现代控制理论(第二章)
现代控制理论(第二章)线性系统的状态空间描述
i C duC (t) dt
i(t) t t0
i(t0)
uC (t) tt0 uC (t0 )
i(t)和 uC (t) 可以表征该电路系统的行为，就是该
系统的一组状态变量
前面电路的微分方程组改写如下矩阵形式：
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
（2）对任何在 t1时刻连续的函数f (t),有
f (t) (t t1)dt f (t1)
非零初始条件与等价的脉冲输入
结论：非零初始条件对应的系统响应等效于 在初始时刻脉冲输入时的系统响应。
2.线性系统的单位脉冲响应
定义1：对单变量系统，在初始条件为零的条件下， 当系统的输入为单位脉冲函数时，相应的系统输出 称为系统的单位脉冲响应。
12、线性系统的结构图
D(t)
uห้องสมุดไป่ตู้
B(t)
∫ x C(t)
y
A(t)
u
B
D
x
∫
C
y
A
13、线性系统的信号流图
三、系统状态空间描述的建立
根据系统机理建立状态空间描述 例：如下图所示电路，u(t)为输入量，uC (t)为输出量。
建立方程： 初始条件：
di(t) L dt Ri(t) uC (t) u(t)
现代控制理论习题解答(第二章)
第二章 状态空间表达式的解
3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。 （1） ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110
A （4） ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A
（5）⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=000010000100
0010A （6）⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：
（1）
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11
111s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡++-=---t t e e s s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01
（2）
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-
+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-=Φ-----t t t t s s s s s s
L s s L A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 44
441
4}41{])[()(222211
111 （3）
⎥⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡++-+++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----222211
111)1()1(1)1(1
)1(2
}211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡--+=Φ------t t t
t t
t te e te te e te t )(
（4）
特征值为：2,1321===λλλ。
现代控制理论(第二章)
et
1 e2t 2 e2t
1 2
2 e t e 2 t x (t) 2 e t e 2 t
e e tt e 2 e 2 t2 t x x 1 2 ( (0 0 ) ) e e t t1 2 e e 2 2 tt 1 2
例2-8：已知系统状态方程中
或
(1)
这就是组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到 的组合。
2.性质二
或
(2)
注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件 3.性质三
或
(3)
4.性质四
或
(4)
这个性质说明，
矩阵与A矩阵是可以交换的。
注：本性质还表明，由状态转移矩阵
可反推A！
5.性质五
对于
方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有
或
（1）
即
2.5.2 Z 变换法
（2）
对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用 Z 变换法来求解。
设定常离散系统的状态方程是：
对上式两端进行 Z 变换，有： 或
（12）
证明 根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值 和 A 是 可以互换的，因此， 也必须满足式（11），从而有：
上式对 A 的特征值均相同，为 时，则
求解，即得式（12）。
(13) 证明 同上，有：
上式对 ，求异数，有： 再对 求异数，有：
现在控制理论第二章
31
性质2 ：
由于状态转移矩阵具有矩阵指数函数的形式， 故可推出如下性质 （1）Φ (t-t0)是非奇异阵.且 (t t0 ) (t0 t )
1
(t t0 ) (t0 t ) e A( t t0 ) e A( t0 t ) e A0 I
(t0 t ) (t t0 ) e
x Ax
对于定常系统，设初始时刻 t0=0 ，初始状态为x0
对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有
级数展开法和
拉氏变换法
2种。
8
1. 级数展开法
9
x(t ) e x0
at
---解的变化是按指数形式变化的。
对于状态方程的解，是否也具有指数形式呢？
10
an n 1 22 1 nn at 标量函数：e t 1 at a t a t 2! n! n 0 n!
e t e 2 t t 2 t e 2e t 0
36
t 0
2e t 2e 2 t t 2e 4e 2 t
e t 2e 2 t t 2 t e 4e t 0
0 1 A 2 3
A2 I A( t1 t 2 ) ( t1 t 2 )2 2!
