现代控制理论(第二章)
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现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法资料
zn an1zn1 a1z a0z u
y n1zn1 1z 0z
(2-17)
定义如下一组状态变量
x1 z，x2 z， ，x0 zn1
(2-18)
可得状态方程
x1 x2
x2 x3
xn a0z a1z
它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方 程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构。
状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一 些连接线。积分器的输出均为状态变量。输出量可根据输出方 程在状态变量图中形成和引出。
例2-1的状态变量图见图2-3，图中s 为拉普拉斯算子。
图2-3 状态变量图
x2
x3
a2
y
2u
yn2
an1 yn3
un3
n2
an2
yn4
n2un4
a2 y 2u
x1 x2 a1 y 1u yn1 an1yn2 n1un2 an2 yn3 n2un3 a1 y 1u
考虑式(2-11)可得
x1 a0 y 0u a0xn 0u
故有状态方程：
x1 a0xn 0u
线性定常连续系统的动态方程的形式： ➢ 一般形式
x Ax Bu，y Cx Du
➢ 典型形式
一 物理系统动态方程的建立
实际物理系统动态方程的建立的原则： ➢根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程； ➢选择可以量测的物理量作为状态变量。
例2-1 设机械位移系统如图2-1 所示。力F及阻尼器汽缸速度v 为两种外作用，给定输出量为 质量块的位移x及其速度 x、加
1
b 2
n1
x1
x2
x x3
xn
c 0
浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章
1 A2t 2 2!
1 k
Aktk
)
b0
t 0 x(0) b0
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Akt k )x(0)
2!
k
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
矩阵指数函数
Φ(t) 状态转移矩阵
x(t) eAtx(0) 描述了状态向量由初始状态x(0)向任意时 刻状态 x(t)转移的内在特性。
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
1）根据状态转移矩阵的定义求解：
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
例：求解系统状态方程 解：
x1
x2
0 0
-11
6
-6 -11 5
试计算状态转移矩阵 eAt .
解: 1) 特征值
1 1
I A 6 -11 6 1 2 3 0
6 11 5
1 1,2 2,3 3
2) 计算特征向量：
1 1 1 p1 0, p2 2, p3 6
1 4 9
3) 构造变换阵P：
1 1 1 P 0 2 6
(A B)3 A3 B3 3A2B 3AB 2
(9) x Px Φ(t) P-1Φ(t)P P-1eAtP
证明：非奇异线性变换
x Px
n n非奇异矩阵 另一组状态变量
x Px
x P1AP x x(t) eP1AP x(0)
x Ax APx 新的系统矩阵 新的状态转移矩阵
Ax
eAt x(0) Φ(t)x(0)
现代控制理论(第二章)
(1)
若初始时刻 时的状态给定为
则式(1)有唯一确定解：
若初始时刻从
开始，即
(2) 则其解为：
证明： 级数形式
和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解
(3) 为 的矢量幂
(4) 代入式(1)得：
(5)
既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次 幂项的系数应相等，有：
在式(4)中，令
e t e 2 t e t 2 e 2 t
x ( t ) L 1 ( s I A ) 1 x ( 0 ) L 1 ( s I A ) 1 B ( s ) U
s3
1
sIA1bU(s)(s1)(s2)
2
(s1)s(s2)1 01s
(s1)(s2) (s1)(s2)
eAtPeAtP1Pe0 1t
e0 2tP111
1et 20
02 1 e2t1 1
et e2t 2 1 2et e2t
et e2t
et 2e2t1 12et 2e2t et 2e2t
3）用拉氏变换法求解 e A tL 1 (s I A ) 1
s3
sIA1 2s
11 s3
(s
1)(s 2
或
（1）
即
2.5.2 Z 变换法
（2）
对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用 Z 变换法来求解。
设定常离散系统的状态方程是：
对上式两端进行 Z 变换，有： 或
线性时变系统的非齐次状态方程为：
且
的元素在时间区间
（17） 内分段连续，则其解为：
（18）
证明 线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态
《现代控制理论》第三版 第二章.习题答案
2－7. 证明 2－3 中，状态方程的解： 1. 即当u(t ) K (t )，x(0 ) x0时
x(t ) e At x0 e At BK , 式中K 与u(t )同维的常数矢量。
x e x0 e A( t ) BK ( )d
At 0 t
e x0 e A( t ) ( )d BK
得 1 0; 2 1.
