高一数学下学期4月月考试题理

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高一数学下学期4月月考试题含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校HY 二零二零—二零二壹高一数学下学期4月月考试题〔含解析〕考生注意：1．本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟． 2．请将各题答案填写上在答题卡上．3．本套试卷主要考试内容：必修4第一章和第三章．第I 卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.512π=〔〕 A.85° B.80°C.75°D.70°【答案】C 【解析】【分析】根据180π=代入512π换算，即可得答案；【详解】180π=，∴75512121805π=⨯=.应选：C.【点睛】此题考察弧度制与角度制的换算，考察运算求解才能，属于根底题. 2.cos750︒=〔〕A.12-B.12C. 【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式可得cos750cos30=，利用特殊角三角函数值，即可得答案；【详解】2cos 750cos(72030)cos303=+==. 应选：D.【点睛】此题考察诱导公式的应用，考察运算求解才能，属于根底题.α的终边过点()cos2,tan 2，那么角α为〔〕A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C 【解析】【分析】根据cos20,tan20<<，即可得答案；【详解】cos20,tan20<<，∴点()cos2,tan 2在第三象限， ∴角α为第三象限角.应选：C.【点睛】此题考察三角函数在各个象限的符号，考察运算求解才能，属于根底题.cos3y x =的图象，只需把函数cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象〔〕A.向左平移6π个单位长度 B.向左平移12π个单位长度C.向右平移6π个单位长度 D .向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】比照两个函数中自变量x 的变化情况，再结合“左加右减〞的平移原那么，即可得答案；【详解】cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移12π单位可得cos 3(cos34)12y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，应选：B.【点睛】此题考察三角函数的平移变换，考察对概念的理解，属于根底题. 5.334απ=-,那么角α的终边与单位圆的交点坐标是()A.⎝⎭B.22⎛- ⎝⎭C.22⎛-- ⎝⎭ D.122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】可分析角α的终边与4π-的终边重合,利用三角函数的定义求解即可【详解】由题,33844πππ-=--,所以角α的终边与4π-的终边重合,因为单位圆的半径为1,那么cos 42y π⎛⎫=-=⎪⎝⎭,sin 42x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,应选：A【点睛】此题考察终边一样的角的应用,考察三角函数的定义的应用2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为()A.(),0210k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.(),0210k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C.(),010k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D.(),010k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由图像变换原那么可得新曲线为2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+求解即可【详解】将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+,得()102k x k Z ππ=-+∈ 应选：A【点睛】此题考察三角函数的图像变换,考察正弦型函数的对称中心AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212lr =-，假设扇形AOB 的面积为8，那么该扇形的圆心角的弧度数是〔〕A.14B.12或者2 C.1 D.14或者1 【答案】D 【解析】【分析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得.【详解】解：由题意得212,18,2l r lr =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得8,2,r l =⎧⎨=⎩或者4,4,r l =⎧⎨=⎩故14l r α==或者1l r α==.应选：D【点睛】此题考察弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于根底题.8.4sin 77πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，那么5cos 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔〕A.7-C.47-D.45【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，可求得答案.【详解】55()71421427ππππππαααα++-=⇒-=-+， ∴54cos cos[()]sin 142777ππππααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.应选：C.【点睛】此题考察诱导公式的应用求值，考察运算求解才能，求解时注意符号的正负.α为第二象限角，以下结论错误的选项是〔〕A.sin cos αα>B.sin tan αα>C.cos tan 0αα+<D.sin cos 0αα+>【答案】D 【解析】【分析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角, 所以sin 0α>,cos 0α<,tan 0α<A,B,C 对,D 不一定正确. 应选:D【点睛】此题考察了三角函数在第二象限的符号,属于根底题.()cos sin xf x x x=-的局部图象大致为〔〕A. B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数为奇函数和(1)f 的正负，即可得答案；【详解】()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，且()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，排除B ，D ；cos1(1)01sin1f =>-，排除A ；应选：C.【点睛】此题考察根据函数的解析式选择函数图象，考察数形结合思想，求解时注意函数性质的运用.()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的局部图象如下列图,BC ∥x 轴当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,假设不等式()sin 2f x m x -恒成立,那么m 的取值范围是()A.⎫+∞⎪⎪⎣⎭B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.)+∞D.[1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】根据,B C两点的对称性求得()f x 的一条对称轴方程，由此结合()f x 的周期性求得ω的值，结合π,03⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，进而求得()f x 的解析式，利用别离常数法化简()sin 2f x m x -，结合三角函数值域的求法，求得m 的取值范围. 【详解】因为//BC x,所以()f x 的图像的一条对称轴方程为2723212x πππ+==,71212344ππππω-==⨯,所以2ω=.由于函数()f x 图像过π,03⎛⎫⎪⎝⎭，由23k πϕππ⨯+=+,k Z ∈,且0ϕπ<<,得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.()sin 2f x m x -，等价于()sin 2f x x m -,令()sin 2sin 23g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()sin 2coscos 2sinsin 2cos 2336g x x x x x πππ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭. 由70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()g x的最大值为2,所以32m. 应选：A【点睛】本小题主要考察根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考察三角函数最值的求法，考察三角恒等变换，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.()()sin f x x ππ=-与()()114g x x =-的图象所有交点的横坐标为12,,,n x x x ，那么12n x x x +++=〔〕A.6B.7C.8D.9【答案】B 【解析】【分析】作出两个函数的图象，利用函数的对称中心为(1,0)，即可得答案；【详解】作出两个函数的图象，易得一共有7个交点，即127,,,x x x不妨设127x x x <<<，127S x x x =+++，两个函数均以(1,0)为对称中心，∴71625342,2,2,1x x x x x x x +=+=+==， ∴3217S =⨯+=.应选：B.【点睛】此题考察利用函数的对称中心求函数零点和，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.第II 卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.5sin 13α=，2παπ<<，那么cos 6tan αα-=______.【答案】4126【解析】【分析】根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得cos ,tan αα,代入即可求解.【详解】由同角三角函数关系式,可知因为5sin 13α=,2παπ<<,所以12cos 13α==-,5sin 513tan 12cos 1213ααα===--, 所以12541cos 6tan 6131226αα⎛⎫-=--⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为:4126【点睛】此题考察了同角三角函数关系式的应用,属于根底题. 14.()sin10sin3sin80cos1070m ︒︒+︒-=︒，角α的终边经过点()P m，那么cos α=_________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的根本关系可得1m =，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为()22sin10sin370sin80cos10sin 10cos 101m ︒=+-=︒︒+︒︒=︒，2r ==，所以cos 2α=-.故答案为：【点睛】此题考察了诱导公式、同角三角函数的根本关系以及三角函数的定义，属于根底题. 15.tan 3α=，那么2cos sin 2αα+=__________.【答案】710【解析】【分析】由正弦二倍角角公式化简，作出分母为1的分式，分母1用22sin cos αα+代换化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α求值．【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故答案为：710．【点睛】此题考察正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系．考察“1〞的代换．解题时注意关于sin ,cos αα的齐次式的化简求值方法．()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为____________．【答案】1009 【解析】【分析】将函数的零点转化为求方程()0f x =的根，再计算根在区间()0,2020π的个数，即可得到答案.【详解】函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间()0,2020π的零点，等价于方程11cos 232x π⎛⎫+=⎪⎝⎭在区间()0,2020π根的个数；∴12233x k πππ+=+或者12233x k πππ+=-， ∴4x k π=或者44,3x k k Z ππ=-∈，当1k =时，14x π=⨯或者4143x ππ=⨯-；当2k =时，24x π=⨯或者4243x ππ=⨯-；当504k =时，5044x π=⨯或者450443x ππ=⨯-；当505k =时，450543x ππ=⨯-；∴函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为504211009⨯+=.故答案为：1009.【点睛】此题考察三角函数的零点个数问题，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．α为第一象限角，且sin α．〔1〕求cos tan αα、的值；〔2〕求()()3sin 2cos cos 2παπαπα--+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)1cos tan 52αα==;(2)7 【解析】【分析】〔1〕利用同角三角函数的平方关系、商数关系，即可得答案；〔2〕利用诱导公式进展化简得到关于sin α，cos α的式子，再转化成关于tan α的式子，即可得答案；【详解】〔1〕角α为第一象限角，且sin α，∴cos α===∴sin 1tan cos 2ααα==. 〔2〕原式323sin 2cos 3tan 2271sin tan 2ααααα+++====. 【点睛】此题考察同角三角函数根本关系、诱导公式化简求值，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察运算求解才能.18.某同学用“五点法〞画函数()()sin f x A x =+ωϕ在某一个周期内的图象时,列表并填入了局部数据,如下表:(1)请将上表数据补充完好,填写上在相应位置,并求出函数()f x 的解析式;(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,求236g π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】(1)见解析,()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)-1【解析】【分析】〔1〕由表格中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即可求得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,由sin22A π=可得2A =,那么()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,进而补全表格即可；〔2〕由图像变换原那么可得()2sin gx x =,进而将236x π=代入求解即可【详解】解:(1)根据表中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,又sin22A π=,所以2A =,所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.数据补全如下表:(2)由(1)知()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像, 再把得到的图像向左平移3π个单位长度,得到2sin sin 33y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图像,即()2sin g x x =,所以23232sin 2sin 1666g πππ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考察由三角函数性质求解析式,考察三角函数的图像变换,考察运算才能()()sin 0,0f x A x b A ωω=+>>的局部图象如下列图．〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕设,MOx NOx αβ∠=∠=，求()sin αβ+的值．【答案】〔1〕()4sin18xf x π=-；〔2〕5665. 【解析】【分析】〔1〕观察图象得到b 的值，再利用函数的周期、振幅求得函数的解析式；〔2〕分别求出sin ,cos ,sin ,cos ααββ的值，再代入两角和的正弦公式，即可得答案；【详解】〔1〕易得3(5)12b+-==-，∴3(1)4A =--=，∴()4sin 1f x x ω=-，281628T T ππωω=⇒==⇒=， ∴()4sin 18xf x π=-.〔2〕由图象得：34512sin ,cos ,sin ,cos 551313ααββ====，∴()3124556sin cos cos sin 51351365sin αβαβαβ+=⨯=+=+⨯.【点睛】此题考察三角函函数的图象与性质、两角和正弦公式的应用，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.〔1〕求ω的值；〔2〕求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及相应的x 的值；〔3〕假设()f x =，求25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】〔1〕2；〔2〕最小值-512x π=；最大值3，0x =；〔3〕1916【解析】【分析】〔1〕由正弦函数的周期2T ωπ=，代入求解即可；〔2〕由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再求函数的值域即可；〔3〕由有1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，再结合诱导公式化简求值即可.【详解】解：〔1〕因为函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，由2T ππω==，得2ω=.〔2〕()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 262x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭.于是，当26x ππ+=，即512x π=时，()f x 获得最小值-当266x ππ+=，即0x =时，()f x 获得最大值3.〔3〕因为()262f x x π⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1916=. 【点睛】此题考察了三角函数的周期，重点考察了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题.()2sin (sin cos )2f x x x x a =++-的图像经过点π(,1)4.〔1〕求a 的值以及()f x 的单调递减区间；〔2〕当[,]22x ππ∈-时，求使()1f x <成立的x 的取值集合. 【答案】〔1〕a=1,()f x 的单调递减区间为37[,],88k k k Z ππππ++∈；〔2〕{|}24x x ππ-<< 【解析】【分析】〔1〕根据函数f 〔x 〕的图象过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭求出a 的值，再化f 〔x 〕为正弦型函数，求出它的单调递减区间；(2)由()1f x <，得sin 242x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭,结合正弦函数图像，解三角不等式即可.【详解】解：〔1〕因为函数()()2sin sin cos 2f x x x x a =++-的图像经过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭，所以1222a =⨯-，解得1a = 又()()22sin sin cos 12sin 2sin cos 1f x x x x x x x =+-=+-1cos2sin2124x x x π⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭,由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递减区间为37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔2〕由()1f x <，得sin 242x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭ 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，532444x πππ-≤-≤故52444x πππ-<-<，解得：24x ππ-<< 故使()1f x <成立的x 的取值集合为{|}24x x ππ-<<.【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质的应用问题，也考察了三角恒等变换问题，是根底题．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．〔1〕求()f x 的图象的对称中心；〔2〕假设5,24x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域为[]1,2-，求m 的取值范围；〔3〕设函数()()2f x gx n =-，假设存在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()03g x ≤≤，求n 的取值范围．【答案】〔1〕(,0),28k k Z ππ-∈;〔2〕11248m ππ≤≤;〔3〕542n -≤≤ 【解析】【分析】〔1〕直接解方程sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得到对称中心；〔2〕作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象如下列图，观察图象可得m 的取值范围；〔3〕将问题转化为()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解问题，求出函数的最值，即可得答案；【详解】〔1〕sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2,4x k k Z ππ+=∈，即,28k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的图象的对称中心(,0),28k k Z ππ-∈. 〔2〕作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象如下列图，当2sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，∴246B x ππ+=-或者7246Cx ππ+=，可得524Bx π=-，2141C x π=，当2sin 224x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，∴8G x π=，∴11248m ππ≤≤. 〔3〕由题意得：()023f x n ≤-≤在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解， ∴()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解，552,22424643x x πππππ⎡⎤∈-⇒-≤+≤⎢⎥⎣⎦，∴()[1,2]f x ∈-，∴()max [2]4f x =，()min 5[23]2f x -=-， ∴542n -≤≤. 【点睛】此题考察三角函的图象与性质、不等式有解问题，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意借助图形的直观性进展分析.。

