2004年高考数学试题(天津理)及答案

2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）
第一卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+。

如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅。

柱体（棱柱、圆柱）的体积公式Sh V =柱体。

其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，3
)
2)(1(i
i i ++-= A. i +1 B. i --1 C. i 31+
D. i 31--
2. 不等式
21
≥-x
x 的解集为 A. )0,1[- B. ),1[∞+-
C. ]1,(--∞
D. ),0(]1,(∞+--∞
3. 若平面向量与向量)2,1(-=a 的夹角是︒180，且53||=b ，则= A. )6,3(- B. )6,3(- C. )3,6(- D. )3,6(-
4. 设P 是双曲线192
22=-y a
x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF
A. 1或5
B. 6
C. 7
D. 9
5. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=
A.
2 B.
2 C.
1 D. 1 1、AD 的中0
为等差数列”
的
A. 必要而不充分条件
B. 充分而不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 函数]),0[)(26
sin(2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是
A. ]3
,
0[π
B. ]12
7,
12
[
ππ
C. ]6
5,
3
[
ππ
D. ],6
5[
ππ
10. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=6，AD=4，31=AA 。

分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=。

若
1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为
A.
10431311. 函数A. =y C. =y 12. x f (A. 2
1-
B.
2
1 C. 2
3
-
D.
2
3 第二卷（非选择题 共90分）
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5:3:2，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件。

那么此样本的容量n= 。

14. 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322
--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 。

15. 若)(...)
21(2004200422102004
R x x a x a x a a x ∈++++=-，则
=++++++++)(...)()()(20040302010a a a a a a a a 。

（用数字作答）
16. 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个。

（用数字作答）
三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
已知2
1
)4tan(=+απ
，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值。

18. （本小题满分12分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。

（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率。

19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，
作EF ⊥PB 交PB 于点F 。

（1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；
21. （本小题满分12分）
已知定义在R 上的函数)(x f 和数列}{n a 满足下列条件：
1211),...,4,3,2)((,a a n a f a a a n n ≠===-，
)...,4,3,2)(()()(11=-=---n a a k a f a f n n n n ，其中a 为常数，k 为非零常数。

（1）令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，证明数列}{n b 是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）当1||<k 时，求n n a ∞
→lim 。

22. （本小题满分14分）
椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程；
（3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明λ-=。

2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答
一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1—5 DAACA 6—10 BABCC 11—12 DD
二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13. 80
14. )4
13,(-
-∞ 15. 2004 16. 300
三. 解答题：
17. 本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。

（1）解：α
α
α
π
α
π
απ
tan 1tan 1tan 4
tan
1tan 4
tan
)4
tan(
-+=-+=
+
由21)4tan(
=
+απ
，有21tan 1tan 1=-+αα 解得3
1tan -=α
（2）解法一：1
cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 2
22-+-=+-αα
ααααα 6
5213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα
解法二：由（1），31tan -=α，得ααcos 3
1
sin -=
∴αα22cos 91sin = αα22cos 91cos 1=-∴10
9cos 2
=α
于是541cos 22cos 2=-=αα，53cos 32cos sin 22sin 2
-=-==αααα
代入得
65
5
41109532cos 1cos 2sin 2
-=+--=+-ααα 18. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。

满分12分。

（1）解：ξ可能取的值为0，1，2。

2,1,0,)(3
6
34
2=⋅==-k C C C k P k k ξ。

所以，ξ的分布列为
（2）解：由（1），ξ的数学期望为15
25150=⨯+⨯+⨯=ξE
（3）解：由（1），“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率为
5
4
)1()0()1(==+==≤ξξξP P P
19. 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分。

方法一： （1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO 。

∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDB
（2）证明：∵PD ⊥底面∵PD=DC ，可知PDC ∆∴PC DE ⊥。

①
同样由PD ⊥底面ABCD ∵底面ABCD 而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥。

② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 。

而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥
又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD 。

（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角。

由（2）知，DB PD EF DE ⊥⊥,。

设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,=
==
a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=
a PC DE 2
221==。

在PDB Rt ∆中，a a
a a PB BD PD DF 36
32=⋅=⋅=。

在EFD Rt ∆中，233
6
22
sin ===a a
DF DE EFD ，∴3π
=∠EFD 。

所以，二面角C —PB —D 的大小为
3
π。

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC =。

（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG 。

依题意得)2
,2,
0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A 。

∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,2
,
2
(a
a 且 )2
,0,2(),,0,(a
a a a -=-=。

