2019年甘肃省兰州市中考数学试卷(a卷)附分析答案
2019年甘肃省兰州市中考数学试题及参考答案
兰州市2019年中考试题数学（A）注意事项：1.本试卷满分150 分，考试用时120 分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
一、选择题：本大题共15 小题，每小题4 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。
1.如图是由5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。
（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形。
从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A。
2.反比例函数的图像在（）。
（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数的图象受到k的影响，当k 大于0 时，图象位于第一、三象限，当k小于0 时，图象位于第二、四象限，本题中k ＝2 大于0，图象位于第一、三象限，所以答案选B。
3.已知△ABC ∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3／4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）。
（A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选A。
4.在Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则AB＝（）。
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在Rt △ABC中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得AB＝10，所以答案选D。
5.一元二次方程的根的情况（）。
（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根（C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根【答案】B【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B。
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD／DB＝2／3，则AE／EC＝（）。
2019年兰州市中考数学试题(解析版)
2019年兰州市中考数学试题（解析版）（满分150分，时间120分钟）一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1. －2019的相反数是（ ）A.20191 B. 2019 C. －2019 D. －20191【答案】B ．【解析】－（－2019）＝20192.如图，直线a,b 被直线c 所截，a ∥b, ∠1＝∠800， 则∠2＝（ ）A. 1300.B. 1200.C. 1100.D. 1000. 【答案】D ．【解析】∵∠1＝800，∴∠1的对顶角为800，又∵ a ∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补， ∴∠2＝1800－800＝1000，3. 计算：12－3＝ （ ）A.3 . B. 23. C. 3 . D. 43 .【答案】A ．【解析】12－3＝23－3＝3. 4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】C ．【解析】轴对称图形关于某条直线对称，可以排除A 、B ，中心对称图形是图形绕某一点旋转1800后与原图形重合的图形排除D.5. x ＝1是关于的一元二次方程x 2+ax +2b ＝0的解，则2a +4b ＝（ ）A. －2 .B. －3 .C. 4 .D. －6. 【答案】A ．【解析】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.第2题图6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A ＝400，则∠C ＝（ ）A. 1100.B. 1200.C. 1350.D. 1400.【答案】D ．【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝400，∴∠C ＝1800－400＝1400，7. 化简：12112+-++a a a ＝ （ ） A. a －1 . B. a+1 . C.11+-a a . D. 11+a . 【答案】A ． 【解析】12112+-++a a a ＝1212+-+a a ＝1)1)(1(+-+a a a ＝a －1 .8.已知△ABC ∽△A′B′C′, AB ＝8，A ’B ’＝6， 则''C B BC＝ （ ） A. 2 . B. 34 . C. 3 . D. 916.【答案】B ．【解析】∵△ABC ∽△A′B′C′,∴''B A AB ＝''C B BC又∵AB ＝8，A ’B ’＝6， ∴''CB BC ＝34. 故选B.9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程为 （ ） A. ⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 65165 B.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156 C. ⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165 D. ⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 54156 【答案】C ．【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程： 4x+y ＝5y+x,10. 如图，平面直角坐标系xoy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （－3，5），B （－4，3），A 1（3，3）.则点B 1坐标为（ ）A. （1，2）B. （2，1）C. （1，4）D. （4，1） 【答案】B ．【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A （－3，5）到A 1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B （－4，3）平移后B 1（2，1）. 故选B.11. 已知,点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2> y 1> y 2B. 2 > y 2 > y 1C. y 1> y 2>2D. y 2 > y 1>2 【答案】A ．【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x>－1时，y 随x 的增大而减小.因为－1<1<2.,所以2> y 1> y 2 . 故选A. 12. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M,则DM ＝（ ）A.21B. 22C.3－1 D. 2－1【答案】D ．【解析】过点M 作MP ⊥CD 垂足为P ，过点O 作OQ ⊥CD 垂足为Q ，∵ 正方形的边长为2， ∴OD ＝1, OC ＝1, OQ ＝DQ ＝22,由折叠可知，∠EDF ＝∠CDF. 又∵AC ⊥BD, ∴OM ＝PM, 设OM ＝PM ＝x ∵OQ ⊥CD ，MP ⊥CD∴∠OQC ＝∠MPC ＝900， ∠PCM ＝∠QCO, ∴△CMP ∽△COQ∴OQ MP ＝COCM, 即1122xx -=， 解得x ＝2－1∴OM ＝PM ＝2－1.故选D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 因式分解：a 3 +2 a 2+ a ＝___________.【答案】a （a +1）2．【解析】a 3 +2 a 2+ a ＝a （a 2 +2 a + 1）＝a （a + 1）2.14. 在△ABC 中，AB ＝AC, ∠A ＝400，则∠B ＝___________. 【答案】700．【解析】∵AB ＝AC, ∠A ＝400， ∴∠B ＝∠C ＝700.15. 如图， 矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y ＝xk（x>0）的图象上，S 矩形OABC＝6，则k ＝___________.【答案】6．【解析】|k |＝S 矩形OABC ＝6，∵图象在第一象限，∴k>0，∴k ＝6.16. 如图， 矩形ABCD, ∠BAC ＝600. 以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB 、AC 于点M 、N 两点，再分别以点M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于___________.【答案】33．【解析】 由题可知AP 是∠BAC 的角平分线∵∠BAC ＝600∴∠BAE ＝∠EAC ＝300 ∴AE ＝2 BE ＝2.∴AB ＝3∴∠AEB ＝600又∵∠AEB ＝∠EAC+∠ECA ∴∠EAC ＝∠ECA ＝300 ∴AE ＝EC ＝2 ∴BC ＝3∴S 矩形ABCD ＝33．三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题5分）计算：|－2|－（3+1）0+（－2）2－tan450 . 【答案】4．【解析】解：原式＝2－1+4－1＝4.18.(本题5分) 化简：a (1－2a )+2(a +1)(a －1)【答案】a －2．【解析】解：a (1－2a )+2(a +1)(a －1)＝a －2a 2+2a 2－2 ＝a －2.19.（本题5分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x【答案】2<x<6．【解析】 解：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x由①得：x<6由②得：x>2所以原不等式组的解集为：2<x<6.20. （本题6分）如图，AB ＝DE, BF ＝EC. ∠B ＝∠E. 求证：AC ∥DF.【答案】AC ∥DF.【解析】证明：∵BF ＝EC∴BF+CF ＝EC+CF ∴BC ＝EF在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴△ABC ≌△DEF (SAS) ∴∠ACB ＝∠EFD ∴AC ∥DF.21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A 1,A 2,A 3,A 4表示）; 第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B 1,B 2,B 3表示）.①② ① ②第20题图（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.【答案】解：（1）12种．（2）61. 【解析】（1）解：二 一 B 1 B 2 B 3 A 1 A 1B 1 A 1B 2 A 1B 3 A 2 A 2B 1 A 2B 2 A 2B 3 A 3 A 3B 1 A 3B 2 A 3B 3 A 4A 4B 1A 4B 2A 4B 3（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目) ＝122＝61.22.（本题7分）如图， AC ＝8,分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交于点B 和D ，依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O.（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由； （2）求BD 的长. 【答案】（1）菱形， （2）BD ＝6．【解析】 证明：（1）由图可知，BD 垂直平分AC ，且AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5,所以四边形ABCD 是菱形.（2）∵AC ＝8, BD ⊥AC 且BD 平分AC ，∴OA ＝OC ＝4∴在Rt △AOB 中，OB ＝22OA AB -＝2245-＝3,∴BD ＝2 OB ＝2×3＝6 ∴BD 的长为6.23. （本题7分）如图， 在平面直角坐标系xoy 中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B ，OC ＝2,点A 在反比例函数图象上，连接AC 、AO. （1）求反比例函数y ＝xk（k ≠0）的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标.【答案】（1）y ＝x3； （2）A （21，23）【解析】 解：（1）∵ OC ＝2,∴OM ＝1, BM ＝3, ∴点B(－1 ，－3 )， ∴ k ＝(－1) ×（－3 ) ＝3,∴y ＝x3. （2）∵S ACBO ＝33， S ACBO ＝S △AOC + S △BOC∵S △BOC ＝43OC 2＝3, ∴3+ S △AOC ＝33， ∴S △AOC ＝23. ∵OC ＝2 ∴21×OC×AN ＝23 ∴AN ＝23 设A （t ，23） ∴23t ＝3∴t ＝21 ∴A （21，23）.25 （本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下： 问题提出：如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC 的遮阳篷CD. 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC ＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC ＝30.560）；窗户的高度AB ＝2m. 问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD 的长.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86, tan30.560≈0.59, Sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22, tan77.440≈4.49）.【答案】0.5m ．【解析：在Rt △BCD 中，∠BCD ＝900，∠BDC ＝30.560，∵tan ∠BDC ＝CDBC, ∴BC ＝CD ⋅tan ∠BDC,在Rt △ACD 中，∠ACD ＝900，∠ADC ＝77.440， ∵tan ∠ADC ＝CDAC, ∴AC ＝CD ⋅tan ∠ADC, ∵AC －BC ＝AB,∴CD ⋅tan ∠ADC －CD ⋅tan ∠BDC ＝2 即 CD ⋅tan77.440－CD ⋅tan30.560＝2 （4.49－0.59）CD ＝2 ∴CD ＝0.5答：遮阳篷CD 长为0.5m.26.（本题9分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm,BC ＝8cm,点D 为BC 的中点，BE ＝DE.将∠BDE 绕点D 顺时针旋转a 度（00≤a ≤830）.角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点.设B 、M 两点间的距离为x cm ，M 、N 两点间的距离为y cm.小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是根据B 、M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值： x/cm0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.5038 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10y/cm 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87请你通过计算，补全表格.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy 中，描出表中各组数值所对应的点（x ，y ）.并画出函数y 关于x 的图象：（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势__________. (4)解决问题：当MN ＝2BM 时，BM 的长度大约是_________cm （保留两位小数）.【答案】（1） x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50383.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.934.10 y/cm32.88 2.81 2.69 2.67 2.803.153103.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87 （2）图略（描点可得）（3）随着自变量x 的不断增大，函数y 呈现先减小再增大的趋势. （4）4和1.33【解析】 （1）当x ＝0时，M 点与N 点分别和B 点E 点重合 MN ＝BE ＝3 当x ＝38时，假设DN 交CA 的延长线于点H ∵AB ＝AC, ∴∠B ＝∠C,又∵D 为BC 的中点， BE ＝DE.∴∠B ＝∠EDB, ED 为AC 边的中位线 根据旋转性质∠B ＝∠EDB ＝∠C ＝∠MDN, ∵∠NDB ＝∠H+∠C(外角性质) ∠NDB ＝∠MDB+∠MDN, ∴∠MDB+∠MDN ＝∠H+∠C ∴∠MDB ＝∠H, ∠B ＝∠C, ∴△MDB ∽△DHC ∴BD CH ＝BMDC,∴4CH ＝384, CH ＝6＝AC 即A 点与H 点重合 ∴MN ＝6－BM ＝310. (2)根据表格描点可得.（3）根据图象可得（4）∵MN ＝2BM设BM ＝x ，MN ＝2x ，EN ＝3x －3 ， AN ＝6－3x ，∵∠NDB ＝∠H+∠C(外角性质)∠NDB ＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN ＝∠H+∠C∴∠MDB ＝∠H, ∠B ＝∠C,∴△MDB ∽△DHC∴BD CH ＝BMDC , ∴4CH ＝x 4, ∴CH ＝x 16， HA ＝HC －AC ＝x 16－6 又∵△HAN ∽△DEN∴ED AH ＝NEAN , ∴3616-x ＝3336--x x , 解得： x 1＝4， x 2＝34≈1.33 答：BM 为4或1.33.主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如右图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900,将斜边AB 绕点A 顺时针旋转900得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE,进而得到AC ＝DE, BC ＝AE.我们把这个数学模型称为“K 型”推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝900, BC ＝2.将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定角度得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，∠DAE ＝∠ABC, DE ＝1,连接DO 交⊙O 于点F.（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G ，连接FB ，求证：FG 2＝GO •GB.【答案】答案见解析．【解析】 （1）证明：∵∠DAE ＝∠ABC 且∠ABC+∠CAB ＝900,∴∠EAD+∠CAB ＝900,∴∠DAB ＝900,∵AO 为⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线.（2）证明：由（1）知∠DAB ＝900,∵ AC ＝1， BC ＝2∴AB ＝5,由模型可知，△AED ≌△BCA,∴AD ＝5,∴AO ＝25, ∴DO ＝25, ∵AD AE ＝DO AD ＝AODE ＝552, ∴△AED ∽△DAO∴∠EAD ＝∠ADO∴AE ∥DO∴∠ACF ＝∠CFO ＝∠ABF∵∠FGO ＝∠BGF,∴△FGO ∽△BGF∴BG FG ＝FGGO ∴FG 2＝GO •GB.28.(本题12分)二次函数y ＝a x 2+bx+2的图象交x 轴于点A （－1，0），点B。
2019年甘肃省兰州市中考数学试卷附解答
