第4章根轨迹分析法知识题解答
自控第4章题解
第四章 根轨迹分析法
4．1根轨迹法
1．控制系统的根轨迹 1) 根轨迹的定义
当控制系统的某一参数发生变化时，闭环系统的特征方程的根在S 平面上的变化轨迹称为系统的根轨迹。通过控制系统的根轨迹对系统的性能进行分析的方法称为根轨迹法。
2) 根轨迹方程
设控制系统的开环传递函数为：
1*
1
()
()()()
m
j
j n
i
i s z G s H s K
s p ==-=-∏∏
式中，*K 称为根轨迹增益，j z 、i p 分别为系统的开环零点和极点，系统的闭环特征方程为:
1()()0G s H s +=
则控制系统的根轨迹方程为：
1
*1
()
1()
m
j j n i
i s z K
s p ==-=--∏∏
注意：
当控制系统的开环传递函数的表述形式为：
11
(1)
()()(1)
m
j
j n i
i s G s H s K
T s τ
==+=+∏∏
在式中K 称为开环增益，j τ，i T 为系统的时间常数，*
K 与K 存在以下的关系：
1*1
m
j
j n i
i K K
T
τ
===∏∏
2．绘制根轨迹的条件 1) 180°根轨迹
当系统的闭环特征方程是式时，所对应的根轨迹称为180°根轨迹。由根轨迹方程就可以得到绘制180°根轨迹的条件：
幅值条件: 1*
1
()
|()()|1()
m
j
j n
i
i s z G s H s K
s p ==-==-∏∏
相角条件：
1
1
()()()()(21)(0,1,2,......)n m
i j i j G s H s s p s z k k π
==∠=∠--∠-=+=±±∑∑
2) 0°根轨迹
当系统的闭环特征方程为式时，
第四章根轨迹分析法14
故分离点只有一个。因s2不在根轨迹区间，也就不可能是分 离点，故分离点必落在s1处。 解：（二）分离点方程为
1 1 1 0 s s1 s2
即
3s26s20
解之，得 s1＝－0.423，s2＝－1.577(舍)
分离角
分离点 0
会合点 0
(a) 两开环极点之间是根轨迹
K i1 gn
1
(s p j )
j 1
m
argK[g
(szi
i1
)
]180(2k1)
n
(spj )
j 1
方程
相角条 件方程
m
n
ars g zi)( ars gpj( ) 1 8 (2 k 0 1 )
i 1
j 1
注意：
相角条件是确定根轨迹的充分而必要条件 可从幅值条件方程求解得出Kg 。
4. 幅值条件和相角条件的应用
f(x)=0的根1。Kg
N(s) D(s)
0
F (s)D (s)K gN (s)0
F '(s) D (s) K gN (s) 0 联立求解上述两个方程，得出分离点公式
N (s )D (s ) N (s )D (s ) 0
例：已知
(s1)
GK(s)Kg(s0.1)s(0.5)
第四章 控制系统根轨迹分析法
nm
（3）与实轴交点坐标：
p Z
j 1 j i 1
i
[极点坐标之和] - [零点坐标之和] 即 极点数 – 零点数
G(s) H(s)
G( s ) M( s ) 1 G ( s )H ( s )
闭环传递函数分母方程 即特征方程 根轨迹方程
1 G0 ( s ) 0
G0 ( s ) 1
4.1 根轨迹的概念
3 绘制根轨迹的条件：
由G0 ( s ) 1 得
G0 ( s ) 1
幅值条件
G0 ( s ) ( 2k 1 ) 相角条件 k s Z1 s Z 2 s Z m G0 s , k 0, 0 s p1 s p2 s pn
2
S1对应的 k' s1 p1 s1 p2 0.25 2 0.125
同理 ，实轴垂直平分线上的所有点都是根轨 迹上的点。
4.2 根轨迹的绘制规则
规则一：根轨迹对称于实轴。 规则二：根轨迹的分支数，起点，终点。 （1）分支数等于闭环特征方程的阶数n：（因为n阶方程 0 时，n个根都随k变） 应有n个根，当 k： （2）根轨迹起始于开环极点（n个） （3）根轨迹终止于开环零点（m个）和（n-m）个无穷远 处。 k s Z s Z
4 根轨迹法(课堂)解析
p3
Wang Yu
18
§4-2 绘制根轨迹的基本法则
五、根轨迹的渐近线
若m n，则当K 时，要有 n m 条根轨迹 趋于处，这 n m 条趋于处根轨迹的方位可由渐 近线决定。
渐近线与实轴交点的坐标为：
nm 渐近线与实轴正向的夹角为： 渐近线与实轴正向的夹角为：
[S]
n4
nm 2
m2
有2条根轨迹终止于 处
Wang Yu
14
§4-2 绘制根轨迹的基本法则 K s z1 s z2 s zm 证明： 若G s H s s p1 s p2 s pn
G(s)H(s)=-1
s z1 s z2 s zm 1 s p1 s p2 s pn K
a
2k 1180
Wang Yu
3
60 , 180
20
§4-2 绘制根轨迹的基本法则
六、Leabharlann Baidu轨迹的起始角与终止角
起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的
切线与水平线正方向的夹角。 终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的 切线与水平线正方向的夹角。 [S] 1 1
z1
p1
z1
画出根随着开环增益K变化的曲线
Wang Yu
4
§4-1 根轨迹法的基本概念
第四章 线性系统的根轨迹分析
第四章线性系统的根轨迹分析
一、填空题
1．以系统开环增益为可变参量绘制的根轨迹称为＿＿＿＿，以非开环增益为可变参量绘制的根轨迹称为＿＿＿＿。