2 t12 t2 I At1 At 2 A2 ( t1t 2 ) 2 2
现代控制理论 王金城 第二章答案
第2章习题参考答案：
2-1 （1）①⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=--t t t
3200e e e
A ， ②待定系数法1
22303231123213t t t t t t e e e e e e αα--------⎡⎤⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
201300
t At t e
e (t )I (t )A e αα--⎡⎤
=+=⎢
⎥⎣⎦
（2）①约当标准形：2220
t
t At t e te e e ---⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
②1
22111221020t t At t s e te e L (sI A )L s e -------+-⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦+⎣⎦⎣⎦
（3）①约当标准形：2333000
00
t At
t t t e e e te e ----⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
②1
21113332
0000031000300
t At t
t t s e e L (sI A )L s e te s e --------⎡⎤+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=-=+-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
（4）①21201001At
t t e t ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
②222121012001At
t t e I At A t .....t !⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2-2（1）11
3141
I A ()()λλλλλ---==-+--
1231,λλ==-
31
3031131344
111
144t t t
t t t e e e e e e αα----⎡⎤+⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
现代控制理论 刘豹
2-6 应用Matlab的系统运动分析
2-4 连续时间状态方程的离散化
近似离散化
x((k 1)T ) x(kT) Ax(kT) Bu(kT) T
x(k 1) (TA I )x(k) TBu(k)
2-4 连续时间状态方程的离散化
例题: 2-13 离散化状态方程
x
0 0
1 2
x
10u(t)
G(T ) e AT 1 0
1 2
1 k!
Akt k
...)
方程的解可写为 x(t) eAt x0
x(t) Ax,...t0 0, x(t0 ) x0 , .x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
(t)
e At
I
At
1 2
A2t 2
...
1 Akt k k!
...
(t t0 ) e A(tt0 )
[y,t,x]=step(sys);
plot(t,x),grid
fgure(2); plot(t,y),grid
2-6 应用Matlab的系统运动分析
求上例系统在 u(t) 1 et cos5t 时的状态响应和输出响应
matlab的m文件文本如下：
A=[-20, 19, -20; 19, -21, 20; 40 -40 -40];
现代控制理论第二章答案
(t) d 1 dt 0
1 2
(1 e2t e2t
)
0 0
e2t )
2e
2t
A (t)(t) 1 0
1 2
(1 e2t e2t
)
0 0
e2t )
2e
2t
0 1 0 2
(3)
2et e2t
(t)(t)
et
e2t
2e2t 2et 2et e2t
2e2t
et
et
1 1
2 j 1 e2 jt
2
j
e
2
jt
0.5 j 0.5 j e2 jt 0.5 j(e2 jt e2 jt ) cos2t
0.25
0.25 e 2
jt
0.25(e2 jt
e2 jt
)
sin
2t
e At 0 (t)I 1(t) A
c os 2t
0
c
0 os2t
8
8
(
z
1 8
3)(z
5)
8
8
(
z
z1 2
3)(z
5)
8
8
x(z) (zI G) 1 zx(0) Hu(z)
(
z
z1 2
3)(z
5)
8
8
1 8
第二章现代控制理论状态空间表达式
c = [ c1 c2 cn ] 1×n行矩阵，输出矩阵(或观测矩阵)；
反映系统状态对输出的影响和作用 d－1 × 1标量，称为直接传递系数(或前馈系数)。 反映系统输入对输出的直接作用。
u －1 × 1标量，系统输入，控制作用 y －1 × 1标量，系统输出
§2.1 状态空间描述的概念
d
u
b
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
ห้องสมุดไป่ตู้
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
x1 (t ) x (t ) 2 记作： x (t ) = = x t ( ) n
系统在 t
[ x1 (t ) x2 (t ) xn (t )]
T
给定 t = t0 时刻状态向量的初值 x (t0 ) ，及
t ≥ t0 时刻的输入向量 u(t ) ，则
第2章 线性控制系统的状态空间描述
2.1 状态空间描述的概念 2.2 线性系统的时域微分方程化为状态空间表达式 2.3 线性系统的频域传递函数化为状态空间表达式 2.4 根据线性系统的状态变量图列写状态空间表达式 2.5 根据线性系统的结构图导出状态空间表达式 2.6 将线性系统状态方程化为标准形式
现代控制理论第二章答案 舒欣梅
2-2 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a a e
At
，由状态转移矩阵的定义)0()()0()(x t x e t x At
Φ==得， ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-----122112221
1211
22211211
22a a a a e e a a a a e e t t t t 求解得到⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+-+---==Φ--------t t
t
t t
t t t At
e e
e
e e
e e e e
t 22222222)( 由状态转移矩阵的性质)0(Φ= A 得：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+-+-==--------31204242220
2222t t
t
t
t t
t
t
t e
e
e
e e
e e e A 复习状态转移矩阵的性质：(0)I
Φ=；()()()t A t t A Φ
=Φ=Φ ；121221()()()()()
t t t t t t Φ±=ΦΦ±=Φ±Φ；1
1
()(),()()
t t t t --Φ
=Φ-Φ
