第十一讲 指数与指数幂的运算
关于指数及指数幂的运算经典课件课件课件课件
整数指数幂的运算性质：
(1)、am. an= am+n (2)、(am)n= amn
(a0,m,n∈Z ) (a0,n,m∈Z )
(3)、(ab)n=anbn (a0,b0,n∈Z )
下面讨论根式
n a m (a>0)
与幂的关系 先看几个实例
(14)a124(a3)4 a3.
(3)0的七次方根等于__0___ (6) -16的四次方根等于_不__存__在__
我的知识
定义1: 若 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 , 我来构建
其中 n 1, 且 n N * .
①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 n a 表示
②当n为偶数时,
若a>0,则a的n次方根有2个, 用na(a0)表示
(1)3(8)3
(2) (10)2
(3)4(3)4
(4) (a-b)2(ab).
(5)5 a10 (a 0)
(6) 4 a12
练习: 求下列各式的值:
(1) 3 - 8 ;
(2)(3() 2 - 3)2;
(2) ( - 2 )4 ;
(4)
4(3a-1)4(a
1). 3
知识点小结：
1、两个定义
定义1:
关于指数及指数 幂的运算经典课
件课件课件
问题: 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的
规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半.
根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量 P 与
死亡年数 t 之间的关系
t
P
1 2
5730
(*)
考古学家根据(*)式可以知道 生物死亡 t 年后, 体内的碳14含量P的值.
指数与指数幂的运算
在经济学中，指数函数和指数幂运算可以用于描 述商品价格和需求量之间的关系。
人口增长
在研究人口增长时，指数函数和指数幂运算可以 用于描述人口随时间的变化趋势。
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指数与指数幂的运算
$number {01} 汇报人：
2023-12-28
目录
• 指数幂的定义与性质 • 指数的性质与运算 • 指数幂的运算 • 复合指数幂的运算 • 指数与指数幂的应用
01
指数幂的定义与性质
定义
指数幂的定义
指数幂是一种数学运算方式，表示一 个数以另一个数为底数的幂次方。例 如，a^b表示a的b次方。
详细描述
在复合指数幂的运算中，需要遵循幂的乘法法则、除法法则、乘方和开方等基本 运算规则。例如，a^(m^n) = (a^m)^n，a^(mn) = (a^m)^n 等。
复合指数幂的简化
总结词
简化复合指数幂的过程主要是通过提 取公因子、合并同类项和化简表达式 等方式。
详细描述
在简化复合指数幂时，可以提取公因 子，将同类项合并，化简表达式，使 其更易于理解和计算。例如， a^(m+n) = a^m * a^n，a^(m-n) = a^m / a^n 等。
指数幂的性质
指数幂具有一些基本性质，如 a^(m+n)=a^m×a^n，a^(mn)=（ a^m）^n等。
性质
1 3
非零数的0次幂为1
对于任何非零数a，有a^0=1。
任何数的1次幂等于它本身
2
对于任何数a，有a^1=a。
负数的偶次幂为正，奇次幂为负
对于任何负数a，有a^(2n)=（a^2）^n＞0，a^(2n+1)=（a^2）^n＜0（n为自然数）。
指数运算 幂运算
指数运算幂运算
（原创版）
目录
1.指数运算和幂运算的定义
2.指数运算和幂运算的例子
3.指数运算和幂运算的性质
4.指数运算和幂运算的应用
正文
指数运算和幂运算是数学中的基本概念，广泛应用于各种数学领域。
1.指数运算和幂运算的定义
指数运算是指在数学中，将一个数 (称为底数) 连乘若干次，得到另一个数 (称为指数) 的运算。
例如，2 的 3 次方 (2^3) 等于 2 乘以 2 乘以 2，即 8。
幂运算则是将一个数的指数设置为另一个数，例如，2 的
3 次幂 (2^3) 等于 8。
2.指数运算和幂运算的例子
例如，假设我们有两个数字，分别是 2 和 3，我们可以使用指数运
算来计算它们的幂。
具体来说，2 的 3 次方等于 2 乘以 2 乘以 2，即8，而 3 的 2 次方等于 3 乘以 3，即 9。
3.指数运算和幂运算的性质
指数运算和幂运算有一些基本的性质，例如，对于任意的数字 a 和 b，有 a^0=1 和 b^0=1，即任何数字的 0 次方都等于 1。
另外，对于任意
的数字 a 和 b，有 a^b = (a^(b/2))^2，即一个数的 b 次方可以表示
为该数的平方的 b/2 次方。
4.指数运算和幂运算的应用
指数运算和幂运算在数学和物理学等领域有广泛的应用。
例如，在计算机科学中，指数运算常常用于表示数据的增长或减小，而在物理学中，指数运算则可以用于描述物体的加速度或减速度。
指数运算和幂运算是数学中的基本概念，具有广泛的应用。
指数与指数幂的运算PPT课件
数)是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性 质同样适用于无理数指数幂。
课堂小结
⒈随着指数范围的扩充，幂的运算性质可以 合并简化；
2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正 数；负数的奇次方根是一个负数. 正数的偶次方 根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次 方根没有意义. 0的任何次方根都是0.