贵州省遵义市遵义市四城区联考2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

贵州省遵义市遵义市四城区联考2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列与999︒角终边相同的角为（） A ．91︒-B ．91︒C ．81︒-D ．81︒2．已知向量()2,5a =-r ，()4,b λ=r ，若//a b r r ，则（）A ．52-B ．85-C ．10D ．10-3．已知集合{}1M x x a =<<，{}26N x x =<<，若N M ⊆，则a 的取值范围是（） A ．{}6a a ≥ B ．{}6a a > C ．{}6a a ≤D ．{}6a a <4．某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支，15万支，20万支．为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取（） A ．375支B ．350支C ．125支D ．500支5．设0.22a =，0.2log 2b =，πsin 4c =，则（）A ．b<c<aB ．c<a<bC ．c b a <<D ．b a c <<6．函数()2240xf x x =+-的零点所在的一个区间是（）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,67．已知tan 3α=，则3cos cos sin ααα-的值为（）A ．34B ．310C ．35D ．238．已知函数()()lg 31kf x x =+，若不等式()1f x <在()0,33x ∈上恒成立，则k 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题9．下列关于平面向量的说法正确的是（）A ．若a r ，b r 是共线的单位向量，则a b=r r B ．若a r ，b r是相反向量，则a b =r rC ．若0a b +=r rr ，则向量a r ，b r 共线 D ．若//AB CD u u u r u u u r，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上10．若角α的终边在第三象限，则sin2cos 3tan 222sincostan222αααααα+-的值可能为（）A ．0B ．2C ．4D ．4-11．在平行四边形ABCD 中，设AQ AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，其中[],0,1λμ∈，则下列命题是真命题的是（）A ．当1λ=时，点Q 在线段DC 上B ．当点Q 在线段AC 上时，λμ= C ．当1λμ+=时，点Q 在对角线BD 上 D ．当132λμ+=时，点Q 在某线段上运动三、填空题12．已知1e r ，2e r 是两个不共线的向量，127a e e =-r r r ，123b ke e =+r r r，若a r 与b r 共线，则k =． 13．已知角α的终边经过点)()0Pm m ≠，且1sin mα=，则2m =． 14．某班成立了A ，B 两个数学兴趣小组，A 组有5名学生，B 组有10名学生．在某次测验中，A 组学生的成绩如图所示，B 组学生的平均成绩为117分，方差为14．若从A 组学生中随机抽取2人作为兴趣小组组长，则这2个组长的成绩均在120分以上的概率为；若将A 组学生、B 组学生该次测验的成绩混合在一起，产生一组新的数据，则这组新数据的方差为．四、解答题15．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)求sin α，cos α，tan α的值；(2)求()()()()3πcos tan πsin 2π2sin 7πcos πααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-+的值． 16．某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按3,5),5,7),7,9)][,9,11)[,11[[,13[分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．(1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；(2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；(3)以这100个家庭的旅游支出数据各组的频率代替各组的概率，在全国范围内随机抽取2个春节期间出游的家庭，每个家庭的旅游支出情况互相不受影响，求恰有1个家庭的旅游支出在[3,5)内的概率．17．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD 挖去扇形OAB 后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.(1)若280OD OA ==厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边CD 的长度； (2)若2AD OA =.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.18．如图，在直角梯形ABCD 中，3,5,,BC AD DC DE AB BC BE ==⊥u u u r u u u r u u u r u u u r与AC 交于点F ，点M 在线段AD 上.(1)用BA u u u r 和BC u u ur 表示,BD BE u u u r u u u r ；(2)设BF BE λ=u u u r u u u r，求λ的值；(3)设BD xAC yBM =+u u u r u u u r u u u u r ，证明：49xy ≤.19．已知函数22()log 2()3()f x x ax a =-+∈R ． (1)若()f x 在21,)[a -+∞上为增函数，求a 的取值范围；(2)若函数2()()1log 4)(g x f x x =+-+在1(,2)2上恰有两个零点，求a 的取值范围．。

山西省晋城市城区晋城市第二中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题(无答案)

晋城二中高一第二学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知集合，，，，，则（）A ．，，，B ．，，C ．，，D ．2．函数的零点一定位于区间（）A ．，B ．，C ．，D ．，3．设，，都是实数，则“”是“”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知，满足：，，，则（）ABCD5．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，则（）A ．2B ．1CD6．设平面向量，满足，，则在方向上的投影向量为（）A ．B ．C ．D ．7．设复数，是其共轭复数，若，则实数（）A ．4B ．3C ．2D ．18．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔{1M =-012}{|lg(2)}N x y x ==-M N = {1-012}{1-01}{012}{1.2}2()log 27f x x x =+-(12)(23)(34)(56)a b 0a b >>11a b b>-a b||3a = ||2b = ||4a b += a b -=i 10xe +=i cos isin e θθθ=+5i 66e eππ+=a b ||a = ||3b = 43a b a ⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭ a b 2b2b- 23b23b- z a i =+z 3455z i z =+a =都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点恰好在边上，请帮忙计算的值（）A．B ．CD二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．已知为复数，是的共为复数，则下列命题一定正确的是（）A ．若为纯虚数，则B ．若，则C ．若，则的最大值为2D ．10．对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是（）A ．若，则与不是共线向量B ．C ．若，且，则D ．11．设正实数，满足，则下列说法正确的是（）A ．的最小值为4B ．的最大值为C的最大值为2D ．的最小值为12．在中，角，，所对的边分别是，，，则下列结论正确的是（）A ．若，，则的外接圆半径是4B ．若，则C ．若，则一定是钝角三角形D ．若，则30︒45︒60︒90︒120︒150︒ABD △5AB =6BD =4AC =3AD =C BD cos ACD ∠1259i(,)z a b a b =+∈R z z 2z 0a b =≠1z∈R z ∈R |i |1z -=||z 2||z z z ⋅=a b ca b ≠ a b()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ a b a c ⋅=⋅ 0a ≠b c= ()(,)a b c b c a⋅=x y 23x y +=3y x y+xy 98224x y +92ABC △A B C a b c 2a =30A =︒ABC △cos sin a bA B=45A =︒222a b c +<ABC △A B <cos cos A B<三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．已知幂函数的图象过点，则______．14．如图，，是半径为1的圆的两条直径，为直径上一点，且，则______．15．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则是______三角形．16．设为的内心，，，，则______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量，，，（1）若，求的值；（2）若，求的值．18．（12分）如图，在四边形中，，，，且，．（1）求实数的值；（2）若，是线段上的动点，且，求的最小值．19．（12分）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足．（1）求角的大小；()f x (4,2)(9)f =BC DE O F BC 2BF FO =FD FE ⋅=ABC △A B C a b c 22222222a a cb b bc a +-=+-ABC △O ABC △5AB AC ==8BC =(,)AO mAB nAC m n =+∈Rm n +=(2,1)a =(1,2)b =(3,)c λ=c a∥||c()ka b a +⊥k ABCD 60B ∠=︒4AB =8BC =AD BC λ=4AD AB ⋅=-λM N BC ||2MN =DM DN ⋅ABC △a b c A B C 222a b c ab +-=C（2）设向量，向量，且，，求的面积．20．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，．（1）若，证明：；（2）若，求周长的最大值．21．（12分）设函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间．22．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围．33sin ,2a A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1,2cos )b C =- a b ⊥ 2c =ABC △ABC △A B C a b c 3A π=2c b =(sin sin )(sin sin )sin sin A B A B B C +-=2a =ABC △22()sin cos 2cos cos 3f x x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()f x ()f x R 13()33xx n f x +-=+()y f x =428log log (42)0f x f a x ⎛⎫⋅+-> ⎪⎝⎭a。

黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知向量()()1,1,,2a m b m =-=r r ，若a b ⊥r r ，则实数=m （） A ．2B ．23C ．-1D ．-22．已知向量()a =r ，(2,b =-r ，则向量,a b r r的夹角为（）A ．5π6 B ．π4C ．π3D ．6π 3．设e →为单位向量，||2a →=，当,a e r r 的夹角为π3时，a →在e →上的投影向量为（）A ．12-B ．e →C ．12e →D e4．已知a r 与b r 为非零向量，,2,OA a b OB a b OC a b λμ=+=-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r，若,,A B C 三点共线，则2λμ+=（）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知向量|||a b =r r ，若,a b rr 间的夹角为34π，则2a b -=r r （）AB C D 6．设D 为ABC V 所在平面内一点，且满足3CD BD =u u u ru u u r，则（） A ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rB ．3122=+u u u ru u u r u u u r AD AB AC C ．3122AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rD ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r7．在ABC V 中，其内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A a +=，则ABC V 的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形8．为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A ，B 分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG ，使得H ，G ，B 三点在同一直线上，在G ，H 两点用测角仪测得A 的仰角分别是α和β，CD a =，测角仪器的高度是h ．由此可计算出建筑物的高度AB ，若75,45αβ=︒=︒，则此建筑物的高度是（）Ah + Bh + Ch - Dh -二、多选题9．已知平面向量(1,0)a b ==-r r，则下列结论中正确的是（） A．2a b -=r rB ．2a b =r rC ．()a b b +⊥rr rD ．a r 与b r的夹角为π310．设M 是ABC V 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A ．若1122AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，则M 是边BC 的中点B ．若MA MB MC ==，则M 是ABC V 的垂心 C ．若AM BM CM -=-u u u u r u u u u r u u u u r，则M 是ABC V 的重心 D ．若AB AC AM AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u u r u u ur u u u r ，则动点M 过ABC V 的内心 11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A ．若sin sin AB <，则A B <B ．若ABC V 是锐角三角形，sin cos A B <恒成立C ．若10a =，9b =，60B =︒，则符合条件的ABC V 只有一个D ．若ABC V 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=三、填空题12．已知向量(1,2)a =r ，(2,2)b =-r ，(1,)c k =r ．若//(2)a b c +r r r，则k =．13．在ABC V 中，若5b =，π4B ∠=，tan 2A =，则=a ；14．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且25sin cos 4A A +=，则角A =，当a =bc 的最大值是.四、解答题15．（1）已知3a =r ，()1,2b =r ，且a r //b r ，求a r的坐标. （2）已知()4,2a =r ，求与a r垂直的单位向量的坐标.16．已知在三角形ABC 中，2AC =，4BC =，30B =o ，且边AB ，BC 上的中线CD ，AE 交于点M . (1)求AB 的长； (2)求cos AMC ∠的值.17．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若向量sin )m A =-v，(,2)n a c =v，且m n ⊥u v v .（1）求C ；（2）若c =6a b +=，求a ，b 的值.18．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =． (1)若2c b =，证明：()()sin sin sin sin sin sin AB A B BC +-=； (2)若2a =，求ABC V 周长的最大值．19．在ABC V 中，P 为AB 的中点，O 为边AC 上的中点，BO 交CP 于R ，设AB a u u u r r=，AC b =u u u r r(1)试用a r ，b r表示AR u u u r ；(2)若2a =r ，1b =r ，,60a b =o rr ，求ARB ∠的余弦值(3)若H 在BC 上，且RH BC ⊥，设2a =r ，1b =r ，,a b θ=r r ，若π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求CH CB u u u r u u u r 的范围.。