2019 年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分.1．（4 分）﹣2019 的相反数是（）A． B．2019 C．﹣2019 D．﹣2．（4 分）如图，直线a，b 被直线c 所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°3．（4 分）计算：﹣＝（）A． B．2 C．3 D．44．（4 分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4 分）x＝1 是关于x 的一元二次方程x2+ax+2b＝0 的解，则2a+4b＝（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣66．（4 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°7．（4 分）化简：﹣＝（）A．a﹣1 B．a+1 D．8．（4 分）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2 C．3 D．9．（4 分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（）A．B．C．D．10．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1 的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，4）D．（4，1）11．（4 分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2 上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2 12．（4 分）如图，边长的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M，则OM＝（）A． B． C．﹣1 D．﹣1二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分.13．（4 分）因式分解：a3+2a2+a＝．14．（4 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝°．15．（4 分）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，S 矩形OABC＝6，则k＝．16．（4 分）如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC 于点M，N 两点，再分别以点M，N 为圆心，以大MN 的长作半径作弧交于点P，作射线AP 交BC 于点E，若BE＝1，则矩形ABCD 的面积等于．三、解答题：本大题共12 小题，共86 分.17．（5 分）计算：|﹣2|﹣（+1）0+（﹣2）2﹣tan45°．18．（5 分）化简：a（1﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）．19．（5 分）解不等式组：．20．（6 分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．21．（6 分）2019 年5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4 表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3 表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22．（7 分）如图，AC＝8，分别以A、C 为圆心，以长度5 为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D．依次连接A、B、C、D，连接BD 交AC 于点O．（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由；（2）求BD 的长．23．（7 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC 的顶点B，OC＝2，点A 在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO 的面积是，求点A 的坐标．24．（7 分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1 班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级 1 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一分析数据：表二小丽用同样的方法对八年级 2 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，数据如下：表三根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1 班学生的成绩在80≤x＜90 这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25．（7 分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳蓬CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）26．（9 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D 为BC 的中点，BE＝DE，将∠BDE 绕点D 顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB 于M、N 两点，设B、M 两点间的距离为xcm，M，N 两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值：2.50请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y 关于x 的图象．（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势：．（4）解决问题：当MN＝2BM 时，BM 的长度大约是cm．（保留两位小数）．27．（10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D 作DE⊥AC 于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO 交⊙O 于点F．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．28．（12 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y＝ax2+bx+2 的图象交x 轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y 轴于点C．动点M 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN⊥x 轴交直线BC 于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2 的表达式；（2）连接BD，当时，求△DNB 的面积；（3）在直线MN 上存在一点P，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当时，在直线MN 上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q 的坐标．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分.1．（4 分）﹣2019 的相反数是（）A． B．2019 C．﹣2019 D．﹣【分析】根据相反数的概念求解可得．【解答】解：﹣2019 的相反数为2019，故选：B．【点评】本题主要考查相反数，解题的关键是掌握相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．（4 分）如图，直线a，b 被直线c 所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°【分析】先利用对顶角相等得到∠3＝80°，然后根据平行线的性质，利用∠1+∠2＝180°可计算出∠2 的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝80°，∴∠3＝80°，∵a∥b，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．3．（4 分）计算：﹣＝（）A． B．2 C．3 D．4【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．【解答】解﹣＝2﹣＝，故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根式加减运算顺序．4．（4 分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．5．（4 分）x＝1 是关于x 的一元二次方程x2+ax+2b＝0 的解，则2a+4b＝（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6【分析】先把x＝1 代入方程x2+ax+2b＝0 得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值．【解答】解：把x＝1 代入方程x2+ax+2b＝0 得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（4 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．7．（4 分）化简：﹣＝（）A．a﹣1 B．a+1 D．【分析】先根据法则计算，再因式分解、约分即可得．【解答】解：原式＝＝＝a﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则．8．（4 分）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2 C．3 D．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．9．（4 分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．10．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1 的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，4）D．（4，1）【分析】根据A 和A1 的坐标得出四边形ABCD 先向下平移2 个单位，再向右平移6 个单位得到四边形A1B1C1D1，则B 的平移方法与A 点相同，即可得到答案．【解答】解：由A（﹣3，5），A1（3，3）可知四边形ABCD 先向下平移2 个单位，再向右平移6 个单位得到四边形A1B1C1D1，∵B（﹣4，3），∴B1 的坐标为（2，1），故选：B．【点评】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．11．（4 分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2 上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2【分析】分别计算自变量为 1 和 2 对应的函数值，然后对各选项进行判断．【解答】解：当x＝1 时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2 时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．12．（4 分）如图，边长为的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M，则OM＝（）A． B． C．﹣1 D．﹣1【分析】根据正方形的性质得到，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC，求得AB＝2，得到OD＝BO＝OC＝1，根据折叠的性质得到DE＝DC＝，DF⊥CE，求得﹣1，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC，∴BD＝AB＝2，∴OD＝BO＝OC＝1，∵将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点 E 处，∴DE＝DC＝，DF⊥CE，∴OE＝﹣1，∠EDF+∠FED＝∠ECO+∠OEC＝90°，∴∠ODM＝∠ECO，在△OEC 与△OMD 中，，△OEC≌△OMD（ASA），∴OM＝OE＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分.13．（4 分）因式分解：a3+2a2+a＝a（a+1）2 ．【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．【解答】解：a3+2a2+a，＝a（a2+2a+1），…（提取公因式）＝a（a+1）2．…（完全平方公式）故答案为：a（a+1）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式．14．（4 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝ 70 °．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B 的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°．故答案为70．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．15．（4 分）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，S 矩形OABC＝6，则k＝ 6 ．【分析】因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S＝|k|．【解答】解：根据题意，知S＝|k|＝6，k＝±6，又因为反比例函数位于第一象限，k＞0，所以k＝6，故答案为6．【点评】主要考查了反比例函数中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．16．（4 分）如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC 于点M，N 两点，再分别以点M，N 为圆心，以大MN 的长作半径作弧交于点P，作射线AP 交BC 于点E，若BE＝1，则矩形ABCD 的面积等于 3 ．【分析】根据矩形的性质得到∠B＝∠BAD＝90°，求得∠ACB＝30°，由作图知，AE 是∠BAC 的平分线，得到∠BAE＝∠CAE＝30°，根据等腰三角形的性质得到AE＝CE，过E 作EFAC 于F，求得EF＝BE＝1，求得，解直角三角形得到AB＝，BC＝3，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，由作图知，AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，过 E 作EFAC 于F，∴EF＝BE＝1，∴AC＝2CF＝2，∴AB＝，BC＝3，∴矩形ABCD 的面积，故答案为．【点评】本题主要考查矩形的性质，作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质及直角三角形30°角所对边等于斜边的一半．三、解答题：本大题共12 小题，共86 分.17．（5 分）计算：|﹣2|﹣（+1）0+（﹣2）2﹣tan45°．【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式＝2﹣1+4﹣1＝4．【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值性质、零指数幂的规定、乘方定义和三角函数值．18．（5 分）化简：a（1﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）．【分析】先去括号，再注意到（a+1）（a﹣1）可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可【解答】解：原式＝a﹣2a2+2（a2﹣1）＝a﹣2a2+2a2﹣2＝a﹣2【点评】本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的关键．19．（5 分）解不等式组：．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x＞2，所以，不等式组的解集为2＜x＜6．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．20．（6 分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．【分析】要证明AC∥DF，只要证明∠ACB＝∠DFE 即可，要证明∠ACB＝∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF 即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，在△ABC 和△DEF 中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．21．（6 分）2019 年5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4 表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3 表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．【分析】（1）利用画树状图展示所有12 种等可能的结果数；（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）画树状图为：共有12 种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．22．（7 分）如图，AC＝8，分别以A、C 为圆心，以长度5 为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D．依次连接A、B、C、D，连接BD 交AC 于点O．（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由；（2）求BD 的长．【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD 为菱形；（2）根据菱形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，然后利用勾股定理计算出OB，从而得到BD 的长．【解答】解：（1）四边形ABCD 为菱形；由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD 为菱形；（2）∵四边形ABCD 为菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB 中，OB＝＝3，∴BD＝2OB＝6．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了菱形的性质．23．（7 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC 的顶点B，OC＝2，点A 在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO 的面积是，求点A 的坐标．【分析】（1）作BD⊥OC 于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD＝1，BD＝，进而求得三角形BOD 的面积，根据系数k 的几何意义即可求得，从而求得反比例函数的表达式；（2）求得三角形AOC 的面积，即可求得A 的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A 的坐标．【解答】解：（1）作BD⊥OC 于D，∵△BOC 是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，∴S△OBD＝OD×BD＝，S△OBD＝|k|，∴|k|＝，∵反比例函数（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为；（2）∵S△OBC＝OC•BD＝＝，∴S△AOC＝3﹣＝2，∵S△AOC＝OC•y A＝2 ，∴y A＝2，把y＝2 代入，求得，∴点A 的坐标为（，2 ）．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解析式．24．（7 分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1 班和2 班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级 1 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一分析数据：表二小丽用同样的方法对八年级 2 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，数据如下：表三根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1 班学生的成绩在80≤x＜90 这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．【分析】（1）根据中位数的定义找出第13 个数，然后确定80≤x＜90 这一组中最小的数即可；（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1 班学生的成绩更为优异．【解答】解：（1）共有25 个数据，第13 个数落在80≤x＜90 这一组中，此组最小的数为第13 个数，所以八年级1 班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1 班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级 1 班学生的成绩的平均数比2 班高，1 班的中位数比2 班的中位数大，并且1 班的众数为85，比 2 班的众数大，1 班的方差比2 班小，比较稳定．【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．25．（7 分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳蓬CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）【分析】根据正切的定义分别用CD 表示出BC、AC，根据题意列式计算即可．【解答】解：在Rt△DCB 中，则BC＝CD•tan∠BDC≈0.59CD，在Rt△DCA 中，则AC＝CD•tan∠ADC≈4.49CD，由题意得，AC﹣BC＝AB，即 4.49CD﹣0.59CD＝2，解得，CD≈0.5m，答：遮阳蓬CD 的长约为0.5m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．26．（9 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D 为BC 的中点，BE＝DE，将∠BDE 绕点D 顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB 于M、N 两点，设B、M 两点间的距离为xcm，M，N 两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值：2.50请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y 关于x 的图象．（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势：0≤x≤1.25 时，y 随x 最大而减小，当1.25＜x≤4.10 时，y 随x 最大而增大．（4）解决问题：当MN＝2BM 时，BM 的长度大约是 2.68 或7.45 cm．（保留两位小数）．【分析】（1）①当x＝BM＝0 时，则y＝MN＝BN＝＝3；②MD2＝HD2+EH2＝，则y＝MN＝MD tanα，即可求解；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势；（3）MN＝2BM，即y＝2x，在上图中作直线y＝2x，即可求解．【解答】解：（1）①当x＝BM＝0 时，连接AD，则BC＝4，cos∠ABD＝＝＝cosα，则，则＝3；②x＝BM＝，在△MBD 中，cos∠B＝＝cosα，tanα＝，过点M 作MH⊥BD 于点H，则，则，MD2＝HD2+EH2＝，则BD2＝BM2+MD2，故∠BMD＝90°，则；故：答案为；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：0≤x≤1.25 时，y 随x 最大而减小，当 1.25＜x≤4.10 时，y 随x 最大而增大；（3）MN＝2BM，即y＝2x，在上图中作直线y＝2x，直线与曲线交点的纵坐标为：2.68 和7.45，故答案为：2.68 或7.45．【点评】本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难点于，弄懂x、y 代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据．27．（10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D 作DE⊥AC 于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO 交⊙O于点F．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O 在AB 上，AB 为⊙O 直径，故只需证AD⊥AB 即可．由∠ABC+∠BAC＝90°和∠DAE＝∠ABC 可证得∠DAE+∠BAC ＝90°，而E、A、C 在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD＝90°，得证．（2）依题意画出图形，由要证的结论FG2＝GO•GB 联想到对应边成比例，所以需证△FGO∽△BGF．其中∠FGO＝∠BGF 为公共角，即需证∠FOG＝∠BFG．∠BFG 为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC 后有∠BOC，问题又转化为证∠BOC．把DO 延长交BC 于点H 后，有∠FOG＝∠BOH，故问题转化为证∠ BOC．只要OH⊥BC，由等腰三角形三线合一即有∠BOC，故问题继续转化为证DH∥CE．联系【模型呈现】发现能证△DEA≌△ACB，得到AE＝BC＝2，AC＝DE＝1，即能求AD＝AB＝．又因为O 为AB 中点，可得，再加上第（1）题证得∠BAD＝90°，可得△DAO∽△AED，所以∠ADO＝∠EAD，DO∥EA，得证．【解答】证明：（1）∵⊙O 为Rt△ABC 的外接圆∴O 为斜边AB 中点，AB 为直径∵∠ACB＝90°∴∠ABC+∠BAC＝90°∵∠DAE＝∠ABC∴∠DAE+∠BAC＝90°∴∠BAD＝180°﹣（∠DAE+∠BAC）＝90°∴AD⊥AB∴AD 是⊙O 的切线（2）延长DO 交BC 于点H，连接OC∵DE⊥AC 于点 E∴∠DEA＝90°∵AB 绕点 A 旋转得到AD∴AB＝AD在△DEA 与△ACB 中∴△DEA≌△ACB（AAS）∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1∴AD＝AB＝∵O 为AB 中点∴AO＝AB＝∴∵∠DAO＝∠AED＝90°∴△DAO∽△AED∴∠ADO＝∠EAD∴DO∥EA∴∠OHB＝∠ACB＝90°，即DH⊥BC∵OB＝OC∴OH 平分∠BOC，即∠BOC∵∠FOG＝∠BOH，∠BFG＝∠BOC∴∠FOG＝∠BFG∵∠FGO＝∠BGF∴△FGO∽△BGF∴∴FG2＝GO•GB【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第（2）题证明DO∥EA 进而得到DO 垂直BC 是解题关键．28．（12 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y＝ax2+bx+2 的图象交x 轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y 轴于点C．动点M 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN⊥x 轴交。