那么，(1)567030,00(1)1507030,0(01)15070300的00意义是什么呢？ 22 2
(一).根式
新课教学
根式的概念
一般地，如果 xn a ，则x叫做a的n次方
根(n throot)，其中n>1,且n∈N*.
当n 是奇数时，正数a的n次方根用符号 n a 表示； 当n 是偶数时，正数a的n次方根用符号 n a 表示.
我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数 指数幂没有意义.
3. 有理指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概
念就从整数指数推广到有理数指数. 上述关于整数 指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用， 即对任意有理数r，s，均有下面的性质：
(1)aras ars (a>0,r,s∈Q)；
解：（ 1 ）2a （ 3b2） (6a2b3)(3a6b6)；
211 115
[2( 6)( 3 )a ]326b236
4ab0
4a
解： （2）（m14n83）8；
1
(m4
)8(n83
)8；
m2n－3
m2 n3
.
巩固练习：（教材P63 练习1﹑2﹑3）
(三)无理数指数幂
(*)
2
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡 t 年 后，体内炭14含量P的值。
高一数学人必修课件指数与指数幂的运算
在不考虑固定资产预计净残值的情况下，根据每年年初固定资产净值和
双倍的直线法折旧率计算固定资产折旧额的一种方法。这种方法前期折
旧额较大，后期较小。
04
指数函数及其性质
指数函数的图像与性质
指数函数的定义
形如$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的函数叫做指数函数。
指数函数的图像
指数函数的图像是一条从原点出 发，沿x轴正向或负向无限延伸 的曲线。当$a>1$时，图像上升 ；当$0<a<1$时，图像下降。
高一数学人必修课件 指数与指数幂的运算
汇报人：XX
20XX-01-21
目录
• 指数与指数幂的基本概念 • 指数与指数幂的运算法则 • 指数与指数幂在实际问题中的应用 • 指数函数及其性质 • 指数方程与不等式
01
指数与指数幂的基本概念
指数的定义及性质
指数是正整数时，表示相同因 数的连乘，如a^n = a × a × ... × a（n个a）。
注意运算时底数和指数的范围，以及 运算结果的合理性。
运算规则包括同底数幂相乘、幂的乘 方和积的乘方。
指数函数的定义及性质
指数函数的定义
y = a^x（a > 0且a ≠ 1）是指数函数。
指数函数的性质包括
函数图像过定点（1,1），当a > 1时，函数在R上是增函数；当0 < a < 1时， 函数在R上是减函数。
$A = P(1 + frac{r}{n})^{nt}$，其中$A$表示未来值，$P$表示本金，$r$表示年 利率，$n$表示每年计息次数，$t$表示时间（年）。通过该公式可以计算投资在 复利下的未来值。
连续复利
当计息次数趋于无穷大时，即$n to infty$，复利公式变为$A = Pe^{rt}$，其中 $e$是自然对数的底数。连续复利更适用于连续增长的情境。
初中数学知识归纳指数与幂的运算规律
初中数学知识归纳指数与幂的运算规律指数与幂的运算规律是初中数学中的重要内容，它在数学运算中有广泛的应用。
了解和掌握指数与幂的运算规律对于学生的数学学习和应用能力的提升非常重要。
本文将对指数与幂的运算规律进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、指数与幂的基本概念及定义在进行指数与幂的运算规律前，我们需要先了解指数与幂的基本概念及定义。
指数是表示幂运算中幂的数量的上标数字，如aⁿ中的a就是指数，a叫做底数。
幂是指底数的连乘，幂运算是指数个底数的连乘，用aⁿ表示，其中a为底数，a为指数。
例如2³=2×2×2=8。
二、指数乘法规律指数乘法规律是指指数相乘时的运算规律。
当底数相同、指数相加时，可以将它们合并为一个指数。
aⁿ × aᵐ = a^(a+a)例如2² × 2³ = 2^(2+3) = 2⁵ = 32三、指数除法规律指数除法规律是指指数相除时的运算规律。
当底数相同、指数相减时，可以将它们合并为一个指数。
aⁿ ÷ aᵐ = a^(a-a)例如3⁵ ÷ 3³ = 3^(5-3) = 3² = 9四、指数的乘方规律指数的乘方规律是指指数的指数运算规律。
当幂的指数为指数时，可以将它们相乘。
(aⁿ)ᵐ = a^(a×a)例如(2³)² = 2^(3×2) = 2⁶ = 64五、乘方的乘法规律乘方的乘法规律是指乘方时幂的指数相乘的运算规律。
当底数相同，指数相乘时，可以将乘方分解成两个指数相乘的形式。
(aⁿ) × (aᵐ) = a^(a+a)例如(4²) × (4³) = 4^(2+3) = 4⁵ = 1024六、乘方的除法规律乘方的除法规律是指乘方时幂的指数相除的运算规律。
当底数相同，指数相除时，可以将乘方分解成两个指数相除的形式。
(绝对经典)指数与指数幂的运算
2
3 a2 a 3 (a 0),
1
b b 2 (b 0),
5
4 c5 c 4 (c 0).
我们规定正数的正指数分数幂
的意义是:
m
a n n am (a 0, m, n N *,且n 1).