2021-2022学年辽宁省沈阳市高一年级下册学期4月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年辽宁省沈阳市高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．（）()o sin 1020=-A ．BC ．D ．1212-【答案】B【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】.()()o sin 1020sin 603603sin 60-=︒-︒⨯=︒=故选：B.2．已知向量的夹角为，且，则（）,a b 23π||3,||4a b ==2ab +=A ．49B ．7C D【答案】B【分析】根据向量数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；a b ⋅ a +【详解】解：因为向量的夹角为，且，所以,a b 23π||3,||4a b ==，所以21346o32c s a ba b π⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⋅=⎭a+= ；7==故选：B3．函数的图象的对称中心是tan(2)4y x π=+A ．B ．(,0)4k k Zππ-∈(,0)24k k Z ππ-∈C ．D ．(,0)28k k Z ππ-∈(,0)48k k Z ππ-∈【答案】D【详解】试题分析：令2x+=，k ∈z ，求得x=-，k ∈z ．4π2k π4πk 8π故函数y ＝tan(2x+)的图象的对称中心是（-，0），k ∈z ，4π4πk 8π故选D ．【解析】正切函数的奇偶性与对称性．4．当时，若，则的值为（）()0,πθ∈2π3cos 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．45-4545±35【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，()0,πθ∈()π,0θ-∈-所以，2ππ2π,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因为，所以，2π3cos 035θ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭2ππ2π,323θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，2π4sin 35θ⎛⎫-==⎪⎝⎭又因为，π2ππ()33θθ+=--所以.π2π2π4sin sin πsin 3335θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选:B.5．的值为（）2π4πsin sin sin 33x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．C ．D ．01212-2【答案】A【分析】直接利用诱导公式和两角和的正弦展开公式求解即可.【详解】原式2π2π4π4πsin sin coscos sin sin cos cos sin 3333x x x x x =++++ππππsin sin cos πcos sin πsin cos πcos sin π3333x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππsin sin cos cos sin sin coscos sin3333xx x x x =-+--11sin sin sin 0.22x x x x x =--=故选:A.6．电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度（）．α=注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等；（ⅱ）取等于3进行计算．πA ．30密位B ．60密位C ．90密位D ．180密位【答案】A【分析】求出1密位对应的弧度，进而求出转过的密位.【详解】有题意得：1密位=，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相等，2π160001000=所以，因为，所以迫击炮转动的角度为30密位.5431800100α==31301001000÷=故选：A7．已知为所在平面内一点，且满足，则点（）O ABC 22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ O A ．在边的高所在的直线上B ．在平分线所在的直线上AB C ∠C ．在边的中线所在直线上D ．是的外心AB ABC 【答案】A【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可得，进而可判断.BA OC ⊥ 【详解】由得，所以22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ 220BA OA BC AB OB AC ⋅+-⋅-= ,()()()0BA OA BC AC BC AC BA OB BA OA OB BC AC ⋅+⋅-+⋅++⋅++⇒==,所以，所以在边的高所在的直线上，20BA OC ⋅= BA OC ⊥O AB 故选：A8．设，，若函数恰好有三个不同的零点，分别为、()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x a =-1x 、，则的值为（）2x ()3123x x x x <<1232x x x ++A ．B ．C ．D ．π34π32π74π【答案】C【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】由，得对称轴，()242x k k Z πππ+=+∈()28k x k ππ=+∈Z ，由，解得，90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 90288k πππ≤+≤124k -≤≤当时，对称轴，时，对称轴.0k =8x π=1k =58x π=由得，()0f x a -=()f x a=若函数恰好有三个不同的零点，等价于函数与的图象有三个交点，()y f x a=-()y f x =y a =作出函数的图象如图，得，()f x ()0f 1a ≤<由图象可知，点、关于直线对称，则，()()11,x f x ()()22,x f x 8x π=124x x π+=点、关于直线对称，则，()()22,x f x ()()33,x f x 58x π=2354x x π+=因此，.1231223532442x x x x x x x πππ++=+++=+=故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.二、多选题9．若满足，，则可以是（）,αβ1sin 2α=-1cos()2αβ-=βA ．B ．C ．D ．6π2π56ππ【答案】AC【分析】利用特殊角的三角函数值求解.【详解】因为，，1sin 2α=-所以或，112,6k k Zπαπ=-+∈2252,6k k Z παπ=-+∈因为，1cos()2αβ-=所以或，332,3k k Zπαβπ-=+∈442,3k k Zπαβπ-=-+∈所以()131322,,2k k k k Zπβπ=-+-∈或，()2323722,,6k k k k Z πβπ=-+-∈或，()141422,,6k k k k Zπβπ=+-∈因为范围不定，,αβ当时，，当时，=，14k k =6πβ=231k k -=β56π故选：AC10．已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（）a b cA ．，B ．可能成立R λ∃∈()a b a bλ+=⋅ ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ C ．若，则D ．若，则或a b b c ⋅=⋅a c= 1a b ⋅= 1a = 1b = 【答案】ACD【分析】利用平面向量积的定义可判断A 选项；利用特例法可判断BCD 选项.【详解】仍是向量，不是向量，A 错；()+a bλ a b ⋅ 不妨取，，，则，()1,1a =()2,2b =()3,3c =()()()43,312,12a b c ⋅⋅==，此时，B 对；()()1212,12a b c a ⋅⋅==()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ 若，，，则，但，C 错；()1,0b = ()3,2a = ()3,3c = 3a b b c ⋅=⋅= a c ≠若，，则，但，，D 错.()2,1a = ()1,1b =- 1a b ⋅= 1a > 1b > 故选：ACD.11．在平面四边形ABCD 中，，，则（）2221AB BC CD DA DC ===⋅= 12⋅=BA BC A ． B ．21AC = CA CD CA CD+=-C ．D ．AD = BD CD ⋅=【答案】ABD【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可.【详解】由已知可得，1AB BC CD ===又由，可得，12⋅=BA BC 3B π=所以△ABC 为等边三角形，则，故A 正确；21AC = 由，得，2CD DA DC =⋅ ()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=所以，则，故B 正确；AC CD ⊥CA CD CA CD+=- 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则，，，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02C⎛⎫ ⎪⎝⎭12D ⎫⎪⎪⎭，，12BD ⎫=⎪⎪⎭ 12CD ⎫=⎪⎪⎭所以D 正确；BD CD ⋅ 故选：ABD.12．设函数的最小正周期为，且过点，则()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>≤ ⎪⎝⎭π下列正确的为（）A ．4πϕ=-B ．在单调递减()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．的周期为(||)f x πD ．把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为()f x 2π()g x ()2g x x =【答案】BC【分析】把函数式化为一个角的一个三角函数形式，根据三角函数的性质求出参数值，然后判断各选项．【详解】由已知，())))4f x x x x πωϕωϕωϕ⎤=++=++⎥⎦所以，，2T ππω==2ω=又，，又，所以，A错误；()4f x πϕ=+=242k ππϕπ+=+Z k ∈2πϕ≤4πϕ=，时，，由余弦函数性质得B 正确；())22f x x xπ=+=0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,x π∈是偶函数，，周期为，C 正确；()f x (||)()f x f x =π把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数解析式这()f x 2π，D错．()2())22g x x x xππ+=+=故选：BC ．三、填空题13__________.=【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为，()()2220cos 20sin 20cos 20sin 20cos s 0i 2n -=-+，()cos155cos 25cos 4520=-=--，20sin 20=- cos 20sin 20=-==()()cos 20sin 2021cos 20sin 202+==+故答案为：2.14．已知函数在区间上的最小值为-1，则__________．sin (0)y x x ωωω=+>[0,6πω=【答案】5【详解】整理函数的解析式有：，2sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,,,63363x x πππωππω⎡⎤⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 函数的最小值为，则：.1-7,5636ωπππω+=∴=15．已知，又在方向上的投影向量为，则的值为__________.||4,||3,6a b a b ==⋅= a b c ()c a b⋅+ 【答案】10【分析】由已知先求出在方向上的投影向量的，再计算的值.a b c ()c a b ⋅+ 【详解】由已知，可得，||4,||3,||||cos 6a b a b a b θ==⋅=⋅⋅= 1cos 2θ=所以在方向上的投影向量，a b 2cos 3b c a bb θ=⋅⋅=所以.()2222263103333c a b c a c b b a b b ⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯= 故答案为：1016．如图，在中，已知，点分别在边上，且ABC ∆4,6,60AB AC BAC ==∠=︒,D E ,ABAC ，点为中点，则的值为_________________.2,3AB AD AC AE == F DE BF DE【答案】4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 【解析】向量数量积四、解答题17．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边与单位圆交于点α，角的终边所在射线经过点.34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭β(,)(0)Q m m m -<（1）求的值；sin tan αβ⋅（2）求.223sin sin 22sin()sin 2sin cos ππαβπαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++【答案】（1）；（2）.4574-【分析】（1）根据三角函数的定义求和的值，即可求解.sin αtan β（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可求解.【详解】（1）点到原点O 的距离，P 11r =由三角函数定义知4sin 5α=-由角的终边所在射线经过点，由知，β(,)m m -0m <|||OQ m =由三角函数定义知，sinβ==cos β==则tan 1β=-所以.4sin tan 5αβ⋅=（2）22223sin sin cos cos 22sin()sin 2sin cos sin sin 2sin cos ππαβαβπαβββαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+++-+21tan tan 2tan αββ=-++由三角函数定义知，，所以且 4sin 5α=-3cos 5α=-4tan 3α=tan 1β=-所以原式.3174124=-+=--18．已知向量．(1,1),(3,1)a b ==-(1)若有，求值；(2)()a b a b λ-⊥+2()a b λ+ (2)若，向量与的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．(2,)c m = 2a b - c 【答案】(1)136(2)6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，，再由2(5,3)a b -=- (3,1)a b λλλ+=+-代入坐标运算求出，再求即可；(2)()0a b a b λ-⋅+= λ2()a b λ+（2）由向量与的夹角为钝角，首先满足，再排除与的夹角为平角的2a b - c (2)0a b c -⋅< 2a b - c 情况即可得解.【详解】（1）由题可得：，2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-，(1,1)(3,1)(3,1)a b λλλλ+=+-=+-因为，所以有，(2)()a b a b λ-⊥+(2)()0a b a b λ-⋅+= 所以，解得，515330λλ--+-=9λ=-(1,1)(3,1)=(3,1)(6,10)a b λλλλ+=+-+-=--故的值为136．2()a b λ+ （2）2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-向量与的夹角为钝角，2a b -c 首先满足，得：，所以．(2)0a b c -⋅< 3100m -<103<m 其次当与反向时，，所以．(2)a b - c 650m +=65m =-所以且，即m 的取值范围是．103<m 65m ≠-6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 19．如图：四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠ABC =，E 为AO 的中点，3π（）．CF CD λ=01λ≤≤(1)求；BE BD ⋅ (2)求当取最小值时，的值．EF λ【答案】(1)24(2)38λ=【分析】（1）由平行四边形法则结合数量积公式得出；BE BD ⋅ （2）当时，取到最小值，再由直角三角形的边角关系得出，进而得出的值．EF CD ⊥EF CF λ【详解】（1），BD BA BC =+ 11312244BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 223144BE BD BA BA BC BC ⋅=+⋅+∴ 1244cos 4243π=+⨯⨯+=（2）当时，取到最小值，此时EF CD ⊥EF 33cos 602CF ⋅=︒= ∴33248λ==20．已知，，．()cos ,5sin m x x = ()sin ,cos nx x x =- ()f x m n =⋅+ (1)将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求的解析式及最小正周期；()f x π3()g x ()g x (2)当时，求函数的单调递增区间、最值及取得最值时的值．,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ()g x x 【答案】(1)，最小正周期为()π6sin 23g x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭π(2)函数的单调增区间为；的最大值为，此时；的最小值为，()g x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 6π12x =()g x 6-此时512x π=-【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数，再进行伸()f x 缩平移可得及其图象性质；()g x （2）利用整体代入法可得单调区间，进而得最值.【详解】（1）由已知得，()()cos sin 5sin cos x x x x x f x =⋅-++2cos sin 5sin cos x x x x x =⋅-+⋅+26cos sin x x x =⋅-+1cos 23sin 22x x +=-+3sin 22x x=-．6sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，()f x 3π()g x 所以．()6sin 26sin 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-=+⎭⎝⎭所以的最小正周期．()g x 22T ππ==（2）由（1）得，当时，．()6sin 23g x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦242,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦令，解得，2232x πππ-≤+≤51212x ππ-≤≤所以函数的单调增区间为，()g x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以的最大值为，此时，；()g x 6232x ππ+=12x π=的最小值为，此时，．()g x 6-232x ππ+=-512x π=-21．已知函数的部分图像如图所示.()()cos (0,0,)2f x A x a πωϕωϕ=+>><(1)求的解析式；()f x(2)设为锐角，的值.,αβ()cos sin ααβ=+=2f β⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭713-【详解】试题分析：（1）根据函数图象求出，和的值即可；（2）利用两角和差的余弦公式A ωϕ和正弦公式进行化简求解．试题解析：(1)由图可得,ππ3πω2f cos 0,ω88844A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+⇒==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.()1A cos ,244A f x x ππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭(2)为钝角，()cos sin αααβαβ==>+=∴+，()()125cos sin sin cos 1313αββαβαβ+==+-===.7cos sin 2413f βπβββ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析()sin y A x ωφ=+()sin y A x ωφ=+式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小,,A ωφA 值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，ω2T πω=2T 4T φA ω通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.22．已知函数()2sin 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调区间()f x （2）将函数的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到()f x 6π函数的图象.若对任意的，不等式成立，求实数()h x 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦的取值范围.p【答案】（1）增区间；（2）.5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (,6p ∈-∞+【分析】（1）将函数转化为，然后利用正弦函数的性质求解；()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据平移变换和伸缩变换得到，然后将不等式()sin h x x =恒成立，转化为，成立()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1），()2sin 23fx x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 2sin 2cos sin cos 2332xx x ππ+=+-，1sin 2222x x x =，1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭由于的单调增区间为，，sin y θ=2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 令，，22,2322x k k πππππ⎡⎤-∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 得：，，5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ∴单调增区间为，.()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），()sin 23πfx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位得，6πsin 2sin 263x xππ⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：，1sin 2sin 2x x ⋅=故，()sin h x x =不等式，()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦即，()sin 1sin 1sin 22p x x x π⎡⎤⎛⎫⋅-+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，成立，()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此时，，，()sin 0,1x ∈()cos 0,1x ∈(]sin 20,1x ∈∴，，()()sin 1cos 10x x -->sin 20x >当时，不等式恒成立，0p ≤当时，，0p >()()max sin 1cos 11sin 2x x p x --⎡⎤>⎢⎣⎦令，()()()sin 1cos 1sin 2x x F x x --=sin cos 1cos sin 11cos sin 2sin cos 22sin cos xx x x x xx xx x +----==+设，则，cos sin 4t x x x π⎛⎫=+=+∈⎪⎝⎭22sin cos 1x x t =-则，211113(0,21212t y t t -=+=-∈-+所以，即，132p >06p <<+综上，.(,6p ∈-∞+。

