运动电荷的电磁场耦合效应的讨论

* 代入上式得：
２ 将 Ｋ 系中的场量用 Ｋ＇ 系中的时间、 空间坐标来表 １－ ｖ２ ， ｃ
"
"
"
"
!
ｑｚ＇ Ｂｘ＝０， Ｂｙ＝－ ｒ ｖ ｃ２ ４π ε ０ｒ＇ %＝（１－ ｖ２ ） Ｅ ｃ２ # ｑｒ
将 ｒ＇ 用 Ｋ 系中的坐标表示， ｒ＇ ＝ !（ｘ＇ ２＋ｙ＇ ２＋ｚ＇ ２） ＝ ! ) ｙ２（ｘ－ ｖｔ）２＋ｙ２＋ｚ２ ・ ｖ ２ &" ｖ ｒ ）２ ４π ε ０ （１－ ２ ）ｒ ＋（ ｃ ｃ
!（Ｘ）＝ Ｅ （Ｘ＇） ｒ ｃｈ＇， #４!"# ｒ
３ ０ １
$
它反映了电荷的作用， 带电体是电场的源．但库仑定律明确指出， 其适用范围为真空且为静止的点电荷 之间的相互作用力．而所谓静止是相对于观察者的， 选择不同的参照物描述物体的运动是不同的．运动是绝对 的， 那么当电荷做定向运动或相对于观察者运动时， 电荷之间的相互作用又如何呢？ １．２ 匀速运动电荷的电磁场 运动电荷之间的相互作用非常复杂．电荷定向运动形成电流， 电流激发磁场， 实质是运动的带电粒子在
&＝ μ ０ｑ１ｑ２ ) - （ｖ - ２× - ２× - １× Ｆ ｒ １２）－ ｖ （ｖ ｒ １２） , ４π ｒ３ ｖ１×
由
反映电磁场中电荷之间相互作用不一定满足牛顿第三定律．
- ２× - １× - １２）＝ｖ - １（ｖ -２ - １２）－ -２ - １） ， - １× - ２× - ２（ｖ -１ - １２）－ ｒ - １２（ｖ -２ - ２）ｖ -１ ， ・ｒ ・ｖ 得 ｒ １２（ｖ ｖ （ｖ ｒ ・ｒ ・ｖ ｒ １２）＝ｖ ｖ （ｖ &＝ μ ０ｑ１ｑ２ + ０ｑ１ｑ２ ) $ $ ・ｒ $ １２）－ ｖ $ １（ $２ $ １２） , - （ｖ - ２× - １） , Ｆ ＝－ μ ・ｒ ｖ ｖ ４π ｒ３ ｒ １２× ４π ｒ３ ｖ２（ｖ１ 当v1＝０， v 2≠０ 则两运动电荷间的相互作用力： $ ｑ１ｑ２ ｒ # １２＝－ & ２１＝ ｑ１ｑ２ ｒ Ｆ ； Ｆ ， ３ ε ４π ｖ ）２ ０ｒ ３ （ ε ４π ｒ １－ ０ ｃ 当大小方向一致即相对静止时， 两力为 ｒ ｑ１ｑ２ & １２＝－ Ｆ ｒ ｑ１ｑ２ & ２１＝ Ｆ ｖ ３ ２ ε ４π １－ （ ） ０ｒ ３ ε ４π １ － （ ｖ ）２ ０ｒ ｃ ｃ
+
２
,
３／２
，
$ % %＝ ｖ Ｂ Ｅ × ｃ２
此时其激发的电场的场强和运动电荷激发的 ①当两电荷运动的速度 ｖ１、 ｖ２ 远小于光速 ｃ 时， （ ｖ ）２ 略去， ｃ 磁场为： %＝ Ｅ １ ｑ $ ｒ ， ３ ε ４π ０ ｒ # × $ $ % μ ｒ ＝μ %＝ ｖ $ Ｅ % Ｂ Ｅ＝ ０ ｑｖ × ０ε ０ｖ× ｃ２ ４π ｒ３
-・ ｖ ）ｒ２＋（ ｖ ２ ｘ ２ ４π ε ０ （１－ ） ｃ ｃ
２ ２ ２
+
ｒ １２ ｑ１ｑ２ -
,
３／２
- １× - ２× "２） ｖ Ｅ ＋ｑ１ ｖ （１ ｃ２ - ２１ ｑ１ｑ２ ｒ
- １× - ２× " ２ ）＋（１－ ｖ１２ ） ｖ Ｅ ＋ｑ１ ｖ （１ ２ ｃ２ ｃ
-１ - ２ ・ｘ ｖ１２ ）ｒ２ ＋（ ｖ ４π ε ０ （１－ ） ２ ｃ ｃ
%
.
