人教版初三数学上册24.1.3弧、弦、圆心角.3 弧、弦、圆心角课后练习
人教版九年级上《24.1.3弧、弦、圆心角》同步练习(含答案解析)
2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习24.1.3 弧、弦、圆心角一．选择题（共15小题）1．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°2．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（）A．2+1B． +1C．2D．33．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于（）A．40°B．45°C．55°D．80°4．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC=（）A．105°B．120°C．135°D．150°5．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对6．下列语句，错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦7．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．2或2D．2或28．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1：2：3，则这个扇形中圆心角度数最大的是（）A．30°B．60°C．120°D．180°9．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°．则∠D+∠E=（）A．220°B．230°C．240°D．250°°10．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是（）A．52°B．57°C．66°D．78°11．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD=弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BE=CD C．AC=BD D．BE=AD12．如图，圆心角∠AOB=25°，将AB旋转n°得到CD，则∠COD等于（）A．25°B．25°+n°C．50°D．50°+n°13．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示的位置，第2秒中P点位于点C 的位置，……，则第2018秒点P所在位置的坐标为（）A．（，）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（，﹣）14．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个B．2个C．1个D．4个15．如图所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE=FB，下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④=，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共10小题）16．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数．17．⊙O的半径为5，弦AB与弦CD相等，且AB⊥CD于H，若OH=3，则线段BH长为．18．如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN= cm．19．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是度．20．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=度．21．如图，在⊙O中，=，∠1=30°，则∠2=．22．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；②；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有（填序号）．23．如图，在⊙O中，AB=DC，∠AOB=50°，则∠COD=．24．如图，已知AB、CD是⊙O中的两条直径，且∠AOC=50°，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，则的度数为．25．如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是度．三．解答题（共6小题）26．如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证：=．27．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC 之间的数量关系，并说明理由．28．如图，在⊙O中，AB=CD．求证：AD=BC．29．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD=BC，AD⊥CB．（1）求证：AB=CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．30．将一个圆分割成甲、乙、丙、丁四个扇形，使它们的圆心角的度数比为1：2：3：4，分别求出这四个扇形的圆心角的度数．31．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，=，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC=BD．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，∴∠A=×32°=16°，∠ADB=×88°=44°，∵∠P+∠A=∠ADB，∴∠P=∠ADB﹣∠A=44°﹣16°=28°．故选：B．2．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=，∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2，∴△PAB周长的最小值是2+1=3，故选：D．3．【解答】解：连接BF，∵的度数为30°，∴的度数为150°，∠AFB=15°，∵G是的三等分点，∴的度数为50°，∴∠GBF=25°，∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，故选：A．4．【解答】解：连接AC，∵BC为半圆的直径，∴∠BAC=90°，又A为半圆弧的中点，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=180°﹣45°=135°．故选：C．5．【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等．故选：D．6．【解答】解：直径是弦，A正确，不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；故选：B．7．【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，∴BD=×4=2，∴OD=OB﹣BD=2，∵四边形ABCD是菱形，∴DE=BD=1，∴OE=1+2=3，连接OC，∵CE===，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC===2；如图②，OD=2，BD=4+2=6，DE=BD=3，OE=3﹣2=1，由勾股定理得：CE===，DC===2，故选：C．8．【解答】解：由题意可得，三个圆心角的和为360°，∵三个圆心角的度数比为1：2：3，∴最大的圆心角度数为：360°×=180°．故选：D．9．【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示：∵∠BAC=50°，∴∠BOC=2∠BAC=100°，∴∠AOB+∠AOC=360°﹣100°=260°，∵∠D=（∠BOC+∠AOC），∠E=（∠BOC+∠AOB），∴∠D+∠E=（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）=（260°+100°+100°）=230°．故选：B．10．【解答】解：∵==，∠COD=38°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=38°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=66°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180°﹣66°）=57°．