【精品】高中数学选修1-2 知识讲解_数学归纳法 讲义 知识点+练习题_提高

数学归纳法
【学习目标】
1.知识与技能
（1）了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤；
（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2.过程与方法
（1）通过学习数学归纳法的原理和基本思想，了解数学方法的博大、精妙，形成对数学证明方法的进一步认识。

（2）通过了解数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题，感受递推的思想。

3.情感、态度与价值观
通过学习，加深对由一般到特殊以及由一般到特殊的认识规律的认识，进一步认识有限与无限的辩证关系，培养辩证的观点。

【要点梳理】
要点一:数学归纳法的概念与原理
数学归纳法的定义
对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0
时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
要点诠释：
即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
数学归纳法的原理
数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。

它的证明共分两步：
①证明了第一步，就获得了递推的基础。

但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；
②证明了第二步，就获得了递推的依据。

但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。

其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。

数学归纳法的功能和适用范围
1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证
和演绎推理相结合）过程.
2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明。

要点二:运用数学归纳法的步骤与技巧
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的基本步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0（如n0=1或2等）命题正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当n=k+1时命题也成立.
根据(1)，(2)可以断定命题对于一切从n0开始的所有正整数n都成立.
要点诠释：
（1）不要弄错起始n0：n0不一定恒为1，也可能n0=2或3（即起点问题）．
（2）项数要估算正确：特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）切忌关键步骤含糊不清：“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．
用数学归纳法证题的关键：
运用数学归纳法由n=k到n=k+l的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由n=k到n=k+1的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由n=k到n=k+1的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从n=k+1时分离出n=k时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．
要点三:用数学归纳法证题的类型：
1.用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式
．．．
对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．
2.用数学归纳法证明与正整数n有关的整除性问题
．．．．．
用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

3.用数学归纳法证明与正整数n有关的几何问题
．．．．
数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．
4.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式
．．．
用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．
5.用数学归纳法证明与数列
．．有关的命题
由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．
【典型例题】
类型一、对数学归纳法的认识
例1. 对一切n ∈N*，试比较2n 与n 2的大小．
【思路点拨】在证明与正整数有关的命题时，主要侧重考查“起点”是否为1这个易误点。

【解析】当n =1时，21＞12，即2n >n 2； 当n =2时，22=22，即2n =n 2； 当n =3时，23＜32，即2n ＜n 2； 当n =4时，24=42，即2n =n 2； 当n =5时，25＞52，即2n ＞n 2；
当n =6时，26＞62，即2n ＞n 2； ……
猜想：当n ≥5，2n ＞n 2．下面用数学归纳法证明猜想成立． （1）当n =5时，由上可知猜想成立．
（2）假设当n =k （k ≥5）时，命题成立，即2n ＞n 2．那么当n =k +1时，2k +1=2·2k ＞2k 2=k 2+k 2＞k 2+(2k +1)=(k +1)2，即当n =k +1时，猜想成立． 根据（1）、（2）可知，当n ≥5时，2n ＞n 2都成立．
所以n =2或4时，2n =n 2；n =3时，2n ＜n 2；n =1或n ≥5时，2n ＞n 2．
【总结升华】本例是先用归纳推理设出猜想，再用数学归纳法证明猜想．在用数学归纳法证明时，要注意2n 与n 2的大小关系只有在n ≥5时才稳定下来，故起点n =5．另一个易错点在假设n =k 时要带上限制条件k ≥5． 举一反三：
【变式】利用数学归纳法证明：“凸多边形的对角线的条数是()1
-32
n n ”时，n 的第一个取值n 0应当是
________． 【答案】3
【高清课堂：数学归纳法401473 例题3】 例2.用数学归纳法证明等式：
()()()()()()1
1213223121126
n n n n n n n n n ⋅+⋅-+⋅-+
+-⋅+-⋅+⋅=++
【思路点拨】本题是一个与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题，故可考虑用数学归纳法进行证
明. 【解析】
(1) 当1n =时，1=
6
1·1·2·3，结论成立. (2) 假设n k =时结论成立，即
()()()()()()1213223121
1
126
k k k k k k k k k ⋅+⋅-+⋅-++-⋅+-⋅+⋅=++
当1n k =+时，则
()()()()()()()()()()()()()()1123113211
121121123111
1212621
1236
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅++⋅+⋅-++-⋅+⋅++⋅=⋅+⋅-+
+-⋅+⋅++++
+++⎡⎤⎣⎦
=+++++=+++
说明当1n k =+时结论也成立. 综合上述，可知结论对一切n N ∈都成立.
【总结升华】 在利用归纳假设论证n =k +1时等式也成立时，应注意分析n =k 和n =k +1时两个等式的差别。