2．绘制根轨迹的相角条件是＿＿＿＿，幅值条件是＿＿＿＿。3．系统根轨迹的各分支是＿＿＿的，而且对称于＿＿＿。4．根轨迹起始于＿＿＿，终止于＿＿＿＿；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有＿＿＿条根轨迹终止于无穷远处。
5. 开环传递函数为,此根轨迹有＿＿＿条分支,实轴上根轨迹区域为＿＿＿＿.
6．正反馈回路的根轨迹被称为＿＿＿根轨迹。
二、选择题
1. 系统的瞬态响应的基本特征取决于系统（）在s 复平面上的位置
A 开环零点
B 开环极点
C 闭环零点
D 闭环极点
2. 根轨迹法是利用（）在s 平面上的分布，通过图解的方法求取（）的位置
A 开环零、极点；闭环零点
B 开环零、极点；闭环极点
C 闭环零、极点；开环零点
D 闭环零、极点；开环极点
3. 与根轨迹增益有关的是（）
A 闭环零、极点与开环零点
B 闭环零、极点与开环极点
C 开环零、极点；闭环零点
D 开环零、极点；闭环极点
4. 相角条件是全根轨迹存在的（）
A 充分条件
B 必要条件
C 充要条件
D 既非充分又非必要条件
5. 已知系统的开环传递函数
则全根轨迹的分支数是（）
A 1
B 2
C 3
D 4
6. 已知控制系统的闭环传递函数是
则全根轨迹的分支数是（）
A G(s)H(s) 的极点
B G(s)H(s) 的零点
C 1+ G(s)H(s) 的极点
D 1+ G(s)H(s) 的零点
7. 上题中的根轨迹终止于（）
A G(s)H(s) 的极点
第四章 根轨迹法
四 根轨迹分析法
2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。
题2-4-1图
【解】：
题2-4-1解图
2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： （1）)1)(5.0)(2.0()(+++=s s s K
s G （2）)
12()1()(++=s s s K s G
（3）)
52()2()(2+++=
s s s K s G （4）)
136)(5)(1()(2++++=
s s s s K
s G
试绘制K 由+∞→0变化的闭环根轨迹图。
【解】：（1）系统有三个开环极点 1,5.0,2.0321-=--=--=-p p p 。 ① 0,3==m n ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。 ② 实轴上的根轨迹在区间]][2.0,5.01,(----∞。
③ 渐近线 ()()2,1,0180,603
1801257
.0315.02.0=︒︒±=︒⋅+=-=---=-k k θσ ④ 分离点。 方法一 由0)()()()(='-'s Q s P s Q s P 得
33.0,8.008.04.332,12--=⇒=++s s s
8.01-=s 不在根轨迹上，舍去。分离点为33.0-。
分离点处K 值为 014.0)
()(33
.0=-
=-=s s P s Q K
方法二 特征方程为：01.08.07.123=++++K s s s
重合点处特征方程：0)2()2()()(22232=+++++=++b a s a ab s b a s b s a s 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。
第四章 根轨迹分析法
闭环传递函数： G(s)
1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
m
Gφ(s) (s zi)
G－(s)H (s) K
i 1 n
-1 H(s) (s pi)
i 1
1 G(s)H(s) 0, 即 G(s)H(s) 1
G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：
G(s)H (s) G(s)H (s) e jG(s)H(s) Me j 1
n n 1 2
0.5
j
3 2
×● × ﹣1 ﹣0.5 0 Re
3 2
s1,2
0.5
j
3 2
s1,2 0.5 0.5 j 4K 1 （4-1-1）
阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹交点处的K值可
以计算出来。
与（4-1-1）式比较得： 4K 1 3 , 即K=1。
获得系统的根轨迹有两个方法：
总结：
－
1
K
s(s 1)
G(s)H(s) K
s(s 1)
这是个？2 阶系统，有两个闭环极点，有2条根轨迹。
根轨迹是从开环极点出发点。
根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。
Im
通过选择增益K，可使闭环极点落 在根轨迹的任何位置上。
如果根轨迹上某一点满足动态特 性要求，可以计算该点的K值实现 设计要求。
第4章自动控制原理根轨迹法分析
的Kg值2020时/10/，18 才使用幅值条件。
下面看看怎样按上式表示的幅值条件和幅角条件绘制
系统的闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ，
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点的向量。
3
检验s1是否满足幅角条件： p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
求得闭环特征根为：
Gs Kg
s(s 2)
s1,2 1
1 Kg
闭环特征根s1，s2是Kg函数， 随着Kg的改变而变化。
(1) Kg= 0：s1 = 0,s2 = 2,是根迹的起点(开环极点),用“”表
示。
(2) 0
<
Kg<
1
：s1
，s2
均是
j
Kg