故选：B．11．【解答】解：连接BC，∵，∴，∴，∴AC=BD，故选：C．12．【解答】解：∵将AB旋转n°得到CD，∴=，∴∠COD=∠AOB=25°，故选：A．13．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵OP=1，∠POE=45°，∴OE=PE=，即点P的坐标为（，），则第2秒P点为（0，1），根据题意可知，第3秒P点为（﹣，），第4秒P点为（﹣1，0），第5秒P点为（﹣，﹣），第6秒P点为（0，﹣1），第7秒P点为（，﹣），第8秒P点为（1，0），2018÷8=252……2，∴第2018秒点P所在位置的坐标为（0，1），故选：B．14．【解答】解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴．故选D．15．【解答】解：连接OA，OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．在△OAE与△OBF中，，∴△OAE≌△OBF（SAS），∴OE=OF，故①正确；∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，∴，故④正确；连结AD．∵，∴∠BAD=∠ADC，∴CD∥AB，故③正确；∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，∴弧AC=弧BD不一定等于弧CD，∴AC=BD不一定等于CD，故②不正确．正确的有3个，故选B．二．填空题（共10小题）16．【解答】解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，∴∠COE=40°，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE=（180°﹣40°）÷2=70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC=∠OCE=70°．17．【解答】解：①过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，∵AB=CD，∴OE=OF，∵OH=3，OA=5，∴OE=3，∴AE=BE=4，∴BH=BE﹣HE=4﹣3=1；②根据①得出BE=4，HE=3，∴BH=HE+BE=3+4=7．18．【解答】解：∵CM⊥OA，即OM⊥CD，由垂径定理得：CD=2CM=4cm，连接OC，∵C为弧AB的中点，∴弧AC=弧BC，∴∠AOC=∠BOC，∵CN⊥OB，CD⊥OA∴∠CMO=∠CNO∴∴△CMO≌△CNO∴CN=CM=2cm，故答案为：2．19．【解答】解：∵周角的度数是360°，∴这三个扇形中圆心角最小的度数是，故答案为：80．20．【解答】解：∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，∴弧ABC：弧AmC=6：4，∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°．21．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴=，∴∠1=∠2=30°．故答案是：30°．22．【解答】解：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点公圆，∴四边形ADMB为矩形，而AB=1，CD=2，∴CM=2﹣1=1=AB=DM，即：①DM=CM，正确；又AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形，∴∠AEB=∠MAE，=，故②正确；∵四边形ADMB为矩形，∴AB=DM，∴=，∴∠DAM=∠EAM，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，∴OG=OH，∴AD=AE，∴④正确；由题设条件求不出直径的大小，故③⊙O的直径为2，错误；故答案为①②④．23．【解答】解：∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠COD=50°，故答案是：50°．24．【解答】解：∵AEE∥CD，∠AOC=50°，∴∠EAO=∠C=50°，∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO=50°，∴∠AOE=180°﹣∠EAO﹣∠AEO=80°，即的度数为80°，故答案为：80°．25．【解答】解：连接OC，BC，OD，∵直径AB平分弦CD，OE=BE，∴OC=BC=OB，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠COD=120°，即弦CD所对的圆心角是120°，故答案为：120三．解答题（共6小题）26．【解答】证明：在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（AAS）．∴AD=BC，∴=．27．【解答】解：∠ACB=2∠BAC．证明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；又∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC．28．【解答】证明：∵AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，即=，∴AD=BC．29．【解答】（1）证明：如图，∵AD=BC，∴=，∴﹣=﹣，即=，∴AB=CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF=FD，BG=CG．∵AD=BC，∴AF=CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF=OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF=EF．设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，解得x=3．则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．30．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为1：2：3：4，∴各个扇形的面积分别占整个圆面积的，，，，∴各个扇形的圆心角的度数分别360°×=36°，360°×=72°，360°×=108°，360°×=144°，答：甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数分别是36°，72°，108°，144°．31．【解答】证明：连接OA、OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B，∵=，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD．。
(人教版数学)初中9年级上册-同步练习-24.1.3 弧、弦、圆心角-九年级数学人教版(上)(解析版
第二十四章圆24.1.3弧、弦、圆心角一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知AB是O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=A．40°B．60°C．80°D．120°【答案】B2．将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是（）度．A．45 B．60C．90 D．120【答案】C【解析】∵圆心处构成一个周角,∴圆心角为360°,∵将圆分割成四个大小相同的扇形,∴每个扇形的圆心角是90°,故选C.【名师点睛】本题考查了扇形和圆心角的定义，解题的关键是掌握一个圆的圆心角为360°.3．已知AB与A′B′分别是O与O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是A．∠AOB=∠A′O′B′ B．∠AOB>∠A′O′B′C．∠AOB<∠A′O′B′ D．不能确定【答案】D【解析】由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB 和∠A′O′B′的大小关系.4．下列图形中表示的角是圆心角的是A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】A【解析】根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D 项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.故选A. 5．