概率初步复习
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结一、概率的定义在一定条件下，重复进行试验，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记作 P(A) ＝ p。
概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。
二、概率的基本性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1：任何事件的概率都在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
2、P(Ω) ＝ 1：必然事件的概率为 1，其中Ω 表示样本空间，即所有可能结果的集合。
3、 P(∅）＝ 0：不可能事件的概率为 0，∅表示空集。
4、如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不能同时发生），那么P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
三、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型，具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型的概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件的总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），取出红球包含的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为 3/5。
四、例题解析例 1：掷一枚质地均匀的骰子，求点数为奇数的概率。
解：掷一枚骰子，出现的点数有 1、2、3、4、5、6 共 6 种可能，其中奇数有 1、3、5 共 3 种。
所以点数为奇数的概率为 3/6 ＝ 1/2。
例 2：从 1、2、3、4 这 4 个数字中，任意取出两个数字，求取出的两个数字都是奇数的概率。
解：从4 个数字中任意取出两个数字，共有6 种可能的结果：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）。
其中两个数字都是奇数的结果有（1，3），共 1 种。
所以取出的两个数字都是奇数的概率为 1/6。
中考数学总复习《概率初步》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《概率初步》专项提升练习题（附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.下列事件中，是必然事件的是( )A.明天太阳从东方升起B.打开电视机，正在播放体育新闻C.射击运动员射击一次，命中靶心D.经过有交通信号灯的路灯，遇到红灯2.事件①：射击运动员射击一次，命中靶心；事件②：购买一张彩票，没中奖，则( )A.事件①是必然事件，事件②是随机事件B.事件①是随机事件，事件②是必然事件C.事件①和②都是随机事件D.事件①和②都是必然事件3.在不透明的袋子装有9个白球和一个红球，它们除颜色外其余都相同，从袋中随意摸出一个球，则下列说法中正确的是( )A.“摸出的球是白球”是必然事件B.“摸出的球是红球”是不可能事件C.摸出的球是白球的可能性不大D.摸出的球有可能是红球4.某同学午觉醒来发现钟表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不超过15分钟的概率是( )A.12B.13C.14D.155.如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是( )A． B． C． D．6.从－2,－1,2这三个数中任取两个不同的数相乘,积为正数的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.147.小杰想用6个除颜色外均相同的球设计一个游戏,下面是他设计的4个游戏方案.不成功的是( )A.摸到黄球的概率为12,红球的概率为12B.摸到黄、红、白球的概率都为13C.摸到黄球的概率为12,红球的概率为13,白球的概率为16D.摸到黄球的概率为23,摸到红球、白球的概率都是138.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是( )实验次数100200 300 500 800 1000 2000频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃B.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5D.抛一枚硬币，出现反面的概率9.某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是( )A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4C.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽中红桃D.抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面仍朝上10.同时抛掷A、B两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设两立方体朝上的数字分别为x、y，并以此确定点P(x，y)，那么点P落在抛物线y＝－x2＋3x上的概率为( )A.118B.112C.19D.16二、填空题11.抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是 .12.在分别写有－1，0，1，2的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1的概率为________.13.已知一包糖果共有5种颜色(糖果只有颜色差别)，如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是________.14.游戏是否公平是指双方获胜的可能性是否相同,只有当双方获胜的可能性 (等可能事件发生的概率相同)时,游戏才公平,否则游戏不公平.15.一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球个.16.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为(精确到0.1).投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 500投中次数(m) 28 60 78 104 123 152 251投中频率(m/n)0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50三、解答题17.一个袋中装有2个红球，3个白球，和5个黄球，每个球除了顔色外都相同，从中任意摸出一个球，分别求出摸到红球，白球，黄球的概率。
九年级数学概率初步复习
头看信号灯时，是黄灯亮的概率是
.
4、某电视台体育直播节目从接到的5000条短
信中，抽取10名“幸运观众”.小明给此直播
节目发了一条短信，他成为“幸运观众”的概
率是
.
5、一个袋中装有6个红球、4个黑球、2个白球， 每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一 个球，那么摸出 球的可能性最大．
6、 有四张不透明的卡片,正面分别写
25.3利用频率估计概率 1.设计模拟试验 例.如图是一个黑白相间的双色转盘，你 能估计转盘指针停在黑色上的机会吗？ 如果没有转盘，你有哪些方法可以用来 模拟试验？尽可能说说你的办法？
2：利用频率值估计概率值
例.在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全
相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将
球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再
11．将分别标有数字1，2，2，4的四张卡片洗 匀后，背面朝上放在桌面上. (1) 任意抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字 是偶数的概率； (2) 任意抽取一张作为十位上的数字（不放 回），再抽取一张作为个位上的数字，请你利 用列举法求出组成的两位数中恰好是24的概率.
第二十五章概率初步 复习
一.本章知识结构框图
本章的主要内容是随机事件的定义，概率的定义， 计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列 表法和画树形图法），利用频率估计概率（试验概 率）。
二、主要知识点
25.1概率 1.知道什么是随机事件、必然事件、不可能事件. 例.1、下列事件中，是必然事件的是（ ）
如果1口袋中装有四个红球，且摸出红球的概率
为 ，那么袋中共有 个球.
