一章复变函数和解析函数
第一章 复变函数和解析函数解析
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
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第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
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第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
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第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
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第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
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第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
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第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
复变函数、解析函数
（2） f ( z ) x y ixy
解 f ( z)在 z 1 i 处 可 导 ， 在 复 平 面 上 处
处不 解 析.
（ 3 ） f ( z ) x 2 iy
1 解 f ( z )在 直 线 x 上可 导 ， 在 复 平 面 上 处 处 2 不 解 析.
例5 证明：如果w u ( x, y ) iv( x, y )为解析函数，
1 2 1 2 f ( z ) u iv x y xy i (2 xy y x C ) 2 2 i 2 i 2 2 (令x z , y 0) z z Ci (1 ) z Ci, 2 2 1 i 2 i f (i ) 1 i, c f ( z ) (1 ) z 2 2 2
复变函数、解析函数
复数域与复数的表示法
复数集： C z x iy x, y R x Re z, y Im z , i
复 数 z x iy 有 序 数 组 ( x, y ) 注 意 ： 复 数 不 能 比 较 小
1
复数的表示法：
1. z x iy 2. 复平面上的点P ( x, y )或向量OP 3. z r (cos i sin ) (三角表示法） 4. z rei （指数表示法）
一个复变函数 例如：
二个二元实函数
w f ( z ) z 2 ( x iy) 2 x 2 y 2 2ixy, u ( x, y ) x 2 y 2 , v( x, y ) 2 xy
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
极限 lim f ( z ) w0 ( w0 u0 iv0 )
第01章_复变函数
a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数首先，复数是由实数和虚数单位i组成的数，形式上可以写成a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部。
复数之间的加、减、乘、除运算规则与实数类似，只是需要注意虚数单位i的平方等于-1，即i²=-1接下来，复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
对于复数z=x+iy，其中x和y是实数，我们可以将复变函数f(z)再拆分为u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部。
如果在一些区域内u(x,y)和v(x,y)都是连续且可微的，那么f(z)就是该区域内的解析函数。
解析函数的几何意义是它可以通过无限次的微商得到。
解析函数具有一些重要的性质。
首先，解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，即它们的一阶偏导数满足以下关系：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。
其次，解析函数的共轭函数也是解析函数。
第三，解析函数可以表示为幂级数的形式，这是解析函数的显著特征之一、最后，解析函数在一些区域内的积分只依赖于积分路径，与路径无关。
这个性质被称为留数定理。
在复变函数的应用中，经常会遇到三个重要的方程：拉普拉斯方程、泊松方程和亥姆霍兹方程。
拉普拉斯方程是描述无源场的分布的方程，它的形式为▽²f=0，其中▽²表示拉普拉斯算子。
泊松方程是描述有源场的分布的方程，它的形式为▽²f=ρ/ε₀，其中ρ为电荷密度，ε₀为真空介电常数。
亥姆霍兹方程是波动方程的一个特例，描述了电磁场、声波、横波等的传播与干涉，它的形式为▽²f+k²f=0，其中k为波数。
综上所述，《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数主要介绍了复数的定义、复变函数与解析函数的概念，以及解析函数的性质和三个重要的方程的应用。
对于学习物理或数学的同学而言，掌握复变函数与解析函数的基本知识是非常重要的，它为后续的学习提供了重要的数学工具。
复变函数的基本概念及运算
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z
lim
0
u(
, )
iv(
,) ( )e i
u(,)
iv( , )
lim
u(
x0
,)
u(,)
数学物理方法第一章-复变函数导论
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
《复变函数》第1章
3
3
23
23
arg z
23 6
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《复变函数》(第四版)
第10页
书 P.7
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
解: 1) 1) z 12 2i
2) z sin i cos
5
5
r
12 4 4,
z 4(
12 2 i ) 44
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第3页
(3) 除法: z z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )
x1x2 y1 y2 x22 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
复数的运算满足交换律、结合律和分配律.