2019年甘肃省兰州市中考数学试卷(A卷)
2019 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）副标题一二三四总分题号得分一、选择题（本大题共12 小题，共48.0 分）1. -2019 的相反数是（）11A. B. 2019 C. -2019 D. -20192019【答案】B【解析】解：-2019 的相反数为 2019，故选：B．根据相反数的概念求解可得．本题主要考查相反数，解题的关键是掌握相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2. 如图，直线a，b 被直线c 所截，a∥b，∠1=80°，则∠2 =（）A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°【答案】D【解析】解：如图，∵∠1=80°，∴∠3=80°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-80°=100°．故选：D．先利用对顶角相等得到∠3=80°，然后根据平行线的性质，利用∠1+∠2=180°可计算出∠2 的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．3. 计算：√12-√3=（）A. 3B. 2√3C. 3D. 4√3√【答案】A【解析】解：√12-√3=2√3-√3=√3，故选：A．先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根式加减运算顺序．4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. B.C.D.【答案】C【解析】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转 180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转 180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．5. x=1 是关于x 的一元二次方程x2+ax+2b=0 的解，则 2a+4b=（）A. -2B. -3C. -1D. -6【答案】A【解析】解：把x=1 代入方程x2+ax+2b=0 得 1+a+2b=0，所以a+2b=-1，所以 2a+4b=2（a+2b）=2×（-1）=-2．故选：A．先把x=1 代入方程x2+ax+2b=0 得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算 2a+4b 的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若∠A=40°，则∠C=（）A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠C+∠A=180°，直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C 的度数．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 7. 化简：푎2+12 ）- =（ 푎+1 푎+1푎−1푎+11A. a -1B. a +1C. D. 푎+1【答案】A푎2−1푎+1 【解析】解：原式= (푎+1)(푎−1)=푎+1=a -1，故选：A ．先根据法则计算，再因式分解、约分即可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则．퐵퐶8. 已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AB =8，A 'B '=6，则 =（ ）퐵′퐶′416 9A. 2B. C. 3 D.3【答案】B【解析】解：∵△ABC ∽△A 'B 'C '， 퐵퐶 퐴퐵 8 4∴ = = = ． 퐵′퐶′ 퐴′퐵′6 3故选：B ．直接利用相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角 形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分 线、对应边上的高）的比也等于相似比．9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程组为（） 5푥 + 6푦 = 15푥 − 푦 = 6푦 −푥6푥 + 5푦 = 15푥 + 푦 = 6푦 +푥A. {B. {5푥 + 6푦 = 1 4푥 + 푦 = 5푦 +푥 6푥 + 5푦 = 1 4푥 − 푦 = 5푦 − 푥C. {D. {【答案】C 【解析】解：由题意可得， 5푥 + 6푦 = 1{， 4푥 + 푦 = 5푦 + 푥故选：C ．根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A B C D ，已知A（-3，5），B（-4，3），A （3，3），则B 的坐标为（）1 1 1 1 1 1A. （1，2）【答案】BB. （2，1）C. （1，4）D. （4，1）【解析】解：由A（-3，5），A1（3，3）可知四边形ABCD 先向下平移 2 个单位，再向右平移 6 个单位得到四边形A B C D ，1 1 1 1∵B（-4，3），∴B1 的坐标为（2，1），故选：B．根据A 和A1 的坐标得出四边形ABCD 先向下平移 2 个单位，再向右平移 6 个单位得到四边形A B C D ，则B 的平移方法与A 点相同，即可得到答案．1 1 1 1此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．11. 已知点A（1，y ），B（2，y ）在抛物线y=-（x+1）2+2 上，则下列结论正确的是1 2（）A. 2＞y1＞y2【答案】AB. 2＞y2＞y1C. y ＞y ＞2D. y ＞y ＞22 11 2【解析】解：当x=1 时，y1=-（x+1）2+2=-（1+1）2+2=-2；当x=2 时，y1=-（x+1）2+2=-（2+1）2+2=-7；所以 2＞y ＞y ．1 2故选：A．分别计算自变量为 1 和 2 对应的函数值，然后对各选项进行判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．12. 如图，边长为√2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M，则OM=（）1A.2√2B. 2C. √3-1D. √2-1【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD=BC=CD=√2，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，∴BD=√2AB=2，∵将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处， ∴DE =DC =√2，DF ⊥CE ，∴OE =√2-1，∠EDF +∠FED =∠ECO +∠OEC =90°， ∴∠ODM =∠ECO ，∠퐸푂퐶 = ∠퐷푂퐶 =90° 在△OEC 与△OMD 中，{푂퐷 = 푂퐶∠푂퐶퐸 = ∠푂퐷푀 ， △OEC ≌△OMD （ASA ）， ∴OM =OE =√2-1， 故选：D ．根据正方形的性质得到 AB =AD =BC =CD =√2，∠DCB =∠COD =∠BOC =90°，OD =OC ，求 得 BD =√2AB =2，得到 OD =BO =OC =1，根据折叠的性质得到 DE =DC =√2，DF ⊥CE ，求 得 OE =√2-1，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的 识别图形是解题的关键．二、填空题（本大题共 4 小题，共 16.0 分） 13. 因式分解：a 3+2a 2+a =______． 【答案】a （a +1）2【解析】解：a 3+2a 2+a ，=a （a 2+2a +1），…（提取公因式） =a （a +1）2．…（完全平方公式） 故答案为：a （a +1）2．先提取公因式 a ，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式： a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于对余下的项利用完全平方公式进行 二次分解因式．14. 在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =______°． 【答案】70【解析】解：∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ，∵∠A +∠B +∠C =180°， 1∴∠B = （180°-40°）=70°． 2 故答案为 70．根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B 的度数．本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．푘15. 如图，矩形 OABC 的顶点 B 在反比例函数 y = （k ＞0）的图象 푥上，S矩形OABC =6，则 k =______．【解析】解：根据题意，知S=|k|=6，k=±6，又因为反比例函数位于第一象限，k＞0，所以k=6，故答案为 6．因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S=|k|．푘主要考查了反比例函数y= 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，푥所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．16. 如图，矩形ABCD，∠BAC=60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC 于点M，N 两点，1再分别以点M，N 为圆心，以大于MN 的长作半径2作弧交于点P，作射线AP 交BC 于点E，若BE=1，则矩形ABCD 的面积等于______．【答案】3√3【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠BAD=90°，∵∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，由作图知，AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE=∠CAE=30°，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴AE=CE，过E 作EFAC 于F，∴EF=BE=1，∴AC=2CF=2√3，∴AB=√3，BC=3，∴矩形ABCD 的面积=AB•BC=3√3，故答案为：3√3．根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，求得∠ACB=30°，由作图知，AE 是∠BAC 的平分线，得到∠BAE=∠CAE=30°，根据等腰三角形的性质得到AE=CE，过E 作EFAC 于F，求得EF=BE=1，求得AC=2CF=2√3，解直角三角形得到AB=√3，BC=3，于是得到结论．本题主要考查矩形的性质，作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质及直角三角形 30°角所对边等于斜边的一半．三、计算题（本大题共1 小题，共5.0 分）17. 化简：a（1-2a）+2（a+1）（a-1）．【答案】解：原式=a-2a2+2（a2-1）=a-2a2+2a2-2=a-2【解析】先去括号，再注意到（a+1）（a-1）可以利用平方差公式进行化简，最后合并本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的关键．四、解答题（本大题共11 小题，共81.0 分）18. 计算：|-2|-（√3+1）0+（-2）2-tan45°．【答案】解：原式=2-1+4-1=4．【解析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值性质、零指数幂的规定、乘方定义和三角函数值．2푥−1＜푥+5①19. 解不等式组：{푥+1．＜푥−1②32푥−1＜푥+5①【答案】解：{푥+1＜푥−1②3解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x＞2，所以，不等式组的解集为 2＜x＜6．【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．20. 如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC∥DF．【答案】证明：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，∴BC=EF，在△ABC 和△DEF 中，퐴퐵=퐷퐸{∠퐵=∠퐸，퐵퐶=퐸퐹∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．【解析】要证明AC∥DF，只要证明∠ACB=∠DFE 即可，要证明∠ACB=∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF 即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决．本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 A ，A ，A ，A 41 2 3表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用 B ，B ，B 表示）．1 2 3 （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果； （2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写） 的概率．【答案】解：（1）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为 2，2 1所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率= = ． 12 6 【解析】（1）利用画树状图展示所有 12 种等可能的结果数；（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n ，再从 中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m ，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率． 22. 如图，AC =8，分别以 A 、C 为圆心，以长度 5 为半径作弧，两条弧分别相交于点 B和 D ．依次连接 A 、B 、C 、D ，连接 BD 交 AC 于点 O ． （1）判断四边形 ABCD 的形状并说明理由； （2）求 BD 的长．【答案】解：（1）四边形 ABCD 为菱形； 由作法得 AB =AD =CB =CD =5， 所以四边形 ABCD 为菱形； （2）∵四边形 ABCD 为菱形， ∴OA =OC =4，OB =OD ，AC ⊥BD ， 在 Rt △AOB 中，OB =√52 − 42=3， ∴BD =2OB =6．【解析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形 ABCD 为菱形；（2）根据菱形的性质得 OA =OC =4，OB =OD ，AC ⊥BD ，然后利用勾股定理计算出 OB ， 从而得到 BD 的长．本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相 等=菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了菱形的性质．푘23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y= （k≠0）的图象经过等边三角形푥BOC 的顶点B，OC=2，点A 在反比例函数图象上，连接AC，OA．푘（1）求反比例函数y= （k≠0）的表达式；푥（2）若四边形ACBO 的面积是 3√3，求点A 的坐标．【答案】解：（1）作BD⊥OC 于D，∵△BOC 是等边三角形，1∴OB=OC=2，OD= OC=1，2∴BD=√푂퐵2−푂퐷2=√3，13√∴S△OBD= OD×BD= ，221S△OBD= |k|，2∴|k|=√3，푘∵反比例函数y= （k≠0）的图象在一三象限，푥∴k=√3，√3∴反比例函数的表达式为y= ；푥11（2）∵S△OBC= OC•BD= ×2×√3=√3，22∴S△AOC=3√3-√3=2√3，1∵S△AOC= OC•y =2√3，A2∴y A=2√3，√31把y=2√3代入y= ，求得x= ，푥21∴点A 的坐标为（，2√3）．2【解析】（1）作BD⊥OC 于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD=1，BD=√3，进而求得三角形BOD 的面积，根据系数k 的几何意义即可求得k=√3，从而求得反比例函数的表达式；（2）求得三角形AOC 的面积，即可求得A 的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A 的坐标．图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解析式．24. 为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级 1 班和 2 班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级 1 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一分数段60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100班级八年级 1 班7 5 10 3分析数据：表二统计量班级平均数中位数______ 众数极差36方差八年级 1 班78 85 105.28小丽用同样的方法对八年级 2 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，数据如下：表三统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级 2 班75 76 73 44 146.80根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级 1 班学生的成绩在80≤x＜90 这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．【答案】80【解析】解：（1）共有 25 个数据，第 13 个数落在80≤x＜90 这一组中，此组最小的数为第 13 个数，所以八年级 1 班学生的成绩的中位数为 80；故答案为 80；（2）八年级 1 班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级 1 班学生的成绩的平均数比 2 班高，1 班的中位数比 2 班的中位数大，并且 1 班的众数为 85，比 2 班的众数大，1 班的方差比 2 班小，比较稳定．（1）根据中位数的定义找出第 13 个数，然后确定80≤x＜90 这一组中最小的数即可；（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级 1 班学生的成绩更为优异．本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．25. 某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图 1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图 2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC=77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=30.56°）．窗户的高度AB=2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长．（结果精确到 0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）【答案】解：在Rt△DCB 中，tan∠BDC=퐵퐶，퐶퐷则BC=CD•tan∠BDC≈0.59CD，在Rt△DCA 中，tan∠ADC=퐴퐶，퐶퐷则AC=CD•tan∠ADC≈4.49CD，由题意得，AC-BC=AB，即 4.49CD-0.59CD=2，解得，CD≈0.5m，答：遮阳蓬CD 的长约为 0.5m．【解析】根据正切的定义分别用CD 表示出BC、AC，根据题意列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．26. 如图，在△ABC 中，AB=AC=6cm，BC=8cm，点D 为BC 的中点，BE=DE，将∠BDE绕点D 顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB 于M、N 两点，设B、M 两点间的距离为xcm，M，N 两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值：8x/m 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.103y/m ______ 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 ______ 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87 请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y 关于x 的图象．（3）探究性质：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋势：______．（4）解决问题：当 MN =2BM 时，BM 的长度大约是______cm ．（保留两位小数）．