2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章章末综合检测(一) Word版含解析

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2018年高中数学北师大版必修五达标练习第1章章末综合检测(一) Word版含解析

章末综合检测(一)(时间：分钟，满分：分)一、选择题：本题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．已知实数－，，，，－成等比数列，则等于( )．－．±．－．±解析：选.因为＝(－)×(－)＝，＝，所以＝－(＝不合题意，舍去)，所以＝－.．有穷数列，，，，…，＋的项数是( )．＋．＋．＋．＋解析：选.此数列的次数依次为，，，，…，＋，为等差数列，且首项＝，公差＝，设＋是第项，＋＝＋(－)×，所以＝＋.故选.．某种细胞开始有个，小时后分裂成个并死去个，小时后分裂成个并死去个，小时后分裂成个并死去个，…，按此规律进行下去，小时后细胞存活的个数是( ) ．个．个．个．个解析：选.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{}．则即＝.所以－＝·－，＝－＋，＝.．等差数列{}的公差不为零，首项＝，是和的等比中项，则数列的前项之和是( )．．．．解析：选.设公差为，所以(＋)＝×(＋)，因为≠，所以＝，从而＝.．已知是等差数列{}的前项和，下列选项中不可能是{}的图像的是( )解析：选.因为是等差数列{}的前项和，所以设＝＋(，为常数，∈＋)，则其对应函数＝＋的图象是过原点的一条曲线．当＝时，该曲线是过原点的直线，如选项；当≠时，该曲线是过原点的抛物线，如选项，；选项中的曲线不过原点，不符合题意．选.．设＝()是一次函数，若()＝，且()，()，()成等比数列，则()＋()＋…＋()等于( ) ．(＋) ．(＋)．(＋) ．(＋)解析：选.设＝＋(≠)，因为()＝，所以＝.又因为()，()，()成等比数列，所以(＋)＝(＋)·(＋)，所以＝，所以＝＋.所以()＋()＋…＋()＝(×＋)＋(×＋)＋…＋(×＋)＝(＋＋…＋)＋＝＋＋＝(＋)．故选.．已知是数列{}的前项和，＝(＝，，，…)，则数列{}( )．是公比为的等比数列．是公差为的等差数列．是公比为的等比数列．既非等差数列，也非等比数列解析：选.因为＝，所以＝，则＝.当≥时，＝－－＝－－＝－.因为＝不适合上式，所以{}既非等差数列，也非等比数列．．数列{}满足递推公式＝－＋－(≥)，又＝，则使得为等差数列的实数λ等于( )．．．－．解析：选＝，＝，＝，令＝，则＝，＝，＝，因为＋＝，所以λ＝－.．已知等差数列{}的前项和为，若＋＝，则())＝( )．．．－．－解析：选.在等差数列{}中，＝＝(＋)＝(＋)＝，所以())＝－)＝－)＝－＝－.故选.．设数列{}是以为首项，为公差的等差数列，{}是以为首项，为公比的等比数列，则＋＋…＋等于( )．．．．解析：选.由已知可得＝＋，＝－，于是＝＋，因此＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＝＋＝.．设是数列{}的前项和，且＝－，＋＝＋，则＝( )。

2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §1-1.1 数列的概念 Word版含解析 (10)

[A 基础达标]1．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( ) A.14B ．512 C.34 D ．712解析：选B.依题意b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫111－112＝12－112＝512，故选B. 2．若数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n 2－2解析：选 C.S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2. 3．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：选B.数列{a n }的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0.所以其在y 轴上的截距为－9.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18 C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3 D ．⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n >3 解析：选C.因为由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. 所以a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3.5．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝( ) A ．2nB ．2n －nC ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －2 解析：选D.因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于________．解析：a n ＝2n －12n ＝1－12n ，所以S n ＝n －12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n －1＋12n ＝32164＝5＋164，所以n ＝6.答案：67．已知ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110，则ln x ＋ln 2 x ＋ln 3 x ＋…＋ln 10 x ＝________．解析：由ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110.得(1＋2＋3＋…＋10)ln x ＝110，所以ln x ＝2.从而ln x ＋ln 2 x ＋…＋ln 10 x ＝2＋22＋23＋…＋210＝2（1－210）1－2＝211－2＝2 046. 答案：2 0468．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于________．解析：由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.答案：1009．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋； (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)证明：因为S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋，所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1（a 1＋1）2，所以a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，因为a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2， b n ＝12S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.[B 能力提升]11．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2 D ．2n ＋1－n －2 解析：选D.因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，所以2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，有2S n －S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n －n ，得S n ＝2n ＋1－2－n .12．已知数列{a n }中，a n ＝4×(－1)n －1－n (n ∈N ＋)，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝________．解析：S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋[4(－1)2n －1－2n ]＝4[(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)2n －1]－(1＋2＋3＋…＋2n )＝－2n （2n ＋1）2＝－n (2n ＋1)．答案：－n (2n ＋1)13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数. 设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)，则n 为奇数时，c n ＝2S n ＝1n －1n ＋2. n 为偶数时，c n ＝2n －1，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2（1－4n ）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)． 14．(选做题)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q ＞0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝（2n －1）×2n ＋12.。

高中数学北师大版必修五达标练习：第1章章末综合检测(一) Word版含解析

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于( )A ．－4B ．±4C ．－22D ．±2 2解析：选C.因为xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2，所以y ＝－2(y ＝2不合题意，舍去)，所以xyz ＝－2 2.2．有穷数列1，23，26，29， (23)＋6的项数是( ) A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2解析：选C.此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差d ＝3，设3n ＋6是第x 项，3n ＋6＝0＋(x －1)×3，所以x ＝n ＋3.故选C.3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个解析：选B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2. 所以a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.4．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190解析：选B.设公差为d ，所以(1＋d )2＝1×(1＋4d )，因为d ≠0，所以d ＝2，从而S 10＝100.5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，下列选项中不可能是{S n }的图像的是( )解析：选D.因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N ＋)，则其对应函数y ＝ax 2＋bx 的图象是过原点的一条曲线．当a ＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C ；当a ≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A ，B ；选项D 中的曲线不过原点，不符合题意．选D.6．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析：选A.设y ＝kx ＋b (k ≠0)，因为f (0)＝1，所以b ＝1.又因为f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)·(13k ＋1)，所以k ＝2，所以y ＝2x ＋1.所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2(2＋4＋…＋2n )＋n ＝2n 2＋2n ＋n ＝n (2n ＋3)．故选A.7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1，2，3，…)，则数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列，也非等比数列解析：选D.因为log 2S n ＝n ，所以S n ＝2n ，则a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.因为a 1＝2不适合上式，所以{a n }既非等差数列，也非等比数列．8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ等于( )A ．2B ．5C ．－12D ．12解析：选C.a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12. 9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 10＋a 11＝10，则ln S 20ln 110＝( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选D.在等差数列{a n }中，S 20＝（a 1＋a 20）×202＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＝100，所以ln S 20ln 110＝ln 100ln 10－1＝－ln 100ln 10＝－lg 100＝－2.故选D. 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058解析：选A.由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 11．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝( )A ．nB ．－nC ．－1nD ．1n解析：选C.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.因为 S n ≠0，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1. 又1S 1＝－1，所以{1S n}是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n. 12．对于正项数列{a n }，定义G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n n为数列{a n }的“匀称”值．已知数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2，则该数列中的a 10等于( )A ．2 3B ．45C ．1D ．2110解析：选D.因为G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n n，数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2，所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋2)，①所以n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)，②①－②得na n ＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1n，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝G 1＝3满足上式．所以a n ＝2n ＋1n ，a 10＝2110. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝1·（1－28）1－2＝255. 答案：16 25514．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝________．解析：由a n ＋1＝3S n ，得S n ＋1－S n ＝3S n ，即S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44＝768.答案：76815．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．解析：因为a n ＋1＝11－a n，所以a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝11－a 1，所以a 1＝12. 答案：1216．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，则通项为a n ＝82an 2＋bn的数列{a n }的前n 项和为________．解析：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋a ＋b ，故b ＝2a .因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a 2b ，又b ≠0，故b ＝a 2，所以a 2＝2a ，又a ≠0，所以a ＝2，b ＝4，所以a n ＝82an 2＋bn ＝84n 2＋4n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以{a n }的前n 项和S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：2n n ＋1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }(n ∈N ＋)满足a 1＝2，a 3＝6.(1)求该数列的公差d 和通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ≥2n ＋12，求正整数n 的取值范围．解：(1)由题意得d ＝a 3－a 12＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ，n ∈N ＋.(2)S n ＝a 1＋a n 2×n ＝n 2＋n ，由S n ≥2n ＋12，解得n ≥4或n ≤－3.所以n ≥4且n ∈N ＋.18．(本小题满分12分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2. 所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和为b 1（1－q n ）1－q＝4(1－3n )． 19．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .设c n ＝a n －1，(1)求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋S n ＝n ，①所以a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，所以2a n ＋1＝a n ＋1，所以2(a n ＋1－1)＝a n －1，所以a n ＋1－1a n －1＝12，所以{a n －1}是等比数列．又a 1＋a 1＝1，所以a 1＝12，因为c 1＝a 1－1，所以c 1＝－12. 又c n ＝a n －1，所以{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列． (2)由第一问可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n .所以当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n. 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 20．(本小题满分12分)某地现有居民住房的面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少(可取1.110≈2.6)?(2)在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a －x ；2年后住房总面积为1.1(1.1a －x )－x ＝1.12a －1.1x －x ；3年后住房总面积为1.1(1.12a －1.1x －x )－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ；…10年后住房总面积为1．110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x＝1.110a －1.110－11.1－1x ≈2.6a －16x . 由题意，得2.6a －16x ＝2a .解得x ＝380a (m 2)．(2)所求百分比为a 2－380a ×102a ＝116≈6.3%. 即过10年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.21．(本小题满分12分)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 2a 3a 4＝64. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当数列{S n ＋λ}也是等比数列时，求实数λ的值．解：(1)因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，所以数列{a n }也是等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，则a 33＝a 2a 3a 4＝64，解得a 3＝4.所以q 2＝a 3a 1＝4，解得q ＝2或q ＝－2. 当q ＝2时，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1；当q ＝－2时，数列{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n －1.(2)当q ＝2时，S n ＋λ＝1－2n1－2＋λ＝2·2n －1＋λ－1，当且仅当λ－1＝0，即λ＝1时，数列{S n ＋λ}是首项为2，公比为2的等比数列．同理当q ＝－2时，S n ＋λ＝1－（－2）n 1－（－2）＋λ＝23·(－2)n －1＋λ＋13，当且仅当λ＋13＝0，即λ＝－13时，数列{S n ＋λ}是首项为23，公比为－2的等比数列．所以λ的值为1或－13. 22．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N ＋)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n －22n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若2T n ＞m －2对任意n ∈N ＋恒成立，求正整数m 的最大值．解：(1)因为S n ＝12na n ＋a n －c ，所以当n ＝1时，S 1＝12a 1＋a 1－c ，解得a 1＝2c . 当n ＝2时，S 2＝a 2＋a 2－c ，即a 1＋a 2＝a 2＋a 2－c . 解得a 2＝3c ，所以3c ＝6，解得c ＝2.则a 1＝4，数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2.(2)因为b n ＝a n －22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝n 2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，① 12T n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1，② 由①－②可得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝1－12n －n 2n ＋1，所以T n ＝2－2＋n 2n . 因为T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2＋n ＋12n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫2－2＋n 2n ＝n ＋12n ＋1＞0，所以数列{T n }单调递增，T 1最小，最小值为12. 所以2×12＞m －2.所以m ＜3，故正整数m 的最大值为2.。