举一反三：
【变式1】 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n =k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）
A.n =k +1时命题成立
B. n =k +2时命题成立
C. n =2k +2时命题成立
D. n =2（k +2）时命题成立
【答案】因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k +2，故选B 【高清课堂：数学归纳法401473 例题1（2）】
【变式2】用数学归纳法证明“()111
1+++
+
*123
21
n n n n <∈>， N ”时，由n =k （k ＞1）不等式成立，推证n =k +1时，左边应增加的项数是（ ）
A. 2k －
1 B. 2k －1 C. 2k D. 2k +1 【答案】C 。

左边的特点：分母逐渐增加1，末项为
1
21
-n ; 由n =k ，末项为
121-k 到n =k +1，末项为121
1
-+k =k k 2
121+-， ∴应增加的项数为2k
【变式3】用数学归纳法证明：（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n
·1·3…（2n －1）（n ∈N*）． 【答案】（1）当n =1时，左边=1+1=2，右边=21·1=2，等式成立．
（2）假设n =k 时，（k +1）·（k +2）·…·（k +k ）=2k ·1·3·…·（2n －1）成立．
则当n =k +1时，左边=1
(1)(2)()(21)(22)1
k k k k k k k +⋅+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅
+ (1)(2)()2(21)213(21)2(21)k k k k k k k k =+⋅+⋅⋅+⋅+=⋅⋅⋅
⋅-⋅+
1213[2(1)1]k k +=⋅⋅⋅
⋅+-．
所以当n =k +1时等式成立．
根据（1）、（2）可知，等式对任意的n ∈N*都成立． 类型二、利用数学归纳法证明等式
例3．用数学归纳法证明：当2*n n ≥∈，N 时，
211112
111149162n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 【解析】
（1）当n =2时，左边13144=-=，右边213
224
+==⨯， ∴n =2时等式成立．
（2）假设当n =k （n ≥2，n ∈N*）时等式成立，
即211111111149162k k k
+⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-
---= ⎪⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 那么当n =k +1时，
2211111111114916(1)k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
21112(1)k k k ⎡⎤+=⋅-⎢⎥+⎣⎦
2(1)1
2(1)12(1)2(1)2(1)k k k k k k k +-+++===+++． ∴当n =k +1时，等式也成立．
根据（1）和（2）知，对任意n ≥2，n ∈N*等式都成立．
【总结升华】
①数学归纳法常常用来证明与非零自然数有关的命题；
②在证明过程中，应用归纳假设，只有通过归纳假设的使用，才达到由n =k 的情况递推到n =k +1的情况，保证了命题的传递性；
③用数学归纳法证明时，要注意从n k =时的情形到1n k =+时的情形是怎样过渡的，即要证明
1n k =+时等式成立，应如何利用n k =时等式成立这一假设.显然，分清等式两边的构成情况是解
决这一问题的关键； 举一反三：
【变式】用数学归纳法证明：
()()()()2
2
22221234212 21*n n n n n -+-+⋯⋯+--=-+∈N .
【答案】
(1)当n =1时，左＝12－22＝－3，右＝-1×(2×1+1)=-3，命题成立. (2)假设n =k (k N *∈)时命题成立即 12-22+32-42+……+(2k -1)2-(2k )2=-k (2k +1) 则当n =k +1时，
左边＝ 12-22+32-42+……+(2k -1)2-(2k )2+(2k +1)2-(2k +2)2
＝-k (2k +1)+(2k +1)2-(2k +2)2 ＝-(2k 2+5k +3) ＝-(k +1)(2k +3) ＝-(k +1)[2(k +1)+1]
∴当n =k +1时命题成立.
综上由(1)(2)命题对n N *∈都成立. 例4. 对任意正偶数n ，求证：
1111111112234
1242n n n n n ⎛⎫
-+-++
-=+++
⎪-++⎝
⎭
． 【思路点拨】注意由n =k 到n =k +1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． 【解析】
（1）当n =2时，等式左边11122=-=， 等式右边112222
⨯=⨯， ∴左边=右边，等式成立．
