线线角-线面角-二面角的一些题目.

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专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题

【知识梳理】

（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==

a b a b a b

θ．

（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为

l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==

a n a n a n

θ．

（3）二面角公式：

设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12

,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212

cos ⋅=

n n n n θ．

（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．

如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||

⋅=⋅

=n AB n d AB n n 即两

异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．

（5）点到平面的距离

A 为平面α外一点

（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．

|n ||n |||||sin |||cos ,|=||

⋅⋅=⋅=⋅<>=

⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||

⋅=

AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．

立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）

空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。下面举例说明。

一、异面直线所成的角：

例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。E 、F 分别是

线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，

把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1）

解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的

正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是

11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：

11222222

21cos 14

132(4)22EC FD EC FD β⋅=

⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为

线线角、线面角,二面角[高考立体几何法宝]

A 1

B 1

C 1

D B

D E F

线线角、线面角、二面角的求法

1.空间向量的直角坐标运算律：

⑴两个非零向量与垂直的充要条件是

1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=

⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是

·=±||||

2.向量的数量积公式

若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则（1）点乘公式： a ·b =|a ||b | cos θ

（2）模长公式：则2

12||a a a a a =⋅=++2

||b b b b =⋅=+ （3）夹角公式：2

cos ||||a b

a b a b a ⋅⋅=

=⋅+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则

(AB AB ==,A B

d =

①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=

例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、

AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（）

A ．5

15arccos

B ．

C ．510

arccos

D ．2

π （向量法，传统法）

例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且

专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-

专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法

【高考地位】

立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.

类型一空间中线线角的求法

方法一平移法

例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.

6π B. 4π C. 3π D. 2

π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点

F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）

在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（）

A B C D ．

【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体

1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（）

A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．,63ππ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦

C ．,43ππ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦

D ．,

32ππ⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，

2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所

文科立体几何线面角二面角专题-带标准答案

详解：方法一：
（Ⅰ）由得，
所以 .
故 .
由，得，
由得，
由，得，所以，故 .
因此平面 .wk.baidu.com
（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结 .
由平面得平面平面，
由得平面，
所以是与平面所成的角.学科.网
由得，
所以，故 .
因此，直线与平面所成的角的正弦值是 .
4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知 ⊥平面ABC， = =3， = =2.
（I）求异面直线与AB所成角的余弦值；
（II）求证： ⊥平面；
（III）求直线与平面所成角的正弦值.
5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.
（1）求证；
（2）求二面角的余弦值.
3．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得 ,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.
方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出 ,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面的一个法向量，然后利用与平面法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.

立体几何复习-空间角的求法

2 2
, tanAOA1

AA1 AO

2
[ 典A，题1AA]⊥1(C201底的13面中年A点高B．C考，天且津各卷棱)长如均图相，等三，棱D柱，AEB，CF－分A别1B为1C棱1 中A，B，侧B棱C (1)证明：EF∥平面A1CD； (2)证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1； (3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．
③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角.
▲当二面角的平面角不易作出时，可用面积法直接求平面角的余弦值.
S 斜面面积和射影面积的关系公式： S cos
( S 为原斜面面积,Fra Baidu bibliotek 为射影面积, 为斜面与射影所
成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设，邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加万国。邮联大会
D
解由:正连方结体A的C,性交质BD可于知O,,连BD结⊥OOAA1 ,BD⊥AAA1
O
C1 B1
C B
OA和AA1是平面AOA1内两条相交直线 ∴BD⊥平面AOA1 ∴BD⊥OA1 ∴∠AOA1是二面角A-BD-A1的平面角.

立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）

空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：

0° < 90°、0°< < 90°、

0° < 180°。

一、异面直线所成的角：

例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。E 、F 分别是

线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，

uuu uuu

把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与

FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图I ）

uuu uju umr

解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的

•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4

解法二：延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。

空间角（空间线线、线面、面面成角问题）练习题（答案）

空间⾓（空间线线、线⾯、⾯⾯成⾓问题）练习题（答案）

1 空间⾓练习题

1．⼆⾯⾓是指（ D ） A 两个平⾯相交所组成的图形

B ⼀个平⾯绕这个平⾯内⼀条直线旋转所组成的图形

C 从⼀个平⾯内的⼀条直线出发的⼀个半平⾯与这个平⾯所组成的图形

D 从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形

2．平⾯α与平⾯β、γ都相交，则这三个平⾯可能有（ D ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线

C 仅2条交线

D 1条或2条或3条交线

3．在300的⼆⾯⾓的⼀个⾯内有⼀个点，若它到另⼀个⾯的距离是10，则它到棱的距离是( B )