2018年秋新课堂高中数学北师大版必修5第1章数列综合测评

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…则35是它的( ) A ．第22项 B ．第23项 C ．第24项 D ．第28项B [令2n －1＝35，解得n ＝23.]2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝3，且a 2017＋a 2018＝0，则S 101＝( )A ．3B ．－3C ．303D ．－303B [设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2018a 2017＝－1，又a 2＝3，所以a 1＝－3，S 101＝(－3)[1－(－1)101]1－(－1)＝－3.]3．已知等差数列{a n }中首项a 1＝2，公差d ＝1，则a 5＝( )【导学号：91022133】A ．5B ．6C ．7D ．8B [因为等差数列{a n }中首项a 1＝2，公差d ＝1，所以a 5＝2＋4×1＝6.] 4．在等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值为( ) A ．96 B ．99C ．100D ．101C [由已知得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，令3n －2＝298，得n ＝100.]5．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18B [因为(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ，所以99－105＝3d ，所以d ＝－2.又因为a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，所以a 1＝39.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. 所以当n ＝20时，S n 有最大值．]6．数列{a n }中，a n ＝2n －an ＋1(n ∈N ＋)是递增数列，则实数a 的取值范围为( )【导学号：91022134】A ．(－∞，2)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(2，＋∞)C [由已知a n ＋1－a n ＝2n ＋2－a n ＋2－2n －a n ＋1＝2＋a(n ＋2)(n ＋1)＞0，所以2＋a ＞0，解得a ＞－2.]7．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 23＝9a 2a 6，则数列{a n }的公比q为( )A ．±19 B ．13 C ．－13D ．±13B [由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19，由条件可知q ＞0，故q ＝13，选B.]8．已知等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210，则前20项和为( )A ．100B ．120C ．390D ．540A [因为等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210，由等差数列前n 项和的性质得S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.故选A.]9．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则a 7b 7等于( ) 【导学号：91022135】A ．2B ．53 C ．95D ．3117C [因为S n T n ＝2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，所以a 7b 7＝2a 72b 7＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝2×13＋113＋2＝2715＝95.故选C.]10．已知{a n }是一个无穷等比数列，则下列说法错误的是( ) A ．若c 是不等于零的常数，那么数列{c ·a n }也一定是等比数列B ．将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等比数列C ．{a 2n －1}(n ∈N *)是等比数列D ．设S n 是数列{a n }的前n 项和，那么S 6，S 12－S 6，S 18－S 12也一定成等比数列D [对于A ，若c 是不等于零的常数，那么数列{c ·a n }也一定是等比数列，首项为ca 1，公比为q ，正确；对于B ，将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ，正确；对于C ，等比数列的奇数项仍是等比数列，正确；对于D ，设S n 是数列{a n }的前n 项和，那么S 6、S 12－S 6、S 18－S 12也一定成等比数列，不正确，比如1，－1,1，－1，….]11．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．30B ．60C ．90D ．110B [由a 24＝a 3·a 7得， (a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )得， 2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋562d ＝32，得，2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.]12．设等比数列{a n }中，首项a 1＝164，b n ＝log 12a n ，当且仅当n ＝4时，数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值，则等比数列{a n }的公比q 的取值范围是( )【导学号：91022136】A ．(3,23)B ．(3,4)C ．(22，4)D ．(22，32)C [依题意，a n ＝164q n －1，b n ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫164q n －1＝6＋(n －1)log 12q ，又当且仅当n ＝4时，数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 4＞0，b 5＜0，即⎩⎨⎧6＋3log 12q ＞0，6＋4log 12q ＜0，解得22＜q ＜4.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．在等差数列{a n }中，a 4＋a 17＝2，则a 8＋a 13＝________. [解析] a 8＋a 13＝a 4＋a 17＝2. [答案] 214．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23n 2－13n ，则数列a n ＝________.【导学号：91022137】[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23n 2－13n －23(n －1)2＋13(n －1)＝43n －1，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝13＝43－1，所以a n ＝43n －1.[答案] 43n －115．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 就会降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是________．[解析] 由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，公差为－0.7 ℃的等差数列，记此数列为{a n }，a 1＝26 ℃，d ＝－0.7 ℃，∴14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1700(m)． [答案] 1700 m16．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N ＋)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________．[解析] 设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －815d ，从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0；当n ≥17时，a n ＜0. 从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞….因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故当S n 取得最大值时n ＝16. [答案] 16三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1＜a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根.【导学号：91022138】(1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列． [解] (1)∵a 1，a 2(a 1＜a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根， ∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4， ∴S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n .(2)当c ＝－12时，b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n －12＝2n ，∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2.∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．18．(本小题满分12分)已知{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，a 1＋a 2＝b 4，b 1＋b 2＝a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式．(2)记数列{a n ＋b n }的前n 项和为T n ，求T n .[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，由a 1＝b 1＝1得，a n ＝1×q n －1，b n ＝1＋(n －1)d ，由a 1＋a 2＝b 4，b 1＋b 2＝a 2得，⎩⎪⎨⎪⎧1＋q ＝1＋3d ，2＋d ＝q ，解得d ＝1，q ＝3，所以a n ＝3n －1，b n ＝n . (2)由(1)得，a n ＋b n ＝n ＋3n －1，所以T n ＝(1＋30)＋(2＋31)＋…＋(n ＋3n －1) ＝(1＋2＋…＋n )＋(30＋31＋…＋3n －1) ＝n (1＋n )2＋1－3n 1－3＝12(3n＋n 2＋n －1)．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 4＝a 3.【导学号：91022139】(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝2a n －1b n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)∵S n ＝2a n －1，∴S n ＋1＝2a n ＋1－1，两式相减，得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，∴a n ＋1＝2a n .又当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝a 1＝1，b 4＝a 3＝4.∵数列{b n }为等差数列，∴b n ＝n .(2)∵a n ＝2n －1，b n ＝n ，∴c n ＝2a n －1b n b n ＋1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1n (n ＋1)＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4－12n －2－nn ＋1. 20．(本小题满分12分)某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．[解] 设a n 为(2010＋n )年年底分红后的资金，其中n ∈N ＋，则a 1＝2×1 000－500＝1 500，a 2＝2×1 500－500＝2 500，…，a n ＝2a n －1－500(n ≥2)．所以a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，即数列{a n －500}是首项为a 1－500＝1 000，公比为2的等比数列．所以a n －500＝1 000×2n －1，所以a n ＝1 000×2n －1＋500. (1)a 4＝1 000×24－1＋500＝8 500，所以该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元． (2)由a n ＞32 500，即2n －1＞32，得n ＞6，所以该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元．21．(本小题满分12分)已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)因为S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2)，所以S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1(n ≥2)，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1＝2n ＋1，则a n ＝2n ，当n ＝1时，也满足，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝n ＋12n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， ①12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(n ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ② ①－②得12T n ＝2×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.故数列{b n }的前n 项和为T n ＝3－n ＋32n .22．(本小题满分12分)已知{a n }是递增数列，其前n 项和为S n ，a 1＞1，且10S n ＝(2a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.【导学号：91022140】(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)是否存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )＝a k 成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由10a 1＝(2a 1＋1)(a 1＋2)，得2a 21－5a 1＋2＝0，解得a 1＝2或a 1＝12. 又a 1＞1，所以a 1＝2.因为10S n ＝(2a n ＋1)(a n ＋2)，所以10S n ＝2a 2n ＋5a n ＋2.故10a n ＋1＝10S n ＋1－10S n ＝2a 2n ＋1＋5a n ＋1＋2－2a 2n －5a n －2，整理，得2(a 2n ＋1－a 2n )－5(a n ＋1＋a n )＝0，即(a n ＋1＋a n )[2(a n ＋1－a n )－5]＝0.因为{a n }是递增数列且a 1＝2，所以a n ＋1＋a n ≠0，因此a n ＋1－a n ＝52. 所以数列{a n }是以2为首项，52为公差的等差数列，所以a n ＝2＋52(n －1)＝12(5n －1)．(2)满足条件的正整数m ，n ，k 不存在，理由如下：假设存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )＝a k ，则5m －1＋5n －1＝12(5k －1)，整理，得2m ＋2n －k ＝35， (*) 显然，(*)式左边为整数，所以(*)式不成立．故满足条件的正整数m ，n ，k 不存在．。

