2017_2018学年数学归纳法与贝努利不等式3.2用数学归纳法证明不等式贝努利不等式学案新人教B版选修4_5

3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式
[对应学生用书P43]
[读教材·填要点]
贝努利(Bernoulli)不等式
设x >－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1＋x )n
>1＋nx .
[小问题·大思维]
在贝努利不等式中，指数n 可以取任意实数吗？
提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n 改成实数α后，将有以下几种情况出现：
(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x )α
≥1＋αx (x >－1)． (2)当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x )α
≤1＋αx (x >－1)．
[对应学生用书P43]
[例1] 求证：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n
2>1(n ≥2，n ∈N ＋)．
[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n 的取值范围，因为n ≥2，
n ∈N ＋，因此应验证n 0＝2时不等式成立．
[精解详析] (1)当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝13
12>1.
∴n ＝2时不等式成立．
(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N )时，不等式成立，即 1
k
＋
1k ＋1＋1k ＋2＋ (1)
2>1，那么n ＝k ＋1时， 1k ＋1＋1 k ＋1 ＋1＋…＋1 k ＋1 2－1＋1 k ＋1 2 ＝
1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋＋1 k ＋1 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋1k 2＋1k ＋1＋…＋1k ＋2k ＋1 k ＋1 －1k >1＋2k ＋1 k ＋1 －1k ＝1＋k 2－k －1
k k ＋1 2
， ∵k ≥2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122≥9
4.
∴k 2
－k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122－54
≥1>0.
∴k 2－k －1k k ＋1 2
>0. ∴
1k ＋1＋1 k ＋1 ＋1＋…＋1 k ＋1
2>1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由(1)、(2)可知，对一切的n ≥2，且n ∈N ＋，此不等式都成立．
利用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形，为满足题目的要求，往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“1k 2
＋1>1
k ＋1 2
，…，1k 2＋2k >1 k ＋1 2
”的放缩变形．
1．证明不等式： 1＋
12＋1
3＋…＋1
n
<2n (n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即 1＋
12＋1
3＋…＋1
k
<2k . ∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋
13＋…＋
1
k
＋
1
k ＋1
<2 k ＋
1
k ＋1
＝
2k k ＋1 ＋1k ＋1
，
现在只需证明2k k ＋1 ＋1
k ＋1
<2k ＋1，
即证：2k k ＋1 <2k ＋1， 两边平方，整理：0<1，显然成立． ∴
2k k ＋1 ＋1
k ＋1
<2k ＋1成立．
即1＋
1
2＋13＋…＋1k ＋1k ＋1
<2k ＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知，对于任何正整数n 原不等式都成立.
[例2] 设P n ＝(1＋x )n
，Q n ＝1＋nx ＋
n n －1 2
x 2
，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较
P n 与Q n 的大小，并加以证明．
[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n 取特值，猜想P n 与Q n
的大小关系，然后利用数学归纳法证明．
[精解详析] (1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n . (2)当n ≥3时，(以下再对x 进行分类)． ①若x ∈(0，＋∞)，显然有P n >Q n . ②若x ＝0，则P n ＝Q n . ③若x ∈(－1,0)，
则P 3－Q 3＝x 3
<0，所以P 3<Q 3.
P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )<0，所以P 4<Q 4.
假设P k <Q k (k ≥3)，
则P k ＋1＝(1＋x )P k <(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k ＝1＋kx ＋
k k －1 x 2
2
＋x ＋kx 2
＋
k k －1 x 3
2
＝1＋(k ＋1)x ＋k k ＋1 2
x 2＋k k －1 2
x 3
＝Q k ＋1＋
k k －1 2
x 3
<Q k ＋1，
即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n <Q n .
(1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．
(2)本题除对n 的不同取值会有P n 与Q n 之间的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n ”，而忽视其他变量(参数)的作用．
2．已知数列{a n }，{b n }与函数f (x )，g (x )，x ∈R ，满足条件：b 1＝b ，a n ＝f (b n )＝g (b n
＋1
)(n ∈N ＋)．若函数y ＝f (x )为R 上的增函数，g (x )＝f －1
(x )，b ＝1，f (1)<1，证明：对任
意n ∈N ＋，a n ＋1<a n .
证明：因为g (x )＝f －1
(x )，所以a n ＝g (b n ＋1)＝f －1
(b n ＋1)，即b n ＋1＝f (a n )． 下面用数学归纳法证明a n ＋1<a n (n ∈N ＋)． (1)当n ＝1时，由f (x )为增函数，且f (1)<1，得
a 1＝f (
b 1)＝f (1)<1， b 2＝f (a 1)<f (1)<1， a 2＝f (b 2)<f (1)＝a 1，
即a 2<a 1，结论成立．
(2)假设n ＝k 时结论成立，即a k ＋1<a k .
由f (x )为增函数，得f (a k ＋1)<f (a k )，即b k ＋2<b k ＋1. 进而得f (b k ＋2)<f (b k ＋1)，即a k ＋2<a k ＋1. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据(1)和(2)可知，对任意的n ∈N ＋，a n ＋1<a n .
[例3] 若不等式
1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24
对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．
[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法．解答本题需要根据n 的取值，猜想出a 的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明．
[精解详析] 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a
24，
即2624>a 24
，。