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对 于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
4. (a b)2 (a b).
4. (a b)2 (a b).
三、分数指数幂 探究:
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a4 )3 a3 a 4 (a 0).
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有
解：a3
a
a3
1
a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
a2
2
a3
2 2
a 3
8
a3;
3 )2 (a 3 )2 a 3.
四、无理指数幂
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到 了有理数，那么，能不能继续推广到实数范围呢？
a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可以用两个指数为 p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而 得到(这个近似结果的极限值就等于ap)，故ap是一个确定 的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂 也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.
五、强化练习
练习1:比较 5, 3 11, 6 123的大小.
一、知识回顾
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个 a的连乘积，即
指数与幂的基本概念与运算
指数与幂的基本概念与运算指数与幂是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，如代数、几何和物理等。
本文将介绍指数与幂的基本概念，并探讨它们的运算规则。
一、指数的概念指数是幂运算中的一个重要概念，表示一个数的重复乘法。
指数通常用小数字写在大数字的上方，如2²表示2的平方，2³表示2的立方。
其中，2称为底数，2²称为2的平方，2³称为2的立方。
在指数运算中，指数表示要将底数乘以自身的次数。
二、幂的概念幂是指数运算中的结果，表示一个数被自身乘以指数次后的值。
幂也可以表示为乘方或次方。
例如，2²=4，2³=8，4⁴=256。
这里，4的4次方等于256。
三、指数与幂的运算规则1. 同底数幂相乘：若两个幂的底数相同，则它们的指数相加。
例如，3² × 3³=3⁵。
2. 同底数幂相除：若两个幂的底数相同，则它们的指数相减。
例如，5⁴ ÷ 5²=5²。
3. 幂的乘法：若指数相同，则幂的结果为底数相乘后的指数。
例如，2³ × 4³=8³。
4. 幂的除法：若指数相同，则幂的结果为底数相除后的指数。
例如，6⁵ ÷ 2⁵=3⁵。
5. 幂的幂：若一个幂的底数为另一幂，则它们的指数相乘。
例如，(2³)²=2⁶。
6. 幂的倒数：一个幂的倒数等于底数的倒数的幂。
例如，(3²)⁻¹=1/3²。
四、指数与幂的应用指数与幂在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在科学计数法中，我们使用幂来表示非常大或非常小的数。
在物理学中，指数与幂可以表示速度、功率和能量等。
指数函数和对数函数是微积分中的基本函数。
此外，指数与幂也应用于金融领域，如复利计算和股票收益率的计算等。
总结：本文介绍了指数与幂的基本概念与运算规则。
指数表示重复乘法，幂表示数被自身乘以指数次后的值。
指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个 2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.求下列各式的值：（1【答案】 -33π-；0a b b a -⎧⎪⎨⎪-⎩ （a>b ） （a=b ） （a<b ）【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号. （13=-； （2=（3|3|3ππ=-=-；（4||0a b a b b a -⎧⎪=-=⎨⎪-⎩ （a>b ） （a=b ） （a<b ）【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2±，2=±. （2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（12；（34.【答案】（1）-2；（2）3；（3）4π-；（4）2(2)2(2)a a a a -≥⎧⎨-<⎩.例2.计算：（1； （2+.【答案】【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==2-|-|2|=+2-（2（2+11=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3)x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：（1）2a（2）3a（3（4【答案】52a；113a；34a；54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．