数值分析 丁丽娟 程杞元
数值分析课件1
提出数值问题
数值问题是指有限个输入数据（问题 的自变量、原始数据）与有限个输出数据 （待求解数据）之间函数关系的一个明确 无歧义的描述。这正是数值分析所研究的 对象。
数值问题举例
dy = x +y2 dx y ( 0) = y 0 x ∈ [0, 1]
是用一阶常微分方程初值问题表示的 数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是 数值问题 。但当我们要求出有限个点处函 数值的近似值时，便成为一数值问题。
设计高效可靠的算法
计算方法的任务之一就是提供求得数值问 题近似解的方法—算法。
算法：指把对数学问题的解法归结为只有 加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序 的完整而准确的描述。
算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收 敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是
数值分析研究的第二个任务。
一个算法在保证可靠的大前提下再评价其 优劣才是有价值的。 算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考 虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间 复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护 ）。这是数值分析研究的第三个任务。
e − e = (e − en ) + (en − e)
* *
二、误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 各种度量之间的关系
1. 绝对误差
绝对误差定义：近似值减准确值
* ∆
x − x= e( x * ) * * e ( x ) 在不引起混淆时， 简记 为 e 。
• 绝对误差限：
位有效数字。如 A = sin 29 20′ = 0.4900 设其近似值a=0.484，其相对误差为：
0.4900 − 0.484 1 = 0.012397 < 0.0125 = × 101− 2 0.484 2× 4
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
数值分析第1章
11
若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个 上界，即
e* = x*−x ≤ ε*,
则 ε * 叫做近似值的误差限 它总是正数. 误差限， 误差限 对于一般情形 x*−x ≤ ε *， 即
x *− ε * ≤ x ≤ x *+ ε*,
也可以表示为
x = x*±ε *.
但要注意的是，误差限的大小并不能完全表示近似值的 误差限的大小并不能完全表示近似值的 好坏. 好坏
（2.2）
17
按这个定义， 如取 x*= 3.14 作为 π的近似值， * x 就有3位有效数字， 取 x* = 3.1416≈ π ， x* 就有5位有效数字.
18
例1 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的 近似数： 187.9325, 0.03785551, 8.000033, 2.7182818.
数值分析
主讲: 陈星玎
北京工商大学 计算机与信息工程学院 应用数学系
1
玎(ding): 玉石碰撞发出的声音. 比如：玎当响(表示很有名 气). 毕业院校：中国科学院计算数学研究所 博士 专业：计算数学 Email: chenxingding@
《数值分析》 数值分析》
李庆扬 王能超 易大义 编 清华大学出版社
x
* 2 2
* (x2 ≠ 0).
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一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差， 其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计. 设 f (x)是一元函数， x的近似值为 x* ，以 f (x*)近 似 f (x)，其误差界记作 ε ( f (x*)) ， 利用泰勒展开
f (x) − f (x*) = f ′(x*)(x − x*) + ′ f ′ (ξ ) (x − x*)2 , 2 ξ介 x, x*之 ， 于 间
数值计算方法第一章 误差
1 10n1 2a1
所以 1 10n1 是 x* 的相对误差限。
2a1
若
r
1
2a1
1
10n1,
由式（1-4）
21
绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 L an L 10mr
a1
1
10m1
2
1 a1
1
10n1
1 10mn 2
由式(1-6)，x* 至少有n位有效数字。
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。
由微分学，当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量， 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
24
数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量（原始数据）
由以上各式还可得出
ex1 x2 ex1 ex2 ex1 ex2 (1-14)
er x1x2 er x1 er x2 er x1 er x2 (1-15)
er
x1 x2
er x1 er x2
er x1
er x2
(1-16)
29
数值计算中误差的传播
因此，和、差的误差限不超过各数的误差限之 和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误 差限之和。
定义： 若x的某一近似值 x* 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
x* 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x* 有q