1 0 据 1 I A P P 1 1 0 1 0
得到 P 1 0 1 ；
T
0 0 P2 0 得 到 根 据 2 I A P2 1 1
1 0 1 1 1 于是T ， P2 ， T 1 1 1 1 于是 T 1 0 e 1 G (T ) e AT T T T T e 1 0 e t T T e 0 K At H (T ) e dtB dt 0 0 1 et 1 0 1 0
1
e At 0 (t ) I 1 (t ) A
1 2cos 2t 2 4sin 2t
sin 2t 2cos 2t
1 1 （2） A 4 1
1 22 1 33 A t A t 2! 3! 直接法： 7 3 t 2 13 3 2 1 5 , t t t t t 2! 6 6 2 28 3 t 13 3 2 4 4 , 1 5 t t t t t 6 2! 6 e At I At
y 2 x1 x2
1 1 0 x1 K x x 2 1 0 x2 0 即 x1 y 2 1 x2 0 u1 u 1 2
现代控制理论 2-0
∫
t
0
e − Aτ f (τ )dτ =
e [ x(0) + ∫ e
At 0 At
t
− Aτ
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
t1 − Aτ
当t = t1时，有 x(t1 ) = e [ x(0) + ∫ e
0
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
λ − 1 0 det[λI − A] = det = (λ − 1)(λ + 3) = 0 λ + 3 2 λ1 = 1, λ2 = −3 0 0 rank [λ1 I − AMb] = rank 2 4 − 4 rank [λ2 I − AMb] = rank 0 系统能控。 1 =2 1 0 1 =2 0 1
0
t1
∫
t1
0
e − Aτ f (τ )dτ为一个确定的值，仅仅相当于把系统
原来的初态改变了一确定的常值。所以在讨论系统 的能控性时，不考虑系统存在的确定性干扰。
第二章 系统的可观性和可控性
(三)能控性判据
判据一： 判据一：若系统能控，则能控性矩阵
Qc = [B AB A 2 B ... A n −1 B ] 满秩，即
第二章 系统的可观性和可控性
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第二章 系统的可观性和可控性
2-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据 －、线性定常系统的能观测性及其判据
线性定常系统状态方程为 x = Ax + Bu 其中x、u分别为n、 r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的 一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义在 时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf)＝ x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
现代控制理论第二章
（2）在e At 定义中，用（1 ）的方法可以消去 A的n及n以上的幂次项，即 e At = I + At + 1 2 2 1 1 A t +⋯+ An −1t n −1 + An t n + ⋯ 2! ( n − 1)! n!
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
第二章现代控制理论状态空间表达式
diL R1 R1 R2 R2 = uC − iL + e(t ) dt L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 )
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
现代控制理论第二章
第二章 控制系统状态空间表达式的解建立了控制系统状态空间表达式之后，就是讨论求解的问题，本章重点讨论状态转移矩阵的定义，性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式并讨论连续时间系统状态方程的离散化的问题。
§2-1线性定常齐次状态方程的解（自由解）所谓自由解是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
状态方程为齐次矩阵微分方程：AX X= （2－1）若初始时刻0t 时的状态给定为00)(x t x =，则式（2-1）有唯一确定解。
0)(0)(x e t x t t A -=，0t t ≥（2－2）若初始时刻从0=t 开始，即0)0(x x =，则其解为：0)(x e t x At =， 0t t ≥（2－3）证：先假设式（2-1）的解)(t x 为t 的矢量幂级数形式，即：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(（2－4）对上式求导： ++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x代人式（2-1）得：A x= ( +++++kk t b t b t b b 2210) （2－5）既然式（2-4）是（2-1）的解，则式（2-5）对任意时刻t 都成立，故t 的同次幂项的系数应相等，有：01Ab b =，0212!2121b A Ab b ==，0323!3131b A Ab b ==，… 01!11b A k Ab kb k k k ==-，… 在式（2-4）中，令0=t ，可得：00)0(x x b == 将以上结果代人式（2-4），故得：022)!1!211()(x t A k t A At t x k k +++++= （2－6）括号内的展开式是n n ⨯矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为At e221112!!At k ke At A t A t K =+++++ （2－7）式（2-6）可表示为：0()At x t e x =再用)(0t t -代替)0(-t ，即在代替t 的情况下，同样证明0)(0)(x e t x t t A -=的正确性。