3
9都、相在同一的个球不1透5个明，的从口中袋摸中出，红装球有的除概颜率色为1外其余，
概率初步知识点
概率初步知识点归纳1,概率的有关概念1.概率的定义：某种事务在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事务发生的可能性的大小的量叫做概率.2,事务类型：①必定事务：有些事情我们事先确定它确定发生，这些事情称为必定事务.。
不可能事务：有些事情我们事先确定它确定不会发生，这些事情称为不可能事务.③不确定事务：很多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事务.必定事务，不可能事务都是在事先能确定它们会发生，或事先能确定它们不会发生的事务，因此它们也可以称为确定性事务.不确定事务都是事先我们不能确定它们会不会发生，我们把这类事务称为随机事务。
练习：1 .足球竞赛前，裁判通常要掷一枚硬币来确定竞赛双方的场地及首先发球者，其主要缘由是（）•A.让竞赛更富有情趣B.让竞赛更具有神奇色调C.体现竞赛的公允性D.让竞赛更有挑战性2 .小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面对上，则他第10次掷硬币时，出现正面对上的概率是（）.A.0B.IC.0.5D.不能确定3 .关于频率及概率的关系，下列说法正确的是（）.A.频率等于概率B.当试验次数很多时，频率会稳定在概率旁边C.当试验次数很多时，概率会稳定在频率旁边D.试验得到的频率及概率不可能相等4 .下列说法正确的是（）.A.一颗质地匀称的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次确定抛掷出5点B.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票确定会中奖C.天气预报说明天下雨的概率是50%.所以明天将有一半时间在下雨D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等5 .下列说法正确的是（）.A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B. “从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上全部的学生都完成了作业C. 一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%,所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球（每次取后放同，并搅匀）D.抛一枚硬币，出现正面对上的概率为50%,所以投掷硬币两次，则一次出现正面，一次出现反面6 .在一个不透亮的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个,红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（）.7 .在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力气类.其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50m,IOOm,50m×2来回跑三项，力气类有原地掷实心球，立定跳远，引体向上（男）或仰卧起坐（女）三项.市中考领导小组要从速度类和力气类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50mX2来同跑，引体向上（男）或仰卧起坐（女）两项的概率是（）.8 .元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小，重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的.假如随意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，则一次过关的概率为（）.9 .下面4个说法中，正确的个数为（）.（1）“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是确定会取出一只红球，因为概率已经很大（2）袋中有红，黄，白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”（3）小李说，这次考试我得90分以上的概率是200%（4）“从盒中取出一只红球的概率是0"，这句话是说取出一只红球的可能性很小A.3B.2C.1D.010 .下列说法正确的是（）.A.可能性很小的事务在一次试验中确定不会发生B.可能性很小的事务在一次试验中确定发生C.可能性很小的事务在一次试验中有可能发生D.不可能事务在一次试验中也可能发生3,（重点）概率的计算1,概率的计算方式：概率的计算有理论计算和试验计算两种方式，依据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.2,如何求具有上述特点的随机事务的概率呢？假如一次试验中共有n种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事m务A包含的结果有m种，则事务A发生的概率P（A）=〃。
《概率初步》知识点+例题+习题(含答案)
概率初步一、事件的有关概念 1．必然事件在现实生活中__________发生的事件称为必然事件． 2．不可能事件在现实生活中__________发生的事件称为不可能事件． 3．随机事件在现实生活中，有可能__________，也有可能__________的事件称为随机事件． 4．分类事件⎩⎨⎧确定事件⎩⎪⎨⎪⎧必然事件不可能事件随机事件二、用列举法求概率 1．定义在随机事件中，一件事发生的可能性__________叫做这个事件的概率． 2．适用条件(1)可能出现的结果为__________多个； (2)各种结果发生的可能性__________． 3．求法(1)利用__________或__________的方法列举出所有机会均等的结果； (2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举．三、利用频率估计概率 1．适用条件当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等． 2．方法进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个__________时，该__________就可认为是这个事件发生的概率．四、概率的应用概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．自主测试1．下列说法正确的是( ) A ．打开电视机，正在播放新闻B ．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个C ．调查某品牌饮料的质量情况适合普查D ．盒子里装有2个红球和2个黑球，搅匀后从中摸出两个球，一定一红一黑2．两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为( )A ．14B ．316C ．34D ．3．有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1 000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为__________．4．扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二选一)中选择两项．(1)每位考生有__________种选择方案；(2)用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．(友情提醒：各种方案用A ，B ，C ，…或①，②，③，…等符号来代表可简化解答过程)典例考点一、事件的分类【例1】下列事件属于必然事件的是( ) A ．在1个标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾 B ．明天我市最高气温为56 ℃ C ．中秋节晚上能看到月亮 D ．