3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
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3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课时目标 1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.
1.空间向量基本定理
(1)设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量,且有公共起点O ,那么,对于空间任一向量p ,存在一个______________,使得____________,我们称______,______,______为向量p 在i 、j 、k 上的分向量.
(2)空间向量基本定理:如果三个向量a ,b ,c ________,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得________________.
(3)如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是___________.这个集合可看作是由向量a ,b ,c 生成的,我们把{a ,b ,c }叫做空间的一个________,a ,b ,c 都叫做__________.空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底.
2.空间向量的坐标表示
若e 1、e 2、e 3是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量,我们称它们为____________________,以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点,分别以e 1、e 2、e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ,那么,对于空间任意一个向量p ,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p =x e 1+y e 2+z e 3,把x ,y ,z 称作向量p 在单位正交基底e 1,e 2,e 3下的坐标,记作____________.
一、选择题
1.在以下3个命题中,真命题的个数是( )
①三个非零向量a ,b ,c 不能构成空间的一个基底,则a ,b ,c 共面;
②若两个非零向量a ,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a ,b 共线; ③若a ,b 是两个不共线向量,而c =λa +μb (λ,μ∈R 且λμ≠0),则{a ,b ,c }构成空间的一个基底.
A .0
B .1
C .2
D .3
2.已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点,且向量a =OA →+OB →+OC →,向量b =OA →+OB
→-OC →,则与a 、b 不能构成空间基底的是( )
A. OA → B .OB → C.OC → D.OA →或OB →
3.以下四个命题中,正确的是( ) A.若OP =12OA →+13
OB →,则P 、A 、B 三点共线 B .设向量{a ,b ,c }是空间一个基底,则{a +b ,b +c ,c +a }构成空间的另一个基底
C .|(a·b )c |=|a|·|b|·|c |
D. △ABC 是直角三角形的充要条件AB →·AC →=0 4.设O -ABC 是四面体,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG =3G ,G 1若OG
=xOA →+yOB →+zOC →,则(x ,y ,z )为( )
A .(14,14,14)
B .(34,34,34
) C .(13,13,13) D .(23,23,23
) 5.已知点A 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(8,6,4),其中a =i +j ,b =j +k ,c =k +i ,则
点A 在基底{i ,j ,k }下的坐标是( )
A .(12,14,10)
B .(10,12,14)
C .(14,12,10)
D .(4,3,2)
6.已知空间四边形OABC 中OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,点M 在OA 上,且OM =2MA ,
N 为BC 的中点,则MN →等于( )
A.12a -23b +12c B .-23a +12b +12
c C.12a +12b -12c D.23a +23b -12
c 二、填空题
7.设{i ,j ,k }是空间向量的一个单位正交基底,则向量a =3i +2j -k ,b =-2i +4j +2k 的坐标分别是____________.
8.已知空间四边形ABCD 中,AB →=a -2c ,CD →=5a +6b -8c ,对角线AC 、BD 的中点
分别为E 、F ,则EF →=____________. 9.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点O 为AC 1与BD 1的交点,AO =xAB →+yBC →+
zCC 1→,则x +y +z =______.
三、解答题
10.四棱锥P -OABC 的底面为一矩形,PO 平面OABC ,设OA →=a ,OC →=b ,OP →=c ,E 、
F 分别是PC 和PB 的中点,用a ,b ,c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.
11.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M 、N 分别是AB 、PC 的中点,并且PA=AD,求MN 、DC →的坐标.
能力提升
12.甲、乙、丙三名工人搬运石头,分别作用于石头的力为F 1,F 2,F 3,若i 、j 、k 是空间中的三个不共面的基向量,F 1=i +2j +3k ,F 2=-2i +3j -k ,F 3=3i -4j +5k ,则这三名工人的合力F =x i +y j +z k ,求x 、y 、z .
13.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC .
1.空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量,空间的基底可以有无穷多个.一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组,一个基向量指一个基底的某一个向量. 2. OP =xOA →=xOA →+yOB →+zOC →,当且仅当x +y +z =1时,P 、A 、B 、C 四点共面.
3.对于基底{a ,b ,c }除了应知道a ,b ,c 不共面,还应明确:
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底,基底选定以后,空间的所有向量均可由基底惟一表示.