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
12 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
现代控制理论第二章
U(s)
1 s 1 1 s
Y(s)
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
方块图导出状态空间模型的步骤 （1）将系统方块图中的每一环节都分解为积分环节和 惯性环节的组合。 （2）以所有惯性环节和积分环节的输出作为状态变量 的拉氏变换。 （3）列出所有惯性环节和积分环节输入输出的拉氏变 换关系式。 （4）对所有（3）中的拉氏变换关系式求拉氏反变换 得到一阶微分方程组。 （5）把（4）中的一阶微分方程组化成向量矩阵表示 的状态方程与输出方程。
例2.7
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（一）方块图方法的思路 当系统的描述以方块图形式给出时，常常无须求 出系统的总传递函数和状态变量图，可以直接由方块 图导出其相应的状态空间模型. 方法：把系统中二阶以上的环节化为由惯性环节 和积分环节组成。
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（二）典型二阶系统状态空间描述
2.6
习题课
2.7 系统状态空间描述与传递函数
设线性连续定常系统的状态空间模型为
x Ax Bu y C x Du
对以上两式分别做拉氏变换,得
sX s AX s BU s
Y s CX s DU s
从以上两式中消去 X s , 则
s a1 s
n 1
k1 s s1
k2 s s2
kn s sn
k i lim W s s s i
例2.5
s si
2.3 系统的频域描述化为状态空间描述
（二）控制系统传递函数的极点为重根 （1） 传递函数的极点为一个重根
W s Y s U s k 11 k 12 k 1n s s1
1 s 1 1 s
Y(s)
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
方块图导出状态空间模型的步骤 （1）将系统方块图中的每一环节都分解为积分环节和 惯性环节的组合。 （2）以所有惯性环节和积分环节的输出作为状态变量 的拉氏变换。 （3）列出所有惯性环节和积分环节输入输出的拉氏变 换关系式。 （4）对所有（3）中的拉氏变换关系式求拉氏反变换 得到一阶微分方程组。 （5）把（4）中的一阶微分方程组化成向量矩阵表示 的状态方程与输出方程。
例2.7
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（一）方块图方法的思路 当系统的描述以方块图形式给出时，常常无须求 出系统的总传递函数和状态变量图，可以直接由方块 图导出其相应的状态空间模型. 方法：把系统中二阶以上的环节化为由惯性环节 和积分环节组成。
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（二）典型二阶系统状态空间描述
2.6
习题课
2.7 系统状态空间描述与传递函数
设线性连续定常系统的状态空间模型为
x Ax Bu y C x Du
对以上两式分别做拉氏变换,得
sX s AX s BU s
Y s CX s DU s
从以上两式中消去 X s , 则
s a1 s
n 1
k1 s s1
k2 s s2
kn s sn
k i lim W s s s i
例2.5
s si
2.3 系统的频域描述化为状态空间描述
（二）控制系统传递函数的极点为重根 （1） 传递函数的极点为一个重根
W s Y s U s k 11 k 12 k 1n s s1
现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法
2.1 状态空间描述的基本概念系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。
经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。
因此传递函数不能包含系统的所有信息。
由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。
于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。
第一节基本概念状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。
一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。
若变量数目多于，必有变量不独立；若少于，又不足以描述系统状态。
因此，当系统能用最少的个变量完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。
选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值，以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。
而时刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。
状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。
状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。
状态向量把描述系统状态的个状态变量看作向量的分量，则称为状态向量，记以,上标为矩阵转置记号。
若状态向量由个分量组成，则称维状态向量。
《现代控制理论》课后习题答案2
《现代控制理论》第二章习题解答2.1 试叙述处理齐次状态方程求解问题的基本思路?答: 求解齐次状态方程的解至少有两种方法。
一种是从标量其次微分方程的解推广得到, 通 过引进矩阵指数函数, 导出其次状态方程的解。
另一种是采用拉普拉斯变换的方法。
2.2 叙述求解预解矩阵的简单算法, 并编程计算例 2.1.1中的预解矩阵。