西藏自治区林芝市第一中学2024届高三下学期第一次月考(4月)数学试题试卷

西藏自治区林芝市第一中学2024届高三下学期第一次月考（4月）数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．2．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值3．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（）．A ．B ．C ．D ．4．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A 15- B 51+ C 51- D 51+51- 5．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（）A ．—1B ．—3C ．1D ．26．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．21+B ．12C ．21D ．21-8．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（）A ．2B ．-2C ．-3D ．39．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-10．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=11．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（） A ．{}2x x >-B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <12．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期4月月考试题数学含答案

滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷（答案在最后）命题人：一､单选题本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.2024- 的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若()π,πx ∈-，使等式()sin πsin 1x =-成立的x 的值是（）A.π2-B.π2 C.π5π,66D.π5π,66--3.函数()21sin 21xf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A. B.C. D.4.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是ABC 的外接圆的一部分和以AB 为直径的圆的一部分，若C 是 AB 的中点，2π3ACB ∠=，南北距离AB 的长大约，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据：π 1.73≈≈）A.22288mB.25792mC.27312mD.28112m 5.若sin ,cos θθ是方程20x mx m -+=的两根，则m 的值为（）A.1B.1+C.1±D.1-6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，若12π5π2πsin ,cos ,tan 777a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c>> D.c b a>>7.已知函数()()cos sin f x x =，现给出下列四个选项正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的最小正周期为2πC.π2x =是()f x 的一条对称轴D.()f x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增8.定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数()()2211,32sin 32cos f x g x x x ==--，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（）A.12 B.23 C.1 D.43二､多选题本题共三道小题，每小题6分，共18分，在每道小题给出的四个选项中，多个选项是符合题目要求的，部分正确得2或3分，有选错的得0分9.下列选项正确的是（）A.函数()()sin 2(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期是πωB.若α是第一象限角，则tan 02α>C.函数()πtan 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是()ππ,0,Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，“sin cos tan 0A B C <”是“ABC 是钝角三角形”的充要条件10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.已知函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()(0)g x f x t t =->有2n 个零点()n N +∈，记为12212,,,,n n x x x x - ，且12212n n x x x x -<<<< ，则下列结论正确的是（）A.()0,2t ∈B.1217,24x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭C.45189,484x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭D.()3452122182n n x x x x x -+++++= 三､填空题本题共三道小题，每小题5分，共15分12.函数()1πlg sin 26f x x =⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的定义域是__________.13.已知函数()22tan sin sin cos 2cos f x x x x x =-+，则()2f =__________.14.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时满足()π16ππ2sin 2,0,6613π,226x x x f x x x -+⎧⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩关于的方程()()2[]230f x af x -+=有且仅有8个不同实根，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题本题共五道小题，其中15题满分13分，16､17题满分各15分，18､19题满分各17分共77分.15.在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点,2P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，连接圆心O 和P 得到射线OP ，将射线OP 绕点O 按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-的值；（2）记点B 的横坐标为()f θ，若π164f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求π5πcos cos 36θθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.16.已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭图象上的任意两点，()01f =-，且当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=.（1）求当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的单调递增区间；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标也变为原来的12倍，再将所得函数图象上的所有点向左平移π8个单位得到()y g x =的图象，若()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，求实数m 的取值范围.17.位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点P ，在乘降点P 处进入座舱后开始开始观光，再次回到乘降点P 时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.（1）甲乙两名游客分别坐在A B ､两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧 AB 的弧长l （单位：米）；（2）设游客从乘降点P 处进舱，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.18.已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，且满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）设()2cos 2sin g x x a x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()123g x f x <+，求实数a 的取值范围；（2）当（1）()2cos 2sin g x x a x =+中12a =时，若[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，()42(0)x xh x m m m =⋅-+>都有()()2140h x g x -≥成立，求实数m 的取值范围.19.若函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭且()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“M 函数”.（1）试判断()4sin3xf x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()3S .滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷答案详解一､单选题1.【答案】B【详解】易知20241366360-=-⨯ ，而136 的终边在第二象限，故1640- 的终边在第二象限.即B 正确.2.【答案】D【详解】由()sin πsin 1x =-得ππsin 2π,2x k k Z =-+∈，所以1sin 2,2x k k Z =-+∈，又[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 2x =-，所以π2π6x k =-+或5π2π,6x k k Z =-+∈，因为()π,πx ∈-，所以π6-或5π6-.故选：D3.【答案】C【详解】()21sin 21x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，由已知()f x 的定义域为R ，又()()()()()221121sin sin sin 212112x x x x xf x x x x f x ---⎛⎫⎛⎫--⎛⎫-=-⋅-=⋅-=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除AB ，当1x =时，()12111sin1sin10213f ⎛⎫=-=> ⎪+⎝⎭，故排除D.故选：C.4.【答案】D【详解】设ABC 的外接圆的半径为r ，圆心为0，如图，因为1π,23BCO BCA OB OC ∠∠===，所以OBC 是等边三角形，120322AB BD ===因为月牙内弧所对的圆心角为2π2π2π233-⨯=，所以内弧的弧长2π12080π3l =⨯=，所以弓形ABC 的面积为11180π120604800π22S =⨯⨯-⨯=-以AB 为直径的半圆的面积为21π5400π2⨯=，所以该月牙泉的面积为(5400π4800π600π188462288112--=+≈+=，故选：D5.【答案】A【详解】由题设2Δ()40m m =--≥，得4m ≥或0m ≤.由韦达定理得sin cos m θθ+=且sin cos m θθ=，所以22(sin cos )12sin cos 12m m θθθθ+=+⇒=+，即2210m m --=，可得12m =±4m ≥或0m ≤，所以故12m =-.故选：A 6.【答案】B 【详解】根据题意，12π12π2π2πsinsin 2πsin sin 07777⎛⎫⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π2πsin sin 077a f f ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π2π2π2π2πcoscos πcos 0,cos cos 077777b f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-<=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为π2ππ472<<，由三角函数线知2π2πcos sin 77<，所以2π2πcos sin 77->-已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，所以在(),0∞-上是减函数且有()0f x <则0b a <<，已知2πtan 07>，则有2πtan 07c f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以.故选B.7.【答案】C【详解】因为()f x 的定义域为()()()()()R,cos sin cos sin cos sin f x x x x f x ⎡⎤-=-=-==⎣⎦，所以()f x 为偶函数，A 错误；由()()πf x f x =+，可得()f x 的最小正周期为π，B 错误；()ππcos sin cos cos 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()ππcos sin cos cos cos cos 22f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =是()f x 的一条对称轴，C 正确；当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()1,0-，当()1,0x ∈-时，函数cos y x =单调递增，故()f x 在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()0,1，当()0,1x ∈时，函数cos y x =单调递减，故()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，D 错误.故选：C.8.【答案】A【详解】依题意得()()()(),F x f x F x g x ≥≥，则()()()2F x f x g x ≥+，()()()()2222221111132sin 32cos 32sin 32cos 432sin 32cos f x g x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=+=+-+- ⎪⎣⎦----⎝⎭2222132cos 32sin 1221432sin 32cos 4x x x x ⎛⎛⎫--=++≥+= ⎪ --⎝⎭⎝（当且仅当222232cos 32sin 32sin 32cos x x x x --=--，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时，()()1f x g x ==，()()21,F x F x ∴≥∴的最小值为12，故选：A.二､多选题9.【答案】AB【详解】对A ：最小正周期是2ππ2ωω=，故A 正确；对B ：若α是第一象限角，则2α是第一或第三象限角，所以tan 02α>，故B 正确；对C ：令()()ππππ2Z Z 62124k k x k x k +=∈⇒=-+∈，故C 错误；对D ：在ABC 中，由0πA <<知sin 0A >，又由sin cos tan 0A B C <，则有cos 0tan 0B C >⎧⎨<⎩或cos 0tan 0B C <⎧⎨>⎩，所以C 或B 为钝角，满足充分性，而ABC 是钝角三角形，A 为钝角，则有sin cos tan 0A B C >，不满足必要性，故D 错误.故选：AB 10.【答案】ABC【详解】由()01f =-，得1ϕ=-，即sin 2ϕ=-，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω∴-=，即得82,k k Z ω=+∈，又02,2ωω<≤∴=，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；()f x 向右平移3π8个单位后得3352228842y f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，()πππ2121444g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()πππ2π482k x k k Z x k Z +=∈⇒=-+∈所以对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,Z 2x k k =+∈，方程()1f x =即()ππππsin 20,2,242444x x m x m ⎛⎫⎛⎫-=∈∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又在()0,m 上有6个根，π19π25π2,444m ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，所以5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故D 错误.故选：ABC.11.