中考数学反比例函数综合题附答案

中考数学反比例函数综合题附答案

一、反比例函数

1．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，

y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．

（1）求反比例函数y= 的解析式；

（2）求点P2和点P3的坐标；

（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．

【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，

则B1与P1关于y轴对称，

∵B1（﹣1，1），

∴P1（1，1）．

则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=

（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，

又点P1的坐标为（1，1），

∴OA1=2，

设点P2的坐标为（a，a+2），

代入y=得a=-1，

故点P2的坐标为（-1，+1），

则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，

设点P3的坐标为（b，b+2），

代入y=（>0）可得b=-，

故点P3的坐标为（-，+）

（3）1；（-，+）

【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…

∴△P n B n O的面积为1，

由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），

故答案为：1、（﹣， +）．

【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；

（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；

（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.

2．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b= = - + =

+ ,

又∵≥0，∴ + ≥0+ ，即≥ ．

（1）根据上述内容，回答下列问题：在≥ （a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥ ，当且仅当a、b满足________时，a+b有最小值．

（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD＝2a， DB＝2b, 试根据图形验证≥ 成立，并指出等号成立时的条件．

（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．

【答案】（1）a=b

（2）解：有已知得CO=a+b,CD=2 ,CO≥CD,即≥2 .

当D与O重合时或a=b时，等式成立.

（3）解： ,

当DE最小时S四边形ADFE最小.

过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，

所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE= （4+3）=28.

【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。

（2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=，再由（1）中的结论即可得出等号成立时的条件。

（3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE，可知当DH=EH时DE最小，由此可证得结论。

3．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．

（1）求m的值；

（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边

形OACD面积S的？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），

∴经过点A的反比例函数解析式为：y= ，

而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），

∴m=

（2）解：∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，），

与x轴、y轴分别交于C、D两点，

而这些OA的解析式为y=x，

设直线CD的解析式为y=x+b

代入B的坐标得： =6+b，

∴b=﹣4.5，

∴直线OC的解析式为y=x﹣4.5，

∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，﹣4.5），

设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

分别把A、B、D的坐标代入其中得：

解之得：a=﹣0.5，b=4，c=﹣4.5

∴y=﹣0.5x2+4x﹣4.5

（3）解：如图，

设E的横坐标为x，

∴其纵坐标为﹣0.5x2+4x﹣4.5，

∴S1= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+OD）×OC，

= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+4.5）×4.5，

= （﹣0.5x2+4x）×4.5，

而S= （3+OD）×OC= （3+4.5）×4.5= ，

∴（﹣0.5x2+4x）×4.5= ，

解之得x=4± ，

∴这样的E点存在，坐标为（4﹣，0.5），（4+ ，0.5）．

【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，又点B在反比例函数图像上，代入即可求得m的值；（2）先根据点A的坐标求得直线OA的解析式，再结合点B的坐标求得直线CD的解析式，从而可求得点C、D的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）先设出抛物线上E点的坐标，从而表示出面积S1，再求得面积S 的值，令其相等可得到关于x的二元一次方程，方程有解则点E存在，并可求得点E的坐标.

4．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）

（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；

（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．