答: 根据定义, 为1det(sI A )(sI A ) 1 =adj(sI A )(1)式( 1) 中的adj(sI A )和det(sI A )可分别写成以下形式:adj(sI A ) = H n 1s n 1 + H n 2s n 2 +"+ H 0(2) (3) n+det(sI A ) = s a n 1s n 1 +"+ a 0将式( 1) 两边分别左乘det(sI A )(sI A ), 并利用式( 2) 和( 3) , 可得Is n + a n 1Is n 1 +"+ a 0I = H n 1s n+ (H n 2 AH n 1)s n 2 +"+ (H 0 AH 1)s AH 0(4)上式左右两个多项式矩阵相等的条件是两边s i 的系数矩阵相等, 故♣ H n 1 = I ♠ H n 2 = AH n 1 + a n 1I # ♠♠♦ ♠ ♠ (5)H 0 = AH 1 + a 1I ♠ 0 = AH 0 + a 0I♥ 由此能够确定式( 2) 中的系数矩阵 H 0,"H n 1。
另一方面, 能够证明式( 3) 中的系数a 0,"a n 1可经过以下关系式来求取:♣ a n 1 = tr (A ) ♠a n 2 = 1 tr (AH n 2) ♠♠2 1 ♠♠ #♦ ♠ ♠ ♠♠ (6)a = 1 tr (AH 1) n 1 a 0 = 1 tr (AH 0) ♠ ♥ n利用式( 5) 和( 6) , 未知矩阵 H i 和a i 能够交替计算得到, 从而可求出预解矩阵 (sI A ) 1的解。
精品推荐-现代控制理论课后题答案(第二章-第六章)清华大学出版社
1 3s2
s3
，
E( s) U ( s) 21s E( s) 32 s E(s)3 s E( s)
Y ( s) s1 E( s) 22s E( s) 33 s E( s)
8
u
e
+ ++
x3
x2
2
x1
3
-2
-3
-1
状态表达式如下：
++ y
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有
理分式，即 m 是否小于 n ，若 m n 需作如下处理
Y (s)
5s3 7
10s2 15s 18
U (s) s3 2s2 3s 5 5 s3 2s2 3s 5
再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为
x1 x 2
a d
c b
x1 x2
c 0
0 u1
d
u2
y1 y2
1 0
0 x1
1
x2
2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。
(1)
x1 x 2
0 5
1 6
x1 x2
0 1
u
(2)
x1 0
x2
3
x3 12
1 0 7
0 x1 2
1 11s2
6s3
，
即：
7
E(s) U (s) 6s1E(s) 11s2E(s) 6s3E(s) Y (s) 6s1E(s) 10s2E(s) 5s3E(s)
由上式可得状态变量图如下：
现代控制理论(第二章)线性系统的状态空间描述
H[t0 ,)
yc
1
yc
u
t t0 0
容易得到其解
yc
(t )
e
1t
yc
(0)
t
e1
(t
)u(
)d
显然，若其初始条件
yc
0
(0)
不能确定，则不能
唯一地确定其输出。
1.非零初始条件与脉冲输入
零初始条件：系统的初始条件为零是指系统在初 始时刻没有能量储备。
注意：在建立线性系统的输入—输出描述时， 必须假设系统的初始条件为零。
单变量线性时变系统输入－输出关系： y L(u)
用符号 g(t,τ) 表示该系统的单位脉冲响应，即
g(t,τ)L( (t ))
注意： g(t,τ) 是双变量函数; τ— 代表δ函数作用于系统的时刻； t — 代表观测其输出响应的时刻。
结论1：对单变量线性时变系统，u(t)为其输 入变量，g(t,τ)为其单位脉冲响应，在初始
y
kp
u
s3 1s 2 2s 3
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复 杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
系统的输入—输出描述仅在松弛的条件下才能采用。
若系统在t0时刻是非松弛的，输出 y[t0 ,) 并不能单
单由 u[t0 ,) 所决定，即关系式 不成立。考察简单的一阶系统：
y[t0 ,)
初始条件不为零时，可以将非零的初始条件等 效成在初始时刻的一个脉冲输入。
单位脉冲函数（δ函数 ）
令
0
(t
t1
)
1
0
t t1 t1 t t1 t t1
当Δ→0时， (t t1) 的极限函数，即
现代控制理论基础 第2章 控制系统的状态空间描述
【例3】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。
取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量， 根据电路原理有
C duc (t) i(t) dt
di(t) L dt Ri(t) uc (t) u(t)
将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项 移至方程右边，整理得一阶微分方程组为
状态空间法具备如下优点： （1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程
组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。
（2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方 程组的数学表示法。
（3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感 到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。
（4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应， 不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统 内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输 入多输出系统。