(4) 共轭复数性质
i) z1 z2 z1 z2 , ii) z z ;
z1z2 z1 z2 ,
z1 z1 z2 z2
;
iii) z z Re(z)2 Im( z)2 ;
iv) z z 2 Re(z) , z z 2i Im( z) .
4(
3 1 i ). 22
cos 3 ,
2
sin 1
2
5.
6
(或
arctan 2
12
arctan
3
3
5
6
∴
∵ z 在第三象限 ) 三角式: z 4[cos(
5
)
i
sin(
复变函数-解析函数
7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0为函数 的解析点的 充分必要条件是点 为z0其可导点所构成 的集合的内点。
推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
定 理 3 在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商(除 分母为零的点)在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解 析函数。
则称 f (z) 在 z0 处解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析，则称
f (z) 在 区域 D内解析
如果G 是一个区域，若闭区域D G, 且函 数 f (z) 在 区域 G 内解析，则称f (z) 在闭区域 D 上 的 解 析 函 数.
由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等
解 (1) w =| z |,
此时 u = x2 + y2 , v = 0,
u x , u y , v 0, v 0.
x x2 + y2 y x2 + y2 x
y
不满足Cauchy-Riemann方程,
故 w =|z|在复平面内处处不可导, 处处不解析.
15
(2) f (z) ex (cos y i sin y)
27
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
f'(z) = u'x + iv'x = x / ( x2 + y2 ) - iy / ( x2 + y2 )
x - yi 1
= x2 + y2
第一章 复变函数解析
lim lim f (z)
f (z z) f (z)
z0 z
z0
z
df 或f ' (z)
dz
由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定
义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数
情况.例如: d z n nz n1 , d e z e z ,
dz
dz
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
复合函数 d F () dF d
dz
d dz
1.复变函数可导的充要条件：
当f(z)满足(ⅰ).函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的
偏导数
u , u , v , v x y x y
存在且连续.
(ⅱ)满足C-R 条件
u v x y u v (1) y x
(1)式为直角坐标形式. 极坐标形式：
由上式可看出加法满足交换律与结合律.
当定义了 –z 时,减法也自然有了.
(b)乘法 :z1z2=(x1x2-y1y2)+i( x1y2+x2y1) (4)
(c)除法:
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
z2
x22
y
2 2
对乘除法用指数形式运算方便.
z1z2=ρ1ρ
2e
n z n e n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,为z*=x-iy=ρe –iφ .. zz*= ρ2
(三)无限远点: 对复变数z=x+iy, 当ρ→∞时就是z趋于无 穷运点.引入复数球,使复数球的s极与复数平面的原点 相切,这时对于复数平面上的任意一点A,它与复数球的 N极以直线相联与复数球面交于面上一点A′ ,这样就建 立了复数平面上的点与复数球面上点之间的一一对应 关系.当A不管以什么方式趋于无穷大时,其对应的A′都 趋于N极,因此可把平面上无限远看成一点.
