福建省厦门市2014~2015学年下学期高一期末质量检测数学试题
厦门市2014-2015学年第一学期高一质量检测-数学试题参考答案以及评分标准
厦门市2014-2015学年第一学期高一质量检测数学试题参考答案以及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBCBDDCCB10.解: (1)2f -=28=+--⇔c b a ----①设m c b a m f =++⇔=38)3(----②① +②得：m c b +=+222,又Z c b ∈,，所以m 一定是偶数. 二、填空题11. 36 （题目引导有误，答案46也对） 12.19 13.5614.23π 15.0 16.(2,0)-16.解：如图，根据xy 2=与x y 2log =关于y x =对称，而2+-=x y 与y x =垂直所以，两交点的中点为y x =与2y x =--的交点（-1，-1）， 即12-=+qp 所以，函数()()()f x x p x q =++的对称轴为12=+-=qp x 所以2(22)(0)f x x f ++<⇔<++⇔)2()22(2f x x f …⇔02<<-x . 三、解答题17.解：（Ⅰ）}2|{≥=x x B -----------------------------------------------------------------2分{|23}A B x x =≤< ---------------------------------------------------4分()U C A B 3}x 2|{≥<=或x x ---------------------------------------------------6分（Ⅱ）}|{a x x C >= ---------------------------------------------------8分∵B C C =，∴C B ⊆ ---------------------------------------------------10分所以2<a ---------------------------------------------------12分18.解：记甲选动车、汽车、飞机来厦门分别为事件,,A B C ．则事件,,A B C 是互斥的．---------------------------------------------------1分（Ⅰ）()()()0.6P A B P A P B +=+= ---------------------------------------------------3分又()0.3P B =∴()0.3P A = ---------------------------------------------------5分 ∴不乘动车来的概率1()0.7P P A =-= ---------------------------------------------------7分 （Ⅱ）又()()()1P A P B P C ++= ---------------------------------------------------9分∴()0.4P C = ---------------------------------------------------11分 所以()(),()()P C P A P C P B >>所以他乘飞机来的可能性最大 ---------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为4，所以全班人数为4500.08=（人），--2分 则分数落在[80,90)的学生共有50(414204)8-+++=（人）， ----------------------3分 所以分数落在[80,90)的频率为80.1650= 答：分数落在[80,90)的频率为0.16. ---------------------------------------------------4分 （Ⅱ）分数在[50,70) 的试卷共有18份，其中[)50,60 的有4份， ------------------6分现需抽取容量为9的样本，根据分层抽样原理，在[)50,60中应抽取的份数为49218⨯= 答：在[)50,60中，应抽取2份； --------------------------------------------------8分 （Ⅲ）分数分布在[]90,100的学生一共有4人，现从中抽取2人，可能的分数的组合为{}{}{}{}{}{}95,96,95,97,95,99,96,97,96,99,97,99故基本事件总数为6n = -------------------------------------------------10分 设事件A 表示“成绩99分的同学被选中”，则事件A 包含的基本事件为{}{}{}95,99,96,99,97,99 ，3A n =-------------------------------------------------11分根据古典概型概率公式有：31()62A n P A n ===. 答：成绩为99分的同学被选中的概率为12-------------------------------------------------12分20.（Ⅰ）证明：连结1EDM 是1DD 的中点，114DD AA ==12BE MD ∴==又1//BE MD ---------------------------------------------2分∴四边形1D MBE 是平行四边形 --------------------------------------------3分1//BM ED ∴-----------------------------4分 又1ED ⊂平面11A EFD ，BM ⊄平面11A EFD ----------------------------------------5分∴BM ∥平面11A EFD -------------6分（Ⅱ）解：依题意，得此多面体11ABEA DCFD -是一个四棱柱， 底面1ABEA 是梯形 ---------------------9分底面积1(24)6182S =+⋅=高4h AD ==118472ABEA V Sh ==⋅=四棱柱 -----------12分21.解：（Ⅰ）依题意，得25(1415%)10⨯-⨯=此人得到的卖车款是10万元 --------------------------------------4分（Ⅱ）421.25,(01)17.5,(12)13.75,(23)10,(34)210(),(410,)3x x x y x x x x N -⎧⎪<≤⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪⎪⋅<≤∈⎪⎩-------------------------------------9分（Ⅲ）依题意，得4210()43x -⋅≥2344log ()10x ∴-≤ 234lg 4120.31log ()210lg 2lg 30.30.5-⋅-=≈=--6x ∴≤ -------------------------------------12分2014+6=2020因为，超过n 年不到1n +年的按1n +年计算所以，最迟应该在2020年元旦前（或2019年）卖车 --------------------------------14分D 1MA 1EDFC BA22.解：（Ⅰ）函数2()1x nf x x +=+为定义在R 上的奇函数，(0)0f n ∴==--------------2分2(),1x f x x ∴=+22(),11x xf x x x --==-++满足()()0,f x f x +-=故当且仅当0.n =时2()1xf x x =+为奇函数 -------------------------------------3分（Ⅱ）依题意，即满足对任意]1,0[1∈x ，“21()()g x f x >在]1,0[2∈x 上有解”即满足2max 1()()g x f x >在]1,0[1∈x 上恒成立 即满足2max 1max()()g x f x >-------------------------------------5分对于函数2()1xf x x =+， 不妨设1201x x ≤<≤1212211222221212(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ ∵1201x x ≤<，210x x ->， ∴12()()0f x f x -<，∴2()1xf x x =+在[0,1]x ∈上单调递增，1max 1()(1)2f x f == ------------------------------------7分对于二次函数2()22g x x x λλ=--，对称轴为x λ= ⑴当12λ≥时，2max ()(0)2g x g λ==- 令122λ->得14λ<-，与12λ≥不合，舍去； ⑵当12λ<时，2max ()(1)14g x g λ==- 令1142λ->得18λ<.综上所述，符合要求的λ范围是18λ<------------------------------------9分（Ⅲ）方程12|()|log ||f x x = 只有1个实数解。
福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________即222c a b >+，则,c a c b >>，故32233()c c a b a b >+>+，故D 正确.故选：D.7．B【分析】由已知判断点P 在直线AD 上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.【详解】记BC 的中点为D ，则()2AP AB AC AD l l =+=uuu r uuu r uuu r uuu r，所以，点P 在直线AD 上.A 选项：若点P 是ABC V 的垂心，则AD BC ^，所以AB AC =，所以ABC V 为等腰三角形，A 正确；B 选项：若点P 是ABC V 的重心，则点P 在BC 边的中线上，无法推出AD BC ^，B错误；C 选项：若点P 是ABC V 的外心，则点P 在BC 边的中垂线上，所以AD BC ^，所以ABC V 为等腰三角形，C 正确；D 选项：若点P 是ABC V 的内心，则AD 为BAC Ð的角平分线，所以BAD CAD Ð=Ð，又,AP AP BD CD ==，所以ADB V 与ADC △全等，故AB AC =，D 正确.故选：B8．B【分析】（1）作MG AD ∥，连接,MB GC ，利用平行公理可得,,B M G C ,共面，即可说明如何画线；（2）连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ，利用线面平行的性质定理推出MN PE ∥，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出PE ，结合线段成比例，即可求得线段MN 的长.【详解】（1）因为:1:1PM MA =，所以M 为PA 的中点，作MG AD ∥，交PD 于G ，则G 为PD 的中点，连接,MB GC ，则GM AD ∥，由题意知四边形ABCD 为平行四边形，则BC AD ∥，故GM BC ∥，即,,B M G C ,共面，故要经过点M 和棱BC 将木料锯开，在木料表面沿线段,,BM MG GC 画线即可；（2）存在，:5:8BN ND =，说明如下：假设在线段BD 上存在一点N ，使直线MN ∥平面PBC ，连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ，。
2023—2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学试题及答案
O M N Pxy2023～2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学注意事项:1.答卷前,考生务必要填涂答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．−=i 25i( ) A ．−−12iB ．−+12iC ．−12iD ．+12i2．已知=αtan 2,则=αtan 2( )A ．−34 B ．34 C ．−43 D ．43 3．已知向量a ,b 不共线,若a b a b +−k 2//)()(,则=k ( )A ．−2B ．−21 C ．21 D ．24．已知两条不同的直线m ,n 和三个不同的平面α,β,γ,下列判断正确的是( )A ．若⊂αm ,n m //,则αn //B ．若⊂αm ,⊂βn ,βm //,αn //,则αβ//C ．若⊥αγ,⊥βγ,m αβ=,则m ⊥γD ．若n αβ=,⊥m n ,⊂βm ,则⊥αβ5．已知四边形ABCD 中,(2,1AC =−),(2,4BD =),则四边形ABCD 的面积为( )A ．3B ．5C ．6D ．106．已知函数=+ωϕf x A x sin )()((其中>A 0,>ω0,2<πϕ)的部分图象如图所示,点M ,N 是函数 图象与x 轴的交点,点P 是函数图象的最高点,且∆PMN 是边长为2的正三角形,=ON OM 3,则⎝⎭⎪=⎛⎫f 31( )A ．23 B ．+4322C ．−4326D ．+43262024 . 77．某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩,并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分,由于记录员的疏忽把人数弄丢了,则据此可确定的是( )A ．这部分同学是高分人数多还是低分人数多B ．这部分同学是男生多还是女生多C ．这部分同学的总人数D ．全年级是男生多还是女生多8．已知正四棱台ABCD A B C D −1111,AB =2,半球的球心O 在底面A B C D 1111的中心,且半球与该棱台的各棱均相切,则半球的表面积为( )A ．π9B ．π18C ．π27D ．π36二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 关于复数33=+ππz cosisin (i 为虚数单位),下列说法正确的是( ) A . ⋅=z z 1 B .z 在复平面内对应的点位于第二象限 C . =z 13D . −+=z z 10210.四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果,可能出现点数6的是( )A ．平均数为3,中位数为2B ．中位数为3,众数为2C ．平均数为2,方差为2.4D ．中位数为3,方差为2.8 11.如图,在三棱锥P DEF −中,==PE PF 1,=PD 2,==DE DF=EF 点Q 是DF 上一动点,则( ) A ．过PE 、PF 、DE 、DFB ．直线PE 与平面DEF 所成角的正弦值为32C ．∆PEQD ．将三棱锥的四个面展开在同一平面得到的平面图形可以是直角三角形或正方形三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.其中第14题对一空得3分,全对得5分. 12.已知a b ⋅=−1,b =1,2)(,则a 在b 上的投影向量为 ． 13.已知⎝⎭⎪+=⎛⎫θθ44cos cos2π,则=θsin 2 ． 14.已知∆ABC 是边长为2的正三角形,点D 在平面ABC 内且0DA DB ⋅=,则DA DC ⋅的最大值为 ,最小值为 ．H.RQPDCBA四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.( 13分)某学校高一新生体检,校医室为了解新生的身高情况,随机抽取了100名同学的身高数据(单位:cm ),制作成频率分布直方图如图所示．(1) 求这100名同学的平均身高的估计值(同一组数据用区间中点值作为代表)；(2) 用分层抽样的方法从165,170)[,170,175)[,175,180)[中抽出一个容量为17的样本,如果样本按比例分配,则各区间应抽取多少人？(3) 估计这100名同学身高的上四分位数．0.010.020.04x0.07/cm身高160 165 170 175 180 18516.( 15分)在非直角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足=−a c B b C 2cos cos ． (1) 求证:=C B tan 2tan ；(2) 若=A tan 3,=a 3,求∆ABC 的面积．17.( 15分)如图,已知多面体PQRABCD 中,四边形ABCD 、PABQ 、PADR 均为正方形,点H 是∆CQR 的垂心,=PA 1．(1) 证明:H 是点A 在平面CQR 上的射影； (2) 求多面体PQRABCD 的体积．频率组距PQM1A 1B 1C CBA OCBADMN18.( 17分)如图,在扇形OMN 中,半径=OM 2,圆心角∠=MON 3π,矩形ABCD 内接于该扇形,其中点A ,B 分别在半径OM 和ON 上,点C ,D 在 上,AB MN //,记矩形ABCD 的面积为S .(1) 当点A ,B 分别为半径OM 和ON 的中点时,求S 的值；(2) 设∠=θDOM (<<θ60π),当θ为何值时,S 取得最大值,并求此时S 的最大值.19.( 17分)如图,在直三棱柱−ABC A B C 111中,⊥AB BC ,==AB AA 31,=BC 1,P 是BC 1上一动点,BP BC λ=1(<<λ01),M 是CC 1的中点,Q 是AM 的中点．(1) 当=λ41时,证明:PQ //平面ABC ； (2) 在答．题卡．．的题(2)图中作出平面AB P 1与平面ACC A 11的交线(保留作图痕迹,无需证明)； (3) 是否存在λ,使得平面AB P 1与平面ACC A 11所成二面角的余弦值为414？若存在求满足条件的λ值,若不存在则说明理由．2023~2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学 参考答案与评分标准一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CABCBDBC二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号 9 10 11 答案ADABDBCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.其中第14题对一空得3分,全对得5分.12. ⎝⎭ ⎪−−⎛⎫55,12(或写成b −51) 13. 1 14. 3 , −1 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)由图可知⨯++++=x 50.010.070.040.021)(,得x =0.06.…………………………2分 平均身高的估计值为:⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯182.50.025162.50.015167.50.075172.50.065177.50.045=172.25cm .………………………………………………………………………………………………6分(2)165,170)[,170,175)[,175,180)[各区间人数分别为：⨯⨯=1000.07535,⨯⨯=1000.06530,⨯⨯=1000.04520．所以相应抽取的人数分别为：++⨯=35302017735,++⨯=35302017630,++⨯=35302017420．………………………………9分 (3)上四分位数即75%分位数． …………………………………………………………………………10分 身高在180,185)[的人数占比⨯=50.0210%,在175,180)[的人数占比⨯=50.0420%,所以75%分位数在175,180)[内．…………………………………………………………………………11分 设上四分位数为a ,则a ⨯−+⨯=−0.04(180)0.025175%． ………………………………………12分 解得=a 176.25,即估计这100名同学身高的上四分位数为176.25. ………………………………13分 16.【解析】(1)由−=c B b C a 2cos cos 及正弦定理可得−=C B B C A 2sin cos sin cos sin ,………2分 又=+=+A B C B C B C sin sin()sin cos cos sin ,所以−=+C B B C B C B C 2sin cos sin cos sin cos cos sin ,整理得=C B B C sin cos 2sin cos ,………………………………………………………………………4分 因为∆ABC 不是直角三角形,所以≠B cos 0,≠C cos 0,两边同时除以B C cos cos ,得=C B tan 2tan ．…………………………………………………………………………………………6分(2)由−−=−+=−=−=+B C BA B C B C B 1tan tan 12tan tan tan()3tan tan 3tan 2,整理得−−=B B 2tan tan 102, 所以+−=B B (2tan 1)(tan 1)0,解得=−B 2tan 1或1, ………………………………………………8分若=−B 2tan 1,则==−C B tan 2tan 1,此时B ,C 均为钝角,不符合题意,故舍去,所以=B tan 1,…9分.HOMRQPD CBA ==CB tan 2tan 2,此时=A 10sin 310,=B 2sin 2,=C 5sin 25, ……………………………11分 由正弦定理====B C A b c a 10310sin sin sin 103,可得==b B 10sin 5,==c C 10sin 22, ……………………………………………………13分所以∆ABC 的面积△==⨯⨯⨯=S bc A ABC 2210sin 522311310．………………………………15分 17.【解析】(1)连接CH ,并延长交QR 于M ,所以QR CM ⊥． ………………………………………1分由已知易得四边形BDRQ 为矩形,所以BD QR //．……………………………………………………3分BD AC ⊥,所以QR AC ⊥且=AC CM C ,所以QR ⊥平面ACM ．……………………………5分AH ⊂平面ACM ,所以⊥QR AH ．…………………………………6分同理⊥QC AH ． ………………………………………………………7分 又=QRQC Q ,所以AH ⊥平面CQR ． …………………………8分所以H 是点A 在平面CQR 上的射影．……………………9分 (2)设=ACBD O ,由题意可知BQ ⊥平面ABCD ,所以BQ 是棱柱PQR ABC −的高,且BQ OC ⊥,又由(1)知OC BD ⊥,所以OC ⊥平面QBDR , 所以OC 是棱锥C QBDR −的高．………………………………………………………………………11分 V V V PQR ABD C QBDR =+−−．…………………………………………………………………………………12分 △=⋅=−V S BQ PQR ABD ABD 21．……………………………………………………………………………13分 =⋅=⋅⋅=−V S OC C QBDR QBDR 332321121．……………………………………………………………14分所以多面体PQRABCD 的体积=+=V 236115．………………………………………………………15分18.【解析】(1)当点A ,B 分别为半径OM 和ON 的中点时,===CD AB OA 1,取CD 中点F ,连接OF ,且OF 与AB 交于点G ,则=−=−=OF OD DF 42411522, …………………………………2分 ==OG OA 2233,………………………………………………………………………………………4分 则=−=−FG OF OG 2153,…………………………………………………………………………6分 此时矩形ABCD 的面积=⋅=−S AB FG 2153．……………………………………………………7分 (2)解法一：过点D 作⊥DE OM ,垂足为E ,则=θDE 2sin ,=θOE 2cos , ……………………8分在△ADE Rt 中,∠=DAE 6π,==θAD DE 24sin , …………………………………………………9分==θAE DE 323sin ,………………………………………………………………………………10分 ==−=−θθAB OA OE AE 2cos 23sin , …………………………………………………………11分AOM NBCDE FG 矩形ABCD 的面积=⋅=−⋅=−θθθθθθS AB AD (2cos 23sin )4sin 8sin cos 83sin 2 …13分⎝⎭ ⎪=−⨯=+−=+−⎛⎫−θθθθθ234sin 2834sin 243cos 2438sin 243π1cos 2, …………15分 当+=θ322ππ,即=θ12π时,矩形ABCD 的面积S 最大,最大值为−843．