高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值课件新人教A版选修1_1
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高中数学第三章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值(一)(第2课时)bb
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第十一页，共三十一页。
变式训练(xùnliàn) 1.求函数f(x)＝x3－12x的极值. 解:函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2). 令f′(x)＝0,得x＝－2或x＝2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
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失误防范 1.必须严格按照求函数极值的方法步骤进行,其重点是列表考查 导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的,若异号,则 是极值点;否则不是(bù shi)极值点. 2.在解答有关极值问题时,一定要注意定义域及导数不存在的情 况,否则极易导致错解.
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第八页，共三十一页。
解：(1)f′(x)＝3x2－6x－9. 解方程3x2－6x－0,得x1＝－1,x2＝3. 当x变化(biànhuà)时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x (－∞,－1) －1 (－1,3) 3 (3,＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
10
↘ －22
名称
定义
表示法
极
极 大 值
已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0,对于 存在一个包含x0的开区间内的所有点x,如 记作: 果都有_____f(_x_)＜__f(_x0_),则称函数f(x)在点x0处 _y_极_大_值_＝_f_(x_0_) 取极大值
值
极 小 值
已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0,对于 存在一个包含x0的开区间内的所有点x,如 记作: 果都有_____f(_x)_＞_f_(x,则0) 称函数f(x)在点x0处取 _y_极_小_值_＝_f_(x_0)_ 极小值
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用(3)课件新人教A版选修1_1
π π π [解析] y′＝1－2sin x，由 y′>0 可知 0<x< ，由 y′<0 可知 <x< ，所以函 6 6 2 π π π π 数在(0， )上单调递增，在( ， )上单调递减，故 y＝x＋2cos x 在 x＝ 时取得最大 6 6 2 6 值．
3． 函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1， 1]上的最大值是 导学号 03624851 ( C ) A．－2 C．2 B．0 D．4
[解析] f ′(x)＝2cos x－1， π π 令 f ′(x)＝0，得 x1＝ ，x2＝－ . 3 3 根据 x1、x2 列表，分析 f ′(x)的符号和函数的单调性：
x f ′(x) π － 2 －1 π π (－ ，－ ) 2 3 － π － 3 0 极小值 π π (－ ， ) 3 3 ＋ π 3 0 极大值 π π ( ， ) 3 2 － π 2 －1 π 2－ 2
[解析] (1)f′(x)＝－4x3＋4x. 令 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1. 当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x)
－3
(－3，－1) ＋
－1 0 极大 值4
(－1,0) －
0 0 极小 值3
(0,1) ＋
互动探究学案
命题方向1 ⇨利用导数求函数的最大值与最小值
π π 求函数 f(x)＝2sin x－x(－ ≤x≤ )的最值. 导学号 03624854 2 2
[思路分析] 首先求导，明确函数的极值点，然后根据定义域的类型，或将所 有极值与区间端点的函数值进行比较求得最值，或将极值进行分析求得最值．
『规律方法』 1.求可导函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值步骤如下： (1)求 f(x)在开区间(a，b)内所有极值点； (2)计算函数 f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的 一个为最小值． 2．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)必有最值．” (1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不 1 能保证有最大值或最小值．如 f(x)＝ ，x∈(0,1)，f(x)在区间(0,1) x 连续，但没有最大值和最小值(如图)．
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课前引导素材新人教B版选修
3.3.2 利用导数研究函数极值
课前导引
问题导入
函数f (x )=x +
x
1，判断f (1)是否为函数f (x )一个极值，假设是极值，是极大值还是极小值？ 思路分析：当0<x <1时，f (x )-f (1)=x +x 1-2>2-2=0. ∴f (x )>f (1);
当1<x <2时，f (x )-f (1)=x +
x 1-2>2-2=0. ∴f (x )>f (1);
∴f (1)是函数f (x )=x +x
1一个极值. 又∵当x ∈(0,1)或x ∈(1,2)时，f (x )>f (1),
∴f (1)是f (x )一个极小值.
知识预览
f (x )在x 0附近所有点，都有__________.那么称f (x 0)是f (x )一个极大值；如果对x 0附近所有点，都有__________,就说f (x 0)是f (x )一个__________.
答案：f -(x 0)>0,f +(x 0)<0 f -(x 0)<0,f +(x 0)>0 极小值
2.f (x )在x 0处导数为0是f (x )在x 0处取得极值__________. 答案：必要条件
f (x )在x 0处可导时，判断f (x 0)为极值方法是______________________________. 答案：看f -(x 0)·f +(x 0)是否小于0
x 0为f (x )极值点，那么__________，导数为零点__________为极值点. 答案：f ′(x 0)=0 不一定。
高中数学第3章导数及其应用3.33.3.2函数的极值与导数a11a高二11数学
业
难
令f′(x)＝0，得x＝1.
·
返
首
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页
第十八页，共四十九页。
·
自
课
主
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
堂
预
小
习
结
探
x (0,1) 1 (1，＋∞)
·
提
新
素
知
f′(x) － 0
＋
养
合 作
f(x) ↘ 极小值 ↗
课
探
时
究
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值＝3，无极大值点及
解方程组得a＝－32，b＝－16.
分 层 作 业
难
即a＝－23，b＝－61.
返
首
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页
第二十六页，共四十九页。
·
自
课
主 预 习
(2)由(1)知f(x)＝－23ln x－16x2＋x(x>0)，
·
堂 小 结
探
提
新 知
x＝1，x＝2分别是函数f(x)的极小值点，极大值点．
素 养
合 作
理由如下：f′(x)＝－23x－1－13x＋1
究
分
层
释 理由．
作
疑
业
难
·
返
首
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页
第二十五页，共四十九页。
[解] (1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
自
课
主 预 习
∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.
堂 小 结
·
·
·
探 新
由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数
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第二十四页，共三十八页。
极大值为 f(1)＝a＋2. 由单调性、极值可画出函数 f(x)的大致图象，如图所示， (2)结合图象，当极大值 a＋2＝0 时，有极小值小于 0，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个 交点，即方程 f(x)＝0 恰有两个实数根，所以 a＝－2 满足条件；当极小值 a－2＝0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两 个实数根，所以 a＝2 满足条件． 综上，当 a＝±2 时，方程恰有两个实数根．
5π 6
0
5π－6 3 12
(56π，π) ＋
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝2－x82.
令 f′(x)＝0，得 x1＝2，x2＝－2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2) －2
(－2,0)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－8
因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值－8；
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第二页，共三十八页。
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01 课前 自主(zìzhǔ)梳理 02 课堂(kètáng) 合作探究
03 课后 巩固提升 课时(kèshí)作业
第三页，共三十八页。
[自主梳理]
一、极值点与极值
1．极小值点与极小值
如图，函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其
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第五页，共三十八页。
二、求函数 f(x)极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x) > 0，右侧 f′(x) < 0，那么 f(x0)是极大值． (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)< 0，右侧 f′(x) > 0，那么 f(x0)是极小值．