位有效数字。
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绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
数值分析 (1)
e * − e = (e * − en ) + (en − e )
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2. 误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 度量间的关系
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zhwang@
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1）绝对误差
绝对误差定义：
zhwang@
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相对误差（续2）
* * e ε ( x r 相对误差限： 的上界，记为 r ) 。 相对误差限：数值
相对误差限也可以通过
ε r* = ε * / x*
来计算。
Remark: 当要求计算相对误差，是指估计一个尽 可能小的相对误差限。 相对误差与相对误差限没有量纲。
分类方法1：若算法包含 有一个进程则称其为串行算法， 否则为并行算法。 分类方法2：从算法执行所 花费的时间角度来讲，若算术运 算占绝大多数时间则称其为数值 型算法，否则为非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算 法。（其它类型算法参阅数据结 构、并行算法等课程）
2009-09-26
zhwang@
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绝对误差（续）
•绝对误差限：
* * 如果存在正数 ε = ε(x ) ，使得有绝对误差
e * = x * − x ≤ ε* ，
则称 ε* 为 x*近似 x 的一个绝对误差限 绝对误差限。 绝对误差限
x ∈ [x * − ε * , x * + ε * ] ， x = x * ± ε * 。
Remark: 通常计算中所要求的误差，是指 估计一个尽可能小的绝对误差限。 绝对误差与绝对误差限有量纲。
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算法应用状态
数值分析研究对象以及解决问题方法的 广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、 Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函 数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选 择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌 握数值方法的思想和内容是至关重要的。
丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案(源程序很详细,且运行无误)
丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案（源程序都是自己写的，很详细，且保证运行无误）我做的五章数值实验作业题目如下：第二章：1、2、3、4题第三章：1、2题第四章：1、2题第六章：2、3题第八章：1、2题第二章1：(1)对A进行列主元素三角分解：function [l u]=myfun(A)n=size(A);for k=1:nfor i=k:nsum=0;m=k;for j=1:(k-1)sum=sum+A(i,j)*A(j,k);ends(i)=A(i,k)-sum;if abs(s(m))<abs(s(i))m=i;endendfor j=1:nc=A(m,j);A(m,j)=A(k,j);A(k,j)=c;endfor j=k:nsum=0;for r=1:(k-1)sum=sum+A(k,r)*A(r,j);endu(k,j)=A(k,j)-sum;A(k,j)=u(k,j);endfor i=1:nl(i,i)=1;endfor i=(k+1):nsum=0;for r=1:(k-1)sum=sum+A(i,r)*u(r,k);endl(i,k)=(A(i,k)-sum)/u(k,k);A(i,k)=l(i,k);endend求A的列主元素三角分解：>>A=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;1 3 6 10 15;1 4 10 20 35;1 5 15 35 70]; >>[L,U]=myfun(A)结果：L =1.0000 0 0 0 01.0000 1.0000 0 0 01.0000 0.5000 1.0000 0 01.0000 0.7500 0.7500 1.0000 01.0000 0.2500 0.7500 -1.0000 1.0000U =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000 4.0000 14.0000 34.0000 69.00000 0 -2.0000 -8.0000 -20.50000 0 0 -0.5000 -2.37500 0 0 0 -0.2500(2)求矩阵的逆矩阵A-1:inv(A)结果为：ans =5 -10 10 -5 1-10 30 -35 19 -410 -35 46 -27 6-5 19 -27 17 -41 -4 6 -4 1（3）检验结果：E=diag([1 1 1 1 1])A\Eans =5 -10 10 -5 1-10 30 -35 19 -410 -35 46 -27 6-5 19 -27 17 -41 -4 6 -4 1 2:程序：function d=myfun(a,b,c,d,n)for i=2:nl(i)=a(i)/b(i-1);a(i)=l(i);u(i)=b(i)-c(i-1)*a(i);b(i)=u(i);y(i)=d(i)-a(i)*d(i-1);d(i)=y(i);endx(n)=d(n)/b(n);d(n)=x(n);for