负实数。 Kg s1 ，s2 。
s1从坐标原点开始沿负实轴 向左移动； s2从（2，j0） 点开始沿负实轴向右移动。
m
(s) C(s) b0 R(s) a0
q
(s zj)
j 1
r
(s pi )
(s2
2 k k
s
2 k
)
i 1
Βιβλιοθήκη Baidu
四章线系统的根轨迹分析
代入得： (3S2 6S 2) 0 解得
S1 0.423 S2 1.577
由规则三可知，-1.577处没有根轨迹，故舍去，所以， 分离点是 - 0.423 或者，将-1.577代入F(s)=0, 可求出K1= - 0.385,显然不合题 意，舍去
综合例：求以K1为参变量的系统根轨迹。
解：
j1 n
|S - Pi|
1 K1
而，得到绘制根轨迹的两 个基本条件：幅值条件和 幅角条件
幅角条件
i1m
n
(S Zj) (S Pi) (2q 1)*180
j1
i1
z1 a
d
b
P2
Sa j 左例：幅值应满足： a b 1
c
c d k1
幅角应满足：
P1
1 2 3 4 (2q 1)180
P3 s3 a
j j
1
-1 P1 0
4 -j
根据根轨迹的对称性，可以知道 P4点的出射角：4 75
j
K1
P3
K1
-75° j
P2
-1.25
-3 -2.3
-1
P1 0
K1
75° -j
P4
K1
根轨迹法
根轨迹的出（入）射角用下式求得:
m
n
pk (2q 1)180 (Sk Zj) (Sk pi)
第四章根轨迹分析法
s= -1.5+j1.5 ∠θ1+ ∠θ2=180 o
s= -1.5-j1.5 ∠θ1+ ∠θ2=180 o
找出足够多的点，连接而成根轨迹
2、 幅值条件 1
K ∣s+1∣∣s+2∣= 1 s= -1 K=0
K =∣s+1∣∣s+2∣
s= -2 K=0
s= -1.5 K=0.25
不同特征根s，就对应了不同的K值。
渐近线与实轴交点的坐标以-σa表示，则
-σa =
ΣJ=n12（-pj）—Σim=1（-zi）
n—m
例 已知系统的开环传递函数为
Kg（s+1）
GK（s）=s（s+4）（s2+2s+2）
试在s平面上确定根轨迹渐近线的方位。 解： 系统有4个开环极点和1个开环零点： -p1=0，
-p2=-1+j1，-p3=-1-j1，-p4=-4；-z1=-1。可知有3条 根轨迹趋于无穷远处，其渐近线的方位是： 截距：
环特征方程可知，
Kg =- D(s)/N(s) 故dKg D’(s)N(s)- N’(s)D(s)
=-
ds
N2(s)
D’(s)N(s)- N’(s)D(s) = N2(s)
如果令dKg/ds=0，则其结果与重根法相同。
Kg
例：已知开环传递函数为Gk(s)= 试求分离点。
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
(1).实轴上 [-3，-2]，[-1，0] 是根轨迹。
(2).根轨迹有三条分支，分别始于0，-2，-3；
终于-1和两个无限零点。
有两条渐近线：
(2k 1)
nm
，3
22
n
m
i 1
pi z j
j 1
nm
(0 2 3) (1) 2 3 1
(3).实轴上 [-3，-2] 内有一分离点 d ：
规则2：根轨迹的分支数和对称性
根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m） 或与开环有限零点数m相等（n<m)
根轨迹的分支数=max{开环零点数m、开环极点数 n} 实轴对称：根轨迹关于实轴对称
特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复 数。
规则3：实轴上的根轨迹
若实轴的某一个区域是根轨迹存在区域，则：
d
1 1
1 d
d
1
2
d
1
3
该方程可化为
d3＋4
d2
+5
d
+3=0
其根为： -2.4656，-0.7672 j 0.7926
所以分离点为：d -2.47
按上述法则画出如右根轨迹图：
-3 -2 -1 0
例4-2.设单位反馈系统开环传递函数为：G(s) K(0.5s 1)
0.5s2 s 1
第4章 根轨迹分析法 参考答案
习题
4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)
A *(2)(1)K s s s -+
B *(1)(5)K s s s -+
C *2(31)K s s s -+
D *(1)(2)
K s s s --
4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)
A 闭环零点和极点
B 开环零点
C 闭环极点
D 阶跃响应
4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
*
()()(6)(3)K G s H s s s s =++
(1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)；
(2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
()()
36 33a σ-+-==-，() (0)
321 (1)3 (2)3
a k k k k π
ϕππ
⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩
求分离点方程为
111036
d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。显然分离点位于实轴上
[]3,0-间，故取2 1.268d =-。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为