（2）假设n =2k （k ∈N*）时等式成立，即
111
1111
112234
2122224
2(2)k k k k k ⎡⎤
-+-++
-=+++
⎢⎥-++⎣⎦
成立． 当n =2k +2（k ∈N*）时，
1111211
1234
2122122k k k k -+-++
-+-
-++ 1
1111
2222442122
k k k k k ⎛⎫=+++
+- ⎪
++++⎝⎭ 1
111122211
22426442442242442122
k k k k k k k k k k ⎛⎫=++
+
+++--+- ⎪
+++++++++⎝
⎭ 111
2(22)2(22)4
2(22)k k k ⎡⎤=+++
⎢⎥++-++⎣⎦
． ∴对n =2k +2（n ∈N*）等式成立．
由（1）、（2）知，对一切正偶数n =2k （k ∈N*）等式成立．
【总结升华】 （1）此题为用数学归纳法证明问题的一种新题型，传统问题都是论证对连续的正整数成立，而这里变成对连续的正偶数成立．归纳假设为n =2k ，与它连续的是n =2k +2，相当于由n =k 到n =k +1，应注意体会数学归纳法的这种变形使用，并把它用活．
（2）本题亦可假设n =k （k 为正偶数）时等式成立，证明n =k +2时等式成立． 举一反三：
【变式】用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *,1111111
112342-1212
2n n n n n
++=++
+
++ . 【答案】
（1）当n =1时，左边=1-2
1=2
1=
1
11
+=右边，∴等式成立. （2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时，等式成立，即1-21+31-41+…+
121-k -k 21=11+k +21+k +…+k
21
. 则当n =k +1时, 1-2
1+3
1-4
1+…+
121-k -k 21+121+k -221+k =11+k +21+k +…+k 21+121+k -2
21
+k
=
111++k +211++k +…+k 21+121+k +(11+k -221+k )=111++k +211++k +…+k 21+121+k +)
12(1
+k , 即当n =k +1时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意的n ∈N *等式成立.
类型三、用数学归纳法证明不等式
例5.用数学归纳法证明不等式：2141
21
242n n
+++. 【解析】
（1）当n =1时，左式3
2
=
，右式= 左式＞右式，所以结论成立． （2）假设n =k 时结论成立，
即
214121
242k k
+++>， 则当n =k +1时，
()
()()()2+11
2+112141211=24
22+12+1k k k k k k k +++++>+
要证当n =k +1时结论成立，
≥，即证23
2k +≥
由均值不等式知，
23(1)(2)
22
k k k ++++=≥
≥成立，
所以，当n =k +l 时，结论成立．
由①②可知，对任意的n ∈N*，不等式
214121
24
2n n
+++>成立． 【总结升华】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行； （2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；
（3）由k 推导到k +1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法、放缩法等，表现出数学归
纳法“灵活”的一面. 举一反三：
【高清课堂：数学归纳法401473 例题4】 【变式1】用数学归纳法证明不等式2)1(2
1
)1(3221+<+++⋅+⋅n n n .
【答案】
（1）当n =1时，左=2，右=2，不等式成立 （2）假设当n =k 时等式成立，即2)1(2
1
)1(3221+<+++⋅+
⋅k k k
则)2)(1()1(2
1
)2)(1()1(32212++++<++++++⋅+⋅k k k k k k k
02)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122
<+++-++=+-++++k k k k k k k k 2]1)1[(2
1
)2)(1()1(3221++<++++++⋅+⋅∴k k k k k
∴当n =k +1时， 不等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
【变式2】已知)(1
4131211)(N n n
n f ∈+++++
= . 求证：n >1时，2
2
)2(+>n f n .
【答案】（1) n =2时，左式=12254131211)4()2(2=+++==f f , 右式=22
2
2=+，
∵212
25>， ∴左式>右式，不等式成立， n =3时，左式=814131211)8()2(3+++++== f f , 右式=2
5
223=+，
∵左式-右式=08
1