-=Φ；2211()()()x t t t x t =Φ-；202110()()()t t t t t t Φ-=Φ-Φ-；[()]()k
t kt Φ=Φ；
若A B B A =则
()A B t
At Bt
Bt At
e
e e
e e +==
2-3（1）
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+-=-21
1s s
A sI ()
2
2
1
222
2
222
2
1
2
1(1)
(1)()11
1
(1)(1)(1)1
11
1(1)(1)
111(1)1(1)s s s s adj sI A sI A s s sI A
第二章 现代控制理论基础
6. 输出方程
设系统的输出变量为 y1，y2，...，ym，则 Y (t) = [ y1，y2，...，ym ]T 称为系统的输出向量。表示输出变量Y(t)与系统状态变量X(t)、系统输入
U(t)以及时间t 的关系的方程就称作系统的输出方程 输出方程，如式下式所示。 输出方程
y ( n ) + a1 y ( n 1) + a 2 y ( n 2 ) + + a n 1 y + a n y = u
若已知初始条件y (0)、y (0)(i) (i=1,2,…n)及t≥0时刻的输入函数 u，则系统在 任何 t≥0 时刻的行为便可完全确定。 选取系统状态变量
( n 1) x n=y
5. 状态方程
设系统的控制输入为：u1，u2，...，ur，它们也是时间t的函数。记： U (t) = (u1，u2，...，ur)T
那么表示系统状态变量 X(t) 随系统输入U(t)以及时间 t 变化的规律的方程 就是控制系统的状态方程 状态方程，用下式所示 状态方程
X (t ) = F ( X ,U , t ),
微分方程组可以改写为
di (t ) R uC (t ) u (t ) = i (t ) + dt L L L
duC (t ) 1 = i (t ) dt C
现代控制理论(第二章)讲解
两边取拉氏变换
即 故
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：
4.应用凯莱—哈密顿定理求 （1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即
所以有
它是 同理
的线性组合。
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
求解，记得公式（13）。
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
例2-1，2-2，2-4：求以下矩阵A的状态转移矩阵
[解]： 1）直接算法（略）
2）用标准型法求解
A
0 2
1 3
特征值： 1 1, 2 2
特征值互异 ，转化成对角标准型，且A为友矩阵
sI
A 1
s 2
s3
1 1 s 3
(s
1)(s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)(s s
2)
(s 1)(s 2)
s3
e At
L1
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
现代控制理论课后题答案(第二章-第六章)清华大学出版社
2.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变 量图。 (1) g ( s)
s3 s 1 s3 6s 2 11s 6
(2) g ( s)
s 2 2s 3 s3 2s 2 3s 1
(1) 解 首先将传函(1)化为严格真有理式即：
x2
u
R1
R3
y
R2
图 P2.8 RL 电网络
解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程
2 x1 x2 R3 R2 x2 L2 x
1 x1 x2 R3 u x1 L1 x / R1
y x1 x2 R3
x1 y 1 0 0 x2 du x3
2.7 试求图 P 2.8 中所示的电网络中，以电感 L1 、 L2 上的支电流 x1 、 x 2 作为状态 变量的状态空间表达式。这里 u 是恒流源的电流值，输出 y 是 R3 上的支路电压。
4
x1
L1 L2
dy1 dy ， x4 2 。 dt dt
3 Kx1 B1 M1 x
2
d ( x2 x1 ) dt
对 M 2 有：
4 f (t ) B M2x
经整理得：
1
d ( x2 x 1) dx B 2 dt dt
现代控制理论课件2
张秦艳
25
Fundamentals for Control Engineering
控制工程基础
流体连续方程 (流体的质量守恒定律)：
• 系统的总流入量减去总流出量等于流体 受压缩产生的流量变化加上系统容积变 化产生的流量变化。
d dv Q入 Q出 v dt dt
• • • • • • 1. 定义系统及其部件。 2. 确定必要的假设条件并推导数学模型。 3. 列写描述该模型的微分方程。 4. 求解方程（组）得到所需的输出变量。 5. 检查假设条件和所得到的解。 6. 若必要，重新分析和设计系统。
张秦艳
6
2016/1/14
Fundamentals for Control Engineering
控制工程基础
v(t ) iR (t ) R
diL (t ) v (t ) L dt
1 iL (t ) v(t )dt L0
t
dv(t ) iC (t ) C dt
dv(t ) v(t ) 1 C v(t )dt r (t ) dt R L0
2016/1/14
t
张秦艳
2016/1/14
张秦艳
18
Fundamentals for Control Engineering
控制工程基础
2.3 物理系统的线性近似
现代控制理论_东北大学高立群_清华大学出版社_第2章
现代控制理论第二章习题答案
2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1
解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则
2
12
221c c c du u C R u u dt
++= (1) 1121
21c c c du u du
C C dt R dt
+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：
1121121121212111
c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222
111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：
1211
1211212121
212
122222*********R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧
=--+⎪⎪
⎪
=--+⎨⎪
⎪==-⎪⎩
即: 12121121
21111222222221111
1R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=
+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
[]11210x y u x ⎡⎤
现代控制理论_第2章_状态空间分析法
(2-3)
方程(2-3)的向量－矩阵形式为
t Ax t bu x
(2-4)
式中u为p维列向量，B为 n p 输入矩阵，或称控制系数矩阵， 有