i=(n-1):-1:1x(i)=(d(i)-c(i)*d(i+1))/b(i);d(i)=x(i);end求各段电流量程序：for i=2:8endb=[2 5 5 5 5 5 5 5];c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2];V=220;R=27;d=[V/R 0 0 0 0 0 0 0];n=8;I=myfun(a,b,c,d,n)运行程序得：I =8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.04773：（1）求矩阵A和向量b的matlab程序：function [A b]=myfun(n)for i=1:nX(i)=1+0.1*i;endfor i=1:nfor j=1:nA(i,j)=X(i)^(j-1);endfor i=1:nb(i)=sum(A(i,:));end求n=5时A1，b1及A1的2-条件数程序运行结果如下：n=5；[A1,b1]=myfun(n)A1 =1.0000 1.1000 1.2100 1.3310 1.46411.0000 1.2000 1.4400 1.72802.07361.0000 1.3000 1.69002.1970 2.85611.0000 1.4000 1.96002.74403.84161.0000 1.50002.25003.3750 5.0625 b1 =6.10517.4416 9.0431 10.9456 13.1875cond2=cond(A1,2)cond2 =5.3615e+005求n=10时A2，b2及A2的2-条件数程序运行结果如下：n=10;[A2,b2]=myfun(n)A2 =1.0000 1.1000 1.2100 1.3310 1.4641 1.6105 1.7716 1.94872.1436 2.35791.0000 1.2000 1.4400 1.72802.0736 2.4883 2.98603.58324.29985.15981.0000 1.3000 1.69002.1970 2.85613.71294.8268 6.2749 8.1573 10.60451.0000 1.4000 1.96002.74403.8416 5.3782 7.5295 10.5414 14.7579 20.66101.0000 1.50002.25003.3750 5.0625 7.5938 11.3906 17.0859 25.6289 38.44341.0000 1.60002.5600 4.0960 6.5536 10.4858 16.7772 26.8435 42.9497 68.71951.0000 1.70002.8900 4.9130 8.3521 14.1986 24.1376 41.0339 69.7576 118.58791.0000 1.8000 3.2400 5.8320 10.4976 18.8957 34.0122 61.2220 110.1996 198.35931.0000 1.9000 3.6100 6.8590 13.0321 24.7610 47.0459 89.3872 169.8356 322.68771.00002.0000 4.0000 8.0000 16.0000 32.0000 64.0000 128.0000 256.0000 512.0000b2 =1.0e+003 *0.0159 0.0260 0.0426 0.0698 0.1133 0.1816 0.2866 0.4451 0.6801 1.0230cond2=cond(A2,2)cond2 =8.6823e+011求n=20时A3，b3及A3的2-条件数程序运行结果如下：n=20;[A3,b3]=myfun(n)A3 =1.0e+009 *Columns 1 through 100.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000Columns 11 through 200.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0006 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0007 0.0015 0.0032 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0006 0.0014 0.0032 0.0075 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0005 0.0012 0.0029 0.0070 0.0167 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0004 0.0009 0.0023 0.0058 0.0146 0.0364 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0006 0.0017 0.0044 0.0113 0.0295 0.0766 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0011 0.0030 0.0080 0.0215 0.0581 0.1570 0.0000 0.0001 0.0002 0.0007 0.0018 0.0051 0.0143 0.0400 0.1119 0.31330.0000 0.0001 0.0004 0.0010 0.0030 0.0086 0.0250 0.0726 0.2105 0.61030.0001 0.0002 0.0005 0.0016 0.0048 0.0143 0.0430 0.1291 0.3874 1.1623b3 =1.0e+009 *Columns 1 through 100.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0010Columns 11 through 200.0025 0.0059 0.0132 0.0287 0.0606 0.1246 0.2494 0.4874 0.9316 1.7434cond2=cond(A3,2)cond2 =3.2395e+022由上述运行结果可知：它们是病态的，而且随着n的增大，矩阵的病态变得严重。