7151>-+，∴左式>右式，不等式成立.
（2)假设n =k (k N *∈, k ≥3)时不等式成立，
即22
2
14131211)2(+>
+++++=k f k k ， 当n =k +1时，
22)1(232
22221
21212221
221121)2(21221221121214131211)2(121
1121
11++=
+=++=+++++>++++++=++++++++++++++
=+++++++k k k k f f k k k k k k k k k k k k k k k k k
项
项
即n =k +1时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，n >1, n ∈N 时，都有2
2
)2(+>
n f n . 【变式3】设数列{a n }满足a 1=2，a n +1=a n +
n
a 1
（n =1，2，…）. 证明a n ＞12+n 对一切正整数n 都成立；
【答案】
证法一：当n =1时，a 1=2＞112+⨯，不等式成立.
假设n =k 时，a k ＞12+k 成立， 当n =k +1时，a k +12=a k 2+
2
1k
a +2＞2k +3+
2
1k
a ＞2（k +1）+1，
∴当n =k +1时，a k +1＞1)1(2++k 成立.
综上，由数学归纳法可知，a n ＞12+n 对一切正整数成立.
证法二：当n =1时，a 1=2＞3=112+⨯结论成立.
假设n =k 时结论成立，即a k ＞12+k ， 当n =k +1时，由函数f （x ）=x+
x
1
（x ＞1）的单调递增性和归纳假设有 a k +1=a k +k a 1＞12+k +121+k =12112+++k k =122
2++k k =124842+++k k k ＞
1
2)
12)(32(+++k k k =32+k .
∴当n =k +1时，结论成立.
因此，a n ＞12+n 对一切正整数n 均成立.
类型三：用数学归纳法证明与数列有关的命题 例6. 已知数列{}n a 中，112
a =
，()2
n n S n a n N +=∈. (Ⅰ)求234,,a a a 的值；
(Ⅱ)推测数列{}n a 的通项公式，并证明.
【思路点拨】观察、归纳、猜想、证明，是经常应用的综合性数学方法；观察是解决问题的前提条件，合理的实验和归纳，提出合理的猜想，然后证明. 【解析】
(Ⅰ)112a =
， ∵222221144,26
S a a a a =∴+=∴=， ∵ 339S a =，即21+61+3331
9,12a a a =∴=，
∵ 4416S a =，即21+61+121+4416a a =，∴ 41
20
a =，
(Ⅱ)猜想1
n(n 1)
n a =
+.证明如下：
（1）当1n =时，11
2
a =
，结论成立.
假设n k =时成立，即1
k(k 1)
k a =+.
即 121111
k k k
S a a a k k =++
+=-
=
++ 由()()2
2
111111k k k k k S k a S a k a ++++=+⋅∴+=+⋅ 得12
k 2k k
k S a +=
+=2)
1)(k (k 1++， 说明当1n k =+时，结论也成立. 综合上述，可知对一切n ∈N ，都有1
n(n 1)
n a =
+
【总结升华】用数学归纳法证明与递推关系有关的命题时依归纳假设证明1n k =+时命题也成立时，除了用上假设外，一定还得用上递推关系，否则假设也没法用.这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方. 举一反三：
【变式1】在数列{a n }中,a 1=1,S n 是它的前n 项和,当n ≥2时,2
22n n n n S a S a =-.
(1)求234,,a a a 的值,并推测{a n }的通项公式.
(2)用数学归纳法证明所得的结论.
【答案】
（1）∵S 2=a 1＋a 2=1＋a 2, ∴2(1＋a 2)2=2a 2·(1＋a 2)－a 2,解得22
3
a =-
. 这时S 2=
31,S 3=S 2＋a 3=31＋a 3,∴2(31＋a 3)2=2a 3(31＋a 3)－a 3,解得 3215a =-. 这时S 3=51,S 4=S 3＋a 4=51＋a 4,∴2(51＋a 4)2=2a 4(51＋a 4)－a 4,解得42
35a =-.
由2213a =-⨯,3235a =-⨯,41
57
a =-⨯，猜想：
n ≥2时,2
(23)(21)
n a n n =---,
∴数列{a n }的通项公式是1
(1)2
(2)(23)(21)n n a n n n =⎧⎪
=⎨-≥⎪--⎩
下面用数学归纳法证明：
（1）当n =1，n =2时结论成立.
（2）假设当n =k (k ≥2)时结论成立,即2
(23)(21)
k a k k =-
--,
这时S k =a 1＋a 2＋…＋a k =222
11335
(23)(21)
k k -
---
⨯⨯--
111
111
11335232121
k k k =-+-+-
-
+=
---,
111121
k k k k S S a a k +++=+=