下雨后有彩虹触类旁通1 下列事件中，为必然事件的是( ) A ．购买一张彩票，中奖 B ．打开电视，正在播放广告 C ．抛掷一枚硬币，正面向上D ．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球 考点二、用列举法求概率【例2】在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字．(1)计算两次摸出的纸牌上的数字之和为6的概率；(2)甲、乙两个人玩游戏，如果两次摸出纸牌上的数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上的数字之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由．触类旁通2 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．考点三、频率与概率【例3】小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：(1)试求“4(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？触类旁通3 某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：(1)(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率．考点四、概率的应用【例4】在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上． (1)从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到牌面花色为红心的概率是多少？(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面花色．当两张牌面的花色相同时，小王赢；当两张牌面的花色不相同时，小李赢．请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由．触类旁通4 (1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )A ．14B ．12C ．34 D ．1(2)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是( )A ．19B ．13C ．23D ．29经典考题1．(2012浙江宁波)一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为( )A ．23B ．12C ．13 D ．12．(2012浙江义乌)义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( )A ．35B ．710C ．310D ．16253．(2012浙江杭州)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是( )A ．摸到红球是必然事件B ．摸到白球是不可能事件C ．摸到红球与摸到白球的可能性相等D ．摸到红球比摸到白球的可能性大4．(2012四川攀枝花)抛掷一枚质地均匀、各面分别标有1,2,3,4,5,6的骰子，正面向上的点数是偶数的概率是__________．5．(2012湖南长沙)任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__________事件．6．(2012四川达州)如下图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转．若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为__________．7．(2012湖南益阳)有长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm 的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________．8．(2012福建泉州)在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．(1)随机地从盒中提出1子，则提出白子的概率是多少？(2)随机地从盒中提出1子，不放回再提第二子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．课时跟踪训练1．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．162．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为( )A ．2B ．4C ．12D ．163．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12，下列说法错误的是( )A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的4．在x 2 2xy y 2的空格 中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )A ．1B ．34C ．12D ．145．在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为__________．(注：π取3)6．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是__________． 7．如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P (3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P (4)，则P (3)__________P (4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)8．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明去听讲座．(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．。
专题25.1 概率初步(章节复习+能力强化卷)学生版-2024-2025学年九年级数学上册真题汇编专
2024-2025学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题25.1 概率初步（章节复习+能力强化卷）知识点01：必然事件、不可能事件和随机事件1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，，叫做必然事件．（2）不可能事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，，称为随机事件.细节剖析：均为“确定事件”，随机事件又称为2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定 .一般地，发生的可能性最大，发生的可能性最小，的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.知识点02：概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.细节剖析：(1)概率是，而频率是；(2)概率反映了；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.知识点03：古典概型满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.（1）一次试验中，是有限的；（2）一次试验中，各种结果发生的 .古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率. 细节剖析：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn.知识点04：用列举法求概率常用的列举法有两种：列表法和树形图法.1.