x = A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t)u
式中，各个系数矩阵分别为
（2－8）
a11 (t)
A(t)
an1 (t)
c11 (t)
C
(t)
cm1 (t)
a1n (t)
b11 (t)
,
B(t)
ann (t)
bn1 (t)
c1n (t)
d11 (t)
,
D(t)
cmn (t)
述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应， 显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程 即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部 结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映 了输出变量与输入变量间的动态因果关系。
考察图2－1所示的n级RC网络。图中虚线框内 为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻
现代控制理论-第二章+状态空间描述2讲-561
为 (sI-A) 的 伴随矩阵
为 (sI-A) 的 行列式
系统状态空间表达式的特征方程: sI A 0
系统状态空间表达式的特征根或特征值: sI A 0 的根
Page: 3
ys CsI A 1 B D us Gsus
其展开式为
mr
传递函数矩阵
y1s
y2
s
g11s
g
21 s
一系统动态行为的描述。
Page: 29
2.6 系统状态方程的线性变换
状态向量
x x1, x2 , , xn T
非奇异变 换矩阵
x Ax bu y cx
xPx
x Ax b u
y
cx
新状态
向量
A P1AP b P1b c cP
x P1APx P1Bu
若含有D阵的话， 易知有：
0
0 b
0
1
C 0 , 1 n1
注意：A阵仍为友矩阵；
若状态方程中的A，b具有这种形式，则称为能控
标准型。
Page: 21
2）当
G(s)
bn
N(s) D(s)
即bn 0时
有A，b不变，只是
y Cx b u n
系统{A，b，C，D}称为G（s）的能控标准形 实现。
Page: 22
u
n1
Ts 1
s2 2 s 2
1 b1 a1b2
而b2 0, b1 T , b0 1
a11 2T
0 1 a0 2
Page: 24
y 2 y 2 y Tu u
GS
ys us
s2
Ts 1
2 s
2
x Ax bu y Cx
现代控制理论 第2章传递函数矩阵的MFD
c iR ( s ) c iD ( s ) ,i 1 , ,p
2020/12/15
22
2 分解算法
➢ 求出非真 G(s)N(s)D1(s)
➢ 对G(s)中所有非真元做多项式除法，得到
gij(s)= qij(s)(gij(s))sp
由 q ij (组s ) 成Q(s)，由 (gij组(s成))sp
➢ 性质4:
在 G (s)N 中(s,若)D N1((ss)),D(s)是右互质的,
则它是最小阶的.反之亦成立.
若N(s),D(s)非互质,消去最大公因子,可得最小阶
MFD. 2020/12/15
28
二 求不可简约矩阵分式描述
算法1：由一个可简约的MFD 求不可简约的MFD
➢ 依据：
设G(s) N (s)D 1(s)为任一可简约的MFD, N (s), D (s)非右互质,可用构造定理求出其gcrd
U ~(s)U(s)N D((ss))W0(s)
0R(s) W(s)R(s)
I
0
0
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6
(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相
同,即
若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd
R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd
则R1(s)非奇异R2(s)非奇异
同理 ,由 N 1 ( s ), D 1 ( s )右互质 , 可得 U 1 ( s )为多项式矩阵 .
故 U ( s )是单模矩阵 .
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26
➢ 性质2:不可简约MFD和可简约MFD关系
所有的可简约MFD,如 N(s)D都1(可s)通过不可简 约的MFD如N(s)D1(s得) 到。即总有非奇异多项式矩 阵T(s)（未必是单模矩阵）,使
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22
2 分解算法
➢ 求出非真 G(s)N(s)D1(s)
➢ 对G(s)中所有非真元做多项式除法，得到
gij(s)= qij(s)(gij(s))sp
由 q ij (组s ) 成Q(s)，由 (gij组(s成))sp
➢ 性质4:
在 G (s)N 中(s,若)D N1((ss)),D(s)是右互质的,
则它是最小阶的.反之亦成立.
若N(s),D(s)非互质,消去最大公因子,可得最小阶
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二 求不可简约矩阵分式描述
算法1：由一个可简约的MFD 求不可简约的MFD
➢ 依据：
设G(s) N (s)D 1(s)为任一可简约的MFD, N (s), D (s)非右互质,可用构造定理求出其gcrd
U ~(s)U(s)N D((ss))W0(s)
0R(s) W(s)R(s)
I
0
0
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6
(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相
同,即
若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd
R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd
则R1(s)非奇异R2(s)非奇异
同理 ,由 N 1 ( s ), D 1 ( s )右互质 , 可得 U 1 ( s )为多项式矩阵 .