10【答案】3 0≤x ≤1.25 时，y 随 x 最大而减小，3 当 1.25＜x ≤4.10 时，y 随 x 最大而增大 2.68 或 7.45【解析】解：（1）①当 x =BM =0 时，1连接 AD ，则 AD ⊥BC ，BD =CD = BC =4，2 cos ∠ABD =퐵퐷= =cosα，则 sinα= ， 25 √ 퐴퐵 3 31 2 퐵퐷则 y =MN =BN = =3；푐표푠훼8②x =BM = ，3 8在△MBD 中，BD =4，BM = ，3 2 5√ cos ∠B = =cosα，tanα= ，3 2 过点 M 作 MH ⊥BD 于点 H ，16 8√5 9则 BH =BM cosα= ，则 EH = ， 9 80MD 2=HD 2+EH 2= ，9 则 BD 2=BM 2+MD 2，故∠BMD =90°，10则 y =MN =MD tanα=（DB sinα）tanα= ；3 10 故：答案为 3， ；3 （2）描点出如下图象， 从图象可以看出：0≤x ≤1.25 时，y 随 x 最大而减小，当 1.25＜x ≤4.10 时，y 随 x 最大而增大；（3）MN =2BM ，即 y =2x ，在上图中作直线 y =2x ，直线与曲线交点的纵坐标为：2.68 和 7.45，故答案为：2.68 或 7.45．1 2퐵퐷 80（1）① 当 x =BM =0 时 ，则 y =MN =BN = =3；②MD 2=HD 2+EH 2= ，则 y =MN =MD tanα， 9 푐표푠훼 即可求解；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋 势；（3）MN =2BM ，即 y =2x ，在上图中作直线 y =2x ，即可求解．本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难点于，弄 懂 x 、y 代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据．27. 通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在 Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 AD ，过点 D作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC 内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D 作DE⊥AC 于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO 交⊙O 于点F．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G，连接FB．求证：FG2=GO•GB．【答案】证明：（1）∵⊙O 为Rt△ABC 的外接圆∴O 为斜边AB 中点，AB 为直径∵∠ACB=90°∴∠ABC+∠BAC=90°∵∠DAE=∠ABC∴∠DAE+∠BAC=90°∴∠BAD=180°-（∠DAE+∠BAC）=90°∴AD⊥AB∴AD 是⊙O 的切线（2）延长DO 交BC 于点H，连接OC∵DE⊥AC 于点E∴∠DEA=90°∵AB 绕点A 旋转得到AD∴AB=AD在△DEA 与△ACB 中∠퐷퐸퐴=∠퐴퐶퐵=90°{∠퐷퐴퐸=∠퐴퐵퐶퐷퐴=퐴퐵∴△DEA≌△ACB（AAS）∴AE=BC=2，AC=DE=1∴AD=AB=√퐴퐶2+퐵퐶2=√5∵O 为AB 中点15√∴AO= AB=22퐴푂퐷퐸√52퐴퐷퐴퐸∴==∵∠DAO=∠AED=90°∴△DAO∽△AED∴∠ADO=∠EAD∴DO∥EA∴∠OHB=∠ACB=90°，即DH⊥BC ∵OB=OC1∴OH 平分∠BOC，即∠BOH= ∠BOC21∵∠FOG=∠BOH，∠BFG= ∠BOC2∴∠FOG=∠BFG∵∠FGO=∠BGF∴△FGO∽△BGF퐹퐺퐵퐺퐺푂퐺퐹∴=∴FG2=GO•GB【解析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O 在AB 上，AB 为⊙O 直径，故只需证AD⊥AB 即可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC 可证得∠DAE+∠BAC=90°，而E、A、C 在同一直线上，用 180°减去 90°即为∠BAD=90°，得证．（2）依题意画出图形，由要证的结论FG2=GO•GB 联想到对应边成比例，所以需证△FGO∽△BGF．其中∠FGO=∠BGF 为公共角，即需证∠FOG=∠BFG．∠BFG 为圆周角，11所对的弧为弧BC，故连接OC 后有∠BFG= ∠BOC，问题又转化为证∠FOG= ∠BOC．把221DO 延长交BC 于点H 后，有∠FOG=∠BOH，故问题转化为证∠BOH= ∠BOC．只要OH⊥BC，21由等腰三角形三线合一即有∠BOH= ∠BOC，故问题继续转化为证DH∥CE．联系【模型2呈现】发现能证△DEA≌△ACB，得到AE=BC=2，AC=DE=1，即能求AD=AB=√5．又因퐴푂퐷퐸√52퐴퐷퐴퐸为O为AB中点，可得到==，再加上第（1）题证得∠BAD=90°，可得△DAO∽△AED，所以∠ADO=∠EAD，DO∥EA，得证．本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第（2）题证明DO∥EA 进而得到DO 垂直BC 是解题关键．28. 通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转 90°得到AD，过点D 作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y=ax2+bx+2 的图象交x 轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y 轴于点C．动点M 从点A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN⊥x 轴交直线BC 于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数y=ax2+bx+2 的表达式；3（2）连接BD，当t= 时，求△DNB 的面积；2（3）在直线MN 上存在一点P，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；5（4）当t= 时，在直线MN 上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC=90°，求点Q 的坐标．4【答案】解：（1）将点（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2，13∴a=- ，b= ，2213∴y=- x2+ x+2；22（2）C（0，2），1∴BC 的直线解析式为y=- x+2，23当t= 时，AM=3，2∵AB=5，∴MB=2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴△DNB 的面积=△DMB 的面积-△MNB 的111面积= ×MB×DM- ×MB×MN= ×2×2=2；222（3）∵BM=5-2t，∴M（2t-1，0），设P（2t-1，m），∵PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，∵PB=PC，∴（2t-1）2+（m-2）2=（2t-5）2+m2，∴m=4t-5，∴P（2t-1，4t-5），∵PC⊥PB，4푡−74푡−5∴•=-12푡−12푡−5∴t=1 或t=2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）；53（4）当t= 时，M（，0），423∴点Q 在抛物线对称性x= 上，23如图：过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与x= 的交点分别为Q 12与Q2，∵AB=5，5∴AM= ，2∵∠AQ1C+∠OAC=90°，∠OAC+∠MAG=90°，∴∠AQ1C=∠MAG，又∵∠AQ1C=∠CGA=∠MAG，35∴Q （，- ），1 22∵Q 与Q 关于x 轴对称，1 235∴Q （，），2 223535∴Q 点坐标分别为（，- ），（，）；2222【解析】（1）将点（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2 即可；（2）由已知分别求出M（2，0），N（2，1），D（2，3），根据∴△DNB 的面积=△DMB 的面积-△MNB 的面积即可求解；（3）由已知可得M（2t-1，0），设P（2t-1，m），根据勾股定理可得PC2=（2t-1）2+ （m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，再由PB=PC，得到m 与t 的关系式：m=4t-5，因为PC⊥PB，4푡−74푡−5则有•=-1 求出t=1 或t=2，即可求D 点坐标；2푡−12푡−5533（4）当t= 时，M（，0），可知点Q 在抛物线对称性x= 上；过点A 作AC 的垂线，4223以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与x= 的交点分别为Q 与Q ，由AB=5，可得圆半径1 2253535AM= ，即可求Q 点坐标分别为（，- ），（，）．22222本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键．。
2019年甘肃省兰州市中考数学试卷(a卷)(3)
2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1．(2019兰州)2019-的相反数是( )A ．12019B ．2019C ．2019-D ．12019- 2．(2019兰州)如图，直线a ，b 被直线c 所截，//a b ，180∠=︒，则2(∠= )A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒3．(2019兰州)计算：123(-= )A ．3B ．23C ．3D ．434．(2019兰州)剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．5．(2019兰州)1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24(a b += )A ．2-B ．3-C ．1-D ．6-6．(2019兰州)如图，四边形ABCD 内接于O e ，若40A ∠=︒，则(C ∠= )A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒7．(2019兰州)化简：212(11a a a +-=++ ) A ．1a - B ．1a + C ．11a a -+ D ．11a + 8．(2019兰州)已知ABC ∆∽△A B C '''，8AB =，6A B ''=，则(BC B C ='' ) A ．2 B ．43 C ．3 D ．1699．(2019兰州)《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( )A ．56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B ．65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C ．56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D ．65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩10．(2019兰州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形1111A B C D ，已知(3,5)A -，(4,3)B -，1(3,3)A ，则1B 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,4)D ．(4,1)11．(2019兰州)已知点1(1,)A y ，2(2,)B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是()A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>12．(2019兰州)如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM = )A ．12B ．22C ．31-D ．21-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．(2019兰州)因式分解：322a a a ++= ．14．(2019兰州)在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，则B ∠= ︒．15．(2019兰州)如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，6OABC S =矩形，则k = ．16．(2019兰州)如图，矩形ABCD ，60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若1BE =，则矩形ABCD 的面积等于 ．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．(2019兰州)计算：02|2|(31)(2)tan 45--+--︒．18．(2019兰州)化简：(12)2(1)(1)a a a a-++-．19．(2019兰州)解不等式组：215113x xxx-<+⎧⎪⎨+<-⎪⎩①②．20．(2019兰州)如图，AB DE=，BF EC=，B E∠=∠，求证：//AC DF．21．(2019兰州)2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用1A，2A，3A，4A表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用1B，2B，3B表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22．(2019兰州)如图，8AC=，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．23．(2019兰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数(0)ky kx=≠的图象经过等边三角形BOC的顶点B，2OC=，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数(0)ky kx=≠的表达式；（2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标．24．(2019兰州)为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生(25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一 分数段班级6070x <… 7080x <… 8090x <… 90100x 剟 八年级1班7 5 10 3 分析数据：表二 统计量班级平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级1班 78 85 36 105.28 小丽用同样的方法对八年级2班全班学生(25名）的成绩进行分析，数据如下：表三统计量班级平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级2班 75 76 73 44 146.80 根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在8090x <…这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25．(2019兰州)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬CD ． 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD 的夹角ADC ∠最大(77.44)ADC ∠=︒；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳蓬CD 的夹角BDC ∠最小(30.56)BDC ∠=︒．窗户的高度2AB m =．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560.51︒≈，cos30.560.86︒≈，tan30.560.59︒≈，sin77.440.98︒≈，cos77.440.22︒≈，tan77.44 4.49)︒≈26．(2019兰州)如图，在ABC ∆中，6AB AC cm ==，8BC cm =，点D 为BC 的中点，BE DE =，将BDE ∠绕点D 顺时针旋转α度(083)α︒剟，角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点，设B 、M 两点间的距离为xcm ，M ，N 两点间的距离为ycm ．小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.934.10 /x m00.300.50 1.00 1.50 2.00 2.5083/y m 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(,)x y，并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：．（4）解决问题：当2=时，BM的长度大约是cm．（保留两位小数）．MN BM27．(2019兰州)通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt ABCACB∠=︒，将斜边AB绕点A顺时针旋转90︒得到AD，过点D作∆，90=，BC AE=．∆≅∆，进而得到AC DE⊥于点E，可以推理得到ABC DAEDE AC我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt ABC ∆内接于O e ，90ACB ∠=︒，2BC =，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AD ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，DAE ABC ∠=∠，1DE =，连接DO 交O e 于点F ．（1）求证：AD 是O e 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G ，连接FB ．求证：2FG GO GB =g ．28．(2019兰州)通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到AD ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，可以推理得到ABC DAE ∆≅∆，进而得到AC DE =，BC AE =． 我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点(1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）连接BD ，当32t =时，求DNB ∆的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当54t =时，在直线MN 上存在一点Q ，使得90AQC OAC ∠+∠=︒，求点Q 的坐标．2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.三、解答题：本大题共12小题，共86分.。
甘肃省兰州市2019年中考数学真题试题(含解析)含答案
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）1. －2019的相反数是（ ）A.20191 B. 2019 C. －2019 D. －20191【答案】B ．【考点】相反数的定义. 【考察能力】运算求解能力 【难度】简单【解析】－（－2019）＝20192.如图，直线a,b 被直线c 所截，a ∥b, ∠1＝∠800， 则∠2＝（ ）A. 1300. B. 1200. C. 1100. D. 1000.【答案】D ．【考点】平行线的性质. 【考察能力】识图运算能力 【难度】容易 【解析】∵∠1＝800，∴∠1的对顶角为800，又∵ a ∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补， ∴∠2＝1800－800＝1000，答案为D ．3. 计算：12－3＝ （ ）A. 3 .B. 23.C. 3 .D. 43 .【答案】A ．【考点】平方根的运算.第2题图【考察能力】运算求解能力【难度】简单【解析】12－3＝23－3＝3.4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】C．【考点】轴对称图形和中心对称图形【考察能力】观察能力【难度】容易【解析】轴对称图形关于某条直线对称，可以排除A、B，中心对称图形是图形绕某一点旋转1800后与原图形重合的图形排除D.故选C.5. x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A. －2 .B. －3 .C. 4 .D. －6.【答案】A．【考点】一元二次方程的解，整式运算【考察能力】运算求解能力【难度】简单【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.故选A.6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝400，则∠C＝（）A. 1100.B. 1200.C. 1350.D. 1400.【答案】D．【考点】圆内接四边形的性质.【考察能力】运算求解能力和观察识图能力 【难度】容易【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝400，∴∠C ＝1800－400＝1400，故选D.7. 化简：12112+-++a a a ＝ （ ） A. a －1 . B. a+1 . C.11+-a a . D. 11+a . 【答案】A ． 【考点】分式计算. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】简单【解析】12112+-++a a a ＝1212+-+a a ＝1)1)(1(+-+a a a ＝a －1 . 故选A.8.已知△ABC ∽△A′B′C′, AB ＝8，A ’B ’＝6， 则''CB BC＝ （ ）A. 2 .B.34 . C. 3 . D. 916. 【答案】B ．【考点】相似三角形的性质. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】容易【解析】∵△ABC ∽△A′B′C′,∴''B A AB ＝''C B BC又∵AB ＝8，A ’B ’＝6，∴''CB BC ＝34. 故选B.9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程为 （ ） A. ⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 65165 B. ⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156 C. ⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165 D. ⎩⎨⎧-=-=+xy y x y x 54156【答案】C ．【考点】利用方程求解实际问题. 【考察能力】抽象概括能力. 【难度】中等【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程： 4x+y ＝5y+x, 故选C.10. 如图，平面直角坐标系xoy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （－3，5），B （－4，3），A 1（3，3）.则点B 1坐标为（ ）A. （1，2）B. （2，1）C. （1，4）D. （4，1） 【答案】B ．【考点】图形的平移.【考察能力】识图能力和计算能力 【难度】简单【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A （－3，5）到A 1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B （－4，3）平移后B 1（2，1）. 故选B.11. 