2018年高中数学北师大版必修五达标练习模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间：分钟，满分：分)一、选择题：本题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．数列，，，，…的通项公式可能是( )．．＋．－．－解析：选.取＝时，＝，排除、，取＝时，＝，排除.．若＜，＞，那么下列不等式中正确的是( )＞．＞．＜．＜＋解析：选.利用特值法，令＝－，＝，则＜，错；＜，错；＝，错．．若()＝－＋－的函数值有正值，则的取值范围是( )．<－或> ．－<<．≠±．<<解析：选.因为()＝－＋－有正值，所以Δ＝－>，所以>或<－.．等差数列{}满足＋＋＝，则其前项之和为( )．－．－．．±解析：选.因为＋＋＝(＋)＝，所以＋＝±，所以＋＝±，所以＝＝±.．若<，则不等式(－)>的解集为( )．．解析：选.由<知<<，所以<；不等式(－)>⇔(－)<，解得<<.．在△中，＝°，＝°，＝，则此三角形的最大边长为( )．．．．解析：选.依题意，知三角形的最大边为.由于＝°，根据正弦定理)＝)，得＝)＝° °)＝.．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为( )．．解析：选.由题意得，图中阴影部分面积即为所求．、两点横坐标分别为－、，、两点纵坐标分别为，－.所以△＝××＝.．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称药品，他先将的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( )．小于．大于．大于等于．小于等于解析：选.设左、右臂长分别为，(≠)，第一次称的药品为，第二次称的药品为，则有＝，＝，所以＋＝>×＝，即大于.．已知钝角三角形的面积是，＝，＝，则＝( )．．)．．解析：选.因为＝·＝××＝，所以＝，所以＝或.当＝时，根据余弦定理有＝＋－·＝＋＋＝，所以＝，此时△为钝角三角形，符合题意；当＝时，根据余弦定理有＝＋－·＝＋－＝，所以＝，此时＋＝，△为直角三角形，不符合题意．故＝.．某企业在今年年初贷款万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )万元．万元万元．万元解析：选.设每年偿还万元，则：＋(＋γ)＋(＋γ)＋(＋γ)＋(＋γ)＝(＋γ)，所以＝.．若，满足条件当且仅当＝＝时，＝＋取得最大值，则实数的取值范围是( )∪∪解析：选.直线－＋＝和直线＋－＝的斜率分别为＝，＝－，且两直线的交点坐标为(，)，作。

2018秋新版高中数学北师大版必修5习题：模块综合检测

33
D. 4 或 2
解析:由余弦定理,得 12=( 3)2+BC2-2 3·BC·cos 30°,
1
1× 3 1= 3
1× 3 1= 3
解得 BC=1 或 2.故 S△ABC=2BA·BCsin 30°=2
×1×2 4 或 S△ABC=2
×2×2 2 .
答案:D
9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,则 a10 等于( )
1
∴x>1 或 x<-2.
( )1
故解集为 - ∞, - 2 ∪(1,+∞).
答案:D
3.已知点 An(n,an)(n∈N+)在函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像上,则 a3+a7 与 2a5 的大小关系是( ) A.a3+a7>2a5 B.a3+a7<2a5 C.a3+a7=2a5 D.a3+a7 与 2a5 的大小和 a 有关解析:由题意知,a3=a3>0,a7=a7>0,a5=a5>0,
A.3×44
B.3×44+1
C.45
D.45+1
解析:∵an+1=3Sn,∴an=3Sn-1(n≥2).
两式相减,得 an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,
即 an+1=4an(n≥2).
故 n≥2 时,{an}是以 a2 为首项,以 4 为公比的等比数列.
��2
∵a2=3S1=3a1=3,∴a1=3≠4. ∴a1 不在上述等比数列里面.
��
�� - 0
解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点 A 为(1,3),要使��最大,则�� - 0最大,即过点(x,y),(0,0)两点

(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》检测题(答案解析)(1)

