2014届高考数学一轮必备考情分析学案：第十五单元《矩阵与变换》
高考数学一轮复习 第十五章 第2讲 矩阵与变换配套限时规范训练 理 苏教版
第2讲 矩阵与变换分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)1．(2009·江苏卷)求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤32 21的逆矩阵．解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎡⎦⎤x z yw ，则⎣⎡⎦⎤32 21 ⎣⎡⎦⎤x z y w ＝⎣⎡⎦⎤10 01， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，z ＝2，w ＝－3.从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－12 2－3.2．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤20 01对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．解 设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)则有⎣⎡⎦⎤x ′0y ′0＝⎣⎡⎦⎤20 01 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2x 0y ′0＝y 0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又∵点P 在椭圆上，故4x 20＋y 20＝1，从而x ′20＋y ′20＝1. ∴曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.3．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1b a 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 0 2d ，且MN ＝⎣⎡⎦⎤2－2 00.(1)求实数a 、b 、c 、d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．解 (1)由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)， ∴可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)， 由⎣⎡⎦⎤1－1 －11 ⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤1－1 －11 ⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦⎤－22， 得点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)． 从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x .4．(2012·苏北四市调研一)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵． 解 由题意，知M ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤－22，即⎣⎡⎦⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎡⎦⎤－22， ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.∴M ＝⎣⎡⎦⎤01 －10.由M －1M ＝⎣⎡⎦⎤10 01，解得M －1＝⎣⎡⎦⎤0－1 10.5．(2013·南通调研)已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A .解 由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.6．(2012·扬州调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－311λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．分层训练B 级 创新能力提升1．(2013·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程． 解 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y )由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1.解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.故(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12－1 0. 3．(2011·福建卷)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1， 即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，∴x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.4．(2012·南通调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，求： (1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 所以2－2a ＝－4.所以a ＝3.(2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－x －3y ＝0，－2x ＋λ－y ＝0⇒x ＋y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－x －3y ＝0，－2x ＋λ－y ＝0⇒2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.5．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.因⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0. 6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. (1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.。
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第15章 选考部分 矩阵与变换教学案 苏教版选修4
第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
高考数学一轮复习 第15章 选考部分 矩阵与变换教学案 苏教版选修4
选修4—2 矩阵与变换考纲要求1．了解二阶矩阵的概念，了解矩阵与向量乘法的意义，了解几种常见的平面变换． 2．会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法，理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)．3．了解二阶方阵乘法的意义并理解其运算律，理解逆矩阵的意义及简单性质． 4．会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组，理解线性方程组的存在性、唯一性． 5．理解特征值与特征向量的定义．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)，并能用它来解决问题．1．二阶方阵左乘向量的运算法则是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝________，从几何上说，矩阵乘向量的作用是把一个向量变成另一个向量；如果把⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 视为点的坐标，那它就是把平面上的一个点变成另一个点．2．几种常见的矩阵变换：(1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1表示________．(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0分别表示关于________、________和________的反射变换．(3)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成点⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s 00 1可以用来表示____________．(4)把点A (x ，y )绕着坐标原点旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α.(5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换，沿y 轴的切变变换对应的矩阵是________；(6)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x ，0)，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1表示的是____上的投影变换．3．假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤u v s t ，则矩阵A 和矩阵B 的乘积AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤au ＋bs av ＋bt cu ＋ds cv ＋dt .4．在交换律、结合律、消去律中，矩阵运算满足____律，即______________；而通常不满足交换律和消去律．5．对平面上任意一个向量a ，依次实施两次变换f 和g ，使之最终对应于向量a ′，我们称之为变换f 和变换g 的________．记作a ′＝g [f (a )]，如果变换f 和g 分别对应矩阵A 和B ，则有a ′＝B (Aa )＝(BA )a ，我们称BA 是矩阵B 与矩阵A 的____．6．设以原点为中心，旋转角为θ的旋转变换f 对应于矩阵A ，则A ＝________，如果向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 在变换f 的作用下对应到向量a ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，那么应该对向量a ′实施一个变换f ′：以原点为中心，旋转角为－θ的旋转变换，方可使之对应到向量a .变换f ′相应的矩阵B ＝__________.7．如果对于线性变换f ，存在着一个线性变换f ′，使得__________________，则称变换f 可逆，并称f ′是变换f 的______．类比到矩阵，如果和变换f 和f ′相应的矩阵分别是二阶方阵A 、B ，有____________．我们称矩阵A 可逆，并称B 是A 的________，记作B ＝A －1.8．并不是每一个二阶方阵都是可逆的，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆的充要条件是它对应的行列式|A |满足__________________，且A －1＝____________.9．逆矩阵具有两个重要的性质：(1)________________________________；(2)____________．10．关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f (其中a ，b ，c ，d 均为常数)，写成矩阵形式可以表达成__________________；从线性变换的角度看，该方程组表示向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 通过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 对应的变换的作用后对应到向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f . 11．因为每一个二元一次方程组都可以用矩阵表示成⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f ，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，则方程组的解可以表示成______________________． 12．对于给定矩阵M ，如果存在一个非零向量a 和实数λ，使得__________，则称λ是矩阵M 的特征值，a 是矩阵M 的属于特征值λ的特征向量．13．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 有特征值λ的充要条件是__________________________．14．如果矩阵M 有特征值λ和属于特征值λ的特征向量a ，则可以得到以下两个重要的结论：(1)M t a ＝______；(2)M n a ＝______(其中n ∈N *)．1．若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．2．(2012江苏泰州第一学期期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX＝B 的二阶矩阵X .3．已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 4属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.1．如何求两个矩阵乘积的逆矩阵？提示：求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法，即先求乘积AB ，再求逆矩阵(AB )－1；也可利用性质(AB )－1＝B －1A －1求解，但要注意顺序，不能误以为其逆矩阵是A －1B －1.2．是不是所有的二阶矩阵都存在逆矩阵？矩阵的乘法满足什么运算律？提示：并不是所有的二阶矩阵都存在逆矩阵，有些二阶矩阵是不可逆的．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律与消去律．一、二阶矩阵与平面向量的乘法【例1】在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．方法提炼二阶矩阵A 与平面向量α的乘积仍然是一个平面向量，它的第一个分量为A 的第一行的元素与α的对应位置元素乘积的和，第二个分量为A 的第二行的元素与α的对应位置元素乘积的和．请做针对训练1二、线性变换的基本性质【例2】(2012江苏南京三模)已知曲线C ：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C ：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值．方法提炼二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或点)．请做针对训练2三、逆变换与逆矩阵【例3】已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 61 4.(1)求出矩阵A 的逆矩阵A －1；(2)A 决定的线性变换A 将哪一个点变换到点(3,1)? 方法提炼1．设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．此时，记A 的逆矩阵为A －1，则有A －1A ＝AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，可通过解线性方程组确定A －1中的各个值，从而求得A －1.2．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果ad －bc ≠0，则矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 存在逆矩阵．3．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－bad －bc －c ad －bca ad －bc. 请做针对训练3四、特征值与特征向量【例4】(2012江苏扬州第一学期期末)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 2 6的特征值和特征向量．方法提炼1．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 是一个二阶矩阵，则f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc称为A 的特征多项式．2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 请做针对训练4《矩阵与变换》以初中数学知识为基础，以二阶矩阵为研究对象，通过平面图形的变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性，题目难度适中．1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求向量α，使得A 2α＝β.2．如图，矩形OABC 的顶点O (0,0)，A (－2,0)，B (－2，－1)，C (0，－1)．将矩形OABC 绕坐标原点O 旋转180°得到矩形OA 1B 1C 1；再将矩形OA 1B 1C 1沿x 轴正方向作切变变换，得到平行四边形OA 1B 2C 2，且点C 2的坐标为(3，1)．求此矩形OABC 变为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵．3．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a ＞0，b ＞0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1； (2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．4．(2012江苏盐城二模)已知二阶矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .参考答案基础梳理自测 知识梳理 1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy 2．(1)恒等变换 (2)x 轴 直线y ＝x 直线y ＝－x (3)水平伸缩变换 (5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t 1 (6)y 轴4．结合 A (BC )＝(AB )C 5．复合变换 乘积6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos θ sin θ－sin θ cos θ 7．ff ′＝f ′f ＝I (I 是恒等变换) 逆变换 AB ＝BA ＝E 2 逆矩阵8．|A |＝ad －bc ≠0 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A |－b |A |－c |A |a |A |9．(1)如果矩阵A 可逆，则A －1是唯一的(2)(AB )－1＝B －1A －110.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f 11.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f 12．Ma ＝λa13．方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解14．(1)tλa (2)λna 基础自测1．解：M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1. 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0.2．解：由题意得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1.因为AX ＝B ，所以X ＝A －1B＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1. 3．解：由条件可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 10－5 14.考点探究突破【例1】 解：设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0) ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0 y 0 ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2x 0，y ′0＝y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又因为点P 在椭圆上，故4x 20＋y 20＝1，从而(x ′0)2＋(y ′0)2＝1.所以曲线F 的方程为 x 2＋y 2＝1.【例2】 解：从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0b 10·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1的方程得，y ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b x ′2＝1，即曲线C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4.所以b ＝±1.【例3】解：(1)方法一：A 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 61 4＝2，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 42 －62－12 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－12 1. 方法二：设A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 614⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋6c ＝1，2b ＋6d ＝0，a ＋4c ＝0，b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－12，d ＝1，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－12 1. (2)设A 决定的线性变换A 将点(x ，y )变到(3,1)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 61 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－12， ∴A 决定的线性变换A 将点⎝⎛⎭⎪⎫3，－12变到(3,1)． 【例4】解：由题意知，f (λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)， 由f (λ)＝0可得λ1＝7，λ2＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧7＋1x －4y ＝0，－2x ＋7－6y ＝0， 可得属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.由⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1x －4y ＝0，－2x ＋－2－6y ＝0，可得属于λ2＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1.所以矩阵M 的特征值和特征向量分别为λ1＝7，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12或λ2＝－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1.演练巩固提升 针对训练1．解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 2．解法一：设矩阵M 对应的变换将矩形OABC 变为矩形OA 1B 1C 1，则M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1.设矩阵N 对应的变换将矩形OA 1B 1C 1变为平行四边形OA 1B 2C 2.可设矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1(k >0)，因为点C 2的坐标为(3，1)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，解得k ＝ 3.所以N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1.将矩形OABC 变换为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为NM ，NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －3 0 －1， 因此将矩形OABC 变换为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －3 0 －1.解法二：因为矩形OA 1B 1C 1是矩形OABC 绕原点O 旋转180°得到的， 所以A 1(2,0)，B 1(2,1)，C 1(0,1)．又矩形OA 1B 1C 1沿x 轴正方向作切变变换得到平行四边形OA 1B 2C 2，且C 2的坐标为(3，1)，所以点B 2的坐标为(3＋2,1)．设将矩形OABC 变为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2 1， 所以⎩⎨⎧－b ＝3，－d ＝1，⎩⎨⎧－2a －b ＝3＋2，－2c －d ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，c ＝0，d ＝－1，因此所求矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －3 0 －1.3．解：(1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′. 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.4．解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.再由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 0.。
高考数学一轮复习 第十五章 第2讲 矩阵与变换课件 理 苏教版
考点梳理
1．乘法规则 (1)行矩阵[a11 [a11 a12]
b11 的乘法规则： a12]与列矩阵 b 21
b11 [a11×b11＋a12×b21] ． ＝ __________________ b21 x a12 与列向量 0 的乘法规则： a22 y0
b 的特 d
A 的分别属于特征值 λ1、
λ2 的一个特征向量．
【助学· 微博】 常见考查角度 (1)矩阵的概念和常见变换的识别与简单应用，重点是变 换前后的方程表达式；
(2)矩阵的乘法和运算性质及矩阵与逆矩阵；
(3)考查求二阶矩阵的特征值与特征向量； (4)二阶矩阵的特征值与特征向量简单应用．
考点自测
1．(2012· 徐州调研)曲线 C1：x ＋2y ＝1 在矩阵 作用下变换为曲线 C2，求 C2 的方程．
2 2
1 M＝ 0
2 1的
解
设 P(x， y)为曲线 C2 上任意一点， P′ (x′， y′ )为曲
线 x2＋ 2y2＝ 1 上与 P 对应的点，
1 则 0 x′ x x＝ x′＋ 2y′， x′＝ x－ 2y， 2 ＝ ，即 ⇒ 1y′ y y＝ y′ y′＝ y.