∴2=，这表明PA//EG 。

而⊂EG 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，∴PA//平面EDB 。

（2）02
20=-+=⋅DE PB 。

∴DE PB ⊥。

由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD 。

（3）解：设点F 的坐标为),,(000z y x ，PB PF λ=，则
),,(),,(000a a a a z y x -=-λ。

从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===。

所以
))2
1
(,)21(,()2,2,
(000a a a z a y a x ---=---=λλλ。

由条件PB EF ⊥知，0=⋅PB FE ，即
0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得31=λ∴点F 的坐标为)32,3,3(a
a a ，且
)6,6,3(a a a --=，)3
2,3,3(a
a a ---=
∴032332
22=+--=⋅a a a FD PB 即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角。

∵691892
222a a a a =+-=⋅，且 a a a a 6
6
36369||222=++=，a a a a 3
69499||222=++=
， ∴213
6666cos 2
=⋅==
a a a EFD 。

∴3
π=∠EFD 。

所以，二面角C —PB —D 的大小为3
π。

20. 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问
题的能力。

满分12分。

（1）解：323)(2
-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即⎩
⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a
解得0,1==b a 。

∴)1)(1(333)(,3)(2
3
-+=-='-=x x x x f x x x f 。

令0)(='x f ，得1,1=-=x x 。

若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则0)(>'x f ，故)(x f 在)1,(--∞上是增函数，
)(x f 在),1(∞+上是增函数。

若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数。

所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值。

（2）解：曲线方程为x x y 33
-=，点)16,0(A 不在曲线上。

设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03
003x x y -=。

因)1(3)(2
00-='x x f ，故切线的方程为))(1(30200x x x y y --=-
注意到点A （0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=--化简得83
0-=x ，解得20-=x 。

所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x 。

21. 本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分。

（1）证明：由0121≠-=a a b ，可得0)()()(1212232≠-=-=-=a a k a f a f a a b 。

由数学归纳法可证01≠-=+n n n a a b *)(N n ∈。

由题设条件，当2≥n 时
111-+---=n n n n n n a a a a b b 11)()(----=n n n n a a a f a f k a a a a k n n n n =--=--1
1)
( 因此，数列}{n b 是一个公比为k 的等比数列。

（2）解：由（1）知，*))((121
11n n a a k b k b n n n ∈-==--
当1≠k 时，)2(11)
( (1)
12121≥---=+++--n k
k
a a
b b b n n 当1=k 时，))(1(...12121a a n b b b n --=+++- )2(≥n 。

而112312121)(...)()(...a a a a a a a a b b b n n n n -=-++-+-=+++-- )2(≥n 所以，当1≠k 时
k
k a a a a n n ---=--11)(1
121 )2(≥n 。

上式对1=n 也成立。

所以，数列}{n a 的通项公式为*)(11)
)((1
N n k
k a a f a a n n ∈---+=- 当1=k 时
))(1(121a a n a a n --=- )2(≥n 。

上式对1=n 也成立，所以，数列}{n a 的通项公式为))()(1(a a f n a a n --+= *)(N n ∈， （2）解：当1||<k 时
]11))(([lim lim 1k k a a f a a n n n n ---+=-∞→∞→k
a
a f a --+=1)( 22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分14分。

（1）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(122
22>=+a y a
x 。

由已知得⎪⎩
⎪
⎨⎧-==-).
(2,22
22c c a c c a 解得2,6==c a
所以椭圆的方程为12
62
2=+y x ，离心率36=e 。

（2）解：由（1）可得A （3，0）。

设直线PQ 的方程为)3(-=x k y 。

由方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)3(,126
2
2x k y y x 得062718)13(2
222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122
>-=∆k ，得3
636<<-k 。

设),(),,(2211y x Q y x P ，则1
31822
21+=+k k x x ， ①
1
36272
221+-=k k x x 。

② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y 。

于是 ]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y 。

③
∵0=⋅OQ OP ，∴02121=+y y x x 。

④
由①②③④得152
=k ，从而)3
6,36(55-∈±
=k 。

所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x
（2）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=。

由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.
126
,
126
,
),3(32
2222
12121
21y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λ
λ21
52-=x
因),(),0,2(11y x M F -，故
),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21
(),21(21y y λ
λλλ--=--=。

而),21
(),2(222y y x FQ λ
λ-=-=，所以FQ FM λ-=。