一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（）A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010113．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，n *∈N ，若数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，则下列说法不正确的是（） A ．{}n n a S +是等差数列 B ．{}n n a S ⋅是等差数列 C ．{}2na 是等比数列D ．{}2nS 是等比数列4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a >D ．若20210S >，则20a >5．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．26．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3927．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（） A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =（） A ．6332B ．3116C ．12364 D ．1271289．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（） A ．11B ．10C ．9D ．810．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（） A ．6B ．7C ．8D ．911．等差数列{}n a 中，10a >,310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为（） A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在12．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题13．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos 2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 14．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ﹣1是a n 和S n 的等比中项，设1(1)(21)n n n b n a +=-⋅+，则数列{b n }的前100项和为_____.16．已知函数()f x 在()1,∞-+上单调，且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +等于________.17．在数列{}n a 中， 11a =，212(2)n n n a a n ---=≥，则n a =_____.18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，则数列{1nS }的前n 项和为_____．19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________．20．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若22a =-，714S =，则10a =__________.三、解答题21．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+（1）求{}n a 的公比q 的值；（2）求{}n b 的通项公式.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23S =，()*11n n a S n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()111n n n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.23．已知等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，519a =，321S =．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令1n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 25．在数列{}n a ，{}n b 和{}n c 中，{}n a 为等差数列，设{}n a 前n 项的和为n S ，{}n c 的前n 项和为n T ，11a =，410S a =，12b =，n n n c a b =⋅，22n n T c =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可.【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．C解析：C 【分析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列，有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.3．D解析：D 【分析】由题意，判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每个选项即可. 【详解】因为数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，1n n n a S S -=-，所以可判断n a 为定值，所以数列{}n a 是公差为0的等差数列，即10n n a a --=.对A ，()()1111----++-=-+-=n n n n n n n n n a S a S S S a a a ，所以数列{}n n a S +是等差数列；对B ，1121----=⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n n n n a S a S a S a S a ，所以数列{}n n a S ⋅是等差数列；对C ，222211-==n n n n a a a a ，所以数列{}2n a 是等比数列；对D ，设n a a =，则222,==n n S na S n a ，则221222222(1)(1)-==--n n n a n n a n S S ，所以数列{}2n S 不是等比数列. 故选：D 【点睛】解答本题的关键在于判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式判断是否为等差或者等比数列.4．B解析：B 【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >，当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>；当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<，当01q <<时，10a >，此时210a a q =>；当1q >时，10a >，此时210a a q =>；故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C . 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >；当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确；故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.5．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 6．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2Bn A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.7．B解析：B【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.8．A解析：A 【解析】由题意得，111121,1,n n n a a a a S S -=-==- ，则21nn S =- ，即666332S a = ，故选A. 9．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值10．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论．【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=，由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ．【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．11．C解析：C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S = ∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a =∵10a >∴当n S 取最大值时，n 的值为6或7 故选C12．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知1000a ，从而判断数列{}n a 是单调递增数列，即可判断当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值. 【详解】数列{}n a 为等差数列，119921981002a a a a a ，1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，则1001990a ，即1000a ，10a <，可以判断数列{}n a 是单调递增数列，991010,0a a ， 12n n n n b a a a ++=，12323412nn n n S a a a a a a a a a ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值为97，98，99，100共4个. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解：对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得解析：26【分析】由题意可得11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和．【详解】解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++，由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为26．【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．14．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.15．【分析】利用等比中项列方程然后求得再利用裂项求和法求得数列的前项和【详解】依题意当时解得当时解得当时解得以此类推猜想下用数学归纳法证明：当时成立假设当时当时所以假设成立所以对任意（证毕）所以所以数列解析：100101【分析】利用等比中项列方程，然后求得n a ，再利用裂项求和法求得数列{}n b 的前100项和.【详解】依题意()21n n n S a S -=⋅，当1n =时，()22111a a -=，解得111212a ==⨯，当2n =时，()()2122121a a a a a +-=⋅+，解得211623a ==⨯，当3n =时，()()212331231a a a a a a a ++-=⋅++，解得3111234a ==⨯，以此类推，猜想()11111n a n n n n ==-++，1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 下用数学归纳法证明：当1n =时，1112S a ==成立. 假设当n k =时，1k k S k =+ 当1n k =+时，()21111k k k S a S +++-=⋅，()()21111k k k k S S S S +++-=-⋅，22111121k k k k k S S S S S ++++-+=-⋅，1121k k k S S S ++-+=-⋅，()121k k S S +⋅-=-，1122111k k k k S S k k ++--⎛⎫⋅-=⋅=- ⎪++⎝⎭，()111211k k k S k k +++==+++，所以假设成立. 所以对任意*N n ∈，()11111n a n n n n ==-++，1n n S n =+.（证毕）所以()11111(1)(21)(1)(21)(1)111n n n n n b n a n n n n n +++⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⎪==+⋅-⋅+ +⎝⎭，所以数列{}n b 的前100项和为111111111001122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++--+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：100101【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查裂项求和法，属于中档题.16．【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是解析：2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性，利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性，结合函数的单调性，根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值，最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称，又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =，所以5051a a 2+=-，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为：2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，等差数列的性质，涉及函数的图象的平移变换，属中档题，小综合题，难度一般.17．【分析】利用累加法可求得数列的通项公式【详解】当时符合上式则故答案为：【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式属于基础题解析：12n -【分析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】11a =，212(2)n n n a a n ---=≥∴()()()121321=+n n n a a a a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-0121+2+2++2n -=⋅⋅⋅()()2212122+2221212n n n ----==+-=-∴12nna ()2,*n n N ≥∈当=1n 时，11a =符合上式，则12n n a .故答案为：12n - 【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式，属于基础题.18．【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{an}的基本量应用等差数列前n 项和公式表示出进而得到数列{}的通项并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式知解得∴由等差数解析：1n n + 【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{a n }的基本量122a d =⎧⎨=⎩，应用等差数列前n项和公式表示出n S ，进而得到数列{1nS }的通项，并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式，知2151451030a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得122a d =⎧⎨=⎩ ∴由等差数列前n 项和公式：22(1)n S n n n n n =+-=+，()n N +∈对于数列{1n S }有211111n S n n n n ==-++∴数列{1n S }的前n 项和1111111...1223111n n T nn n n故答案为：1nn + 【点睛】本题考查了等差数列，根据已知量，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程求基本量，进而得到其前n 项和公式，根据新数列与等差数列前n 项和的关系求得数列通项公式，结合裂项法得到新数列的前n 项和公式19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+，因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=，故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=；（3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =；（4）比较式子，求得结果.20．14【分析】本题先求再求即可解题【详解】解：因为数列是等差数列所以解得所以故答案为：14【点睛】本题考查等差数列的基本量法是基础题解析：14 【分析】本题先求1a 、d ，再求10a 即可解题. 【详解】解：因为数列{}n a 是等差数列，22a =-，714S =所以217127(71)7142a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯-=+=⎪⎩，解得142a d =-⎧⎨=⎩，所以101914a a d =+= 故答案为：14 【点睛】本题考查等差数列的基本量法，是基础题.三、解答题21．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ；（2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥， ()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-，()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式，故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法． 22．（1）12n n a ；（2）证明见解析.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-消去n S ，得到{}n a 为等比数列，公式法求通项公式；（2）把12n n a 代入()()111n n n n a b a a +=++，用裂项相消法求出n T ，再证明12n T <.【详解】解：（1）∵11n n a S +=+，∴11(2)n n a S n -=+≥ ∴1n n n a a a +-=，即∴12(2)n n a a n +=≥. 又21111a S a =+=+，2123S a a =+=∴11a =，22a =，∴212a a =也满足12(2)n n a a n +=≥.∴{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n na（2）由（1）知()()()()11112111121212121n n n n n n n n n a b a a ---+===-++++++.∴1201121111111212121212121n n n nT b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭01111121212212n n =-=-<+++. 【点睛】 (1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；(2)数列求和的方法：公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法． 23．（1）41n a n =-；（2）2(1)n nT n =+.【分析】（1）由已知列方程求出首项和公差，可得答案；（2）求出n S 及n b 的通项公式，由裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）∵313321S a d =+=①，51419a a d =+=② 由①②得13a =，4d =． ∴1(1)41n a a n d n =+-=-；（2）由（1）知41n a n =-，13a =，()234122n n n S n n +-∴==+；∴111112(1)21n n b S n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， ∴11111111122233412(1)n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和，考查了学生的基础知识、基本运算.24．（1）3nn a =；（2）2+1nn 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出通项公式；（2）可得n b n =，则()1+2n n n T =，1112+1nT n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由裂项相消法即可求出前n 项和. 【详解】（1）233n n S a =-，即3322n n S a =-，当1n =时，1113322S a a =-=，解得13a =，当2n ≥时，1133332222n n n n n a a a S S --⎛⎫---== ⎝-⎪⎭，整理得13n n a a -=，{}n a ∴是首项为3，公比为3的等比数列，1333n n n a -∴=⨯=；（2）33l 3log og nn n b a n ===，()1+2n n n T ∴=，则()12112+1+1n T n n n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111221+++223+1+1nn n n ⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 25．（1）n a n =，2nn b n=；（2）证明见解析；【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410S a =，即可得到1d a =，从而求出{}n a 的通项公式，再由1122n n n n n c T T c c --=-=-，可得{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出{}n c 的通项，最后由n n n c a b =⋅，求出{}n b 的通项公式；（2）依题意可得()()1111112121n n n n n c c c ++=-----，利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解：（1）因为{}n a 为等差数列，且{}n a 前n 项的和为n S ，设其公差为d ，因为410S a =，11a =，所以()11441492a d a d ⨯-+=+，所以11d a ==，所以n a n =，因为11a =，12b =，n n n c a b =⋅，所以1112c a b =⋅=，因为{}n c 的前n 项和为n T 且22n n T c =-，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n c T T c c c c ---=-=---=-，所以()122n n c c n -=≥，所以{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n c =，因为n n n c a b =⋅，所以2nn n n c b a n==（2）因为()()()()1112111121212121n n n n n n n n c c c +++==-------所以()()()()()()1212231111111nn n c c c c c c c c c ++++------122311111111111111212121212121212121n n n n +++=-+-++-=-=-<--------- 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．26．（1）3nn a =；（2）1n n T n =+. 【分析】（1）令1n =计算1a ，当2n ≥时，利用1222n n n a S S -=-可得{}n a 是等比数列，即可求解；（2）由{}n a 的通项公式可得{}n b 的通项，进而可得{}n c 的通项，利用裂项求和即可求解. 【详解】（1)当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴= 当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---即13nn a a -=()2n ≥， ∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列.1333n n n a -∴=⨯=（2）.由3log n n b a =，得3log 3nn b n ==则()1111111n n n c b b n n n n +===-++， 11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.。

2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业：第1章数列章末检测 Word版含答案

第一章章末检测班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1，(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．22．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 2＋a 6＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．283．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( )A ．16B ．24C ．36D ．484．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 165．设数列{a n }是等差数列且a 4＝－4，a 9＝4，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5＝S 6 B ．S 5＝S 8 C ．S 7＝S 5 D ．S 7＝S 66．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝( ) A. －16 B. 16 C. 31 D. 327．在等比数列{a n }中，若a 4a 7＋a 5a 6＝20，则此数列的前10项之积等于( ) A ．50 B ．2010C ．105D ．10108．数列12，24，38，…，n2n ，…的前n 项和为( )A ．2－n ＋22nB ．1－12nC ．n (1－12n )D ．2－12n －1＋n 2n 9．在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，则( )A ．a ，b ，c 依次成等差数列B ．b ，a ，c 依次成等差数列C ．a ，c ，b 依次成等差数列D ．a ，b ，c 既成等差数列，也成等比数列10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 12．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2·a 8＝2，则a 11a 7＝________. 13．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3…)．求证：数列{S n n}是等比数列．15．等差数列{a n }中a 7＝4，a 19＝2a 9， (1)求{a n }的通项公式． (2)设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n .16．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－3n ，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.17．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．18．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2且n ∈N ＋)． (1)求证：数列{a n2n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n2n >2n －3.一、选择题1．A 由递推关系得：a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.2．A3．D 设公差为d ，由 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12S 4＝20⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝124a 1＋6d ＝20⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝3⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.4．B 由a n a n －1＝16n，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4.∵a 1a 2＝a 21q ＝16>0，∴q >0.∴q ＝4.5．C 由题意知a 1＋3d ＝－4，a 1＋8d ＝4， ∴5d ＝8，d ＝85，a 1＝－445.∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝85n －525，S 5＝a 1＋a 52＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤－445＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1252＝－28，S 7＝a 1＋a 72＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫－445＋452＝－28.6．B 因为S 4＝2a n －1(n ∈N *)，则a n ＝2a n －1，且a 1＝1，故a 5＝24＝16. 7．C8．A S n ＝12＋24＋38＋…＋n2n ，①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② 由①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12－12n1－12－n2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.9．A ∵a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，∴a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，∴12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A )＝32b ， ∵a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴12(a ＋c )＋12b ＝32b . ∴a ＋c ＝2b ，∴a ，b ，c 依次成等差数列．10．B 由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 3＝105，即a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99得3a 4＝99，即a 4＝33，∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0得n ＝20，故选B.二、填空题 11．2解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }单调递增，得q ＞1，∴q ＝2. 12．2解析：由等比数列的性质有a 2·a 8＝a 3a 7＝2，∵a 3＋a 7＝3，∴a 3，a 7是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a 7＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 7＝1，(舍)，∴a 11a 7＝a 7a 3＝2. 13．1 0解析：依题意，得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.∴应填1,0. 三、解答题14．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＝2(n ＋1)S n ，所以S n ＋1n ＋1＝2S n n .故{S nn}是以2为公比的等比数列． 15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d∵a 7＝4，a 19＝2a 9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝a 1＋8d解得：a 1＝1，d ＝12，∴a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋12.(2)∵b n ＝1na n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 16．解：当a n ＝10－3n ≥0时，n ≤3，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋…＋a nna 1＋a 2＋a 3－a 4－…－a nn＝⎩⎪⎨⎪⎧n a 1＋an 2na 1＋a 2＋a 3－a 1＋a 2＋…＋a n n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n 2＋17n2n ，3n 2－17n ＋482n17．解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．18．解：(1)∵a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴a n 2＝a n －12＋1，即a n 2－a n －12＝1(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴数列{a n 2n }是等差数列，且公差d ＝1，首项a 121＝12.(2)由(1)得a n 2n ＝12＋(n －1)·1＝n －12，∴a n ＝(n －12)·2n.(3)∵S n ＝12×21＋32×22＋52×23＋…＋(n －12)·2n，∴2S n ＝12×22＋32×23＋52×24＋…＋(n －12)·2n ＋1，两式相减得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(n －12)·2n ＋1＝2＋22＋23＋…＋2n －(n －12)·2n ＋1－1＝－2n1－2－(n －12)·2n ＋1－1＝(3－2n )·2n－3，得S n ＝(2n －3)·2n＋3>(2n －3)·2n，∴S n2n >2n －3.。