Байду номын сангаас
b 可逆，那么 d
－b d ad－ bc ad－ bc －1 其中 A ＝ . －c a ad－ bc ad－ bc
3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零 向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α
记
x1 x2 ξ1＝ ， ξ2＝ . y1 y2 a A＝ c
高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关矩阵与变换学案选修
选修42 矩阵与变换1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 2，MX ＝Y 且Y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求矩阵X .解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ＋y －x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，－x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 2. 点（－1，k ）在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为（－2，－4求m ，k的值.解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4. 3. 已知在一个二阶矩阵M 对应的变换作用下，将点（1，1（－1，2）分别变换成（1，1（－2，4求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，c ＋d ＝1. 由题意可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4， 联立两个方程组，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝43，b ＝－13，c ＝－23，d ＝53.即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 43－13－23 53. 4. 已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程.解：设曲线C 上的任意一点P （x ，y ）在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210对应的变换作用下得到点Q（x′，y ′则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝x′－y′2.代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′·x′－y′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x′－y′22＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.5. 求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d . ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，2＝－b ，3＝2c ，4＝－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝32，d ＝－2，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－232－2.1. 二阶矩阵与平面向量 （1） 矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 5，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 42 0 －1这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.（2） 行矩阵与列矩阵的乘法规则[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21].（3） 二阶矩阵与列向量的乘法规则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a ×y 0. 2. 几种常见的平面变换（1） 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，对应的变换是恒等变换.（2） 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k （k>0，且k≠1）确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换.（3） 反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称.（4） 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.（5） 将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.（6） 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1（k∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换.3. 线性变换的基本性质（1） 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy .（2） 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2.（3） A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λAα，A （α＋β）＝Aα＋Aβ.（4） 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）. 4. 二阶矩阵的乘法（1） A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 2c 2d 2，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2.（2） 矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. [备课札记]1 二阶矩阵的运算1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y .若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值.解：Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ，由Aα＝Bα，得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.变式训练已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－15，满足AX ＝B ，求矩阵X .解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－15，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝5，－2a －b ＝－15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝1，此时X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤71. , 2 求变换前后的点的坐标与曲线方程), 2) （1） （2017·苏北四市期中）求椭圆C ：x 29＋y24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13012对应的变换作用下所得的曲线的方程. （2） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程.解：（1） 设椭圆C 上的点（x 1，y 1）在矩阵A 对应的变换作用下得到点（x ，y则⎣⎢⎡⎦⎥⎤130012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13x 112y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程x 29＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1，所以所求曲线的方程为x 2＋y 2＝1. （2） MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002， 设（x ，y ）是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 对应的变换作用下对应的点为（x′，y ′）.则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝12y′，代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin 2x ′，即y′＝2sin 2x ′.即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程为y ＝2sin 2x. 变式训练在平面直角坐标系xOy 中，设点A （－1，2）在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标.解：设B′（x ，y依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A′（1，2）.则A′B →＝（2，2A′B′→＝（x －1，y －2）.记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4， 所以点B′的坐标为（－1，4）., 3 根据变换前后的曲线方程求矩阵), 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＋2a ＝0.（1） 求实数a 的值；（2） 求A 2. 解：（1） 设直线l 上任一点M 0（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下变为l′上的点M （x ，y则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0.代入l′方程得（ax 0＋y 0）－（x 0＋ay 0）＋2a ＝0， 即（a －1）x 0－（a －1）y 0＋2a ＝0. 因为（x 0，y 0）满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2.（2） 由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 44 5.变式训练（2017·镇江期末）已知实数a ，b ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3对应的变换将直线x －y －1＝0变换为自身，求a ，b 的值.解：设直线x －y －1＝0上任意一点P （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′（x′，y ′由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y. 因为P′（x′，y ′）在直线x －y －1＝0上，所以x′－y′－1＝0，即（－1－b ）x ＋（a －3）y －1＝0. 因为P （x ，y ）在直线x －y －1＝0上，所以x －y －1＝0.因此⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＝1，a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.备选变式（教师专享）已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＝1，求矩阵A .解：设直线l ：x ＋y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下，变换为点M′（x′，y ′）.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx ＋ny y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝mx ＋ny ，y ′＝y. 又点M′（x′，y ′）在l′上，所以x′－y′＝1， 即（mx ＋ny ）－y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1., 4 平面变换的综合应用), 4) 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34.求证：（1） （MN ）α＝M （Nα）；（2） 这两个矩阵不满足MN ＝NM .证明：（1） 因为MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， 所以（MN ）α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52. 因为Nα＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，所以M （Nα）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，所以（MN ）α＝M （Nα）.（2） 由（1）知MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11012， 所以这两个矩阵不满足MN ＝NM .备选变式（教师专享）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A （0，0B （－1，2C （0，3）.求△ABC 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0对应的变换作用下所得到的图形的面积. 解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，所以A （0，0B （－1，2C （0，3）在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0对应的变换作用下所得到的三个顶点坐标分别为A ′（0，0B ′（－2，－1C ′（－3，0）.故S △A ′B ′C ′＝12A ′C ′·|y B ′|＝32.1. （2017·南京、盐城模拟）设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值.解：（解法1）取直线l ：ax ＋y －7＝0上点A （0，7B （1，7－a ）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3b （7－a ）－1，所以A （0，7B （1，7－a ）在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A′（0，7bB ′（3，b （7－a ）－1）.由题意，知A′，B ′在直线l′：9x ＋y －91＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b （7－a ）－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13.（解法2）设直线l 上任意一点P （x ，y 点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q （x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y ′＝－x ＋by. 因为点Q （x′，y ′）在直线l′上，所以9x′＋y′－91＝0. 即27x ＋（－x ＋by ）－91＝0，也即26x ＋by －91＝0. 又点P （x ，y ）在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0.所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.2. 已知在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 对应的变换作用下把点（1，1）变换成点（2，2）.（1） 求a ，b 的值，（2） 求曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程.解：（1） 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.（2） 设曲线C 上任一点M′（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下得到点M （x ，y∵ A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋y 0，y ＝2y 0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －12y ，y 0＝12y.∵ 点M′在曲线C 上，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2＝1. 故所求曲线方程为x 2－xy ＋12y 2＝1.3. 已知a ，b ∈R ，若在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3所对应的变换作用下把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a ，b.解：设直线2x －y ＝3上任意一点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点A 0（x 0，y 0则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ＋ay ，y 0＝bx ＋3y. ∵ 2x 0－y 0＝3，∴ 2（－x ＋ay ）－（bx ＋3y ）＝3. 即（－2－b ）x ＋（2a －3）y ＝3. 此直线即为2x －y ＝3， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝2，2a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. 4. 二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）.设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234. 设直线l 上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′（x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y.又m ：x′－y′＝4，所以直线l 的方程为（x ＋2y ）－（3x ＋4y ）＝4， 即x ＋y ＋2＝0.1. 求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.解：设点（x 0，y 0）为曲线|x|＋|y|＝1上的任意一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的点为（x′，y ′则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x′，y 0＝3y′. 所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.2. 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by＝1.（1） 求实数a ，b 的值；（2） 若点P （x 0，y 0）在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标.解： （1） 设直线l 上一点（x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得点（x′，y ′则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ＋3y ，y ′＝y.代入直线l′，得2x ＋（b ＋3）y ＝1，∴ a ＝2，b ＝－2.（2） ∵ 点P （x 0，y 0）在直线l 上，∴ 2x 0＋y 0＝1.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 0＋3y 0，y 0＝y 0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35，y 0＝－15，∴ P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15.3. 设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋3b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋4b n ＋4＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，求二阶矩阵M .解： 依题设有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302，则M ＝A 4，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4.M ＝A 4＝（A 2）2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 96 0 16.4. 已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1求实数a 的值.解：设P （x ，y ）为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′上的点P′（x′，y ′则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝x ＋2y ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x′＋y′，y ＝x′. 代入ax －y ＝0，整理，得－（2a ＋1）x′＋ay′＝0. 将点（1，1）代入上述方程，解得a ＝－1.几种特殊的变换 反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为（x ，y ）→（x ，－y 变换前后关于x 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为（x ，y ）→（－x ，y 变换前后关于y 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0－1：点的变换为（x ，y ）→（－x ，－y 变换前后关于原点对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为（x ，y ）→（y ，x 变换前后关于直线y ＝x 对称. 投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为（x ，y ）→（x ，0）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为（x ，y ）→（0，y ）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（x ，x ）；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（y ，y ）；M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2.第2 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（对应学生用书（理）194～197页）1. 设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.解：∵ B ＝BAA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234， 设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c b ＋2d 3a ＋4c 3b ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12.∴ B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. 2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝－1，b ＝c ＝0，d ＝12，从而矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－20 3.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 52x 的一个特征值为－2，求M 2. 解：将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－（x －1）λ－（x ＋5）＝0，得x ＝3. ∴ 矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 523，∴ M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64514.4. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232的一个特征向量，求实数a 的值.解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋6＝2λ，12＝3λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，a ＝1. 5. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P （－1，2）在M 对应的变换作用下得到点Q ，求点Q 的坐标.