A 5

B 20

C 210

D 2

4．在直⼆⾯⾓α-l-β中，Rt ΔABC 在平⾯α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与⾯β所

成的⾓为600

，则AC 与平⾯β所成的⾓为（ A ） A 300 B 450 C 600 D 1200

5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=26

，则弧度数为060的⼆⾯⾓是（ A ）

A D-AC-

B B A-CD-B

C A-BC-

D D A-BD-C 6．△ABC 在平⾯α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平⾯和平⾯α成θ⾓，有（B ） A S △A1B1C1=S

△ABC ·sin θ B S △A1B1C1= S △ABC ·cos θ

C S △ABC =S △A1B1C1·sin θ

D S △ABC =S △A1B1C1·cos θ

7．如图，若P 为⼆⾯⾓M-l-N 的⾯N 内⼀点，PB ⊥l ，B 为垂⾜， A 为l 上⼀点，且∠PAB=α，PA 与平⾯M 所成⾓为β，⼆⾯⾓M-l-N 的⼤⼩为γ，则有（ B ） A sin α=sin βsin γ B sin β=sin αsin γ C sin γ=sin αsin β D 以上都不对

线线角、线面角-二面角高考立体几何法宝

A 1

B 1

C 1

D A

D E F

线线角、线面角、二面角的求法

1.空间向量的直角坐标运算律：

⑴两个非零向量与垂直的充要条件是

1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=r r

⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a ·b =±|a ||b |

2.向量的数量积公式

若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r

,则（1）点乘公式： ·=|

||| cos θ

（2）模长公式：则||a

r ||b ==r

（3

）夹角公式：cos ||||a b

a b a b ⋅⋅==⋅r r r r （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222

(,,)B x

y z ，则

||AB

u u u r ,A B

d =

①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，

则cos |cos ,|AB CD θ=<>u u u r u

u u r

例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（）

A ．5

15arccos

B ．

π C ．510

arccos

D ．2

π （向量法，传统法）

例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且

高一数学空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)

空间角求法（线线角、线面角、二面角）

一、异面直线所成的角：

例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。E 、F 分别是

线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，

把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1）

解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设

EC 1与FD 1所成的角为β，则：

2222221121

cos 14132(4)22

EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++

∴直线1EC 与1FD

线线角、线面角、二面角知识点及练习

线线角、线面角、面面角专题

一、异面直线所成的角

1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

2.角的取值范围：090θ<≤︒；

垂直时，异面直线当b a ,900=θ。

例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点

求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值

二、直线与平面所成的角

1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角

2.角的取值范围：︒

︒

≤≤900θ。

例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，

求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。

H S C

一、二面角：

1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半

平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：︒

︒

≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。

3.作二面角的平面角的常用方法有六种：

1.定义法：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。

2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值.

线线角-线面角-二面角的一些题目

B 1

D 1

A D

C 1

A 1線線角與線面角習題

一、復習目標

1.理解異面直線所成角の概念,並掌握求異面直線所成角の常用方法．

2.理解直線與平面所成角の概念，並掌握求線面角常用方法．

3.掌握求角の計算題步驟是“一作、二證、三計算”,思想方法是將空間圖形轉化為平面圖形即“降維”の思想方法. 二、課前預習

1.在空間四邊形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分別為AB 、CD の中點且EF=3，AD 、BC 所成の角為 .

2.如圖,在長方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 與底面所成の角分別為60ο和45ο

，則異面直線B 1C 和C 1D 所成角の余弦值為 ( )

(A).

6 (B).

36 (C).6

2 (D).63

3.平面α與直線a 所成の角為

,則直線a 與平面α內所有直線所成の角の取值範圍是．

4.如圖,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,則PA 與BD 所成の角の度數為

(A).30ο

(B).45ο

(C).60ο

(D).90ο

5.有一個三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο

,BC 是貼於桌面上,

當三角尺與桌面成45ο

角時,AB 邊與桌面所成角の正弦值是．三、典型例題

例1.(96·全國) 如圖,正方形ABCD 所在平面與正方形

ABEF 所在平面成60ο

角,求異面直線AD 與BF 所成角の余弦值. 備課說明:1.求異面直線所成の角常作出所成角の平面圖形.作法有: ①平移法:在異面直線の一條上選擇“特殊點”,作另一條直線平行線或利用中位線.②補形法:把空間圖形補成熟悉の幾何體,其目の在於容易發現兩條異面直線の關係.2.解立幾計算題要先作出所求の角,並要有嚴格の推理論證過程,還要有合理の步驟.