………………………17分 解法二：若⎝⎭ ⎪∠=<<⎛⎫θθDOM 60π,设∠=αDOF , 则=−αθ6π,=⋅∠=αDF OD DOF sin 2sin ,…………………8分 =⋅∠=αOF OD DOF cos 2cos ,===αOG AG DF 3323sin , ……………………………9分所以=−=−ααFG OF OG 2cos 23sin , …………………10分==αAB DF 24sin ．……………………………………………………………………………………13分 ⎝⎭ ⎪=−⨯=+−=+−⎛⎫−ααααα234sin 2834sin 243cos 2438sin 243π1cos 2,…………15分 当+=α322ππ,即=α12π,即=θ12π时,矩形ABCD 的面积S 最大,最大值为−843． ………17分 19.【解析】(1)过P Q 、分别作⊥PK BC ,⊥QN AC 则PK CC //1且=PK CC 411,QN CM //且==QN CM CC 24111．……………………………………………………………………………………2分所以PK QN //且PK QN =,所以四边形PKNQ 是平行四边形．……………………………………3分从而PQ KN //,又KN ⊂平面ABC ,PQ ⊄平面ABC ,所以PQ //平面ABC ．…………………5分 (2)如图,在平面ACC A 11内,延长B P CC 、11交于D ,连接AD ,则AD 为平面AB P 1与平面ACC A 11的交线．……………………………………………………………8分BB 1P EKNPQM1A 1B 1C CAGHD 1A 1C CA(3)过B 1作B H A C ⊥111,垂足为H ,过H 作HG AD ⊥,垂足为G ,连接B G 1,……………………9分 因为三棱柱−ABC A B C 111是直三棱柱,所以⊥CC 1平面A B C 111, 又⊂B H 1平面A B C 111,∴⊥CC B H 11,又B H A C ⊥111,1111A C CC C =,∴⊥B H 1平面ACC A 11,又⊂AD 平面ACC A 11,∴⊥B H AD 1,又HG AD ⊥,B HHG H =1,∴⊥AD 平面B HG 1,又⊂B G 1平面B HG 1,∴⊥AD B G 1,所以B GH ∠1为平面AB P 1与平面ACC A 11所成二面角的平面角．…………………………………10分假设存在满足条件的λ,即B GH ∠=4cos 141, 由已知可求得BC =21,所以BP =λ2,−−===λλλλB C PC BE BP 2212111, 所以−−=−=−=−λλλλB C B C EC BE 1111121111,又−==−λλDC B C DC EC 112111, −−−−∴===−−λλλλλCC CC DC DC DC 1(12)121211,所以DC =−λλ3(12),…………………………12分所以△=−λλS ACD 3(12),形梯=S HACC 4531,△=−λλS DHC 43(1)1,形梯△△△=+−=−λλS S S S HACC ADH ACD DHC 43(32)11,…………………………………………………13分=+=−+λλλAD AC CD 16123222, ……………………………………………………………14分△=⋅⋅S AD HG ADH 21,故△−+==−λλλAD HG S ADH 2161233(32)22． …………………………………15分 由B GH ∠=4cos 141得HGB GH B H ∠==7tan 711,又B H =231,所以−+−=λλλ2161233(32)72732．………………………………………………………16分 解得=λ31,即存在=λ31使得平面AB P 1与平面ACC A 11所成二面角的余弦值为414． ………17分。
人教版数学高一下册期末测试精选(含答案)1
人教版高一下册期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不重合平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m α⊥，m n P ，则n α⊥ C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，αβ⊥，则m βP【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B2．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆中，32BA BC AC ===，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A ．B ．22πC ．12πD ．20π【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B3．直线10x -+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 【来源】山西省康杰中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文)试题 【答案】B4．鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下､左右､前后完全对称，十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖一些凹槽而成.若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根最短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个球形容器内，使鲁班锁最高的三个正四棱柱形木榫的上､下底面顶点分别在球面上，则该球形容器的表面积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ）A ．24πB ．25πC ．26πD ．27π【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】D 5．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】湖南省邵阳市邵东县创新实验学校2019-2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】C6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【来源】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题 【答案】B7．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．2C ．D 【来源】西藏自治区拉萨中学2018届高三第七次月考数学（文)试题 【答案】D8．如果直线l 上的一点A 沿x 轴在正方向平移1个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是（ ） A ．3 B ．13C ．-3D ．−13【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】C9．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ） A ．√2 B ．2√2 C ．8√23D ．8√2【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B10．直线y =kx +3与圆(x −2)2+(y −3)2=4相交于M,N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[−√3,√3]B ．(−∞,−√3]∪[√3,+∞)C ．[−√33,√33] D ．[−23,0]【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】A11．已知点P(2,1)在圆C:x 2+y 2+ax −2y +b =0上，点P 关于直线x +y −1=0的对称点也在圆C 上，则实数a,b 的值为（ ）A ．a =−3,b =3B ．a =0,b =−3C ．a =−1,b =−1D ．a =−2,b =1 【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B12．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π【来源】山西省2019-2020学年高二上学期10月联合考试数学（理)试题 【答案】B13．在三棱锥A BCD -中，AD CD ⊥，2AB BC ==，AD =CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．8πB ．9πC ．10πD ．12π【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高三上学期期末考试数学（文)试题 【答案】A14．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-【来源】江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是为1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ）A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行【来源】2015届福建省三明市一中高三上学期半期考试理科数学试卷（带解析) 【答案】D16． (2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°【来源】2014-2015学年湖北省安陆市一中高一下学期期末复习数学试卷（带解析)【答案】D17．如图，在直角梯形ABCD 中，0190,//,12A AD BC AD AB BC ∠====，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中，下列说法正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ACD ⊥平面ABC C ．平面ABC ⊥平面BCDD ．平面ACD ⊥平面BCD【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】B18．已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为( ) A ．1B ．0C ．1-D ．222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】B19．若x 2+y 2–x +y –m =0表示一个圆的方程，则m 的取值范围是 A ．m >−12 B ．m ≥−12 C ．m <−12D ．m >–2【来源】2018年12月9日——《每日一题》高一 人教必修2-每周一测 【答案】A20．如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③【来源】二轮复习 专题12 空间的平行与垂直 押题专练 【答案】B二、多选题21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为()4,5,3B ．点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3 D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】ACD三、填空题22．若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______ 【来源】福建省厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级期末数学试题【答案】-⎡⎣23．点E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,BC ,11B C 的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形; ②点P 在直线FG 上运动时,总有AP DE ⊥;③点Q 在直线11B C 上运动时,三棱锥1A D QC -的体积是定值;④若M 是正方体的面1111D C B A ,（含边界）内一动点,且点M 到点D 和1C 的距离相等,则点M 的轨迹是一条线段.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】①②④24．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论:①异面直线AC 与BD 所成的角为定值. ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°.④三棱锥M -ACN 体积的最大值为48. 以上所有正确结论的序号是__________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】①③④25．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，若以线段MN 为直径的圆与直线430x y a -+=有公共点，则实数a 的取值范围是___________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】[]10,10-26．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.【来源】北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题27．某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为__________．【来源】黄金30题系列 高一年级数学（必修一 必修二) 小题好拿分 【答案】20328．设直线3450x y +-=与圆221:9C x y +=交于A ， B 两点，若2C 的圆心在线段AB 上，且圆2C 与圆1C 相切，切点在圆1C 的劣弧AB 上，则圆2C 半径的最大值是__________.【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】229．已知直线240x my ++=与圆22(1)(2)9x y ++-=的两个交点关于直线0nx y n +-=对称，则m n -=_______.【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】3- 30．给出下列命题： ①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； 其中说法正确的有_____（填序号）.【来源】河南省三门峡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】②③31．设直线2y x a =+与圆22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则a =________【来源】吉林省吉林市吉化第一高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】四、解答题32．已知圆C 的一般方程为22240x y x y m +--+=. (1)求m 的取值范围;(2)若圆C 与直线240x y +-=相交于,M N 两点，且OM ON ⊥(O 为坐标原点)，求以MN 为直径的圆的方程.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)5m <;(2)224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．如图4，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB .（1）证明：EB FD ⊥； （2）求点B 到平面FED 的距离.【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷)文科数学全解全析 【答案】（1）证明见解析（2）d =34．已知圆的方程为228x y +=，圆内有一点0(1,2)P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦．（1）当135α=︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程． 【来源】2019年12月14日《每日一题》必修2-周末培优【答案】（1（2）250x y -+=．35．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，M 是AC 与BD 的交点.求证：(1)1//D M 平面11A C B (2)求1BC 与1D M 的所成角的正弦值.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)见解析；(2)1036．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,CF =（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为10,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】（1）见解析；（237．已知圆C 的圆心在直线390x y --=上，且圆C 与x 轴交于两点(50)A ，，0(1)B ，. （1）求圆C 的方程；（2）已知圆M :221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设(,)P m n 为坐标平面上一点，且满足:存在过点(,)P m n 且互相垂直的直线1l 和2l 有无数对，它们分别与圆C 和圆M 相交，且圆心C 到直线1l 的距离是圆心M 到直线2l 的距离的2倍，试求所有满足条件的点(,)P m n 的坐标【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）22(3)4x y -+=（2）79,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 38．如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长P 为侧棱SD 上的点.（1）求证:AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P -AC -D 的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）30°39．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，侧棱1AA =E ，F 分别是BC ，1CC 的中点.（1）求证:1//BC 平面AEF ；（2）求异面直线AE 与1A B 所成角的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）45°40．已知直线1:2l y x =-+，直线2l 经过点(40)，，且12l l ⊥.（1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与y 轴相交于点A ，2l 与y 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC V 的面积.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）40x y --=（2）941．已知曲线x 2+y 2+2x −6y +1=0上有两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)关于直线x +my +4=0对称，且满足x 1x 2+y 1y 2=0．（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程．【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析)【答案】（1）m =−1；（2）y =−x +1.42．如图，边长为4的正方形ABCD 与矩形ABEF 所在平面互相垂直，,M N 分别为,AE BC 的中点，3AF =．（1）求证：DA ⊥平面ABEF ；（2）求证：//MN 平面CDEF ；（3）在线段FE 上是否存在一点P ，使得AP MN ⊥？若存在，求出FP 的长；若不存在，请说明理由．【来源】2014届北京市东城区高三上学期期末统一检测文科数学试卷（带解析)【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，94FP = 43．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，且60BAD ︒∠=，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PD 的中点.（1）证明：//EF 平面PBC .（2）若四棱锥P ABCD -的体积为A 到平面PBC 的距离.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见详解；（2.44．已知圆22:6200C x y y +--+=.（1）过点的直线l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程；（2）已知圆M 的圆心在直线y x =-上，且与圆C 外切于点，求圆M 的方程.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）x =0x +-=；（2）224x y +=.45．已知ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A ，()2,1B --，()2,3C -．（1）求BC 边上的中线所在的直线的方程；（2）若直线l 过点B ，且与直线AC 平行，求直线l 的方程．【来源】四川省凉山彝族自治州西昌市2019-2020学年高二上学期期中数学（理)试题【答案】（1）420x y --=；（2）5110x y ++=46．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点,（1）求证：//AP 平面EBD ；（2）若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时. 47．已知点P 是圆22:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）221x y +=；（2）n =. 48．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，22AO OC ==，PA PB AB ===AC PB ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A PD B --的余弦值.【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】(1)证明见解析；49．若圆C 经过点3(2,)A -和(2,5)B --，且圆心C 在直线230x y --=上，求圆C 的方程.【来源】2010年南安一中高二下学期期末考试（理科)数学卷【答案】22(1)(2)10x y +++=50．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC .（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）求点C 到平面1A BD 的距离.【来源】吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）245。