列表法：当一次试验要涉及，并且可能时，为地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.细节剖析：（1）列表法适用于各种情况出现的不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及的随机事件发生的概率.2.树形图：当一次试验要涉及时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.树形图是出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.细节剖析：(1) 树形图法同样适用于；（2）在用列表法或树形图法求时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.知识点05：利用频率估计概率，或时，一般用统计频率的方法来估计概率.细节剖析：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•乐平市校级开学）如图，口袋里有10个大小、形状都相同的球，菲菲闭上眼睛任意摸出1个球，下列说法正确的是（）A．可能出现3种结果B．摸出红色球的可能性最大C．摸出蓝色球的可能性最小2．（2分）（2022秋•黄陂区校级期末）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有（）A．15个B．20个C．21个D．24个3．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）下列说法错误的是（）A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为B．不可能事件发生的概率为0C．买一张彩票会中奖是随机事件D．一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球4．（2分）（2023•东城区校级模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A．B．C．D．5．（2分）（2023•南宁模拟）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（）个白球．A．4 B．6 C．8 D．126．（2分）（2023•兴宁市二模）桌面上有5本书，2本为数学书，2本为物理书，1本为化学书，小明分2次从桌上抽走2本书，则小明2次抽走的都是数学书的概率为（）A．B．C．D．7．（2分）（2023•海淀区校级四模）不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（）A．B．C．D．8．（2分）（2022秋•建昌县期末）下列事件中，属于必然事件的是（）A．明日气温下降B．三角形的内角和为180°C．购买一张彩票，中奖D．发射一枚导弹，击中目标9．（2分）（2023•小店区校级模拟）如图所示，电路图上有3个开关S1，S2，S3和2个小灯泡L1，L2，同时闭合开关S1，S2，S3可以使小灯泡L1，L2发光．对于“小灯泡发光”这个事件，下列结论错误的是（）A．闭合开关S1，S2，S3中的1个，灯泡L1发光是不可能事件B．闭合开关S1，S2，S3中的2个，灯泡L2发光是随机事件C．闭合开关S1，S2，S3中的2个，灯泡L1发光是必然事件D．闭合开关S1，S2，S3中的2个，灯泡L1、L2发光的概率相同10．（2分）（2023•方城县模拟）信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味道传遍大江南北．某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤“闷罐肉”这5个特色美食中随机选取2个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•西安校级开学）西安有“碳水之都”的美誉，现有4张卡片正面分别写着“碳”“水”“之”“都”，卡片除汉字不同其他别无二致，将卡片正面朝下洗匀，然后同时随机抽取2张，刚好抽到“碳”“水”二字的概率是．12．（2分）（2023•铜梁区校级一模）将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同．从中随机摸出一个小球记下数字后放回，再从中随机摸出一个小球并记下数字，则两次摸出的小球数字不同的概率．13．（2分）（2023春•沙坪坝区校级期末）两人做游戏：不透明的盒子里面有3张纸片，上面分别写着0，1，2（纸片除数字外其余均相同），第一位随机抽取一张，记下数字且不放回，第二位再从中随机抽取一张．将两人所写整数相加，和是1的概率是．14．（2分）（2023•剑阁县二模）在一个不透明的布袋中，有红球、黑球、白球共60个，它们除颜色外其他都相同．小明从中任意摸出一个球，查看色后放回并摇匀，通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黑球的频率分别稳定在0.15和0.45，则他估计布袋中白球的个数约是个．15．（2分）（2023春•沙坪坝区校级月考）有四张除数字外其它完全一样的卡片，正面写有数字0，﹣1，2，﹣3．把它们全部背面朝上，抽出一张记为数m作为点A的横坐标，不放回，再抽一张记为数n作为点A 的纵坐标．则点A（m，n）在第四象限内的概率为．16．（2分）（2023•历城区模拟）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是．17．（2分）（2023•西湖区校级二模）袋子里有四个完全相同的球，球上分别标有数字﹣1，﹣3，1，4，随机摸出一个球，记下数字为k：不放回，再随机摸出一个球，记下数字为b，则y＝kx+b的图象经过第三象限的概率为．18．（2分）（2023•山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．19．（2分）（2023•花溪区校级一模）化学课上，小红学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．以下为常考的四个实验：A．高锰酸钾制取氧气，B．电解水，C．木炭还原氧化铜，D．一氧化碳还原氧化铜，已知这四个实验中，C，D两个实验均能产生二氧化碳，若小华从四个实验中任意选做两个，则两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为．20．（2分）（2022秋•昌图县期末）一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个．将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中小球的个数为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•青岛）为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．22．（6分）（2023•芝罘区一模）为了丰富校园生活、提高学生综合素质，某校开设了无人机、交响乐、诗词会、乒乓球四个社团，分别记为A、B、C、D．为了解学生对这四个社团的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．校本课程频数频率A：无人机36 0.45B：交响乐团0.25C：诗歌鉴赏16 bD：木工制作8合计a 1请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）统计表中的a＝，b＝；（2）求D对应扇形的圆心角的度数；（3）甲、乙两位同学参加社团活动，若每人从A、B、C、D四种社团中随机选取一种，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一社团的概率．23．（8分）（2023•凤凰县三模）整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法，为此某校教务处就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查．