+- 当n =k ＋1时,由2111122k k k k S a S a ++++=⋅-得 21111112()2()2121
k k k k a a a a k k +++++=⋅+---得21)12(21212--=-++k a k k k , ∴12(21)(21)
k a k k +=--+, ∴n =k ＋1时结论成立.
由（1）、（2）可知对n ∈N 时结论都成立.
类型四：用数学归纳法证明整除性问题
例7. 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.
【思路点拨】证明一个多项式或指数幂形式能被某数或某式子整除，也属于与正整数n 有关的命题．常用数学归纳法.
【解析】由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得
f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，
由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明：
（1）当n =1时，显然成立.
（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;
当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k －1－1），
由于3k －1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.
这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.
由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.
【总结升华】用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n =k +1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除.
举一反三：
【变式】用数学归纳法证明422135n n +++(n ∈N)能被14整除.
【答案】
(1)当n =0时，422121353514n n +++=+=能被14整除
∴命题成立
(2) 假设n =k （k ≥0）时命题成立，即1k 22k 453
+++（k ≥0）能被14整除
则当n =k +1时， 4(1)22(1)1
424212
42214242422142
35335525(35)25381325(35)563k k k k k k k k k k k ++++++++++++++=⋅+⋅=+-⨯+⨯=++⨯
∵1k 22k 453+++能被14整除，56能被14整除
∴4(1)22(1)135k k +++++能被14整除
即当n =k +1时命题也成立，
综上由(1)(2)得，命题对n ∈N 成立.
类型五：用数学归纳法证明几何问题
例8.用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数是
12
n (n －3)（n ≥3，n ∈N*）． 【解析】 （1）当n =3时，
12
n (n －3)=0，这就是说，三角形没有对角线，故结论正确． （2）假设n =k （k ≥3，k ∈N*）时结论正确，即凸k 边形的对角线有12(k －3)条， 那么当，n =k +1时，凸（k +1）边形A 1A 2 A 3…A k －1的对角线的条数由下列三部分的条数相加而得：
由归纳假设，凸k 边形A 1A 2A 3…A k 的对角线的条数为12
k (k －3)；对角线A 1A k 是一条；而顶点A k +1与另外（k －2）个顶点A 2、A 3、…、A k －1可画出（k －2）条对角线，
所以凸（k +1）边形的对角线的条数是：
12k (k －3)+1+(k －2)=12(k +1)(k －2)=12
(+1)·[(k +1)－3]． 这就是说，当n =k +1时结论也正确．
由（1）、（2）知，结论对n ≥3的所有自然数都成立．
【总结升华】 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成（k +1）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来k 的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（k +1）个中分出1个来，剩下的k 个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明．
举一反三：
【变式】在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．
【答案】
(1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．
当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．
从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域．