2015-2016学年福建省厦门市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．=（）A．B．C．D．2．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（）A．﹣4 B．4 C．0 D．93．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含4．函数y=tan（﹣）在一个周期内的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．46．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β8．在△ABC中，||=1，||=3，∠BAC=60°，则||=（）A．1 B．C．3 D．9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC 的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（）A．﹣ B．C．﹣D．11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD 与BE交于点P，若=λ+μ，则λ等于（）A．B．﹣1 C．D．12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（）A．2 B．π+2 C． +2D． +2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为．14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m=．15．已知||=1，|+|=，||=2，则在方向上的投影等于．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）．（1）求△OAB的面积；（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标．18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0．（1）若A=1，求f（x）的单调递增区间；（2）函数f（x）在x=x0处取得最大值，求cosx0的值．20．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．如图，已知函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…．（1）若m=1，求•；，（i=1，2，3，…）中，有且只有三（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OB i C2i﹣1个锐角三角形，求实数m的取值范围．22．已知动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，r＞0．（1）求动点M的轨迹Γ的方程；（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．=（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据诱导公式可知cos=cos（π+），进而求得答案．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣故选D．2．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（）A．﹣4 B．4 C．0 D．9【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①把转化为②用坐标运算公式=x1x2+y1y2【解答】解：∵∴，∴，∴1+2×2﹣（1×x﹣2×2）═0，∴x=9．故选D．3．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系．【解答】解：圆C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于1的圆．圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=9，表示以C2（﹣2，3）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d==，∵3﹣1＜＜3+1，故两个圆相交．故选：C．4．函数y=tan（﹣）在一个周期内的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正切函数的图象．【分析】根据函数y=tan（﹣）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；令﹣＜﹣＜，求得x的范围，从而得出结论．【解答】解：根据函数y=tan（﹣）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；令﹣＜﹣＜，求得﹣＜x＜，结合所给的选项，故选：A．5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】设B（m，n），（m，n＞0），由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，及两点的距离公式计算即可得到所求．【解答】解：设B（m，n），（m，n＞0），由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，可得﹣•=﹣1，=，解得m=4，n=3．即B的纵坐标为3．故选：C．6．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数y=2cos2x=2•=cos2x+1，∴要得到得函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选：B．7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥β，进而可得l⊥m，故A不正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故B不正确当l∥m有直线m⊥平面α，因为直线m⊂平面β，α⊥β，故C正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故D不正确，故选：C．8．在△ABC中，||=1，||=3，∠BAC=60°，则||=（）A．1 B．C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可知，，根据条件对上式两边平方进行数量积的运算即可得出，从而得出的值．【解答】解：===7；∴．故选：B．9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC 的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与CD′所成的角．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，），F（2，，0），C（4，5，0），D′（0，5，3），=（2，，﹣），=（﹣4，0，3），∴cos＜＞===﹣，∴异面直线EF与CD′所成的角45°．故选：C．10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆心、半径，圆心到直线的距离，利用三角函数进行求解．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=9的圆心坐标为（2，0），半径为3，圆心到直线的距离为=2，∴cos∠ACB=，∴cos∠ACB=2cos2∠ACB﹣1=﹣1=﹣，故选：A．11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD 与BE交于点P，若=λ+μ，则λ等于（）A．B．﹣1 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可以BC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设，从而可根据条件求出A，B，C三点的坐标，并可求出，可写出直线BE的方程，从而求出点P的坐标，进而得出向量的坐标，带入即可建立关于λ，μ的方程，解出λ即可．【解答】解：以BC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB=，则：A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）；根据正切的二倍角公式：设tan22.5=x，则，且x＞0；∴解得x=；∴直线BE的方程为；∴令x=0，y=，即；∴，；∴；∴；解得．故选D．12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（）A．2 B．π+2 C． +2D． +2【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意求出圆台所在圆锥的母线长，利用弧长公式求出圆心角，把最短路程转化为三角形的边长求解．【解答】解：沿母线AD剪开并展开如图，∵圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，∴OB=4，OE=2．设展开图的圆心角为α，则2π•1=2α，∴α=π，∴∠AOE=90°，∴AE==2．∴经过的最短路程为2．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为﹣．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2θ的值．【解答】解：将sinθ+cosθ=左右两边平方得：（sinθ+cosθ）2=，整理得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ=，则sin2θ=﹣1=﹣．故答案为：﹣14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m=2．【考点】直线的一般式方程．【分析】由已知直线l的斜率且过点P，根据直线方程的点斜式求出其解析式，然后根据平移的性质：左加右减，上加下减，得到直线l′，再根据点A在直线l′上，代入直线l′方程计算即可得答案．【解答】解：由直线l斜率为2且过点P（1，3），得y﹣3=2（x﹣1），即y=2x+1，将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，则直线l′即y=2（x﹣m）+1，又点A（2，1）在直线l′上，∴2×（2﹣m）+1=1，解得m=2．故答案为：2．15．已知||=1，|+|=，||=2，则在方向上的投影等于．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件对的两边平方即可求出的值，这样根据一个向量在另一个向量方向上的投影的计算公式便可得出所要求的投影的值．【解答】解：根据条件，==3；∴；在方向上的投影为：===；∴在方向上的投影等于．故答案为：．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于12π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2，得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小，即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2，∴R=∴三棱锥外接球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）．（1）求△OAB的面积；（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标．【考点】正弦定理；两点间距离公式的应用．【分析】（1）由两点之间的距离公式求出|OA、|OB|，由向量的坐标运算、数量积运算得到=0，判断出OA⊥OB，由三角形的面积公式求出△OAB的面积；（2）点C的坐标为（x，y），由向量的坐标运算求出、、，根据条件、向量垂直和平行的坐标条件列出方程组，求出x，y的值，可得点C的坐标．【解答】解：（1）由题意得，|OA|=|OB|=，∵=（2，﹣1），=（1，2），=0，∴OA⊥OB，则△OAB的面积S=；（2）设点C的坐标为（x，y），则=（x﹣1，y﹣2），=（x﹣2，y+1），且=（﹣1，3），∵直线BC⊥AB，且AC∥OB，∴=0，，则，解得，∴点C的坐标为（4，3）．18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）根据直观图，可得俯视图，根据三角形的三条边，即可求截面AEF的面积；（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角，即可求直线AM 与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（1）俯视图如图所示，截面AEF中AF=EF=2，AE=2，面积为=6；（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角．∵GM=，GA=2，∴tan∠AMG=．19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0．（1）若A=1，求f（x）的单调递增区间；（2）函数f（x）在x=x0处取得最大值，求cosx0的值．【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．【分析】（1）由题意利用两角和的正弦函数公式可得f（x）=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（2）由两角和的正弦函数公式可得f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=，由题意可求sin（x0+φ）=1，其中tanφ=，=，进而解得A，sinφ的值，解得x0=2kπ+﹣φ，k∈Z，利用诱导公式即可解得cosx0的值．【解答】解：（1）∵由题意可得：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），∴由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．（2）∵f（x）=Asinx+cosx=sin（x+φ），其中tanφ=，且函数f（x）在x=x0处取得最大值，∴sin（x0+φ）=1，其中tanφ=，=，∴由A＞0，解得：A=2，sinφ==，x0+φ=2kπ+，k∈Z，∴x0=2kπ+﹣φ，k∈Z，∴cosx0=cos（2kπ+﹣φ）=sinφ=．20．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD；（2）证明AC⊥CD，确定∠PCA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，求出PA，即可求四棱锥P ﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：取PD中点E，连结NE，CE．∵N为PA中点，∴NE∥AD，NE=AD，又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC∥AD，MC=AD．∴NE∥MC，NE=MC，即MNEC为平行四边形，∴MN∥CE．∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．（2）解：∵AB=1，AC=，AD=2，∴AB2+AC2=AD2，∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴PC⊥CD，∴∠PCA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，即∠PCA=30°，∴PA=tan30°=1，∴四棱锥P﹣ABCD的体积=×=．21．如图，已知函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…．（1）若m=1，求•；，（i=1，2，3，…）中，有且只有三（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OB i C2i﹣1个锐角三角形，求实数m的取值范围．【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）利用正弦函数的图象的特征求得B1、B2、B3、…，与C1、C2、C3、…的坐标，利用两个向量的数量积公式求得•的值．（2）由题意可得∠OB3C5为锐角，且∠OB4C7为钝角，故有+﹣OC5＞0，且+﹣OC7＜0，从而求得m的范围．【解答】解：（1）若m=1，则令x+分别等于，，…，可得B1（，1）、B2（，1）、B3（，1）…，令x+分别等于π，2π，3π，…，C1（，0）、C（，0）、C3（，0）…，∴•=（，1）•（1，﹣1）=﹣1=﹣．（2）由题意可得函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的周期为=4，△OB3C5为锐角三角形，且△OB4C7为钝角角三角形，即∠OB3C5为锐角，且∠OB4C7为钝角，∴+﹣OC5＞0，且+﹣OC7＜0，即+m2++m2﹣＞0，且+m2++m2﹣＜0，求得＜m＜，即＜m＜．22．已知动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，r＞0．（1）求动点M的轨迹Γ的方程；（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用直接法，求动点M的轨迹Γ的方程；（2）求出0＜r＜，可得得0＜b＜3，求出a的范围，即可求菱形ABCD的面积S的取值范围．【解答】解：（1）设M（x，y），则∵动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，∴=，化简可得x2+y2=r2；（2）∵直线l与Γ无公共点，∴圆心到直线的距离＞r，∴0＜r＜设AB=a，直线CD的方程为y=2x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，∴0＜b＜3，∵=，∴b=3﹣a，∴0＜a＜，∴菱形ABCD的面积S=2=∈（0，）．。
2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则
2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。
福建省厦门市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题
福建省厦门市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，266a a +=，52a =，则3a =（ ） A ．4-B ．1-C ．1D ．42．用1，2，3，4，5可以排成数字不重复的三位数的个数为（ ） A ．35CB ．35AC ．35D ．533．若1()3P A =，2()3P B A =，则()P AB =（ ）A ．19B ．29C ．49D ．794．函数31()f x x x=-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线22y x =上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．在四面体ABCD 中，BC BD ⊥，3πABC ABD ∠=∠=，2BA BD ==，3BC =，则AD 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．12B C D 7．(21)n x y -+展开式中各项系数之和为64，则该展开式中23x y 的系数是（ ）A ．240-B ．60-C ．60D ．2408．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱BC ，1BB ，1DD 的中点，过FG 作平面α，使得1//A E α，则点A 到平面α的距离是（ ）A B C D二、多选题9．已知直线40x y +-=与圆O ：222x y r +=有公共点，则r 可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．对于变量x 和变量y ，经过随机抽样获得成对样本数据(),i i x y ，1i =，2，3，…，10，且 2.2x =，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近.利用最小二乘法求得经验回归方程：ˆ 1.80.04yx =+，分析发现样本数据(4,4.9)对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则（ ）A ．变量x 与变量y 具有正相关关系B ．剔除后，变量x 与变量y 的样本相关系数变小C ．新的经验回归直线经过点(2,3.64)D ．若新的经验回归直线经过点(3,5.9)，则其方程为ˆ20.1yx =- 11．已知函数()e a x f x x x -=+，a ∈R ，则（ ）A ．()f x 在(,1)-∞上单调递增B ．当2a =时，()f x 有且只有一个极值点C ．若()f x 有两个极值点，则2a >D ．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，则123x x +>三、填空题12．已知1F ，2F 分别为双曲线Γ：2213y x -=的左、右焦点，P 为Γ右支上一点，且23PF =，则12PF F △的面积为.13．把5张座位编号为1，2，3，4，5的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有种.（用数字作答）14．某一地区某种疾病的患病率为10%，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.1.该地区现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中恰有1人患该疾病的概率是.四、解答题15．设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21332S a a =+，416a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足11b =，1222log log n nn n b a b a ++=，求{}n b 的前n 项和n T . 16．为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某班级兴趣小组调查了全班50位同学，得到如下数据：(1)完成上述22⨯列联表，根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢篮球运动与性别有关联？(2)该班级要从甲、乙两人中选派1人参加篮球挑战赛.比赛设置5个挑战项目，参赛人员随机抽取3个项目进行挑战.已知甲只能挑战成功其中3个项目，乙每个项目挑战成功的概率均为35，甲、乙两人挑战每个项目成功与否均互不影响.请根据挑战成功次数的期望和方差，分析派谁去参加挑战赛更合适.附：22()n ad bc χ-=，其中n a b c d =+++.17．已知函数2()22ln()f x x ax x b =--+在0x =处的切线方程为y kx =. (1)求b ，k ；(2)若()f x 的极大值为0，求a 的取值范围.18．已知动点M 与定点(2,0)F 的距离和M 到定直线8x =的距离的比是常数12，记M 的轨迹为E . (1)求E 的方程；(2)过原点O 的直线交E 于,A B 两点，过A 作直线AB 的垂线交E 于点T （异于点A ），直线TB 与x 轴，y 轴分别交于点,P Q .设直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k . （ⅰ）证明：12k k 为定值；（ⅱ）求四边形OAPQ 面积的最大值.19．设随机变量X 的概率密度函数为(;)p x θ（当X 为离散型随机变量时，(;)p x θ为X x =的概率），其中θ为未知参数，极大似然法是求未知参数θ的一种方法.在n 次随机试验中，随机变量X 的观测值分别为1x ，2x ，…，n x ，定义()()()12();;;n L p x p x p x θθθθ=L 为似然函数.若ˆθθ=时，()L θ取得最大值，则称ˆθ为参数θ的极大似然估计值. (1)若随机变量X 的分布列为其中01θ<<.在3次随机试验中，X 的观测值分别为1，2，1，求θ的极大似然估计值ˆθ. (2)某鱼池中有鱼(65)m m ≥尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求m 的极大似然估计值ˆm. (3)随机变量X 的概率密度函数为()()22122;x p x σσ--=，0σ>.若1x ，2x ，…，n x 是X 的一组观测值，证明：参数2σ的极大似然估计值为()221ˆ11n i i x n σ==-∑.。