已知,点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝－（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2> y 1> y 2B. 2 > y 2 > y 1C. y 1> y 2>2D. y 2 > y 1>2 【答案】A ．【考点】二次函数顶点式以及二次函数的性质. 【考察能力】空间想象能力，运算求解能力. 【难度】较难【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x>－1时，y 随x 的增大而减小.因为－1<1<2.,所以2> y 1> y 2 . 故选A.12. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M,则DM ＝（ ）A.21B. 22C. 3－1D. 2－1【答案】D ．【考点】正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质. 【考察能力】空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力. 【难度】较难【解析】过点M 作MP ⊥CD 垂足为P ，过点O 作OQ ⊥CD 垂足为Q ，∵ 正方形的边长为2，∴OD ＝1, OC ＝1, OQ ＝DQ ＝22,由折叠可知，∠EDF ＝∠CDF. 又∵AC ⊥BD, ∴OM ＝PM, 设OM ＝PM ＝x ∵OQ ⊥CD ，MP ⊥CD∴∠OQC ＝∠MPC ＝900， ∠PCM ＝∠QCO, ∴△CMP ∽△COQ∴OQ MP ＝COCM , 即1122xx -=， 解得x ＝2－1∴OM ＝PM ＝2－1. 故选D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 因式分解：a 3+2 a 2+ a ＝___________.【答案】a （a +1）2． 【考点】因式分解. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】简单【解析】a 3+2 a 2+ a ＝a （a 2+2 a + 1）＝a （a + 1）2.14. 在△ABC 中，AB ＝AC, ∠A ＝400，则∠B ＝___________. 【答案】700．【考点】等腰三角形性质. 【考察能力】空间想象能力. 【难度】容易【解析】∵AB ＝AC, ∠A ＝400， ∴∠B ＝∠C ＝700.15. 如图， 矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y ＝xk（x>0）的图象上，S 矩形OABC ＝6，则k ＝___________.【答案】6．【考点】k 的几何意义. 【考察能力】数形结合. 【难度】简单【解析】|k |＝S 矩形OABC ＝6，∵图象在第一象限，∴k>0，∴k ＝6.16. 如图， 矩形ABCD, ∠BAC ＝600. 以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB 、AC 于点M 、N 两点，再分别以点M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于___________.【答案】33．【考点】尺规作图，矩形的性质.【考察能力】基础运算能力，空间想象能力，推理论证能力.. 【难度】难.【解析】 由题可知AP 是∠BAC 的角平分线∵∠BAC ＝600∴∠BAE ＝∠EAC ＝300∴AE ＝2 BE ＝2. ∴AB ＝3 ∴∠AEB ＝600又∵∠AEB ＝∠EAC+∠ECA ∴∠EAC ＝∠ECA ＝300∴AE ＝EC ＝2 ∴BC ＝3第15题图第16题图∴S矩形ABCD＝33．三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题5分）计算：|－2|－（3+1）0+（－2）2－tan450 .【答案】4．【考点】实数的计算.【考察能力】运算求解能力.【难度】简单.【解析】解：原式＝2－1+4－1＝4.18.(本题5分) 化简：a(1－2a)+2(a+1)(a－1)【答案】a－2．【考点】代数式的化简.【考察能力】运算求解能力.【难度】简单.【解析】解：a(1－2a)+2(a+1)(a－1)＝a－2a2+2a2－2＝a－2.19.（本题5分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x【答案】2<x<6．【考点】不等式组的解法. 【考察能力】计算能力. 【难度】中等.【解析】 解：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x由①得：x<6由②得：x>2所以原不等式组的解集为：2<x<6.20. （本题6分）如图，AB ＝DE, BF ＝EC. ∠B ＝∠E. 求证：AC ∥DF.【答案】AC ∥DF. 【考点】三角形的全等. 【考察能力】推理论证能力. 【难度】简单.【解析】证明：∵BF ＝EC∴BF+CF ＝EC+CF ∴BC ＝EF①② ① ②第20题图在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴△ABC ≌△DEF (SAS) ∴∠ACB ＝∠EFD ∴AC ∥DF.21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A 1,A 2,A 3,A 4表示）; 第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B 1,B 2,B 3表示）. （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.【答案】解：（1）12种．（2）61. 【考点】概率与统计. 【考察能力】推理论证能力. 【难度】简单. 【解析】（1）解：（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目) ＝122＝61.22.（本题7分）如图， AC ＝8,分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交于点B 和D ，依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O.（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由；（2）求BD 的长.【答案】（1）菱形， （2）BD ＝6．【考点】菱形的判定，垂直平分线的应用.【考察能力】推理论证能力，运算求解能力.【难度】中等.【解析】 证明：（1）由图可知，BD 垂直平分AC ，且AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5,所以四边形ABCD 是菱形.（2）∵AC ＝8, BD ⊥AC 且BD 平分AC ，∴OA ＝OC ＝4∴在Rt△A OB 中，OB ＝22OA AB -＝2245-＝3,∴BD ＝2 OB ＝2×3＝6∴BD 的长为6.第22题图23. （本题7分）如图， 在平面直角坐标系xoy 中，反比例函数y ＝x k （k ≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B ，OC ＝2,点A 在反比例函数图象上，连接AC 、AO.（1）求反比例函数y ＝x k（k ≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标.【答案】（1）y ＝x 3； （2）A （21，23）【考点】反比例函数解析式，不规则图形面积.【考察能力】运算求解能力，推理论证能力.【难度】中等.【解析】 解：（1）∵ OC ＝2,∴OM ＝1, BM ＝3,∴点B(－1 ，－3 )，∴ k ＝(－1) ×（－3 ) ＝3,∴y ＝x 3.（2）∵S ACBO ＝33， S ACBO ＝S △AOC + S △BOC∵S △BOC ＝43OC 2＝3,∴3+ S △AOC ＝33，∴S △AOC ＝23.∵OC ＝2∴21×OC ×AN ＝23 ∴AN ＝23设A （t ，23）∴23t ＝3∴t ＝21 ∴A （21，23）.24. （本题7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：小丽用同样的方式对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：表一 表二根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85.根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.【答案】（1）80．（2）八年级1班更为优异.【考点】统计，数据的集中程度和离散程度.【考察能力】运算求解能力，数据处理能力.【难度】中等.【解析】（1）表二（2）八年级1班更为优异.理由如下：可以从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，理由合理即可.25 （本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下：问题提出：如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC 的遮阳篷CD.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC ＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC ＝30.560）；窗户的高度AB ＝2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD 的长.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86, tan30.560≈0.59, Sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22, tan77.440≈4.49）.【答案】0.5m ．【考点】三角函数及其应用.【考察能力】运算求解能力，实际应用能力.【难度】中等【解析：在Rt△BC D 中，∠BCD ＝900，∠BDC ＝30.560，∵tan ∠BDC ＝CD BC,∴BC ＝CD ⋅tan ∠BDC,在Rt△ACD 中，∠ACD ＝900，∠ADC ＝77.440，∵tan ∠ADC ＝CD AC,∴AC ＝CD ⋅tan ∠ADC,∵AC －BC ＝AB,∴CD ⋅tan ∠ADC －CD ⋅tan ∠BDC ＝2即 CD ⋅tan77.440－CD ⋅tan30.560＝2（4.49－0.59）CD ＝2∴CD ＝0.5答：遮阳篷CD 长为0.5m.26.（本题9分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm,BC ＝8cm,点D 为BC 的中点，BE ＝DE.将∠BDE 绕点D 顺时针旋转a 度（00≤a ≤830）.角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点.设B 、M 两点间的距离为x cm ，M 、N 两点间的距离为y cm.小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是根据B 、M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值：x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 38 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 y/cm2.88 2.81 2.69 2.67 2.803.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87请你通过计算，补全表格.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy 中，描出表中各组数值所对应的点（x ，y ）.并画出函数y 关于x 的图象：（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势__________.(4)解决问题：当MN ＝2BM 时，BM 的长度大约是_________cm （保留两位小数）.【答案】（1）x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 38 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10（2）图略（描点可得）（3）随着自变量x 的不断增大，函数y 呈现先减小再增大的趋势.（4）4和1.33【考点】函数图象性质，三角形相似.【考察能力】数据处理分析能力【难度】难【解析】 （1）当x ＝0时，M 点与N 点分别和B 点E 点重合 MN ＝BE ＝3当x ＝38时，假设DN 交CA 的延长线于点H ∵AB ＝AC,∴∠B ＝∠C,又∵D 为BC 的中点， BE ＝DE.∴∠B ＝∠EDB, ED 为AC 边的中位线根据旋转性质∠B ＝∠EDB ＝∠C ＝∠MDN,∵∠NDB ＝∠H+∠C(外角性质)∠NDB ＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN ＝∠H+∠C∴∠MDB ＝∠H, ∠B ＝∠C,∴△MDB ∽△DHC∴BD CH ＝BMDC , ∴4CH ＝384, CH ＝6＝AC 即A 点与H 点重合∴MN ＝6－BM ＝310. (2)根据表格描点可得.（3）根据图象可得（4）∵MN ＝2BM设BM ＝x ，MN ＝2x ，EN ＝3x －3 ， AN ＝6－3x ，∵∠NDB ＝∠H+∠C(外角性质)∠NDB ＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN ＝∠H+∠C∴∠MDB ＝∠H, ∠B ＝∠C,∴△MDB ∽△DHC ∴BD CH ＝BMDC , ∴4CH ＝x 4, ∴CH ＝x 16， HA ＝HC －AC ＝x 16－6 又∵△HAN ∽△DEN ∴ED AH ＝NEAN , ∴3616-x ＝3336--x x , 解得： x 1＝4， x 2＝34≈1.33 答：BM 为4或1.33.主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如右图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝900,将斜边AB 绕点A 顺时针旋转900得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC ＝DE, BC ＝AE.我们把这个数学模型称为“K 型”推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝900, BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠A BC, DE＝1,连接DO交⊙O于点F.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB，求证：FG2＝GO•GB.【答案】答案见解析．【考点】三角形相似，圆切线证明.【考察能力】推理论证能力，运算求解能力【难度】较难【解析】（1）证明：∵∠DAE＝∠A BC 且∠A BC+∠CAB＝900,∴∠EAD+∠CAB＝900,∴∠DAB＝900,∵AO为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线.（2）证明：由（1）知∠DAB＝900,∵ AC＝1， BC＝2∴AB ＝5, 由模型可知，△A ED ≌△BCA, ∴AD ＝5,∴AO ＝25, ∴DO ＝25, ∵AD AE ＝DO AD ＝AODE ＝552, ∴△AED ∽△DAO∴∠EAD ＝∠ADO∴AE ∥DO∴∠ACF ＝∠CFO ＝∠ABF∵∠FGO ＝∠BGF,∴△FGO ∽△BGF∴BG FG ＝FGGO ∴FG 2＝GO •GB.28.(本题12分)二次函数y ＝a x 2+bx+2的图象交x 轴于点A （－1，0），点B （4，0）两点，交y 轴于点C.动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒.（1）求二次函数y ＝a x 2+bx+2的表达式；（2）连接BD ，当t ＝23时，求△DNB 的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当t ＝45时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC+∠QAC ＝900,求点Q 的坐标.【答案】（1）y ＝－21x 2+23x+2． （2） 2 （3） D （1，3）（4）Q （23，25）或Q （23，－25） 【考点】二次函数的综合应用.【考察能力】运算求解能力、推理论证能力、空间想象能力.【难度】困难【解析】 （1）将点A （－1，0），点B （4，0）代入y ＝a x 2+bx+2中，得： ⎩⎨⎧=++=+-0241602b a b a 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 所以，二次函数的表达式为：y ＝－21x 2+23x+2． （2） ∵ t ＝23， ∴AM ＝3，又∵OA ＝1, ∴ OM ＝2,设BC 的解析式为：y ＝kx+b (k ≠0),将点C （0,2）、B （4，0）代入，得：⎩⎨⎧=+=042b k b 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=221b k 所以直线BC 的解析式为：y ＝－21x+2． 将x ＝2分别代入y ＝－21x 2+23x+2和y ＝－21x+2中，得：D （2，3）、N （2，1） ∴DN ＝2,∴ S △DNB ＝21×2×2＝2. (3)过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点E ，过点B 作y 轴的平行线，交EP 的延长线于点F ，设D （m ，－21m 2+23m+2）、E （0，n ）、P （m,n ）、F （4，n ），由题意得： △PEC ≌△BFP,∴PE ＝BF, CE ＝PF∴⎩⎨⎧=--=-m n n m 24 ∴ ⎩⎨⎧-==11n m所以，点D 的坐标为：（1，3）.（4）当t ＝45时，AM ＝25,此时M 点在二次函数的对称轴上， 以M 点为圆心，AM 长为半径作圆，交MN 于Q 1、Q 2两点，∵C （0，2） ，M （23，0） ∴CM ＝25＝R , ∴C 点在该圆上∴∠ACB ＝900,∴∠CAB+∠CBA ＝900,∵∠CQ 1A ＝∠CAB, (同弧所对的圆周角)∴∠C Q 1A+∠CBA ＝900,∠C Q 2A+∠CBA ＝900,∴Q （23，25）或Q （23，－25）。
2019年甘肃省兰州市中考数学试卷(a卷)
2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1．（4分）﹣2019的相反数是（）A．12019B．2019C．﹣2019D．−120192．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°3．（4分）计算：√12−√3=（）A．√3B．2√3C．3D．4√34．（4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．﹣66．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°7．（4分）化简：a 2+1a+1−2a+1=（ ） A ．a ﹣1 B ．a +1 C ．a−1a+1 D ．1a+1 8．（4分）已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AB ＝8，A 'B '＝6，则BC B′C′=（ ）A ．2B ．43C ．3D ．1699．（4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（ ）A ．{5x +6y =15x −y =6y −xB ．{6x +5y =15x +y =6y +xC ．{5x +6y =14x +y =5y +xD ．{6x +5y =14x −y =5y −x 10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （﹣3，5），B （﹣4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为（ ）A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（1，4）D ．（4，1）11．（4分）已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝﹣（x +1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）A ．2＞y 1＞y 2B ．2＞y 2＞y 1C ．y 1＞y 2＞2D ．y 2＞y 1＞212．（4分）如图，边长为√2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM ＝（ ）A ．12B ．√22C ．√3−1D ．√2−1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）因式分解：a 3+2a 2+a ＝ ．14．（4分）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，则∠B ＝ °．15．（4分）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y =k x（k ＞0）的图象上，S 矩形OABC ＝6，则k ＝ ．16．（4分）如图，矩形ABCD ，∠BAC ＝60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于 ．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．（5分）计算：|﹣2|﹣（√3+1）0+（﹣2）2﹣tan45°．18．（5分）化简：a （1﹣2a ）+2（a +1）（a ﹣1）．19．（5分）解不等式组：{2x −1＜x +5①x+13＜x −1②． 20．（6分）如图，AB ＝DE ，BF ＝EC ，∠B ＝∠E ，求证：AC ∥DF ．21．（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22．（7分）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y=kx（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3√3，求点A的坐标．24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一分数段60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100班级八年级1班75103分析数据：表二平均数中位数众数极差方差统计量班级八年级1班788536105.28小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：表三统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级2班75767344146.80根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.934.10x/m00.300.50 1.00 1.50 2.00 2.5083y/m 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：．（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是cm．（保留两位小数）．27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O 于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．28．