∠α表示的不是同一个角，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是角的表示方法，熟知角的三种表示方法是解答此题的关键．4．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝（）A．90°B．120°C．160°D．180°【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．【解答】解：设∠AOD＝a，∠AOC＝90°+a，∠BOD＝90°﹣a，所以∠AOC+∠BOD＝90°+a+90°﹣a＝180°．故选：D．【点评】本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．5．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝15°，∠2＝105°，则∠AOC的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．125°【分析】由图示可得，∠2与∠BOC互补，结合已知可求∠BOC，又因为∠AOC＝∠COB+∠1，即可解答．【解答】解：∵∠2＝105°，∴∠BOC＝180°﹣∠2＝75°，∴∠AOC＝∠1+∠BOC＝15°+75°＝90°．故选：B．【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是利用补角求出∠BOC．6．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】从如图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝150°∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣150°＝30°．故选：A．【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．7．如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠AOB＝150°，那么∠DOC＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据图象∠AOB等于两个直角的和减去∠COD计算．【解答】解：∠DOC＝90°+90°﹣∠AOB＝180°﹣150°＝30°．故选A．【点评】本题注意，∠COD是两个直角重叠的部分．8．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON是（）A．45°B．45°+∠AOC C．60°﹣∠AOC D．不能计算【分析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．【解答】解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，∴∠MOC＝∠BOC，∠NOC＝∠AOC，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（∠BOC﹣∠AOC），＝（∠BOA+∠AOC﹣∠AOC），＝∠BOA，＝45°．故选：A．【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，此类问题，注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解．9．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOD的度数为（）A．100°B．110°C．130°D．140°【分析】根据图形和题目中的条件，可以求得∠AOB的度数和∠COD的度数，从而可以求得∠AOD的度数．【解答】解：∵∠AOC＝70°，∠BOC＝30°，∴∠AOB＝40°；同理可得，∠COD＝40°．∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝40°+30°+40°＝110°，故选：B．【点评】本题考查角的计算，解答本题的关键是明确角之间的关系，利用数形结合的思想解答．10．如图，∠AOB是一直角，∠AOC＝40°，OD平分∠BOC，则∠AOD等于（）A．65°B．50°C．40°D．25°【分析】由∠AOB是一直角，∠AOC＝40°，可知∠COB＝50°，又知OD平分∠BOC，故可知∠AOD的度数．【解答】解：∵∠AOB是一直角，∠AOC＝40°，∴∠COB＝50°，∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝25°，∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD＝65°．故选：A．【点评】本题考查角与角之间的运算，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．11．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】由∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，可求出∠BOC的度数，再根据角与角之间的关系求解．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，∴∠BOC＝∠AOC+∠BOD﹣∠AOD＝180°﹣150°＝30°，故选：A．【点评】此题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和∠BOC相比，多加了∠BOC一次．12．下列图形中表示北偏东60°的射线是（）A．B．C．D．【分析】根据方向角的定义解答即可．【解答】解：北偏东60°就是从北向东偏60°，即从上往右偏60°，故选：A．【点评】本题考查了方向角的定义，解答时注意方向和角度．13．如图，下列说法正确的是（）A．∠1与∠BOC表示同一个角B．∠β表示的是∠AOCC．∠1+∠β＝∠AOC D．∠β＞∠1【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点来表示，由此可得结论．【解答】解：A、∠1与∠AOB表示的是同一个角，故A说法错误；B、∠β表示的是∠BOC，故B说法错误；C、∠1+∠β＝∠AOC，故C说法正确；D、∠AOC＞∠1，故D说法错误．故选：C．【点评】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．14．如图，已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部且∠COD＝60°，则∠AOD与∠COB一定满足的关系为（）A．∠AOD＝∠COB B．∠AOD+∠COB＝180°C．∠AOD＝∠COB D．∠AOD+∠COB＝120°【分析】根据角的和差，可得∠AOD+∠COB＝∠AOC+∠COD+∠COD+∠DOB＝∠AOB+∠COD，再代入计算即可求解．【解答】解：∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∠COB＝∠COD+∠DOB，∴∠AOD+∠COB＝∠AOC+∠COD+∠COD+∠DOB，＝∠AOC+∠COD+∠DOB+∠COD＝∠AOB+∠COD∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∴∠AOD+∠COB＝120°+60°＝180°．