北理工考博辅导班：2019北京理工大学动力工程及工程热物理考博难度解析及经验分享
北理工考博辅导班：2019北京理工大学动力工程及工程热物理考博难度解析及经验分享根据教育部学位与研究生教育发展中心最新公布的第四轮学科评估结果可知，全国开设动力工程及工程热物理专业的大学参与了排名，其中排名第一的是清华大学，排名第二的是西安交通大学，排名第三的是上海交通大学。
作为北京理工大学实施国家“211工程”和“985工程”的重点学科，机械与车辆学院的动力工程及工程热物理一级学科在历次全国学科评估中均名列第一十。
下面是启道考博整理的关于北京理工大学动力工程及工程热物理考博相关内容。
一、专业介绍动力工程及工程热物理专业多年来围绕行业发展、地方经济和西部建设开展相关科学研究和技术开发，在流体机械及工程、水电开发及小水电增容改造、清洁可再生能源开发等方面开展了持续、坚实的研究，取得了大批科研成果，在国内外学术界和行业上具有重要的影响，研究水平和科研实力整体居于国内先进，部分达到了国内领先水平。
本专业主要培养能源转换与利用和热力环境保护领域具有扎实的理论基础，较强的实践、适应和创新能力，较高的道德素质和文化素质的高级人才，以满足社会对该能源动力学科领域的科研、设计、教学、工程技术、经营管理等各方面的人才需求。
学生应具备宽广的自然科学、人文和社会科学知识，热学、力学、电学、机械、自动控制、系统工程等宽厚理论基础、热能动力工程专业知识和实践能力，掌握计算机应用与自动控制技术方面的知识。
北京理工大学机械与车辆学院的动力工程及工程热物理专业专业在博士招生方面，划分为5个研究方向：动力工程及工程热物理(080700)研究方向：01.工程热物理 02.动力机械及工程 03.流体机械及工程 04.能源环境工程05.新能源科学与工程此专业实行申请考核制。
二、选拔时间机械与车辆学院将在我院2019年度招生实行“申请审核-考核制”，普通招考的选拔时间为2019年3月份。
三、考核内容博士生招生根据学科专业培养要求的具体情况，审核和考核内容包括：（１）学生的思想政治品德；（２）基础知识和专业知识的掌握情况；（３）对原从事学科及所报考研究方向前沿的了解程度；（４）科研能力水平、科研成果、文章、论文情况等；（５）对专业课以外的其他知识技能的掌握情况；（６）综合分析表达能力；（７）外语听力、口语水平情况等。
2013数值计算_第1章_误差
4
数值代数
主要内容
近似求解线性方程组 (直接解法, 迭代解法)
矩阵特征值的计算
数值逼近：插值法，函数逼近
数值微分与数值积分
非线性方程求解 微分方程近似求解
常微分方程数值解法
偏微分方程数值解法
5
第一章 误差
§1 误差的来源
§2 绝对误差、相对误差和有效数字
17
有效数字的另一等价定义
数x*总可以写成如下形式 x* 0.a1a2 an 10m.
其中m是整数, ai是0到9中的一个数字, a1 0. x* 作为x的近似值, 具有n位有效数字当且仅当
x* x 1 10mn 2
由此可见, 近似值的有效数字越多, 其绝对误差越小.
算法2的计算公式为
I n1
1 (1 n
In),
类似地可得
n k,k 1, ,2,1
In
I
* n
( 1)k n
ln 2 1 1 1 1 1 2345
这里产生误差 (记作R5 )截断误差
R5
1 6
1 7
1 8
9
舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行 运算，在运算中像 2, e, 1 3 等都要按舍入 原则保留有限位，这时产生的误差称为舍入误 差。
在数值分析中，均假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，只讨论截断误差和 舍入误差对计算结果的影响.
32
例
计算积分 In
1 xne x1dx
0
对于算法1： In 1 nIn1, n 1,2,
固体氧化物燃料电池气密性检测装置的设计
ࡗ୳ഗ
֪ဣཥ੦ײႾ
图2 SOFC气密性检测装置结构简图
SOFC 单电池主要构成是氧化物陶瓷材料，本 身较脆，而且烧结过程中由于收缩等原因会导致 半电池的平整度不佳，因此在抽真空检测过程中 如何确保半电池完好无损是一个必须解决的问题。 为此采取两项措施：1）半电池片的下方垫泡沫镍； 2）采用 O 型圈实现密封和传递压力。半电池下方 垫泡沫镍，一方面使真空泵能够有效抽走腔体内 的空气，另一方面为电池片提供支撑，防止由于 压差的存在而导致电池片碎裂。基座上的 O 型圈 主要起密封和支撑的作用，而压块上的 O 型圈主 要起传递压力的作用。上下 O 型圈的内外径相同， 安装位置相对。压块由不锈钢材料制成，本身是
图 2 所示为该检测装置的结构简图，主要零 部 件 包 括 电 磁 阀、 真 空 泵、 连 接 管 路、 压 块 等。 其测试原理是：通过压块、O 型圈和半电池电解 质层形成一个相对密封的腔体，然后对该腔体进 行抽真空，停止抽真空，记录随时间的变化其压 力值的变化，然后将半电池换成重量相近、且表 面 粗 糙 度 类 似 的 不 锈 钢 钢 板， 进 行 同 样 的 实 验， 记录随时间的变化其压力值的变化情况，获得压 力变化曲线的特征值，如果半电池的特征值明显 大 于 钢 板 的 特 征 值， 则 可 断 定 电 解 质 层 有 裂 纹， 可以报废。
（1. 扬州大学 机械工程学院，扬州 225127；2. 嘉兴市特种设备检测院，嘉兴 314001；
3. 中国科学院 宁波材料技术与工程研究所，宁波 110016）
摘 要： 固体氧化物燃料电池的正常工作要求其电解质层具有足够的气密性。本文阐述了固体氧化燃
料电池气密性检测装置的测试原理，设计方法以及实验流程。该装置流体系统主要由真空泵、
数值分析chap1
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打印稿(不需要计算过程) 打印稿(不需要计算过程)，或电子文档 注明学院和专业 课间交给任课老师（结课之前） 课间交给任课老师（结课之前） 完全相同的实验作业没有实验作业成绩 答疑： 答疑：课间 周一下午2:00 4:00中心教学楼816 2:00— 00中心教学楼 周一下午2:00—4:00中心教学楼816 • 建议或问题：管理系统， 建议或问题：管理系统， 或发邮件xlma@ 或发邮件xlma@
例：2=1.41421356237310......