如果两个圆心角相等，那么 A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对 【答案】D6．在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等， 它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】圆心角是顶点在圆心的角，所以①正确，为真命题；在同圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等，所以②正确，为真命题；在同圆中，两条弦相等，所对的劣弧也相等，所以③错误，为假命题；等弧所对的圆心角相等，所以④正确，为真命题． 故选B ．7．如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有 ①AB CD =；②BD AC =；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AO C ．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是弧BC的中点，则∠ACD= ________．【答案】125°【解析】连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，∵D是弧BC的中点，∴∠COD=70°，∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．9．在半径为R的⊙O中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为 ________．【答案】60°【解析】如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．10．弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB= _________°.【答案】60三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．如图,AB,CD,EF都是O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.【解析】在O中,∵∠1=∠2=∠3,又∵AB,CD,EF都是O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴DF=AC=EB,∴AC=EB=DF.。
人教版九年级上册数学 24.1.3弧、弦、圆心角 同步练习(含解析)
24.1.3弧、弦、圆心角同步练习一．选择题1．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（）A．1B．C．D．2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°3．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．4．如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（）A．B．C．D．5．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM＝ON；③P A＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB，如果AB＝CD，则下列结论不正确的是（）A．∠AON＝∠DOM B．AN＝DM C．OM＝DM D．OM＝ON8．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD二．填空题9．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝．10．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是．11．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O 的半径长为．12．如图，在⊙O中，，∠1＝30°，的度数为．13．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数．14．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD＝40°，则∠AOE＝．15．如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为度．三．解答题16．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．17．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：∵弦AC＝BD，∴，∴，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD＝R，∵AD＝，∴R＝1，故选：A．2．解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．3．解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2，∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，在Rt△BEF，BE＝＝2，∵△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝×2＝．故选：D．4．解：如图，连接EO并延长与DC的延长线相交于点K，连接BD交OE于点H，∵E为弧AD中点，∴OE⊥AD，BH＝DH，∵BE∥CD，∴∠EBH＝∠KDH，∠E＝∠K，∴△BHE≌△DHK（AAS），∴BE＝KD＝2x，EH＝KH，∵BE∥CD，∴△KCO∽△EBO，∴，∵AB是半圆⊙O的直径，AB＝4，C为OA的中点，∴，∴KO＝1，KC＝x，∴KE＝KO+OE＝1+2＝3，∴EH＝KH＝1.5，OH＝0.5，∵BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2，∴4x2﹣1.52＝22﹣0.52，解得：x＝，∴CD＝KD﹣KC＝2x﹣x＝x＝，故选：B．5．解：连接BC，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝x°，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝x°，∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，∴x+y＝90，故选：A．6．解：如图连接OB、OD；∵AB＝CD，∴＝，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM＝MB，CN＝ND，∴BM＝DN，∵OB＝OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM＝ON，故②正确，∵OP＝OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确，∵AM＝CN，∴P A＝PC，故③正确，故选：D．7．解：∵AB＝CD，OA＝OD，OB＝OC，∴△OAB≌△ODC（SSS），∠AOB＝∠DOC，∵OM⊥CD，ON⊥AB，∴OM＝ON，DM＝CM，AN＝NB，∴AN＝DM，∵OA＝OD，ON＝OM，∴Rt△AON≌Rt△DOM（HL），∴∠AON＝∠DOM，∴A，B，D正确，故选：C．8．解：∵，∴，∴，∴AC＝BD，故选：C．9．解：连接OC，∵AC∥DE，∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，∵∠A＝∠ACO，∴∠1＝∠2．∴CE＝BE＝3．10．解：连接OD、OE，∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．故答案为120°．11．解：延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，∵∠DOC＝90°，∴∠DOR＝90°，∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，∴∠DAM＝45°，∵DM⊥AM，DA＝2，∴DM＝AM＝，∴MR＝2，DR＝，∵2OD2＝DR2，∴OD＝故答案为12．解：∵在⊙O中，，∴∠AOC＝∠BOD，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，∴∠1＝∠2＝30°，∴的度数为30°，故答案为：30°13．解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°14．解：∵，∠COD＝40°，∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．故答案为60°．15．解：连接OC、OD，∵＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOC和△BOD都是等边三角形，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠P＝60°，故答案为：60．16．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）∵＝，∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED，∵AB＝CD，即AE+BE＝CE+DE，∴CE＝BE．17．（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．。