设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正情况；答案选项为：A、很少，B、有时，C、常常，D、总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：请根据图中信息，解答下列问题：（1）求a、b的值及“常常”所对应扇形的圆心角度数；（2）请你补全条形统计图；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位学生恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率．24．（8分）（2023•钟楼区校级模拟）中国共产党的早期领导人瞿秋白、张太雷、恽化英都是江苏常州共产党员，故被称为“常州三杰”．为弘扬“常州三杰”红色精神，某校九年级的甲、乙、丙、丁4位同学抽签到三个纪念馆（A．瞿秋白纪念馆、B．张太雷纪念馆、C．恽代英纪念馆）参加志愿服务活动．（1）若每人只能去一个纪念馆，则甲同学参加瞿秋白纪念馆志愿服务的概率为；（2）从4人中选派2人去张太雷纪念馆，试求出恰好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）．25．（8分）（2022秋•鸡泽县期末）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了一套展现雪上运动的纪念邮票，如图所示：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．现将四枚邮票背面朝上充分混匀，嘉琪随机从中抽出一枚，记录抽到邮票的标号后放回并再次充分混匀，再从中抽出一枚记录标号，又放回…嘉琪抽取了60次，结果统计如下：标号4﹣1 4﹣2 4﹣3 4﹣3次数16 14 20 10 （1）上述试验中，嘉琪摸取到“高山滑雪”的频率是；嘉琪下一次抽取邮票，抽到“高山滑雪”邮票的概率是；（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．26．（8分）（2023•西湖区校级二模）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，杭州市某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：（1）根据题中信息补全条形统计图，并求出喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为度．（2）若有外型完全相同的A、B、C、D四种不同口味的粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法，求出小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．27．（8分）（2023•浑江区一模）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1、2、3、4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．（1）若从中任取一球，球上数字为偶数的概率是多少？（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．28．（8分）（2022秋•长寿区期末）甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装。
九年级概率初步知识点及题
九年级概率初步知识点包括：1. 概率的基本性质：概率是非负数，并且所有概率的和必须等于1。
2. 必然事件和不可能事件：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0。
3. 独立事件：一个事件的发生不受另一个事件是否发生的影响，这样的两个事件称为独立事件。
独立事件同时发生的概率是各自概率的乘积。
4. 条件概率：在某个事件B已经发生的情况下，另一个事件A发生的概率叫做条件概率，记作P(A|B)。
5. 事件的概率：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的k个结果，那么事件A发生的概率为P(A)=k/n。
6. 概率的加法公式：如果两个事件A和B是互斥的（即两个事件不能同时发生），那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
7. 概率的乘法公式：对于任意两个事件A和B，如果它们是独立的，那么P(A∩B)=P(A)×P(B)。
8. 贝叶斯定理：在已知某个事件的概率和一些条件概率的情况下，可以使用贝叶斯定理计算其他条件概率。
以上是九年级概率初步知识点，可以通过做题来巩固这些知识点。
例如：1. 小明和小颖按如下规则作游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，最后一次取完铅笔的人获胜。
如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应该取走几支铅笔？根据题意，我们知道小明获胜的概率为1，即他一定会赢。
所以我们需要找出小明第一次应该取走几支铅笔才能确保他获胜。
根据游戏规则，每次只能取1支或2支铅笔，如果小明第一次取走2支铅笔，那么无论小颖取走几支（1支或0支），小明都能在第二次取完剩下的所有铅笔，从而获胜。
因此，小明第一次应该取走2支铅笔。
概率初步 复习课
（）
A 不可能发生
B 可能发生
C 很可能发生
D 必然发生
习题演练
下列说法错误的是 A 必然事件发生的概率为1 B 不确定事件发生的概率为0.5 C 不可能发生的事件发生的概率为0 D 随机事件发生的概率介于0-1之间
（）
习题演练
习题演练
某射手在相同的条件下进行训练，结果如下表所示：
根据该表，估计这名射手设计一次，击中靶心的概率。
习题演练
对于事件“从车间生产100个（其中两个是次品）产品种任意抽取
一个，所抽的产品是次品”，下列对事件描述正确的是
（）
A 该事件是必然事件
B 该事件是不可能事件
C 该事件是不确定事件
D 该事件发生的可能性很大
习题演练
5个红球、4个白球放入一个不透明的盒子里，从中摸出6个球，恰好红
球和白球都摸到，这件事属于
概率与频率
概率：表征随机事件发生可能性大小的量
我们通常把某事件在大数次试验中发生的频率，作为这个事件概率 的估计值。 例子：书本127-128 抛硬币试验
等可能事件
（1）试验结果有限个，各种结果出现的可能性相等 （2）任何两种结果不可能同时发生
如果一个试验共有n种等可能的结果，事件A包含k个结果，那么事 件A的概率：
射击次 10 20 50 100 200 500 数
击中靶 9 19 44 91 178 450 心次数 击中靶 0.90 0.95 0.88 0.91 0.89 0.90 心频率
习题演练
两道单选题有A、B、C、D四个答案，小杰做不出就瞎猜答案，那 么两道题恰好都被他猜对的概率是_______________
布袋里有一个红球两个黄球，他们除了颜色外都相同 (1）任意摸出一个红球的概率是___________________ (2) 摸出一个球再放回袋中。搅匀后再摸出一个球，利用树形图求 事件“摸到一红一黄两球”的概率P _______________
《概率初步》单元复习与巩固
《概率初步》单元复习与巩固一、概率1、事件的划分必然事件：一定发生的事件为必然事件事件不可能事件：一定不发生的事件为不可能事件随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件2、概率（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫事件A的概率，记为P（A）＝p.（其中n为实验的次数，m为事件A发生的频数）（2）因为0≤m≤n，所以0≤mn≤1，即0≤P（A）≤1。
当A为必然发生事件时，m＝n，mn＝1，P（A）＝1.当A为不可能事件时，m＝0，mn＝0，P（A）＝0.当A为随机事件时，0<P（A）<1.（3）概率反映可能性大小的一般规律，它从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近１；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.二、用列举法求概率1、对于某些特殊类型的试验（如古典概型），实际上不需要做大量的重复试验，而通过列举法进行分析就能得到随机事件的概率。