.
２ （ｖ ） 不可忽略， 上述运动电荷电场和磁场的分布为： ②当运动电荷的速度 ｖ 接近光速 ｃ 时， ｃ & ｑｒ "＝（１－ ｖ２ ） Ｅ - " "＝ ｖ ｃ２ ２ Ｂ Ｅ × $・ $ ２ ３／２ ２ ｖ ｖ ｘ ２ ４π ε ｃ ０ （１－ ） ）ｒ ＋（ ｃ２ ｃ
)
*
平行于电荷运动方向的场强分量小于 分析上述结果， 在 Ｋ 系中电荷的电场分布不再具有球形对称性， 电荷静止时的场强， 垂直于运动方向的平面内场强分量则大于静止时的场强， 且随速度增加．磁场分布， 磁感 线分别在垂直于运动方向的平面内， 以运动方向为中心线的同心圆， 磁感线方向和运动正电荷的方向服从 右手螺旋规则． 取 ｑ１、 分别在对方的电磁场中的运动， 同样要受到非恒定电场和磁场的共同作用为， ｑ２ 运动电荷分析， & １２＝ｑ１Ｅ " ２＋ｑ１ｖ - １× " ２ ，Ｆ & ２１＝ｑ２Ｅ " １＋ｑ２ｖ - ２× "１ ， " 、Ｅ "， Ｆ Ｂ Ｂ 两力的矢量和为： 代入Ｂ &＝Ｆ & １２＋Ｆ & ２１＝（１－ ｖ２２ ） Ｆ ｃ２
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而 ｑ２ 所受的力为： & ２１＝ Ｆ 两力的矢量和为： & １＝Ｆ & １２＋Ｆ & ２１＝ Ｆ 整理得：
１ ｑ１ ( １ ｑ１ｑ２ ( $ ２× $ ｒ ２１ ＋ｑ２ｖ ｒ ２１） ， （μ ０ε ０ ｖ２ × ３ ３ ４ ε ｒ π ε ４π ０ ０ ｒ
( １ ｑ１ｑ２ ’ １ ｑ２ ( １ ｑ１ ( $ １× $ $ ２× $ ２ ｒ １２ ＋ｑ１ｖ ｒ １２）＋ １ ｑ１ｑ ｒ ２１＋ｑ２ ｖ ｒ ２１） （μ （μ ０ε ０ ｖ２ × ０ε ０ ｖ１ × ３ ３ ε ｒ３ ε ε ｒ３ ε ４π ４π ４π ４π ０ ０ ｒ ０ ０ ｒ
了运动电荷之间的相互作用力不满足牛顿第三定律 ， 并对运动电荷间相互作用力与其电磁场动量的关系进行 了讨论 ， 阐明运动电荷包含在其激发电磁场的系统内满足动量守恒定律 ． 关键词 ： 运动电荷 ； 电磁场相对论变换 ； 耦合 中图分类号 ： Ｏ２４１．５ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １６７３－１７９４ （２００８） ０３－００６８－０４
第 １０ 卷 第 ３ 期 ２００８ 年 ５ 月
滁 州 学 院 学 报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＨＵＺＨＯＵ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｖｏｌ．１０ Ｎｏ．３ Ｍａｙ．２００８
运动电荷的电磁场耦合效应的讨论
李进梅
（ 滁州职业技术学院 基础部， 安徽 滁州 ２３９０００）
摘
要 ： 利用电磁场的相对论变换关系 ， 综合分析了运动电荷的电磁场耦合效应 ， 应用洛伦兹力公式计算验证
作者简介 ： 李进梅 （ １９６９－ ） ， 女 ， 安徽无为人 ， 讲师 ， 硕士 ， 滁州职业技术学院基础部 ．