x* =1.414213做为 2的近似值，有几位有效数字？ 1 * * 解： e( x )|= | x − x |= 0.0000005623⋯< ×10−5 | 2
准确到小数点后第 5 位， 6位有效数字 有 1 * ε 例 若 = 2376490,且 = ×104，x*有几 有 数 ？ ： x 位 效 字 2 解： x*准 到104位 x*有3位 效 字 确 ， 有 数 ,
第一章
§1
误差
误差的来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 截断误差
b
b−a [ f (a ) + f (b)] = I1 I = ∫ f ( x)dx≈ a 2 (b − a )3 (2) R = I − I1 = − f ( ξ ), ξ ∈ (a , b) 12
1 定理 .1 : x* = ±0.a1a2 ......an ... ×10m (a1 ≠ 0)
1 x 有 位有效数字 εr ( x ) = n ⇒ ×10−n+1 2a1
* *
反之
1 εr ( x ) = n ×10−n+1 ⇒ x*至少有 位有效数字 2(a1 + 1)
北理工考博辅导班：2019北京理工大学航空宇航科学与技术考博难度解析及经验分享 (2)
北理工考博辅导班：2019北京理工大学航空宇航科学与技术考博难度解析及经验分享根据教育部学位与研究生教育发展中心最新公布的第四轮学科评估结果可知，全国开设航空宇航科学与技术专业的大学参与了排名，其中排名第一的是北京航天航空大学，排名第二的是西北工业大学，排名第三的是哈尔滨工业大学。
作为北京理工大学实施国家“211工程”和“985工程”的重点学科，机械与车辆学院的航空宇航科学与技术一级学科在历次全国学科评估中均名列第六。
下面是启道考博整理的关于北京理工大学航空宇航科学与技术考博相关内容。
一、专业介绍航空宇航科学与技术是20世纪初期和中期先后创建并迅速发展的科学与技术领域，它是以数学、物理学以及现代技术科学为基础，以飞行器设计、推进理论与工程、制造工程、人机与环境工程等专业为主干的高度综合的学科体系。
航空宇航科学与技术综合应用许多其他学科和工程技术的最新成果。
数学、力学、化学、动力工程与工程热物理、材料科学与工程、机械工程、电子科学与技术、控制科学与工程、计算机科学与技术、医学以及低温与真空技术等，都对航空航天事业的发展发挥了重要作用。
这些学科和技术在航空航天应用中交叉渗透产生了一个新的学科群，使航空宇航形成了一个完整的学科体系，而航空航天的发展不断提出的新问题和新要求，又促进了相关学科和技术的进步和发展。
北京理工大学机械与车辆学院的航空宇航科学与技术专业在博士招生方面，划分为5个研究方向：航空宇航科学与技术(082500)研究方向：05.航空宇航制造工程此专业实行申请考核制。
二、选拔时间机械与车辆学院将在我院2019年度招生实行“申请审核-考核制”，普通招考的选拔时间为2019年3月份。
三、考核内容博士生招生根据学科专业培养要求的具体情况，审核和考核内容包括：（１）学生的思想政治品德；（２）基础知识和专业知识的掌握情况；（３）对原从事学科及所报考研究方向前沿的了解程度；（４）科研能力水平、科研成果、文章、论文情况等；（５）对专业课以外的其他知识技能的掌握情况；（６）综合分析表达能力；（７）外语听力、口语水平情况等。
子弹飞行过程数值模拟
子弹飞行过程数值模拟摘要军事武器的研究是提高武器先进性的必要步骤，当今子弹的发展日新月异，种类也是层出不穷，对子弹的研究及优化也成为了以热门课题。
本文通过numeca 软件对子弹的飞行过程进行数值模拟，以雷诺平均的N—S方程为理论基础。
采用结构网格并且局部加密来提高计算精度，网格数目32794。
文章分析了不同来流马赫数下升力阻力系数随攻角的变化特性。