所以n ＝k ＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
【巩固练习】
一、选择题
1． 用数学归纳法证明1+21+31+…+1
21-n ＜n (n ∈N +，且n >1)时，第一步即证下述哪个不等式成立（ ） A ．1＜2 B ．1+2
1＜2 C ．1+21+31＜2 D ．1+3
1＜2 2．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则
当n ＝k ＋1时应得到( )
A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2
B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2
C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2
D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋3)2
3．满足1×2+2×3+3×4+…+n ×(n +1)=3n 2－3n +2的自然数n 等于（ ）．
A ．1
B ．1或2
C ．1，2，3
D ．1，2，3，4
4． 用数学归纳法证明“n n n n n ++++++++1312111 ≥24
11，(n ∈N +)”时，由n =k 到n =k +1时，不等式左边应添加的项是（ ）
A ．)
1(21+k B ．
2
21121+++k k C ．1
1221121+-+++k k k D ．2111221121+-+-+++k k k k 5．记凸k 边形的内角和为()f k ，则凸（k +1）边形的内角和(1)()f k f k +=+________．
A ．
2
π B ．π C ．32π D ．2π 6．某学生在证明等差数列前n 项和公式时，证法如下：
（1）当n =1时，S 1=a 1显然成立．
（2）假设当n =k 时，公式成立，即1(1)2
k k k S ka d -=+，当n =k +1时， 112111111()(2)[(1)]()k k k S a a a a a a d a d a k d a kd ++=++
++=+++++++-++ 1(1)(2)k a d d kd =+++++
11(1)(1)[(1)1](1)(1)22
k k k k k a d k a d +++-=++=++． ∴n =k +1时公式成立．
由（1）、（2）知，对n ∈N*公式都成立．
以上证明错误的是（ ）．
A ．当n 取第一个值1时，证明不对
B ．归纳假设的写法不对
C ．从n =k 到n =k +1时的推理中未用归纳假设
D ．从n =k 到n =k +1时的推理有错误
7．某个命题与自然数n 有关，若*
()n k k =∈N 时得命题成立，那么可推得1n k =+时命题也成立．现在已知当5n =时，命题不成立，那么可推得( )
A ．6n =时命题不成立
B ．6n =时命题成立
C ． 4n =时命题不成立
D ．4n =时命题成立 二、填空题
8．用数学归纳法证明“2n +1≥n 2+n +2（n ∈N*）”时，第一步的验证为________．
9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N*），试归纳猜想S n 的表达式为________．
10．设*n N ∈，则1465n n +⨯+除以20的余数为 ．
11．用数学归纳法证明不等式
24
1312111>++++++n n n n 的过程中，由k 推导到k +1时，不等式左边增加的式子是________． 三、解答题
12． 用数学归纳法证明: n ∈N *时，
311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-n n =12+n n ． 13．求证：)(53*∈+N n n n 能被6 整除．
14．已知n 为正整数．用数学归纳法证明：当x ＞-1时，(1+x )n ≥1+nx ．
15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N *）．
（1）试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出a n 的表达式．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】n =2时，左边=1+21+31，右边=2．所以应证1+21+3
1＜2． 2．【答案】B ．
【解析】∵n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1)
＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2．故选B ．
3．【答案】C
【解析】 当n =1，2，3时满足，当n =4时，左边=1×2+2×3+3×4+4×5=40，
右边=3×42－3×4+2=38．所以左边＞右边．即n =4不满足，故选C ．
4． 【答案】C
【解析】思路解析：当n =k 时，不等式为