解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝8，4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4. ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4， ∴ 点Q 的坐标为（－2，4）.1. 逆变换与逆矩阵（1） 对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵.（2） 若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1. （3） 利用行列式解二元一次方程组. 2. 特征值与特征向量（1） 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（2） 从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量., 1 求逆矩阵与逆变换), 1) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2113，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.求矩阵C ，使得AC ＝B .解： 因为det （A ）＝2×3－1×1＝5，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35－15－1525＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－1525.由AC ＝B ，得（A －1A ）C ＝A －1B ，所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35 45－15－35. 变式训练（2017·常州期末）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤47.若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X.解：由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2.由AX ＝B ，得X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤47＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12., 2 求特征值与特征向量), 2) 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113的特征值及对应的特征向量.解：特征多项式f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－1－1λ－3＝（λ－3）2－1＝λ2－6λ＋8.由f （λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.将λ1＝2代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1为属于特征值λ1＝2的一个特征向量.同理，当λ2＝4时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝4的一个特征向量.综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.变式训练（2017·苏北三市模拟）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ，若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，求矩阵A 的特征值.解： 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝8，2＋2d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1. 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321. 所以矩阵A 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝（λ－2）（λ－1）－6＝λ2－3λ－4.令f （λ）＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4. , 3 根据特征值或特征向量求矩阵), 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d .若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵. 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c＋d ＝6 ①.由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2 ②.联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－12－13 12.备选变式（教师专享）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且在矩阵M 对应的变换作用下将点（－1，2）变换成（9，15求矩阵M .解： 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15. 联立以上两个方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－36., 4 特征值与特征向量的综合应用), 4) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α.解：因为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6.由f （λ）＝0，得λ＝2或λ＝3.当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以A 5α＝2×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋1×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307. 变式训练已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m n1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，M α2＝λ2α2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2，所以M 2β＝M 2（α1＋2α2）＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42.1. （2017·苏州期初）已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.解：由条件可知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，λ＝2.因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－110－514.2. （2017·苏州期中）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 将点（－1，3）变换为（0，8）.（1） 求矩阵M ；（2） 求曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下的新曲线方程.解：（1） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋3b ＝0，－c ＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. （2） 设原曲线上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下的对应点为P ′（x′，y ′则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝6x ＋2y ，y ′＝4x ＋4y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′－y′8，y ＝－2x′＋3y′8，代入x ＋3y －2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0，即曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下得到的新曲线方程为x －2y ＋4＝0.3. （2017·南京、盐城期末）设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3的一个特征值λ对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，求实数m 与λ的值.解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＝λ，2＋6＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，λ＝－4. 4. （2017·无锡期末）已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，（0，1）分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M. （1） 求矩阵M ；（2） 求矩阵M 的特征值.解：（1） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 4， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－32－4 4. （2） 设矩阵M 的特征多项式为f （λ∴ f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3324λ－4＝（λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6. 令f （λ）＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1. 已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点（2，3）变成点（3，4）.（1） 求a ，b 的值；（2） 若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：（1） 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，故⎩⎪⎨⎪⎧6＋3a ＝3，2b －6＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5. （2） 由（1得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3.所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1－5 4.2. （2017·南通、泰州模拟）设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解：（解法1）设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，所以a ＝－1，2a ＋6b ＝－2，c ＝0，2c ＋6d ＝3.解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012.根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02.（解法2）在A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝A－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3. 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6.解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2，求逆矩阵M －1的特征值.解：设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2a ＋2c 2b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，2a ＋2c ＝0，2b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝12.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－112.M －1的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－101λ－12＝（λ－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12，令f （λ）＝0，解得λ＝1或λ＝12.所以矩阵M 的逆矩阵M －1的特征值为1和12.4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.解：矩阵M 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f （λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.M 6β＝M 6（4α1－3α2）＝4（M 6α1）－3（M 6α2）＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×（－1）6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919. 错误![备课札记]。
2014高考数学一轮复习课件：选修4.2.2 逆矩阵、矩阵的.
0 1
＝I，故选 A.
答案：A
1 2．已知 M＝0 1 A. 2 3 C. 2
0 1，α＝0，Mα＝λα，则 λ＝( 1 2 B．1 D．2
)
1 0 0 10 0 1＝ ， 解析：∵0 1 ＝ 1 2 1 2 2 1 ∴λ＝2.
解析：设
a c 2 3
a A＝ c
a b1 2 b a＝2， ，由 ＝ ，得 由 d c d 0 3 c ＝ 3.
1 3 b a＋b＝3， b＝1， 1 ＝3 ＝ ，得 所以 所以 A＝ d 1 1 3 c＋d＝3. d＝0.
－1
0 ＝ －1
1 ， 0
0 ＝ －1
∴(AB) ＝B A
－1
－1
－1
1 1 0 0
0 1 ＝ 2
.
答案：
(2)解：①设矩阵 M 的逆矩阵 M 则 MM 又
－1
－1
x1 ＝ x 2
y1 ， y2
1 ＝ 0
• 2．逆矩阵 • (1)逆矩陈的定义 AB＝BA＝E ，则称A是可 • 对于二阶矩阵A，B若有 逆的，B称为A的逆矩阵，记作B＝A－1，这时矩 阵A也是B的逆矩阵，即A＝B－1. • (2)逆矩阵的性质 E －1A＝ • ①若矩阵A有可逆矩阵A－1，则AA－1＝A 且唯一 A－1是 的．
• ②若矩阵A是可逆的，则有(A－1A )－1＝ . 不可逆 • ③单位矩阵一定是可逆 的，零矩阵是 的． 不同 • ④在可逆矩阵 M作用下，平面上不同向量(或点) 的象必 ． • ⑤把平面上两个不同向量 (或点)变成相同向量 逆矩阵 (或点)的矩阵，一定没有 ．
2014届高考理科数学第一轮复习导学案69
学案71 矩阵与变换 (一)二阶矩阵与变换导学目标： 1.了解矩阵的有关概念，理解二阶矩阵与平面列向量的乘法.2.了解几种常见的平面变换，理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线(或者点).3.理解二阶矩阵的乘法及简单性质．自主梳理1．线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy 中，由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 称为________，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．2．矩阵的乘法行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bcd 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．3．几种常见的线性变换(1)恒等变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝_____________________________________________；(3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝____________；(4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标变为原来的________倍，k 1，k 2均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝__________；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝__________，若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝__________；设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝__________.(1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝__________，②M (α＋β)＝______________________________.(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．自我检测1．点A (3，－6)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 12对应的变换作用下得到的点的坐标是________．2．设⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －20 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1，则它表示的方程组为______________．3．设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，矩阵A 所确定的变换将点P (x ，y )变换成点Q ，则Q 点的坐标为________．4．设△OAB 的三个点坐标为O (0,0)，A (A 1，A 2)，B (B 1，B 2)，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1对应的变换下作用后形成△OA ′B ′，则△OAB 与△OA ′B ′的面积之比为____________________．5．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变为点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M ；(2)设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求l 的方程．探究点一 几种常见的变换例1 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，方程为y ＝2x ＋2； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，点A (2,5)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，曲线方程为x 2＋y 2＝4.变式迁移1 将点(2,4)先经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为________．探究点二 矩阵的乘法及几何意义例2 验证下列等式，并从几何变换的角度给予解释：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.变式迁移2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12和N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 22－22 22，求证：MN ＝NM .探究点三 矩阵与变换的综合应用例3 已知两个城市甲与乙间的交通有陆路和航空两种，其陆路可用矩阵表示为M ＝错误!，航空可用矩阵表示为N ＝错误!.(1)试从NM 的结果中说明在这个网络里可以进行怎样的旅行？ (2)请计算M 2，并据此矩阵说明网络里可以进行怎样的旅行？ (3)请计算MNM ，并据此说明网络里可以做怎样的旅行？变式迁移3 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos β －sin βsin β cos β，试求AB ，并对其几何意义给予解释．1．常见的变换矩阵(1)恒等变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1；(2)伸压变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ；(3)反射变换矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1，M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 －1；(4)旋转变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ；(5)投影变换矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1；(6)切变变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1. 2．矩阵的乘法不满足交换律，不满足消去律，但满足结合律．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤u v s t ，则AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤au ＋bs a v ＋bt cu ＋ds c v ＋dt .(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (左)乘向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤p q 的法则是________． 2．(2010·龙岩一模)在某个旋转变换中，顺时针旋转π3所对应的变换矩阵为________．3．直线2x ＋y －1＝0经矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 －1的变换后得到的直线方程为________．4．设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 将直线l ：x ＋y －1＝0变为直线x －y －2＝0，则a ＝________，b ＝________.5．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－4 6，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1.则AB ＝________，AC ＝________.6．曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为________．(其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 00 1.) 7．(2010·南京二模)在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O (0,0)，A (2,0)，B (1，2)，△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得的图形的面积为________(其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 22)．8．已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，则M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝________.二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·江苏)已知矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1，向量β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12.求向量α，使得A 2α＝β.10．(14分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．11．(14分)(2010·福建)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b a 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 0 2d ，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2 00.①求实数a ，b ，c ，d 的值；②求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程．学案71 矩阵与变换 (一)二阶矩阵与变换答案自主梳理1．二阶矩阵 元素 3.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 －1 (4)k 1 k 2 (5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 (6)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2 (1)λMα Mα＋Mβ 自我检测1．