得到各种具体情况下的流场数值模拟结果，并分析其原因和子弹阻力优化。
研究对象及目的本文的研究目的是通过流场的具体分析，以及升力系数，阻力系数的变化趋势分析子弹飞行过程中所受外力情况，从而优化子弹飞行受力情况。
本文研究对象：一子弹位于来流流场中，流场分为两种：来流马赫数Ma=0.6，攻角α=0/1/2/5/10度时的流场数值模拟；来流马赫数Ma=2.0，攻角α=0/1/2/5/10度时的流场数值模拟。
具体如下图所示本文采用numeca 软件做流场的数值模拟NUMECA 公司的软件－FINE 系列软件，虽然市场化的较晚，但她是目前国际上最优秀的软件，她采用了近几年研发出的最先进技术，因此，无论在计算速度、计算精度、所需计算机内存、使用方便程度、界面友好程度等方面都优于其他软件。
其计算速度、精度和计算机内存需要量均比其它软件优越，其模拟多级叶轮机械（压气机或透平）能力和精度明显优于其它软件。
其优越程度使用过其它软件的用户非常惊讶。
现在其它软件公司（在网格生成和核心求解器中）也逐渐开始采用类似于NUMECA 的方法。
她所研发并采用的其它技术和方法现也已被其它软件开发者逐步采用，因此，NUMECA 公司领导着世界CFD 软件发展的新潮流。
IGG 交互式结构化网格生成器。
IGGTM 的多块网格技术以及自动吸附、投影功能使得对于任意复杂区域的网格划分非常容易。
采用光顺技术以及蝶型网格技术保证高质量的计算网格，并可通过先进的网格质量检测工具进行检测。
FINE 板块可以实现具体的计算，包含设定具体的流动模型及边界条件等。
数值计算方法丁丽娟课后习题答案
数值计算方法丁丽娟课后习题答案【篇一：北京理工大学数值计算方法大作业数值实验1】）书p14/4分别将区间[?10,10]分为100,200,400等份，利用mesh或surf命令画出二元函数的三维图形。
z=|??|+ ??+?? +??++??【matlab求解】[x,y]=meshgrid(-10:0.1:10);a=exp(-abs(x));b=cos(x+y);c=1./(x.^2+y.^2+1);z=a+b+c;mesh(x,y,z);[x,y]=meshgrid(-10:0.05:10);a=exp(-abs(x));b=cos(x+y);c=1./(x.^2+y.^2+1);z=a+b+c;mesh(x,y,z);[x,y]=meshgrid(-10:0.025:10); a=exp(-abs(x));b=cos(x+y);c=1./(x.^2+y.^2+1);z=a+b+c;mesh(x,y,z);（二）书p7/1.3.2数值计算的稳定性（i）取= ??c语言程序—不稳定解 +=ln1.2，按公式=?? （n=1,2，…） #includestdio.h#includeconio.h#includemath.hvoid main(){float m=log(6.0)-log(5.0),n;int i;i=1;printf(y[0]=%-20f,m); while(i20){n=1/i-5*m;printf(y[%d]=%-20f,i,n);m=n;i++;if (i%3==0) printf(\n); }getch();}（ii） c语言程序—稳定解≈??[ ??+?? +?? ??+??按公式 =??(??)#includestdio.h#includeconio.h#includemath.hvoid main(){float m=(1/105.0+1/126.0)/2,n; k=n,n-1,n-2，…）（【篇二：北京理工大学数值计算方法大作业数值实验4】 p260/1考纽螺线的形状像钟表的发条，也称回旋曲线，它在直角坐标系中的参数方程为= ?????????????????? ?? ??????????= ?????????????? ??曲线关于原点对称，取a=1，参数s的变化范围[-5,5]，容许误差限分别是，,和。