福建省福建师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（ ）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
数列100题
必修5 第二章 数列1.【荆门市2013-2014学年度下学期期末质量检测】如图，一个质点从原点出发，在与x 轴、y 轴平行的方向按（0,0）→（0,1）→（1,1）→（1,0）→（2，0）→（2，1）→（2,2）→（1，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2014秒时，这个质点所处位置的坐标是A ．(10,44)B ．(11,44)C ．(44,10)D ．(44,11)2.【福建省莆田第八中学2013-2014学年高一下学期第二次月考数学试题】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 （ ）A . B. C. =n a ())121n --n （ D . 3.【福建省莆田第八中学2013-2014学年高一下学期第二次月考数学试题】已知是等比数列，，则公比=（ ） A ．B ．C ．2D ． 4.【福建省莆田第八中学2013-2014学年高一下学期第二次月考数学试题】设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．D ．45.【福建省莆田第八中学2013-2014学年高一下学期第二次月考数学试题】在各项均为正数的等比数列}{n b 中，若387=⋅b b ，则1432313log log log b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++等于（）A 5B 6 C7 D 8 6.【福建省莆田第八中学2013-2014学年高一下学期第二次月考数学试题】在数列中，， ，则（ ） A ． B ． C ． D ．7.【福建省莆田第八中学2013-2014学年高一下学期第二次月考数学试题】等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且，则 （ ） 12-=n a n )21()1(n a n n --=)12()1(+-=n a nn {}n a 41252==a a ，q 21-2-21}{n a 2±{}n a 12a =11ln(1)n n a a n+=++n a =2ln n +2(1)ln n n +-2ln n n +1ln n n ++132+=n n T S n n 55b aA B C D 8.【福建省莆田第八中学2013-2014学年高一下学期第二次月考数学试题】已知为公比q ＞1的等比数列，若是方程的两根，则的值是（ ）A 18B 19C 20D 219.【福建省莆田第八中学2013-2014学年高一下学期第二次月考数学试题】已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=（ ） A. B. C. D. 10.【安微省黄山市屯溪一中2013—2014学年第二学期高一期中考试】设等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若58215a a a -=+，则9S 等于（ ）A 、60B 、45C 、36D 、1811.【安微省黄山市屯溪一中2013—2014学年第二学期高一期中考试】各项不为零的等差数列{}n a 中，02211273=+-a a a ，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则=86b b （ ） A 、2 B 、4 C 、8 D 、1612.【安微省黄山市屯溪一中2013—2014学年第二学期高一期中考试】设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若2:1:510=S S ，则=515:S S （ ）A 、3：4B 、2：3C 、1：2D 、1：313.【安微省黄山市屯溪一中2013—2014学年第二学期高一期中考试】设{}()*N n a n ∈是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且87665K K K K K >=<，，则下列结论错误的是（ ）A 、10<<qB 、17=aC 、59K K >D 、6K 与7K 均为n K 的最大值14.【福建省晋江市季延中学2013-2014学年高一年下学期期末考试数学试卷】在正项等比32149312097{}n a 20052006a a 和24830x x -+=20072008a a +{}n a 11,a =n n S *1(,)()n n P a a n N +∈10x y -+=1231111n S S S S ++++(1)2n n +2(1)n n +21n n +2(1)n n +数列{}n a 中，569a a =，则3132310log log log a a a +++= ( ) A 、12 B 、10 C 、8 D 、32log 5+15.【福建省晋江市季延中学2013-2014学年高一年下学期期末考试数学试卷】在等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．6416.【河北省承德市联校2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题】在等差数列{n a }中，已知16102=+a a ，则=+84a a （ ）A ． 12B ． 16C ． 20D ．2417.【河北省承德市联校2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题】数列{n a }中，()n a n n 1-=，则=++1021a a a （ ）.A ． 10B ．﹣10C ． 5D ．﹣518.【河南省安阳一中2013—2014学年高一下学期期末考试】等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．19219.【河南省安阳一中2013—2014学年高一下学期期末考试】在等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ）A ．297B ．144C ．99D ． 6620.【河南省安阳一中2013—2014学年高一下学期期末考试】设各项均为正数的等差数列n a n 的前}{项和为,1,>m S n 若0211=-++-m m m a a a 且m S m 则,3812=-等于 （ ）A ．38B ．20C ．10D ．921.【福建省泉州市泉港区第一中学2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题】.已知数列}{n a 中，21=a ，*11()2n n a a n N +=+∈，则99a 的值为( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．51 22.【福建省泉州市泉港区第一中学2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题】设S n =21+61+121+ … +)1(1+n n ，且431=⋅+n n S S ，则n 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．623.【辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题】 已知等差数列的前项和，若，则（ ）A.72B. 68C. 54D. 9024.【辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题】等比数列中，若、是方程的两根，则的值为( )A.2B.D.25.【辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题】等差数列的前项和，满足，则下列结论中正确的是（ ）A ．是中的最大值B ．是中的最小值C ．300S =D ．600S =26.【辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题】若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”，若正项数列为“调和数列”，且12990b b b +++=，则46b b ×的最大值是（ ） A ．10 B ．100 C ．200 D ．40027.【辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题】已知成等差数列、成等比数列，则的最小的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．428.【上海市金山中学2013—2014学年度第二学期高一年级数学学科期末考试卷】设)(21312111)(*N n nn n n n f ∈+++++++= ，那么=-+)()1(n f n f （ ） A ．121+n B ．221121+-+n n C ．221+n D ．221121+++n n 29.【上海市金山中学2013—2014学年度第二学期高一年级数学学科期末考试卷】无穷等差数列的各项均为整数，首项为、公差为，是其前项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：{}n a n n S 4518a a =-8S ={}n a 2a 6a 221180x x ++=4a 2±2-{}n a n n S 2040S S =30S n S 30S n S {}n a *111(,n nd n N d a a +-=?){}n a 1{}nb 0,0,x y x a b y >>、、、xcd y 、、、2()a b cd+}{n a 1a d n S n①对任意满足条件的，存在，使得99一定是数列中的一项；②对任意满足条件的，存在，使得30一定是数列中的一项；③存在满足条件的数列，使得对任意的*N n ∈，n n S S 42=成立。
2014-2015学年度九年级数学(上)期末质量检测试题
2014-2015学年度（上）期末数学九年级质量检测试题（满分：120分； 时间 90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1、已知135＝a b ，则b a ba ＋－的值是（ ）A 、32B 、23C 、49D 、942、关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a --+-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A 、1或-1. B 、-1 C 、1 D 、123、已知x －1x =3，则4－12x 2+32x 的值为（ ） A 、1 B 、32 C 、52 D 、724、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′在直线y=34x 上，则点B 与其对应点B ′间的距离为（ ） A 、94B 、3C 、4D 、55、如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系是（ ） A 、S 1＞S 2＞S 3 B 、 S 3＞S 2＞S 1C 、S 2＞S 3＞S 1D 、S 1＞S 3＞S 26、如图，在平面直角坐标系中,点A 1,A 2在x 轴上，点B 1,B 2在y 轴 上，其坐标分别为A 1(1，0),A 2(2,0),B 1(0,1)，B 2(0,2)，分别以 A 1，A 2，B 1，B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形 是等腰三角形的概率是（ ）A 、34B 、13C 、23D 、127、在同一时刻，身高1.6m 的小强的影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ，则旗杆高为（A 、16mB 、18mC 、20mD 、22m8、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2则S 1+S2的值为（ ）A 、16 B 、17 C 、18 D 、199、如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 与点D 、F,BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF,则四边形BCDE 的面积是（ ）A 、32B 、33C 、4D 、34第4题图第5题图10、已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k－1=0根的存在情况是（）A、没有实数根B、有两个相等的实数根C、有两个不相等的实数根D、无法确定二、填空题（每小题3分，共24分）11、如图,点D，E分别在AB，AC上且∠ABC=∠AED，若DE=4cm，AE=5cm， BC=8cm，则AB的长为 .12、关于x的方程ax2－(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1+x2－x1·x2=1－a,则a= .13、如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为．14、一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共10000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里大约有鲢鱼 _____尾.15、在平面直角坐标系中，已知A（6,3），B（6,0）两点，以坐标原点为位似中心，位似比为3∶1，把线段AB缩小后得到线段A′B′，则A′B′的长度为 .16、如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形.17、在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足2sin2A⎛-⎝⎭＋tan B|＝0，则∠C＝______.18、已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= .三、解答题（本题共八小题，共66分）19、(本题6分)作出如下图所示的三种视图.G第16题图E第18题图第19题第13题图20、(本题6分)已知()()0622222=-+-+b ab a ,求：22b a +的值。
2014-2015年福建省厦门市高一下学期数学期末试卷及参考答案
2014-2015学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz，点P（1，2，3）关于xOy平面的对称点是（）A．（﹣1，2，3）B．（﹣1，﹣2，3） C．（1，2，﹣3）D．（1，﹣2，﹣3）2．（5分）sin的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）已知，是互相垂直的两个单位向量，若=2﹣，则||等于（）A．1 B．C．3 D．54．（5分）一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的、直角边为1的等腰直角三角形（如图），那么这个几何体的体积为（）A．1 B．C．D．5．（5分）已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面，则以下四个命题正确（）A．若l⊂α，l∥β，则α∥βB．l⊥α，l⊥β，则α∥βC．l⊂α，l⊥β，则α⊥βD．α⊥β，l⊂α，则l⊥β6．（5分）已知直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣3或1 B．1或3 C．﹣1或﹣3 D．﹣1或37．（5分）为了得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，只要把函数y=2sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（）A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°D．BD⊥平面PAC10．（5分）已知点M（3，2），点P在y轴上运动，点Q在圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=4上运动，则||的最小值为（）A．3 B．5 C．2﹣1 D．2+1二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=．12．（4分）如图，两个边长都为1的正方形并排在一起，则tan（α+β）=；13．（4分）已知点A（0，0），B（3，3），C（2，1），则△ABC的面积为．14．（4分）如图，已知圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为．15．（4分）已知x2+y2+x+y+tanθ=0（﹣＜θ＜）表示圆，则θ的取值范围为．16．（4分）已知函数f（x）=tanx﹣sinx，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的序号）①f（x）的周期为π；②f（x）的图象关于点（π，0）对称；③f（x）在（）上单调递增；④f（x）在（﹣，）上有3个零点．三、解答题17．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是B1C1，AD1，D1E的中点．（1）求证：FG∥平面AA1E；（2）求FG与平面A1B1C1D1所成的角的正切值．18．（12分）如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD边所在直线的方程分别是x+4y﹣7=0，3x+2y﹣11=0，且对角线AC和BD的交点为M（2，0）（1）求点A的坐标（2）求CD边所在直线的方程．19．（12分）如图，已知锐角α，钝角β的始边都是x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于点P（，），Q（﹣，）（1）求sin∠POQ；（2）设函数f（x）=2x+sin2x，x∈[0，α]，求f（x）的值域．20．（12分）△ABC是边长为3的等边三角形，=λ（＜λ＜1），过点F作DF⊥BC交AC边于点D，交BA的延长线于点E．（1）当λ=时，设=，=，用向量，表示；（2）当λ为何值时，•取得最大值，并求出最大值．21．（14分）如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．（1）根据图象，求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过4.5，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产，求m的最小值．22．（14分）已知A，B为圆O：x2+y2=4与y轴的交点（A在B上），过点P（0，4）的直线l交圆O于M，N两点．（1）若弦MN的长等于，求直线l的方程；（2）若M，N都不与A，B重合时，是否存在定直线m，使得直线AN与BM的交点恒在直线m上．若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．2014-2015学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz，点P（1，2，3）关于xOy平面的对称点是（）A．（﹣1，2，3）B．（﹣1，﹣2，3） C．（1，2，﹣3）D．（1，﹣2，﹣3）【解答】解：空间直角坐标系中任一点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为P1（a，b，﹣c）；由题意可得：点P（1，2，3）关于xoy平面的对称点的坐标是（1，2，﹣3）．故选：C．2．（5分）sin的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：sin=sin（6π+）=sin=sin（π﹣）=sin=，故选：A．3．（5分）已知，是互相垂直的两个单位向量，若=2﹣，则||等于（）A．1 B．C．3 D．5【解答】解：因为，是互相垂直的两个单位向量，所以=0，又=2﹣，则||2==4﹣0+1=5；所以||=；故选：B．4．（5分）一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的、直角边为1的等腰直角三角形（如图），那么这个几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【解答】解：由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，其高已知为1，底面是长度为1的直角三角形，底面积是=其体积是=故选：D．5．（5分）已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面，则以下四个命题正确（）A．若l⊂α，l∥β，则α∥βB．l⊥α，l⊥β，则α∥βC．l⊂α，l⊥β，则α⊥βD．α⊥β，l⊂α，则l⊥β【解答】解：A、若l⊂α，l∥β，则α∥β或α∩β，故本选项错误；B、若l⊥α，l⊥β，则α∥β或α∩β，故本选项错误；C、若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，故本选项正确；D、若α⊥β，l⊂α，则l∥β或l⊥β，故本选项错误；故选：C．6．（5分）已知直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣3或1 B．1或3 C．﹣1或﹣3 D．﹣1或3【解答】解：∵直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y+1=0互相垂直，∴a（a+2）+1×（﹣3）=0，解得a=﹣3或a=1故选：A．7．（5分）为了得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，只要把函数y=2sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵函数y=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）=2sin2（x﹣），故把函数y=2sin2x的图象向右平移个单位长度，即可得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，故选：D．8．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为，而圆上的所有点到AB中点距离范围为[，]，即[，3]，所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；故选：B．9．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（）A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°D．BD⊥平面PAC【解答】解：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，∴三角形ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，∴AD⊥平面PBM，故A正确，对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确，对于C，∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60°平面PAD⊥平面ABCD，∴BM⊥BC，则∠PBM是二面角P﹣BC﹣A的平面角，设AB=1，则BM=，PM=，在直角三角形PBM中，tan∠PBM=，即∠PBM=45°，故二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，故C正确，故错误的是D，故选：D．