故 U ( s )是单模矩阵 .
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➢ 性质2:不可简约MFD和可简约MFD关系
所有的可简约MFD,如 N(s)D都1(可s)通过不可简 约的MFD如N(s)D1(s得) 到。即总有非奇异多项式矩 阵T(s)（未必是单模矩阵）,使
现代控制理论课件chapter2
Modern Control Theory
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
矩阵指数法
(t ) Ax(t ), 对应于 t 的同次幂系数相等 x
1 1 2 1 2 b1 Ab0 ,2b2 Ab1 b2 Ab1 A b0 A b0 2 2 2! 1 1 1 3 3 3b3 Ab2 b3 Ab2 A b0 A b0， ， b0 x(0) 3 3 2! 3! 1 k bk A b0 k!
Modern Control Theory
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
矩阵指数法
1 2 2 1 k k 所以 x(t ) [ I At A t A t ]x(0) 2! k! 1 2 2 1 k k 因为 e 1 at a t a t 2! k!
2.2状态转移矩阵
转移矩阵的计算
Modern Control Theory
2.1 线性定常系统齐次状态 方程的解 (自由解)
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
定义：自由解 矩阵指数法 拉氏变换法
为一阶齐次微分方程组。
自由解：系统在没有输入的情况下，由初始状 态引起的自由运动。
Modern Control Theory
现代控制理论-第二章 状态空间分析法 2006 9
第一篇线性系统分析和综合第一章绪论第二章状态空间分析法大纲状态空间与状态方程的基本概念由状态方程到传递函数的数学模型转换由传递函数到状态方程的数学模型转换状态方程的求解系统的能控性系统的能观性系统结构分析状态变量反馈状态观测器李雅普诺夫稳定性分析2.1基本概念60s'以前,研究自动控制系统的传统方法主要使用传递函数作为系统的数学描述,研究对象是SISO系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。
随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现,控制系统日渐复杂（MIMO，时变，不确定，耦合，大规模）,传统的研究方法难以适应新的形势。
在50s'后期,Bellman等人提议使用状态变量法,即状态空间法来描述系统,时至今日,这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。
状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组,这在力学和电工上早已使用,并非什么新方法,但用来研究控制系统时具有如下优点。
1、适用面广：适用于MIMO、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统,而经典法主要适用于线性定常的SISO系统。
2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程,因而简化数学符号,方便推导,并很适合于计算机的处理,而古典法是拉氏变换法，用计算机不太好处理。
3、内部描述：不仅清楚表明I-O关系,还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。
4、有助于采用现代化的控制方法：如自适应控制、最优控制等。
上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成功。
状态空间法的缺点:1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样, 能用Bode 图及根轨迹进行直观的描述。
对于简单问题,显得有点烦琐。
2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型,这妨碍了它的推广和应用。
―――继续发展：鲁棒控制、不确定系统控制理论。
综上,现代控制理论并不能完全取代经典法，而是各有长短，互相补充。
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而当AB≠BA是，则 这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函 数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。
2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数 1．若 A 为对角线矩阵，即
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(5)
则
(6)
2.若 A 能够通过非奇异变换予以对角线化，即
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上式对
求解，即得式（12）。 时，则EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
上式对 ，求异数，有：
再对 求异数，有：
重复以上步骤，最后有：
由上面的n个方程，对
2.2
矩阵指数函数——状态转移矩阵
满足初始状态 x(t ) |t 0 x(0) 的解是：
x(t ) eAt x(0)
A (t t0 )
满足初始状态 x(t ) |t t0 x(t0 )的解是： x(t ) e
At e Φ(t ) 则有： 令： A ( t t0 ) Φ(t t0 ) e
0 2 1 e 2t 1 1 e t e 2 t t 2t e 2e
3）用拉氏变换法求解
e At L1 ( sI A)1
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s3 1 ( s 1)(s 2) s 1 1 sI A 2 2 s 3 ( s 1)(s 2)
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2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解)
所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由 运动。此时，状态方程为齐次微分方程：
(1)
若初始时刻 时的状态给定为 则式(1)有唯一确定解： (2) 若初始时刻从 开始，即 则其解为： (3) 证明： 级数形式 和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解 为 的矢量幂
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(4) 代入式(1)得： (5)
既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次
幂项的系数应相等，有：
，可得：
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在式(4)中，令
将以上结果代入式(4)，故得：
1 1 s 1 s 2 1 2 s 1 s 2
