2018届苏教版 立体几何 单元测试

专题09 立体几何一．基础题组1.【2005天津，理4】设α、β、为平面，为m 、、直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥ C 、,,m αγβγα⊥⊥⊥ D 、,,n n m αβα⊥⊥⊥ 【答案】D本题答案选D2.【2005天津，理12】若图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于__________。

【解析】将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小。

tan PDDBA DB∠==3.【2006天津，理6】设m 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ． ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,, 【答案】B【解析】设m 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面。

下列命题中正确的命题是n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//，选B.4.【2006天津，理13】如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60，则点C到平面1ABC 的距离为______________．【答案】345.【2007天津，理6】设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 ( )A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥B.若∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥【答案】D 【解析】对于A 当,a b 与α均成0︒时就不一定；对于B 只需找个αβ∥∥，且,a b γγ⊂⊂即可满足题设但,a b 不一定平行；对于C 可参考直三棱柱模型排除，故选D6.【2007天津，理12】一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积为__________. 【答案】14π 【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R ==2414S R ππ==7.【2008天津，理4】设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a 【答案】C【解析】A 、B 、D 直线,a b 可能平行，选C ．8.【2008天津，理12】一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为π34，则该正方体的表面积为 . 【答案】249.【2009天津，理12】如图是一个几何体的三视图.若它的体积是33,则a ＝_________.【答案】3【解析】由三视图可知几何体是一个三棱柱,底面三角形的一边长为2,其边上的高为a,依题3333221=⇒=∙∙∙=a a V 三棱柱. 10.【2010天津，理12】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________．【答案】10311.【2011天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体 的体积为__________3m .【答案】π+6【解析】该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体，ππ+=⨯⨯+⨯⨯=63131123V . 12.【2012天津，理10】一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m 3．【答案】18＋9π【解析】由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m,3 m,1 m 的长方体，底部为两个直径为3 m 的球． ∴该几何体的体积为：V ＝6×3×1＋2×343π()32＝18＋9π(m3)． 13.【2014天津，理10】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．俯视图侧视图正视图【答案】203p． 【解析】考点：1．立体几何三视图；2．几何体体积的计算．14.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________． 【答案】92π【解析】设正方体的边长为，则2618a a =⇒=，其外接球直径为23R ==，故这个球的体积34π3V R ==4279ππ382⨯=． 【考点】球的体积【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．15. 【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：//MN 平面ABCD ； (II)求二面角11D AC B --的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长【答案】(I)见解析；； (III)2-.ND(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n = 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以二面角11D AC B --. (III)依题意，可设111A E A B λ= ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+，又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos ,3NE n NE n NE n ⋅===⋅，整理得2430λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得2λ=-，所以线段1A E2-.【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.16. 【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ）， 则该四棱锥的体积为_______m 3.（第11题图）【答案】2 【解析】【考点】三视图、几何体的体积【名师点睛】①解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．②三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 二．能力题组1.【2005天津，理19】如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，侧面11B BCC 与底面ABC 所成的二面角为120，E 、F 分别是棱1CB 、1AA 的中点。

（Ⅰ）求1AA 与底面ABC 所成的角； （Ⅱ）证明E A ∥平面1B FC ；（Ⅲ）求经过1A 、A 、B 、C 四点的球的体积。

1【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）V =【解析】1因为11//A A B B ，且1//EG B B ，所以EG BC ⊥，于是为AGE ∠二面角A BC E --的平面角，即120AGE ∠=︒由于四边形1A AGE 为平行四边形，得160A AG ∠=︒ 所以，1A A 与底面ABC 所成的角度为60︒（II ） 证明：设EG 与1B G 的交点为P ，则点P 为EG 的中点，连结PF 。

在平行四边形1AGEA 中，因为F 是1A A 的中点，所以1//A E EP 而EP ⊂平面1B FC ，AE ⊄平面1B FC ，所以1//A E 平面1B FC （III ）解：连接1A C 。

在△1A AC 和△1A AB 中，1111AC ABA AC A AB A A A A =⎫⎪∠=∠⇒⎬⎪=⎭△1A AC ≅△111A AB A C A B ⇒=又因为1A H ⊥平面ABC ，所以H 是△ABC 的外心 设球心为O ，则O 必在1A H 上，且1OF A A ⊥在Rt△1A FO中，△11112cos cos30aA F A O AA H ===∠︒球的体积△334433V R ππ⎫===⎪⎪⎭2.【2006天津，理19】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//12EF BC =． （1）证明FO //平面CDE ； （2）设BC =，证明EO ⊥平面CDF ．【答案】（I ）详见解析，（II ）详见解析.（II ）证明：连接FM ．由（I ）和已知条件，在等边△CDE 中，CM=DM ，EM⊥CD 且因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO⊥FM． ∵CD⊥OM，CD⊥EM，∴CD⊥平面EOM ，从而CD⊥EO． 而FM∩CD=M， 所以EO⊥平面CDF ．3.【2007天津，理19】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,,60,ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒,PA AB BC ==E 是PC 的中点.(I)证明：CD AE ⊥； (II)证明：PD ⊥平面ABE ；(III)求二面角A PD C --的大小.【答案】(I)证明(略)(II)证明证明(略)(III) sin acr 或 【解析】(I)证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面,ABCD CD ⊂平面,ABCD 故PA CD ⊥. ,,AC CD PA AC A CD ⊥=∴⊥ 平面PAC .而AE ⊂平面,PAC AE PC ∴⊥.(III)解法一：过点A 作,AM PD ⊥垂足为,M 连结EM .由(II)知，AE ⊥平面,PCD AM 在平面PCD 内的射影是,EM 则EM PD ⊥.解法二：由题设PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面,PAD 则平面PAD ⊥平面,ACD 交线为.AD 过点C 作,CF AD ⊥垂足为,F 故CF ⊥平面.PAD 过点F 作,FM PD ⊥垂足为,M 连结,CM 故.CM PD ⊥因此CMF ∠是二面角A PD C --的平面角.由已知，可得30CAD ∠=︒.设,AC a =可得1,,,,.2PA a AD PD CF a FD =====FMD ∆ ∽,.FM FDPAD PA PD∆∴=于是，..FD PA FM PD == 在Rt CMF ∆中，tan CF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是arctan4.【2008天津，理19】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形. 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB . （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小.【答案】（I ）详见解析，（II ）27arctan，（Ⅲ）439arctan ．所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan. （Ⅲ）解：过点P 做AB PH ⊥于H ，过点H 做BD HE ⊥于E ，连结PE 因为⊥AD 平面PAB ，⊂PH 平面PAB ，所以PH AD ⊥.又A AB AD = ， 因而⊥PH 平面ABCD ，故HE 为PE 再平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知，PE BD ⊥，从而PEH ∠是二面角A BD P --的平面角。