10．（5分）已知点M（3，2），点P在y轴上运动，点Q在圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=4上运动，则||的最小值为（）A．3 B．5 C．2﹣1 D．2+1【解答】解：根据圆的参数方程，设Q（1+2cosθ，﹣2+2sinθ），P（0，a），∵M（3，2），∴=（﹣3，a﹣2），=（2cosθ﹣2，2sinθ﹣4），∴=（2cosθ﹣5，2sinθ﹣6+a），∴||2=（2cosθ﹣5）2+（2sinθ﹣6+a）2，几何意义是A（2cosθ﹣5，2sinθ﹣6），与B（0，﹣a）之间距离的平方，显然，动点A在圆（x+5）2+（y+6）2=4上，动点B在y轴上，∴当A（﹣3，﹣6），B（0，﹣6）时，B到A的距离取得最小值3，此时a=6，θ=0，∴||的最小值为3．二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=﹣2．【解答】解：∵向量=（1，2），=（x，﹣4），又∵∥，∴1×（﹣4）﹣2•x=0解得x=﹣2．故答案为：﹣2．12．（4分）如图，两个边长都为1的正方形并排在一起，则tan（α+β）=3；【解答】解：由题意可得tanα=、tanβ=1，α、β都是锐角，∴tan（α+β）===3，故答案为：3．13．（4分）已知点A（0，0），B（3，3），C（2，1），则△ABC的面积为．【解答】解：由已知得到直线AB的方程为x﹣y=0，所以C到直线AB的距离为，AB=3，所以△ABC的面积为；故答案为：14．（4分）如图，已知圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为．【解答】解：把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即BB′的长是蚂蚁爬行的最短路程，∵圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，∴∠S=，∴=，设圆锥SO的底面半径为r，则2πr=，∴r=．故答案为：．15．（4分）已知x2+y2+x+y+tanθ=0（﹣＜θ＜）表示圆，则θ的取值范围为．【解答】解：方程x2+y2+x+y+t anθ=0进行配方，得（x+）2+（y+）2=1﹣tanθ∵x2+y2+x+y+tanθ=0（﹣＜θ＜）表示圆，∴1﹣tanθ＞0，∵﹣＜θ＜，∴θ∈．故答案为：．16．（4分）已知函数f（x）=tanx﹣sinx，下列命题中正确的是②③（写出所有正确命题的序号）①f（x）的周期为π；②f（x）的图象关于点（π，0）对称；③f（x）在（）上单调递增；④f（x）在（﹣，）上有3个零点．【解答】解：①错误．∵f（x+π）=tan（x+π）﹣sin（x+π）=tanx+sinx；f（x+π）=f（x）不恒成立，故f（x）的周期不是π．②正确．∵f（π+x）+f（π﹣x）=tan（π+x）﹣sin（π+x）+tan（π﹣x）﹣sin（π﹣x）=tanx+sinx﹣tanx+sinx=0，故f（x）的图象关于点（π，0）对称．③正确．∵y=tanx在上单调递增，y=sinx在上单调递减，故f（x）=tanx﹣sinx在（）上单调递增．④错误．在同一坐标系中作出函数y=tanx和y=sinx在区间上的图象，由图象探知共有1个交点（或在该区间上解方程tanx﹣sinx=0，得仅有一个根x=0）．故答案为：②③．三、解答题17．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是B1C1，AD1，D1E的中点．（1）求证：FG∥平面AA1E；（2）求FG与平面A1B1C1D1所成的角的正切值．【解答】满分（12分）．（Ⅰ）证明：∵F为AD1的中点，且G为D1E的中点∴FG为△AED1的中位线∴FG∥AE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵FG⊄平面AA1E，AE⊂平面AA1E，∴FG∥平面AA1E﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）解：取A1D1的中点H，连接FH、HG∵FH为△A1D1A的中位线，∴FH∥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又∵平面，∴FH⊥平面﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴∠FGH为直线FG与平面所成的角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）在直角△AB1E1中，A1E==∵GH是△A1ED1的中位线，∴GH==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又∵FH==1，∴在直角△FGH中，tan∠FGH=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）故直线FG与平面所成的角的正切值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（12分）如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD边所在直线的方程分别是x+4y﹣7=0，3x+2y﹣11=0，且对角线AC和BD的交点为M（2，0）（1）求点A的坐标（2）求CD边所在直线的方程．【解答】解：（1）由题意联立直线方程，解方程组可得，∴A（3，1）（2）解法一：A关于M的对称点为C，∴C（1，﹣1），又，∴CD边所在的直线方程为化为一般式可得：x+4y+3=0解法二：A关于M的对称点为C，∴C（1，﹣1），设CD边所在的直线方程为：x+4y+m=0，∴1+4×（﹣1）+m=0，解得m=3，∴CD边所在的直线方程为x+4y+3=0解法三：设P（x，y）为CD边所在的直线上的任一点，P关于点M的对称点为P′（x0，y0），则，解得，又P′在直线AB上，∴（4﹣x）+4（﹣y）﹣7=0∴x+4y+3=019．（12分）如图，已知锐角α，钝角β的始边都是x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于点P（，），Q（﹣，）（1）求sin∠POQ；（2）设函数f（x）=2x+sin2x，x∈[0，α]，求f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵α，β分别是锐角，钝角﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵∴∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴f（x）的值域是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）△ABC是边长为3的等边三角形，=λ（＜λ＜1），过点F作DF⊥BC交AC边于点D，交BA的延长线于点E．（1）当λ=时，设=，=，用向量，表示；（2）当λ为何值时，•取得最大值，并求出最大值．【解答】满分（12分）．解：（Ⅰ）由题意可知：，且，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分），故，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由题意，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）有最大值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（14分）如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．（1）根据图象，求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过4.5，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产，求m的最小值．【解答】（本题满分14分）．解：（1）由图象可得：，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）周期T=12，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴，又∵y=f（t）过点（0，2.5），∴sinφ=1，且0＜φ＜π，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：；同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：；两企业用电负荷量之和；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）依题意，有恒成立，即恒成立，展开有：恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵（其）；∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）整理得到：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）依据余弦函数图象得：，即12k+4≤m≤12+8，取k=0得：4≤m≤8∴m的最小值为4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（14分）已知A，B为圆O：x2+y2=4与y轴的交点（A在B上），过点P（0，4）的直线l交圆O于M，N两点．（1）若弦MN的长等于，求直线l的方程；（2）若M，N都不与A，B重合时，是否存在定直线m，使得直线AN与BM的交点恒在直线m上．若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．【解答】满分（14分）．解：（Ⅰ）①当k不存在时，|MN|=|AB|=4不符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）②当k存在时，设直线l：y=kx+4∵∴圆心O到直线l的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）综上所述，满足题意的直线l方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）根据圆的对称性，点G落在与y轴垂直的直线上令N（﹣2，0），则直线与圆O：x2+y2=4联立得：5x2+16x=12=0，∴，∴，BM：y=﹣3x﹣2所以直线AN：x﹣y+2=0与BM的交点G（﹣1，1），猜想点G落在定直线y=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）下证：得：（1+k2）x2+8kx+12=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）直线AN：，直线BM：消去x得：要证：G落在定直线y=1上，只需证：即证：即证：﹣kx1x2﹣6x1=3kx1x2+6x2即证：4kx1x2+6（x1+x2）=0即证：显然成立．所以直线AN与BM的交点在一条定直线上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）。
福建省福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题(含部分答案)
福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学学科试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．答题前、考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将答题卡交回．第I 卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A. B. 2 C.D. 12. 下列命题一定正确的是（ ）A. 一条直线和一个点确定一个平面B. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行D. 若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点3. 数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，的标准差为（ ）A. 6B. 7C. 12D. 364. 某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（ ）A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）2i z=+i z =l αl α1x 2x 3x n x 2x =24s =131x +231x +331x +31n x +108,9,7,7,8,9,10,9,10,68088.599.5ABC V A B C a b c 2c =π6C =cos B =b =A. B. C. 2 D. 16.甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）A. 5 B. C. D. 7. 如图所示，圆锥底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（ ）A. 圆锥的轴截面为直角三角形B. 圆锥的表面积大于球的表面积的一半C. 圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为πD. 圆锥的体积与球的体积之比为8. 如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A 到平面的距离为（ ）A. 1B.C.D. 2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥的两个事件是（ ）A. “至少有一个黑球”与''都是黑球”B 至少有一个黑球''与“至少有一个红球”C. 恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球”10. 已知，，均为非零向量，则下列结论中正确有（ ）的.的1372729191:41111ABCD A B C D ABCD 1A BC V 1A BC a b cA. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若非零向量，满足，则与的夹角是11. 在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则（ ）A. 直线与是异面直线B. 直线与所成的角是C. 直线平面D. 平面截正方体所得的截面面积为.第II 卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12. 已知平面平面，直线，下列说法正确的是________（填序号）①与内任一直线平行； ②与内无数条直线平行；③与内任一直线不垂直；④与无公共点．13. 已知，，，则________.14. 瑞云塔是福清市古街打卡景点．某同学为了测量瑞云塔ED 的高，他在山下A 处测得塔尖D 的仰角为，再沿AC 方向前进15米到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为，塔底点E 的仰角为，那么瑞云塔高为________米．（答案保留根号形式）的0a b a c ⋅-⋅=r r r r b c= ||||a b > ()()0a b a b +⋅-> ||||a c b c -=- a b= a b ||||||a b a b ==- a a b + 30︒1111ABCD A B C D -M N ，111,C D C C BN 1MB MN AC 3πMN ⊥ADNBMN 98//αβm α⊂m βm βm βm β60ABC ∠=︒2AB =BC =AB BC ⋅= 45︒60︒30︒四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知O 为坐标原点，向量，，，若A 、B 、C 三点共线，且，求实数的值．16. 正方体中，，分别是，中点.（1）求异面直线与所成角；（2）求证：平面17. 某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在名读书者中年龄分布在的人数；（2）求名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄恰有1人在的概率．18. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，．的(,2)OA m =- (1,)OB n = (1,5)OC =- 2m n =,m n 1111ABCD A B C D -M N 1BC 1CD 1CD 1BC //MN ABCD406[)[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,8040[)30,6040[)20,40[)20,30ABC V sin 0A A =a =1b =（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且，求的面积．19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，．（1）证明：平面平面；（2）若，且与平面的夹角为（i ）证明；（ii ）求二面角的正弦值．AD AC ⊥ACD V P ABCD -2PB PD =PBD ⊥PAC 1PA =PA ABCD π4π4PAC ∠=P BC A --福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学学科试卷答案第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ABD第II卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．【12题答案】【答案】②④【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】或．【16题答案】【答案】（1）（2）证明略【17题答案】【答案】（1）24（2）平均数54，中位数为55． （3）．【18题答案】【答案】（1）（2【19题答案】【答案】（1）证明略（2）（i ）证明略；（ii 15+63m n =⎧⎨=⎩332m n =⎧⎪⎨=⎪⎩60︒8152c =。
2021-2022学年福建省厦门市高一下学期质量检测(期末)数学试题【含答案】
2021-2022学年福建省厦门市高一下学期质量检测（期末）数学试题一、单选题1．已知（i 是虚数单位），则(1)i z i +=||z =A ．BCD ．212B【分析】利用复数除法运算求得，再求.z z【详解】依题意，所以()()()11111122i i i z i i i i -===+++-z ==故选：B.本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.2．厦门中学生助手有男志愿者120人，女志愿者180人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本.如果样本按比例分配，那么男志愿者应抽取的人数是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40B【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可.【详解】依题意得，厦门中学生助手一共有人，120180300+=其中男志愿者所占比例为：，12023005=则抽取一个容量为50的样本中，男志愿者应抽取的人数为.250205⨯=故选：B.3．已知，，，则（ ）()0.5P A =()0.3P B =()0.2P AB =()P A B =A ．0.5B ．0.6C ．0.8D ．1B【分析】依题意根据计算可得；()()()()P A B P A P B P AB =+- 【详解】解：因为，，()0.5P A =()0.3P B =()0.2P AB =则，所以事件与事件不相互独立，()()()P AB P A P B ≠A B ．()()()()0.50.30.20.6P A B P A P B P AB ∴=+-=+-=故选：B4．下列正确的是（）A．过球面上两点与球心有且只有一个平面B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C【分析】根据棱台、圆台的定义判断B、D，根据公理3的推论判断A，根据正棱锥的定义判断C；【详解】解：对于A：当球面上的两点恰好是直径的两个端点时这三点共线，此时过这三点有无数个平面，故A错误；对于B：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故B错误；对于C：根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥；故C正确．对于D：两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，侧棱延长不一定会相交，所以不一定是棱台，故D错误；故选：C5．正四面体A-BCD中，M为棱AD的中点，则直线AB与CM所成角的余弦值为（）A B C DA【分析】通过平移，把异面直线夹角问题转化为共面直线夹角问题，再解三角形.【详解】设正四面体的ABCD 的棱长为2，取AD 中点N ，连结MN ，CN ，则MN //AB ，且MN =AB =1，既是异面直线AB 和CM12CMN ∠所成角（或所成角的补角），CM =CN =sin 60CD在等腰中，=MNC cos ∠CMN 12MNCM==所以异面直线AB 与CM .故B ，C ，D 错误.故选：A.6．在△ABC 中，点D 在边BC 上，M 是AD 的中点，若，(,)BM AB AC R λμλμ=+∈ 则λ+μ=（ ）A ．B ．-2C ．D ．212-12A【分析】根据平面向量基本定理，将 和 作为基底即可.ABAC 【详解】依题意作上图，设 ，BD mBC =()1122BM BD DM mBC AD mBC AB BD=+=-=-+ ()11222m mBC AB mBC BC AB=-+=-，()112222m m m AC AB AB AB AC +⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭∴；11,,222m m λμλμ+=-=+=-故选：A.7．抛掷-枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则（ ）A ．甲乙互斥B ．乙丙互为对立C ．甲乙相互独立D ．甲丙相互独立D【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率，再利用互斥事件、对立事件以及事件的独立性定义判断各选项的正误即可.()()()P AB P A P B =【详解】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：，则；()()()()()()212223242526,，,，,，,，,，,161366P ==乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5” 包含的基本事件有：，则；()()()()1,4,2,3,3,2,4,1241369P ==丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7” 包含的基本事件有：，则；()()()()()()1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1361366P ==对于A ，甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A 错误；对于B ，除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B 错误；对于C ，甲乙同时发生的概率为，C 错误；412136P PP =≠对于D ，甲丙同时发生的概率为，D 正确.513136P PP ==故选：D.8．