2e t e 2t t 2t 2 e 2 e
e t e 2t t 2t e 2e
例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
求解，记得公式（13）。
例2-1，2-2，2-4：求以下矩阵A的状态转移矩阵 [解]： 1）直接算法（略） 2）用标准型法求解 特征值：
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0 1 A 2 3
1 1, 2 2
1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 P 1 1 1 1
x(t0 )
x(t ) Φ(t )x(0) x(t ) Φ(t t0 )x(t0 )
线性定常系统的状态转移矩阵
注：状态矩阵一般不是常数，而是时间的函数 起始矢量可以任意取，系统求解区间可任意选定—状态空间法的优点
2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 1．性质一 或 这就是组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到
(7)
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3.若 A 为约旦矩阵 则
(8)
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4.若
则
(9)
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2.2.4 1.根据
的计算 的定义直接计算
At 0
t
A ( t )
Bu( )d
Φ(t )x(0) Φ(t )Bu( )d
0
t
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Φ(t )x(0) Φ( )Bu(t )d
0
t
t 2 t t 2 t 2 e e e e At e Φ(t ) u (t ) 1 t 2t t 2t e 2e 2 e 2e t 2e e 2 e e 2 0 t d 2 2 0 Φ( )Bu(t )d 0 e 2 e 1 2e 2e t 1 2 t 1 t e e 2 e e d 2 2 2 0 e t 2t 2e e e 1 2t 1 t 2e t e 2t e t e 2t x1 (0) e e x(t ) 2 2 t 2t t 2t t 2t e 2e x2 (0) 2e e e e
矩阵指数函数——状态转移矩阵
2.2.1 状态转移矩阵 齐次微分方程(1)的自由解为： 或
令Φ(t ) eAt， 反应了由初始状态到时 间t的运动规律
该式反应了状态矢量由初始状态到任意时刻的矢量变换关系，反应了 状态矢量在空间随时间转移的规律，因此称为状态转移矩阵。
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1 ( s 1)(s 2) s ( s 1)(s 2)
s3 At 1 ( s 1)(s 2) e L 2 ( s 1)(s 2)
1 1 2 ( s 1)(s 2) 1 s 1 s 2 L s 2 2 ( s 1)(s 2) s 1 s 2
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(1)
的组合。
2.性质二 或 注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件 3.性质三 或 (3)
(2)
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4.性质四 或 (4)
这个性质说明， 矩阵与A矩阵是可以交换的。 注：本性质还表明，由状态转移矩阵 可反推A！ 5.性质五 对于 方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有
(6)
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等式右边括号内的展开式是
矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为 ，
即
(7) 于是式(6)可表示为：
再用 的正确性。
代替
即在代替
的情况下，同样可以证明式2)
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2.2
故
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对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：
4.应用凯莱—哈密顿定理求 （1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即
所以有
它是 同理
的线性组合。
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编程，用计算机算，最终能得到收敛解。但很难得到解析解。例2-1 2.变换 A 为约旦标准型 （1）A 特征根互异
其中 T 是使 A 变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：
3.利用拉氏反变换法求
(10) 齐次微分方程
两边取拉氏变换 证明
即
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At t A ( t ) 0
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x(t ) e x(0) e
Bu( )d
Φ(t )x(0) Φ(t )Bu( )d
0
t
s3 ( s 1)(s 2) 1 sI A 2 ( s 1)(s 2)
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 2.2 2.3 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 矩阵指数函数——状态转移矩阵 线性定常系统非齐次方程的解
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2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化
以此类推，
都可用
线性表示。
(2)在
定义中，用上面的方法可以消去 A 的 n及 n以上的幂次项， 即
（11）
（3）
的计算公式
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A的特征值互异时，则
（12）
证明
根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值
和A是
可以互换的，因此， 也必须满足式（11），从而有：
e
At
1 ( s 1)(s 2) s ( s 1)(s 2)
e t e 2t t 2t e 2e
L
1
sI A
1
2e t e 2t t 2t 2 e 2 e
x(t ) e x(0) e
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2.3
线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 作用下的强制运动。此时状态