(9，－3) 2.⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝03y ＝－1 3.(x －y ，y )4．1∶1解析 由题意知T M 为切变变换，故变换前后图形面积大小不变．5．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 (2)x ＋y ＋2＝0 解析 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝－1.① ⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2.② 由①②联立得a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4. (2)设(x ′，y ′)为l 上任意一点，在经矩阵M 变换下对应的点为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′y ＝3x ′＋4y ′，代入x －y －4＝0得x ′＋y ′＋2＝0， 即x ＋y ＋2＝0. 课堂活动区例1 解题导引 对于已知变换前后的象和原象，要求变换矩阵这类问题，我们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事半功倍的效果．通过具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形、三角形)的变换，应充分地认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影．解 (1)所给方程表示的是一条直线． 设A (x ，y )为直线上的任意一点，经过变换后的点为A ′(x ′，y ′)．∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′， ∴x ＝x ′，y ＝y ′.变换后的方程仍为y ＝2x ＋2. ∴该变换是恒等变换．(2)经过变化后变为(－2,5)，它们关于y 轴对称，故该变换为关于y 轴的反射变换．(3)所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A (x ，y )为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1， ∴2x ＝x 1，y ＝y 1.将之代入到x 2＋y 2＝4可得方程x 214＋y 124＝4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换．变式迁移1 (－8,2) 解析 由题意知 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8 2 例2 解题导引 ①熟悉六种线性变换，方可理解矩阵乘法的几何意义．矩阵乘法MN 的几何意义为对向量连续依次实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．②因为矩阵的乘法运算不满足变换律，对应地，对一个向量a 先实施变换f ，再实施变换g 与先实施变换g ，再实施变换f ，其结果通常也是不一样的．因而做题时必须认真审题．弄清题意，不能混淆f (g (a ))和g (f (a ))．解 等式右边表示的是对点(x ，y )先作沿x 轴的切变变换得(x ＋y ，y )，再将所得的点进行保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍的伸压变换得(x ＋y,2y )，最后将得到的点作沿y 轴的切变变换得(x ＋y ，x ＋3y )．等式左边表示的是将点(x ，y )作如下变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y x ＋3y ，即它也是将点(x ，y )变成了点(x ＋y ，x ＋3y )，因此，等式两边表示的变换相同，所以有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1 变式迁移2 解 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－22 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋642－646－246＋24， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2222－2222⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋642－646－246＋24， 故MN ＝NM .例3 解题导引 M 的意义表示陆路的网络图为甲→乙；N 的意义表示航空的网络图为甲→乙．解 (1)NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路后航空的旅行．(2)M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路后再陆路的旅行．(3)MNM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路，再航空，然后再陆路的旅行．变式迁移3 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos β －sin βsin β cos β ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos αcos β－sin αsin β －cos αsin β－sin αcos βsin αcos β＋cos αsin β －sin αsin β＋cos αcos β ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos (α＋β) －sin (α＋β)sin (α＋β) cos (α＋β) AB 表示的变换为逆时针旋转α＋β.A 表示逆时针旋转α，B 表示逆时针旋转β.课后练习区1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤p q ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ap ＋bq cp ＋dq 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12 解析 顺时针旋转π3即逆时针旋转53π，变换矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 5π3 －sin 53πsin 5π3 cos 5π3 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos π3 sin π3－sin π3 cos π3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12. 3．2x ＋y ＋1＝0解析 由变换矩阵M 知坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－x y ′＝－y， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′y ＝－y ′，代入直线方程2x ＋y －1＝0得2x ′＋y ′＋1＝0.即2x ＋y ＋1＝0.4．2 －1解析 在直线l 上任取一点P (x ，y )，经矩阵变换后为点P ′(x ′，y ′)，则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋y by ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋y ，y ′＝by . 所以ax ＋y －by －2＝0，即ax ＋(1－b )y －2＝0，于是由a 1＝1－b 1＝－2－1，解得a ＝2，b ＝－1. 5.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －7－2 14，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －7－2 14 解析 AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －7－2 14， AC ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －7－2 14. 6．y ＝2sin 2x解析 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0 0 2， 即在矩阵MN 变换下⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2y ， 则12y ′＝sin 2x ′，即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x .7．1解析 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1.可知O ，A ，B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O ′(0,0)，A ′(2,0)，B ′(2，－1)．可知△O ′A ′B ′的面积为1.8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－4 解析 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，所以a ＝1，c ＝0.由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，所以b ＝1，d ＝2. 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2. 所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4. 所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－4. 9．解 A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3 24 3.(4分) 设α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ，由A 2α＝β，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3 24 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，(7分) 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.(14分) 10．解 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0.(4分)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．(10分)计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.(14分) 11．解 方法一 ①由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(6分)②因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1 －11⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22得 点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象分别是点(0,0)，(－2,2)．(12分)从而直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .(14分)方法二 ①同方法一．②设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y )在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x ′，y ′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y －x ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 2x 得y ′＝－x ′，即点(x ′，y ′)必在直线y ＝－x 上．由(x ，y )的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .。
高考数学一轮配套学案讲解：《矩阵与变换》(苏教版)
§14.2 矩阵与变换1．乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB )C ＝A (BC )， AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换(1)恒等变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1； (2)伸压变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(3)反射变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1；(4)旋转变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0；(6)切变变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1(k ∈R ，且k ≠0)． 3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵； (2)若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. 4．特征值与特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．5．特征多项式设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 是一个二阶矩阵，λ∈R ，把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ，称为A 的特征多项式．1．在切变变换M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－21作用下，直线y ＝2x －1变为________．答案 y ＝－12．将椭圆x 23＋y 24＝1绕原点顺时针旋转45°后得到新的曲线方程为________________．答案 7x 2＋7y 2＋2xy －24＝0 3．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010对应的线性变换作用下，圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1变为________________． 答案 y ＝x (－2≤x ≤0)4．计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 0 4＝________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 13－2 185．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0的逆矩阵是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0题型一求变换矩阵例1已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1；T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知，T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3.思维升华 知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2c ＝3d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，整理得x ＋y ＋2＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0. 题型二 求逆矩阵例2求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312的逆矩阵．解 设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2.所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2. 思维升华 求逆矩阵的方法： (1)待定系数法设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，AB ＝BA ＝E 2；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ≠0，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. (2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.题型三 特征值与特征向量例3已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－1 3，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 1 1 λ－3＝(λ－3)2－1＝0， 解得λ1＝2，λ2＝4.设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0x －y ＝0，可见，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x ＋y ＝0，可见，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量.思维升华 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，求特征值和特征向量，其步骤：(1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．已知二阶矩阵A 有特征值λ1＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11和特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，试求矩阵A . 解 设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，这里a ，b ，c ，d ∈R ，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A 的属于λ1＝1的特征向量， 则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－a －b －c 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ①又因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10是矩阵A 的属于λ2＝2的特征向量，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－a －b －c 2－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ②根据①②，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－a －b ＝0，－c ＋1－d ＝0，2－a ＝0，－c ＝0，从而a ＝2，b ＝－1，c ＝0，d ＝1，因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －10 1.用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程典例：(10分)二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．思维启迪 (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法． 规范解答解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，[2分]所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2c ＝3d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4.[5分](2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4， 即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[10分]温馨提醒 (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法．(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误.方法与技巧1．二阶矩阵与平面列向量乘法：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax ＋cy bx ＋dy ，这是所有变换的基础． 2．证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即AB ＝E 2＝BA .3．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2相应的矩阵方程为AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1a 2 b 2为系数矩阵，X 为未知数向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 1c 2为常数向量． 4．若某一向量在矩阵变换作用下的象与原象共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值． 失误与防范1．矩阵的乘法不满足交换律，即在矩阵乘法的运算中，一般不能随意将AB 写成BA . 2．矩阵乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )．3．矩阵的乘法不满足消去律，即对于二阶矩阵A 、B 、C ，当A ≠0，且AB ＝AC 时，不一定有B ＝C .A 组 专项基础训练1．(2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.2．(2012·江苏)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值．解 因为A －1A ＝E 2，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3 －2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3．在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O (0,0)，A (2,0)，B (1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122022. 解 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1. 可知O ，A ，B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O ′(0,0)，A ′(2,0)，B ′(2，－1)．可知△O ′A ′B ′的面积为1.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2.(1)求满足条件AM ＝B 的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换将曲线C ：x 2＋y 2＝1变换为曲线C ′，求曲线C ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，AM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a b a ＋c b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋c ＝3，b ＝2，b ＋d ＝2，∴a ＝0，b ＝2，c ＝3，d ＝0.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y 3x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ′，3x ＝y ′，即⎩⎨⎧y ＝x ′2，x ＝y ′3，代入曲线C ：x 2＋y 2＝1，得(x ′2)2＋(y ′3)2＝1.∴曲线C ′的方程是x 24＋y29＝1.5．已知矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2a 0，Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1b 0，若矩阵PQ 对应的变换把直线l 1：x －y ＋4＝0变为直线l 2：x ＋y ＋4＝0，求实数a 、b 的值．解 因为PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2a 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1b 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b 00 a ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b 00 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2bx ay ，在直线l 1：x －y ＋4＝0上任取一点(x ，y )， 则点(2bx ，ay )在直线l 2：x ＋y ＋4＝0上，即2bx ＋ay ＋4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝12.