北理工考博辅导班：2019北京理工大学机械工程考博难度解析及经验分享
北理工考博辅导班：2019北京理工大学机械工程考博难度解析及经验分享根据教育部学位与研究生教育发展中心最新公布的第四轮学科评估结果可知，全国开设机械工程专业的大学参与了排名，其中排名第一的是北京理工大学大学，排名第二的是北京航空航天大学，排名第三的是清华大学。
作为北京理工大学实施国家“211工程”和“985工程”的重点学科，机械与车辆学院的机械工程一级学科在历次全国学科评估中均名列第一。
下面是启道考博整理的关于北京理工大学机械工程考博相关内容。
一、专业介绍机械工程专业是以有关的自然科学和技术科学为理论基础，结合生产实践中的技术经验，研究和解决在开发、设计、制造、安装、运用和修理各种机械中的全部理论和实际问题的应用学科。
机械是现代社会进行生产和服务的五大要素（人、资金、能源、材料和机械）之一，并参与能量和材料的生产。
北京理工大学机械与车辆学院的机械工程专业在博士招生方面，划分为5个研究方向：机械工程(080200)研究方向：01.车辆理论与无人车技术02.智能网联汽车与电驱动03.智能制造工程05.机电系统与传感器06.光机电微纳制造科学与工程此专业实行申请考核制。
二、选拔时间机械与车辆学院将在我院2019年度招生实行“申请审核-考核制”，普通招考的选拔时间为2019年3月份。
三、考核内容博士生招生根据学科专业培养要求的具体情况，审核和考核内容包括：（１）学生的思想政治品德；（２）基础知识和专业知识的掌握情况；（３）对原从事学科及所报考研究方向前沿的了解程度；（４）科研能力水平、科研成果、文章、论文情况等；（５）对专业课以外的其他知识技能的掌握情况；（６）综合分析表达能力；（７）外语听力、口语水平情况等。
1. 统一组织考试考生考试内容（１）外语：参加北京理工大学统一命题考试。
俄语、日语、德语考生请务必联系博导，由博导命题并组织考试。
参加除英语外的其他语种考试的考生请务必告之学院，否则视为参加学校组织的统一英语考试。
数值分析第一章误差2015
1 10n1 2a1
19
相对误差限 有效数字
已知
x*
的相对误差限可写为
εr
1 2(a1
1)
10n1
则
|
x
x* |
εr
|
x*
|
10 n1 2(a1 1)
0.a1a2... 10m
10n1 2(a1 1)
(a1
1) 10m1
0.5 10mn
可见 x* 至少有 n 位有效数字.
确到小数点后第n位. 并把从第一个非零数字到这 一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535897932......; * 3.1415 问： *有几位有效数字？
解： |π * π| 0.5 103
* 有4位有效数字，精确到小数点后第3位
16
有效数字的另一等价定义
数x*总可以写成如下形式 x* 0.a1a2 an 10m.
故取 n=6, 即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
18
相对误差限与有效数字之间的关系.
有效数字 相对误差限
已知 x* =0.a1a2…an×10m有 n 位有效数字, 则其相 对误差限为
εr
ε x*
0.5 10mn 0.a1a2 ... an 10m
10n 2 0.a1...
数值分析
林甲富
linjiafu@
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教材
丁丽娟, 程杞元,《数值计算方法》, 高等教育 出版社, 2011年.