2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §1-1.1 数列的概念 Word版含解析 (23)

[A 基础达标]1．不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3，12 B ．⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，3]D ．⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3] 解析：选D.因为(x －1)2＞0，由x ＋5（x －1）2≥2可得x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1. 所以2x 2－5x －3≤0且x ≠1，所以－12≤x ≤3且x ≠1. 所以不等式的解集是⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3]． 2．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1＜0 ，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩NB ．M ∪NC ．∁R (M ∩N )D ．∁R (M ∪N )解析：选D.x ＋3x －1＜0⇔(x ＋3)(x －1)＜0，故集合M 可化为{x |－3＜x ＜1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的集合是( )A ．{a |0＜a ＜4}B ．{a |0≤a ＜4}C ．{a |0＜a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析：选D.若a ＝0时符合题意，若a ＞0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0＜a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D.4．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选B.A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43. 5．在R 上定义运算×：A ×B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )×(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：选C.(x －a )×(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，所以－x 2＋x ＋a 2－a <1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0，所以(2a－3)(2a ＋1)<0，即－12<a <32. 6．若a ＜0，则不等式x －4a x ＋5a＞0的解集是________．解析：原不等式可化为(x －4a )(x ＋5a )＞0，由于a ＜0，所以4a ＜－5a ，因此原不等式解集为{x |x ＜4a 或x ＞－5a }．答案：{x |x ＜4a 或x ＞－5a }7．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．解析：由题意得七月份的销售额500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x min ＝20. 答案：208．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0，1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，所以f (x )在x ∈[0，1]上是递减的，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝－3.所以要使x 2－4x ≥m 对于任意x ∈[0，1]恒成立，则需m ≤－3.答案：(－∞，－3]9．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，若二次方程ax 2－(a ＋2)x ＋1＝0在(－2，－1)上只有一个实数根，解不等式f (x )>1.解：因为函数f (x )是二次函数，所以a ≠0，因为Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，又二次方程ax 2－(a ＋2)x ＋1＝0在(－2，－1)上只有一个实数根，所以f (－2)f (－1)<0，而f (－2)＝6a ＋5，f (－1)＝2a ＋3，所以(6a ＋5)(2a ＋3)<0，所以－32<a <－56. 又a ∈Z ，所以a ＝－1，所以不等式f (x )>1可化为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0，所以原不等式的解集为{x |－1<x <0}．10．一辆汽车总重量为ω，时速为v (km/h)，设它从刹车到停车行走的距离L 与ω，v 之间的关系式L ＝k v 2ω(k 是常数)．这辆汽车空车以每小时50 km 行驶时，从刹车到停车行进了10 m ，求该车载有等于自身重量的货物行驶时，若要求司机在15 m 距离内停车(包含15 m)，并且司机从得到刹车指令到实施刹车时间为1 s ，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到1 km/h)解：根据已知当L ＝10，v ＝50时，10＝k ·502·ω⇒k ω＝1250. 又司机反应时间1 s 内汽车所走路程与汽车从刹车到停止所走路程之和为k v 2·2ω＋v ×1 00060×60×1.依题意，得k v 2·2ω＋v ×1 00060×60×1≤15⇔v 2125＋5v 18≤15⇔18v 2＋625v －33 750≤0⇒0<v ≤29(近似值)．故汽车允许最大时速为29 km/h.[B 能力提升]11．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价(单位：元)的取值范围是( )A ．[10，16)B ．[12，18)C ．[15，20)D ．[10，20)解析：选C.设这批台灯的销售单价为x 元，则[30－(x －15)×2]x >400，即x 2－30x ＋200<0，因为方程x 2－30x ＋200＝0的两根为x 1＝10，x 2＝20，所以x 2－30x ＋200<0的解为10<x <20，又因为x ≥15，所以15≤x ＜20，因此，应将这批台灯的销售单价制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．故选C.12．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x＋c >bx 的解集为________．解析：依题意，－1和2都是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，且a <0.因此，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a .于是，不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x－2a >－ax . 因为a <0，所以1x －2<－x ，即（x －1）2x <0，当x ＝1时，不等式不成立；当x ≠1时，得x <0.所以，所求不等式的解集为{x |x <0}．答案：{x |x <0}13．解下列不等式：(1)(x －1)(x －2)(3－x )>0；(2)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0；(3)1＋x －x 3－x 4>0.解：(1)因为(x －1)(x －2)(3－x )>0.所以(x －1)(x －2)(x －3)<0，又因为方程(x －1)(x －2)(x －3)＝0的根是x 1＝1， x 2＝2，x 3＝3.画出数轴、标出根、再穿线如图(1)所示．所以原不等式的解集为{x |x <1或2<x <3}．(2)方程x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)＝0的根是x 1＝0， x 2＝x 3＝1，x 4＝x 5＝x 6＝－1，x 7＝－2，其中－1为三重根，1为二重根，如图(2)所示．故不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或x ≥0}．(3)原不等式可化为(x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)<0. 而对于x ∈R ，恒有x 2＋x ＋1>0，所以原不等式等价于(x ＋1)(x －1)<0，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．14．(选做题)已知不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围；(2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解：(1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1＞0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图像是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）·（－2）＋x 2－2x ＋1＞0，（x －1）·2＋x 2－2x ＋1＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0.所以x ＞3或x ＜－1. 故x 的取值范围是x ＞3或x ＜－1.(2)不等式可化为(x －1)p ＞－x 2＋2x －1，因为2≤x ≤4，所以x －1＞0. 所以p ＞－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p ＞(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1，故p 的取值范围是p ＞－1.。

2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §1-1.1 数列的概念 Word版含解析 (16)

[A 基础达标]1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A.63B ．223C ．－63 D ．－223 解析：选A.因为a ＝15，b ＝10，A ＝60°，所以在△ABC 中，由正弦定理可得sin B ＝b sin A a＝10×3215＝33，又由a >b 可得A >B ，即得B 为锐角，则cos B ＝1－sin 2B ＝63. 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.因为cos 2A 2＝b ＋c 2c 及2cos 2A 2－1＝cos A ，所以cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，所以a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 是直角三角形．故选A.3．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4解析：选A.因为|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12·|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝ 3.所以sin A ＝32，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±12. 所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A＝4×1×⎝⎛⎭⎫±12＝±2，故选A.4．在△ABC 中，A ＝π3，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.已知A ＝π3，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边为a ，b ＋c ＝7，bc ＝11，所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos π3 ＝（b ＋c ）2－3bc ＝72－3×11＝4.5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B ．π6 C.π4 D ．π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6.故选B. 6．△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝__________．解析：由题知，设△ABC 外接圆半径R ，则2R ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝23，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R （sin A ＋sin B ＋sin C ）sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝2 3. 答案：2 37．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．解析：由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又c 2＝b 2＋2bc ，所以cos A ＝22，得A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，所以C ＝105°.答案：45°，30°，105°8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为__________．解析：由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120°，所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角．由于0°<C <120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.答案：279．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＝(2a －c )cos B ．(1)求角B 的大小；(2)若b 2＝ac ，试确定△ABC 的形状．解：(1)由已知及正弦定理，有sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ．所以sin(B ＋C )＝2sin A cos B ．因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以2cos B ＝1，即cos B ＝12，所以B ＝60°. (2)由题设及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，ac ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即a 2＋c 2－2ac ＝0.所以(a －c )2＝0.从而a ＝c .由第一问知B ＝60°，所以A ＝B ＝C ＝60°.所以△ABC 为正三角形．10．在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解：(1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又因为0<∠B <π，所以∠B ＝π4. (2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则 2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4. 因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. [B 能力提升]11．在△ABC 中，sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则C 等于( )A.π6B ．π3 C.5π6 D ．2π3解析：选B.由sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )·sin B ，结合正弦定理可得a 2－c 2＝(a －b )b ＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可得2ab cos C ＝ab ，解得 cos C ＝12，所以C ＝π3. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π3，b ＝1，三角形ABC 的外接圆半径为1，则△ABC 的面积S ＝________．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝2R ，所以a ＝3，sin B ＝12，所以a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6，C ＝π2.所以S △ABC ＝32.答案：3213．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．解：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，得sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由第一问，知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4. 14．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 3cos A ＝c sin C. (1)求A 的大小；(2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理，得a 3cos A ＝a sin A ，整理得sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为b sin B ＝c sin C ＝6sin π3＝43，所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C ，则b ＋c ＝43sin B ＋43sin C ＝43[sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ]＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为0<B <2π3，则π6<B ＋π6<5π6，所以12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1(当且仅当B ＝π3时，等号成立)，得6<b ＋c ≤12，于是b ＋c 的取值范围是(6，12]．。