【答案】ABD【详解】将函数2log ,(04)y x x =<<的图象沿y 轴对称并将x 轴下方部分翻折到x 轴上方，即可得到()()2log ,(40)f x x x =--<<的图象；对于()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤< ⎪⎝⎭，最小正周期为2π6π3T ==，故[)0,24上有4个周期，令ππππ,Z 362x k k +=+∈，则可得()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤<⎪⎝⎭的对称轴为31,0,1,2,3,,7x k k =+= ；由此作出函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象，如图：则()()(0)g x f x t t =->的零点问题即为()f x 的图象与直线y t =的交点问题，由图象可知，当4t >时，()f x 的图象与直线y t =有1个交点，不合题意；当4t =时，()f x 的图象与直线y t =有5个交点，不合题意；当24t ≤<时，()f x 的图象与直线y t =有9个交点，不合题意；当02t <<，即()0,2t ∈时，()f x 的图象与直线y t =有10个交点，符合题意，A 正确；由题意可知1241,10x x -<<--<<，满足()()2122log log x x -=-，则()()2122log log x x -=--，即()()()()2122212log log 0,log 0x x x x -+-=--=，()()()()()1212121,2,x x x x x x ∴--=∴-+->=≠，即122x x +<-，由图像知()0,2t ∈，有2n 个零点()n N +∈，所以()1214,1,1,4x x ⎛⎫∈--∈--⎪⎝⎭，由对勾函数得1217,2,B 4x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭正确；由函数图象可得；4541114,,62x x x ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，故()454518714,48,C 4x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭错误；由图象可知()f x 的图象与直线y t =有10个交点，即5n =，且34,x x 关于直线4x =对称，故348x x +=，同理得455667788991014,20,26,32,38,44x x x x x x x x x x x x +=+=+=+=+=+=，故()()345212345291022n n x x x x x x x x x x -+++++=+++++ 8142026323844182=++++++=，D 正确.故选：ABD三､填空题12.【答案】()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭【详解】由函数定义可知πsin 206πsin 216x x ⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≠ ⎪⎪⎝⎭⎩，可得π2π2π2π6,ππ22π62k x k k Z x k ⎧<+<+⎪⎪∈⎨⎪+≠+⎪⎩，所以定义域是()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭13.【答案】45【详解】因为()22222222sin sin cos 2cos tan tan 2tan sin sin cos 2cos sin cos tan 1x x x x x x f x x x x x x x x -+-+=-+==++，所以()42242415f -+==+.14.【答案】74⎫⎪⎭【详解】因为π06x ≤≤，可得πππ2662x ≤+≤，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，()π01,26f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又由π6x >时，()π161322x f x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为单调递减函数，且π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为函数()f x 是R 上的偶函数，画出函数()f x的图象，如图所示，设()t f x =，则方程()()2[]230f x af x -+=可化为2230t at -+=，由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；当312t <<时，方程()t f x =有2个实数根；当1t =时，方程()t f x =有1个实数根；要使得()()2[]230f x af x -+=有8个不同的根，设12,t t 是方程2230t at -+=的两根12,t t ，设()223g t t at =-+，（1）1212322322t t t t ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪≠⎪⎪⎩，即()2Δ4120322393302424430a a g a g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪=-+>⎩74a <<，综上可得，实数a的取值范围是74⎫⎪⎭.四､解答题15.【答案】（1）1；（2）1514-【详解】（1）由于点P 在单位圆上，且α是锐角，可得12m =，所以1cos 2α=，所以()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-3224cos 2cos 4cos 2cos 122cos cos αααααα++===++（2）由（1）可知1cos 2α=，且α为锐角，可得π3xOP α∠==，根据三角函数定义可得：()πcos 3f θθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为ππ1cos 0664f θθ⎛⎫⎛⎫-=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此ππ0,62θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 64θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以π5ππππcos cos cos cos π36626θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππsin cos 66θθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1514-=16.【答案】（1）π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎣⎦⎣⎦；（2）π7π2424m <≤【详解】（1）因为()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，且()()12max 24f x f x A -==，所以2A =依题意可得()02sin 1π02f ϕϕ⎧==-⎪⎨-<<⎪⎩得π6ϕ=-又当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=，1ππ22T ω∴==，又0ω>，即2ω=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令πππ2π22π,262k x k k Z -+≤-≤+∈得()f x 在R 的单调递增区间为πππ,π,63k k k Z⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦又11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以()f x 的单调递增区间为π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标变为原来的12倍得到πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再πsin 46y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移π8个单位得到()πππsin 4sin 4863y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()0,x m ∈，所以πππ4,4333x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，所以ππ3π4232m <+≤，解得π7π2424m <≤，17.【答案】（1）35π3米；（2）()π35cos 45,0189H t t t =-+≤≤；（3）3分钟【详解】（1）解：由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，所以两个相邻座舱所对的圆心角为：2ππ3015=，因为甲､乙之间间隔4个座舱，所以劣弧 AB 所对的圆心角为ππ5153⨯=所以π35π3533l r α==⨯=，即劣弧 AB的弧长为35π3米.（单位：米）（2）如图，以摩天轮转轮中心O 为坐标原点，分别以过O 的水平线和坚直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系.不妨设开始转动t 分钟后距离地面的高度()()sin ,(0,0,0)H t A t b A b ωϕω=++>>>（单位：米），由题可知，max min ()80,()807010H t H t ==-=，所以max min()()352H t H t A -==，max min ()()452H t H t b +==，因为2π18T ω==，解得π9ω=，此时()π35sin 45,(0)9H t t ϕω⎛⎫=++>⎪⎝⎭因为()0807010H =-=，代入有：35sin 4510ϕ+=，解得π2π,Z 2k k ϕ=-+∈故()πππππ35sin 2π4535sin 4535cos 4592929H t t k t t ⎛⎫⎛⎫=-++=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上：()π35cos45,0189H t t t =-+≤≤；（t 的范围）（3）因为在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，所以()()62.5,0,18H t t ≥∈，即π35cos 4562.59t -+≥，解得：π1cos92t ≤-甲，即2ππ4π393t ≤≤，解得612t ≤≤甲，所以1266-=分钟，故有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果，因为劣弧AB 所对的圆心角为π3，所以甲乙相隔的时间为π32π18t =乙，解得3t =乙分钟当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果，故甲乙都有最佳视觉效果的时间为633-=分钟.18.【答案】（1）()2,2-；（2）[)3,∞+【详解】（1）因为()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的对称中心为π,012⎛⎫-⎪⎝⎭，所以π6ϕ=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()22π1sin 2,162f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为对任意的12πππ,,0,222x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，都有()()123g x f x <+成立，所以()()()121max max max 3,134g x f x g x <+<+=，()22cos 2sin sin 2sin 1g x x a x x a x =+=-++，因为1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]1sin 1,1x ∈-，设[]sin ,1,1t x t =∈-，则有()221t t at ϕ=-++图象开口向下，对称轴为t a =的抛物线，当1a ≥时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递增，所以()max ()12t a ϕϕ==，所以24a <，解得2a <，所以12a ≤<；当1a ≤-时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递减，所以()max ()12t a ϕϕ=-=-，所以24a -<，解得2a >-，故21a -<≤-；当11a -<<时，()2max ()1t a a ϕϕ==+，故214a +<，解得a <<11a -<<，综上所述：实数a 的取值范围为()2,2-.（2）当12a =时，对[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，都有()()21504h x g x -≥成立，则()min max 5()4h x g x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦由（1）可知12a =时，max 5()4g x =，所以()max [4]5g x =.则()5h x ≥在[]0,1x ∈恒成立，即()425xxh x m m =⋅-+≥在[]0,1x ∈恒成立则5241xx m +≥+在[]0,1x ∈恒成立.令[]52,6,7xt t +=∈，则()12126102610t h t t t t t==-++-，因为()22610h t t t =+-在[]6,7t ∈单调递增，所以2min 261()61063h t =+-=，所以()11313h t ≤=，所以3m ≥，综上所述，实数m 的取值范围为[)3,∞+.19.【答案】（1）不是，理由见解析（2）答案见解析（3）()7π,0220π,012330π,240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或【详解】（1）解：()4sin 3xf x =不是为“M 函数”，理由如下：因为()π4π2π444πsin sin ,sin sin2323333x x f x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，()()πR 2f x f x x ⎛⎫+≠-∈⎪⎝⎭，因此，函数()4sin3xf x =不是为“M 函数”.（2）解：函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令3π4x x =+得()3π3π3π444f x fx f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()3π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为3π2T =，因为()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈⎪⎝⎭，则()f x 的一个对称轴为π4x =.①当()3ππ3π,π242k k x k Z ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦时，()3ππ,π24k x k Z ⎡⎤-∈∈⎢⎥⎣⎦，则()()3π3πsin 22k k f x f x x k Z ⎛⎫⎛⎫=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当()3ππ3ππ,Z 2224k k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，则()3πππ,Z 224k x k ⎡⎤-∈-∈⎢⎥⎣⎦，则()π3ππ,πZ 224k x k ⎛⎫⎡⎤--∈∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以，()π3ππ3π3πsin cos 22222k k k f x f x x x k Z ⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎭.综上所述，()()()3π3ππ3ππcos ,222243π3ππ3πsin ,π2242k k k x x k Z f x k k k x x k Z ⎧⎛⎫--≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<≤+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以，函数()f x 在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ3π,,π,422⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（3）解：由（2）可得函数()f x 在π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，下面考虑方程()f x a =在区间π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的根之和.①当202a ≤<或1a =时，方程()f x a =有两个实数解，其和为π2；②当22a =时，方程()f x a =有三个实数解，其和为3π4；③当212a <<时，方程()f x a =有四个实数解，其和为π.当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，所以，当0a =时，()()π3π341237π22S =-⨯+⨯++=；当202a <<或1a =时，()()π3π32412320π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当22a =时，()()π3π33412330π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当212a <<时，()()π3π34412340π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦.因此，()7π,0220π,0123230π,2240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或。

长春市第二实验中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试卷(PDF版)