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第一章 数值计算中的误差
§1.1 数值计算的内容与特点
§1.2 误差的基本概念
§1.3 数值计算中误差的传播
§1.4 数值计算中应注意的问题
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
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例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
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提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
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❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
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➢有效数字 ( significant digits)
高中数学数值分析在科学研究中的应用
高中数学数值分析在科学研究中的应用在当今科学研究的广袤领域中，数学作为一门基础且至关重要的学科，发挥着无可替代的作用。
其中，高中数学中的数值分析部分虽然看似基础，却为科学研究提供了坚实的工具和方法。
数值分析，简单来说，就是研究如何在计算机上有效地求解数学问题的数值近似解。
在科学研究中，许多问题无法通过精确的解析方法得到解答，或者即使能得到解析解，其计算过程也异常复杂。
这时，数值分析就派上了大用场。
让我们先从物理学的领域来看。
比如在研究天体力学时，计算行星的轨道是一个关键问题。
由于行星之间的相互作用非常复杂，很难通过纯理论的公式得出精确的轨道方程。
但是，通过数值分析中的数值积分方法，我们可以将行星的运动方程在一定的时间间隔内进行离散化，然后逐步计算出每个时刻行星的位置和速度。
这样就能够近似地模拟出行星的轨道。
再比如在热学中，研究物体的热传导过程。
热传导方程通常是一个偏微分方程，要得到其精确解是非常困难的。
然而，利用数值分析中的有限差分法或有限元法，可以将物体划分成许多小的单元，然后对每个单元的温度变化进行计算，最终得到整个物体温度分布的近似解。
这对于设计高效的热交换器、研究电子设备的散热等实际问题具有重要的指导意义。
化学领域也不例外。
在化学反应动力学的研究中，常常需要求解复杂的反应速率方程。
这些方程可能涉及多个变量和非线性的关系。
通过数值分析的方法，可以对这些方程进行数值求解，预测不同条件下反应物和生成物浓度随时间的变化，从而帮助化学家优化反应条件，提高反应效率。
生物学中同样能看到数值分析的身影。
在生态系统的研究中，为了模拟种群的增长和相互作用，需要建立数学模型。
这些模型往往包含多个参数和非线性的关系。
通过数值分析，可以对这些模型进行求解和分析，预测生态系统的变化趋势，为保护生态环境和制定相关政策提供科学依据。
在工程领域，数值分析的应用更是广泛。
例如在结构力学中，设计桥梁、高楼等大型结构时，需要考虑结构在各种载荷下的变形和应力分布。
复域中一类插补多项式的逼近阶
复域中一类插补多项式的逼近阶
涂天亮
【期刊名称】《华北水利水电学院学报》
【年(卷),期】1994(000)003
【总页数】7页(P16-22)
【作者】涂天亮
【作者单位】华北水利水电学院基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O174.4
【相关文献】
1.复域中Hermite—Fejer插值多项式的一致… [J], 陈宝娟;贾文新
2.基于差分插补原理的平面三次多项式曲线插补 [J], 乔磊;王宏甲;杨召彬;赵庆志;张林华
3.一类超越亚纯函数的q-差分多项式的复振荡 [J], 金瑾
4.一类Orlicz空间中复系数多项式的倒数逼近 [J], 王晓丽;吴嘎日迪
5.一类复q-平移差分-微分多项式的值分布 [J], 郑秀敏;占美龙
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数值分析高级课件_1误差剖析
x* O( r2 ) x
是 r 的高阶无穷小，可忽略不计。
e x x er * * x x
*
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• 有效数字 1 n * 10 定义：如果近似值 x 的误差限是 (某一位 2
数的半个单位)， 则称 x 准确到小数点后n位，并从第一 个非零的数字到这一位的所有数字均为有效数字。 例：π ＝3.1415926535, 3.1416有五位有效数字,误差限为0.00005。
计算结果有四位有效数字,如果 I7 有误差 e7 , 其传播 I 0 到所引起的误差仅为
1 1 e0 e7 e （练习） 7 7! 5040
故算法2是稳定的。
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§4数值计算中应注意的几个原则
1、注意避免两个相近数的相减 两个相近的数相减，有效数字会大大损失。 因两数之差x-y的相对误差为
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设计算法所要考虑的问题: 1.计算速度 例如,求解一个20阶线性方程组，用消 元法需3000次乘法运算；而用克莱姆法则 20 要进行 9.7 10 次运算，如用每秒1亿次 乘法运算的计算机要30万年。 2.存储量 大型问题有必要考虑。 3.数值稳定性 在大量计算中，误差不可避免，能否 控制误差与算法有关。
教材：现代数值计算 考试方式：课堂闭卷 作业： 20%，上机： 10% 卷面： 70%，自带计算器
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其他参考书： 1. 李庆扬等，《数值分析》， 华中理工大学出版社， 1994 2. 丁丽娟等，《数值计算方法》， 北京理工大学， 1998 3. David Kincaid， Ward Cheney，王国荣等译 《数值分析》第三版 4. 施妙根等，《科学计算基础》， 清华大学出版社， 1999 5. 关治、陆金甫，《数值分析基础》， 高等教育出版社， 1998