2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §1-1.1 数列的概念 Word版含解析 (31)

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1解析：选C.取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a ＞1b B ．b a ＞1C ．a 2＜b 2D ．ab ＜a ＋b解析：选D.利用特值法，令a ＝－2，b ＝2，则1a ＜1b ，A 错；ba ＜0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <3解析：选A.因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值，所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )A ．－9B ．－15C ．15D ．±15解析：选D.因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3，所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝±15.5．若log a 5<log a 2，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <a C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1a 或x <a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >a 解析：选A.由log a 5<log a 2知0<a <1，所以a <1a；不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0⇔(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，解得a <x <1a.6．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理b sin B ＝asin A ，得b＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2. 7．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2 B ．32C.322D ．2解析：选B.由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B 、C 两点横坐标分别为－1、12，A 、D两点纵坐标分别为1，－1.所以S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪12－（－1）＝32.8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ．小于10 g B ．大于10 g C ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：选B.设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝ 5⎝⎛⎭⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10，即大于10 g.9．已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1解析：选B.因为S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，所以sin B ＝22，所以B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( ) A.a （1＋γ）（1＋γ）5－1万元 B ．aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1万元C.aγ（1＋γ）5（1＋γ）4－1万元 D ．aγ（1＋γ）5万元解析：选B.设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，所以x ＝aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1.11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－23，35 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－35，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 解析：选C.直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1)．若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：选C.因为a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5，所以a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根．又因为等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)，所以a 3＝4，a 5＝1. 所以q 2＝a 5a 3＝14，所以q ＝12.所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12n －3，所以b n ＝log 2a n ＝5－n .所以S n ＝（9－n ）·n 2，所以S n n ＝9－n2.T n ＝S 11＋S 22＋…＋S n n ＝14(－n 2＋17n )＝14⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫n －1722＋2894. 所以当n ＝8或9时，T n 取得最大值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．解析：因为{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2，所以S n ＝2n . 答案：2n14.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为________海里．解析：如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13. 答案：1315．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确不等式的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤（a ＋b ）24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥（a ＋b ）24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b a ＋b2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．答案：①③④16．在△ABC 中，AC →·AB →＝|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值为________．解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，由题意得bc cos A ＝a ＝2，即cos A ＝2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －42bc ，即cos A ≥1－2bc ＝1－cos A ，所以cos A ≥12，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π3.S ＝12bc sin A ＝1cos A sin A ＝tan A ≤ 3. 答案： 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－12＋2＝－ba ，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B＝3sin C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ，即3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？解：设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24. 所以点A 的坐标为(20，24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800.即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图像过点(0，1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1，所以m ＝3. (2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)．由x 2－4x ＋3＞0，得x ＜1或x ＞3，所以函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．因为log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数，所以0＜x 2－4x ＋3≤3，所以0≤x ＜1或3＜x ≤4，所以不等式的解集为{x |0≤x ＜1或3＜x ≤4}．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N ＋)． (1)求a n 与b n 的表达式；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N ＋)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N ＋)．22．(本小题满分12分)为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解：(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋（2n ＋4）]2－36＝－n 2＋20n －36＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n＋20＝－⎝⎛⎭⎫n ＋36n ＋20≤－2× n ×36n＋20＝8(当且仅当n ＝36n ，即n ＝6时取“＝”号)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．。

2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §1-1.1 数列的概念 Word版含解析 (6)

[A 基础达标]1．在数列{a n }中，a 1＝15，3a n ＋1＝3a n －2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是( )A ．a 21和a 22B ．a 22和a 23C ．a 23和a 24D ．a 24和a 25解析：选C.因为a n ＋1＝a n －23，所以数列{a n }是等差数列，且公差为－23，所以a n ＝15＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－23.因为a 23＝13，a 24＝－13，所以a 23a 24<0. 2．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使S n 取得最小值的正整数n 的值是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或8解析：选C.依题意得a 5<0，a 9>0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 最大的n 的值为( )A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13解析：选D.因为a n ＝26－2n ，所以a n －a n －1＝－2，所以数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，所以S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254.又n ∈N ＋，所以当n ＝12或13时，S n 最大．4．数列{a n }满足：a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 018＝( ) A ．0B ．－ 3 C. 3D ．32 解析：选B.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1，令n ＝1，得a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3；令n ＝2，得a 3＝a 2－33a 2＋1＝3；令n ＝3，得a 4＝a 3－33a 3＋1＝0＝a 1，所以数列{a n }是周期为3的数列，所以a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝－3，故选B.5．已知数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，则b 2 018＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.将数列1，1，2，3，5，8，13，…的每一项除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{b n }是周期为6的周期数列，所以b 2 018＝b 336×6＋2＝b 2＝1.故选B.6．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为________．解析：由题意可知数列{a n }的首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取最大值时，n ＝7或8.答案：7或87．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________．解析：法一：S 9＝S 4，即9（a 1＋a 9）2＝4（a 1＋a 4）2，所以9a 5＝2(a 1＋a 4)，即9(1＋4d )＝2(2＋3d )，所以d ＝－16，由1－16(k －1)＋1＋3·⎝⎛⎭⎫－16＝0，得k ＝10. 法二：S 9＝S 4，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以a 7＝0，从而a 4＋a 10＝2a 7＝0，所以k ＝10. 答案：108．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n ＝________．解析：由a 1＋a 3＋a 5＝105，得3a 3＝105，即a 3＝35.由a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99，即a 4＝33.所以d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，则a 1＝39.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （39＋41－2n ）2＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.所以当n ＝20时，S n 取最大值．答案：209．在等差数列{a n }中，a 3＝2，3a 2＋2a 7＝0，其前n 项和为S n .求：(1)等差数列{a n }的通项公式；(2)S n ，n 为何值时，S n 最大．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，根据题意，得a 1＋2d ＝2，5a 1＋15d ＝0，解得a 1＝6，d ＝－2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋8.(2)由第一问可知S n ＝6n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋7n ＝－⎝⎛⎭⎫n －722＋494. 因为S 3＝－9＋21＝12，S 4＝－16＋28＝12，所以当n ＝3或n ＝4时，S n 最大．10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝31－3n ，求数列{|a n |}的前n 项和H n .解：设{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝31－3n 可得S n ＝－32n 2＋592n . 由a n ≥0，解出n ≤313≈10.3. 当n ≤10时，H n ＝S n ＝－32n 2＋592n ；当n ≥11时，H n ＝2S 10－S n ＝32n 2－592n ＋290. 所以H n＝⎩⎨⎧－32n 2＋592n ，n ≤10，32n 2－592n ＋290，n ≥11. [B 能力提升]11．设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，则前n 项和S n 中最大的是( )A ．S 10B ．S 11C ．S 20D ．S 21解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，由3a 8＝5a 13，即3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，得a 1＝－392d >0，所以d <0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－392d ＋(n －1)d .由a n <0，得n >412＝20.5，即从第21项开始为负数，故S 20最大．12．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________．解析：由题意可得a n ＋a n ＋1＝5，所以a n ＋1＋a n ＋2＝5.所以a n ＋2－a n ＝0.因为a 1＝2，所以a 2＝5－a 1＝3.所以当n 为偶数时，a n ＝3；当n 为奇数时，a n ＝2.所以a 18＝3.答案：313．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12>0，S 13<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，所以－247<d <－3. (2)因为S 12>0，S 13<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，所以⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，所以a 6>0，又由第一问知d <0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．14．(选做题)在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－18，其前n 项和为S n ，(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值；(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.解：(1)因为a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－18，所以a 17＝－6.又a 9＝－18，所以d ＝a 17－a 917－9＝32. 首项a 1＝a 9－8d ＝－30.所以a n ＝32n －632.若前n 项和S n 最小，则⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎨⎧3n 2－632≤0，32（n ＋1）－632≥0，所以n ＝20或21. 这表明：当n ＝20或21时，S n 取最小值．最小值为S 20＝S 21＝－315.(2)由a n ＝32n －632≤0⇒n ≤21. 所以当n ≤21时，T n ＝－S n ＝34(41n －n 2)，当n >21时，T n ＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋…＋a n＝S n －2S 21＝34(n 2－41n )＋630. 故T n＝⎩⎨⎧34（41n －n 2），n ≤21，34（n 2－41n ）＋630，n >21.。