（1）115222222;a a a a a+=⋅==（2）2211333333a a a a a+=⋅==；（31131322224()()a a a a=⋅==；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂==11222y xy x ⎛⎫⋅⎪⎝⎭=54y解法二：从外向里化为分数指数幂．12 =11222[)]y x =1112363223{[()]}y x y x y x =11123624123y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=54y【总结升华】此类问题应熟练应用*0,,,1)m na a m n N =>∈>且n ．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．举一反三：■高清课程：指数与指数运算 例1【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）52a a ⋅【答案】（1）1310102a ；（2）23x-．【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1（20)a >；（3）3b ；（4．【答案】7122；34a ；113b ；35x-【解析】（1177621222⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2313224()a a ====；（3）2113333b b b b =⋅=；（4=3591353511()xx x-===．例4.计算：(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(2)433333391624337+--++【答案】 3；0；2【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211=-=+---；(2)原式=033236373333=+--；(3)原式=-5+6+4-π-(3-π)=2；注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)63425.031)32(28)67()81(⨯+⨯+-⨯-；(2)33323323134)21(428aabbababaa⨯-÷++-. 【答案】 112；a．【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(18⨯+⨯+⨯--1123222324143=⨯++=+；(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaa⨯-⨯++-=ababaa=--=++331331313131)2()()8(.【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算例33312)26()03.1(2323)661()41(-⋅--+++--【答案】21+4【解析】原式344．例5.化简下列各式.(1)2132111136251546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)111222m mm m--+++；(3)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】1624y；1122m m-+；0.09【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)2132111136251546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭21111()(1)()3322665(4)5x y-------⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎝⎭11066 2424x y y ==(2)2112211 122 111122222m mm mm m m m m m-----⎛⎫+⎪++⎝⎭==+ ++(3)10.5233277 (0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭255=0.0933++-举一反三：【变式1】化简：.【答案】5766x y【解析】原式=1157113323233662222[()]()xy x y xy x y x y⋅=⋅⋅=.注意：当n(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩.【变式2】化简222222223333x y x yx y x y--------+--+-【答案】-【解析】应注意到223x x--与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式22223333333322223333()()()()x y x y xyxy--------+-=-+-22222222222233333333()()[()()]x xyy x x yy --------=-⋅+-++232()xy -=-=-【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：【答案】2x(x 1)2(x 1)≥-⎧⎨-<-⎩【解析】 (1)原式===26+===(2)22244(18+=+0===>=(3)33x 3x x 1-==-x 1(x 1)|x 1|x 1(x 1)+≥-⎧=+=⎨--<-⎩ 2x(x 1)2(x 1)≥-⎧=⎨-<-⎩. ■高清课程：指数与指数运算 例4 例6．