（12分）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t=32时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t=54时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1．（4分）﹣2019的相反数是（）A．12019B．2019C．﹣2019D．−12019【解答】解：﹣2019的相反数为2019，故选：B．2．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°【解答】解：如图，∵∠1＝80°，∴∠3＝80°，∵a∥b，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°．故选：D．3．（4分）计算：√12−√3=（）A．√3B．2√3C．3D．4√3【解答】解：√12−√3=2√3−√3=√3，故选：A．4．（4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．5．（4分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．﹣6【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．6．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C +∠A ＝180°，∴∠C ＝180°﹣40°＝140°． 故选：D ． 7．（4分）化简：a 2+1a+1−2a+1=（ ）A ．a ﹣1B ．a +1C ．a−1a+1D ．1a+1【解答】解：原式=a 2−1a+1 =(a+1)(a−1)a+1＝a ﹣1， 故选：A ．8．（4分）已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AB ＝8，A 'B '＝6，则BC B′C′=（ ）A ．2B ．43C ．3D ．169【解答】解：∵△ABC ∽△A 'B 'C '， ∴BC B′C′=AB A′B′=86=43．故选：B ．9．（4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（ ） A ．{5x +6y =15x −y =6y −xB ．{6x +5y =15x +y =6y +xC ．{5x +6y =14x +y =5y +xD ．{6x +5y =14x −y =5y −x【解答】解：由题意可得， {5x +6y =14x +y =5y +x ， 故选：C ．10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （﹣3，5），B （﹣4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为（ ）A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（1，4）D ．（4，1）【解答】解：由A （﹣3，5），A 1（3，3）可知四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A 1B 1C 1D 1， ∵B （﹣4，3）， ∴B 1的坐标为（2，1）， 故选：B ．11．（4分）已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝﹣（x +1）2+2上，则下列结论正确的是（ ） A ．2＞y 1＞y 2B ．2＞y 2＞y 1C ．y 1＞y 2＞2D ．y 2＞y 1＞2【解答】解：当x ＝1时，y 1＝﹣（x +1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2； 当x ＝2时，y 1＝﹣（x +1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7； 所以2＞y 1＞y 2． 故选：A ．12．（4分）如图，边长为√2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM ＝（ ）A ．12B ．√22C ．√3−1D ．√2−1【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD =√2，∠DCB ＝∠COD ＝∠BOC ＝90°，OD ＝OC ， ∴BD =√2AB ＝2，∴OD ＝BO ＝OC ＝1，∵将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处， ∴DE ＝DC =√2，DF ⊥CE ，∴OE =√2−1，∠EDF +∠FED ＝∠ECO +∠OEC ＝90°， ∴∠ODM ＝∠ECO ，在△OEC 与△OMD 中，{ ∠EOC =∠DOC =90°OD =OC∠OCE =∠ODM ，△OEC ≌△OMD （ASA ）， ∴OM ＝OE =√2−1， 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．（4分）因式分解：a 3+2a 2+a ＝ a （a +1）2 ． 【解答】解：a 3+2a 2+a ，＝a （a 2+2a +1），…（提取公因式） ＝a （a +1）2．…（完全平方公式） 故答案为：a （a +1）2．14．（4分）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，则∠B ＝ 70 °． 【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠B =12（180°﹣40°）＝70°． 故答案为70．15．（4分）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上，S 矩形OABC ＝6，则k ＝ 6 ．【解答】解：根据题意，知S ＝|k |＝6，k ＝±6， 又因为反比例函数位于第一象限，k ＞0， 所以k ＝6， 故答案为6．16．（4分）如图，矩形ABCD ，∠BAC ＝60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于 3√3 ．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠BAD ＝90°， ∵∠BAC ＝60°， ∴∠ACB ＝30°，由作图知，AE 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAE ＝∠CAE ＝30°， ∴∠EAC ＝∠ACE ＝30°， ∴AE ＝CE ， 过E 作EF AC 于F ， ∴EF ＝BE ＝1， ∴AC ＝2CF ＝2√3， ∴AB =√3，BC ＝3，∴矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝3√3， 故答案为：3√3．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．（5分）计算：|﹣2|﹣（√3+1）0+（﹣2）2﹣tan45°． 【解答】解：原式＝2﹣1+4﹣1＝4．18．（5分）化简：a （1﹣2a ）+2（a +1）（a ﹣1）． 【解答】解：原式＝a ﹣2a 2+2（a 2﹣1） ＝a ﹣2a 2+2a 2﹣2 ＝a ﹣219．（5分）解不等式组：{2x −1＜x +5①x+13＜x −1②．【解答】解：{2x −1＜x +5①x+13＜x −1②解不等式①得：x ＜6， 解不等式②得：x ＞2，所以，不等式组的解集为2＜x ＜6．20．（6分）如图，AB ＝DE ，BF ＝EC ，∠B ＝∠E ，求证：AC ∥DF ．【解答】证明：∵BF ＝EC ， ∴BF +FC ＝EC +FC ， ∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中， {AB =DE ∠B =∠E BC =EF， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）， ∴∠ACB ＝∠DFE ， ∴AC ∥DF ．21．（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率=2 12=16．22．（7分）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形；由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，OB=√52−42=3，∴BD＝2OB＝6．23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y=kx（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3√3，求点A的坐标．【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD=12OC＝1，∴BD=√OB2−OD2=√3，∴S△OBD=12OD×BD=√32，S△OBD=12|k|，∴|k|=√3，∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象在一三象限，∴k=√3，∴反比例函数的表达式为y=√3 x；（2）∵S△OBC=12OC•BD=12×2×√3=√3，∴S△AOC＝3√3−√3=2√3，∵S△AOC=12OC•y A＝2√3，∴y A＝2√3，把y ＝2√3代入y =√3x，求得x =12，∴点A 的坐标为（12，2√3）．24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据： 表一分数段 班级 60≤x ＜7070≤x ＜8080≤x ＜9090≤x ≤100八年级1班 75103分析数据： 表二统计量 班级 平均数中位数众数极差方差八年级1班78808536105.28小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下： 表三统计量 班级 平均数中位数众数极差方差八年级2班75767344146.80根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．【解答】解：（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x＜90这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）【解答】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC=BC CD，则BC＝CD•tan∠BDC≈0.59CD，在Rt△DCA中，tan∠ADC=AC CD，则AC＝CD•tan∠ADC≈4.49CD，由题意得，AC﹣BC＝AB，即4.49CD﹣0.59CD＝2，解得，CD≈0.5m，答：遮阳蓬CD的长约为0.5m．26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/m00.300.50 1.00 1.50 2.00 2.50833.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.934.10y/m32.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.151033.85 5.24 6.01 6.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：0≤x≤1.65时，y随x最大而减小，当1.65＜x≤4.10时，y随x最大而增大．（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是 1.33或4cm．（保留两位小数）．【解答】解：（1）①当x＝BM＝0时，连接AD，则AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝4，cos∠ABD=BDAB=23=cosα，则sinα=√53，则y＝MN＝BN=12BDcosα=3；②x＝BM=83，在△MBD中，BD＝4，BM=8 3，cos ∠B =23=cos α，tan α=√52， 过点M 作MH ⊥BD 于点H ，则BH ＝BM cos α=169，则EH =8√59， MD 2＝HD 2+EH 2=809， 则BD 2＝BM 2+MD 2， 故∠BMD ＝90°，则y ＝MN ＝MD tan α＝（DB sin α）tan α=103； 故：答案为3，103；（2）描点出如下图象，（3）从图象可以看出：0≤x ≤1.65时，y 随x 最大而减小， 当1.65＜x ≤4.10时，y 随x 最大而增大（数值是估值，不唯一）； （4）方法一： MN ＝2BM ，即y ＝2x ， 在上图中作直线y ＝2x ，直线与曲线交点的横坐标1.33和4故答案为：1.33或4． 方法二：如图3，DN 与CA 的延长线交于点H ．设BM ＝x ，MN ＝2x EN ＝3x ﹣3，AN ＝6﹣3x∵∠NDB ＝∠H +∠C （外角的性质） ∠NDB ＝∠MDB +∠NDM ∴∠MDB +∠NDM ＝∠H +∠C ∴∠MDB ＝∠H ，∠B ＝∠C ∴△MDB ∽△DHC ∴CH BD =DC BM∴CH4=4x，CH =16x ，HA ＝HC ﹣AC =16x −6 又∵△HAN ∽△DEN ∴AH ED =AN NE∴16x−63=6−3x3x−33x 3﹣16x +16＝0 解得x 1＝4，x 2=43． 故答案为：1.33或4．27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC ＝DE ，BC ＝AE ． 我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O 于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．【解答】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆∴O为斜边AB中点，AB为直径∵∠ACB＝90°∴∠ABC+∠BAC＝90°∵∠DAE＝∠ABC∴∠DAE+∠BAC＝90°∴∠BAD＝180°﹣（∠DAE+∠BAC）＝90°∴AD⊥AB∴AD是⊙O的切线（2）延长DO交BC于点H，连接OC∵DE⊥AC于点E∴∠DEA＝90°∵AB 绕点A 旋转得到AD ∴AB ＝AD在△DEA 与△ACB 中 {∠DEA =∠ACB =90°∠DAE =∠ABC DA =AB∴△DEA ≌△ACB （AAS ） ∴AE ＝BC ＝2，AC ＝DE ＝1 ∴AD ＝AB =2+BC 2=√5 ∵O 为AB 中点 ∴AO =12AB =√52∴AO DE=√52=AD AE∵∠DAO ＝∠AED ＝90° ∴△DAO ∽△AED ∴∠ADO ＝∠EAD ∴DO ∥EA∴∠OHB ＝∠ACB ＝90°，即DH ⊥BC ∵OB ＝OC∴OH 平分∠BOC ，即∠BOH =12∠BOC ∵∠FOG ＝∠BOH ，∠BFG =12∠BOC ∴∠FOG ＝∠BFG ∵∠FGO ＝∠BGF ∴△FGO ∽△BGF ∴FG BG=GO GF∴FG 2＝GO •GB28．（12分）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t=32时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t=54时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a=−12，b=32，∴y=−12x2+32x+2；（2）C（0，2），∴BC的直线解析式为y=−12x+2，当t=32时，AM＝3，∵AB＝5，∴MB＝2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴△DNB 的面积＝△DMB 的面积﹣△MNB 的面积=12×MB ×DM −12×MB ×MN =12×2×2＝2；（3）∵BM ＝5﹣2t ， ∴M （2t ﹣1，0）， 设P （2t ﹣1，m ），∵PC 2＝（2t ﹣1）2+（m ﹣2）2，PB 2＝（2t ﹣5）2+m 2， ∵PB ＝PC ，∴（2t ﹣1）2+（m ﹣2）2＝（2t ﹣5）2+m 2， ∴m ＝4t ﹣5， ∴P （2t ﹣1，4t ﹣5）， ∵PC ⊥PB ， ∴4t−72t−1•4t−52t−5=−1∴t ＝1或t ＝2，∴M （1，0）或M （3，0）， ∴D （1，3）或D （3，2）； （4）当t =54时，M （32，0），∴点Q 在抛物线对称轴x =32上，如图：过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与x =32的交点分别为Q 1与Q 2， ∵AB ＝5， ∴AM =52，∵∠AQ 1C +∠OAC ＝90°，∠OAC +∠MAG ＝90°， ∴∠AQ 1C ＝∠MAG ，又∵∠AQ 1C ＝∠CGA ＝∠MAG ， ∴Q 1（32，−52），∵Q 1与Q 2关于x 轴对称， ∴Q 2（32，52），∴Q 点坐标分别为（32，−52），（32，52）；。
2019年甘肃省兰州市中考数学(A卷)真题复习(含解析)
2019年甘肃省兰州市中考数学（A 卷）真题复习（含解析）副标题题号 一 二 三 四 总分 得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. -2019的相反数是（ ）A. 12019 B. 2019 C. −2019D. −120192. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=80°，则∠2=（ ）A. 130∘B. 120∘C. 110∘D. 100∘3. 计算：√12-√3=（ ）A. √3B. 2√3C. 3D. 4√34. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A.B.C.D.5. x =1是关于x 的一元二次方程x 2+ax +2b =0的解，则2a +4b =（ ）A. −2B. −3C. −1D. −6 6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A =40°，则∠C =（ ）A. 110∘B. 120∘C. 135∘D. 140∘ 7. 化简：a 2+1a+1-2a+1=（ ）A. a −1B. a +1C. a−1a+1D. 1a+18. 已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AB =8，A 'B '=6，则BCB′C′=（ ）A. 2B. 43C. 3D. 1699. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（ ）A. {5x +6y =15x −y =6y −xB. {6x +5y =15x +y =6y +x C .{5x +6y =14x +y =5y +xD. {6x +5y =14x −y =5y −x10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （-3，5），B （-4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为（ ）A. (1,2)B. (2,1)C. (1,4)D. (4,1)11. 已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y =-（x +1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2>y 1>y 2B. 2>y 2>y 1C. y 1>y 2>2D. y 2>y 1>2 12. 如图，边长为√2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM =（ ）A. 12B. √22C. √3−1D. √2−1二、填空题（本大题共4小题，共16.0分） 13. 因式分解：a 3+2a 2+a =______． 14. 在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =______°．15. 如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上，S 矩形OABC =6，则k =______．16.如图，矩形ABCD，∠BAC=60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE=1，则矩形ABCD的面积等于______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.化简：a（1-2a）+2（a+1）（a-1）．四、解答题（本大题共11小题，共81.0分）18.计算：|-2|-（√3+1）0+（-2）2-tan45°．19.解不等式组：{2x−1＜x+5①x+13＜x−1②．20.如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC∥DF．21.2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22.如图，AC=8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k（k≠0）的图象经过等边三角形xBOC的顶点B，OC=2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（k≠0）的表达式；（1）求反比例函数y=kx（2）若四边形ACBO的面积是3√3，求点A的坐标．24.为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：分数段60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100班级八年级1班75103分析数据：表二统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级1班78______ 8536105.28统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级2班75767344146.80根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25.某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC=77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=30.56°）．窗户的高度AB=2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）26.如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，点D为BC的中点，BE=DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/m00.300.501.001.502.002.50833.003.503.683.813.903.934.10y/m______ 2.882.812.692.672.803.15______ 3.855.246.016.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．（4）解决问题：当MN=2BM时，BM的长度大约是______cm．（保留两位小数）．27.通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO 交⊙O于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2=GO•GB．28.通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x 轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t=3时，求△DNB的面积；2（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t=5时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC=90°，求点Q的坐标．4答案和解析1.