人教版初三数学上册24.1.3弧、弦与圆心角同步练习题.1.3弧、弦、圆心角课时同步练习练
圆24.1.3弧、弦、圆心角课时同步练习练一、选择题1．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③ 相等的圆心角所对的弧相等．④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么弦也相等。
其中真命题的是（ ）A ．①②B ． ②④C ． ①②④D ． ①②③ 2． 在o 中，2AB CD =，那么（ ）A ． 2AB CD =B ．2AB CD >C ．2AB CD <D ．AB 与CD 的大小关系不定。
3．（山东滨州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）E BAA 、2个B 、3个C 、4个D 、5个二、填空题4．如图5,已知O 中,AB BC =,且:3:4AB AMC =,则AOC ∠=______.5．（2008襄樊市）如图6，⊙O 中OA ⊥BC ，∠CDA=25°，则∠AOB 的度数为 ．6．如图，已知AB,CD 是⊙O 的直径，CE 是弦，且AB ∥CE,∠C=035，则BE 的度数为三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）7．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半径OA 、OB 的中点且OA ⊥CE 、OB ⊥DE ，求证⌒AE =⌒EF =⌒FB8．如图，在⊙o 中，AB BC CD ==，OB ，ＯＣ分别交ＡＣ，ＢＤ于Ｅ、Ｆ，求证OE OF =24.1.3弧、弦、圆心角课时练马新华一、选择题1．A 2．C 3. D .二、填空题4．1445.506．035 三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）7．证明：如图，连接OE 、OF ， ∵D 是半径、OB 的中点OB ⊥DF ，∴OD=12OF,∴∠OFD=030,即∠FOD=060，同理∠EOA=060,∴∠FOD=∠EOA=∠EOF,∴⌒AE =⌒EF =⌒FB8．证明：如图，∵AB BC CD ==，∴AC BD =,∴AC BD =,∵B,C 是,AC BD ，∴1,,2BF CE AC OB AC OC BD ==⊥⊥,∴Rt OBF Rt OCE ≅,∴。
人教版九年级数学上册【推荐】24.1.3弧、弦、圆心角同步练习(3).docx
初中数学试卷桑水出品24.1.3 弧、弦、圆心角5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 思路解析：作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.答案：C3.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( ) A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 思路解析：∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0. 答案：D10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 思路解析：41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 答案：90°2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 思路解析：如图，OD ⊥AB ，OD=DB=AD. 设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 答案：2∶2 90°3.如图24-1-3-2，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图24-1-3-2(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.思路分析：求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来. （1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］ =π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.4.(经典回放)如图24-1-3-3所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图24-1-3-3思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△BOD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.5.如图24-1-3-4，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图24-1-3-4思路分析：如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决. 解：过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm).又∵OF ⊥CD ， ∴DF=CF.∴CD=2CF=215（ cm ）.6.如图24-1-3-5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂足为F ，我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF ∥AB 时,情况又怎样?图24-1-3-5思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.解：当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF.当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形.所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.快乐时光数到100再说某冬日,上课了,伊万老师靠教室壁炉站着,对学生们说:“说话前要多考虑,至少要数到50下才说,重要的话要数到100下.”学生们争先恐后地数起来,最后不约而同地爆发出:“99、100,老师的衣服着火了!”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图24-1-3-6思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE 相等.解：弧AC=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图24-1-3-7思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图24-1-3-8思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.解：在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图24-1-3-9思路解析：因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.答案：（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC；（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.图24-1-3-10思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.解：过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OCA和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA 2－AC 2=OP 2－CP 2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7， 即⊙O 的半径为7 cm.7.⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)解：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD. ∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离. ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 cm ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）. 综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.。
