直线与圆锥曲线.板块三.直线与抛物线

直线与圆锥曲线.板块三.直线与抛物线1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)x y a b a b+=>>研究）：⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ．⑸椭圆的离心率：c e a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0A x B y C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切． 若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为112()()x y x y ，，，，则弦长公式为1212||AB x y =--．两根差公式： 如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则12x x -==0∆>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】 已知抛物线C 的方程为212x y =，过点(0,1)A -和点(,3)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B．2,,⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(,(22,)-∞-+∞ D ．(,(2,)-∞+∞【例2】 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ） A ．直线l 上的所有点都是“A 点” B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”典例分析C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“A 点”A B C D ⋅的值 （ ）D ．【例4】 斜率为2的直线与圆锥曲线交于1122()()A x yB x y ，，，两点，若弦长AB =12y y -= _【例5】 抛物线21y x mx =++与直线0x y +=有两个不同的交点，则实数m 的范围是_____________．【例6】 若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则AB =______．【例7】 已知抛物线24y x =的一条弦AB ，()11A x y ，，()22B x y ，，AB 所在的直线与y 轴交于点()02，，则1211y y += ．【例8】 过点(24)，作直线与抛物线28y x =只有一个公共点，这样的直线有【例9】 对于抛物线C ：24y x =，我们称满足2004y x <的点00()M x y ，在抛物线的内部，若点00()M x y ，在抛物线的内部，则直线l ：002()y y x x =+与抛物线C 的位置关系是_______【例10】 设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是_______．【例11】 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．【例12】 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 的长为8，则p =_______．【例13】 已知抛物线22x py =（p 为常数，0p ≠）上不同两点A 、B 的横坐标恰好是关于x 的方程2640x x q ++=（q 为常数）的两个根，则直线AB 的方程为_________________．【例14】 抛物线212y x =截直线21y x =+所得弦长12A A 的中点坐标为_______，弦长12A A 为______．【例15】 已知抛物线22(0)y p xp =>，过定点(0)M p ，作一弦PQ ，则2211MPMQ+=_______．【例16】 已知抛物线22(0)y px p =>过点A (14)-，， ⑴求抛物线的焦点坐标与准线方程；⑵直线m ：2y x =+与抛物线交于两点M N ，，求线段MN 的中点坐标及【例17】 ⑴设抛物线24y x =被直线2y x k =+截得的弦长为，求k 值．⑵以⑴中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．【例18】 已知点Q 到定点(,0)p （0p >）与它到定直线x p =-的距离相等，⑴求动点Q 的轨迹方程；⑵设过点(30)A p -，的直线与Q 的轨迹交于E 、F 两点，设(30)A p '，，当直线AE'与AF '的斜率都存在时，求证直线AE '、AF '的斜率之和为0．【例19】 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作直线与抛物线相交于A B ，两点．若点N 是点F 关于坐标原点O 的对称点，求ANB∆面积的最小值．【例20】 过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上的定点(0)(0)M m m >，作直线AB 与抛物线相交于A 、B 两点，若点N 为定直线l ：x m =-上的任意一点，试证明：三条直线AN 、MN 、BN 的斜率成等差数列．【例21】 已知抛物线22(0)y px p =>．过动点(0)M a ，且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．若2AB p ≤，求a 的取值范围．【例22】 已知曲线C 为顶点在原点，以x 轴为对称轴，开口向右的抛物线，又点(21)M ，到抛物线C 的准线的距离为94， ⑴求抛物线C 的方程；⑵证明：过点M 的任意一条直线i l 与抛物线恒有公共点；⑶若⑵中的直线(i 1234)i l =，，，分别与抛物线C 交于上下两点1B ，1A ，2B ，2A ，3B ，3A ，4B ，4A ，又点1A ，2A ，3A ，4A 的纵坐标依次成公差不为0的等差数列，试分析1414A M A M MB MB +与3223A M A M MB MB +的大小关系．【例23】 已知抛物线2y x =和圆22(7)5x y -+=，过点(0)P a ，作直线l 交抛物线于A 、B ，交圆于C D ，（自下而上依次为B D C A ，，，），且AC BD =，求实数a 的取值范围．【例24】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y轴距离的差是1． ⑴求曲线C 的方程；⑵是否存在正数m ，对于过点(0)M m ，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【例25】 已知(30)H -，，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足302HP PM PM MQ ⋅==-，，⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；⑵过点(10)T -，作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0(0)E x ，，使得ABE ∆是等边三角形，求0x 的值．【例26】 已知12,F F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，曲线C 是以坐标原点为顶点，以2F 为焦点的抛物线，自点1F 引直线交曲线C 于P 、Q 两个不同的交点，点P 关于x 轴的对称点记为M ．设11F P FQ λ=． ⑴求曲线C 的方程； ⑵证明：22F M F Q λ=-；⑶若[23]λ∈，，求||PQ 的取值范围．【例27】 已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点．⑴证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； ⑵求ANB ∆面积的最小值；⑶当点M 的坐标为(,0)(0m m >，且1)m ≠．根据⑴⑵推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ②ANB △面积的最小值是多少？【例28】 过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点()()00A a a >，的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N ． ⑴当2pa =时，求证：1AM ⊥1AN ； ⑵记1AMM ∆、11AM N ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【例29】 已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和到直线58y =-距离相等的点的轨迹．l 是过点()10Q -，的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，MA l ⊥，MB x ⊥轴（如图）．⑴求曲线C 的方程； ⑵求出直线l 的方程，使得2QBQA为常数．【例30】 已知抛物线C ：24y x =，点(0)M m ，在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交A 、B 两点，O 为坐标原点．⑴若1m =，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；⑵若存在直线l 使得||AM ，||OM ，||MB 成等比数列，求实数m 的取值范围．【例31】 已知抛物线24C y x =∶的焦点为F ，过点(10)K -，的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．⑴证明：点F 在直线BD 上；⑵设8FA FB ⋅=，求【例32】 已知抛物线22y x =及定点(11)(10)A B -，，，，M 是抛物线上的点，设直线AM BM ，与抛物线的另一交点分别为12M M ，．求证：当点M 在抛物线上变动时（只要12M M ，存在且1M 与2M 是不同两点），直线12M M 恒过一定点，并求出定点的坐标【例33】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的，A B 两点．⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；⑵如果4OA OB ⋅=-证明直线l 必过一定点，并求出该定点．【例34】 在平面直角坐标系xoy 中，设点(10)，F ，直线:1l x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点， RQ FP ⊥，PQ l ⊥． ⑴求动点Q 的轨迹的方程；⑵记Q 的轨迹的方程为E ，过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M ，N．求证：直线MN 必过定点(30)，R ．【例35】 已知：O 为坐标原点，点F 、T 、M 、1P 满足(10)OF =，，(1)OT t =-，，FM MT =，1PM FT ⊥，1PT OF ∥．⑴当t 变化时，求点1P 的轨迹方程；⑵若2P 是轨迹上不同与1P 的另一点，且存在非零实数λ，使得12FP FP λ=，求证：12111FP FP +=．。