故选：B．【点评】本题考查了角的计算．解题的关键是利用了角的和差关系求解．15．如图，点O在直线AB上，若∠AOD＝159.5°，∠BOC＝51°30′，则∠COD的度数为（）A．30°B．31°C．30°30′D．31°30′【分析】将∠AOD转化成159°30′，将其代入∠COD＝∠AOD+∠BOC﹣∠AOB中，即可求出结论．【解答】解：∵∠AOD＝159.5°＝159°30′，∴∠COD＝∠AOD+∠BOC﹣∠AOB＝159°30′+51°30′﹣180°＝31°．故选：B．【点评】本题考查了角的计算以及度分秒的换算，牢记“将高级单位化为低级单位时乘以60，将低级单位转化为高级单位时除以60”是解题的关键．16．如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝140°，那么∠BOC等于（）A．20°B．30°C．50°D．40°【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．【解答】解：∵∠AOC＝80°，∠AOD＝140°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°，∵∠BOD＝80°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝80°﹣60°＝20°．故选：A．【点评】本题主要考查了角的计算能力，熟练掌握角相互间的和差关系是基础．17．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝25°，则∠AOD的度数为（）A．150°B．145°C．140°D．135°【分析】先求∠AOC与∠BOC的度数差即可得出∠AOB的度数，再求∠AOB与∠DOB的和即可．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝25°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝80°﹣25°＝55°，∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝80°+55°＝135°，故选：D．【点评】本题考查了角的运算，较为简单，解题关键是不要忘了减去两个角的重合部分．18．有下列说法：①射线是直线的一半；②线段AB是点A与点B的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据射线的定义和射线、直线没有长度极快判断①；根据两点间的距离的定义即可判断②，根据角的特点即可判断③，举出反例即可判断④．【解答】解：∵射线是指直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形，没有长度，直线也没有长度，∴①的说法错误；∵点A与点B的距离是指线段AB的长度，是一个数，而线段是一个图形，∴②错误；∵角的大小与这个角的两边的长短无关，∴③错误；∵当这两个锐角的度数是10°和20°时，10°+20°＝30°，30°的角是锐角，不是钝角，∴④错误；∴正确的个数是0个，故选：A．【点评】本题考查了学生对角的定义，直线、射线的定义，两点间的距离的定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．二．填空题（共5小题）19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE＝28°，则∠EOF的度数为90°．【分析】根据已知条件“∠DOE＝∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE＝28°”和平角的定义可以求得∠AOF＝∠DOF ＝∠AOD＝62°，∠DOE＝∠BOE＝28°；然后根据图形求得∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝62°+28°＝90°．【解答】解：∵∠DOE＝∠BOE，∠BOE＝28°，∴∠DOB＝2∠BOE＝56°；又∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠AOD＝124°；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF＝∠AOD＝62°，∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝62°+28°＝90°．故答案是：90°．【点评】本题考查了角的计算．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件“∠AOB＝180°”．20．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC＝180 度．【分析】先利用∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，而∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，于是有∠AOB+∠COD＝180°．【解答】解：如右图所示，∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，∴∠AOD+2∠COD+∠BOC＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°．故答案是180．【点评】本题考查了角的计算、三角板的度数，注意分清角之间的关系．21．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝70 度．【分析】∠COB是两个直角的公共部分，同时两个直角的和是180°，所以∠AOB+∠COD＝∠AOD+∠COB．【解答】解：由题意可得∠AOB+∠COD＝180°，又∠AOB+∠COD＝∠AOC+2∠COB+∠BOD＝∠AOD+∠COB，∵∠AOD＝110°，∴∠COB＝70°．故答案为：70．【点评】求解时正确地识图是求解的关键．22．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝155 度．【分析】根据点A、O、B在一条直线上，∠AOB为平角，求出∠COB，再利用OD平分∠AOC，求出∠COD，然后用∠COB+∠COD即可求解．【解答】解：∵点A、O、B在一条直线上，∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD＝×50°＝25°，∴∠BOD＝∠COB+∠COD＝130°+25°＝155°．故答案为：155．【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，此题的关键是点A、O、B在一条直线上，∠AOB为平角，此题难度不大，属于基础题．23．如图，A，O，B是同一直线上的三点，OC，OD，OE是从O点引出的三条射线，且∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，则∠5＝60 度．