2、古典概型是具有如下两种特点的试验：①一次试验中，可能出现的结果有限多个；②一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
3、在古典概型中事件An表示在一次试验中有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等；m表示事件A包含其中的m种结果。
4、列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
5、树形图法：当一次试验要涉及三个或更多个因素（当事件要经过三次或更多步骤完成）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法。
三、利用频率估计概率1、当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过统计频率来估计概率。
2、频率稳定性定理：在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率。
(学生4份)第 6 讲 概率初步复习
第6讲 概率初步复习学习目标:立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.学习重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，． 学习难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识． 【知识要点1】 1、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
2、事件和概率的表示方法如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=nm 事件随机事件不可能事件必然事件确定事件简单事件类型：（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这类事件称为必然事件；（2）不可能事件：有一些事件我们事先能肯定它一定不会发生，这类事件称为不可能事件；必然事件与不可能事件都是确定的。
（3）不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件。
3、确定事件和随机事件 （1）确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件 如果用P 表示一个事件A 发生的概率，则P 必然事件=1， P 不可能事件=0， 0＜P 不确定事件＜1 概率的计算（重点） 1、等可能事件的概率如果事件发生的各种结果的可能性相同，结果总数为n ，其中事件A 发生的可能的结果总数为m （m ≤n ），那么事件A 发生的概率为()nm A P =. 2、运用列表格、画树状图等列举方法来统计、计算等可能事件发生的结果总数和某种事件A 发生的可能的结果总数，从而计算简单事件发生的概率．列表法求概率（1）列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
110《概率初步》知识点总结
新课标《概率》基础知识一.随机现象的概念:㈠必然现象:在一定条件下必然发生某种结果的现象。
㈡不可能现象:在试验中必然不发生的现象。
㈢确定性现象: 必然现象和不可能现象统称为“确定性现象”。
㈣随机现象:在相同条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一定相同。
事先很难预料会发生哪一种结果,这种现象就叫做随机现象。
★注意:随机现象绝不是杂乱无章的现象。
其特点是:1)这种现象的结果不确定,发生之前不能预言;2)这种现象的结果带有偶然性,但这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性。
我们把这种规律性叫做统计规律。
统计规律说明了随机现象具有必然性或规律性的一面。
㈤试验:观察和模拟随机现象的过程叫做试验。
试验的每一个可能结果叫做一个事件。
二.事件的分类:㈠必然事件:在一定条件S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件S 的必然事件; ㈡不可能事件:在一定条件S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S 的不可能事件; ㈢随机事件:在一定条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件;通常用大写字母...,,C B A 来表示随机事件。
随机事件也可以简称“事件”。
★注意:1)必然事件和不可能事件反映的是一定条件下的确定性现象;2)随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象。
㈣频数与频率:1.在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数)(A n 为事件A 出现的频数;2.把事件A 出现的比例nn A f A =)(为事件A 出现的频率。
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率)(A f 稳定在某个常数上,把这个常数记作)(A P ,称为事件A 的概率,1)(0≤≤A P ,这个定义叫做概率的统计学定义。
3.频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数)(A n 与试验总次数n 的比值n n A ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。
概率初步(重点复习)
概率初步一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解等可能事件的意义；●理解等可能事件的概率P（A）= (在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种)的意义；●重难点：应用P（A）= 解决一些实际问题。
●了解几何概型发生概率的计算方法，能进行简单计算；学习策略：●应用P（A）= 解决一些实际问题．●分析概率模型的特点，总结几何概型的计算方法。
二、学习与应用类型一、判断可能性例1.生活中的“几乎不可能“表示( )A：不可能事件B：确定事件C：必然事件D：不确定事件【总结升华】类型二、计算概率例2.小冰的车子坏了,修车的人对她说:“三分钟内帮你修好，百分之百没问题”,这“百分之百没问题”指的是三分钟修好车的概率为（）A：0 B：21C：1 D：不能确定【总结升华】例3.小华和小晶用扑克牌做游戏，小华手中有一张是王，小晶从小华手中抽得王的概率为51，则小华手中有（）张牌A：不能确定B：10 C：5 D：6【总结升华】“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．典型例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID：#25682#397536例4. 老师让小娟将作业本送到他的办公桌上，小娟来到办公室看到办公室内共有14张办公桌， 而且都一样，小娟只好将作业本随意放在一张桌上，然后下楼去问老师，则小娟恰好放对的概率是（ ）A ：0B ：21C ：1D ：141【总结升华】举一反三：【变式１】某班有40名学生,其中男生17人,女生23人,他们围坐在一起做击鼓传花游戏,若花在 每个学生手中的停留时间相同,则花落在男生手中的概率是____.【变式2】某校二年四班有45人参加期末考试,其中有43人及格,从中任意抽取一张卷纸,抽中 不及格的概率为_________.类型三、问答题例5.在一元件盒中装有50块固体组件,其中有25件一等品、15件二等品、10件次品，抽到一等品的概率是多少？抽到二等品的概率呢？抽到次品的概率呢？【总结升华】例6.爸的书架上放有5本中文书，3本英文书，2本俄文书，试求爸爸从中抽出一本是外文书 的概率。
章复习 第25章 概率初步