已知32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值． 【答案】13【解析】 从已知条件中解出x 的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121=+-xx 的联系，进而整体代入求值．32121=+-x x ，∴129x x -++=，∴17x x -+= ∴22249x x -++=，∴2245x x -+=∴23222323-+-+--x x x x =11122()(1)3472x x x x --+-+-- =3(71)315145453⨯--==【总结升华】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求3322x x -+及22x x -+的值，然后整体代入．举一反三： 【变式1】求值： (1)已知11225x x-+=，求21x x+的值；(2)已知a>0， b>0， 且a b=b a， b=9a ，求a 的值. 【答案】 23【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题. (1)由11225x x-+=，两边同时平方得x+2+x -1=25，整理得：x+x -1=23，则有2123x x+=；(2)a>0， b>0， 又∵ a b=b a， ∴1119()()(9)a b a b b b a b a b a a =⇒=⇒= ∴81829993a a a =⇒=⇒=巩固练习 一、选择题 1.若13x <） A.31x -B.13x -C. 2(13)x -D. 非以上答案2.若a =b =a b +=（ ） A.1B.5C. -1D. 25π-3.计算132-⋅ ）A.32B.16C. 64D.1284.化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A.11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B.113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.13212-- D.1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭5.44等于（ ） A.16aB.8aC.4aD.2a6.若1,0a b ><，且b ba a -+=b b a a --的值等于（ ）A.6B.2±C.2-D.2二、填空题 7.计算(33= .8.2)b <<= .9.22133(2)(2)---⎛-+- ⎝= .10.若3,2a b <= . 三、解答题 11.计算：（1）11221233112534316-⎡⎤⎛⎫⎢⎥++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）12323410.027500.00164-⎡⎤⎛⎫+⨯⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.12.计算下列各式：（1）011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8---⎛⎫⎡⎤--+-++- ⎪⎣⎦⎝⎭；（2）1122111122222a b a b a b a ba b-+-⋅-+-。
高一数学《指数与指数幂的运算》课件
(4)ar ÷ as = ars (a > 0, r, s ∈Q).
湖南长郡卫星远程学校 制作06 2009年下学期
知识点3 知识点3：无理指数幂的概念 一般地，无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无 是无 理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的 理数 是一个确定的实数， 是一个确定的实数 运算性质同样适用于无理数指数幂的运算。 运算性质同样适用于无理数指数幂的运算。 其意义是用有理数指数幂的不足近似值与 过剩近似值无限的逼近以确定大小。 过剩近似值无限的逼近以确定大小。
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m n
1
知识点2 知识点2：分数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质对于分数指数 幂也同样使适用。 幂也同样使适用。
(1)a a = a
r s r s
r +s rs r
(a > 0, r, s ∈Q);
(2)(a ) = a (a > 0, r, s ∈Q); (3)(ab) = a b (a > 0, b > 0, r ∈Q);
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[书本例题] 书本例题]
[例2] 求值： 求值：