【分析】利用平角和角的比例关系即可求出．【解答】解：A，O，B是同一直线上的三点，即∠AOB＝180°∠1：∠2：∠3＝1：2：3，可知∠1＝30°∠2＝60°∠3＝90°；∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，∠4＝120°，∠5＝180°﹣120°＝60°．故填60．【点评】此题是对角进行度的比例计算，相对比较简单，但要准确求出各角大小是本题的难点．另外此题答案不能带单位．三．解答题（共17小题）24．如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC．【分析】设∠AOB＝x，根据角平分线的定义、补角的概念，结合题意列出方程，解方程即可．【解答】解：设∠AOB＝x，则∠BOC＝180°﹣x，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOB＝x，∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝60°﹣x，由题意得，x+60°﹣x＝70°，解得，x＝60°，∠EOC＝（180°﹣x）＝80°．【点评】本题考查的是角的计算、角平分线的定义，正确进行角的计算、掌握角平分线的定义是解题的关键．25．如图，已知∠AOB＝120°，OE平分∠AOB，射线OC在∠AOE内部，∠BOC＝90°，（1）求∠EOC的度数．（2）作射线OF，使射线OC是∠EOF三等分线，则∠AOF的度数为30°或15°．【分析】（1）由角平分线知，结合∠BOC＝90°可得答案；（2）由射线OC是∠EOF三等分线可分∠EOC＝∠EOF和∠EOC＝∠EOF两种情况求解可得．【解答】解：（1）∵OE平分∠AOB，∠AOB＝120°，∴，∵∠BOC＝90°，∴∠EOC＝∠BOC﹣∠EOB＝30°；（2）若∠EOC＝∠EOF，则∠EOF＝3∠EOC＝90°，∵∠AOE＝∠AOB＝60°，∴∠AOF＝∠EOF﹣∠EOA＝30°；若∠EOC＝∠EOF，则∠EOF＝∠EOC＝45°，∴∠AOF＝∠AOE﹣∠EOF＝15°；综上，∠AOF的度数为30°或15°，故答案为：30°或15°．【点评】本题主要考查角的计算，学会计算角的和、差、倍、分．也考查了角平分线的定义．26．（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 3 个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 6 个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有10 个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有66 个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角．【分析】（1）根据图形数出即可；（2）根据图形数出即可；（3）根据图形数出即可；（4）有1+2+3+…+9+10+11＝66个角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可．【解答】解：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为：10．（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11＝66个不同的角，故答案为：66．（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）＝个不同的角．故答案为：．【点评】本题考查了角的有关概念的应用，关键是能根据题意得出规律．27．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据角平分线定义得到∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC ＝35°；（2）先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x＝72°，然后与（1）的计算方法一样．【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，∴∠EOC＝2x＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°．【点评】考查了角的计算：1直角＝90°；1平角＝180°．也考查了角平分线的定义和对顶角的性质．28．如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数．【分析】求出∠BOF，根据角平分线求出∠GOF，求出∠EOD，代入∠DOG＝180°﹣∠GOF﹣∠EOD求出即可．【解答】解：∵∠AOE＝70°，∴∠BOF＝∠AOE＝70°，又∵OG平分∠BOF，∴∠GOF＝∠BOF＝35°，又∵CD⊥EF，∴∠EOD＝90°，∴∠DOG＝180°﹣∠GOF﹣∠EOD＝180°﹣35°﹣90°＝55°．【点评】本题考查了角平分线定义，垂直，邻补角的应用，主要考查学生的计算能力．29．如图，已知∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．【分析】设∠COD＝x，则∠AOD可表示为60°﹣x，于是∠AOB＝90°+60°﹣x＝150°﹣x，再根据∠AOB是∠DOC 的3倍得到150°﹣x＝3x，解得x＝37.5°，然后计算3x即可．【解答】解：设∠COD＝x，∵∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，∴∠AOD＝60°﹣x，∴∠AOB＝90°+60°﹣x＝150°﹣x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°﹣x＝3x，解得x＝37.5°，∴∠AOB＝3×37.5°＝112.5°．【点评】本题考查了角的计算：会利用角的倍、分、差进行角度计算．30．如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7，（1）求∠DOE的度数；（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．【分析】（1）根据∠AOC：∠AOD＝3：7，可求出∠AOC的度数，再根据对顶角的性质可求出∠DOB的度数，根据角平分线的性质即可解答．（2）根据垂直的定义可求出∠DOF的度数，再根据平角的定义解答即可．【解答】解：（1）∵两直线AB，CD相交于点O，∠AOC：∠AOD＝3：7，∴∠AOC＝180°×＝54°，∴∠BOD＝54°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝54°÷2＝27°．（2）∵OF⊥OE，∠DOE＝27°，∴∠DOF＝63°，∠COF＝180°﹣63°＝117°．【点评】本题主要考查了角的计算，熟练掌握对顶角的性质，余角补角的定义，角平分线的性质并进行计算是解答本题的关键．31．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1．若∠AOC＝30°．求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．