大学复变函数的解析函数
大学复变函数的解析函数复变函数是数学中的一门重要课程，它研究了在复平面上定义的函数。
其中，解析函数是复变函数中的一类特殊函数，具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍关于大学复变函数中解析函数的定义、性质以及实际应用等方面的内容。
1. 解析函数的定义解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
具体地，如果函数f(z)在区域D内对复平面上的任意一点z定义了导数，则称f(z)是D上的解析函数。
2. 解析函数的性质解析函数具有以下几个重要的性质：2.1. 可微性：解析函数在其定义域内处处可导，并且导数在定义域内也是解析函数。
2.2. 全纯性：解析函数无奇点，即在其定义域内处处解析。
2.3. 可积性：解析函数可以在其定义域上进行积分，并且积分与路径无关。
2.4. 唯一性：由于解析函数的可微性，其导数也是唯一确定的。
2.5. 极值点：解析函数没有极值点，即在其定义域内不存在局部极大值或极小值点。
3. 常见的解析函数复变函数中有许多常见的解析函数，包括：3.1. 幂函数：f(z) = z^n，其中n为整数。
3.2. 指数函数：f(z) = e^z。
3.3. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.4. 对数函数：f(z) = ln(z)。
4. 解析函数的实际应用解析函数在科学、工程和数学领域中有广泛的应用，例如：4.1. 工程设计中的电路分析和控制系统设计需要用到解析函数，如电容、电感和电阻等元件的阻抗计算。
4.2. 物理学中的波动现象研究需要用到解析函数，如光学中的折射和衍射等现象。
4.3. 金融学中的统计模型和风险管理需要用到解析函数，如利率模型和期权定价等。
4.4. 数学领域中的傅里叶分析和调和函数研究需要用到解析函数，如信号处理和信号重构等。
综上所述，解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，具有许多重要的性质和应用。
了解和掌握解析函数的定义、性质以及实际应用对于深入理解和应用复变函数具有重要意义。
复变函数理论与解析函数的性质
复变函数理论与解析函数的性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复变量的函数。
复变函数与实变函数有着明显的区别，它们的性质和行为也有很大的不同。
本文将探讨复变函数理论的一些基本概念和解析函数的性质。
一、复变函数的定义和基本性质复变函数是指定义在复数域上的函数。
复数可以表示为实部与虚部的和，即z = x + iy，其中x和y分别是实数部分和虚数部分。
一个复变函数可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部的函数。
复变函数的定义域是复平面上的一个开集。
复变函数的基本性质包括解析性、连续性和可微性。
解析性是指函数在其定义域内处处可导，即函数的导数存在。
连续性是指函数在其定义域内连续。
可微性是指函数在某一点处可导。
对于复变函数来说，解析性和可微性是等价的，即函数在某一点处可导当且仅当函数在该点处解析。
二、解析函数的性质解析函数是复变函数中的一类特殊函数，它具有许多重要的性质。
首先，解析函数是无穷可微的，即它的导数、二阶导数、三阶导数等都存在。
这个性质使得解析函数在数学和物理中有广泛的应用，例如在电磁场的分析和量子力学中的波函数描述等。
其次，解析函数满足柯西-黎曼方程，即它的实部和虚部满足柯西-黎曼方程的偏导数条件。
这个方程表明解析函数的实部和虚部是相互独立的，它们的变化是相互约束的。
柯西-黎曼方程的满足使得解析函数具有一定的几何性质，例如保角性和共形映射等。
此外，解析函数还具有唯一性定理和辐角原理等重要性质。
唯一性定理指出，如果两个解析函数在某个区域内的实部和虚部都相等，那么它们在该区域内是相等的。
辐角原理是指解析函数的辐角的变化是连续的，且在某个区域内的辐角变化总和为零。
三、解析函数的应用解析函数在数学和物理中有广泛的应用。
在数学中，解析函数常用于复积分、级数和变换等问题的求解。
在物理学中，解析函数常用于电磁场的分析、流体力学中的势函数描述等。
复变函数与积分变换第一章 复变函数和解析函数
|z|=2的内接正方形的四个顶点(如图).
1
一般情况下, n z z n
n个根就是以原点为中心、
y
w1
w0
1
半径为 r n 的圆的内接正多边
o
x
形的n个顶点所表示的复数.
w2
w3
1.1.5 复球面与无穷远点
第一章 复变函数与解析函数
§1.1 复 数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式
i2 1. 由该等式所定义的数称为虚数单位
cosq i sinq n (cos nq i sin nq )
称为De Moivre公式.
