高考数学人教版理科一轮复习课时作业：67 几何概型 Word版含解析

课时作业67 几何概型

一、选择题

1．(2020·合肥市质量检测)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( D )

A.114

B.112

C.17

D.16

解析：由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240分钟，即4个小时，所以所求的概率为424＝1

6，故选D.

2.(2020·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点在

AB ︵

上任取一点C 作射线OC ，则使得∠AOC 和∠

BOC 都不小于30°的概率是( A )

A.13

B.23

C.12

D.16

解析：记事件T 是“作射线OC ，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，如图，记AB ︵

的三等分点为M ，N ，连接OM ，ON ，则∠AON

＝∠BOM ＝∠MON ＝30°，则符合条件的射线OC 应落在扇形MON 中，所以P (T )＝∠MON ∠AOB ＝30°90°＝13

，故选A.

3．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为( D )

A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 解析：P ＝4×4×sin150°－π×124×4×sin150°

＝1－π

8.

4．已知正棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC <1

2V S -ABC 的概率是( B )

A.34

B.78

C.12

D.14

解析：

如图，由题意知，当点P 在三棱锥的中截面以下时，满足V P -ABC

<1

2

V S -ABC ，故使得V P -ABC <1

2V S -ABC 的概率P ＝大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积

＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7

8.

5．(2020·潍坊市统一考试)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( C )

A.1

4 B.13 C.23

D.34

解析：设正六边形的中心为点O ，BD 与AC 交于点G ，BC ＝1，则BG ＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得1＝BG 2＋BG 2

－2BG 2

cos120°，得BG ＝33，所以S △BCG ＝12×BG ×BG ×sin120°

＝12×33×33×32＝3

12，因为S

六边形

ABCDEF ＝S △BOC ×6＝1

2

×1×1×sin60°×6＝33

2，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－6S △BCG S 六边形ABCDEF

＝23. 6. (2020·湖北八校联考)2020年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚8 g 圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积是( B )

A.726π

5 mm 2 B.363π

10 mm 2 C.363π

5 mm 2

D.363π

20 mm 2

解析：设军旗的面积为a mm 2

，则有a π·(222)2

＝30100，解得a ＝363π

10，

故选B.

7.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明．如图所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”．若cos2∠BAE ＝7

25，则在正方形ABCD 内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH 内的概率为( D )

A.2425

B.45

C.35

D.125

解析：如题图所示，正方形EFGH 的边长为AE －AH ＝a －b ，正

方形ABCD 的边长为a 2＋b 2.由题意知cos2∠BAE ＝2cos 2∠BAE －1＝2×a 2a 2＋b 2－1＝725，解得9a 2＝16b 2，即a ＝4

3b ，则该点恰好在正方

形EFGH 内的概率为(a －b )2a 2＋b 2＝19b

2259

b 2

＝1

25.故选D.

二、填空题

8．已知函数y ＝cos x ，x ∈[－π2，π2]，则cos x ≤12的概率是1

3. 解析：由cos x ≤12得π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z ，又x ∈[－π2，π

2]，所以满足条件的x ∈[－π2，－π3]∪[π3，π

2]，故所求概率P ＝2×(π2－π

3)

π2－(－π2)＝

13.

9．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为1－33.

解析：当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |

k 2

＋1

>2，解得k >1或k <－1，又k ∈[－3，3]，所以－3≤k <－1或1

＝3－3

3.

10．平面区域A 1＝{(x ，y )|x 2＋y 2<4，x ，y ∈R }，A 2＝{(x ，y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R }．在A 2内随机取一点，则该点

不在A 1内的概率为1－2π

9.

解析：分别画出区域A 1，A 2，如图中圆内部分和正方形及其内部