高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值课件新人教A版选修1_1

2．求函数 f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时： (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0) 是
极大值．
(2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)
是 极小值．
问题探究 2：一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若 有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？
1 －2 单调递增
1 故当 x＝－1 时，函数取得极小值，且 f(－1)＝－ ； 2 1 当 x＝1 时，函数取得极大值，且 f(1)＝ . 2 －lnx (2)函数定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ 2 ， x 令 f′(x)＝0，得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
互动课堂
核心突破
导与练
(对应学生用书 P15)
要点一 求函数的极值 求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行， 其重点 是列表检查导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的， 若异号，则导数为零的点对应的函数值是极值；否则，导数为零 的点对应的函数值不是极值．
例 1 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； lnx (2)f(x)＝ x . 【思路启迪】 先确定函数的定义域，然后正确求导，再解 方程 f′(x)＝0，列表分析，求出函数的极值．
提示：在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点， 也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或 者只有极小值没有极大值， 也可能既有极大值， 又有极小值． 极 大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
特别提醒
函数 f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)＝0， 且 f′(x) 在 x0 左、右两侧的符号不同．
【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R； f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)． 令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ －2 0 16 (－2,2) － 2 0 － 16 (2， ＋∞) ＋
求下列函数的极值： lnx＋1 x (1)f(x)＝ 2 ；(2)f(x)＝ . x x ＋1
x2＋1－x· 2x 1－x2 解： (1)函数 f(x)定义域为 R， 且 f′(x)＝ ＝ 2 . x2＋12 x ＋12 令 f′(x)＝0 得 x＝± 1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，－1) －1 － 单调递减 0 (－1,1) ＋ 1 0 1 2 (1，＋∞) － 单调递减
x f′(x) f(x)
(0，e) ＋
e 0 1 e
(e，＋∞) －
1 故当 x＝e 时函数取得极大值，且极大值为 f(e)＝ e，函数无 极小值．
方法指导
一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法步骤是： (1)确定函数的定义域； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)用方程 f′(x)＝0 的根值顺次将函数的定义域分成若干个 小开区间，并列成表格； (4)若 x0 是方程 f′(x)＝0 的一个根，如果在 x0 左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0 左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值．
(2)极大值点与极大值 如上图，函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；在点 x＝b 附近的左侧
f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，则把点 b 叫做函数 y＝
极大值点、 f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．
极小值点 统称为极值点， 极大值 和 极小值 统称为极值．
问题探究 1：若求得某点处的导数值为零，此点一定是极值 点吗？
提示：不一定．y＝f(x)在 x＝x0 及附近有定义，且 f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在 x＝x0 处取得极值，还要看 f′(x)在 x0 两侧的符号是否异号．例如 f(x)＝x3，由 f′(x) ＝3x2 知 f′(0)＝0，但 x＝0 不是 f(x)＝x3 的极值点．
3.3.2 函数的极值
目标导航
[学习目标] 1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的 极值与导数的关系，并会灵活应用． 2．掌握函数极值的判定及求法． 3．掌握函数在某一点取得极值的条件． 4．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去 分析和解决实际问题的能力．
[目标解读] 1．重点是函数极值的判定与求法． 2．难点是函数极值的综合应用．
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值，且 f(－2) ＝(－2)3－12×(－2)＝16. 当 x＝2 时，函数有极小值，且 f(2)＝23－12×2＝－16.
lnx (2)函数 f(x)＝ 的定义域为(0， ＋∞)， 由导数公式和求导法 x 1－lnx 则，得 f′(x)＝ 2 . x 令 f′(x)＝0，解得 x＝e.下面分两种情况讨论： ①当 f′(x)>0 时，0<x<e； ②当 f′(x)<0 时，x>e. 当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
情境切入
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低 起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是 群山的最高处，但它却是其附近的最高点．
那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？
提示：通过函数的极值刻画函数图象的“起伏”．
自主预习
感悟教材
学与思
(对应学生用书 P14)
百度文库
1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值 如下图，函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝ 0 ；而且在点 x＝a 附近的 左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极 小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．