如果定义负整数幂为
zn
1 zn
,
那么
De Moivre公式仍然成立. 设
z1 r1(cosq1 i sinq1 ), z2 r2(cosq2 i sinq2 ),
当 z2 0 (即 r2 0 )时,
y
y
为起点而以点P为终点的向
量表示(如图).
o
Pz x iy
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平
行四边形法则. 用 OP表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上
的投影分别为x和y.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|. 显然 z r x2 y2 ,
q r1
o
q1
q2
•
r2
z2
z2 r2(cosq2 i sinq2）.
复变函数的导数和解析性
复变函数的导数和解析性复变函数是指输入和输出都是复数的函数。
在复变函数中，导数是一个重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率和切线方向。
导数的计算方法与实变函数的导数有所不同，需要使用复数的共轭以及极限的概念。
一、复变函数的导数设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是一个复变函数，其中u(x, y)和v(x, y)分别表示f(z)的实部和虚部，z = x + iy表示复平面上的点。
如果f(z)在点z= z0处存在导数，则导数的定义为：f'(z0) = lim┬(Δz→0)〖(f(z0+Δz)-f(z0))/Δz 〗其中Δz = Δx + iΔy，Δx和Δy分别表示实部和虚部的增量。
根据导数的定义，我们可以推导出复函数导数的性质：1. 导数的唯一性：如果f(z)在某一点存在导数，则该点的导数是唯一的。
2. 复线性：如果f(z)和g(z)在某一点都存在导数，则(f+g)'(z) = f'(z)+ g'(z)。
3. 复合函数导数：如果f(z)和g(z)分别在对应的区域上都存在导数，则复合函数(f∘g)(z)的导数可以通过链式法则计算。
4. 共轭函数导数：如果f(z)在某一点存在导数，则其共轭函数f^*(z)的导数为[f'(z)]^*。
二、复变函数的解析性解析性是指函数在某一区域内可以展开成幂级数的性质。
对于复变函数而言，解析性与导数的存在紧密相关。
如果一个函数f(z)在某一区域D内处处可导，并且在该区域内的导数连续，那么我们称f(z)在区域D内为解析函数。
换句话说，解析函数是指能够通过幂级数展开的函数。
复变函数的解析性具有以下性质：1. 解析函数的实部和虚部都是调和函数，即满足拉普拉斯方程。
2. 解析函数的导数仍然是解析函数，即解析函数具有无穷阶导数。
3. 解析函数的积分与路径无关，即沿着相同路径的积分结果是相等的，这是复积分理论中的柯西定理。
第一章复变函数和解析函数
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• 莱昂哈德·保罗·欧拉（Leonhard Paul Euler，1707年4月15日－ 1783年9月18日）是一位瑞士数 学家和物理学家，近代数学先驱 之一，他一生大部分时间在俄罗 斯帝国和普鲁士度过。
• 欧拉在数学的多个领域，包括 微积分和图论都做出过重大发现。 他引进的许多数学术语和书写格 式，例如函数的记法"f(x)"，一直 沿用至今。此外，他还在力学、 光学和天文学等学科有突出的贡 献。
ln x
ln xei 2k
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ln x ln ei i2k ln x i 2ik
16
（4）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符)
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减 z1 ± z2 =(x1+iy1) ± (x2 +i y2 )
所以可以用平面上的一个点（x,y）或一个矢量
表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚轴，而把这种
用来表示复数的平面叫复平面。 复数的矢量表示法
由图：
y
x cos
y
sin
x2 y2
arctan
y x
y
z
P(x,y)
那么复数（复矢量）可以表示为 o
xx
z = x iy = cos isin .
