【天津市2013届高三数学总复习之模块专题：25 超越函数综合题(教师版) ]

超越函数综合题

1、讨论函数2

()(0)1ax

f x a x

=

≠-在区间(1,1)-上的单调性。 解：设12

121222

12

11,()()11ax ax x x f x f x x x -<<<-=

---则=12122212()(1)(1)(1)a x x x x x x -+--， 1212,(1,1),,x x x x ∈-<且221212120,10,(1)(1)0,x x x x x x ∴-<+>-->

于是当120,()();a f x f x ><时当120,()();a f x f x <>时 故当0a >时，函数在)1,1(-上是增函数； 当0a <时，函数在(1,1)-为减函数。

2、设函数x x f x f x x 22)(,2)(|1||1|≥=--+求使成立的x 取值范围。

解：由于2x

y =

是增函数，()f x ≥3

|1||1|2

x x +--≥

......① （1）当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，①式恒成立； （2）当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即3

14

x ≤<； （3）当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解；

综上，x 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

。

3、设关于x 的方程0222

=--ax x 的两根为)(,βαβα<，函数1

4)(2

+-=

x a

x x f 。 （1）求)()(βαf f ⋅的值；

（2）证明)(x f 是[]βα,上的增函数；

（3）试确定α为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小。 解：（1）.4)()(,168)(,168)(2

2

-=⋅++=

-+-=

βαβαf f a

a f a

a f

（2）定义法；略

（3）函数)(x f 在[]βα,上最大值0)(>βf ，最小值4)()(,0)(=⋅<βααf f f ， 当且仅当2)()(=-=αβf f 时，)()()()(αβαβf f f f +=-取最小值4，此时.2)(,0==βf a

4、已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）。 （1）求函数)(x f 的定义域；

（2）若2=a ，试根据单调性定义确定函数)(x f 的单调性； （3）若函数)(x f y =是增函数，求a 的取值范围。 解：（1）由ax x x ax <>-

得0

∵0,0≥>x a 2

2

210a x x

a x x >

⇒⎩⎨

⎧<≥∴ ∴)(x f 的定义域是),1

(2+∞∈a x 。

（2）若2=a ，则)2(log )(2x x x f -=设4

1

21>

>x x ，则 0]1)(2)[()()(2)2()2(212121212211>-+-=---=---x x x x x x x x x x x x

)()(21x f x f >∴故)(x f 为增函数。

（3）设1

1212

21>>>>x a x a a x x 则

0]1)()[()()()()(212121212211>-+-=---=---∴x x a x x x x x x a x ax x ax

2211x ax x ax ->-∴①

∵)(x f 是增函数，∴)(log )(log 2211x ax x ax a a ->- ②联立①、②知1>a ，∴),1(+∞∈a 。

5、已知函数()0)f x ax x =+≥，且函数()()f x g x 与的图象关于直线y x =对称，

又

2(1)0f g ==。

（1）求()f x 的值域；

（2）是否存在实数m ，使命题2

:()(34)p f m m f m -<-和13

:(

)44

m q g ->满足复合命题 p q 且为真命题？若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由。

解：（1

）由2(0)1,1,1f f a b ===-=得

，于是()(0)f x x x =≥，

由()f x =

[)0,+∞是单调减函数，从而()f x 的值域为(0,1]；

（2）假定存在的实数m 满足题设，即2:()(34)p f m m f m -<-和13

()44

m g ->都成立

又3

31()4

42f =-

，∴13()24g =，∴11()()42m g g ->，

由()f x 的值域为(0,1]，则()g x 的定义域为(0,1]，已证()f x 在[0,)+∞上是减函数，则()

g x 在

(0,1]也是减函数，由减函数的定义得2340

11

0142

m m m m ⎧->-≥⎪

⎨-<

<<⎪⎩解得，433m ≤<且m ≠2，因此存在

实数m 使得命题：p 且q 为真命题，且m 的取值范围为4

[,2)(2,3)3

。

6、已知函数4()log (41)x f x kx =++()k R ∈是偶函数。 （1）求k 的值；

（2）设44

(

)l o g (2)3

x

g x a a =⋅-，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a

的取 值范围。

解：（1）由函数()f x 是偶函数可知：()()f x f x =-，44log (41)log (41)x x kx kx

-∴++=+-

441log 241x x kx -+=-+ 即2x kx =-对一切x R ∈恒成立，1

2k ∴=-

；

（2）函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，即方程

4414

log (41)log (2)23x x x a a +-

=⋅-

有且只有一个实根，化简得：方程14

2223

x x x a a +=⋅-有且只有一个实根；