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．解 由题设得MN ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1⎣⎡⎦⎤0 11 0＝⎣⎡⎦⎤0 k 1 0. 由⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－20＝⎣⎡⎦⎤0－2，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A1B 1C 1的面积是|k |，由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.B 组 专项能力提升1．设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋3b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋4b n ＋4＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，求二阶矩阵M . 解 依题设有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ， 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2，则M ＝A 4， A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4. M ＝A 4＝(A 2)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 96 0 16. 2．(2012·福建)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1， 整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1.所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1. 3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)．(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－4 1， 令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0. 解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝04x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.4．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 2b 的两个特征值分别为λ1＝－1和λ2＝4.(1)求实数a ，b 的值；(2)求直线x －2y －3＝0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程．解 (1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 2 b 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －a －2 λ－b ， ∴f (λ)＝(λ－2)(λ－b )－2a ＝λ2－(b ＋2)λ＋2b －2a ， 由已知得λ1＝－1，λ2＝4为f (λ)＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋4＝b ＋2，－1×4＝2b －2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.(2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 设直线x －2y －3＝0上任意一点(x ，y )在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是(x ′，y ′)， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3y 2x ＋y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝x ′，2x ＋y ＝y ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′＋3y ′4，y ＝x ′－y ′2，代入x －2y －3＝0得－x ′＋3y ′4－2×x ′－y ′2－3＝0，即5x ′－7y ′＋12＝0，于是点(x ′，y ′)必在直线5x －7y ＋12＝0上．由(x ，y )的任意性可知，直线x －2y －3＝0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为5x －7y ＋12＝0.。
高三数学一轮复习精品教案1：矩阵及其变换教学设计
第一节矩阵及其变换1．乘法规则(1)行矩阵『a 11 a 12』与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法法则：『a 11 a 12』⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝『a 11b 11＋a 12b 21』． (2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11x 0＋a 12y 0a 21x 0＋a 22y 0.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB )C ＝A (BC )． (5)A k A l ＝A k ＋l ，(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *)． 2．常见的平面变换 (1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1表示恒等变换．(2)反射变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， －1－1 0分别表示关于x 轴、直线y ＝x 和直线y ＝－x 的反射变换．(3)伸缩变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点(x ，y )变成点(x ，ky )，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s 001可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点A (x ，y )绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α. (5)切变变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换．沿y 轴的切变变换对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t 1. (6)投影变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤000 1表示的是y 轴上的投影变换．1．二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视AB ≠BA ，AB ＝AC ⇒/ B ＝C ，但满足(AB )C ＝A (BC )． 2．易混淆绕原点逆时针旋转90°的变换与绕原点顺时针旋转90°的变换． 『试一试』1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1.求AB 和AC . 『解』AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤845 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14.2．(2014·福建龙岩模拟)已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B ，若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标．『解』⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3，即A (－2,3)．待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用．『练一练』1．(2014·扬州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1201，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．『解』易得AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1202，在直线l 上任取一点P (x ′，y ′)，经矩阵AB 变换为点Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′＋12y ′ 2y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋12y ′，y ＝2y ′，即⎩⎨⎧x ′＝x －14y ，y ′＝y2，代入x ′＋y ′－2＝0中得x －14y ＋y2－2＝0，∴直线l ′的方程为4x ＋y －8＝0.考点一二阶矩阵的性质与运算『典例』 求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 『解』 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n p q ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.『备课札记』 『类题通法』1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等．2．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 『针对训练』 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.『解』A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β， 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.考点二平面图形的变换『典例』 在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形△A ′B ′C ′的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 002，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 『解』因为△ABC 在MN 作用下变换为 △A ′B ′C ′， 且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24. 即A ′(0,0)，B ′(0,4)，C ′(－2,4)． 可得S △A ′B ′C ′＝4.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得的图形的面积为4.『备课札记』 『类题通法』1．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．2．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合． 『针对训练』在直角坐标系中，已知椭圆x 2＋4y 2＝1，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0，求椭圆x 2＋4y 2＝1，在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积． 『解』MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.设(x 0，y 0)为椭圆x 2＋4y 2＝1上任一点，它在MN 的作用下所对应的点为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 02y 0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2.代入x 20＋4y 20＝1，得x 2＋y 2＝1，∴在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为π.考点三矩阵变换的应用『典例』 (2013·福建高考)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标． 『解』 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1， 即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.故点P的坐标为(1,0)．『备课札记』『类题通法』1．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．2．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式．『针对训练』(2014·江苏横山桥中学模拟)已知M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 1，设曲线y＝sin x在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．『解』由题设得MN＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 2设所求曲线F上任意一点的坐标为(x，y)，y＝sin x上任意一点的坐标为(x′，y′)，则MN⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x，y′＝12y.把⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2xy′＝12y代入y′＝sin x′，化简得y＝2sin 2x.所以，曲线F的方程为y＝2sin 2x.『课堂练通考点』1．(2014·福州模拟)将曲线xy＝1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．『解』由题意，得旋转变换矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45°－sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222，设xy ＝1上的任意点P ′(x ′，y ′)在变换矩阵M 作用下为P (x ，y )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎨⎧x ＝22x ′－22y ′，y ＝22x ′＋22y ′.得y 22－x 22＝1. 故将曲线xy ＝1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为y 22－x 22＝1.2．已知a ，b 为实数，如果A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b 所对应的变换T 把直线x －y ＝1变换为自身，试求a ，b 的值．『解』设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点．在变换T 作用下的对应点为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋y ，y ′＝by . 由题意x ′－y ′＝1，∴ax ＋y －by ＝1，即ax ＋(1－b )y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，1－b ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 3．已知△ABC 的三个顶点A (0,0)，B (4,0)，C (0,3)，△ABC 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换作用下变为△A ′B ′C ′，求△A ′B ′C ′的面积． 『解』由题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤40＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤40， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤06， ∴A ′(0,0)，B ′(4,0)，C ′(0,6)， ∴S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.。
矩阵与变换教材解读与教学建议
矩阵与变换教材解读与教学建议第一篇：矩阵与变换教材解读与教学建议人教A版选修4—2《矩阵与变换》教材解读与教学建议金克勤“矩阵与变换”这一模块是高中新课程中的新增内容，为了提高对新增内容教学的认识，更准确地把握教学要求，结合教学实践对《矩阵与变换》作教材解读。
一、教学要求解读 1．基本要求（1）理解二阶矩阵的概念。
（2）了解线性变换与二阶矩阵之间的关系。
（3）掌握旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示。
（4）了解变换和矩阵相等的概念。
（5）了解二阶矩阵与向量相乘的概念，会用矩阵与向量的乘积表示线性变换。
（6）了解线性变换的基本性质。
（7）了解一些重要的线性变换对单位正方形区域的作用。
（8）理解复合变换的意义。
（9）了解矩阵与矩阵相乘的意义，会用矩阵的乘法表示复合变换。
（10）掌握矩阵乘法的性质。
（11）理解逆变换的概念，根据变换与矩阵的关系理解逆矩阵的意义。
（12）会利用二元一次方程组求逆矩阵。
（13）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义。
（14）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。
（15）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。
（16）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。
（17）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。
（18）初步了解矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
（19）初步会求二阶方阵的特征值与特征向量。
（20）初步利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示。
（21）初步了解三阶或高阶矩阵。
（22）了解矩阵的应用。
2．发展要求（1）从代数和几何的角度理解矩阵乘法的性质。
（2）了解各种变换矩阵逆矩阵的意义。
（3）特征向量与特征值的应用。
3．对教学要求的解读（1）深入浅出，扩展视野。
矩阵与变换这一专题，是中学课程内容的延伸与拓展，它以初中数学平面几何知识为基础（学生熟悉对称变换、轴对称变换、中心对称变换、放缩变换等为背景）开展研究，以低维度的二阶矩阵为研究对象，通过几何图形的变换研究二阶矩阵。
高考数学一轮必备 第十五单元《矩阵与变换》考情分析学案
15.1矩阵与变换考情分析1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质．2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题． 基础知识 1．乘法规则(1)行矩阵 [a 11 a 12]与列矩阵⎣⎡⎦⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11 a 12]⎣⎡⎦⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎡⎦⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22 ⎣⎡⎦⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎡⎦⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB )C ＝A (BC )，AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换． 3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵； (2)若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. 4．特征值与特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量． 题型一 矩阵与变换【例1】求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎡⎦⎤10 02，N ＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 01.解 MN ＝⎣⎡⎦⎤10 02⎣⎡⎦⎤ 1－1 01＝⎣⎡⎦⎤ 1－2 02.设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P (x ，y )， 则⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ 1－2 02⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.【变式1】 四边形ABCD 和四边形A ′B ′C ′D ′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A (－1,2)，B (3,2)，C (3，－2)，D (－1，－2)，A ′(－1,0)，B ′(3,8)，C ′(3,4)，D ′(－1，－4)，求将四边形ABCD 变成四边形A ′B ′C ′D ′的变换矩阵M . 解 该变换为切变变换，设矩阵M 为⎣⎡⎦⎤1k 01，则⎣⎡⎦⎤1k 01⎣⎡⎦⎤－1 2＝⎣⎡⎦⎤－10.所以－k ＋2＝0，解得k ＝2. 所以M 为⎣⎡⎦⎤12 01.题型二 矩阵的乘法与逆矩阵【例2】已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1. 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.故(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 012－10.【变式2】 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1，求矩阵AB 的逆矩阵．解 设矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c bd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ＝⎣⎡⎦⎤a 2a ＋b c 2c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，解之得，a ＝1，b ＝－2，c ＝0，d ＝1，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21. 同理得，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1.又(AB )－1＝B －1A －1，所以(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 7 －3－2 1. 题型三 矩阵的特征值与特征向量【例3】已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点 P ′(－4,0)，求： (1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 所以2－2a ＝－4.所以a ＝3. (2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，则矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－x －3y ＝0，－2x ＋λ－y ＝0⇒x ＋y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－x －3y ＝0，－2x ＋λ－y ＝0⇒2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.【变式3】 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A . 解 由特征值、特征向量定义可知，A a 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.重难点突破【例4】设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (其中a ＞0，b ＞0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．[解析] (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1， 即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵 M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13.(5分) (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，又a ＞0，b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.(10分)巩固提高1．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤10 21的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤10 21⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1.2．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎡⎦⎤11，求矩阵A .解 设A ＝⎣⎡⎦⎤a c b d ，由⎣⎡⎦⎤a c b d ⎣⎡⎦⎤10＝⎣⎡⎦⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.由⎣⎡⎦⎤a cb d ⎣⎡⎦⎤11＝3⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎡⎦⎤23 10.3．已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵形A ＝⎣⎡⎦⎤a 0 0b (a ＞0，b ＞0)对应的变换作用下变为椭圆x 29＋y 24＝1，求a ，b 的值．解 设P (x ，y )为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤a 0 0b ⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by .又因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以a 2x 29＋b 2y 24＝1.由已知条件可知，x 2＋y 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝3，b ＝2.4．已知a ＝⎣⎡⎦⎤21为矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 a 4属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.解 由条件可知⎣⎡⎦⎤ 1－1 a 4 ⎣⎡⎦⎤21＝λ⎣⎡⎦⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.因此A ＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 24.所以A 2＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 24 ⎣⎡⎦⎤ 1－1 24＝⎣⎡⎦⎤－1－5 1014.。