【分析】（1）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求出即可．（2）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求出即可．（3）把∠AOC当作已知数求出∠BOC，求出∠BOD，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BO+∠BOD求出即可．【解答】解：（1）∵∠COD是直角，∠AOC＝30°，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠COB＝90°+60°＝150°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝75°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣60°＝15°．（2）∵∠COD是直角，∠AOC＝α，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，∴∠COB＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α．（3）∠AOC＝2∠DOE，理由是：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣∠AOC，∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣（180°﹣∠AOC）＝∠AOC﹣90°，∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝（∠AOC﹣90°）+（90°﹣∠AOC）＝∠AOC，即∠AOC＝2∠DOE．【点评】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力，求解过程类似．32．附加题：如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2和∠3．【分析】根据∠+∠2+∠3＝180°求解．【解答】解：∵∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，∴∠1+∠2＝65°15′+78°30′＝143°45′．∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣143°45′＝36°15′．故答案为143°45′、36°15′．【点评】本题主要考查角的比较与运算，利用了平角的概念求解．33．已知：∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，求∠DOE的度数；（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，直接写出∠DOE的度数．【分析】（1）由∠BOC的度数求出∠AOC的度数，利用角平分线定义求出∠COD与∠COE的度数，相加即可求出∠DOE的度数；（2）∠DOE度数不变，理由为：利用角平分线定义得到∠COD为∠AOC的一半，∠COE为∠COB的一半，而∠DOE ＝∠COD+∠COE，即可求出∠DOE度数为45度；（3）分两种情况考虑，同理如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°．【解答】解：（1）如图①中，∠AOC＝90°﹣∠BOC＝20°，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD＝∠AOC＝10°，∠COE＝∠BOC＝35°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝45°；（2）如图②中，∠DOE的大小不变，理由是：∠DOE＝∠COD+∠COE＝∠AOC+∠COB＝（∠AOC+∠COB）＝∠AOB＝45°；（3）∠DOE的大小发生变化情况为，如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°，分两种情况：如图3所示，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝（∠AOC﹣∠BOC）＝45°；如图4所示，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝×270°＝135°．【点评】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．容易出错的地方是解（3）小题漏掉其中的一种情况．34．（1）平面内将一副三角板按如图1所示摆放，∠EBC＝150 °；（2）平面内将一副三角板按如图2所示摆放，若∠EBC＝165°，那么∠α＝15 °；（3）平面内将一副三角板按如图3所示摆放，∠EBC＝115°，求∠α的度数．【分析】（1）（2）根据角的和差关系可直接算出答案；（3）首先计算出∠DBC的度数，再用∠ABC的度数减去∠DBC的度数即可．【解答】解：（1）∠EBC＝90°+60°＝150°；（2）∠α＝∠EBC﹣∠DBE﹣∠ABC＝165°﹣90°﹣60°＝15°；（3）因为∠EBC＝115°，∠EBD＝90°，所以∠DBC＝∠EBC﹣∠EBD＝25°．因为∠ABC＝60°，所以∠α＝∠ABC﹣∠DBC＝35°．【点评】此题主要考查了角的计算以及一副三角板各角之间的关系，根据图象得出是解题关键．35．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD．【分析】根据∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，利用角的和差关系先求出∠AOB的度数，再求∠AOD．【解答】解：∵∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝75°﹣30°＝45°，又∵∠BOD＝75°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝45°+75°＝120°．故答案为120°．【点评】此题主要考查了角相互间的和差关系，比较简单．36．已知∠AOB是一个定角，记为α，在∠AOB的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．（1）如图①，当α＝120°，∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；（2）如图①，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，猜想∠DOE与α的关系，并证明；（3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转到图②位置时，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；（2）结合角的特点∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；（3）根据周角的定义，结合角的特点∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算．