a11 a12 a a22 21 A a n1 a n 2
x1 t x t 2 x t x t n
，cn 式中 c c1，c2，
为输出矩阵（在此为行矩阵），d为直接
wk.baidu.com
联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。 多输入－多输出（含q个输出变量）线性定常连续系统的输出方 程一般表达形式为：
y1 c11 x1 c1n xn d11u1 d1 pu p yq cq1 x1 cqn xn d q1u1 d qpu p
动态方程的结构图表示见图2－1，各方块的输入－输出关系规 定为: 输出向量＝（方块所示矩阵）×（输入向量） 注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
图2－1
动态方程的结构图表示
七 状态空间分析法
以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。
它具有下列优越之处： 便于在数字计算机上求解； 容易考虑初始条件； 能了解并利用处于系统内部的状态信息；
四 状态方程
状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学 表达式称为状态方程。 状态方程一阶微分方程或差分方程。 状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。
现代控制理论-第二章-控制系统的状态空间表达式的解
如果A为友矩阵，且有 n 个互异实特征值 1, 2 ,, n
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
et
2e2t
性质2
A
Φ (0)
2et 2e2t
2et
4e2t
0 1 2 3
et 2e2t
et 4e2t
t0
(7) Φ(t)k Φ(kt)
证明： Φ(t) eAt
Φ(t) k (eAt )k ekAt eA(kt) Φ(kt)
Ax
eAt x(0) Φ(t)x(0)
eP1APt I P1APt 1 (P1AP)2 t 2 1 (P1AP)k t k
2!
k!
P1 I
Байду номын сангаасAt
1 A2t 2 2!
1 k!
Aktk
P
P1eAt P
Φ(t) P1Φ(t)P P1eAtP Φ(t) PΦ(t)P1
Ab1 Ab2
kbk Abk1
b1 Ab0
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2.1 2.2 2.3 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 矩阵指数函数——状态转移矩阵 线性定常系统非齐次方程的解
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
(4) 代入式(1)得： (5)
既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次
幂项的系数应相等，有：
，可得：
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
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在式(4)中，令
将以上结果代入式(4)，故得：
At 0
t
A ( t )
Bu( )d
Φ(t )x(0) Φ(t )Bu( )d
0
t
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
Φ(t )x(0) Φ( )Bu(t )d
0
t
t 2 t t 2 t 2 e e e e At e Φ(t ) u (t ) 1 t 2t t 2t e 2e 2 e 2e t 2e e 2 e e 2 0 t d 2 2 0 Φ( )Bu(t )d 0 e 2 e 1 2e 2e t 1 2 t 1 t e e 2 e e d 2 2 2 0 e t 2t 2e e e 1 2t 1 t 2e t e 2t e t e 2t x1 (0) e e x(t ) 2 2 t 2t t 2t t 2t e 2e x2 (0) 2e e e e
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
上式对
求解，即得式（12）。 时，则
A 的特征值均相同，为
(13)
证明 同上，有：
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
上式对 ，求异数，有：
再对 求异数，有：
重复以上步骤，最后有：
由上面的n个方程，对
矩阵指数函数——状态转移矩阵
2.2.1 状态转移矩阵 齐次微分方程(1)的自由解为： 或
令Φ(t ) eAt， 反应了由初始状态到时 间t的运动规律
该式反应了状态矢量由初始状态到任意时刻的矢量变换关系，反应了 状态矢量在空间随时间转移的规律，因此称为状态转移矩阵。
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1 1 s 1 s 2 1 2 s 1 s 2
2e t e 2t t 2t 2 e 2 e
e t e 2t t 2t e 2e
例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
故
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对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：
4.应用凯莱—哈密顿定理求 （1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即
所以有
它是 同理
的线性组合。
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2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解)
所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由 运动。此时，状态方程为齐次微分方程：
(1)
若初始时刻 时的状态给定为 则式(1)有唯一确定解： (2) 若初始时刻从 开始，即 则其解为： (3) 证明： 级数形式 和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解 为 的矢量幂
而当AB≠BA是，则 这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函 数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。
2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数 1．若 A 为对角线矩阵，即
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(5)
则
(6)
2.若 A 能够通过非奇异变换予以对角线化，即
(6)
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等式右边括号内的展开式是
矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为 ，