章复习第25章概率初步（学案）一、事件1、确定事件在一定条件下，有些事件发生与否是可以事先确定的，这样的事件叫做______事件．其中必然发生的事件叫做______事件；不可能发生的事件叫做______事件．2、随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为______事件．注：随机事件发生与否，事先是______确定的。
二、概率1、概率的定义会稳定在某个常数p附近，那一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn么这个常数p就叫做事件A的______．记作P(A)= p．注：因0≤m≤n，所以______≤P(A)≤______．2、概率的意义概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的______，事件发生的可能性越大，它的概率越接近______；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近______．注：①必然事件的概率为______，不可能事件的概率为______；②概率是针对大量试验而言的，大量试验反映的规律并非在每次试验中一定存在．3、概率的计算⑴一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= ______ .注1：该种方法主要用于计算只涉及一次试验的随机事件发生的概率．⑵当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有可能的结果，再根据①计算概率。
⑶当一次试验要涉及3个或更多因素时，列表法就不方便了，这时可采用树形图法，表示出所有可能的结果，再根据①计算概率．注2：①利用列表法、树形图法求概率，实质上还是求等可能性事件．．．．．．的概率；②在利用列表法、树形图法求概率时，各种情况出现的可能性必须相等，否则是错误的．三、典型例题1、利用列表法或树形图法计算概率当一次试验涉及两个以上因素时，往往需采用列表法或树形图法来计算事件发生的概率，当一次试验涉及两个因素时，采用列表法较好；当事件要经过多次步骤（三步以上）或涉及多个因素时，用树形图法很有效．【例】袋中有1个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，任意摸出1个球，记下球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出1个球，记下球的颜色．求摸到1红1白两球的概率是多少．解法一、列表解法二、树形图2、游戏的公平性一个公平的游戏应该是所有参加游戏的人获胜的概率相等，否则这个游戏不公平． 判断一个游戏是否公平，应从各参加者获胜的概率是否相等去判断，常需要利用列表法或树形图法计算概率．而设计一个公平游戏，也需要从概率相等出发.四、章测试题A 卷 知识技能训练一、选择题1．下列事件中，不可能事件是( )．A ．掷一枚六个面分别刻有数字1—6的均匀正方体骰子，向上一面的点数是“5”B ．任意选择某个电视频道，正在播放动画片C ．肥皂泡会破碎D ．在平面内，度量一个三角形的内角度数，其和为36002．如图(1)，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图(2)摆放，从中任意翻开一张，是汉字“自”的概率是( )．A ．12B ．13C ．23D ．163．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外，其他完全相同．小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的数目很可能是( )．A ．6B ．16C ．18D ．244．假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬行，不能飞，而且始终向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去，例如，蜜蜂爬到1号蜂房的爬法有：蜜蜂→1号；蜜蜂→O 号→1号，共有2种不同的爬法，问蜜蜂从最初位置爬到4号房共有( )种不同的爬法．A．7 B．8 C．9 D．105．在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，那么下列事件为必然事件的是( )．A．冠军属于中国选手 B．冠军属于外国选手C．冠军属于中国选手甲 D．冠军属于中国选手乙二、填空题6．口袋中放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取1个球，取到黄球的概率是______7．在“We like maths .”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率约为______（结果保留2个有效数字）．8．晓明玩转盘游戏，当他转动如图7的转盘，转盘停止时指针指向2的概率是______．9．我县住宅电话号码是由7位数字组成，某人到电信公司申请安装一部住宅电话，那么该公司配送给这部电话的号码末尾数字为6的概率是______．10.一个口袋有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2．根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有______个黑球．三、解答题11.如图(1)，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同，现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．(1)从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图(2)所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图法或列表法求贴法正确的概率．12．桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字l，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出1张，记下卡片上的数字后仍反面朝上放回洗匀，乙再从中任意抽出1张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．(1)请用列表或画树形图的方法求两数和为5的概率；(2)若甲与乙按上述方式作游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏才对双方公平？B卷综合应用创新训练四、综合题13.一个均匀的正方体，六个面分别标有数字2，3，4，5，6，连续抛掷两次，朝上的数字分别为m，n，若m，n分别作为点A的横、纵坐标，那么点A(m，n)在函 y =2x的图象上的概率是多少？五、应用题14.田忌赛马是一个为人熟知的故事．传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强……(1)如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？(2)如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）六、开放探究题15.在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数：，让参与者猜商品价格，被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字，如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜一个，求他猜中该商品价格的概率．16.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：(1)请估计：当n很大时，摸到白球频率将会接近____；(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是____，摸到黑球的概率是____；(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？(4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了，这个问题是：在一个不透明的口袋里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）?请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．七、创新题17．(1)如图的转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、B两转盘，停止后，指针各指向一个数字，小彬和小颖利用这个转盘做游戏：若两数之积为非负数，则小彬胜，否则，小颖胜．你认为这个游戏对双方公平吗？____；（直接写出结果）(2)如图，小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC，为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：。