1 5 16 8 ； ； ) ;( ) . 25 ( 2 81
2 3 1 2 3 4
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[例3] 用分数指数幂的形式表示
下列各式(其中 下列各式 其中a>0)： 其中 ：
指数与指数幂的运算
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[基础知识] 基础知识]
知识点1 知识点1：分数指数幂的概念 (1)正数的正分数指数幂：a = n am 正数的正分数指数幂： 正数的正分数指数幂
高中语文知识点：指数与指数幂的运算
高中语文知识点：指数与指数幂的运算十大常犯语文差错分别是：最容易被写错的成语是：美轮美奂。
中国2021年上海世博会成功举办，“美轮美奂”也成为新闻媒体在中使用频率的形容词，但其中的“轮”往往被写成了“仑”或“伦”。
美轮美奂指建筑物高大美观，“轮”的意义是“高大”。
最常被写错的地名是：黄浦江。
“黄浦”和“黄埔”音同形近，人们往往把黄浦江错写成“黄埔江”。
经常被混淆的词是：截止／截至。
“截止”的意思是活动已经停止，一般用于某一时间之后；用于某一时间之前的理应是“截至”，如“截至昨日，已有上千人报名”。
体育报道中经常用错的词是：囊括。
2021年广州亚运会举办期间，“囊括”一词频频见诸新闻，例如“中国军团在2021年广州亚运会囊括金牌199枚，位居金牌榜首位。
”语言文字专家指出，“囊括”的意思是无一遗漏，只要不是将所有的金牌都收入囊中，就不能用“囊括”。
新闻报道中容易用错的词是：侧目。
如：“他的研究成果解决了十多亿人的吃饭问题，令世界为之侧目。
”这里的“侧目”应改为“瞩目”。
所谓“侧目”，是指斜目而视，形容愤恨或者畏惧的样子。
繁体字容易误认的是：晝。
“晝”是“昼”的繁体字，常被误认作“書”（书）或“畫”（画）。
2021年中央电视台元宵晚会便把古诗名句“花市灯如昼”误读为“花市灯如书”。
选入某教材的古文名篇《昼锦堂记》，也被误作《画锦堂记》。
书名或栏目名称最常见的差错是：“精粹”误为“精萃”。
不但电视台、报纸的时事、文摘栏目喜欢用“精萃”为名称，连很多书名也跟着犯错。
其实，“精”指经拣选的好米，“粹”指纯净而无杂质的米，两者并列，引申指提炼出的好东西。
而“萃”常用义为集聚，是动词，如“荟萃”“集萃”等，没有精华的意思。
最容易被误读的古诗名句是：“忽如一夜春风来，千树万树梨花开。
”人们普遍认为它描写的是冬天的景色，梨花开放透露出春天的消息，央视“青歌赛”上就曾出现这样的理解。
其实这两句诗出自唐朝边塞诗人岑参的《白雪歌送武判官归京》，它们是千古咏雪名句，写的是“胡天八月即飞雪”，并非实写梨花，也不是形容冬景。
指数与幂的运算与应用
指数与幂的运算与应用随着科学技术的不断发展，指数和幂成为了数学中重要的概念之一。
在现代社会中，我们几乎无时无刻不在接触和应用指数和幂的运算。
本文将探讨指数和幂的基本概念、运算法则以及在实际生活中的应用。
一、指数的定义及基本运算法则指数是数学中的一种表示形式，用来表示某个数的重复乘积。
一般情况下，指数是通过一个小的数字（称为底数）和一个大的数字（称为指数）的组合来表示的。
例如，数学中常见的指数表示形式为a^n，其中a是底数，n是指数。
指数运算有几个基本的法则，它们包括：1. 指数相乘法则：a^m * a^n = a^(m+n)。
这意味着当底数相同时，指数相加得到的结果就是它们的乘积。
2. 指数相除法则：a^m / a^n = a^(m-n)。
这意味着当底数相同时，指数相减得到的结果就是它们的商。
3. 指数取幂法则：(a^m)^n = a^(m*n)。
这意味着当一个数的指数再次使用指数时，可以对指数进行乘法运算。
二、幂的定义及基本运算法则幂是指数的一种特殊形式，用于表示底数自乘的运算。
一般情况下，幂是通过一个数自乘多次得到的。
例如，数学中常见的幂表示形式为a^n，其中a是底数，n是幂。
幂运算也有几个基本的法则，它们包括：1. 幂相乘法则：(a*b)^n = a^n * b^n。
这意味着当底数相乘时，对其进行幂运算等价于分别对每个底数进行幂运算，再将结果相乘。
2. 幂相除法则：(a/b)^n = a^n / b^n。
这意味着当底数相除时，对其进行幂运算等价于分别对每个底数进行幂运算，再将结果相除。
3. 幂的乘方法则：(a^n)^m = a^(n*m)。
这意味着当一个数的幂再次使用幂时，可以对幂进行乘法运算。
三、指数与幂在实际生活中的应用指数和幂在现实生活中有着广泛的应用，下面将介绍其中几个常见的应用场景。
1. 科学计数法：科学计数法是一种以10为底的指数表示方法，用于表示非常大或非常小的数。
例如，太阳到地球的距离约为1.496×10^8千米，这就是科学计数法的应用。
第十一讲 指数与指数幂的运算