记的内角，，所对的边分别为，，，若，，ABC A B C a b c 1c =cos 2sin a B C =，则外接圆的半径为（ ）1cos sin 8A B =ABC A ．B ．C ．D ．1234B【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换化简可得，再结合正sin C 弦定理可得外接圆半径.【详解】由，则，1c =cos 2sin 2sin a B C c C ==由正弦定理得，2sin cos 2sin A B C =所以，即，21sin cos cos sin 2sin 8A B A B C +=+21sin 2sin 8C C =+解得，1sin 4C =所以，，1241sin 4c R C ===2R =故选：B.9．已知复数，是方程的两根，则（ ）1z 2z 210x x ++=A ．B ．121z z +=121z z ==C ．D ．212z z =111R z z +∈B【分析】解方程可得与，进而判断各选项.1z 2z 【详解】由，210x x++=得，，112z =-212z =-故，A 选项错误；121z z +=-，，B选项正确；11z ==21z ==，C选项错误；221211312442z z ⎛⎫=-+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，D选项错误；11112z z +=-=故选：B.二、多选题10．我省高考采用“3+1 +2”模式，语文、数学、外语是必选科目，物理和历史必选一科，化学、生物、思想政治、地理四个科目选择两科.现统计甲、乙两名学生高一年六个科目的学年成绩如图所示，则（ ）A ．甲六科学年成绩比乙均衡B ．甲、乙六科学年成绩均在70分以上C ．从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组D ．甲、乙六科学年成绩超过90分的科目数量相同ACD【分析】根据两学生六科成绩直接可判断各选项.【详解】由图可知，甲同学六科学年成绩比乙均衡，A 选项正确；甲同学六科成绩均在70分以上，乙的物理成绩在70分以下，B 选项错误；乙同学的历史成绩高于物理成绩，所以，从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组，C 选项正确；甲同学的物理与化学成绩超过90分，乙同学历史与思想政治成绩超过90分，所以两人超过90分的科目数量相同，D 选项正确；故选：ACD.11．若，，则（ ）()2,0a =(b =A ．B ．2a b ⋅= a b a b+=- C ．与的夹角为D ．在方向上的投影向量为a b6πb a 12aAD【分析】根据数量积的坐标表示及向量模的坐标表示判断A 、B 、C ，再根据投影向量的定义计算判断D ；【详解】解：因为，，所以，，()2,0a =(b =1202a b ⨯⋅=+= 2a =，2=所以，，则(a b +=(1,a b -=a += ，故A 正确，B 错误；2a =- 设与的夹角为，则，因为，所以，故C 错a b θ21cos 222a b a b θ⋅===⨯⋅[]0,θπ∈3πθ=误；在方向上的投影向量为，故D 正确；b a1211222ab a a aa a⋅⋅⋅=⨯=故选：AD12．如图，圆台O 2O 2中，母线AB 与下底面所成的角为60°，BC 为上底面直径，O 2A =6O 1B =6，则（ ）A ．圆台的母线长为10B ．圆台的侧面积为70πC ．由点A 出发沿侧面到达点C 的最短距离是D ．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4ABD【分析】对A ，根据轴截面分析即可；对B ，根据圆台的侧面积公式求解即可；对C ，将圆台侧面展开，再计算即可；AC 对D ，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可【详解】对A ，母线长为，故A 正确；2110cos 60AO BO -=对B ，由A 母线长为10，则根据圆台的侧面积公式，故B 正()101670S ππ=⨯⨯+=确；对C ，由题意，侧面全展开的圆心角为22ππ==线段有小部分不在扇环上，故由点A 出发沿侧面到达点C 的最短距离大于AC 故C 错误；对D ，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，故圆台中能放下，直径为=，故D 正确；4=故选：ABD 三、填空题13．若复数是纯虚数，则实数m =____.()()22563iz m m m m =-++-2【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0计算即可【详解】由题意，，解得 2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩2m =故2.14．记锐角的内角，，的对边分别为，，，且ABC A B C a b c ，若，是的两条高，则的取值范222sin sin cos sin cos B C B C A +=+BE CF ABC BECF 围是______.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据正弦定理进行边角互化，可得角，再根据高线的性质可得，再A BE cCF b =利用边角互化，结合三角函数值域可得范围.【详解】由，得，222sin sin cos sin cos B C B C A +=+222sin sin sin sin sin B C B C A -=-再由正弦定理得，故，222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==所以，3Aπ=故，sin sin sin 113sin sin sin 22B BE c A c C CF b A b BB π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=====+=又为锐角三角形，ABC 故，即，02032B B ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩62B ππ<<，tan B ⎫∈+∞⎪⎪⎭故，11,222BE CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭15．某电池厂有A ，B 两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：项目抽取成品数样本均值样本方差A 生产线产品82104B 生产线产品122004则20个产品组成的总样本的方差为_____.28【分析】利用均值公式计算出总样本的均值，再利用方差的公式：，22211n i i S x xn ==-∑求出，进一步求出总样本的方差即可.21nii x=∑【详解】依题意得，，，82221121048Ai i S x ==-=∑1222211200412B i i S x ==-=∑解得：，，()822184210ii x==⨯+∑()12221124200ii x==⨯+∑又，8128210122002042020A B x x x +⨯+⨯===()()20812222221112221120420201842101242002042028.i i i i i i S x x x x ===⎛⎫∴=-=⨯+- ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯⨯++⨯+-⎣⎦=∑∑∑20个产品组成的总样本的方差为28.∴故答案为.28四、双空题16．从直线a ，b 和平面这三个空间元素中取两个，若已知它们与第三个元素有平行β或垂直关系，则所取的两个元素也有平行或垂直关系.写出一个满足题意的真命题：若_____，则_____ ,a b ββ⊥⊥//a b【分析】结合线面位置关系的判定定理和性质定理，合理判定和构造满足题意即可.【详解】对于直线a ，b 和平面这三个空间元素中取两个，则有：β若，则；,a b ββ⊥⊥//a b 若，，则；//a b a β⊥b β⊥若，，则.//a b b β⊥a β⊥（答案不唯一，写出一个即可）故若，则；,a b ββ⊥⊥//a b 五、解答题17．已知是两个单位向量，，且.12,e e 1122,6AB e AC e e ==-- ||BC = (1)求的夹角；12,e e(2)若D 为线段BC 上一点，DC =2BD ，求证：AD ⊥AB .(1)3π(2)证明见解析【分析】（1）利用表示出，再结合即可求出答案.12,e eBC（2）利用表示出，则可计算出.则可说明AD ⊥AB.12,e e AD0AD AB ⋅= 【详解】(1)因为.1122,6AB e AC e e ==--所以.1236BC AC AB =-=--e e则||BC == 解得：121cos ,2=e e 所以的夹角12,e e 12,3e e π= (2);()1121223621133AD AB BD AB BC =+---=+=+= e e e e e .()1211224022AD AB -⋅⋅=-⨯= e e e =所以AD ⊥AB.18．如图，棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过E 作平面，使得//平面BDF .αα(1)作出截正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1所得的截面，写出作图过程并说明理由；α(2)求平面与平面的距离.αBDF (1)答案见解析【分析】（1）根据平面与平面平行的性质可得经过，可得截面；α11,,E B D （2）转化为点线距，利用等体积法可求结果.【详解】(1)连接，由正方体性质可得，；1111,,B D EB ED 11//BD B D 1//BF ED 又，所以平面平面；BF BD B ⋂=11//EB D BDF 因为//平面，且，所以平面与平面重合，即平面就是截αBDF E α∈11EB D α11EB D α正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1所得的截面.(2)由（1）可知平面与平面的距离等于点到平面的距离；αBDF 1B BDF设点到平面的距离为，由题意可得的1B BDF d BD BF DF ===BDF；的面积为；1BB F 2由可得，解得11B BDFD BB FV V --=111233BDF BB F S d S ⋅=⨯△△d =所以平面与平面αBDF 19．防洪是修建水坝的重要目的之一. 现查阅一条河流在某个水文站50年的年最大洪峰流量（单位：100 m 3·s -1）的记录，统计得到如下部分频率分布直方图：记年最大洪峰流量大于某个数的概率为p ，则年最大洪峰流量不大于这个数的概率为1-p .定义重现期（单位：年）为概率的倒数.规定：当p <50%时，用p 报告洪水，即洪水的重现期；当p >50%时，用1 -p 报告枯水，即枯水的重现期.如1T p =1.1T p =-，则报告洪水，重现期T =100（年），通俗的说法就是“百年一遇".1100p =(1)补齐频率分布直方图（用阴影表示） ，并估计该河流年最大洪峰流量的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表） ；x (2)现拟在该水文站修建水坝，要求其能抵挡五十年一遇的洪水.用频率估计概率，求它能承受的最大洪峰流量（单位：100 m 3·s -1）的最小值的估计值.(1)频率分布直方图见解析，34.6x =(2)55【分析】（1）设的频率为，根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和[)40,50x 为得到方程，即可求出，从而求出组的纵轴，即可得到频率分布直方图；1x [)40,50（2）依题意根据百分位数计算规则计算可得；【详解】(1)解：设的频率为，则，解[)40,50x ()0.0080.020.0440.004101x +++⨯+=得，所以组的纵轴为，0.24x =[)40,50100.024x ÷=所以频率分布直方图如下所示：所以该河流年最大洪峰流量的平均值；()0.00815+0.0225+0.04435+0.02445+0.004551034.6x =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(2)解：依题意可得，即，150p =1110.9850p -=-=设最大洪峰流量估计值为，，y ()()0.008+0.02+0.044+0.02410500.0040.98y ⨯+-⨯=解得，55y =所以它能承受的最大洪峰流量（单位：100 m 3·s -1）的最小值的估计值为；5520．如图，三棱台中，.111ABC A B C -111111,2,BC CC AB BC CA B C CC C ⊥====(1)求证：；1AB BC ⊥(2)若二面角的平面角为60°，求直线AC 1与平面BCC 1B ，所成角的正弦值.1C BC A --(1)证明见解析(2)34【分析】（1）先证明为矩形，进而根据线面垂直的判定证明平面即11DCC B BD ⊥1B AD 可；（2）取中点，连接，根据线面垂直的性质可得二面角的平1B D E 1,AE EC 1C BC A --面角即为，设，根据勾股定理得，根据余弦定理可得160ADB ∠= 112B C =1C E =，再根据线面垂直的性质与判定证明平面，进而求解即3AE =AE ⊥11BCC B 1sin AC E ∠可【详解】(1)取中点，连接.因为，则，又BC D 1,AD B D 1122BC B C ==11DC B C =，且，故为矩形，故.又，故1BC CC ⊥11DC B C ∥11DCC B 1B D BD ⊥AB BC CA ==，又平面，故平面，又平面，故AD BD ⊥1,B D AD ⊂1B AD BD ⊥1B AD 1AB ⊂1B AD 1AB BC⊥(2)由（1）因为平面，故二面角的平面角即为.取BD ⊥1B AD 1C BC A --160ADB ∠=中点，连接.设，则，1B D E 1,AE EC 112B C =2BD DC ==1112CC B C ==,1B E ED ==1C E ==AD =.故，所以，又3AE ==222AE ED AD +=AE ED ⊥平面，故，又，故平面，故AE ⊂1ADB BD AE ⊥BD ED D = ,BD ED ⊂11BCC B 平面，故直线AC 1与平面BCC 1B ，所成角的为.故AE ⊥11BCC B 1EAC ∠，即直线AC 1与平面BCC 1B ，所成角的正弦值为113sin 4AE AC E AC ∠===3421．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A 类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？(1)；35(2)小明更容易晋级复赛.【分析】（1）对A 类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编,,,,a b c d e 号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；a b c d ,,,（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或4030第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮40600答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳60060和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.【详解】(1)对A 类的5个问题进行编号：，第一轮从A 类的5个问题中任选,,,,a b c d e 两题作答，则有共种，()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 10设小明只能答对4个问题的编号为：，a b c d ,,,则小明在第一轮得40分，有共种，()()()()()(){},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 6则小明在第一轮得40分的概率为：；63105=(2)由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，35则小明在第一轮得0分的概率为：，32155-=依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，∴4030小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；()()10.50.50.510.510.50.50.125P =⨯⨯⨯-+-⨯=⎡⎤⎣⎦；()230.40.60.60.40.2885P =⨯⨯+⨯=当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，4060小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；30.50.50.50.50.0625P =⨯⨯⨯=430.40.40.0965P =⨯⨯=当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，060小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；()()50.510.510.50.50.50.50.125P ⎡⎤=⨯-+-⨯⨯⨯=⎣⎦620.40.40.0645P =⨯⨯=当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，060小芳晋级复赛的概率分别为：；()()710.510.50.50.50.0625P ⎡⎤=-⨯-⨯⨯=⎣⎦小芳晋级复赛的概率为：；∴13570.1250.06250.1250.06250.375PP P P +++=+++=小明晋级复赛的概率为：；2460.2880.0960.0640.448P P P ++=++=，0.4480.375> 小明更容易晋级复赛.∴22．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，.cos sin 0a C C b c +--=b =(1)若c ；a =(2)点A ，B ，C 分别在等边△DEF 的边DE ，EF ，FD 上（不含端点）.若△DEF 面积的最大值为c .(1)6c =(2)c =【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，再利用余弦定理可求出，A c （2）由三角形面积的最大值求出的最大值，设，则DE ACD BAE α∠=∠=，然后分别在和中利用余弦定理表示出，从而120ABE α∠=︒-ACD △ABE △,AD AE 可表示，化简后利用三角函数的性质可求出其最大值，从而列方程可求出DE c【详解】(1)因为，cos sin 0a C C b c --=所以由正弦定理得，sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=因为，()B A C π=-+所以,sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C -+-=，sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C +---=，sin cos sin sin 0A C A C C --=因为，sin 0C ≠，cos 1A A -=，11cos 22A A -=，1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭因为，5,666A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，，66A ππ-=3A π=因为a =b =所以由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，，2213c =+-23180c c --=，得（舍去），或(3)(6)0c c +-=3c =-6c =(2)由（1）可知，3A π=b =由于△DEF 面积的最大值为2DE =DE =所以的最大值为DE 因为，所以，60CAB ∠=︒120DAC BAE ∠+∠=︒因为，所以，120DAC ACD ∠+∠=︒ACD BAE ∠=∠设，则，ACD BAE α∠=∠=120ABE α∠=︒-在中，由正弦定理得ACD △sin sin AC ADD ACD=∠，得，sin AD α=sin AD α=在中，由正弦定理得，ABE △sin sin AB AEE ABE =∠所以，得，sin 60sin(120)c AE α=︒︒-sin(120)sin 60c AE α=⋅︒-︒所以sin(120)sin 60cDE AD AE αα=+=+︒-︒1sin(120)]sin 60c αα=+︒-︒1sin120cos cos120sin )sin 60c c ααα=+︒-︒︒11)sin cos]sin602cαα=︒，其中，1)sin60αθ=+︒tanθ=所以当时，取得最大值，sin()1αθ+=DE所以，1sin60=︒=所以，即，2321c+=2180c+-=所以，(0c c-+=解得或，c=c=-关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，第（2）问解题的关键是分别在和中利用余弦定理表示出，ACD△ABE△,AD AE从而可得，化简后利用三角函数的性sin(120)sin60cDE AD AEαα=+=+︒-︒质可求得其最大值，考查计算能力，属于较难题。
厦门市2012~2013学年高一下学期期末质量检测数学试卷及答案
