回归定义解题

谈回归定义的解题功能
沈作翔孙伟奇
(浙江省奉化中学 315500)
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括与反映，是我们进行判断和推理的逻辑单元，它既是推导公式、定理的依据，也是解题的一把金钥匙．本文就回归定义的解题功能谈谈自己的管见．
一、辨误功能
数学中的概念反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,是数学公式、法则、定理的应用的出发点和前提，因此用定义来辩误是再自然不过的了．
例1、把红、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是
A、对立事件
B、不可能事件
C、互斥但不对立事件
D、以上均不对
错误答案：A
剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；
（2）互斥的概念适合用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；
（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生：而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
例2、甲投篮命中率为8.0，乙投篮命中率为7.0，每人投3次，两人恰好都命中2
次的概率是多少？
错解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，
825.03.07.02.08.0)()()(223223=⨯+⨯=+=+C C B P A P B A P ．
剖析；本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中两次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．
正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人恰好投中两次为事件B A ⋅.
3.07.02.08.0)()()(223223⨯⨯⨯=⋅=⋅C C B P A P B A P 于是.169.0≈
教学上如通过以上的辩析，学生可以加深对对立事件、互斥事件、独立事件这些概念的理解，从而避免盲目运用有关公式引起错误．
二、思形功能
数学中大量的问题隐含着形的信息，因此，抓住所给数式结构的特征，联想有关的数学定义，挖掘出数式的几何意义，把数式问题转换到图形上来，常常能使问题获得形象、直观的解法．
例3、解方程.1010610622=+-+++x x x x
分析：用通常的办法，需要两次平方才能将原方程化为有理方程．我们注意到原方程就是
,101)3(1)3(22=+-+++x x 联想解析几何中椭圆的定义，我们可以令,
12y =有
,10)3()3(2222=+-+++y x y x 这是以)0,3(),0,3(21F F -为焦点，长轴长为
10（短轴长8）的椭圆方程，即,116
252
2=+y x 当12=y 时，就有.1545±=x 三、构造功能
我们了解一个人的行为， 必须了解他（她）的背景， 联想到社会关系、家庭渊源、工作经历等方面， 综合地考察才能获得深刻的认识。

数学问题也是一样，许多问题都有其特定的背景。

解题时，若能发现题中的某些数式特征与某熟知的数学概念特征相似，则可作定义联想。

例4、设),1,0(,,∈z y x 求证：.1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x
证明：由条件中),1,0(,,∈z y x 我们联想到概率，可设,)(,)(,)(z C P y B P x A P ===其中A 、B 、C 为三个相互独立的事件，则有
)()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++ )()()(zx z yz y xy x xyz yz xz xy z y x -+-+->+---++=
)1()1()1(x z z y y x -+-+-=
而.1)1()1()1(,1)(<-+-+-∴≤++x z z y y x C B A P
本题还可构造其它数学模型，但利用概率构造的思路独特，别有一番情趣．
四、简化功能
有些问题的求解虽然可以不依赖于数学定义，但是如能联想到有关定义，并依据此定义进行有效的转化，常能另辟蹊径，使问题的解答更加简捷．
例5、我们知道数学课本中椭圆方程的推导计算量大而繁，若能抓住椭圆定义中的)0(2||||21>=+a a MF MF 构造出等差数列，则简单的多．
解：建立以长，短轴为y x ,轴的直角坐标系，设),(y x M 是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为M c c ),0(2>与两焦点21,F F 的距离之和等于正常数21,),0(2F F a a 则>的坐标分别为),0,(),0,(c c -由椭圆定义，有)0(2||||21>=+a a MF MF ，由等差中项的性质可知：|,|,|,|21MF a MF 成等差数列，设公差为
⎪⎩
⎪⎨⎧-=+-+=++⇒⎩⎨⎧-=+=≤≤-)2()()1()(||||),(222221d a y c x d a y c x d a MF d a MF c d c d 则有 (1)式与(2)式两边平方,并相减得：)3(,44x a c d ad cx =
=从而 把(3)式代入(1)并两边平方得：222)()(x a
c a y c x +
=++整理得：
222222
2c a y x a
c a -=+-．令,222c a b -=上式可化为：,12222=+b y a x 即为椭圆
方程． 类似地，双曲线的标准方程的推导也可采用这种方法．
五、显隐功能
有些数学问题题意含蓄，条件隐晦，难以启开解题的大门．这时若能从数学定义出发，就能发现隐含条件在定义中的最本质的条件，从而使问题化隐为显，使思维指向更加明确．
例6、已知双曲线C 实半轴与虚半轴长的乘积分别为,3C 的两个焦点为21,F F 直线2F l 过且与直线21F F 的夹角为l ，,2
21tan =ϕϕ与线段21F F 的垂直平分线交点为P ，线段
2PF 与双曲线交点为Q ，||PQ ∶2||2=QF ∶1，求双曲线的方程．
分析：以21F F 所在的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，
建立直角坐标系，设双曲线C 的方程为
)0,(122
22>=-b a b
y a x ，显然条件中已给出b a ,的一个等量关系3=ab ①，现还要寻找b a ,的另一个等量关系，这可从双曲线的定义中去挖掘． 设22221,||),0(2||b a c c OF c c F F +=
=>=则． 因为5
2cos 21==∠ϕϕ可得，Q F F ，,6
5||,25cos ||222c QF c c PF OP F Rt ===∆∴进而可得中在ϕ 又21QF F ∆在 中，由余弦定理得，,6
11cos 6522)65(4||221c c c c c Q F =⋅⋅-+=ϕ ∴由双曲线的定义，得隐含条件：222165611||||2b a c c Q F Q F a +=-=
-= ②
由①，②得∴==,3,1b a 所求的双曲线方程是.132
2
=-y x 六、分类功能
数学中的有些概念是分类定义的（如绝对值定义，直线与平面所成的角定义等），有些概念具有范围的限制（如直线的倾角等）解题时若要以分类定义的概念为依据或要突破有限制定义的概念，往往需要分类讨论。

例7、求不等式
1|31log ||log |3
3≥-+x
x 的解集． 解：由对数函数的定义知300310<<>->x x
x 得且．4 同时不等式变为：1|)3(log ||log |33
1≥-+x x ．① 由于在解不等式时需要去掉绝对值符号，而绝对值是分类定义的，所以要对x 分区间进行讨论：
,0)3(log ,0log ,10)1(33>-<<<x x x 时当这时不等式
①等价于1)3(log log 33≥-+-x x ② 解②得：4
30≤<x ． ,0)3(log ,0log 21)2(33>-≥≤≤x x ，x 时当这时不等式
①等价于1)3(log log 33≥-+x x ③ 由③及21≤≤x 知此时不等式无解．
(3)当2>x 时，,0)3(log ,0log 33<->x x 这时不等式
①等价于1)3(log log 33≥--x x ④ 由④及.34932<≤<<x x 得
综合(1)、(2)、(3)得原不等式的解集为}.34
9430|{<≤≤<x x x 或 总之，回归定义是一种重要的解题方法，它不仅能使学生养成自觉联系和运用定义探究问题的习惯，还能帮助学生深刻理解和正确掌握数学概念，学会运用概念进行思维的方法，从而促进学生良好思维品质的形成．。