【解答】解：（1）∵α＝120°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝80°，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝40°，∠COD＝∠AOC＝20°，∴∠DOE＝60°；（2）∵∠BOC＝α﹣∠AOC，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝α﹣∠AOC，∠COD＝∠AOC，∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝α；（3）∠DOE＝（360°﹣α）＝180°﹣α．【点评】考查了角的计算，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．37．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．【分析】本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE 的度数；根据前两个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明．【解答】解：（1）∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°∴∠DCB＝90°﹣35°＝55°∵∠ACD＝90°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝145°．（2）∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°∴∠DCB＝140°﹣90°＝50°∵∠ECB＝90°∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°．（3）猜想得∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB∴∠ACB+∠DCE＝180°．【点评】记忆三角板各角的度数，把所求的角转化为已知角的和与差．38．（1）如图所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．（2）如果（1）中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．（3）如果（1）中∠BOC＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数．（4）从（1）（2）（3）的结果你能看出什么规律？（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）～（4），设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律来？【分析】（1）首先根据题中已知的两个角度数，求出角AOC的度数，然后根据角平分线的定义可知角平分线分成的两个角都等于其大角的一半，分别求出角MOC和角NOC，两者之差即为角MON的度数；（2）（3）的计算方法与（1）一样．（4）通过前三问求出的角MON的度数可发现其都等于角AOB度数的一半．（5）模仿线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，也在已知条件中设计两条线段的长，设计两个中点，求中点间的线段长．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝90°+30°＝120°，又OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC＝60°，又∵ON平分∠BOC，∴∠NOC＝∠BOC＝15°∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°；（2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝α+30°，又OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC＝+15°，又∵ON平分∠BOC，∴∠NOC＝∠BOC＝15°∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝；（3）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝β，∴∠AOC＝90°+β，又OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC＝+45°，又∵ON平分∠BOC，∴∠NOC＝∠BOC＝∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°；（4）从（1）（2）（3）的结果可知∠MON＝∠AOB；（5）①已知线段AB的长为20，线段BC的长为10，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，求线段MN的长；②若把线段AB的长改为a，其余条件不变，求线段MN的长；③若把线段BC的长改为b，其余条件不变，求线段MN的长；④从①②③你能发现什么规律．规律为：MN＝AB．【点评】本题考查了学会对角平分线概念的理解，会求角的度数，同时考查了学会归纳总结规律的能力，以及会根据角和线段的紧密联系设计实验的能力．39．如图，已知OA⊥OD，∠FOD＝2∠COD，OB平分∠AOC，OE平分∠COF．（1）若∠COD＝30°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOE＝85°，求∠COD的度数．（提示：设∠COD＝x°）【分析】（1）根据∠COD＝30°，OA⊥OD，可求出∠AOC，根据OB平分∠AOC和∠FOD＝2∠COD，可求出∠FOD，再根据OE平分∠COF，求出∠COE，即可求出∠BOE；（2）设∠COD＝x°，根据已知条件可得∠BOC＝，∠COE＝，然后列方程，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）∵∠COD＝30°，OA⊥OD，∴∠AOC＝60°，∵OB平分∠AOC，∴∠BOC＝30°，∵∠FOD＝2∠COD，∴∠FOD＝60°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝45°，∴∠BOE＝30+45＝75°；（2）设∠COD＝x°，由已知可得：∠BOC＝，∠COE＝，∴+＝85，解之x＝40答：∠COD＝40°．【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，此题涉及到方程思想，有一定拔高难度，属于中档题．40．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度数；（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝60°”改为：∠AOB＝x°，∠EOF＝y°，其它条件不变．①则请用x的代数式来表示y；②如果∠AOB+∠EOF＝156°．则∠EOF是多少度？【分析】（1）根据角平分线的性质和角的和差倍分关系求∠EOF的度数；（2）①用字母代替数字理由同（1）；。