24.1.3 弧、弦、圆心角 人教版数学九年级上册同步练习(含答案)
24.1.3弦.弧.圆周角1．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°2．如图，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，弦«Skip Record If...»交«Skip Record If...»于点E，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的度数为（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»3．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法正确的是（ ）A．甲车从F口出，乙车从G口出B．甲车驶出立交桥时，乙车在«Skip Record If...»上C．甲乙两车同时在立交桥上的时间为10sD．图中立交桥总长为140 m4．如图，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的直径，点D是弧«Skip Record If...»的中点，过点D作«Skip Record If...»于点E，延长«Skip Record If...»交«Skip Record If...»于点F，若«Skip Record If...»．则«Skip Record If...»的直径长为（）A．15B．13C．10D．165．如图，AB是⊙O的直径，C.D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD.CB.OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．30°6．如图，在⊙O中，«Skip Record If...»，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等8．如图，A.B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是«Skip Record If...»的中点，则四边形OACB是（ ）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形9．如图，半径为5的⊙A中，弦«Skip Record If...»所对的圆心角分别是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．已知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则弦«Skip Record If...»的弦心距等于（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．4D．310．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为«Skip Record If...»的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①«Skip Record If...»；②HC＝BF：③MF＝FC：④«Skip Record If...»，其中成立的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个11．若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为________«Skip Record If...»．12．如图，在半径为5的«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，则弦«Skip Record If...»的长度为______．13．如图，在⊙O中，若«Skip Record If...» ，则AC与2CD的大小关系是：AC__2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）14．如图，在圆«Skip Record If...»中，若«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的长度．15．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．参考答案1．A【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故选：A．【点拨】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．2．B【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC，求出«Skip Record If...»的度数，根据直角三角形的性质求出∠BCD=70°，根据平行线的性质求出∠D，求出«Skip Record If...»的度数，求出«Skip Record If...»的度数可得∠AOE，再求出答案即可．【详解】解：连接OC，∵AB⊥CD，∴∠CFB=90°，∵∠CBA=15°，∴∠AOC=2∠CBA=30°，∠BCD=90°-∠CBA=75°，∴«Skip Record If...»的度数是30°，∵DE∥BC，∴∠BCD+∠D=180°，∴∠D=105°，∴«Skip Record If...»的度数是210°，∴«Skip Record If...»的度数是360°-210°=150°，∴«Skip Record If...»的度数是150°-30°=120°，∴∠AOE=120°，∴«Skip Record If...»故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．3．B【分析】结合题意函数图象可分析出在直道AB，CG以及EF上的行驶时间均为3s，在弯道BC，CD，DE上的行驶时间均为2s，从而结合速度进行逐项分析即可．【详解】A.分析图2可知，甲车先驶出立交桥，乙车后驶出，因此甲车从G口出，乙车从F口出，原说法错误，不符合题意；B.根据图2甲的图象可知甲车在立交桥上由A到G共计用时5+3=8s，其中由B到C用时2s，由于甲乙的速度相同，则乙从A到D用时3+2×2=7s，从A到E用时3+3×2=9s，因此第8s 时，乙车在«Skip Record If...»上，原说法正确，符合题意；C.根据B选项的分析可知，两车同时在立交桥上的时间为8s，原说法错误，不符合题意；D.根据题意，立交桥总长为：«Skip Record If...»，原说法错误，不符合题意；故选：B．【点拨】考本题考查函数图象与实际行程问题，涉及到圆心角等相关知识点，理解函数图象对应的实际意义是解题关键．4．A【分析】连接«Skip Record If...»，首先证明«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，连接«Skip Record If...»．«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点«Skip Record If...»是弧«Skip Record If...»的中点，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»中，则有«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故答案是：A．【点拨】本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5．