32*()9180D s s s s K =+++=
令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有
[][]2*
3
Re (j )(j )190
Im (j )(j )1180
根轨迹分析法习题解答
第四章 根轨迹分析法
学习要点
1根轨迹的概念；
2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤；
4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。
思考与习题祥解
题 思考与总结下述问题。
（1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。
（2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
（4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。
根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。
应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。
（2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。
（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
第四章根轨迹分析法
-2
×
•
Im
[s]
•
• •
• -1
• • •
•
×
0
Re
% 0% 0 d d 0
(4) 稳态性能
开环增益 积分环节个数
4
三、开环零、极点与闭环零、极点
K 2 M 2 ( s) N 2 ( s) 开环传递函数： G( s ) H ( s ) K1 K 2 M1 ( s ) M 2 ( s ) N1 ( s) N 2 ( s)
1）闭环零点=前向通路传函的零点+反馈传函的极点（与K*无关）； 结论： 2）闭环极点——不仅与开环零、极点有关，还与K*有关。
5
根轨迹法是由开环零、极点—得到闭环极点分布情况的图 解法。 根轨迹：是当开环系统中某一个参数变化时闭环系统特征 方程根在平面上变化的轨迹。
一旦获得根轨迹则： 可直接得到闭环极点。 得到系统对时间响应的全部信息。 可间接得到闭环频率响应的信息。 本章的目的： ①画根轨迹。②从根轨迹上分析系统各种信息。
6
4-2根轨迹绘制依据及方法
1 绘制依据 ——根轨迹方程
闭环的特征方程： 1 G( s ) H ( s ) 0
——根轨迹方程（向量方程） 用幅值、幅角的形式表示： G( s)H ( s) 1 G( s)H ( s) [G( s)H ( s)] 1(2k 1) 设：
第4章 根轨迹分析法
5 3
60o
180o (2k 3
1)
60o (2k
1)
180o
60o
12/63
七.根轨迹的分离点和会合点 分离点：根轨迹在实轴上相遇后又分开的点 会合点：根轨迹进入实轴相遇的点
分离点或会合点对应于闭环特征方程的二重根 多出现于实轴上 若实轴上相邻开环极点间有根轨迹，则必有分离点 若实轴上相邻开环零点间有根轨迹，则必有会合点 若实轴上相邻开环零极点间有根轨迹，则可能既无 分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点
26/63
(4)分离点: s 2.28 (5)与虚轴的交点：
s4 5s3 8s2 6s Kg 0
1.1, Kg 8.6
(6)出射角:3 180o (2k 1) (135o 26.6o 90o ) 71.6o
j
2.28
3
1.25
1.1
0 1.1
27/63
[例9]：系统的开环传递函数为
根轨迹的出射角：
3 180o (2k 1) (arctan 0.5 arctan 0.5 90o ) 90o
29/63
解： 由已知条件可得，系统特征方程为：s2 2s Kg 0
得：0 Kg 1, s1,2 1 1 Kg ;
Kg 1, s1 s2 1;
Kg 1, s1,2 1 j Kg 1
Kg 0
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
第一节 根轨迹的基本概念
例如图所示的闭环传函为：
C (S ) K 2 R( S ) S S K
R(S)
K S ( S 1)
C(S)
图4-1 二阶系统
特征方程 S 2 S K 0
的根为
1 1 S2 1 4K 2 2
1 1 S1 1 4K 2 2
解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上p1=0,p2=-2, p3=-6.6, z1=-4， （2）将s1坐标带入相角条件：
( s1 4) s1 ( s1 2) ( s1 6.6) (2.5 j 2.5) (1.5 j 2.5) (0.5 j 2.5) (5.1 j 2.5) 45 120 .96 78 .69 26 .11 180 .76
s p sz
i 1 j 1 m
n
j
s百度文库 pi
n j i
i
(s z ) (s p ) (2q 1)180
j 1 i 1
m
q 0,1,2, „
（＊＊）
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根 轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹 增益K1值。 K1 ( s 4) 【例4-1】单位反馈系统的开环 G( s) s( s 2)( s 6.6) 传递函数为: 试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果 是，则确定与它相对应的K1值是多少。