电磁场的源是电磁理论的基本问题．近代物理的观点认为， 任何电荷都在其周围激发电磁场， 电荷之间 的相互作用， 是通过电荷激发的电磁场来传递对另一个电荷的作用， 传递的速度约 ３× １０８ｍ／ｓ．当电荷静止时， 电荷周围的静电场具有稳定的分布， 电荷间的相互作用力可由库仑定律得出； 而当电荷分布突然改变或电荷 发生运动时， 它不仅激发电场同时也激发磁场， 此时电荷之间由于电磁耦合作用， 电磁场分布发生改变， 本文 就此展开讨论． １ 电荷周围的电磁场 １．１ 静电场 静电场， 它是普遍存在的电磁场的一种特殊情况， 是由相对于观察者静止的电荷激发的．两个静止的电 荷的相互作用就是通过静电场传递的．静止电荷之间的静电力可直接由库仑规律给出其数学形式为：
２ ２ ２ １ １
# ２１＝ｑ２Ｅ % １＋ｑ２ｖ $ ２× %１ Ｆ Ｂ １ 式中 Ｅ 、Ｂ 是电荷 ｑ 在电荷 ｑ 处产生的电磁场， 故而 ｑ１ 所 Ｅ 、Ｂ 是电荷 ｑ 在电荷 ｑ２ 处产生的电磁场，
１
受的力为： #１２＝ Ｆ
１ ｑ１ｑ２ " １ ｑ２ " $ １× $ ｒ １２ ＋ｑ１ｖ ｒ １２） （μ ０ε ０ ｖ２ × ， ３ ３ ４π ε ｒ ４π ε ０ ０ ｒ
+
,
３／ ２
上式表明其相互作用力也不满足牛顿第三定律． １．３ 任意运动电荷的电磁场 对于任意运动的电荷间的相互作用， 可先求出李纳－ 维谢尔势即运动电荷所激发的电磁势， 再应用洛伦兹 力公式进行计算．李纳－ 维谢尔势：
ｑ ， φ ＝ - ｖ ・ｖ ２ ・ｒ ） ｒ） ４π ε ４π ε ０ｃ （ｒ－ ０（ｒ－ ｃ ｃ - ＝ｘ -－ ｘ -＇ ， " 和标势 φ对场点时空坐标 ｔ 和 ｘ 求导 - ＝ｖ（ｔ＇ ） ， 式中 ｒ ｔ＇ ＝ｔ－ ｒ ．把矢势Ａ ｖ
ｑｑ → ２ Ｆ１２＝ｋ ｑ１ｑ ｒ１２ ， Ｆ２１＝ｋ １３ ２ ｒ２１ ， ｒ ｒ３ " !＝ Ｆ 两电荷间的相互作用力等值反号， 满足牛顿第三定律。静电场应用Ｅ ， 得 ｑ $ !＝ ｑ１ Ｅ ｒ． ４"#０ｒ３１ 而对于任意带电体， 可利用库仑定律和电场力的叠加原理应用微积分方法求解表达式为
２ 运动电荷的相互作用力与电磁场动量的关系 由上述的讨论知， 运动电荷的相互作用力的矢量和不为零， 表明经典力学牛顿第三定律在微观粒子运动 的电磁场中不成立， 究其原因是运动电荷在运动过程中激发电磁场， 运动的电荷会受到洛伦兹力作用， 电荷 动量发生变化，同时电磁场本身的状态亦发生相应的改变，运动电荷的相互作用不仅与外电磁场的动量有 关， 同时还与它自身激发的电磁场相互作用．由于两运动电荷并不构成一个封闭系统， 必须将它们的电磁场 包括进去构成一个封闭系统进行讨论．故此时它们之间的洛伦兹力并不等值反向， 但整个系统仍是满足动量
收稿日期 ： ２００７－ １１－ １４
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其周围不仅激发电场， 同时还激发磁场， 且运动电荷的电场之间、 磁场之间、 电磁场之间也会耦合互相影响， 此时 它们之间的相互作用， 也随之变化．为求运动电荷之间的作用力， 先分析运动电荷的电场、 磁场分布情况， 再运用 洛伦兹力公式即 Ｆ＝ｑＥ＋ｑｖ× Ｂ 计算． 