第十一讲 指数与指数幂运算【目标要求】1.理解根式的概念.2.理解分数指数幂的含义，掌握有理数指数幂的运算性质.3.熟练进行根式和分数指数幂的互化.【知识解读】 1.n 次方根2.根式：式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.性质：.)(a a nn =当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==.0,,0,a a a a a a n n注意：当n 为大于1的奇数时，n a 对任意R a ∈都有意义，它表示a 在实数范围内唯一的一个n 次方根，,)(a a nn =a a nn =；当n 为大于1的偶数时，n a 只有当0≥a 时才有意义.当0<a 时无意义.)0(≥a a n 表示在实数范围内的一个n 次方根，另一个是a a a nn n =±-)(,；nna 对任意R a ∈都有意义，.a a nn=3.分数指数幂：(1)正数的正分数指数幂：).1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 且(2)正数的负分数指数幂：).1,,,0(1*>∈>=-n N n m a aanm nm 且(3)0的指数幂：0的正分数指数幂等于0,0的负分数幂没有意义. 注意：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm 且实现了根式与分数指数幂的相互转化，其规律为：根指数化为分数指数的分母，被开方数（式）的指数化为分数指数的分子. 4.有理数指数幂的运算性质：(1)).,,0(Q s r a aa a sr sr∈>=+ (2)).,,0()(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)).,0,0()(Q r b a b a ab rr r∈>>=式子s r ,还可以进一步推广到无理数集，直至实数集R 的范围内. 注意：(1)上述等式均在有意义的条件下才能成立，否则不一定成立；(2)有理数指数幂的运算性质是由正数指数幂的运算性质推广而来的，整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用；(3)在运算性质中，特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则有可能不成立.5.无理数指数幂：一般地，无理数指数是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 注意：(1)无理数指数幂通常用近似值逼近的方法转化为有理数指数幂，即用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值不断逼近无理数指数幂的准确值；(2)有了有理数指数幂与无理数指数幂，幂的运算就扩充到了实数范围内，而幂的运算性质对任何实数指数幂都是成立的.【典型例题】题型一 利用根式的性质化简根式 例1 求下列各式的值.(1)33)4(-；(2)42)9(-；(3)66)3(π-；(4)88)2(-x ；(5)()()44332121223-+-+-；(6)()()()33443345456-+-+-；(7)).33(961222<<-++-+-x x x x x题型二 化分数指数幂例2 将下列各式用分数指数幂的形式表示： (1)432981⨯；(2)35.132⨯；(3)).0(433>⋅a aa a题型三 分数指数幂及其运算性质 例3 求下列各式的值：(1)5.02120)01.0()412(2)532(-⨯+--； (2)48373)27102()1.0()972(03225.0+-++--π；(3)021231)52()972()71(027.0--+----； (4)2175.033403101.016])2[()27(064.0-++-+-----；(5)312120001.0)412(3)542(-⨯+---； (6).185.12363⨯⨯例4 化简下列各式： (1))0(432>⋅a aa a ；(2))0(313373329>⋅÷⋅--a a a a a ；(3)313315383327----⋅÷⋅÷a a a a a a；(4).)21(42833323323134a ab bab a b a a ⨯-÷++-例5 (1)已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且,0>>b a 求ba ba +-的值；(2)已知,32121=+-a a 求下列各式的值：①1-+a a ；②.22-+a a例6 已知,333rc qb pa ==且,1111=++cb a 求证：.)(31313131222r q p rc qb pa ++=++第十三讲 指数和指数幂运算 测试题1.化简()()33233--+x x 得()A.6B.x 2C.6或x 2-D.x 2-或6或22.=+--+-----03125.0)10()32(2.001.0( )A.15B.17C.35D.37 3.设,*N n ∈则)1]()1(1[812---n n的值( )A.一定是零B.一定是偶数C.是整数，但不一定是偶数D.不一定是偶数 4.43)23(--x 中x 的取值范围是( )A.),(+∞-∞B.),23()23,(+∞-∞C.)23,(-∞D.),23(+∞5.如果21222)54()(9----m m m 的值为0，那么=m ( )A.3±B.3C.-3D.96.化简)0,0()(3421413223>>⋅⋅b a abb a ab b a 的结果是( ) A.b a B.ab C.a b D.2b a7.已知22x x -+=1x >，则22x x --的值为()A.2或-2B.-2C.6D.28.计算( )A.78a B.158a C.74a D.178a第十三讲 指数和指数幂运算 回家作业________，()()=-++44332121 .2.已知,)12(,)12(11--+=-=n m 那么=++---11)1()1(n m .3.化简：(1)125111336622(3)()(2)a b a b a b -⋅⋅÷-⋅；(2)21212])()1)[(1(a a a -⋅---；(3))0)((4)32)(32(212123412341>-⋅--+-x x x x x x4.求下列各式的值： (1)232535.0)27102(32---++-；(3).)32()32(28)67(5.13263425.0031--⨯+⨯+-⨯-5.(1)已知a xx=+-22（常数），求x x -+88的值；(2)已知,9,12==+xy y x 且,y x <求21212121yx y x +-的值.6.已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值.。