高考高三一轮数学复习专题材料专题 矩阵与变换
专题12 矩阵与变换【课标要求】1．课程目标本专题的内容包括：二阶矩阵与平面向量、几种常见的平面变换、变换的复合与矩阵的乘法、逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的简单应用.通过本专题的教学，使学生了解矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，许多数学模型都可以用矩阵来表示；使学生理解二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义；初步体会矩阵应用的广泛性，进一步体会代数与几何结合的数形结合思想.2．复习要求(1) 二阶矩阵与平面向量了解矩阵的有关概念；掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法；理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射．(2) 常见的平面变换理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的几何意义及其矩阵表示.理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线，即A(λ1α+λ2β)＝λ1Aα+λ2Aβ.了解单位矩阵.(3) 矩阵的复合与矩阵的乘法熟练掌握二阶矩阵的乘法；理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵；理解两个二阶矩阵相乘的几何意义.理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）.(4) 二阶逆矩阵理解逆矩阵的意义；掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.理解逆矩阵的唯一性和(AB)-1＝B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.了解二阶行列式的定义；会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组.能用变换与映射的观点认识解二元线性方程组解的意义.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组.能通过系数矩阵理解二元线性方程组解的存在性、唯一性. (5) 二阶矩阵的特征值与特征向量掌握矩阵特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义. 会求二阶矩阵的特征值与特征向量.利用矩阵A 的特征值与特征向量给出n A α的简单表示. (6) 二阶矩阵的简单应用 初步了解高阶矩阵． 了解矩阵的简单应用． 3．复习建议(1) 对矩阵概念的理解应通过大量举例进行，使学生认识到矩阵的实际背景及学习必要．并注意本专题的矩阵只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m ×n 阶矩阵以及（a ij ）形式的表示.（2）强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义的理解，使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合的映射．(3) 对几种常见平面变换的复习是本专题的一个重点．应注意揭示新旧知识的异同点,注重新旧知识的整合与循环上升，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示．(4) 对二阶矩阵的乘法应使学生熟练掌握其运算规则，了解相关运算律，并能通过平面变换理解其几何意义．(5) 二阶矩阵的逆矩阵是复习的另一个重点，应使学生明晰逆矩阵存在的条件，及其唯一性，能准确求解二阶矩阵的逆矩阵，并能从几何变换的角度加以理解应用．能用逆矩阵的方法求解二元线性方程组AX B =，并能推广到,,A B X 均为二阶矩阵的情形，即1AX B X A B -=⇒=．(6) 对特征值与特征向量的复习一要学生掌握其代数求解方法，二要从几何变换角度讨论矩阵的特征向量定义及特征向量作为不变量的意义，对特征多项式只作为求解特征值的一个工具使用，不展开讨论．(7) 矩阵的应用是个难点，应通过应用使学生了解学习矩阵的必要性，感受矩阵在密码学，经济领域，生物学领域及网络图中的简单应用，但所用实例难度以教材为标杆．(8) 充分重视本专题教材上的例习题,应做到条条落实，切记＂忘本＂．本专题的复习应避免两个极端．一是不注意考试说明中的要求，将大学知识简单下放，苦煞学生；二是不重视本专题的复习，以它不是高中数学核心知识为由，敷衍了事．【典型例题】例1 求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.(2009江苏卷) 解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩解得：1,2,2,3x z y w =-===-， 从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 或由逆矩阵知识a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则1db ad bc ad bc A ca ad bc ad bc --⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦直接可得答案．例2 已知曲线C ：1=xy将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程；解：由题设条件，0000cos 45sin 45sin 45cos 45M ⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'M x y x x x T y y y y ⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎦⎦，即有''x y y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')'')2x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 选修系列(第5部分：矩阵与变换)
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 选修系列（第5部分：矩阵与变换）一、 线性变换与二阶矩阵 （一）矩阵相等的应用 〖例〗已知A=32ad b c ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，B=542b c a d +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，若A=B ，求a ，,,b c d 。
思路解析：由矩阵相等的定义，知矩阵A ，B 对应元素相等，列出方程组后求解。
解答：由矩阵相等的定义知53422a b c d b c a d=⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪+=+⎩，解得15,10,7, 4.a b c d ===-= （二）二阶矩阵与平面向量乘法的应用〖例〗在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程。
思路解析：由已知矩阵可得坐标变换公式，从而得到椭圆上点与曲线上F 上点坐标间的关系，再代入椭圆方程即可得F 的方程。
解答：设000(,)P x y 是椭圆上任意一点，点P 在矩阵A=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦的作用下的像为00(,)P x y '''。
∵A=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴坐标变换公式'0'002,x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴'0'00,2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩∵点P 在椭圆上，故220041x y +=， ∴'2'200()()1x y +=，∴曲线F 的方程为221x y +=。
（三）线性变换性质的应用〖例〗二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变成点（-1，-1）与（0，-2）。
（1）求矩阵M ；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线: 4.m x y -=求直线l 的方程。
思路解析：由已知条件下可利用待定系数法求矩阵M ，再通过矩阵M 对应的坐标变换公式确定直线l 与直线m 上点坐标间的关系，即可求直线l 的方程。
解答：1120(1),.1112120,,122120,.1221212,34a b a b a b M c d c d c d a b a b c d c d a b a b c d c d a b M c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=--+=⎧⎧⎨⎨-=--+=-⎩⎩=⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪=⎩设则有，也就是所以且解得所以.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦122(2),,3434(,):4(2)(34)4,20,20.x x y M y x y x y m x y x y x y x y l x y '=+⎡⎤⎧=∴⎨⎢⎥'=+⎣⎦⎩''-=∴+-+=++=∴++=坐标变换公式为是直线上的点.即直线的方程为 二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵 （一）与矩阵乘法的相关问题〖例〗⊿ABC 的顶点为A （0，0），B （0，0），C （0，1）。
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的
《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－2 矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值考情分析考点新知①掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.②求二阶矩阵的特征值和特征向量，利用特征值和特征向量进行矩阵运算．①理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.②会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.1. 设M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1012，求MN.解：MN＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1210.2. 已知矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273，若矩阵M的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b－2－7a，求a、b的值．解：由题意，知MM－1＝E，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273⎣⎢⎡⎦⎥⎤b－2－7a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab－1407b－213a－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧ab－14＝1，7b－21＝0，3a－14＝1，解得a＝5，b＝3.3. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式．解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[1 6－2－6]的特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3652的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0， 令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8，当λ1＝－3时⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，故特征值λ1＝－3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1； 当λ2＝8时⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5，故特征值λ2＝8的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤65.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1 求逆矩阵与逆变换例1 用解方程组的方法求下列矩阵M 的逆矩阵． (1) M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101； (2) M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.解：(1) 设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d， 则由定义知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝0，d ＝1，故M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－10 1.(2) 设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由定义知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝23，d ＝－13，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132323－13.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：依题意，由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴ A 点坐标为(2，－3)． 题型2 求特征值与特征向量例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．(1) 某某数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.变式训练 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3. M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969. 题型3 根据特征值或特征向量求矩阵例3 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，(1) 求e 1和e 2对应的特征值；(2) 对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α.解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ42e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1916，M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋3210.备选变式（教师专享） 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1有特征向量e 1→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，e 2→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2. (1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求M 100α→.解：(1) 由矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1变换的意义知M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120－1，又Me1→＝λ1e1→，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，故λ1＝2，同理Me2→＝λ2e2→，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，故λ2＝－1.(2) 因为α→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝xe1→＋ye2→，所以M100α→＝M100(xe1→＋y·e2→)＝xM100e1→＋yM100e2→＝xλ1001e1→＋yλ2100e2→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100xy.1. 求函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cosxsinx－1的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx＝－2－12sin2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.2. 已知矩阵A的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－143412－12，求矩阵A的特征值．解：∵ A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1.∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－143412－12，∴A＝(A－1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.∴矩阵A的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3. (2013·某某)已知矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.∴矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，∴A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3.4. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1) 某某数a 、b 的值；(2) 求A 2的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝[]ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y. 因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1， 而由a>0可得a ＝b ＝1. (2) 由(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1) 某某数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－8，得a ＋1＝－8，所以a ＝－9.(2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－9 1，则矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.2. 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N .解：(解法1)设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，据题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1－43⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－31，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，－4y ＋3w ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1，所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. (解法2)因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221.所以X ＝M －1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. 3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)，某某数a 的值；并求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－40，∴ 2－2a ＝－4a ＝3.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4. 当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a>0，b>0)．(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12013. (2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .(2) 对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y ，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD，y ＝D yD .请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
高三数学高考(理)第一轮复习精品课件：第15单元 矩阵与变换 新人教A
(1)设 A＝ac11
db11，B＝ac22
b2 d2
a1a2＋b1c2 a1b2＋b1d2
则 AB＝
c1a2＋d1c2
c1b2＋d1d2
.
(2)对直角坐标系 xOy 的任意向量 α，有 A(Bα)＝ (AB)α . (3)二阶矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝ A(BC) ．
(2)对于两个二阶矩阵 A 与 B，如果它们的 对应元素 都分 别相等，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A＝B.
4．矩阵与向量的乘法
第70讲│知识梳理
设
A＝
a c
b d
，a＝xy ，规定二阶矩阵
A
与向量
a
的乘积为
向量acxx＋＋dbyy，记为 Aa 或ac dbxy，
即 Aa＝ac dbxy＝acxx＋＋dbyy，这是矩阵ac db与向量xy的乘
2 2
2
－
2 2
2.
2
任意选取双曲线 x2－y2＝1 上的一点 P(x0，y0)，
它在变换 TM 作用下变为 P′(x′0，y′0)，
则有
Mxy00＝xy′′00，故xy′′00＝＝
22(x0－y0) 22(x0＋y0)
，
第70讲│要点探究
x0＝ ∴
22(x′0＋y′0)，
y0＝ 22(y′0－x′0).