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第四章根轨迹分析法
4.1 学习要点
1根轨迹的概念；
2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用；
3根轨迹绘制法则与步骤；
4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。
4.2 思考与习题祥解
题4.1 思考与总结下述问题。
（1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。
（2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？
（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
（4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。
答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。
根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。
应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。
（2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。
（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。
正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程
1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统
的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。
（4）由于开环零、极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零、极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。
一般地，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。
增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。
如果系统期望主导极点在根轨迹左侧时，可通过增加开环零点（超前校正），使闭环系统的根轨迹向左弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求；如果系统期望主导极点在根轨迹右侧时，可通过增加开环极点（滞后校正），使闭环系统的根轨迹向右弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求。
题4.2 ,试绘制各系统的根轨迹图。
（1（2）)4()2()()(2++=s s s H s G
（3）3)2()()(+=s K
s H s G
解： （1
1）起点：三个开环极点 3,4,2,0321=-=--=-=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点
0=m 。
3）实轴上
]02[]4，、，（--∞- 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00
180,6003)12(18020
34
2±=-+±=-=-+-
=-k A θσ 5) 求分离点
155
.333
2
2845.03322 08123 0
)()()()(212''-≈--=-≈+-==++=-s s s s s A s B s B s A 解得：得：
因为实轴上的根轨迹 在
]02[]4，、，（--∞- 区间内，所以分离点为1s 。 6) 根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 08623=+++K s s s
造劳斯表： K
S K
S K
S S 0
1230
6
8681
-
为使S 1 行为零，应有48=K 由S 2 行得辅助方程： 04862=+s 解得: 83.28j j s ±≈±= 根轨迹如图4.1所示。
48
=48
=
图4.1 题4.2（1）根轨迹
（2
1）起点：三个开环极点 3,4,2,2321=-=--=--=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点 0=m 。
3）实轴上 ]4-∞-，（ 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线
00
180,6003)12(1803
8
03422±=-+±=-
=-++-
=-k A θσ 5) 求分离点
]4-∞-，（ 区间内，且-2为系统开环重极点，所以分离点为1s 。
6) 根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 01620823=++++K s s s 将ωj 代人s ，整理得：0)20()168(32=-++-ωωωj K