2018年高中数学北师大版必修五达标练习第1章 §2-2.2 第2课时等差数列习题课 Word版含解析

[基础达标]．在数列{}中，＝，＋＝－，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是( )．和．和．和．和解析：选.因为＋＝－，所以数列{}是等差数列，且公差为－，所以＝＋(－)·.因为＝，＝－，所以<.．已知等差数列{}中，＝，公差>，则使取得最小值的正整数的值是( )．或．或．或．或解析：选.依题意得<，>，且＋＝⇒＋＝⇒＋＝，即＝，故前项与前项的和相等，且最小．．已知数列{}的通项公式＝－，则使其前项和最大的的值为( )．或．．．或解析：选.因为＝－，所以－－＝－，所以数列{}为等差数列．又＝，＝－，所以＝＋×(－)＝－＋＝－＋.又∈＋，所以当＝或时，最大．．数列{}满足：＝，＋＝(∈＋)，则＝( )．．－．解析：选.由＝，＋＝，令＝，得＝＝－；令＝，得＝＝；令＝，得＝＝＝，所以数列{}是周期为的数列，所以＝×＋＝＝－，故选.．已知数列{}：，，，，，，，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，若把该数列的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成新数列{}，则＝( )．．．．解析：选.将数列，，，，，，，…的每一项除以所得的余数分别为，，，，，，，，，，，，…，即新数列{}是周期为的周期数列，所以＝×＋＝＝.故选.．已知数列{}满足＋＝－，且＝，设{}的前项和为，则使得取得最大值的序号的值为．解析：由题意可知数列{}的首项为，公差为－的等差数列，所以＝－(－)＝，该数列前项是正数项，第项是，从第项开始是负数项，所以取最大值时，＝或.答案：或．等差数列{}前项的和等于前项的和．若＝，＋＝，则＝．解析：法一：＝，即＝，所以＝(＋)，即(＋)＝(＋)，所以＝－，由－(－)＋＋·＝，得＝.法二：＝，所以＋＋＋＋＝，所以＝，从而＋＝＝，所以＝.答案：．已知{}为等差数列，＋＋＝，＋＋＝.以表示{}的前项和，则使得达到最大值的＝．解析：由＋＋＝，得＝，即＝.由＋＋＝，得＝，即＝.所以＝－，＝＋(－)×(－)＝－，则＝.所以＝＝＝－＋＝－(－)＋.所以当＝时，取最大值．答案：．在等差数列{}中，＝，＋＝，其前项和为.求：()等差数列{}的通项公式；()，为何值时，最大．解：()设等差数列{}的公差为，根据题意，得＋＝，＋＝，解得＝，＝－.所以数列{}的通项公式为＝－＋.()由第一问可知＝＋·(－)＝－＋＝－＋.因为＝－＋＝，＝－＋＝，所以当＝或＝时，最大．．已知数列{}的通项公式＝－，求数列{}的前项和.解：设{}的前项和为.由＝－可得＝－＋.由≥，解出≤≈.当≤时，＝＝－＋；当≥时，＝－＝－＋.所以＝[能力提升]．设等差数列{}满足＝，且>，则前项和中最大的是( )．．．．解析：选.设等差数列{}的公差为，由＝，即(＋)＝(＋)，得＝－>，所以<，则＝＋(－)＝－＋(－).由<，得>＝，即从第项开始为负数，故最大．。