【点评】本题较好地体现了矩阵的工具性作用。
第70讲│要点探究
变式题 将双曲线 C：x2－y2＝1 上点绕原点逆时 针旋转 45°，得到新图形 C′，试求 C′的方程．
【思路】先用旋转变换，再用转移代入法．
第70讲│要点探究
【解答】 由题意，得旋转变换矩阵
高考数学压轴专题新备战高考《矩阵与变换》图文解析
【最新】数学高考《矩阵与变换》专题解析一、151．解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解． 【详解】 解：Q (1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩化成矩阵形式Ax b =则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()()()24212242111242m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,()()()42161122116422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,()()()162222412216y D m mm m m m ==----+-=-当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m ==-，41y D m y D m-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，当1m =时，原方程组为21024160x y x y +-=⎧⎨++=⎩，无解．【点睛】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．2．用行列式解方程组252,23,24 1.x y z y z x y z ++=-⎧⎪--=⎨⎪++=-⎩【答案】1337313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项求得D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：125202324111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎦--⎣，1912502241D =-=-， 13922532141x D --=-=-，12503221121y D --==--，1312203241z D ---==-，所以13,37,31.3x y z D x D D y D D z D ⎧==⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组的行列式求解，考查运算求解能力．3．不等式21101x xba xa->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】12a =-，1b =-或1a =-，2b =- .【解析】 【分析】将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】2111x xb a xa-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，∵不等式的解为1＜x ＜2，∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知：11212ab ab a +⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，整理得：2a 2+3a +1＝0，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 12=-，b ＝﹣1． 【点睛】本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．4．已知(2,1)OA =u u u v ，(1,7)OB =u u u v ，(5,1)OC =u u u v ，若OD xOA =u u u v u u u v，()f x DB DC=⋅u u u v u u u v （,x y ∈R ）.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()4()15f xg x x-=在12x ≤≤条件下的最小值；（3）把()y f x =的图像按向量(2,8)a =-v平移得到曲线C ，过坐标原点O 作OM 、ON分别交曲线C 于点M 、N ，直线MN 交y 轴于点0(0,)Q y ，当MON ∠为锐角时，求0y 的取值范围.【答案】（1）2()52012f x x x =-+；（2）3）1(,0)(,)5-∞+∞U . 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式即可求()y f x =的解析式；（2）通过矩阵的计算公式，求出()g x 的表达式，然后利用基本不等式求最值即可； （3）根据向量平移关系即可求出曲线C 的解析式，设()()22,5,,5M m mN n n ，根据MON ∠为锐角时，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：（1）(2,),(2,)OD x OA x x D x x =⋅=∴u u u r u u u rQ ， (1,7),(5,1)OB OC ==u u u r u u u rQ ，(1,7),(5,1)B C ∴=， (12,7),(52,1)DB x x DC x x ∴=--=--u u u r u u u r，则2(12,7)(52,1)52012y DB DC x x x x x x =⋅=--⋅--=-+u u u r u u u r，即2()52012f x x x =-+； （2）由已知得：()4()1212()2052020515f x f xg x x x x x x x-==+=-++=+≥= 当且仅当125x x =，即[]1,25x =时取到最小值， 函数()4()15f xg x x-=在12x ≤≤条件下的最小值为；（3）22()520125(2)8y f x x x x ==-+=--Q ，()y f x ∴=的图象按向量(2,8)a =-r平移后得到曲线C 为25y x =；设()()22,5,,5M m mN n n ，则直线MN 的方程为222555y n x nm n m n--=--， 令0x =，则0y 5mn =-，若MON ∠为锐角，因为,,M O N 不可能共线，则22250OM ON mn m n ⋅=+>u u u u r u u u r，125mn ∴<-或0mn >， 01525y ∴-<-或005y ->， 即0y 0<或015y >， 故0y 的取值范围是1(,0),5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查向量的数量积公式的应用，以及向量平移的关系，考查学生的运算能力．5．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v； （2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v ；（2）()25216,0. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n nOP OP +=u u u u u ru u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ， 则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.6．已知关于x ,y 的一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩，当实数m 为何值时，并在有解时求出方程组的解.（1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩；（2）3m =；（3）2m =-【解析】 【分析】分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩对应的()()2263231m D m m m m m ==--=-+-()2222211x D m m m ==-++-，()()2232321y m D m m m ==-++（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D mD m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题7．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠. （1）求二价行列式1324a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩.【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，t R ∈；当23q ≠且0q ≠时，方程组无解.【解析】 【分析】（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =，∴1324a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解． 当241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439x y +=， 解为439x t y t⎧=-⎪⎨⎪=⎩，当23q ≠且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．8．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】 【分析】(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r可得33312M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即可. 【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为21()01f λλλ--=-(2)(1)λλ=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2， 当1λ=，时由二元一次方程0000x y x y --=⎧⎨+=⎩.得0x y +=，令1x =，则1y =-，所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦；当2λ=时，由二元一次方程0000x y x y -=⎧⎨+=⎩. 得0y =，令1x =，所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u ur u u r rQ ，33312M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.9．已知a ，b ，c ，d 四个城市，它们之间的道路联结网如图所示，试用矩阵表示这四个城市组成的道路网络.【答案】0210203013020022a b c da b c d⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】根据图像计算每两个城市之间的道路数，得到答案.根据图像计算每两个城市之间的道路数，如：,a b 之间有2条路；,b c 之间有3条路；同理得到矩阵： 0210203013020022a b c da b c d⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了矩阵表示道路网络，意在考查学生的应用能力.10．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .【答案】2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2314a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【点睛】此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.11．已知向量102112A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫⎪-⎝⎭，11⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】先求得1A -u r，以及其特征多项式()fλ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定义求解即可. 【详解】 设1A-u ra b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r 可得 10? 1?02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=， 故得1A-u r 1? 12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 则其特征多项式()()1? 1?122? f λλλλλ+==+-，令()0fλ=，可得特征值为121,2λλ==-.设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由11A λαα-=r，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1A -u r的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫⎪-⎝⎭； 同理可得矩阵1A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.12．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率； （2）若记此方程组的解为00x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率. 【答案】（1）1112；（2）1336. 【解析】【分析】（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】 （1）因为方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a ab b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯；（2）006232,2022232b x ax by a ba b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩Q 因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b---≠>>--，因此12,,33a ab b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯； 【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.13．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r. 【解析】 【分析】（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】 （1）令2()()(4)(4)4014a bf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r，故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．14．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩ 因为k≠0，所以a ＝2． 5分因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 考点：特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．15．已知矩阵14a b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r 求矩阵A .【答案】2314⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】根据矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r 得到33-=a b ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，故5a b +=，解得答案.【详解】矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，1114a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r u r，故33-=a b ； 属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，21514a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r u r，故5a b +=， 解得23a b =⎧⎨=⎩，故2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.16．己知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求1M -；（2）若曲线221:1C x y -=在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.【答案】（1）112332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；（2）223y x -= 【解析】 【分析】（1）根据逆矩阵的求法，求得M 的逆矩阵1M -.（2）设出1C 上任意一点的坐标，设出其在矩阵M 对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入1C 方程，化简后可求得2C 的方程. 【详解】解（1）设所求逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩，所以112332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）设曲线1C 上任一点坐标为()00,x y ，在矩阵M 对应的变换作用下得到点(),x y ，则001221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即000022x y x x y y +=⎧⎨+=⎩，解得002323y x x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩. 因为2201x y -=，所以2222133y x x y --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得223y x -=， 所以2C 的方程为223y x -=. 【点睛】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.17．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】 【分析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单18．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量．解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1214a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()2121425614fλλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ；当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r .【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．19．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .【答案】1102-⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线220x ay bx y +++-=，对比得到答案.【详解】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点， 其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.20．定义“矩阵”的一种运算()x a b ax by cx dy c y d ⎡⎤⎛⎫⋅=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，该运算的意义为点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的变换下成点()ax by cx dy ++，，设矩阵11A ⎛=-⎭()1已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q的坐标为)2，试求点P 的坐标；()2是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由． 【答案】（1）14⎫⎪⎭（2）存在，直线方程为：y x =或y = 【解析】 【分析】()1设(),P x y ，由题意，得出关于x 、y 的方程，解之即得P 点的坐标；()2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：()0y kx b k =+≠，该直线上的任一点(),M x y，经变换后得到的点()N x y +-仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k ，b 值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在． 【详解】()1设(),P x y由题意，有124x x y y ⎧=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎪⎩，即P点的坐标为14⎫⎪⎭． ()2假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，所以设直线方程为：()0y kx b k =+≠因为该直线上的任一点(),M x y，经变换后得到的点()N x y +-仍在该直线上()-=++y k x b即)()10k x y b --=，其中()0y kx b k =+≠代入得()2220k x b +++=对任意的x ∈R恒成立()22020k b +=+=⎪⎩解之得30k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或0k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故直线方程为y x =或y =． 【点睛】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．。
高三数学专题复习：矩阵与变换
一、知识梳理【高考考情解读】本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分．1．矩阵乘法的定义2．几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换．3．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念(2)逆矩阵的求法(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.②已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(4)逆矩阵与二元一次方程组4．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念(2)特征向量的几何意义(3)特征多项式(4)求矩阵的特征值与特征向量二、课前预习1 . ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝________. 2．若X ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1，则二阶矩阵X ＝____________. 3．圆x 2＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12对应的变换作用下的结果为________．4．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 65 2，则A 的特征值为________． 5．设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素a ij ＝i 2＋j (i ＝1,2；j ＝1,2)，则A ＝__________. 三、典型例题考点一 利用向量证明平行与垂直关系 考点一 常见矩阵变换的应用 例1、已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2.(1)求满足条件AM ＝B 的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换将曲线C ：x 2＋y 2＝1变换为曲线C ′，求曲线C ′的方程．考点二 求二阶矩阵的逆矩阵 例2、设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．考点三 求矩阵的特征值与特征向量例3、已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．四、课后练习 一、填空题 1． 求满足X ⎣⎢⎡⎦⎥⎤231 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－11的二阶矩阵X .2． 双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为F ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3，求点F 在矩阵BA 对应的变换作用下的象F ′.3． 求函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14变换作用下的结果．4． (2012·江苏)已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值．5． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.6． 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0，3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .7． 已知曲线C ：xy ＝1，将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程．8． 在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)、B (1,1)、C (0,2)，求△ABC 在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.9． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)．(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．10．(2012·福建)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．。
江苏省一轮复习数学试题选编7：矩阵与变换(学生版).pdf
江苏省2014届一轮复习数学试题选编37：矩阵与变换 填空题 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））设矩阵的逆矩阵为,a+b+c+d=_________________. 解答题 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 已知矩阵的一个特征值为,其对应的一个特征向量为,已知,求. ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）B 选修4 - 2:矩阵与变换若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵. ．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）B.选修4-2:(矩阵与变换)已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M. ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换 已知,若矩阵所对应的变换把直线:变换为自身,求. ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为,求矩阵M的逆矩阵. ．（2010年高考（江苏））矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0,k∈R,M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换 已知曲线,在矩阵M对应的变换作用下得到曲线,在矩阵N对应的变换作用下得到曲线,求曲线的方程. ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—2 :矩阵与变换]若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆求矩阵的逆矩阵.．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））(本小题满分l4分) 已知二阶矩阵M属于特征值一1的一个特征向量为,属于特征值2的一个特征向量为,求矩阵M及其逆矩阵. ．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）[选修4 - 2:矩阵与变换]已知矩阵 有特征值及对应的一个特征向量,求曲线在的作用下的新曲线方程. ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）B.选修4—2:矩阵与变换设a>0,b>0,若矩阵A=把圆C:x2+y2=1变换为椭圆E:+=1.(1)求a,b的值;(2)求矩阵A的逆矩阵A-1.．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-2:矩阵与变换)求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中 , .．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）选修4 - 2:矩阵与变换已知矩阵,向量.求向量,使得.．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—2:矩阵与变换 已知矩阵,若矩阵属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量为.求矩阵的逆矩阵.．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 求曲线:在矩阵对应的变换下得到的曲线的方程. ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 已知,,在矩阵对应变换的作用下,得到的对应点分别为,,,求矩阵.．（2012年江苏理）已知矩阵的逆矩阵,求矩阵的特征值. ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换已知,点A在变换T:作用后,再绕原点逆时针旋转90o,得到点、B.若点B的坐标为(-3,4),求点A的坐标. ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷） ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—2:矩阵与变换已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0, 2),B(1,1),C(1,3).若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A1B1C1,其中B(1,1) 在变换T作用下变为点B1(1,-1).(1)求切变变换T所对应的矩阵M;(2)将△A1B1C1绕原点O按顺时针方向旋转30后得到△A2B2C2.求△A2B2C2的面积.．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—2:矩阵与变换) 本小题满分10分)已知矩阵的一个特征值为,求其另一个特征值. ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—2:矩阵与变换已知矩阵M=对应的变换将点A(1,1)变为A' (0,2),将曲线C:xy=1变为曲线C'.(1)求实数a,b的值;(2)求曲线C' 的方程.．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）B.[选修4-2:矩阵与变换]设,,试求曲线在矩阵变换下的曲线方程. ．（2009高考(江苏)）的逆矩阵. ．（2013江苏高考数学）B.[选修4-2:矩阵与变换]本小题满分10分.已知矩阵,求矩阵.．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知矩阵A属于特征值的一个特征向量为α1，属于特征值的一个特征向量为α2．A，并写出A的逆矩阵． ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 已知矩阵的一个特征值为3, 求的另一个特征值及其对应的一个特征向量. ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(矩阵与变换)设矩阵,若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为,属于特征值2的一个特征向量为,求实数的值. ．（2011年高考（江苏卷））已知矩阵,向量,求向量,使得江苏省2014届一轮复习数学试题选编37：矩阵与变换参考答案 填空题 0 解答题 选修4 - 2:矩阵与变换解.设,由 得,即,, 所以 B.选修4-2:(矩阵与变换)设,则,故 ,故 联立以上两方程组解得,故=对于直线上任意一点,在矩阵对应的变换作用下变换成点,则,因为,所以, 所以解得所以, 所以 【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,由,得因为在圆上,所以,化简可得 依题意可得,或而由可得 故, ，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。
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x′2 C′上，所以 4 ＋y′2＝1， a2x2 2 2 则 4 ＋b y ＝1 为曲线 C 的方程．
2 a ＝4， 又已知曲线 C 的方程为 x ＋y ＝1，故 2 b ＝1， 2 2
a＝2， 又 a＞0，b＞0，所 以 (10 分) b＝1.