厦门市2012~2013学年高一下学期期末质量检测数学试卷及答案满分150分考试时间120分钟参考公式：S圆柱侧2 rl S圆锥侧rl S圆台侧(r r )l S球表4 R2114V柱体Sh V锥体Sh V台体h(S SS S ) V球R3333第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．1．已知x 2 ,cosx 1，则sinx （）2A．11 B．C．D．22222．过点(3, 1)且与直线平行的直线方程是（）A．x 2y 5 0 B．x 2y 5 0 C．2x y 5 0 D．x 2y 1 0 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm333334．已知(2,1), ( 1, 3)，则| |等于（）A．5 B．C．5 D．255．对于a R，直线(x y 1) a(x 1) 0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（）A．x y 2x 4y 0 B．x y 2x 4y 0 C．x y 2x 4y 0 D．x y 2x 4y 0 6．设A为ABC的一个内角且sin(AA．222222221正视图侧视图俯视图6) cosA，则A （）6B．4C．3D．27．已知函数f(x) sin(2x4)，则下列命题正确的是（）A．函数y f(x)的图象关于点( C．函数y f(x 4,0)对称B．函数y f(x)在区间(2,0)上是增函数8)是偶函数D．将函数y sin2x的图像向左平移4个单位得到函数y f(x)的图象8．已知圆O:x2 y2 9，直线l与圆O交于M,N两点，且|MN| 4，则（）A．2 B．3 C．4 D．89．设m,n是不同的直线，, , 是不同的平面，有以下四个命题：①// m m//② ③ ④ // m m n m//n// m n// n其中错误的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④10．若圆x y ax by c 0与圆x y 1关于直线y 2x 1对称，则a b （）A．1 B．2221212 C．1 D．55第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．已知圆锥的母线长尾5，底面圆的半径为3，则此圆锥的体积为（结果保留）12．已知cos(x2)1，则cos2x 22213．直线l:y x与圆x y 2x 4y 0相交于A,B两点，则|AB| 14．已知sinx 2cosx，则1x1 tan21x1 tan2215．若圆O1:x y 5与圆O2:(x m) y 20(m R)相交于A,B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是16．已知a,b,c分别是ABC的角A,B,C所对的边且a 5,b 12,c 13，点I是ABC的内心，若22AI ，则三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分12分）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是正方形，EA 底面ABCD,FD//EA，且EA 2FD．E（Ⅰ）求证：CB 平面ABE；（Ⅱ）连接AC,BD交于点O，取EC中点G，证明：FG//平面ABCD．FGOBDC18．（本小题满分12分）已知函数f(x) 23sinx cosx 2cos2x 1．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若sin cos19．（本小题满分12分）已知动圆C的经过点A(2, 3)和B( 2, 5)．（Ⅰ）当圆C面积最小时，求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C圆心在直线3x y 5 0上，求圆C的方程．20．（本小题满分12分）设a (x1,y1),b (x2,y2)，定义一种运算：a b (x1x2,y1y2)．已知15，求f( )的值．21281 1(,2), (,1), (, )．242（Ⅰ）证明：( ) ；（Ⅱ）点P(x0,y0)在函数g(x) sinx的图象上运动，点Q(x,y)在函数y f(x)的图象上运动，且满足，求函数f(x)的单调递减区间．（其中O为坐标原点）21．（本小题满分14分）如图，设计一个小型正四棱锥形冷水塔，其中顶点P在底面的摄影为正方形ABCD的中心O，返水口E为BC的中点，冷水塔的四条钢梁（侧棱）设计长度均为10米．冷水塔的侧面选用钢板，基于安全与冷凝速度的考量，要求钢梁（侧棱）与地面的夹角落在区间[符合施工要求？,]内，如何设计可使得侧面钢板用料最省且63PCOEBA22．（本小题满分14分）如图，已知P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，xOP轴于N．（Ⅰ）比较|OM|与3，作PM x轴于M，PN y6的大小，并说明理由；（Ⅱ）AOB的两边交矩形OMPN的边于A,B两点，且AOB 4，求OA OB的取值范围．厦门市2022年-2022年学年（下）高一质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1-5：BAACB 6-10：CCDDB二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.12 12.126 13. 14. 2 15 4 16. 25三、解答题：本大题共6小题，共76分．17．（本题满分12分）证明：（Ⅰ）EA 底面ABCD ，且BC 面ABCD，∴EA BC．--------------------------------------------2分正方形ABCD 中，AB BC，---------------------3分EA AB A，CB 平面ABE. -----------------------------------------5分（Ⅱ ）连接线段OG．在三角形AEC中，中位线OG//AE，且AE 2OG------------------------7分已知EA 2FD，OG//DF且OG DF，-------------------------------------------------------9分即平面四边形DOGF为平行四边形，----------------------------------------------------------------------10分FG//OD,又FG ABCD,OD ABCD，-------------------------------------------------------11分FG//面ABCD. --------------------------------------------------------------------------------------------12分18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）f(x) x cosx 2cos2x 12x cos2x---------------------------------2分2sin(2x6) ---------------------------------------------------------------------------------4分2-----------------------------------------------------------------------6分2113（Ⅱ）sin cos ，sin2 1 -------------------------------------------------------9分2445 3f( ) 2sin(2 ) 2sin2 -----------------------------------------------------------12分122f(x)的最小正周期为T19．（本题满分12分）解：（Ⅰ）要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，----------------------------------------------------2分圆心C 0, 4 ,半径r1AB -----------------------------------------------------------------------4分222所以所求圆C的方程为：x y 4 5. --------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）法一：因为kAB1，AB中点为0, 4 ，2所以AB中垂线方程为y 4 2x，即2x y 4 0 --------------------------------------------8分解方程组2x y 4 0 x 1得：，所以圆心C为( 1, 2)．-------------------------------10分3x y 5 0 y 2根据两点间的距离公式，得半径r ------------------------------------------------------------11分因此，所求的圆C的方程为(x 1)2 (y 2)2 10. ------------------------------------------------12分法二：设所求圆C的方程为(x a)2 (yb)2 r2，根据已知条件得(2 a)2 ( 3 b)2 r2222( 2 a) ( 5 b) r -------------------------------------------------------------------------------6分3a b 5 0a 1b 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------11分r2 10所以所求圆C的方程为(x 1)2 (y 2)2 10 . ---------------------------------------------------12分20．（本题满分12分）8 1 4 1解：（Ⅰ）p (,2)，m (,1)，依题意得p m (,2)，又n (, )，2 42 4 1∴(p m) n 2 ( ) 0，------------------------------------------------------------------2分42∴(p m) n．---------------------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ ）OP (x0,sinx0)，OQ (x,y)，1 1由OQ m OP n得(x,y) (x0 ,sinx0 )，-----------------------------------------6分2421 x x 0 24即，----------------------------------------------------------------------------------------7分y sinx 12111消去x0，得y sin(2x ) cos2x ，即f(x) cos2x ------------------10分2222令2k 2x 2k (k Z)得k x k (k Z)------------------------------------11分2函数f(x)的单调递减区间是[k ,k ](k Z) ------------------------------------------12分221. （本题满分14分）解：依题意，钢梁（侧棱）与底面的夹角PBO ．∴OP 10sin，--------------------------------------------------2分则OE，BC ------------4分在RT POE中，PE---6分∴S侧面4A1PE BC 200cos分2------------------------------------------10分1又, ，则sin ----------------------------11分2 63时，S侧面取最小值是-----------------------13分1此时相应cos，ABOP AB OP 米2当且仅当sin时，侧面钢板用料最省- -----------------------------------------------------------------------14分22．（本题满分14分）解：（Ⅰ）法一：记C(0,1)，连接PC，则PC236-------------------------------------------2分依题意OM PN cos60 PC PC------------------------------------------------------------3分OM6- ----------------------------------------------------------------------------------------------4分法二：∵ xOP 显然3即则OM3，∴OM |OP|cos313，------------------------------------------2分26 3，-----------------------------------------------------------------------------------------3分66 ．-------------------------------------------------------------------------------------------------4分6（Ⅱ）设∠AOx ，[0,1]，P(, 422记f( ) OA OB1111⑴当[0,]时，A(,tan ),B(,tan( ))-----------5分__-__ 11f( ) OA OB tan tan( )-----------------------6分44411 tan 11 tan2(1 tan ) 41 tan 41 tan114cos (cos sin )1111 24cos cos sin 21 cos2sin212(1 )4⑵当(-------------------------8分11,]时，A(,tan ),B---------------9分__tan( )41f( ) OA OB tan )-------------------------------10分tan( )41 tan 1 tan2tan ) 1 tan 1tan11cos (cos sin )1 cos2sin21----------------------------------------------------------------------12分1 )4综上，f( ) OA OB f( )在[0,1121 )411 )4( [0,12])( (,])124]增函数，在(,]是减函数，在(,]是增函数，---------13分__-__1 1 ,f() f()f(0) ,f()__-__1 f( ) OA OB [-----------------------------------------------------------------------------14分。
2014—2015学年度第一学期期末学业质量评估九年级数学试题(含答案)
九年级数学试题注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷2页，为选择题，共36分.第Ⅱ卷2页，为非选择题，共84分.全卷满分120分，考试时间120分钟．2．答卷前，务必将答题卡上面的项目填涂清楚.所有答案都必须涂、写在答题卡相应的位置，答在本试卷上一律无效．第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记零分.）1. 下列说法中正确的是（）A. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B. 圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；C. 弦的垂直平分线过圆心；D. 相等的圆心角所对的弧也相等．2. 如图，A、B、P是⊙O上的三点，∠APB=40°，则弧AB的度数为（）A.50°B.80°C.280°D.80°或280°3. 如图，在直径为AB的半圆O上有一动点P从O点出发，以相同的速度沿O－A－B－O的路线运动，线段OP的长度d与运动时间t之间的函数关系用图象描述大致是（）4. 下列命题中的假命题是（）A. 正方形的半径等于正方形的边心距的2倍；B. 三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心；C. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不小于60°”时，第一步应该“假设每一个内角都小于60°”；D. 过三点能且只能作一个圆．5. 如图，⊙O的半径是4，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=6，∠APO=30°，则弦AB的长为（）A ．27B ．7C ．5D ．526. 如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC =∠A ，BC =3，AC =6，则CD 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．23 D ．25 7. 下列方程中：①x 2－2x －1=0, ②2x 2－7x +2=0, ③x 2－x +1=0 两根互为倒数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 一次函数y 1=3x +3与y 2=－2x +8在同一直角坐标系内的交点坐标 为（1，6）．则当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A. x ≥1B. x =1C. x ＜1D. x ＞1 9. 在△ABC 中，若()21cosA 1tanB 02-+-=，则∠C 的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°10. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为（ ） A ．1603m B ．803 m C ．()12031- m D ．()12031+m11. 已知反比例函数y =xk的图像经过点P （－1,2），则这个函数图像位于（ ） A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 12. 已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＜0；②b ＞a +c ；③2a －b =0；④b 2－4ac ＜0．其中正确的结论个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，要求将每小题的最后结果填写在横线上. 每小题3分，满分18分） 13. 已知一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1=2,x 2=-3，则二次三项式ax 2+bx +c 可分解因式为 .14. ⊙O 的半径为10cm ，AB ,CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB =16cm ,CD =12cm .则AB 与CD 之间的距离是 cm .15. 如图所示，△ABC 中，E 、F 、D 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且满足12AE AF EB FC ==，则△EFD 与△ABC 的面积比为 ．16. 如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线MN 截△ABC交AC 于点N ，使截得的△CMN 与△ABC 相似. 已知AB =6，AC =8，CM =4，则CN = .17. 一个足球从地面上被踢出，它距地面高度y （米）可以用二次函数x x y 6.199.42+-=刻画，其中x （秒）表示足球被踢出后经过的时间. 则足球被踢出后到离开地面达到最高点所用的时间是 秒. 18. 在△ABC 中，AB =AC =5，tanB =34．若⊙O 的半径为10，且⊙O 经过点B 、C ，那么线段OA 的长等于 .三、解答题（本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 共66分） 19. （本题满分10分）市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售.（1）求平均每次下调的百分率.（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？如图，晚上小明站在路灯P的底下观察自己的影子时发现，当他站在F点的位置时，在地面上的影子为BF，小明向前走2米到D点时，在地面上的影子为AD，若AB=4米，∠PBF=60°，∠PAB=30°，通过计算，求出小明的身高．（结果保留根号）．21. （本题满分11分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD.（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）已知AC=6，求阴影部分的面积.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE =∠B .（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB =8，AD =63，AF =43，求sinB 的值．23. （本题满分12分）已知关于x 的一元二次方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=. （1）试说明：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程的两个实数根，第三边BC 的长为5. 当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.AB是⊙O的直径，AD与⊙O相交，点C是⊙O上一点，经过点C的直线交AD于点E.⑴如图1 ，若AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，求证：CE是⊙O的切线；⑵如图2，若CE是⊙O的切线，CE⊥AD于点E，AC是∠BAD的平分线吗？说明理由；⑶如图3，若CE是⊙O的切线，AC平分∠BAD，AB=8，AC=6，求AE的长度.试题答案及评分标准一、选择题（每小题选对得3分，满分36分. 多选、不选、错选均记零分.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBBDACBDCADB二、填空题（每小题3分，满分18分）13. a (x -2)(x +3) 14. 214或 15. 2:9 16. 1655或17.2 18. 3或5 三、解答题（本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.共66分） 19. （本题满分10分）解：解：（1）设平均每次下调的百分率为x ， 则6000（1-x ）2=4860， 解得：x 1=0.1=10%, x 2=1.9(舍).故平均每周下调的百分率为10%.……………………6分 （2）方案1优惠：4860×100×（1-0.98）=9720（元）； 方案2可优惠：80×100=8000（元）. 故方案1优惠.…………………………10分20. （本题满分10分）解：设小明的身高为x 米，则CD =EF =x 米． 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，tan ∠CAD =ADCD，即tan 30°=x /AD ，AD =3x --2分 在Rt △BEF 中，∠BFE =90°，tan ∠EBF =EF /BF ，即tan 60°=x /BF ，BF =x 33---4分 由题意得DF =2，∴BD =DF -BF =2-x 33，∵AB =AD +BD =4，∴3x +2-x 33=4 --8分即x =3．答：小明的身高为3米．------------------------------------------------------------------------10分 21. （本题满分11分）⑴证明：∵∠BAD =120°，AB =AD ∴∠ABD =∠ADB =30° ∴弧AB 和弧AD 的度数都等于60°又 ∵BC 是直径 ∴弧CD 的度数也是60° ------------------ --------------2分 ∴AB =CD 且∠CAD =∠ACB =30° ∴BC ∥AD∴四边形ABCD 是等腰梯形. --------------------------------------------------5分⑵∵BC 是直径 ∴∠BAC =90°∵∠ACB =30°，AC =6∴0cos 30AC BC ===R =∵弧AB 和弧AD 的度数都等于60° ∴∠BOD =120° ---------------------------6分 连接OA 交BD 于点E ,则OA ⊥BD 在Rt △BOE中：0sin30OE OB =⋅=0cos 330BE OB =⋅=，BD =2BE =6----------------------------------------------------8分∴(21201-63602BOD BODS S S⨯⨯=-=⨯阴影扇形ππ ----------------------------------------------------11分 22. （本题满分11分）⑴证明：∵∠AFE =∠B ，∠AFE 与∠AFD 互补，∠B 与∠C 互补∴∠AFD =∠C --------------------------------------------------2分 ∵AD ∥BC ∴∠ADF =∠DEC -------------------------------------------4分 ∴△ADF ∽△DEC ----------------------------------------------------5分 ⑵解：∵△ADF ∽△DEC ∴AD AFDE CD== 解得：DE =12 ----------------------------------------------------7分 ∵AE ⊥BC , AD ∥BC ∴AE ⊥AD∴6AE ==----9分在Rt △ABE 中，63sin 84AE B AB === -------------------------------------------------11分 23. （本题满分12分）解：⑴△=()()243341k k k -++ =2216181212k k k k ++--=2441k k -+ =()221k -≥0 --------------------------------------------------4分∴无论k 取何值，方程总有两个实数根. -------------------------------------------------5分 ⑵若AB =AC 则方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=有两个相等的实数根此时△=0，即：()221k -=0 解得：12k =当12k =时，AB =AC =3，此时AB 、AC 、BC 满足三边关系. -------------------------8分 若BC =5为△ABC 的一腰，则方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=有一根是5，将5x =代入方程()2kx 4k 1x 3k 30-+++=解得：14k = 当14k =时，解得方程两根为5和3，此时AB 、AC 、BC 满足三边关系. ----------11分 综上：当△ABC 是等腰三角形时，k 的值为1124或. -----------------------------12分24. （本题满分12分） ⑴证明：连接OC∵OA =OC ∴∠OAC =∠OCA ∵AC 平分∠BAD ∴∠OCA =∠CAD ∴OC ∥AD∵CE ⊥AD ∴CE ⊥OC -----------------------------------------------3分 又OC 是半径 ∴CE 是⊙O 的切线。