长春二实验中学2022-2023学年度下学期月考高一数学试题2023年4月本试卷分客观题和主观题两部分共22题，共150分，共3页。

考试时间为120分钟。

考试结束后，只交答题卡。

第Ⅰ卷客观题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．以下说法正确的是（）①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A ．①②④⑥B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥2．在中，若cos aB c =，则的形状是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形3．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,3P ，()24,0P ，且P 是线段12PP 的一个三等分点（靠近1P 点），则向量OP =（）A ．（2，2）B ．（3，-1）C ．（6，6）D ．（3，1）4．如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知1A O B O C O ''''''===，则的周长为（）A ．6B．2+C ．8D．2+5．在平行四边形ABCD 中，G 为的重心，AG xAB y AD =+，则3x y +=（）A.103 B.2C.53D.16.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为)151-m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A.20mB.30mC.mD.m7．已知i 是虚数单位，复数()i R,R z a b a b =+∈∈，且1z =，则i z 的最大值为（）A ．3B ．2C ．1D ．48．记内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 是的重心，若,56BG CG b c ⊥=则cos A 的取值是（）A ．5975B ．5775C ．1115D ．6175二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量)2,1(-=a ,)1,(t b =，则下列说法错误的是（）A.若a b ∥，则t 的值为12-B.与a垂直的单位向量一定为255,55⎛ ⎝⎭C.的最小值为3D.若b 在a（e 为与向量a同向的单位向量），则5t =10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则下列结论错误的是（）A.sin cos A B=B.若4b =，则ABC ∆内切圆的半径为2C.若4b =，则9AB BC ⋅=D.若P 为ABC ∆内一点满足02=++PC PB P A ，则APC △与BPC △的面积相等11.下列说法中正确的有（）A．已知a 在b 上的投影向量为b 215=，则225=⋅b a ；B．已知()()1,2,1,1a b == ，且a 与a b λ+ 夹角为锐角，则λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；C．若非零向量,a b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b + 的夹角是30 .D．在中，若0AB BC ⋅>，则B ∠为锐角；12.在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos cos c B b C a +=，则下列说法正确的是（）A.若B +C =2A，则面积的最大值为34B.若π4A =，且只有一解，则b 的取值范围为(]0,1C.若C =2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.O 为的外心，则12BC BO ⋅=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知i 为虚数单位，复数满足()234z i i +=+，记z 为z 的共轭复数，z =_______14.在中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A =︒，且面积为332，若b c +=，则=a ______．15.如图，在△ABC 中，已知AB=2,AC=5, 60=∠BAC ,BC,AC 边上的两条中线AM,BN 相交于点P，则∠MPN的余弦值为_______．16.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF （如图②）．已知正六边形的边长为1，点M 满足AM AB AF =+，则||AM = _______；若点P 是正六边形ABCDEF 边上的动点（包括端点），则AM BP ⋅的最大值为_______．第Ⅱ卷主观题四．解答题：本小题共6小题，共70分。

辽宁省大连市第八中学、庄河高中2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

辽宁省大连市第八中学、庄河高中2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．若3sin 5α=-，α为第四象限角，则cos α的值为（）A ．45-B ．35-C ．35D ．452．已知()cos2,tan1P ，则点P 所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知扇形的弧长为2π，半径为3，则扇形的面积为（） A ．πB ．3π2C ．3πD ．6π4．为了得到函数1sin22y x =的图象，只要把函数1πsin 224y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向右平移π8个单位长度 B ．向左平移π8个单位长度 C ．向右平移π4个单位长度D ．向左平移π4个单位长度5．设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有两条对称轴，则ω的取值范围为（）A ．713,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．911,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．711,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．59,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．若函数()tan 02xy ωω=≠的最小正周期为1，则函数tan y x ω=图象的对称中心为（）A ．,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ZB ．,0,4k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ZC ．π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ZD ．π,0,4k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z8．已知集合{}{}1,2,3,cos i A B i A α==∈∣，若12232π3αααα-=-=且{},B a b =，则22a b +的值为（）A ．2B ．32C ．54D ．1二、多选题9．若角α的终边在第三象限，则下列三角函数值中大于零的是（） A ．()sin πα- B ．()cos πα+C ．πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．()()5f x f x =-B ．()()33f x f x +=--C ．()f x 在区间[]3,5上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移12个单位长度后所得的图象关于原点对称11．已知函数()sin 2cos2xf x x=+，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()1,2x f x ∀∈<R D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增三、填空题12．若()0,πα∈，且1sin cos 3αα⋅=，则sin cos αα+=.13．在ABC V 中，已知25sin cos 224C C +=，则tan 2A B+=. 14．若函数()2cos ln1sin x f x x =+在区间ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=四、解答题15．已知点()()3,0P m m m -≠为角α终边上一点. (1)求πtan 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求sin cos sin cos αααα+-的值；(3)求222sin sin cos 3cos αααα--的值. 16．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(3)若()0,1f x ωω>=在区间[]0,π上有且仅有一个解，求ω的取值范围.17．已知函数()()π2sin 10,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的图象与直线3y =两相邻交点之间的距离为π，且图象关于π3x =对称.将函数()f x 的图象向左平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象. (1)求()y f x =的解析式； (2)求函数()g x 图象的对称中心； (3)求不等式()2g x ≥的解集.18．函数f x =sin ωx +φ ω>0, φ <π2的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式； (2)若()035f x =，求0πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)若()()2ππ,,[]1044x f x mf x ⎡⎤∀∈---≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围.19．已知函数()sin f x x =，()e 1e 1x x g x +=-.(1)求函数()()()22[]31F x f x f x =-+的值域；(2)设函数()()ln G x f x x =+，证明：()y G x =有且只有一个零点0x ，且()0e 1e 1g f x +⎡⎤>⎣⎦-.。

2024学年福建省宁德市第二中学高三下学期4月考(数学试题)试卷

2024学年福建省宁德市第二中学高三下学期4月考（数学试题）试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（） A ．15B ．13C ．35D ．232．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 3．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V5．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（） A ．23B ．43C ．83D ．1636．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=8．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（） A ．10B ．3C ．5D ．29．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（） A ．45B ．60C ．75D ．10010．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（） A ．12ω=B ．6282f π+⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省丹东市小甸子中学2024学年高一数学理月考试题含解析

辽宁省丹东市小甸子中学2024学年高一数学理月考试题专业课理论基础部分一、选择题：1.已知函数f(x)=2x+1，下列函数中与f(x)相同的是（）A. g(x)=2xB. g(x)=x+1C. g(x)=4xD. g(x)=x-12.下列四个数中，是无理数的是（）3.函数y=3x-2的定义域为（）A. 全体实数B. 非负实数C. 非正实数D. 实数集合除去24.若两个事件A和B相互独立，则P(A∩B)=（）A. P(A)P(B)B. P(A)+P(B)C. P(A)-P(B)D. P(A)P(B)5.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=（）A. {1,2,3,4}B. {1,2,3,4,5}C. {2,3}二、判断题：1.函数f(x)=2x+1是单调递增的。

（）2.无理数可以表示为两个整数的比。

（）3.两个事件的并集包含了它们所有可能的样本点。

（）4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在区间内至少存在一点c，使得f’(c)=0。

（）5.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A⊆B。

（）三、填空题：1.一个等差数列的首项为3，公差为2，第10项为______。

2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像开口向上，则c的取值范围为______。

答案：c>33.集合A={x|x²-5x+6=0}，则A={______}。

答案：2,34.若P(A)=0.3, P(B)=0.2, 且A,B为独立事件，则P(A∩B)=______。

答案：0.065.一个正方体的体积为27，它的边长为______。

四、简答题：1.简述等差数列的定义及其性质。

答案：等差数列是一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个常数称为公差。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。

等差数列的性质包括：各项依次增加或减少，相邻项的差是常数，前n项和为Sn=n/2[2a1+(n-1)d]。

高一数学下学期4月月考试题试题

跃华2021-2021学年第二学期月考考试高一〔数学〕试题第一卷〔选择题，一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕1. 0240的弧度数是〔〕A ．65πB ．67πC ．34πD ．35π2. 角α的终边上一点P ()4,3-，那么=αcos 〔〕A ．54B ．53C ．54-D ．53-3．4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于〔〕A ．43- B.34-C.43D.344.=-)413tan(π〔〕A.1B.1-C.33D.33-5. 平面向量→a ＝〔1,4〕，→b =〔2,4〕，那么|→a ＋2→b |等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．176. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕，再将所得的图象向左平移2π个单位，得到的图象对应的解析式是〔〕A.1sin()36y x π=+ B ．sin(3)6y x π=+C.1sin()36y x π=- D.sin(3)6y x π=- 7. 如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD FE ++=〔〕A ．0B ．BEC ．AD D ．CF8．以下命题正确的选项是〔〕 A ．假设→a ·→b =→a ·→c ，那么→b =→c B ．假设||||b a b a -=+，那么→a ·→b =0C ．假设→a //→b ，→b //→c ，那么→a //→cD ．假设→a 与→b 是单位向量，那么→a ·→b =19. |→a |＝1，|→b |＝2，且(→a ＋→b )与→a 垂直，那么→a 与→b 的夹角是( ) A ．60° B ．30° C ．135° D ．45°10. 32a α=（，sin ） 1(cos ,)3b α=且a //b ，那么锐角α的大小为〔〕 A ．6π B ．3π C ．4πD ．125π第二卷〔非选择题，一共100分〕二、填空题：〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分〕11. ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+b a b a 24822131= .12．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，那么四边形的形状为___________. 13. 0a b ⋅=||2,||3a b ==且(32)()a b a b λ+⊥-那么λ的值是.14. ||2,||3,||7,==-=a b a b 那么,a b <>= .15.正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，那么AE →·BD →＝________.跃华2021—2021学年第二学期月考考试班级：考号：姓名：高一数学试题命题人：刘玉杰陈祥和考试时间是是：120分钟〔总分150分〕日期：2021、4选择题〔50分〕二、填空题〔25分〕11、。

高一数学下学期4月月考试题理试题

北重三中2021-2021学年度第二学期高一年级4月份月考考试理科数学试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日考试时间是是：2016年4月8日满分是：150分考试时长：120分钟第一局部〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.以下各组向量中，能作为基底的是〔〕 A. )2,0(),0,0(21==e e B. )1,21(),2,1(21==e e C. )7,5(),2,1(21=-=e e D. )43,21(),3,2(21-=-=e e 2.设ABC ∆的外接圆的半径为R ，且AB=4，45=C ，那么R=〔〕 A.2 B. 22 C. 23 D. 243.在ABC ∆中，1,60,45===c C B ，那么最短边的边长为〔〕 A.36 B. 26 C. 21 D. 23 4. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c. 假设bc a c b -=+222，那么角A 等于〔〕 A. 6π B. 3π C.π32 D. π655. O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一个点C ，满足02=+CB AC ，那么=OC 〔〕 A. OB OA 3231+- B. OB OA 3132- C. OB OA 2+- D. OB OA -2 6.设四边形ABCD 为平行四边形，4||,6||==AD AB .假设点M ，N 满足NC DN MC BM 2,3==，那么=⋅NM AM 〔〕 A. 20 B. 15C. 9D. 67. 设b a ,均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个表达： ①：)32,0[1||πθ∈⇔>+b a ；②：],32(1||ππθ∈⇔>+b a ③：)3,0[1||πθ∈⇔>-b a ；④：],3(1||ππθ∈⇔>-b a 其中表达正确的选项是〔〕A. ①④B. ①③C. ②③D. ②④8. 假设满足条件C= 60,AB=3的ABC ∆有两个，那么BC 的取值范围是〔〕 A.)2,1( B. (1,2) C. )3,2( D. )2,3(9.ABC ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，假设033=++GC c GB b GA a ，那么角A 为〔〕 A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π 10. 假设非零向量b a ,满足||||b b a =+，那么〔〕A. |2||2|b a a +>B. |2||2|b a a +<C. |2||2|b a b +>D. |2||2|b a b +<11.非零向量AC AB ,满足AC AB BC C AC ACB AB AB⋅=⋅+cos ||cos ||(，那么ABC ∆为〔〕A. 等腰三角形B. 锐角三角形C.钝角三角形D. 直角三角形12.向量1||,=≠e e a 满足：对任意R t ∈恒有||||e a e t a -≥-，那么〔〕 A. e a ⊥ B. )(e a a -⊥ C. )(e a e -⊥ D. )()(e a e a -⊥+第二局部〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 把正确答案填在题中横线上.13.正三角形ABC 的边长为1，CB CA CP 37+=，那么AB CP ⋅=______.14.在ABC ∆中，13,4,60===BC AC A ，那么ABC ∆的面积为________. 15. ),2(),3,1(x b a ==，设a 与b 的夹角为θ，假设θ为锐角，那么x 的取值范围为________. 16.如图，在ABC ∆中，6π=∠BAC 且BC=1，假设E 为BC 中点，那么AE的最大值为___________.三、解答题：一共70分. 解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17. (本小题满分是10分) 设向量)20)(cos ,(cos ),cos 3,(sin π<<==x x x b x x a .〔1〕假设b a //，求x tan 的值；〔2〕求函数b a x f ⋅=)(的最大值及相应x 的值.18. (本小题满分是12分) 向量1||),2,1(==b a ，且a 与b 的夹角为60. 〔1〕求与a 垂直的单位向量的坐标；〔2〕求向量a b -2在a 上的投影.19. (本小题满分是12分)ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，满足C a C b B c cos 2cos cos =+. 〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设32,32==ABC S c ∆，求a,b 的值.20. (本小题满分是12分)为了测量两山顶M 、N 间的间隔，飞机沿程度方向在A 、B 两点进展测量. A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内〔如示意图〕. 飞机可以测量的数据有俯角和A 、B 间的间隔 . 现测得AB 间的间隔为d ，A 点到M 、N 点的俯角为1α、1β；B 点到M 、N 点的俯角为2α、2β，请将测量所得到的数据在图上标出，并用所测得的数据、公式和必要的文字写出M 、N 间间隔的表达式.〔用所测得的数据写出MN 的表达式〕.21. (本小题满分是12分) ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，假设向量),(c b a m +=与)1,sin 3(cos -+=C C n 互相垂直.〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设3=a ，求ABC ∆周长的最大值.22. (本小题满分是12分)在等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AB=2，BC=1， 60=∠ABC .动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且DC DF BC BE λλ91,==. 〔1〕当21=λ，求||AE ；〔2〕求AF AE ⋅的最小值.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