(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．在等比数列{}n a 中，有31598a a a =，数列{}n b 是等差数列，且99b a =，则711b b +等于（） A ．4B ．8C ．16D ．243．数列{}n a 中，11a =，113,3,3n n n n a N a n a N *+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为（） A ．1008B ．2016C ．2018D ．20204．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（）A ．3B ．4C ．5D ．65．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（）（取111275=．．，121.29=）A ．25000元B ．26000元C ．32000元D ．36000元6．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列7．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cos B 的最小值为（）A ．12B．2C ．34D．28．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－29．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（） A ．18B ．19C ．20D ．2111．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（） A ．2B ．3C ．4D ．512．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：①223a =；②313a =；③416527i i a ==∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.14．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，则n a =______. 15．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则10S =______. 16．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，37S =，数列(){}2log 1+n S 的前n 项和为n T ，则122020111T T T +++=________.17．已知等差数列{}n a 中，268,0a a ==，等比数列{}n b 中， 122123,b a b a a a ==++，那么数列{}n b 的前4项和4S =________18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a 为整数，213a =-，8n S S ≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =________.19．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且133,12n n a S a λ++==，则实数λ的值为_____20．数列{}n a 满足11a =，()*132n n a a n n N ++=+∈，则{}n a 的通项公式为n a =________．三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .22．在如图三角形数阵中第n 行有n 个数，ij a 表示第i 行第j 个数，例如，43a 表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知221141322112,2,2aa a a m a ==+=. 313233414241344515253545121322512 n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nna ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）求m 及53a ；（2）记112233n nn T a a a a =++++，求n T .23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 24．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为653,2,40n S a S S ==+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log 4n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最大值. 25．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b满足2n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .26．在①420S =,②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，______，2138,34b b b =-=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34k T >？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．C解析：C 【分析】根据等比数列性质求得9a ，再由等差数列性质求解．【详解】∵{}n a 是等比数列，∴2931598a a a a ==，90a ≠，所以98a =，即998b a ==，∵{}n b 是等差数列，所以7119216b b b +==．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设,,,m n p l 是正整数，m n p l +=+，若{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =．p l =时，上述结论也成立．3．C解析：C 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答【详解】由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈；7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===. 而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===，所以满足2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C. 【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项.4．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解．【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =，故选：B ．【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．5．C解析：C 【分析】设1月月底小王手中有现款为1(120%)10000120010800a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，由题意可知16000 1.2(6000)n n a a +-=-，所以数列{6000}n a -是首项为4800，公比为1.2的等比数列，求出12a 即得解. 【详解】设1月月底小王手中有现款为1(120%)1000080040010800a =+⨯--=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21200n n a a +=-，即16000 1.2(6000)n n a a +-=-，所以数列{6000}n a -是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴11126000480012a -=⨯，即1112480012600042000a =⨯+=，年利润为420001000032000-=元，故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据递推关系1 1.21200n n a a +=-构造数列{6000}n a -，求出新数列的通项关系.6．C解析：C 【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】解：13n n a S +=，13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，若10S =，则数列{}n a 为等差数列；若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，114n n S S -∴=⋅，此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.7．A解析：A 【解析】分析：用余弦定理推论得222cos 2a c b B ac+-=．由222,,a b c 成等差数列，可得2222a c b += ，所以22222cos 24a c b a c B ac ac+-+==，利用重要不等式可得2221cos 442a c ac B ac ac +=≥=．详解：因为222,,a b c 成等差数列，所以2222a cb += ．由余弦定理推论得2222221cos 2442a cb ac ac B ac ac ac +-+==≥=当且仅当a c =时，上式取等号．故选A ．点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，考查学生的运算能力及转化能力．利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等时，应转化为函数求最值．8．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.9．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-，可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=，又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.11．A解析：A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34，则a 1=2. 本题选择A 选项.12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．①③④【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】∵∴曲线在点处的切线方程为则∵∴则是首项为1公比为的等比数列从而解析：①③④ 【分析】先利用导数求得曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程，由此求得1n a +与n a 的递推关系式，进而证得数列{}n a 是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号. 【详解】∵2'3y x =，∴曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-，则()3213n n n n a a a a +-=-.∵0n a ≠，∴123n n a a +=，则{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，从而223a =，349a =，4412165322713i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前n 项和公式，属于基础题.14．【分析】构造求出由题意可得利用等差数列的通项公式可得利用累加法即可求得【详解】构造则由题意可得故数列是以4为首项2为公差的等差数列故所以以上n-1个式子相加可得解得故答案为：【点睛】本题考查等差数列解析：()()*1n n n N+∈【分析】构造1n n n b a a +=-，求出1b ，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=，利用等差数列的通项公式可得n b ，利用累加法即可求得n a . 【详解】构造1n n n b a a +=-，则1214b a a =-=，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=，故数列{}n b 是以4为首项2为公差的等差数列，故()*142(1)22n n n b a a n n n N +=-=+-=+∈，所以21324314,6,8,2n n a a a a a a a a n --=-=-=-=，以上n -1个式子相加可得1(1)(42)2n n n a a -+-=，解得()*(1)n a n n n N =+∈，故答案为：()()*1n n n N +∈【点睛】本题考查等差数列，累加法求数列通项公式，属于基础题.15．【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为：【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题【分析】先利用11a S =求出1S ，再利用2n ≥时1n n n a S S -=-可知{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出10S . 【详解】当1n =时，1111112S a a a ，解得11a =，11S = 当2n ≥时，11112nn n n nS S S S S ，整理可得2211n n S S --=，2n S 是首项为1，公差为1的等差数列， 2111n S n n ，{}n a 是正项数列，n S ∴=1010S .【点睛】本题考查等差数列的判断，考查n a 和n S 的关系，属于中档题.16．【分析】首先根据等比数列的性质得到从而得到利用等差数列的求和公式得到再利用裂项法求的值即可【详解】因为所以即解得或又因为数列为递增数列所以所以因为所以故故答案为：【点睛】本题主要考查等差等比数列的求解析：40402021【分析】首先根据等比数列的性质得到21nn S =-，从而得到()2log 1+=n S n ，利用等差数列的求和公式得到()12n n n T +=，再利用裂项法求122020111+++T T T 的值即可.【详解】因为22a =，37S =，所以31232227S a a a q q=++=++=，即22520q q -+=，解得12q =-或2q .又因为数列{}n a 为递增数列，所以2q.所以11a =，122112nn n S -==--.因为()22log 1log 2+==nn S n ，()1122…+=+++=n n n T n ，所以()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n . 故122020111111112122320202021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦T T T 140402*********⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 故答案为：40402021【点睛】本题主要考查等差、等比数列的求和公式，同时考查裂项法求和，属于中档题.17．320【分析】先求出等差数列的通项公式即可求出即可得通项再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为则解得所以所以数列的公比为所以故答案为：320【点睛】本题主要考查了等比数列求和涉及等差数解析：320 【分析】先求出等差数列{}n a 的通项公式，即可求出1b ，2b ，即可得{}n b 通项，再利用等比数列前n 项和公式求4S【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2161850a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩ ， 1(1)10(1)(2)212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+ ，所以128b a ==，2123108624b a a a =+=++=+，所以数列{}n b 的公比q 为213b b = ，所以448(13)32013S ⨯-==-.故答案为：320 【点睛】本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通项公式，属于基础题.18．【分析】设等差数列的公差为由等差数列的性质及前n 项和公式可得再由二次函数的图象与性质可得求得后再由等差数列的通项公式即可得解【详解】设等差数列的公差为则为整数所以由结合二次函数的图象与性质可得解得所解析：217n -【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质及前n 项和公式可得231322n n d d S n ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭=，再由二次函数的图象与性质可得313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯，求得d 后再由等差数列的通项公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1213a a d d =-=--，d 为整数，所以()()()2131313112222n d S d n n n n d a n d d n n n --=+⎛⎫--++ ⎪⎝=⎭=-，由8n S S ≥，结合二次函数的图象与性质可得0d >，313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯，解得131376d ≤≤，所以2d =，所以1215a a d =-=-，所以()()111521217n a a n d n n =+-=-+-=-. 故答案为：217n -. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了利用二次函数的图象与性质解决等差数列前n 项和最值的问题，属于中档题.19．【分析】首先利用与的关系式得到求得公比首项和第二项再通过赋值求的值【详解】当时两式相减得即并且数列是等比数列所以当时解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列和的关系式求数列的通项解析：34-【分析】首先利用1n a +与n S 的关系式，得到14n n a a +=，求得公比，首项和第二项，再通过赋值2n =求λ的值. 【详解】当2n ≥时，1133n nnn a S a S λλ+-+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即14n n a a +=，并且数列{}n a 是等比数列，所以4q =，312a =，2133,4a a ∴==，当2n =时，()321233a S a a λ+==+，解得34λ=-. 故答案为：34- 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列n a 和n S 的关系式，求数列的通项.20．【分析】先根据条件得隔项成等差数列再根据等差数列通项公式得结果【详解】相减得所以当为奇数时当为偶数时因此故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式根据递推关系求通项公式考查基本分析求解能力属中档题解析：()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 【分析】先根据条件得隔项成等差数列，再根据等差数列通项公式得结果. 【详解】1+12323(1)2n n n n a a n a a n +++=+∴+=++相减得23n n a a +-=所以当n 为奇数时，111313(1)13(1)222n n n n a a ++-=+-=+-= 当n 为偶数时，2323(1)513(1)222n n nn a a +=+-=-+-=因此n a =()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 故答案为：()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 【点睛】本题考查等差数列通项公式、根据递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）113n nn S +=-. 【分析】（1）利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求通项公式；（2）由（1）知利用错位相减法求和.【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，也符合上式，所以对任意正整数n ，21n a n =-. （2）由（1）得213n nn b -=，所以1312135232133333n n n n n S ---=+++++…，① 234111352321333333…n n n n n S +--=+++++，② -①②，得32121111212333333n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…， 21113311132[1()]12122231333n n n n n -++⨯--+=+-=--，所以113n nn S +=-．【点睛】方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.22．（1）2m =，5340a =；（2）1(1)22n n +-⨯+ 【分析】（1）根据题意以m 表示出313241,,a a a ，由4132122a a =+即可求出m ，进而求出53a ；（2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出2nnn a n =⨯，再利用错位相减法即可求出n T .【详解】（1）由已知得3111(31)22a a m m =+-⨯=+，23231(22)22a a m m m m m =⨯=+⨯=+，4111(41)32a a m m =+-⨯=+，4132122a a =+， ()21322222m m m ∴+=++，即220m m -=，又0m >，2m ∴=，51114210a a ∴=+⨯=， 25351240a a ∴=⨯=；（2）由（1）得111(1)22n a a n n =+-⨯=，当3n ≥时，1122n nnn n a a n -=⨯=⨯，又211124a a =+=，2221248a ma ==⨯=，11222,8a a ∴==满足2n nn a n =⨯， 1234122232422n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得12341222222n n n T n +-=+++++-⨯()11112122222(1)2212n n n n n n n n ++++-=-⨯=--⨯=-⨯--，1(1)22n n T n +∴=-⨯+.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 23．（1）3nn a =；（2）2+1nn 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出通项公式；（2）可得n b n =，则()1+2n n n T =，1112+1nT n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由裂项相消法即可求出前n 项和. 【详解】（1）233n n S a =-，即3322n n S a =-，当1n =时，1113322S a a =-=，解得13a =，当2n ≥时，1133332222n n n n n a a a S S --⎛⎫---== ⎝-⎪⎭，整理得13n n a a -=，{}n a ∴是首项为3，公比为3的等比数列，1333n n n a -∴=⨯=；（2）33l 3log og nn n b a n ===，()1+2n n n T ∴=，则()12112+1+1n T n n n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111221+++223+1+1nn n n ⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 24．（1）1322nn a -=；（2）最大值为64.【分析】（1）已知条件用1a 和公比q 表示后解得1,a q ，得通项公式；（2）由（1）求得n b ，由0n b ≥求得n T 最大时的n 值，再计算出最大的n T ．【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，由62a =，有512a q =①，又由5340S S =+，有4540a a +=，得341140a q a q +=②，①÷②有21120q q =+，解得14q =或15q =-(舍去)，由14q =，可求得1112a =，有111113211224n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故数列{}n a 的通项公式为1322nn a -=；（2）1322log 24172nn b n -=+=-，若0n b ，可得172n ，可得当18n 且*n ∈N 时0n b >；当9n 且*n ∈N 时0n b <，故8T 最大，又由115b =，可得887158(2)642T ⨯=⨯+⨯-=，故n T 的最大值为64. 【点睛】思路点睛：本题考查求等比数列通项公式，求等差数列前n 项和最大值，求等差数列前n 项和的最大值方法：数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n T ，（1）求出前n 项和n T 的表达式，利用二次函数的性质求得最大值；（2）解不等式0n b ≥，不等式的解集中最大的整数n 就是使得n T 最大的n 值，由此可计算出最大的n T （注意n b =0时，1n n T T -=）．25．（1）21n a n =-，2n s n =；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和；（2）可得112+1n b n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则3171+25767+492a a d S a d ==⎧⎪⎨⨯==⎪⎩，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-⨯=-，()21+212n n n S n -==；（2）()2112+1+1n b n n n n ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，1111122122311n n T n n n ⎛⎫∴=-+-++-=⎪++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 26．选①k 的最小值为4；选②k 的最小值为4；选③k 的最小值为3；【分析】先由条件求出11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，得出142a b ==，若选①可得2d =，则2n a n =，从而1111n S n n =-+，由裂项相消法求出k T ，可得答案；若选②可得12a d ==，所以2n a n =，一下同选①；若选③可得43d =，从而131142nS n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，由裂项相消法求出k T ，可得答案. 【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由2138,34b b b =-= 所以18b q =，则8384q q -⨯=，解得12q =或23q =-（舍）则1816b q ==，所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭则142a b == 若选① 由4143486202S a d d ⨯=+=+=，则2d = 所以2n a n =，则212nn a a S n n n +=⨯=+ 所以()111111n S n n n n ==-++ 则1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭由314k k T k =>+，则3k >，由k 为正整数，则k 的最小值为4. 若选② 由332S a =，即()11323222a d a d ⨯+=+ ，可得12a d == 所以2n a n =，一下同选①.若选③ 由3423a a b -=，可得()()113238a d a d +-+=，即43d = 所以()()14222233n n n S n n n -=+⨯=+ ()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭ 12111311111311111432424212n n T S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以93118412n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭所以9311124438k k k T ⎛⎫-+ ⎪++⎭>⎝=，即111122k k +<++，也即240k k --> 解得k >23<<，又k 为正整数，则k 的最小值为3. 【点睛】关键点睛：本题考查等差、等比数列求通项公式和等差数列的前n 项和以及用裂项相消法求和，解答本题的关键是将所要求和的数列的通项公式裂成两项的差，即1111n S n n =-+，131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，注意裂项和的系数和求和时相抵消的项以及最后余下的项，属于中档题.。

2018年高中数学模块综合检测北师大版必修5

模块综合检测（时间：120分钟，满分:150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1,3，7,15，…的通项公式a n可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1解析：选C.取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时,a2＝3，排除D.2．若a＜1，b＞1,那么下列不等式中正确的是（）A。

错误!＞错误!B．错误!＞1C．a2＜b2D．ab＜a＋b解析：选D。

利用特值法，令a＝－2，b＝2，则错误!＜错误!，A错；错误!＜0，B错;a2＝b2，C错．3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )A．m〈－2或m〉2 B．－2〈m<2C．m≠±2 D．1<m〈3解析：选A。

因为f（x）＝－x2＋mx－1有正值,所以Δ＝m2－4〉0，所以m〉2或m〈－2。

4．等差数列｛a n}满足a错误!＋a错误!＋2a4a7＝9，则其前10项之和为( )A．－9 B．－15C．15 D．±15解析：选D。

因为a错误!＋a错误!＋2a4a7＝（a4＋a7）2＝9，所以a4＋a7＝±3，所以a1＋a10＝±3，所以S10＝错误!＝±15。

5．若log a5〈log a2，则不等式(a－x)错误!〉0的解集为（)A.错误!B．错误!C。

错误!D．错误!解析：选A.由log a5〈log a2知0〈a〈1，所以a<错误!；不等式（a－x）错误!>0⇔（x－a）错误!〈0，解得a〈x〈错误!.6．在△ABC中,B＝135°，C＝15°,a＝5，则此三角形的最大边长为（)A．5错误!B．5错误!C．2错误!D．3错误!解析：选A.依题意,知三角形的最大边为b。

由于A＝30°，根据正弦定理错误!＝错误!,得b＝错误!＝错误!＝5错误!.7．在坐标平面上，不等式组错误!所表示的平面区域的面积为（) A.错误!B．错误!C.错误!D．2解析：选B。

2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 章末综合检测(一) Word版含解析