指数与指数幂的运算47页PPT
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
拉
60ห้องสมุดไป่ตู้生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
指数与指数幂的运算(中学课件201908)
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2.1.1指数与指数幂的运算（2）
【教学目标】
1．有理指数幂．
2．无理指数幂．
3. 幂的运算．
【重点】分数指数幂的概念和有理指数幂的运算性质.
【难点】1.实数指数幂的形成过程；
2.利用有理指数幂的运算性质进行运算及运算时对底数范围的限制条件.
【学习探究】
【预习提纲】
1. 分数指数幂的概念
（1）正数的正分数指数幂的意义
212= ，312= ，232= ；n m a = )1,,.,0(>N ∈>*n n m a .
（2）正数的负分数指数幂的意义
12-= ，21
2-= ，34
2-= ；n m
a -= )1,,,0(>N ∈>*
n n m a . （3）0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 .
2. 有理数指数幂的运算性质：
①=∙s r a a Q).,0(∈>s r a ;②=s r a )( Q).,0(∈>s r a ；
③r b a )(∙= Q).,0(∈>s r a .
3. 根式的运算，先把根式化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.
【典型例题】
例1用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0>a ）： a a ∙3； 322a a ∙ 3a a .
例2计算下列各式（式中字母均为正数）：
（1）)3()6)(2(6
56131212132b a b a b a -÷-；
（2）322
a a a
∙)0(>a .
例3已知221
21
=+-a a ，求：
（1）1-+a a ； （2）22-+a a .
【课堂练习】
1. 如果n m b a ,,0,0>>都是有理数，下列各式错误的是（ ）.
（A ）mn n m a a =)（ （B ）n m n m a a a --=
（C ）n n n b a b a
-∙=)( （D ）n m n m a a a +=+
2.对任意实数a ，下列关系式不正确的是（ ）.
（A ）a a =2132)( （B ）313221)(a a = （C ）51
3153)(a a =--
（D ）515331)(a a =
3.求值：①32
27； ②21
16-； ③2)31(-； ④32
)1258
(-
4.用根式表示2
134()m n -， 其中,0m n >.
【课堂跟踪】
1. 设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）. ①n m n m
a a =；②10=a ；③n m n m
a a 1
=-
（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个
2. 计算)(8
4)21()2(21
221*-++N ∈n n n n 的结果为（ ）. （A ）461（B ）522+n （C ）6222+-n n （D ）72)2
1(-n 3.若0≠xy ，则xy y x 2422-=成立的条件可以是（ ）.
（A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x （C ）0,0≥<y x （D ）0,0<<y x
4.已知31=+-a a ,下列各式中正确的个数是（ ）.
①722=+-a a ；②1833=+-a a ；③521
21±=+-a a ；④521
=+a a a a .
（A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.=+-++--48
373)27102(1.0)971(03225.0π . 6.若410,310==y
x ，则y x -10= ，=+y x 10 . 7.用分数指数幂表示下列各式.
（1）)0(4
>a a
a ； （2）)0()(5≥++n m n m ； （3）3x x ；)0(≥x .
8.计算下列各式的值.
（1）
75.003116)8
7(064.0+---； （2）3263425.031)32()32(285.1--⨯+⨯+-.
9.化简：223410623+--.。