高一数学下学期4月月考试题理新人教版新版

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————学年度第二学期高一年级4月份月考考试理科数学试题考试时间：2019年4月8日满分：150分考试时长：120分钟第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组向量中，能作为基底的是（）A. )2,0(),0,0(21==e eB. )1,21(),2,1(21==e eC. )7,5(),2,1(21=-=e eD. )43,21(),3,2(21-=-=e e2.设ABC ∆的外接圆的半径为R ，且AB=4，45=C ，则R=（） A.2 B. 22 C. 23 D. 24 3.在ABC ∆中，1,60,45===c C B，则最短边的边长为（）A.36 B. 26 C. 21 D. 23 4. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c. 若bc a c b -=+222，则角A 等于（）A.6π B. 3π C.π32 D. π65 5. 已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一个点C ，满足02=+CB AC ，则=OC （）A. OB OA 3231+-B. OB OA 3132- C. 2+- D. -26.设四边形ABCD 为平行四边形，4||,6||==AD AB .若点M ，N 满足NC DN MC BM 2,3==，则=⋅NM AM （） A. 20 B. 15 C. 9 D. 67. 设,均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个叙述：①：)32,0[1||πθ∈⇔>+b a ；②：],32(1||ππθ∈⇔>+b a ③：)3,0[1||πθ∈⇔>-；④：],3(1||ππθ∈⇔>- 其中叙述正确的是（）A. ①④B. ①③C. ②③D. ②④8. 若满足条件C=60,AB=3的ABC ∆有两个，那么BC 的取值范围是（）A.)2,1(B. (1,2)C. )3,2(D. )2,3(9.已知ABC ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若33=++c b a ，则角A 为（）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 10. 若非零向量b a ,满足||||b b a =+，则（）A. |2||2|+>B. |2||2|+<C. |2||2|+>D. |2||2|+<11.已知非零向量AC AB ,满足⋅=⋅+(，则ABC ∆为（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C.钝角三角形D. 直角三角形 12.已知向量1||,=≠满足：对任意R t ∈恒有||||t -≥-，则（） A. ⊥ B. )(e a a -⊥ C. )(e a e -⊥ D. )()(e a e a -⊥+第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把正确答案填在题中横线上. 13.已知正三角形ABC 的边长为1，CB CA CP 37+=，则AB CP ⋅=______.14.在ABC ∆中，13,4,60===BC AC A，则ABC ∆的面积为________.15. 已知),2(),3,1(x b a ==，设a 与b 的夹角为θ，若θ为锐角，则x 的取值范围为________.16.如图，在ABC ∆中，6π=∠BAC 且BC=1，若E 为BC 中点，则AE 的最大值为___________.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)设向量)20)(cos ,(cos ),cos 3,(sin π<<==x x x b x x a .（1）若//，求x tan 的值；（2）求函数b a x f ⋅=)(的最大值及相应x 的值.18. (本小题满分12分) 已知向量1||),2,1(==b a ，且a 与b 的夹角为60. （1）求与垂直的单位向量的坐标；（2）求向量-2在上的投影.19. (本小题满分12分)B已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，满足C a C b B c cos 2cos cos =+. （1）求角C 的大小；（2）若32,32==ABC S c ∆，求a,b 的值.20. (本小题满分12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量. A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内（如示意图）. 飞机能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离. 现测得AB 间的距离为d ，A 点到M 、N 点的俯角为1α、1β；B 点到M 、N 点的俯角为2α、2β，请将测量所得到的数据在图上标出，并用所测得的数据、公式和必要的文字写出M 、N 间距离的表达式.（用所测得的数据写出MN 的表达式）.21. (本小题满分12分) 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若向量),(c b a +=与)1,sin 3(cos -+=C C 相互垂直.（1）求角A 的大小；（2）若3=a ，求ABC ∆周长的最大值.22. (本小题满分12分)在等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AB=2，BC=1，60=∠ABC .动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且λλ91,==. （1）当21=λ，求||AE ；（2）求AF AE ⋅的最小值.。

高一数学下学期4月月考试题

智才艺州攀枝花市创界学校高一下学期4月月考数学试题一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，总分值是70分.1．直线的斜率是﹣3，点P〔1，2〕在直线上，那么直线方程的一般式是．2．假设直线过点〔1，2〕，〔4，2+〕，那么此直线的倾斜角是．3．△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，那么△ABC的面积为．4．在等差数列{a n}中，假设a2=3，a3+a7=26，那么a8=．5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，那么cosC的值是．6．中a1=3，a2=6，且a n+2=a n+1﹣a n，那么a4=．7．tan19°+tan26°+tan19°tan26°=．8．数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和．a1=1，q=3，S t=364，那么a t=．9．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，那么此数列的项数为．10．化简=．11．△ABC中，假设sinAsinB＜cosAcosB，那么△ABC的形状为．12．两等差数列{a n}、{b n}的前n项和的比，的值是．13．数列{a n}中，，，那么a2021=．14．设y=f〔x〕是一次函数，f〔0〕=1，且f〔1〕，f〔4〕，f〔13〕成等比数列，那么f〔2〕+f〔4〕+…+f〔2n〕=．二、解答题：本大题一一共6小题，一共90分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．15．〔14分〕假设三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．16．〔14分〕〔1〕求tanα的值；〔2〕求的值．17．如图，海中有一小岛，周围海里内有暗礁．一HY舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．假设此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．〔1〕假设，c=2，求△ABC的面积；〔2〕假设sinA，sinB，sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．19．函数f〔x〕=cos〔+x〕cos〔﹣x〕，g〔x〕=sin2x﹣〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求函数h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕的最大值，并求使h〔x〕获得最大值的x的集合．20．〔16分〕设{a n}是正数组成的数列，其前n项和为S n，并且对于所有的n∈N+，都有8S n=〔a n+2〕2．〔1〕写出数列{a n}的前3项；〔2〕求数列{a n}的通项公式〔写出推证过程〕；〔3〕设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得对所有n∈N+都成立的最小正整数m的值．。

高一数学4月月考试题理试题

卜人入州八九几市潮王学校宁夏平罗县二零二零—二零二壹高一数学4月月考试题理第I 卷〔选择题〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1.圆0422=-+y y x 的圆心坐标和半径分别为〔〕A 2,0,4B ．2,0,2C ．2,0,4D ．0,2,22.直线01=-+y x 的倾斜角为〔〕A ．3πB ．6πC ．43πD ．4π3.以下角中终边与330°一样的角是〔〕A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°4.过点()2,3A 且垂直于直线250x y +-=的直线方程为〔〕A ．240x y -+=B ．270x y +-=C ．230x y -+=D ．250x y -+= 5.假设cos 0θ<，且tan 0θ>，那么θ是〔〕A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角6.假设点）（1,1在圆4)(22=++-a y a x ）（的内部，那么a 的取值范围是〔〕 A.1-<a 或者1>a B 、11-<<a C 、10<<a D 、1±=a 7.直线被圆22(4)4x y -+=所截得的弦长为〔〕A B ．22C ．D ．8.圆1)2()1(22=-+-y x 上的点到直线0834:=+-y x l 的间隔的最小值和最大值分别是〔〕A ．51252，B ．51151，C ．51353， D.31， 9.角α的终边过点(8sin 390,6)P m --，且54cos -=α，那么m 为〔〕 10．假设圆1:221=+y x C 与圆086:222=+--+m y x y x C 有三条公切线，那么=m 〔〕A ．21B ．19C ．9D ．-1111.假设实数,x y 满足0222=-+y y x ，那么21--x y 的取值范围为〔〕． A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222-， C.]3,3[- D.()22-， 12.假设直线b x y +=与曲线243x x y --=有公一共点，那么b 的取值范围是〔〕 A.]221,221[+- B.]3,2-1[ C.]221,1-[+ D.]3,22-1[二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.在空间直角坐标系中，点)1,0,1(A 和点)1,1,2(-B 间的间隔14.方程220x y x y m +-++=表示一个圆，那么m 的取值范围是15.扇形的周长为20cm,当它的面积最大时，它的圆心角的弧度数为16.)0,4(A ，P 是圆122=+y x 上的动点，那么AP 的中点M 的轨迹方程为三、解答题〔本大题一一共6小题，总分60分，每道题须有详细的解题过程〕17.(10分) 1090-=α.(1)把α写成)3600,(360 <≤∈•+ββZ k k 的形式，并指出它是第几象限角(2)写出与α终边一样的角θ构成的集合S ，并把S 中适宜不等式 360360-<≤θ的元素θ写出来 18.(12分)直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=．〔1〕假设12l l ⊥，务实数a 的值；〔2〕当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的间隔．19.(12分)求以下直线的方程〔1〕过直线12310l x y --=：和220l x y ++=：的交点，且平行于直线072=+-y x 的直线方程〔2〕过点)1,2(-P ，且横截距是纵截距的3倍的直线方程。

北京市石景山中学高一数学理月考试题含解析

北京市石景山中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某厂生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为a，第二年的增长率为b，则该厂这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的值．【分析】设前两年的平均增长率为x，由已知列出方程，能求出该厂这两年生产总值的年平均增长率．【解答】解：设前两年的平均增长率为x，∵第一年的增长率为a，第二年的增长率为b，∴（1+x）2=（1+a）（1+b），解得x=﹣1．故选：C．2. 下列说法中正确的为（）A．y=f（x）与y=f（t）表示同一个函数B．y=f（x）与y=f（x+1）不可能是同一函数C．f（x）=1与f（x）=x0表示同一函数D．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数参考答案：A【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数y=f（x）与y=f（t）的定义域相同，对应关系也相同，它们表示同一个函数，所以A正确；对于B，函数y=f（x）与y=f（x+1），如y=f（x）=1，y=f（x+1）=1，定义域都是R，值域也相同，它们表示同一函数，所以B错误；对于C，函数y=f（x）=1（x∈R）与y=f（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，不是同一个函数，所以C错误；对于D，定义域和值域都相同的两个函数不一定是同一函数，如正弦函数和余弦函数，它们不是同一个函数，所以D错误．故选：A．【点评】本题考查判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．3. 已知是上减函数，则的取值范围是（）A.（0，1）B.C.D.参考答案：B略4. 如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为( )A． B． C． D．参考答案：D略5. 若，的化简结果为（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 三棱锥则二面角的大小为( )A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°参考答案：B【分析】P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【详解】因为AB＝10，BC＝8，CA＝6 所以底面为直角三角形又因为PA＝PB＝PC所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，为AB中点．设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，所以DE平行BC，且DE BC＝4，所以∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角．因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小为60°故答案为：60°．7. 在10张奖券中，有两张是一等奖，现有10人先后随机地从中各抽一张，那么第7个人抽到一等奖的概率是：A． B。