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6
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导 必要条件、掌握解析函数的概念、函数 解析的充要条件、复势的概念。
教学重点： 柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件；
教学难点： 柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、 复变函数解析的充要条件
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
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【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
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复变函数第一章
3、复数的模与辐角
模: 复数可以等同于平面中的向量(从原点到z=x+yi所 引向量oz). 向量的长度称为复数的模,定义为：
| z | x2 y2 0 即 | z |2 z z | z | 0 z 0
性质:
| z | Re z z ; | z | Im z z ;
F(1 (z z), 1 (z z)) 0
2
2i
三点z1, z2 , z3共线的充要条件是
z3 z1 t (t为非零实数) z2 z1
例11 试用复数表示圆的方程:
a(x2 y2 ) bx cy d 0
其中，a,b,c,d是实常数。
解：利用 zz x2 y2, z z 2x, z z 2yi
De Moivre公式
(cos i sin )n cos n i sin n
方根 非零复数z的n次方根,是指满足n z的
复数的全体,记为n z
设z rei , ei 则 nein rei
从而 n r, n 2k
从而 n r , 2k
1
bz a bz a
例6 设 z1 , z2是两个复数，求证：
| z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 2 Re(z1z2 ),
证明：| z1 z2 |2 （z1 z2）(z1 z2 ) （z1 z2）(z1 z2）
z1z1 z2z2 z1z2 z1z2
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例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
大学数学复变函数与解析函数
大学数学复变函数与解析函数复变函数与解析函数是大学数学中的重要内容之一。
它们在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将从复数、复平面、复变函数、解析函数以及它们的应用等方面展开讨论，帮助读者深入理解和掌握这一知识点。
一、复数与复平面复数是由实数和虚数构成的数。
虚数单位i定义为i^2=-1。
一般形式下，复数可以表示为a+bi，其中a和b分别是实数部分和虚数部分。
复数可以在复平面上用点表示，实部和虚部分别对应于复平面的x坐标和y坐标。
二、复变函数复变函数是定义在复平面上的函数。
与实变函数不同，复变函数既有实部又有虚部。
复变函数可以用公式f(z)=u(x,y)+iv(x,y)表示，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)是实变量函数。
复变函数的导数也可以定义，并具有柯西-黎曼条件。
三、解析函数解析函数是复变函数中的一种重要特殊情况。
解析函数在其定义域上处处可导，并且导数连续。
解析函数具有柯西-黎曼方程，即它的实部和虚部的一阶偏导数满足一定的关系。
四、全纯函数与调和函数全纯函数是解析函数的一种特殊情况，它在其定义域上处处可导，并且导数也是全纯函数。
全纯函数是复变函数理论中的核心概念，它有许多重要的性质和定理。
调和函数是解析函数的实部和虚部的实数函数。
五、留数定理与积分定理复变函数的留数定理是复变函数理论中的重要定理之一。
它给出了柯西积分定理的一种形式，用于计算函数在闭合曲线内部的积分。
利用留数定理，可以求解一些复积分问题。
积分定理是柯西积分定理的推广，它将复变函数的积分与曲线上的导数联系起来。
六、应用领域复变函数与解析函数在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
在电路分析中，复变函数可以用来描述交流电路的电压和电流。
在流体力学中，复变函数可以用来描述流体的速度场和位势流。
在图像处理和信号处理中，复变函数可以用来表示频域信号和变换。
七、总结本文主要介绍了大学数学中的复变函数与解析函数的基本概念和应用。
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学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导 必要条件、掌握解析函数的概念、函数 解析的充要条件、复势的概念。
教学重点： 柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件；
教学难点： 柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、 复变函数解析的充要条件
Euler把 1 作为特 殊的数 2020/6/25
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sin x 1 e 1x e 1x 2 1
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1.1 复数的基本概念
1 复数及其代数运算
(1). 复数的代数形式
考虑解方程： x2 1。 显然，此方程在实数集中是无解的。
为了求出方程的解,引入一个新数i,称为虚数单
位.
对虚数单位的规定:
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大 小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说:
复数不能比较大小!!!