线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)

A 1

B 1

C 1

D A

D E F

线线角、线面角、二面角的求法

1.空间向量的直角坐标运算律：

⑴两个非零向量与垂直的充要条件是

1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=

⑵两个非零向量与平行的充要条件是

a ·

b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式

若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则（1）点乘公式： a ·b =|a ||b | cos θ

（2）模长公式：则2

12||a a a a a =⋅=++2

||b b b b =⋅=+（3）夹角公式：2

cos ||||a b

a b a b a ⋅⋅==⋅+（4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则

|(AB AB x ==,A B d =

①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=

例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（）

A ．5

15arccos

B ．

π C ．5

arccos

D ．2π

（向量法，传统法）

例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且

线面角、二面角练习(含答案)

10. (1) 详见解答过程 . ) 于V3
‖.〔l)′4」t】′与寻Z「L甘互CZ`勿J壬萝)…′于h玉乙煽弓【穿遥JJ丘弓7之值为鲁. (2) 二「rR亓尹T庐1Z丨勿一CJ…萝一j】庄l〈〕′呈玄{官晕芜尹刁俘′
12. (1) 见解答过程
参考答案
13.(D) 详见解答过程 . (2) 45°. (3) 1.
[ SR—
B/ _IN
匆/薹'′′′ 设正方体棱长为 2,
则 4 (2,0,2), M(0,1,0),
一一
心— 伟 M = (-2,1,-2),
DN =(0,2,1),
D(0,0,0),
N(0,2,1),
—A_;M— - = DN = (-2,1,-2)-(0,2,1) = 0,
- 一 AM Lຫໍສະໝຸດ Baidu一N,孔
(D) 证明 , 4B L PD; G)若 P4 = PD = AB, /APD = 90“, 设 Q 为 PB 中点 , 求直线 4Q 与平面 PBC 所成角的余弦值
.(10分 ) 如图 , 在四楂锥 P 一 4BC 丁中 , 底面 4BC是D矩形 ,M7 是 P4 的中点 ,PD 平 _ 面 4L BCD,
D 丁 . 元二 2z 十 z 二 0
仪二 2, 则 z 二一 L y=1, 心二元井 2),

空间角(空间线线、线面、面面成角问题)练习题(答案)

空间角练习题

1．二面角是

指

（ D ）

A 两个平面相交所组成的图形

B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形

C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形

D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能

有（ D ）

A 1条或2条交线

B 2条或3条交线

C 仅2条交线

D 1条或2条或3条交线

3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( B )

A 5

B 20 C

4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC在平面α内，斜边BC在棱l上，若AB 与面β所成的角为600，则AC与平面β所成的角

为（ A ）

A 300

B 450 C

600 D 1200

5．如图，射线BD、BA、BC两两互相垂直，AB=BC=1，BD=

，

则弧度数为

的二面角是（ A ）

A D-AC-

B B A-CD-B

C A-BC-

D D A-BD-C

6．△ABC在平面α的射影是△A1B1C1，如果△ABC所在平面和平面α成θ角，有（B）

A S△A1B1C1=S△ABC·sinθ

B S△A1B1C1=

S△ABC·cosθ

C S△ABC =S△A1B1C1·sinθ

D S△ABC

=S△A1B1C1·cosθ

7．如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB⊥l，B为垂足，

A为l上一点，且∠PAB=α，PA与平面M所成角为β，二面

角M-l-N的大小为γ，则有（ B ）

A sinα=sinβsinγ

B sinβ=sinαsinγ

C sinγ=sinαsinβ

(完整word版)线面角、二面角专题复习(学生版)

线面角与二面角专题复习

编辑\ 审核：黄志平

说明红色为必做题（课堂上展示的），其它题可选做，练手感。

一、线面角

1、如图，四棱锥S ABCD -中，AB//CD,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，

2,1AB BC CD SD ====．

（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．

2、如图，在组合体中，1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．2=AB ，3=BC ，点

D D CC P 11平面∈且2==PC PD ．

（Ⅰ）证明：PBC PD 平面⊥；

（Ⅱ）求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值；

3、如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝

PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．

(Ⅰ)求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；

D 1

C 1

B 1

A 1

4、如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求点C 到平面PBD 的距离.

（Ⅱ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值

为

2，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由。

5、如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ︒︒∠=∠=∠===,把△DAC 沿对角线

AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上, 连接PB . （1）求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小;（2）求二面角P AC B --的大小的余弦值.