【答案】B【解析】解：-2019的相反数为2019，故选：B．根据相反数的概念求解可得．本题主要考查相反数，解题的关键是掌握相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2.【答案】D【解析】解：如图，∵∠1=80°，∴∠3=80°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-80°=100°．故选：D．先利用对顶角相等得到∠3=80°，然后根据平行线的性质，利用∠1+∠2=180°可计算出∠2的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．3.【答案】A【解析】解：-=2-=，故选：A．先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根式加减运算顺序．4.【答案】C【解析】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．5.【答案】A【解析】解：把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0，所以a+2b=-1，所以2a+4b=2（a+2b）=2×（-1）=-2．故选：A．先把x=1代入方程x2+ax+2b=0得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A=180°，∴∠C=180°-40°=140°．故选：D．直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．7.【答案】A【解析】解：原式===a-1，故选：A．先根据法则计算，再因式分解、约分即可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则．8.【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴===．故选：B．直接利用相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．9.【答案】C【解析】解：由题意可得，，故选：C．根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．10.【答案】B【解析】解：由A（-3，5），A1（3，3）可知四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，∵B（-4，3），∴B1的坐标为（2，1），故选：B．根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．11.【答案】A【解析】解：当x=1时，y1=-（x+1）2+2=-（1+1）2+2=-2；当x=2时，y1=-（x+1）2+2=-（2+1）2+2=-7；所以2＞y1＞y2．故选：A．分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．12.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，∴BD=AB=2，∴OD=BO=OC=1，∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，∴DE=DC=，DF⊥CE，∴OE=-1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，∴∠ODM=∠ECO，在△OEC与△OMD中，，△OEC≌△OMD（ASA），∴OM=OE=-1，故选：D．根据正方形的性质得到AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，求得BD=AB=2，得到OD=BO=OC=1，根据折叠的性质得到DE=DC=，DF⊥CE，求得OE=-1，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．13.【答案】a（a+1）2【解析】解：a3+2a2+a，=a（a2+2a+1），…（提取公因式）=a（a+1）2．…（完全平方公式）故答案为：a（a+1）2．先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式．14.【答案】70【解析】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°-40°）=70°．故答案为70．根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B的度数．本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．15.【答案】6【解析】解：根据题意，知S=|k|=6，k=±6，又因为反比例函数位于第一象限，k＞0，所以k=6，故答案为6．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．16.【答案】3√3【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90°，∵∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，由作图知，AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=30°，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴AE=CE，过E作EFAC于F，∴EF=BE=1，∴AC=2CF=2，∴AB=，BC=3，∴矩形ABCD的面积=AB•BC=3，故答案为：3．根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，求得∠ACB=30°，由作图知，AE是∠BAC的平分线，得到∠BAE=∠CAE=30°，根据等腰三角形的性质得到AE=CE，过E作EFAC于F，求得EF=BE=1，求得AC=2CF=2，解直角三角形得到AB=，BC=3，于是得到结论．本题主要考查矩形的性质，作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质及直角三角形30°角所对边等于斜边的一半．17.【答案】解：原式=a-2a2+2（a2-1）=a-2a2+2a2-2=a-2【解析】先去括号，再注意到（a+1）（a-1）可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的关键．18.【答案】解：原式=2-1+4-1=4．【解析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值性质、零指数幂的规定、乘方定义和三角函数值．19.【答案】解：{2x−1＜x+5①x+13＜x−1②解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x＞2，所以，不等式组的解集为2＜x＜6．【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．20.【答案】证明：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，{AB=DE ∠B=∠E BC=EF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠ACB =∠DFE ，∴AC ∥DF ．【解析】要证明AC ∥DF ，只要证明∠ACB=∠DFE 即可，要证明∠ACB=∠DFE ，只要证明△ABC ≌△DEF 即可，根据题目中的条件可以证明△ABC ≌△DEF ，本题得以解决．本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率=212=16．【解析】（1）利用画树状图展示所有12种等可能的结果数；（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．22.【答案】解：（1）四边形ABCD 为菱形；由作法得AB =AD =CB =CD =5，所以四边形ABCD 为菱形；（2）∵四边形ABCD 为菱形，∴OA =OC =4，OB =OD ，AC ⊥BD ，在Rt △AOB 中，OB =√52−42=3，∴BD =2OB =6．【解析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD 为菱形；（2）根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD ，AC ⊥BD ，然后利用勾股定理计算出OB ，从而得到BD 的长．本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了菱形的性质． 23.【答案】解：（1）作BD ⊥OC 于D ，∵△BOC 是等边三角形，∴OB =OC =2，OD =12OC =1， ∴BD =√OB 2−OD 2=√3， ∴S △OBD =12OD ×BD =√32， S △OBD =12|k |， ∴|k |=√3，∵反比例函数y =kx （k ≠0）的图象在一三象限， ∴k =√3，∴反比例函数的表达式为y =√3x ； （2）∵S △OBC =12OC •BD =12×2×√3=√3，∴S △AOC =3√3-√3=2√3，∵S △AOC =12OC •y A =2√3，∴y A =2√3，把y =2√3代入y =√3x ，求得x =12， ∴点A 的坐标为（12，2√3）．【解析】（1）作BD ⊥OC 于D ，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD=1，BD=，进而求得三角形BOD 的面积，根据系数k 的几何意义即可求得k=，从而求得反比例函数的表达式；（2）求得三角形AOC 的面积，即可求得A 的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A 的坐标．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解析式．24.【答案】80【解析】解：（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x＜90这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．（1）根据中位数的定义找出第13个数，然后确定80≤x＜90这一组中最小的数即可；（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1班学生的成绩更为优异．本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．25.【答案】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC=BC，CD则BC=CD•tan∠BDC≈0.59CD，，在Rt△DCA中，tan∠ADC=ACCD则AC=CD•tan∠ADC≈4.49CD，由题意得，AC-BC=AB，即4.49CD-0.59CD=2，解得，CD≈0.5m，答：遮阳蓬CD的长约为0.5m．【解析】根据正切的定义分别用CD表示出BC、AC，根据题意列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．26.【答案】3 100≤x≤1.25时，y随x最大而减小，3当1.25＜x≤4.10时，y随x最大而增大 2.68或7.45【解析】解：（1）①当x=BM=0时，连接AD，则AD⊥BC，BD=CD=BC=4，cos∠ABD===cosα，则sinα=，则y=MN=BN==3；②x=BM=，在△MBD中，BD=4，BM=，cos∠B==cosα，tanα=，过点M作MH⊥BD于点H，则BH=BMcosα=，则EH=，MD2=HD2+EH2=，则BD2=BM2+MD2，故∠BMD=90°，则y=MN=MDtanα=（DBsinα）tanα=；故：答案为3，；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：0≤x≤1.25时，y随x最大而减小，当1.25＜x≤4.10时，y随x最大而增大；（3）MN=2BM，即y=2x，在上图中作直线y=2x，直线与曲线交点的纵坐标为：2.68和7.45，故答案为：2.68或7.45．（1）①当x=BM=0时，则y=MN=BN==3；②MD2=HD2+EH2=，则y=MN=MDtanα，即可求解；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势；（3）MN=2BM，即y=2x，在上图中作直线y=2x，即可求解．本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难点于，弄懂x、y代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据．27.【答案】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆∴O为斜边AB中点，AB为直径∵∠ACB=90°∴∠ABC+∠BAC=90°∵∠DAE=∠ABC∴∠DAE+∠BAC=90°∴∠BAD=180°-（∠DAE+∠BAC）=90°∴AD⊥AB∴AD 是⊙O 的切线（2）延长DO 交BC 于点H ，连接OC∵DE ⊥AC 于点E∴∠DEA =90°∵AB 绕点A 旋转得到AD∴AB =AD在△DEA 与△ACB 中{∠DEA =∠ACB =90°∠DAE =∠ABC DA =AB∴△DEA ≌△ACB （AAS ）∴AE =BC =2，AC =DE =1 ∴AD =AB =√AC 2+BC 2=√5∵O 为AB 中点∴AO =12AB =√52 ∴AODE =√52=ADAE∵∠DAO =∠AED =90°∴△DAO ∽△AED∴∠ADO =∠EAD∴DO ∥EA∴∠OHB =∠ACB =90°，即DH ⊥BC∵OB =OC∴OH 平分∠BOC ，即∠BOH =12∠BOC∵∠FOG =∠BOH ，∠BFG =12∠BOC∴∠FOG =∠BFG∵∠FGO =∠BGF∴△FGO ∽△BGF∴FG BG =GO GF∴FG 2=GO •GB【解析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O 在AB 上，AB 为⊙O 直径，故只需证AD ⊥AB 即可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC 可证得∠DAE+∠BAC=90°，而E 、A 、C 在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD=90°，得证． （2）依题意画出图形，由要证的结论FG 2=GO•GB 联想到对应边成比例，所以需证△FGO ∽△BGF ．其中∠FGO=∠BGF 为公共角，即需证∠FOG=∠BFG ．∠BFG 为圆周角，所对的弧为弧BC ，故连接OC 后有∠BFG=∠BOC ，问题又转化为证∠FOG=∠BOC ．把DO 延长交BC 于点H 后，有∠FOG=∠BOH ，故问题转化为证∠BOH=∠BOC ．只要OH ⊥BC ，由等腰三角形三线合一即有∠BOH=∠BOC ，故问题继续转化为证DH ∥CE ．联系【模型呈现】发现能证△DEA ≌△ACB ，得到AE=BC=2，AC=DE=1，即能求AD=AB=．又因为O 为AB 中点，可得到，再加上第（1）题证得∠BAD=90°，可得△DAO ∽△AED ，所以∠ADO=∠EAD ，DO ∥EA ，得证． 本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第（2）题证明DO ∥EA 进而得到DO 垂直BC 是解题关键．28.【答案】解：（1）将点（-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx +2，∴a =-12，b =32，∴y =-12x 2+32x +2；（2）C （0，2），∴BC 的直线解析式为y =-12x +2，当t =32时，AM =3，∵AB =5，∴MB =2，∴M （2，0），N （2，1），D （2，3），∴△DNB 的面积=△DMB 的面积-△MNB 的面积=12×MB ×DM -12×MB ×MN =12×2×2=2；（3）∵BM =5-2t ，∴M （2t -1，0），设P （2t -1，m ），∵PC 2=（2t -1）2+（m -2）2，PB 2=（2t -5）2+m 2，∵PB =PC ，∴（2t -1）2+（m -2）2=（2t -5）2+m 2，∴m =4t -5，∴P （2t -1，4t -5），∵PC ⊥PB ， ∴4t−72t−1•4t−52t−5=-1 ∴t =1或t =2， ∴M （1，0）或M （3，0），∴D （1，3）或D （3，2）；（4）当t =54时，M （32，0），∴点Q 在抛物线对称性x =32上，如图：过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与x =32的交点分别为Q 1与Q 2， ∵AB =5，∴AM =52，∵∠AQ 1C +∠OAC =90°，∠OAC +∠MAG =90°，∴∠AQ 1C =∠MAG ，又∵∠AQ 1C =∠CGA =∠MAG ，∴Q 1（32，-52），∵Q 1与Q 2关于x 轴对称，∴Q 2（32，52），∴Q 点坐标分别为（32，-52），（32，52）；【解析】（1）将点（-1，0），B （4，0）代入y=ax 2+bx+2即可；（2）由已知分别求出M （2，0），N （2，1），D （2，3），根据∴△DNB 的面积=△DMB 的面积-△MNB 的面积即可求解；（3）由已知可得M （2t-1，0），设P （2t-1，m ），根据勾股定理可得PC 2=（2t-1）2+（m-2）2，PB 2=（2t-5）2+m 2，再由PB=PC ，得到m 与t 的关系式：m=4t-5，因为PC ⊥PB ，则有•=-1求出t=1或t=2，即可求D 点坐标；（4）当t=时，M （，0），可知点Q 在抛物线对称性x=上；过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与x=的交点分别为Q 1与Q 2，由AB=5，可得圆半径AM=，即可求Q 点坐标分别为（，-），（，）．本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键．。
2019年兰州市中考数学试卷-解析版
2019年兰州市中考数学试卷-解析版一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1．﹣2019的相反数是（）A．B．2019 C．﹣2019 D．﹣【分析】根据相反数的概念求解可得．【解答】解：﹣2019的相反数为2019，故选：B．【点评】本题主要考查相反数，解题的关键是掌握相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°【分析】先利用对顶角相等得到∠3＝80°，然后根据平行线的性质，利用∠1+∠2＝180°可计算出∠2的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝80°，∴∠3＝80°，∵a∥b，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．3．计算：﹣＝（）A．B．2C．3 D．4【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．【解答】解：﹣＝2﹣＝，故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根式加减运算顺序．4．剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．5．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．7．化简：﹣＝（）A．a﹣1 B．a+1 C．D．【分析】先根据法则计算，再因式分解、约分即可得．【解答】解：原式＝＝＝a﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则．8．已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2 B．C．3 D．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，4）D．（4，1）【分析】根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．【解答】解：由A（﹣3，5），A1（3，3）可知四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，∵B（﹣4，3），∴B1的坐标为（2，1），故选：B．【点评】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．11．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．12．如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD 沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（）A．B．C．﹣1 D．﹣1【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD＝BC＝CD＝，∠DCB＝∠COD＝∠BOC ＝90°，OD＝OC，求得BD＝AB＝2，得到OD＝BO＝OC＝1，根据折叠的性质得到DE＝DC＝，DF⊥CE，求得OE＝﹣1，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC，∴BD＝AB＝2，∴OD＝BO＝OC＝1，∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，∴DE＝DC＝，DF⊥CE，∴OE＝﹣1，∠EDF+∠FED＝∠ECO+∠OEC＝90°，∴∠ODM＝∠ECO，在△OEC与△OMD中，，△OEC≌△OMD（ASA），∴OM＝OE＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．因式分解：a3+2a2+a＝a（a+1）2．【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．【解答】解：a3+2a2+a，＝a（a2+2a+1），…（提取公因式）＝a（a+1）2．…（完全平方公式）故答案为：a（a+1）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式．14．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝70 °．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°．故答案为70．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．15．如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，S矩形OABC ＝6，则k＝ 6 ．【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．【解答】解：根据题意，知S＝|k|＝6，k＝±6，又因为反比例函数位于第一象限，k＞0，所以k＝6，故答案为6．【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．16．如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于3．【分析】根据矩形的性质得到∠B＝∠BAD＝90°，求得∠ACB＝30°，由作图知，AE是∠BAC的平分线，得到∠BAE＝∠CAE＝30°，根据等腰三角形的性质得到AE＝CE，过E作EFAC于F，求得EF＝BE＝1，求得AC＝2CF＝2，解直角三角形得到AB＝，BC＝3，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，由作图知，AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，过E作EFAC于F，∴EF＝BE＝1，∴AC＝2CF＝2，∴AB＝，BC＝3，∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查矩形的性质，作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质及直角三角形30°角所对边等于斜边的一半．