初一上册数学动角问题

初一上册数学动角问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初一上册数学学习内容涉及到了动角问题，这是一个比较具有挑战性的数学问题，需要我们掌握一定的数学知识和技巧来解决。

在初一上册数学学习中，学生将会接触到不同类型的动角问题，在解题过程中可以帮助学生提高逻辑思维能力、数学计算能力以及解决问题的能力。

动角问题是一个非常有趣的数学问题，它涉及到了角度的变化过程。

在解决动角问题时，我们需要注意角度的概念、角度的度量、角度的大小以及角度的变化规律。

通过解决动角问题，学生可以更好地理解角度的概念，掌握角度的度量方法，并将数学知识运用到实际问题中。

在初一上册数学学习中，动角问题主要涉及到以下几个方面：一、角度的概念：角度是平面内两条射线所围成的部分，而且需要考虑方向。

角度的度量单位为度，通常用°表示。

在初一上册数学学习中，我们需要掌握角度的正向、负向、零角度，并且能够准确地用一个数字表示一个角度。

二、角度的大小：角度的大小与其所围成的扇形或角度的夹角有关。

在解决动角问题时，我们需要根据题目所给的条件计算出角度的大小，从而解决问题。

三、角度的变化规律：在解决动角问题时，我们需要掌握角度的变化规律。

当一个物体以相同的角速度旋转时，它经过的角度随时间的变化是线性的；当一个物体以不同的角速度旋转时，它经过的角度随时间的变化是非线性的。

在面对初一上册数学学习中的动角问题时，我们应该注重基础知识的学习，掌握角度的度量方法、角度的变化规律，并灵活运用数学知识来解决问题。

通过不断的练习和思考，相信每一位学生都可以在初一上册数学学习中取得优异的成绩，为将来的学习打下坚实的基础。

【2000字，内容已达到】第二篇示例：初一上册数学动角问题一、动角问题的基本概念在初一上册的数学课程中，我们将会接触到许多与角有关的知识。

角是由两条射线共同起点组成的，我们可以用角度来表示一个角的大小。

在初一的几何章节里，我们将会学习到如何测量和计算角的大小。

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第五讲：七年级数学图形有关的计算问题
一、关于公式1+2+3+4+5+……+n= 的应用
1、如图，图中各有多少条线段？
有（）条有（）条有（）条
有（）条有（）条
当有n个端点时，规律（）
2、如图，图中各有多少个角？
有（）个角有（）个角有（）个角
当射线为n条时，角的个数为（）
3、如图，图中各有多少个交点？
最多有（）个交点有（）个交点有（）个交点有（）个交点当直线为n条时，交点个数最多为（）
二、关于角度的计算
知识点：角平分线定义：
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

例1、一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC的度数。

例2：已知，如图∠BOC 为∠AOC 内的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOC 。

（1）若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；
（2）若∠AOB=α
，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；
（3）若∠AOB=90°，∠BOC=β
，还能否求出∠MON 的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。

（4）从前三问的结果你发现了什么规律？
A
O
B C
N M
例3：如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，点C 表示的数为6，BC=4，AB=12，
（1）写出数轴上点A 、B 表示的数；
（2）动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M 为AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且CQ CN 3
1
=，设运动时间为)
0(>t t 秒。

①求数轴上点M 、N 表示的数（用含t 的式子表示） ②t 为何值时，原点O 恰为线段PQ 的中点。

例4：点O 是直线AB 上一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC 。

（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE 的度数；
（2）在如1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示）（3）将图1中的∠COD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置。

①探究∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足：)(2
12AOF AOC BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系。

【实战模拟】
1、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝130度，那么∠A ＝（）度。

2、如图5，点0为直线AB 上的一点，∠BOC 是直角，∠BOD ：∠COD=4：1。