k k k k ++++++12111 ≥24
11， 当n =k +1时，
左边=+++++++ 2)2(11)1(1k k )
1()1(1)1(1)1()1(1+++++++-++k k k k k k =
2
2112113121++++++++++k k k k k k ， 比较n =k 与n =k +1的左边，知应添加的项是121221121+-+++k k k ． 5．【答案】B
【解析】由凸k 边形变为凸（k +1）边形时，增加了一个三角形，故f （k +1）=f （k ）+π．
6．【答案】C
【解析】 在此同学的证明过程中，并未使用“假设n =k 时，1(1)2k k k S ka d -=+
”这个条件，不符合数学归纳法的证明步骤．故选C ．
7．【答案】C
【解析】易知原命题的逆否命题为：若1n k =+时命题不成立，则n k =时命题不成立．
8．【答案】当n =1时，21+1≥12+1+2成立
【解析】 起点是n 0=1．
9．【答案】21
n n + 【解析】 a 1=1，213a =，316a =，4110a =，S 1=1，243S =，364S =，485S =，…，可归纳出21n n S n =+． 10．【答案】9
【解析】取1n =，则1465242549n n +⨯+=+=，被20除余数为9．
11． 【答案】1(21)(22)
k k ++ 【解析】求)()1(k f k f -+即可
当 n =k 时，左边k
k k k ++++++=12111 ， n =k +1时，左边)
1()1(13121++++++++=k k k k ， 故左边增加的式子是1
1221121+-+++k k k ，即)22)(12(1++k k 12． 【解析】 （1）当n =1时，左边=
311⨯=31，右边=1121+⨯=31，左边=右边，所以等式成立． （2）假设当n =k (k ∈N *)时等式成立，即有
311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-k k =12+k k ， 则当n =k +1时，
311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-k k +)32)(12(1++k k =12+k k +)32)(12(1++k k =)32)(12(13)2(++++k k k k =)32)(12(1322++++k k k k =321++k k =1
）1(21+++k k ，
所以当n =k +1时，等式也成立．由（1）（2）可知，对一切n ∈N *
等式都成立．
13． 【解析】 ︒1． 当1=n 时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；
︒2． 假设k n =时命题正确，即k k 53+能被6整除，
∴当1+=k n 时，)5()55()133()1(5)1(3233k k k k k k k k +=+++++=+++ 6)1(3+++k k ，
∵两个连续的整数的乘积)1(+k k 是偶数，)1(3+∴k k 能被6整除，
6)1(3)5(3++++∴k k k k 能被6整除，即当1+=k n 时命题也正确，
由︒︒2,1知命题时*∈N n 都正确．
14． 【解析】
（1）当n =1时，原不等式成立；
当n =2时，左边=1+2x +x 2，右边=1+2x ，因为x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（2）假设当n =k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即（1+x ）k ≥1+kx ，则当n =k +1时， ∵x ＞-1，∴1+x ＞0．于是在不等式(1+x )k ≥1+kx 两边同时乘以1+x 得
(1+x )k ·（1+x ）≥(1+kx )(1+x )=1+(k +1)x +kx 2≥1+(k +1)x ．所以(1+x )k +1≥1+(k +1)x ，
即当n =k +1时，不等式也成立．综合（1）（2）知，对一切正整数n ，不等式都成立．
15． 【解析】
（1）∵a n =S n -S n -1（n ≥2）∴S n =n 2（S n -S n -1），∴S n =
122-n n S n -1（n ≥2） ∵a 1=1，∴S 1=a 1=1．∴S 2=34
，S 3=23=46，S 4=58，猜想S n =
12+n n （n ∈N *）． （2）①当n =1时，S 1=1成立．
②假设n =k （k ≥1，k ∈N *）时，等式成立，即S k =
12+k k ， 当n =k +1时， S k +1=2(1)k +·a k +1=a k +1+S k =a k +1+
12+k k ，∴a k +1=()()122++k k ， ∴S k +1=2(1)k +·a k +1=()2
12++k k =()()1112+++k k ，∴n =k +1时等式也成立，得证． ∴根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又∵a k +1=
)1)(2(2++k k ，∴a n =)1(2+n n ．。