湖北省襄阳市第一中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题

湖北省襄阳市第一中学2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．用一个平面去截正方体，则截面可能是（）A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．正方形
D ．正六边形
10．已知向量(3,4)OA =-uuu r ，(6,3)OB =-uuu r ，(53),m m OC =---uuu r ，若ABC Ð为锐角，则
三、填空题
13．已知向量()1,2a =r ，()2,b m =-r ， a b +r r 与a b -r r 垂直，则
m =______.14．已知扇形的周长为6，圆心角为2
，则扇形面积的值是___________.
15．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1上任意一点，则三棱锥D －A 1BC 的体积是______．
四、双空题
16．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古
在三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，
若ABC V 为直角三角形，不妨令90BAC Ð=o ，则222BC AB AC =+，
而222BC OB OC =+，222AB OA OB =+，222AC OC OA =+，
因此220OA =，矛盾，A 错误；
对于B 选项，当截面为下图所示的ABC V 时，截面为等边三角形，B 对；
对于C 选项，当截面与正方形的底面平行时，截面为正方形，如下图所示：
对于D 选项，一个平面与正方体的6个面相交，截面为六边形，此六边形可能是正六边形，。

2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题(解析版)

2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题一、单选题 1．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【答案】B 【分析】先对复数1i1i+-化简，再求其共轭复数，从而可求得答案【详解】因为()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+，所以其共轭复数为i -，则其虚部为1-，故选：B2．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量()2a b c +⋅=（） A ．(－15，12) B ．0C ．－3D ．－11【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】()()()25,63,215123a b c +⋅=-⋅=-+=-. 故选：C3．已知正ABC ，则ABC 的直观图111A B C △的面积为（）A B C ．D 【答案】D【分析】根据斜二测画法中直观图与原图形面积关系计算．【详解】由题意21sin 26ABCSπ=⨯⨯=，所以直观图111A B C △的面积为S ==故选：D ．4，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为（） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由圆锥的体积公式，半圆弧长和半径的关系，圆锥母线长、底圆半径和高的关系，联立即可求解.【详解】如图，圆锥的体积21333V r h ππ== ①，由侧面展开图是一个半圆得2l r ππ= ②，又222r h l += ③，联立①②③，即可解得2l =. 故选：C552，则该四棱锥的内切球的表面积为（） A ．π B ．3π C ．43π D ．4π【答案】C【分析】在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC 、BD ，交于点H ，取BC 的中点G ，连接HG 、PH 、PG ，由正四棱锥的性质和三角形知识求得6HPG π∠=，设该四棱锥的内切球的半径为r ，设内切球的球心为O ，过点O 作OQ PG ⊥，求得3r =. 【详解】解：在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC 、BD ，交于点H ，取BC 的中点G ，连接HG 、PH 、PG ，如下图所示，则PH ⊥面ABCD ，PG BC ⊥52，所以()2222512PG PB BG --，2222213PH PG HG --所以在Rt PHG △中，1sin 2HG HPG PG ∠==，所以6HPG π∠=，设该四棱锥的内切球的半径为r ，设内切球的球心为O ，过点O 作OQ PG ⊥，则,2OH OQ r PO r ===，所以+33PO OH r ==3r =所以该四棱锥的内切球的表面积为22344433S r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：C.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．7．若向量()2cos ,2sin a θθ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b =-，则a 与b 的夹角为（）A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ- D ．θ【答案】A【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合诱导公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设a 与b 的夹角为α，所以2sin 3cos sin cos 212a b a bθπαθθ⋅-⎛⎫===-=- ⎪⨯⎝⎭⋅，因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,22ππθπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而[0,]απ∈，函数cos y x =在[0,]x π∈上是单调递减函数，所以32παθ=-，故选：A8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简变形即可判断三角形的形状【详解】因为2cos c a B =，所以由正弦定理得sin 2sin cos C A B =,所以()()sin sin 2sin cos A B A B A B π⎡⎤-+=+=⎣⎦，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为,(0,)A B π∈，所以(,)A B ππ-∈-，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：C9．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+， ,,P B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当11,26m n ==时等号成立.综上可得：31m n+的最小值是12. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123 B ．183C ．243D ．543【答案】B【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4=== 233ABCSAB ==AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心 2BM 233BE ∴==Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM -=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型． 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．325,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．32,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,222⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，分别取棱1BB ，11B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，M ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN BC ，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF .1//AA NE ，1AA NE =， ∴四边形1AENA 为平行四边形，1//A N AE ∴，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ，又1A NMN N =，∴平面1//A MN 平面AEF .P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ， ∴点P 必在线段MN 上.在11Rt A B M ∆中，1A M同理，在11Rt A B N ∆中，可得1A N 1A MN ∴∆为等腰三角形.当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长.1AO A ==11AM A N =∴线段1A P 长度的取值范围是2⎡⎢⎣. 故选：C.【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．12．体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（）A B C D 【答案】B【解析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积. 【详解】依题意得，N 是11B C 的中点，3216AB =，则6AB =，延长11A D 直线MN 于P ，延长11A B 交直线MN 于Q ，连接AP 交1DD 于E ，连接AQ 交1BB 于F ，作出截面AFNME 如下图所示，则,AFNME AEFMNFE S SS =+AEF △中，13,AE AF ==62EF =故AEF △的面积12S EF h =⋅⋅=162342⨯617=四边形MNFE 的面积 134(322)2S =917=， 2117. 故选:B.【点睛】此题考查面面平行的性质的应用，根据性质补齐截面图形.二、填空题13．已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．14．正三棱锥-P ABC 的侧棱长为2，30APB APC BPC ∠=∠=∠=︒．E ，F 分别是BP 、CP 上的点，AEF △周长的最小值____．【答案】22【分析】作出三棱锥的侧面展开图，利用数形结合思想求出AEF △周长的最小值．【详解】解：作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示：AEF △的周长即为AE 、EF 、FA 三者的和，从图中可见：为使三角形AEF 的周长的值最小，只需让A 、E 、F 、A '四点共线即可；根据题中给出的条件知：30APB BPC CPA '∠=∠=∠=︒，90APA '∴∠=︒，222222AA '=+ AEF ∴周长的最小值为2故答案为：2215．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 【答案】221##122+【分析】求出P 点到i 对应点的距离，再加上半径1可得．【详解】由题意复数z 对应点是以i 对应点为圆心，1为半径的圆，222i i 22i 2(2)22--=-=+-= 所以max 221PZ =．故答案为：221．16．在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin 3sin b A C B =，则ac 的最小值为________．【答案】12【分析】利用正弦定理及和角公式可得23B π=，再结合条件及正弦定理可得2ac b =，然后利用余弦定理及基本不等式即求.【详解】∵在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，2sin (2)tan c B a c C =+， ∴sin 2sin sin (2sin sin )cos CC B A C C=+， ∴()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C =+=++=++， ∴2cos sin sin 0B C C +=，即1cos 2B =-，()0,B π∈，∴23B π=，因为23sin sin 3sin 2sin 2sin 2b A C B B B ==⨯=， ∴22bac b =，即2ac b =，又222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，∴22222ac a c ac ac ac ⎛⎫=++≥+ ⎪⎝⎭，即12ac ≥，当且仅当a c =时取等号， ∴ac 的最小值为为12. 故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把23sin sin 2sin 2sin 2b A C B B =⨯=化为2ac b =，再利用余弦定理及基本不等式即求.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，,,E F G 分别是,,BC DC SC 的中点，求证：(1)//EG 平面11BDD B ；(2)平面//EFG 平面11BDD B .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.【详解】（1）如图，连接SB ，∵,E G 分别是,BC SC 的中点，∴//EG SB .又∵SB ⊆平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ，∴直线//EG 平面11BDD B .（2）连接SD ，∵,F G 分别是,DC SC 的中点，∴//FG SD .又∵SD ⊆平面11BDD B ，FG ⊄平面11BDD B ，∴//FG 平面11BDD B ，由(1)知，//EG 平面11BDD B ，且EG ⊆平面EFG ，FG ⊆平面EFG ，EGFG G =，∴平面EFG ∥平面11BDD B .18．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，||3AB →=，6AC =.(1)用,AB AC →→表示AD →和EB ；(2)求向量EB 与EC →夹角的余弦值.【答案】(1)2133AD AB AC →→→=+，2136EB AB AC →→→=- (2)7130【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解；（2）以,AC AB →→所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．【详解】（1）∵D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，∴11()33BD BC AC AB ==- ∴2133AD AB BD AB AC =+=+， ∵E 为AD 的中点，∴12AE AD =， ∴112121()223336EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=- （2）1536EC AC AE AB AC =-=-+，如图，以,AC AB →→所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则(0,3),(6,0)B C ，∴21(1,2)36EB AB AC =-=-，15(5,1)36EC AB AC =-+=-， ∴(1)52(1)7EB EC ⋅=-⨯+⨯-=-，145,25126EB EC =+==+=7130cos ,||526EB EC EB EC EB EC ⋅===⋅⋅19．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD AB ⊥，//AD BC ，若将图中阴影部分绕AB 旋转一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.【答案】（1）68π；（2）1403π. 【解析】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可；（2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可.【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，214282S ππ=⨯⨯=半球， 22(25)4(52)35S ππ=++-=圆台侧，2525S ππ=⨯=圆台底.故所求几何体的表面积为8352568ππππ++=.（2）()()2222122554523V πππππ⎡⎤=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦圆台， 341162323V ππ=⨯⨯=半球，所求几何体体积为161405233V V πππ-=-=圆台半球. 【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积与体积，考查了台体与球的面积、体积公式，属于中档题. 20．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为3（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【答案】（1）3π；（2）98π. 【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高1OO h =，OD r =，再由11AO D △AOB 求出,h r 的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB 剪开，侧展图如图所示：设OB R =，在半圆⊙A 中，23AB = 弧长'23BB π=，这是圆锥的底面周长，所以223R ππ=，所以3R故圆锥的底面积为23S R ππ==圆锥；（2）设圆柱的高1OO h =，OD r =，在Rt AOB 中，223AO AB OB -=，11AO D △AOB ，所以111AO O D AO OB=，即33h -3h =，222(3)()S rh r r ππ===-圆柱侧面积，2r ⎛=-+ ⎝⎭，所以，当r =32h =时，圆柱的侧面积最大，此时298V r h ππ==圆柱.【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.21．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =++. （1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2 【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.【详解】（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab +-=- 由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=. （2）2,2sin ,2sin sin sin sin sin 3a b c a A b B A B C====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦20,,sin 133333A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭， 2sin 23A π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭ ABC ∴∆周长的取值范围是(2.【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.22．已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：//PQ 平面11A D DA ；（2）若R 是AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）AR AB的值为35，证明见解析．【分析】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，证明//BC AD ，1//PQ MD ，又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊂/平面11A D DA ，证明//PQ 平面11A D DA ；（2）R 是AB 上的点，当AR AB的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ，通过证明//PR 平面11A D DA ，又PQ R P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．然后证明即可．【详解】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，因为四边形ABCD 为正方形，所以//BC AD ，故~PBC PDM △△，所以23CP BP PM PD ==，又因为123CQ BP QD PD ==，所以123CQ CP QD PM ==，所以1//PQ MD ．又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊄平面11A D DA ，故//PQ 平面11A D DA ．（2）当AR AB的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ．证明：因为35AR AB =，即有23BR RA =，故BR BP RA PD=．所以//PR DA ．又DA ⊂平面11A D DA ，PR ⊄平面11A D DA ，所以//PR 平面11A D DA ，又PQ PR P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．所以平面//PQR 平面11A D DA ．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．。