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（2）复平面表示与复数三角式
复数z=x+iy可以用平面上的一个点（x,y）或 一个矢量表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚 轴，而把这种用来表示复数的平面叫复平面。
• 欧拉是18世纪杰出的数学家， 同时也是有史以来最伟大的数学 家之一。他也是一位多产作者， 其文学著作约有60-80册。法国 数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾 这样评价欧拉对于数学的贡献： “读欧拉的著作吧，在任何意义 上，他都是我们的大师” 8
1.0问题的提出
负数有对数吗？
Bernoulli：负数的对数是实数 d(x) dx ln(x) ln x
(3)复数的指数函数表示
复数的三角函数表示式
z (cos i sin)
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
x x
Leibniz ：不可能有负数的对数
dx d ln x x
只对正数成立
Euler： 在1747年指出
ln(x), ln x 差一常数
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说： y 2cos x 和 y e 1x e 1x 是同一个微分方程的解，因此应该相等
1743年，发表了Euler公式 cos x 1 e 1x e 1x
显然由复数的复平面表示，有下列各式成立
x z,
y z, z x y.
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y
y
z
P(x,y)
在 z 0的情况下, 以正实轴为始边 , 以o 表示 x x
z 的向量oP 为终边的角的弧度数 称为 z 的幅角,
记作 arg z .
说明 任何一个复数 z 0有无穷多个幅角,
如果 是其中一个幅角, 那么 z 的全部幅角为
arg z 2kπ (k为任意整数).
特殊地, 当 z 0时, z 0, 幅角不确定.
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幅角主值的定义:
在z(≠0)的幅角中，把位于０< <2π的 称为arg z 的主值。而复数的辐角与幅角主值间有关系
arg z 2kπ (k为任意20/6/25
• 莱昂哈德·保罗·欧拉（Leonhard Paul Euler，1707年4月15日－ 1783年9月18日）是一位瑞士数 学家和物理学家，近代数学先驱 之一，他一生大部分时间在俄罗 斯帝国和普鲁士度过。
• 欧拉在数学的多个领域，包括 微积分和图论都做出过重大发现。 他引进的许多数学术语和书写格 式，例如函数的记法"f(x)"，一直 沿用至今。此外，他还在力学、 光学和天文学等学科有突出的贡 献。
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课程讲授计划
• 第一章 复变函数和解析函数（5） • 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（5） • 第六章 点源和瞬时源 函数（2） • 第七章 傅里叶变换和色散关系（6） • 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8） • 第九章 数学物理方程的定解问题（6） • 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（6） • 第十一章 积分变换法（4） • 第十二章 球坐标下的分离变量法（8） • 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（8）
cos x 1 eix eix 2
i 1 i2=–1
sin x 1 eix eix 2i
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定义
i-虚数单位 满足：i2=-1
对于" x, y R, 称 z x iy 为复数
.
实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
复数的矢量表示法
y
y
P(x,y)
z
o
xx
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y
如图：
y
P(x,y)
x cos
x2 y2
z
y
sin
arctan
y x
o
那么复数（复矢量）可以表示为
xx
z = x iy = cos isin . 复数的三角表示式
复矢量的长度称为复数的模或绝对值
z = ρ = x2 + y2 .
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教材及指导书
一、教材： 胡嗣柱等 编著，《数学物理方法》，第二版， 北京
大学出版社，2002年7月
二、主要的参考书： 于涛等 编 《数学物理方法知识要点与习题解析》，
哈尔滨工程大学出版社，2007年6月
成绩测定：作业20%＋上课出席参与10% ＋考试70% 联系方式：zyx@
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复变函数论（theory of complex functions）的目的： 把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意
义。
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主要内容:
1 复变函数和解析函数 2 复变函数积分 柯西定理和柯西公式 3 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数等（自学） 4 解析函数（自学） 5 定积分的计算（自学） 6 δ函数 其余拉普拉斯变换的内容（自学） 7 傅立叶变换和色散 8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数 x.
C {z | z x iy, x, y R}称为为复数集
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分 别相等.
设：z1=x1+i·y1 z2=x2+i·y2
z1=z2 x1 x2, y1 y2
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时 等于0.