设有一点电荷 ｑ 静止在惯性系 Ｋ＇ 内， 而 Ｋ＇ 系相对于惯性系 Ｋ 以速度 ｖ 沿 ｘ 轴方向匀速运动， 在 Ｋ＇ 系 " &" ｑ % 内观察， 电荷静止只有静电场， ｔ＇ 时刻 Ｐ（ｘ＇，ｙ＇，ｚ＇）处的电磁场为： ｔ时 Ｅ＇ ＝ ｒ＇ ， Ｂ＇ ＝０ ．而在 Ｋ 系中， ４!"０ｒ＇ ３１ 刻空间任一点 Ｐ（ 的场量 Ｅ 和 Ｂ 满足麦克斯韦方程组 ｘ， ｙ， ｚ） % ρ % " %＝μ &" &" (Ｅ ・ Ｅ ’ ０ ・ Ｂ ＇ ＝０ ， ’ Ｅ＝－ (Ｂ ， ’× ， Ｂ ＝μ ’× ０ε ０ ε ０ (ｔ (ｔ 那么在相对于 Ｋ 以速度沿 ｘ 方向运动的惯性系 中， 同一点 Ｐ（ｘ＇，ｙ＇，ｚ＇）的场强同样满足麦克斯韦方程组： % % " ρ， %＝μ &" (Ｅ &" ・ Ｅ ’ Ｅ＝－ (Ｂ ， ’× ’× Ｂ ＝μ ． ０ ・ ＇ Ｂ ’ ＝０， ０ε ０ ε (ｔ ０ (ｔ 根据相对性原理， 在任何惯性系内， 一切物理规律是等同的， 电磁理论的基本方程 － 麦克斯韦方程组从 一个惯性系 Ｋ 变换到另一个以速度 ｖ 相对于 Ｋ 系 ｘ 轴做匀速直线运动的惯性系 Ｋ＇ 时，必须在洛伦兹变换 下保持不变．此时场源的电荷量 ｑ 是相对论不变量， 即 ｑ 值于电荷的运动， 即与参考系无关．应用洛伦兹变换 关系式 ｘ＇ ＝ｙ（ｘ－ ｖｔ）， 其中 ｒ＝ ｙ＇ ＝ｙ， ｚ＇ ＝ｚ， ｔ＇ ＝ｒ（ｔ－ ｘｖ ）， ｃ２ 示， 得变换关系式： Ｅｘ＇ ＝Ｅｘ， Ｅ＇ ｙ＝ｒ（Ｅｙ－ ｖＢｚ）， Ｅ＇ ｚ＝ｒ（Ｅｚ－ ｖＢｙ）， Ｂｘ＇ ＝Ｂｘ， Ｂ＇ ｙ＝ｒ（ ｖ Ｅｚ＋Ｂｙ）， Ｂ＇ ｚ＝ｒ（－ ｖ Ｅｙ＋Ｂｚ） ｃ２ ｃ２ 反向变换式： Ｅｘ＝Ｅｘ＇ ， Ｅｙ＝ｒ（Ｅ＇ ｙ＋ｖＢ＇ ｚ）， Ｅｚ＝ｒ（Ｅ＇ ｚ－ ｖＢ＇ ｙ）， ｖ 【 １】 Ｂｘ＝Ｂ＇ ｘ， Ｂｙ＝ｒ（－ ｖ Ｅ＇ ｚ＋Ｂ＇ ３ ｙ）， Ｂｚ＝ｒ（ ２ Ｅ＇ ｙ＋Ｂ＇ ｚ） ｃ２ ｃ 则 ｔ 时刻在 Ｐ（ 点处的电磁场为： ｘ， ｙ， ｚ） Ｅｘ＝ ｑｘ＇ ， Ｅ ＝ ｒｑｙ＇ ， Ｅ ＝ ｒｑｘ＇ ， ｙ ｚ ３ ３ ３ ４π ε ４π ε ４π ε ０ｒ＇ ０ｒ＇ ０ｒ＇ ｑｙ＇ ， Ｂｚ＝ｒ ｖ ３ ｃ２ ４π ε ０ｒ＇
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上式表明运动电荷激发的电场和磁场是互相联系的， 电磁场不再是恒定场． 设两个点电荷 ｑ１、 取其中 ｑ１ 运动电荷分析， 其在 ｑ２ 运动电荷的非恒定 ｑ２ 分别以 ｖ１、 ｖ２ 的速度匀速运动， 电磁场中运动， 其所受力应满足洛仑兹力公式： # １２＝ｑ１Ｅ % ２＋ｑ１ｖ $ １× % ２， Ｆ Ｂ
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Ａ＝
ｑｖ
ｃ
" ＝/ × "， Ａ Ｂ
－ ７０ －
& & × （ｒ &－ ｖ & ｒ ｒ）× ｖ & ! !＝ ｒ ｃ ｑ ! Ｅ． Ｂ × ， Ｅ＝ ２ ｃｒ ４π ε ０ｃ ｒ & & － ｖ ・& （ｒ ｒ） ｃ "# "# "# "# ，"# "# "# 显然 Ｆ & １× & ２× 再应用洛伦兹力公式得 "# Ｂ２ Ｆ１２ ＝ｑ１Ｅ２ ＋ｑ１ｖ １２ ＋Ｆ２１ ≠ ０ ． Ｂ１ ， Ｆ２１ ＝ｑ２Ｅ１ ＋ｑ２ｖ