概率初步的复习
9、如图，PA、PA是圆的切线，A、B为切点，AC 为 直径，∠BAC=200，则∠P= 。（05广东）
10.（06十堰）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交 BC于E，AE=2，ED=4． （1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长； （2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么FA直线与 ⊙O相切吗？为什么？ A
0
2 4 6 8
(第18题图)
7.如图，直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点 A、B、D，若PA=PB＝8cm，则△PMN的周长 是 。
1
O
1
图2 图4
8.（06常德）如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1， 则直线y x 2 与⊙O的位置关系是（ ） Ａ．相离 Ｂ．相交 Ｃ．相切 Ｄ．以上三种情形都有可能
二．圆的位置关系
1.两圆的位置关系有多种，图中的卡通形象中不存 在的位置关系是 。 2.已知两圆的圆心距为4，两圆的半径分x2-10x+21=0别是 方程 的两根，则这两圆的位置关系是（ ） （A） 内含 （B）内切 （C）相交 （D）外切
3.（06芜湖）如果⊙O1和⊙O2相外切，⊙O1的半 径为3，O1O2=5，则⊙O2的半径为（ ） A、8 B、 2 C、 6 D、 7
4.如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的 一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为 “2”和“8”(单位：cm)，则该圆的半径为 cm。 5.若直角三角形的斜边为10，其内切圆半径为2，则 它的周长为 ( ) （A）12 （B）20 （C）24 （D）36
6．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的 ⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P 是⊙A上的一点，且∠EPF=400，则图中阴影部分的面积 是__________
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一般地，如果在一次试验中，有n种可能的 结 果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其 中m种结果，那么事件A发 生的概率为：
A包含的基本事件的个数 m P( A) 基本事件的总数 n
4、如何用列举法求概率？ 当事件要经过一步完成时列举出所有可能 情 况，当事件要经过两步完成时用列表法，当事件 要经过三步以上完成时用树形图法。
4、回顾
想一想
频数、频率、概率 ☞
在多次试验中，某个事件出现的 次数叫 频数 ，某个事件出现的次数 与试验总次数的比，叫做这个事件出 现的 频率 ，一个事件在多次试验中发 生的可能性叫做这个事件发生 的 概率 。
（1）一般地，在大量重复试验中，如果事件
A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 。事件A发生的频率是：在 n次试验中 ，事件A发生的频数m与 n 的比。
老师结束寄语
有的同学虽然有99%可以刻苦 学习的概率，但却战胜不了自 身1%惰性的概率，从而导致他 青春流逝，悔恨当初。
老师结束寄语
有的同学有99 %想在学习上 出人头地的概率，但却选择 了1%等待的概率，这一等就 是一生的现象已经司空见惯 了，你还在等什么！？
老师结束寄语
其实这样的话题还很多，举不胜举。 同学们，请珍惜你生命的每一天，从 现在做起，用心奉献出一份真爱，用 行动去解说你的生活，不要放弃万分 之一的希望。
（2）求一个事件的概率的基本方法是：进行大量 的重复试验，用这个事件发生的频率近似地 作 为它的概率
（3）对于某些随机事件也可以不通过重复试验， 而只通过一次试验中可能出现的结果的分析 来计算概率。例如：掷两枚硬币，求两枚硬 币正面向上的概率。
的概率？
m 3、在什么条件下适用P(A）＝ 得到事件 n
4、一个游戏的中奖率是1%,买100张奖券,一 定会中奖吗? 不一定 5、一只小狗在如图的方砖上走 来走去，最终停在阴影方砖上 的概率是 A 6、将下面事件的字母写在最能代表它的概率 的点上。 A．投掷一枚硬币时，得到一个正面。 B．在一小时内，你步行可以走80千米。 C．给你一个骰子，你掷出一个3。 D．竹基乡夏季的平均气温比冬季的高。 A D B C
3、将一枚硬币连掷3次，出现“两正，一反” 的概率是多少？ 分析：
抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下几种 机会均等的结果： 正正正 正正反 正反正 正反反
反正正 反正反
反反正
演示： 果 种从 发 可上 生 能至 的 的下 机 结每 会 果一 相 而条 等 且路 每径 种就 结是 一 ,
开始 正 正 反 正
0 1
能力提高
1、下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被 分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫 色（红色与蓝色能配成紫色）游戏，你认为配成紫 色与配不成紫色的概率相同吗?
解：所有可能出现的结果如下：
A 红 红 蓝
（红，红） （红，红） （红，蓝） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝）
红
蓝
蓝
B
一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，(红，蓝）能陪紫色的有5种 ，概率为5/9；不能陪紫色的有4种，概率为4/9，它们的概率不相同。
2、一个桶里有60个弹珠—— 一些是红色的， 一些是蓝色的，一些是白色的。拿出红色弹 珠的概率是35%，拿出蓝色弹珠的概率是 25%。桶里每种颜色的弹珠各有多少？
———这便是概率的真谛。
布置作业：
课本P153 2、3、4
祝：同学们愉快！
第一课
一、本章知识结构图
随机事件 概 率
用列举法求概率 用频率估计概率
二、回顾与思考
1、确定事件
（1）在一定条件下必然要发生的事件，叫做 必然事件 （2）在一定条件下不可能发生的事件，叫做 不可能事件
Hale Waihona Puke 2、随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随 机事件。
3、事件发生的概率与事件发生的频率有什 么关系？
驶向胜利 的彼岸
第 一 次
反
反 反 正 反
第 二 次 第 三 次
.
正
反
正
反 正
4、从男女学生共36人的班级中，选一名班长， 任何人都有同样的当选机会，如果选得男生 的概率为，求男女生数各多少？
老师结束寄语
我们都生活在一个充满概率的世 界里。当我们要迈出人生的一小 步时，就面临着复杂的选择，虽 然你有选择生存的方式和权利， 但你选择的概率永远达不到100%