学厦门高一下数学期末质检试卷
2014-2015学年度第二学期高一年级质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.在空间直角坐标系xyz O -中，点()321，，P 关于xOy 平面的对称点是 A.()321，，- B.()321，，-- C.()321-， D.()321--，， 2.320sin π的值为 A.23B.23- C.21D.21- 3.已知21e e ，是互相垂直的两个单位向量，若21e e a -=2，则a 等于 A.1B.5C.3D.54.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，那么这个几何体的体积为A.1B.21C.31D.615.已知l 是一条直线，βα、是两个不同的平面，则以下四个命题正确的是 A.若α⊂l ，β//l ，则βα// B.若α⊥l ，βα⊥，则β//l C.若α⊂l ，β⊥l ，则βα⊥ D.若βα⊥，α⊂l ，则β⊥l6.已知直线01=++y ax 与()0132=+-+y x a 互相垂直，则实数a 等于 A.3-或1B.1或3C.1-或3- D.1-或37.为了得到函数x x y 2cos 32sin -=的图象，只要把函数x y 2sin 2=的图象A.向左平移3π个单位长度B.向左平移6π个单位长度 C.向右平移3π个单位长度D.向右平移6π个单位长度8.已知点()02，-A ，()40，B ，点P 在圆C ：()()54322=-+-y x 上，则使︒=∠90APB 的点P 的个数为9.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法错误．．的是 A.在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB1正视图侧视图俯视图题图第4B.异面直线AD 与PB 所成的角为90°C.二面角A BC P --的大小为45°D.BD ⊥平面PAC10.已知点()23，M ，点P 在y 轴上运动，点Q 在圆C ：()()42122=++-y x 上运动，则MQMP +的最小值为152- D.152+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.已知向量()21，=a ，()4-=，m b ，若b a //，则m =_________. 12.如图，两个边长都为1的正方形并排在一起，则()βα+tan =_________.13.已知点()00，A ，()33，B ，()12，C ，则ABC △的面积为__________. 14.如图，已知圆锥SO 的母线SA 的长度为2，一只蚂蚁从点B 绕着圆锥侧面爬回点B 的最短距离为2，则圆锥SO 的底面半径为___________. 15.已知二元二次方程0tan 322=++++θy x y x （22πθπ<<-）表示圆，则θ的取值范围为________.16.已知函数()x x x f sin tan -=，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的序号）①()x f 的周期为π；②()x f 的图象关于点()0，π对称； ③()x f 在（ππ，2）上单调递增；④()x f 在（22ππ，-）上有3个零点.三、解答题：本大题共6小题，共76分. 17.（本小题满分12分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，G F E 、、分别是E D AD C B 1111、、的中点. （Ⅰ）求证：//FG 平面E AA 1；（Ⅱ）求FG 与平面1111D C B A 所成的角的正切值.18.（本小题满分12分）如图平行四边形ABCD （D C B A ，，，按逆时针顺序排列），AD AB 、边所在直线的方程分别是 074=-+y x ，01123=-+y x ，且对角线AC 和BD 的交点为()02，M . （Ⅰ）求点A 的坐标；（Ⅱ）求CD 边所在直线的方程. 19.（本小题满分12分）αβ题图第12AOBS题图第14A DBC1B 1C 1A 1D EF G 题图第17题图第18xy AMCO B如图，已知锐角α，钝角β的始边都是x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于点⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-54,53Q . （Ⅰ）求POQ ∠sin ；（Ⅱ）设函数()x x x f 2sin cos 322+=，[]α，0∈x ，求()x f 的值域.20.（本小题满分12分）ABC △是边长为3的等边三角形，BC BF λ=（121<<λ），过点F 作BC DF ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E .（Ⅰ）当32=λ时，设a =BA ，b =BC ，用向量b a,表示EF ；（Ⅱ）当λ为何值时，FC AE ⋅取得最大值，并求出最大值. 21.（本小题满分14分）如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()t f y =均近似地满足函数()()b t A t f ++=ϕωsin （πϕω<<>>000，，A ）. （Ⅰ）根据图象，求函数()t f 的解析式；（Ⅱ）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过4.5，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m（0>m ）小时投产，求m 的最小值. 22.（本小题满分14分）已知B A ，为圆O ：422=+y x 与y 轴的交点（A 在B 上），过点()40，P 的直线l 交圆O 于N M ，两点.（Ⅰ）若弦MN 的长等于32，求直线l 的方程；（Ⅱ）若N M ，都不与B A ，重合时，是否存在定直线m ，使得直线AN 与BM 的交点恒在直线m 上.若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由 题图第19QPOxy 的终边α的终边β题图第20EDAC FB题图第22MOxyGNBAP题图第20O 612()小时t 5.15.2y。
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厦门市2014～2015学年第二学期高一质量检测一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1. 在空间直角坐标系O-xyz,点P(1,2,3)关于xOy 平面的对称点是 ( )A . (-1,2,3)B .(-1,-2,3)C . (1,2,-3)D .(1,-2,-3)2. sin320π的值为 ( ) A .23 B .23- C .21 D . 21-3.已知1e , 2e 是互相垂直的两个单位向量，若212e e a -=，则a 等于 ( )A .1B .5C .3D .54.如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形， 那么这个几何体的体积为 ( )A .1B .21 C .31 D .615.已知l 是一条直线，βα，是两个不同的平面，则以下十个命题正确 ( )A .若βαβα//,//,则l l ⊂B .ββα//,,l l l 则⊥⊥C .βαβα⊥⊥⊂则,,l lD .βαβα⊥⊂⊥l l 则,,6.已知直线013)2(01=+-+=++y x a y ax 与互相垂直，则实数a 等于 ( )A .-3或1B .1或3C .-1或-3D .-1或37.为了得到函数x x y 2cos 32sin -=的图像，只要把函数x y 2sin 2=的图像 ( )A . 向左平移3π个单位长度 B . 向左平移6π个单位长度 C .向右平移3π个单位长度 D . 向右平移6π个单位长度8.已知点()()4,0,0,2B A －,点P 在圆()()5=4+3-:22－y x C ,则使090=∠APB 的点P 的个数为 ( )A .0B .1C .2D .39.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，060=∠DAB .侧面PAD 为正三角形， 且平面⊥PAD 平面ABCD,则下列说法错误的是（ ）A .在棱AD 上存在点D ，使AD ⊥平面PMB B .异面直线AD 与PB 所成的角为09010.已知点()2,3M ,点P 在y 轴上运动，点Q 在圆()()4=2++1-:22y x C 上运动，+的最小值为（ ）A .3B .5C .152－D .1+52二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分。
把答案填在答题卡相应位置。
11.已知向量a=()2,1, b=()4,－m ,若a//b ,则m=______________;12.如图，两个边长都为1的正方形并排在一起，则)+tan(βα=______________; 13.已知点()()()1,2,3,3,0,0C B A ,则ABC Δ的面积为 .14.如图，已知圆锥S0的母线SA 的长度为2，一只蚂蚁从点B 绕着圆锥侧面爬回点B 的最短距离为2，则圆锥SO 的底面半径为 . 15.已知二次方程0=tan +3+++22θy x y x （2<<2πθπ－）表示圆在，则θ的取值范围为 .16.已知函数()sinx tan =－x x f ，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的序号）①()x f 的周期为π； ②()x f 的图象关于点()0,π对称； ③()x f 在（ππ,2）上单调递增； ④()x f 在（2,2ππ－）上有3个零点. 三、解答题17．（本题满分12分）如图，正方体1111-D C B A ABCD 的棱长为2，E,F,G 分别是11C B ,E D AD 11,的中点. （1）求证：FG //平面E AA1;（2）求FG 与平面1111D C B A 所成的角的正切值.如图，平行四边形ABCD （D C B A ,,,按逆时针顺序排列），AD AB ,边所在直线的方程分别是01123,074=-+=-+y x y x ，且对角线AC 和BD 的交点为)02(，M （1）求点A 的坐标（2）求CD 边所在直线的方程19.（本小题满分12分）如图，已知锐角α，钝角β的始边都是x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于点)54,53(),2321(-Q P ， （1）求POQ ∠sin ;（2）设函数],0[,2sin cos 32)(2α∈+=x x x x f ，求)(x f 的值域.ABC ∆是边长为3的等边三角形，)121(<<=λλ,过点F 作BC DF ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E . （1）当32=λ时，设b a ==,，用向量b a ,表示； （2）当λ为何值时，∙取得最大值，并求出最大值.21.（本小题满分14分）如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()f t A t b ωϕ=++(0,0,0)A ωϕπ>><<．（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过4.5，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m (0)m >小时投产，求m 的最小值．已知A ，B 为圆O :224x y +=与y 轴的交点（A 在B 上），过点(0,4)P 的直线l 交圆O 于,M N 两点． （1）若弦MN的长等于l 的方程；（2）若,M N 都不与A ，B 重合时，是否存在定直线m ，使得直线AN 与BM 的交点恒在直线m 上．若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由．（第22题图）厦门市2014～2015学年第二学期高一质量检测数学试题参考答案一、选择题:1-5 C A B D C 6-10 A D B D A10.方法1：作y 轴关于点M 的对称直线6=x ，P 关于M 的对称点P '在直线6=x 上运动，P M '-=，故==,的最小值为325=-．方法2：设)2,3(),,(),,0(00M y x Q a P ，)2,3(),2,3(00--=--=y x a()20204)6(-++-=a y x ，表示4)2()1(:22=++-y x C 上的点),(00y x 与)4,6(a -的距离，可看作圆4)2()1(:22=++-y x C 上的点到定直线6=x 距离的最小值，为325=-． 二、填空题：11．2- 12．3 13．23 14．31 15．)4,2(ππ- 16．②③ 16.答案②③①错误．()tan()sin()tan sin ;f x x x x x πππ+=+-+=+ ()()f x f x π+=不恒成立，故()f x 的周期不是π．②正确．()()tan()sin()tan()sin()0f x f x x x x x ππππππ++-=+-++---==③正确．tan y x =在(,)2ππ上单调递增，sin y x =在(,)2ππ上单调递减，相减即增．④错误．在同一坐标系中作出函数tan y x =和sin y x =在区间(,)22ππ-上的图象，由图象探知共有1个交点（或在该区间上解方程tan sin 0x x -=，得仅有一个根0x =）．三、解答题：17．本题考查空间线面位置关系、角的计算等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化等数学思想．满分12分． （Ⅰ）证明： F 为1AD 的中点，且G 为E D 1的中点∴FG 为1AED ∆的中位线 ∴FG//AE----------------------2分又 ⊄FG 平面E AA 1,⊂AE 平面E AA 1∴FG //平面E AA 1 ---------------------5分（Ⅱ）取11D A 的中点H ，连接FH 、HGFH 为A D A 11∆的中位线∴FH //1AA -------------------------------6分1B∴FH ⊥平面1111D C B A ------------------------------8分 ∴FGH ∠为直线FG 与平面1111D C B A 所成的角 ------------9分在直角11E AB ∆中，E A1=21211E B B A +=5GH 是11ED A ∆的中位线 ∴GH =21E A =25------------------------------10分 又 FH =21AA =1 ∴在直角FGH ∆中，FGH tan ∠=552 ------------------11分 故直线FG 与平面1111D C B A 所成的角的正切值为552 ------12分 18. 本题考查直线的方程，直线与直线的位置关系，点线对称关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合数学思想．满分12分. 解：（Ⅰ）47032110x y x y +-=⎧⎨+-=⎩ ---------------------------------2分解得31x y =⎧⎨=⎩----------------------------------5分∴(3,1)A ---------------------------------6分 （Ⅱ）解法一：A 关于M 的对称点为C ，∴(1,1)C - ------------------------------------8分又14AB CD k k ==- --------------------------------10分∴CD 边所在的直线方程为11(1)4y x +=--即：430x y ++= ----------------------------12分 （Ⅱ）解法二：A 关于M 的对称点为C ，∴(1,1)C - --------------------------------8分 设CD 边所在的直线方程为：40x y m ++= -----------------10分 ∴14(1)0m +⨯-+=得3m =∴CD 边所在的直线方程为430x y ++= ---------------------12分 （Ⅱ）解法三：设(,)P x y 为CD 边所在的直线上的任一点，P 关于点M 的对称点为P '),(y x ， -----------------------8分则002202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 得004x x y y =-⎧⎨=-⎩ ------------------------10分又P '在直线AB 上，∴(4)4()70x y -+--=即430x y ++= --------------------------12分19.本题考查任意角三角函数的定义，两角差的正弦公式、降幂公式、辅助角公式及三角函数的图象等知识，考查运算求解能力，考查转化与化归、数形结合思想方法.满分12分. 解：（Ⅰ）依题意，得1sin 2αα==，43sin ,cos 55ββ==- -------------2分 ∵,αβ分别是锐角，钝角sin sin()sin cos cos sinPOQ βαβαβα∴∠=-=- ------4分413=()525⋅--=------------------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3πα= - ---------------6分()sin 2f x x x =+ -----------------7分2sin(2)3x π=++分[0,]3x π∈∴2[,]33x πππ+∈ ∴sin(2)[0,1]3x π+∈ ----------------------11分∴()f x的值域是 ----------------------12分20.本题考查平面向量基本定理，向量共线定理，向量的数量积，二次函数最值等知识，考查运算求解能力，考查数形结合、转化与化归的思想方法．满分12分. 解：(Ⅰ）由题意可知：bBF 32=2323=⨯=， -----------------1分 4=，故a BA BE 3434==， -------------------2分3234+-=-= ---------------------5分(Ⅱ)λλ333-==， --------------------6分366-==λλ， ---------------------8分29227960cos )33)(36(2-+-=︒--=⋅λλλλFC AE -----10分 当4329227=⨯--=λ)1,21(∈时， ---------------------11分FC AE ⋅有最大值169. ---------------------12分21.本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识，考查建立三角函数模型，数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力，考查函数与方程的思想、转化与化归的思想.满分14分. 解：（Ⅰ）由图象可得： 2.51.5A b A b +=⎧⎨-+=⎩，解得1,22A b == ----------------------2分 周期12T =，2126ππω∴==， ---------------3分 1()sin()226f t t πϕ∴=++，又()y f t =过点(0,2.5)，sin 1,ϕ∴= 且0ϕπ<<，2πϕ∴=， -----------------5分1()sin()2(0)262f t t t ππ∴=++≥---------------6分（Ⅱ）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为（t m +）小时由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：1()cos 226f t t π=+； 同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：1()cos ()226f t m t m π+=++；两企业用电负荷量之和1()()[cos ()cos ]4(0)266f t m f t t m t t ππ++=+++≥；------8分依题意，有19()()[cos ()cos ]42662f t m f t t m t ππ++=+++≤恒成立， 即cos()cos166t m t ππ++≤恒成立,展开有：(cos1)cossinsin16666m t m t ππππ+-≤恒成立，------10分(cos1)cossinsincos()66666m t m tt πππππφ+-=+（其cos1sincosm mππφφ+==）；1≤， -----------------------11分整理得到：1cos62m π≤-， ------------------------12分 依据余弦函数图像得：2422,()363k m k k Z πππππ+≤≤+∈， 即124128k m +≤≤+，取0k =得：48m ≤≤∴m 的最小值为4. -----------------------14分22.本题考查直线、圆、用几何法与代数法研究直线与圆位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，探究论证的能力，考查数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想．满分14分. 解：(Ⅰ)①当k 不存在时，4==AB MN 不符合题意-----------------------1分 ②当k 存在时，设直线l ：4y kx =+||MN =圆心O 到直线l的距离1d = ------------------3分1=，解得k =分综上所述，满足题意的直线l 方程为4y =+ -----------------------6分 (Ⅱ)根据圆的对称性，点G 落在与y 轴垂直的直线上 令(2,0)N -，则直线:12424x yPN y x +=⇔=+-与圆22:4O x y +=联立得： 2516120x x +==，65M x ∴=-，68(,)55N ∴-，:32BM y x =--所以直线:20AN x y -+=与BM 的交点G （-1,1），猜想点G 落在定直线1y =上. ----------------------8分 下证：2244y kx x y =+⎧⎨+=⎩得：22(1)8120k x kx +++=22122122(8)48(1)081121k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩------------------------10分 直线AN ：1122y y x x --=，直线BM ：2222y y x x ++= 消去x 得：1221(2)22(2)y x y y y x --=++ 要证：G 落在定直线1y =上，只需证：1221(2)1212(2)y x y x --=++ 即证：1221(2)13(6)kx x kx x +-=+ 即证：121122636kx x x kx x x --=+即证：121246()0kx x x x ++= 即证：2212846011k k k k -=++ 显然成立.所以直线AN 与BM 的交点在一条定直线上. --------------------------14分。