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．（5分）计算：|﹣2|﹣（+1）0+（﹣2）2﹣tan45°．【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式＝2﹣1+4﹣1＝4．【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值性质、零指数幂的规定、乘方定义和三角函数值．18．（5分）化简：a（1﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）．【分析】先去括号，再注意到（a+1）（a﹣1）可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可【解答】解：原式＝a﹣2a2+2（a2﹣1）＝a﹣2a2+2a2﹣2＝a﹣2【点评】本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的关键．19．（5分）解不等式组：．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x＞2，所以，不等式组的解集为2＜x＜6．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．20．（6分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．【分析】要证明AC∥DF，只要证明∠ACB＝∠DFE即可，要证明∠ACB＝∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．21．（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．【分析】（1）利用画树状图展示所有12种等可能的结果数；（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．22．（7分）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD为菱形；（2）根据菱形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，然后利用勾股定理计算出OB，从而得到BD的长．【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形；由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，OB＝＝3，∴BD＝2OB＝6．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了菱形的性质．23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．【分析】（1）作BD⊥OC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD＝1，BD＝，进而求得三角形BOD的面积，根据系数k的几何意义即可求得k＝，从而求得反比例函数的表达式；（2）求得三角形AOC的面积，即可求得A的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A的坐标．【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，∴S△OBD＝OD×BD＝，S△OBD＝|k|，∴|k|＝，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵S △OBC＝OC•BD＝＝，∴S △AOC＝3﹣＝2，∵S △AOC＝OC•y A＝2，∴y A＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴点A的坐标为（，2）．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解析式．24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据： 表一表二下： 表三 （1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x ＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．【分析】（1）根据中位数的定义找出第13个数，然后确定80≤x＜90这一组中最小的数即可；（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1班学生的成绩更为优异．【解答】解：（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x＜90这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）【分析】根据正切的定义分别用CD表示出BC、AC，根据题意列式计算即可．【解答】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC＝，则BC＝CD•tan∠BDC≈0.59CD，在Rt△DCA中，tan∠ADC＝，则AC＝CD•tan∠ADC≈4.49CD，由题意得，AC﹣BC＝AB，即4.49CD﹣0.59CD＝2，解得，CD≈0.5m，答：遮阳蓬CD的长约为0.5m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE ＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：0≤x≤1.65时，y随x最大而减小，当1.65＜x≤4.10时，y随x最大而增大．（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是 1.33或4 cm．（保留两位小数）．【分析】（1）①当x＝BM＝0时，则y＝MN＝BN＝＝3；②MD2＝HD2+EH2＝，则y＝MN＝MD tanα，即可求解；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量x的不断增大，函数y 的变化趋势；（3）MN＝2BM，即y＝2x，在上图中作直线y＝2x，即可求解．【解答】解：（1）①当x＝BM＝0时，连接AD，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，cos∠ABD＝＝＝cosα，则sinα＝，则y＝MN＝BN＝＝3；②x＝BM＝，在△MBD中，BD＝4，BM＝，cos∠B＝＝cosα，tanα＝，过点M作MH⊥BD于点H，则BH＝BM cosα＝，则EH＝，MD2＝HD2+EH2＝，则BD2＝BM2+MD2，故∠BMD＝90°，则y＝MN＝MD tanα＝（DB sinα）tanα＝；故：答案为3，；（2）描点出如下图象，（3）从图象可以看出：0≤x≤1.65时，y随x最大而减小，当1.65＜x≤4.10时，y随x最大而增大（数值是估值，不唯一）；（4）方法一：MN＝2BM，即y＝2x，在上图中作直线y＝2x，直线与曲线交点的横坐标1.33和4故答案为：1.33或4．方法二：如图3，DN与CA的延长线交于点H．设BM＝x，MN＝2xEN＝3x﹣3，AN＝6﹣3x∵∠NDB＝∠H+∠C（外角的性质）∠NDB＝∠MDB+∠NDM∴∠MDB+∠NDM＝∠H+∠C∴∠MDB＝∠H，∠B＝∠C∴△MDB∽△DHC∴＝∴，CH＝，HA＝HC﹣AC＝﹣6 又∵△HAN∽△DEN∴＝∴＝3x3﹣16x+16＝0解得x1＝4，x2＝．故答案为：1.33或4．【点评】本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难点于，弄懂x、y代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据．27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC ＝AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为⊙O直径，故只需证AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC＝90°和∠DAE＝∠ABC可证得∠DAE+∠BAC＝90°，而E、A、C在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD＝90°，得证．（2）依题意画出图形，由要证的结论FG2＝GO•GB联想到对应边成比例，所以需证△FGO∽△BGF．其中∠FGO＝∠BGF为公共角，即需证∠FOG＝∠BFG．∠BFG为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC后有∠BFG＝∠BOC，问题又转化为证∠FOG＝∠BOC．把DO延长交BC于点H后，有∠FOG＝∠BOH，故问题转化为证∠BOH＝∠BOC．只要OH⊥BC，由等腰三角形三线合一即有∠BOH＝∠BOC，故问题继续转化为证DH∥CE．联系【模型呈现】发现能证△DEA≌△ACB，得到AE＝BC＝2，AC＝DE＝1，即能求AD＝AB＝．又因为O为AB中点，可得到，再加上第（1）题证得∠BAD＝90°，可得△DAO∽△AED，所以∠ADO＝∠EAD，DO∥EA，得证．【解答】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆∴O为斜边AB中点，AB为直径∵∠ACB＝90°∴∠ABC+∠BAC＝90°∵∠DAE＝∠ABC∴∠DAE+∠BAC＝90°∴∠BAD＝180°﹣（∠DAE+∠BAC）＝90°∴AD⊥AB∴AD是⊙O的切线（2）延长DO交BC于点H，连接OC∵DE⊥AC于点E∴∠DEA＝90°∵AB绕点A旋转得到AD∴AB＝AD在△DEA与△ACB中∴△DEA≌△ACB（AAS）∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1∴AD＝AB＝∵O为AB中点∴AO＝AB＝∴∵∠DAO＝∠AED＝90°∴△DAO∽△AED∴∠ADO＝∠EAD∴DO∥EA∴∠OHB＝∠ACB＝90°，即DH⊥BC ∵OB＝OC∴OH平分∠BOC，即∠BOH＝∠BOC ∵∠FOG＝∠BOH，∠BFG＝∠BOC ∴∠FOG＝∠BFG∵∠FGO＝∠BGF∴△FGO∽△BGF∴∴FG2＝GO•GB【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第（2）题证明DO∥EA进而得到DO垂直BC是解题关键．28．（12分）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q 的坐标．【分析】（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可；（2）由已知分别求出M（2，0），N（2，1），D（2，3），根据∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积即可求解；（3）由已知可得M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），根据勾股定理可得PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，再由PB＝PC，得到m与t的关系式：m＝4t﹣5，因为PC⊥PB，则有•＝﹣1求出t＝1或t＝2，即可求D点坐标；（4）当t＝时，M（，0），可知点Q在抛物线对称轴x＝上；过点A作AC 的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝的交点分别为Q1与Q2，由AB＝5，可得圆半径AM＝，即可求Q点坐标分别为（，﹣），（，）．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）C（0，2），∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2，当t＝时，AM＝3，∵AB＝5，∴MB＝2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝MB×DM﹣MB×MN＝×2×2＝2；（3）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴•＝﹣1∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）；（4）当t＝时，M（，0），∴点Q在抛物线对称轴x＝上，如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝的交点分别为Q1与Q2，∵AB＝5，∴AM＝，∵∠AQ1C+∠OAC＝90°，∠OAC+∠MAG＝90°，∴∠AQ1C＝∠MAG，又∵∠AQ 1C＝∠CGA＝∠MAG，∴Q1（，﹣），∵Q1与Q2关于x轴对称，∴Q2（，），∴Q点坐标分别为（，﹣），（，）；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键．。
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A．2
B．
C．3
） ‸
D． ⺁
9．（4 分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只
燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设
一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程组为（ ）
A．
a a
‸b b ‸b
a
C．
a a
‸b b
（1）求二次函数 y＝ax2+bx+2 的表达式； （2）连接 BD，当 t 时，求△DNB 的面积； （3）在直线 MN 上存在一点 P，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此 时点 D 的坐标； （4）当 t 时，在直线 MN 上存在一点 Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点 Q 的坐标．
3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系 xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），
并画出函数 y 关于 x 的图象．
第 6页（共 28页）
（3）探究性质：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋势：
22．（7 分）如图，AC＝8，分别以 A、C 为圆心，以长度 5 为半径作弧，两条弧分别相交于 点 B 和 D．依次连接 A、B、C、D，连接 BD 交 AC 于点 O． （1）判断四边形 ABCD 的形状并说明理由； （2）求 BD 的长．
23．（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y a（k≠0）的图象经过等边三 角形 BOC 的顶点 B，OC＝2，点 A 在反比例函数图象上，连接 AC，OA． （1）求反比例函数 y a（k≠0）的表达式； （2）若四边形 ACBO 的面积是 3 ，求点 A 的坐标．
A．130°
B．120°
【解答】解：如图，∵∠1＝80°，
∴∠3＝80°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣80°＝100°．
故选：D．
C．110°
D．100°
3．（4 分）计算：
（）
A．
B．2
C．3
D．4
【解答】解：
2
，
故选：A．
4．（4 分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中
八年级 1 班
7
分析数据：
表二
5
10
3
统计量 班级
平均数
中位数
众数
极差
方差
八年级 1 班
78
85
36
105.28
小丽用同样的方法对八年级 2 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，数据如下： 表三
统计量 班级
平均数
中位数
众数
极差
方差
八年级 2 班
75
76
73
44
146.80
根据以上信息，解决下列问题：
第 2页（共 28页）
A．
B．
C． 1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
13．（4 分）因式分解：a3+2a2+a＝
．
14．（4 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝
D． 1 °．
15．（4 分）如图，矩形 OABC 的顶点 B 在反比例函数 y a（k＞0）的图象上，S 矩形 OABC＝
C．110°
D．100°
3．（4 分）计算：
（）
A．
B．2
C．3
D．4
4．（4 分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中
心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b＝0 的解，则 2a+4b＝（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．﹣1
D．﹣6
6．（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110°
B．120°
C．135°
第 1页（共 28页）
D．140°
7．（4 分）化简：
（）
A．a﹣1
B．a+1
C．
D．
t 8．（4 分）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则 t （
图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；
D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转 180°不能与原图形重合，∴此图形是
轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C． 5．（4 分）x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b＝0 的解，则 2a+4b＝（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．﹣1
a ＜a
19．（5 分）解不等式组： a ＜a
．
20．（6 分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．
第 3页（共 28页）
21．（6 分）2019 年 5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强 ﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参 赛选手须在每个环节中各选一道题目． 第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 A1，A2，A3，A4 表示）； 第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用 B1，B2，B3 表示）． （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果； （2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
2019 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分. 1．（4 分）﹣2019 的相反数是（ ）
A． ⺁
B．2019
C．﹣2019
D．
⺁
2．（4 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（ ）
A．130°
B．120°
第 8页（共 28页）
2019 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分. 1．（4 分）﹣2019 的相反数是（ ）
A． ⺁
B．2019
【解答】解：﹣2019 的相反数为 2019，
C．﹣2019
D．
⺁
故选：B．
2．（4 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（ ）
第 9页（共 28页）
心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，
不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图
形，故此选项错误．
C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转 180°能与原
根据上述方案及数据，求遮阳蓬 CD 的长． （结果精确到 0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59， sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49） 26．（9 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点 D 为 BC 的中点，BE＝DE， 将∠BDE 绕点 D 顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线 AB 于 M、N 两点， 设 B、M 两点间的距离为 xcm，M，N 两点间的距离为 ycm． 小涛根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整．
．
（4）解决问题：当 MN＝2BM 时，BM 的长度大约是
cm．（保留两位小数）．
27．（10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】 如图，在 Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 AD，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到 AC＝DE，BC＝AE． 我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下：
【模型应用】
如图，在 Rt△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转一
定的角度得到 AD，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接 DO 交
⊙O 于点 F．
第 7页（共 28页）
（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）连接 FC 交 AB 于点 G，连接 FB．求证：FG2＝GO•GB． 28．（12 分）二次函数 y＝ax2+bx+2 的图象交 x 轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交 y 轴 于点 C．动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作 MN⊥x 轴交直线 BC 于点 N，交抛物线于点 D，连接 AC，设运动的时间为 t 秒．
11．（4 分）已知点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y＝﹣（x+1）2+2 上，则下列结论正确
的是（ ）
A．2＞y1＞y2
B．2＞y2＞y1
C．y1＞y2＞2
D．y2＞y1＞2
12．（4 分）如图，边长为 的正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD
沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处，折痕 DF 交 AC 于点 M，则 OM＝（ ）