巩固提高
1 1．曲线 C1：x2＋2y2＝1 在矩阵 M＝ 0 程． 解 设 P(x，y)为曲线 C2 上任意一点，P′(x′，y′)为曲线 x2＋2y2＝1 上与 P 对应的点， 2 1的作用下变换为曲线 C2，求 C2 的方
设 P(x， y)为圆 C 上的任意一点，在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点
[来源:Z&xx&]
P′(x′，y′)， x′ a 则y′＝ 0
x′＝ax， 0 x ，即 b y y′＝by.
x2 y2 a2x2 b2y2 又因为点 P′(x′， y′)在椭圆 9 ＋ 4 ＝1 上， 所以 9 ＋ 4 ＝1.由已知条件可知， x2＋y2＝1，所以 a2＝9，b2＝4. 因为 a＞0，b＞0，所以 a＝3，b＝2. 2 1 a 4 ．已知 a＝ 1为矩阵 A＝－1 4属于 λ 的一个特征向量，求实数 a，λ 的值及 A2 . 1 解 由条件可知 －1 a 2 2 4 1＝λ1，
a 1 －4 ＝ ， 1－2 0
所以 2－2a＝－4.所以 a＝3. 2 (2)由(1)知 M＝ 2 λ－2 f(λ)＝ －2 3 ，则矩阵 M 的特征多项式为 1
－3 ＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4. λ－1
令 f(λ)＝0，得矩阵 M 的特征值为－1 与 4. λ－2x－3y＝0， 当 λ＝－1 时， ⇒x＋y＝0. －2x＋λ－1y＝0 1 所以矩阵 M 的属于特征值－1 的一个特征向量为 . －1 λ－2x－3y＝0， 当 λ＝4 时， ⇒2x－3y＝0. －2x＋λ－1y＝0 3 所以矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 . 2 a b ，矩阵 A 属于特征值 λ1＝－1 的一个特征向 【变式 3 】 已知二阶矩阵 A＝ c d 1 3 量为 a1＝ ，属于特征值 λ2＝4 的一个特征向量为 a2＝ ，求矩阵 A. 2 －1 解 由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1， a－b＝－1， 1 a b 1 ＝－1× ，得 即 c d －1 －1 c－d＝1. 3a＋2b＝12， 同理可得 解得 a＝2，b＝3，c＝2，d＝1. 3c＋2d＝8. 2 因此矩阵 A＝ 2 3 . 1
0 1 1＝－2
设 P(x′，y′)是曲线 2x2－2xy＋1＝0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换 下变为点 P(x，y)， x 1 则 y＝－2 x′ 0x′ ， 2y′＝ －2x′＋2y′
y 于是 x′＝x，y′＝x＋2， 代入 2x′2－2x′y′＋1＝0，得 xy＝1. 所以曲线 2x2－2xy＋1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为 xy＝1.
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1 则 0
x＝x′＋2y′， x′＝x－2y， 2x′ x ＝ ，即 ⇒ 1y′ y y＝y′ y′＝y.
因为 P′是曲线 C1 上的点， 所以 C2 的方程为(x－2y)2＋2y2＝1. 1 2．已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值 3 的一个特征向量是 1，求 矩阵 A. a 解 设 A＝ c a 由 c a＝2， b a b 1＝2，得 ，由 d c d 0 3 c＝3.
0 1 ，B＝ 0 1 c ， d
3 ，求矩阵 AB 的逆矩阵． 1
a 解 设矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝ b 1 则 2 0 a 1 b c a ＝ d 2a＋b
c 1 2c＋d＝ 0
0 ， 1
解之得，a＝1，b＝－2，c＝0，d＝1， 1 所以 A－1＝ －2 1 同理得，B－1＝ 0 1 所以(AB)－1＝ 0 题型三 0 . 1 －3 .又(AB)－1＝B－1A－1， 1 －3 1 1－2 0 7 ＝ 1 －2 －3 . 1
a＋b＝3， b＝1， b1 1＝3，得 ＝ 3 所以 d1 1 3 c＋d＝3. d＝0. 1 0. 0 b(a＞0，b＞0)对应的变换作用下变为
2 所以 A＝ 3
a 3．已知圆 C：x2＋y2＝1 在矩阵形 A＝ 0 x2 y2 椭圆 9 ＋ 4 ＝1，求 a，b 的值． 解
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15.1 矩阵与变换
考情分析
1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考 查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形， 进而研究新图形的性质．
[来 源:Z。xx。]
2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的 性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题．
重难点突破
a 【例 4】设矩阵 M＝ 0 0 (其中 a＞0，b＞0)． b
(1)若 a＝2，b＝3，求矩阵 M 的逆矩阵 M－1；
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x2 (2)若曲线 C：x2＋y2＝1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C′： 4 ＋ y2＝1，求 a，b 的值． x1 y1 ， [解析] (1)设矩阵 M 的逆矩阵 M－1＝ x2 y2 1 则 MM－1＝ 0 2 所以 0 0x1 3x2 0 2 .又 M＝ 0 1 y1 1 ＝ y2 0 0 ， 3
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4．特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使 Aα＝λα，那 么 λ 称为 A 的一个特征值，而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量． 题型一 矩阵与变换
【例 1】求曲线 2x2－2xy＋1＝0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程， 1 其中 M＝ 0 1 解 MN＝ 0 0 1 2，N＝－1 0 1 2－1 0 1. 0 2.
基础知识
[来源:学+科+网]
1．乘法规则 (1)行矩阵 [a11 [a11
21
b11 a12]与列矩阵 b 的乘法规则：
21
b11 a12] b ＝[a11×b11＋a12×b21]．
21
a11 (2) 二阶矩阵 a
a12 x0 a22与列向量y0的乘法规则：
a11 a12 x0＝a11×x0＋a12×y0. a21 a22 y0 a21×x0＋a22×y0 (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： a11 a12 b11 b12＝ a21 a22 b21 b22 a11×b11＋a12×b21 a11×b12＋a12×b22 a21×b11＋a22×b21 a21×b12＋a22×b22
0 ， 1 0 ， 1
0 －c －d 1 ，即 ＝ 1 2b 0 2a a＝0，
－d＝0， 所以 2a＝0， 2b＝1，
b＝1 2， 解得 c＝－1， d＝0.
0 故(AB) ＝ －1
－1
1 2. 0
1 【变式 2】 已知矩阵 A＝ 2
[来源:学科网 ZXXK]
(4) 两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即 (AB)C ＝ A(BC)，AB≠BA，由 AB＝AC 不一定能推出 B＝C. 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行 乘法运算． 2．常见的平面变换 恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换． 3．逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是可逆的，B 称为 A 的逆矩 阵； (2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.
矩阵的特征值与特征向量 a ，其中 a∈R，若点 2 到点 P′(－4,0)，求： (1)实数 a 的值；
[来源:学§科§网]
(2)矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．
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2 解 (1)由 2
1 所以 M 为 2 题型二
矩阵的乘法与逆矩阵
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1 【例 2】已知矩阵 A＝ 0 1 解 AB＝ 0 0 0 2 1
0 0 ，B＝ 2 1 －1 . 0
－1 ，求(AB)－1. 0
－1 0 ＝ 0 2
a b 1 ，则由(AB)· 设(AB)－1＝ (AB)－1＝ c d 0 0 得 2 －1 a b 1 ＝ 0 c d 0 －c＝1，
2＋a＝2λ， 所以 解得 a＝λ＝2. －2＋4＝λ，
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1 因此 A＝ －1 1 所以 A2＝ －1
2 4. 2 1 4 －1 2 －1 4＝－5 10 14.
【变式 1】 四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′分别是矩形和平行四边形， 其中点的坐标分别为 A(－1,2)，B(3,2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1,0)， B′(3,8)， C′(3,4)， D′(－1， －4)， 求将四边形 ABCD 变成四边形 A′B′C′D′ 的变换矩阵 M. 1 0 解 该变换为切变变换， 设矩阵 M 为 k 1， 1 则 k 0－1 －1 1 2＝ 0 .所以－k＋2＝0，解得 k＝2. 0 1.
0 ， 1
所以 2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1， 1 1 即 x1＝2，y1＝0，x2＝0，y2＝3，
故所求的逆矩阵 M
－
1 2 1 ＝ 0
0 .(5 分) 1 3
(2)设曲线 C 上任意一点 P(x，y)，它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 a P′(x′，y′)，则 0 0 x x′ ax＝x′， ＝ ，即 又点 P′(x′，y′)在曲线 b y y′ by＝y′，