即
(7) 于是式(6)可表示为：
再用 的正确性。
代替
即在代替
的情况下，同样可以证明式2)
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2.2
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2.3
线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 作用下的强制运动。此时状态
方程为非齐次矩阵微分方程：
（1） 当初始时刻 初始状态 时，其解为： （2） 式中， 当初始时刻为 。 ，初始状态为 时，其解为：
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（3） 式中， 证明 。 采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：
等式两边同左乘
，得：
即 （4）
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对式（4）在
上间积分，有：
整理后可得式（2）：
同理，若对式（4）在
上积分，即可证明式（3）。
式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：
0 2 1 e 2t 1 1 e t e 2 t t 2t e 2e
3）用拉氏变换法求解
e At L1 ( sI A)1
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s3 1 ( s 1)(s 2) s 1 1 sI A 2 2 s 3 ( s 1)(s 2)
x(t0 )
x(t ) Φ(t )x(0) x(t ) Φ(t t0 )x(t0 )
线性定常系统的状态转移矩阵
注：状态矩阵一般不是常数，而是时间的函数 起始矢量可以任意取，系统求解区间可任意选定—状态空间法的优点
2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 1．性质一 或 这就是组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到
1 ( s 1)(s 2) s ( s 1)(s 2)
s3 At 1 ( s 1)(s 2) e L 2 ( s 1)(s 2)
1 1 2 ( s 1)(s 2) 1 s 1 s 2 L s 2 2 ( s 1)(s 2) s 1 s 2
即
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上式左乘
，得： （5）
注意式（5）等式右边第二项，其中：
两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即
以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得
：
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在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则
(7)
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3.若 A 为约旦矩阵 则
(8)
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4.若
则
(9)
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2.2.4 1.根据
的计算 的定义直接计算
系统的解式（2）可以简化为以下公式：
1.脉冲响应 即当 时 （6）
2.阶跃响应 即当 时 （7） 3.斜坡响应 即当 时 （8） 例2-8 要求掌握！
1 0 例2-8：已知系统状态方程中 A 0 2 3, b 1 试求解该系统的单位阶跃响应。
解法一：积分法
求解，记得公式（13）。
例2-1，2-2，2-4：求以下矩阵A的状态转移矩阵 [解]： 1）直接算法（略） 2）用标准型法求解 特征值：
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0 1 A 2 3
1 1, 2 2
1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 P 1 1 1 1
2.2
矩阵指数函数——状态转移矩阵
满足初始状态 x(t ) |t 0 x(0) 的解是：
x(t ) eAt x(0)
A (t t0 )
满足初始状态 x(t ) |t t0 x(t0 )的解是： x(t ) e
At e Φ(t ) 则有： 令： A ( t t0 ) Φ(t t0 ) e
e
At
1 ( s 1)(s 2) s ( s 1)(s 2)
e t e 2t t 2t e 2e
L
1
sI A
1
2e t e 2t t 2t 2 e 2 e
x(t ) e x(0) e
At t A ( t ) 0
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x(t ) e x(0) e
Bu( )d
Φ(t )x(0) Φ(t )Bu( )d
0
t
s3 ( s 1)(s 2) 1 sI A 2 ( s 1)(s 2)
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(1)
的组合。
2.性质二 或 注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件 3.性质三 或 (3)
(2)
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4.性质四 或 (4)
这个性质说明， 矩阵与A矩阵是可以交换的。 注：本性质还表明，由状态转移矩阵 可反推A！ 5.性质五 对于 方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有
以此类推，
都可用
线性表示。
(2)在
定义中，用上面的方法可以消去 A 的 n及 n以上的幂次项， 即
（11）
（3）
的计算公式
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A的特征值互异时，则
（12）
证明
根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值
和A是
可以互换的，因此， 也必须满足式（11），从而有：
编程，用计算机算，最终能得到收敛解。但很难得到解析解。例2-1 2.变换 A 为约旦标准型 （1）A 特征根互异
其中 T 是使 A 变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：
3.利用拉氏反变换法求
(10) 齐次微分方程
两边取拉氏变换 证明
即
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1
特征值互异 ，转化成对角标准型，且A为友矩阵
1 P 1
1t e e At Pe A t P 1 P 0
e t t e
1 e t 0 1 1 P 2 t 1 2 e 0 e 2t 2 1 2e t e 2t 2t 2e 1 1 2e t 2e 2t