B【分析】先根据邻补角的性质求出∠BOD，再根据点C为弧BAD的中点，求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数．【详解】∵∠AOD＝100°，∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°，∵点C为弧BAD的中点∴∠BOC=∠DOC=«Skip Record If...»（360°-80°）=140°∵OC=OB∴∠ABC=∠BCO=«Skip Record If...»（180°-140°）=20°故选B．【点拨】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆心角、弧的关系．6．D【分析】首先根据题意得出«Skip Record If...»，然后得到«Skip Record If...»，然后利用角度之间的关系求解即可．【详解】«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，«Skip Record If...»，故选：D．【点拨】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，准确识图并灵活运用相关知识是解题的关键．7．B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；B中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；D中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【点拨】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．8．C【分析】连接OC，如图，利用圆心角、弧的关系得到∠AOC＝∠BOC＝«Skip Record If...»∠AOB＝60°，可判断△OAC和△OCB都是等边三角形，所以OA＝AC＝OB＝BC，于是可判断四边形OACB 为菱形．【详解】解：连接OC，如图，∵C是«Skip Record If...»的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝«Skip Record If...»∠AOB＝«Skip Record If...»×120°＝60°，∵OA＝OC，OC＝OB，∴△OAC和△OCB都是等边三角形，∴OA＝AC＝OB＝BC，∴四边形OACB为菱形．故选：C．【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定．9．D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH 为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=«Skip Record If...»BF=3.【详解】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴«Skip Record If...»，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=«Skip Record If...»BF=3，故选：D．【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，解题的关键是熟练运用相应的定理．10．C【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：∵F为«Skip Record If...»的中点，∴«Skip Record If...»，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴«Skip Record If...»，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴«Skip Record If...»＝180°，∴«Skip Record If...»＝180°，∴«Skip Record If...»，故④正确，故选：C．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．11．120【分析】根据圆的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为：«Skip Record If...» 故答案为：120．【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握圆和圆心角的性质，从而完成求解．12．«Skip Record If...»【分析】作OC⊥AB，根据垂径定理得到AC=BC=«Skip Record If...»AB，根据直角三角形的性质求出OC，根据勾股定理求出AC，得到答案.【详解】解：作«Skip Record If...»于C，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，由勾股定理得，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故答案为：«Skip Record If...»【点拨】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，正确作出辅助性、灵活运用定理是解题的关键.13．«Skip Record If...»【分析】如图，连接AB.BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．【详解】解：如图，连接AB.BC，∵«Skip Record If...»∴AB＝BC＝CD，在△ABC中，AB+BC＞AC．∴AC＜2CD．故答案是：＜．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB+BC＞AC．14．«Skip Record If...»【分析】由弦与弧的关系，得到«Skip Record If...»，然后得到«Skip Record If...»，即可得到«Skip RecordIf...»．【详解】解：∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»即«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»．【点拨】本题考查了弦与弧的关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到«Skip Record If...»．15．（1）见解析；（2）«Skip Record If...»【分析】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出«Skip Record If...»即可；（2）根据垂径定理，勾股定理求出ME，进而求出MB即可．【详解】证明：（1）∵AB＝CD，∴«Skip Record If...»，又∵点M是弧AC的中点，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»，∴MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，∴ME＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，∴MD＝MB＝2ME＝2«Skip Record If...»．【点拨】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是正确计算的前提．。
人教版九年级上册数学24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习(含解析)
人教版九年级上册数学24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习一．选择题1．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（）A．30°，60°，90° B．50°，100°，150°C．60°，120°，180° D．80°，120°，160°2．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm3．下列语句，错误的是（）A．弦的垂直平分线一定经过圆心 B．相等的圆心角所对的弧相等C．直径是弦 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦4．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．25°C．50°D．30°5．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠OFE的度数是（）A．30°B．40°C．20°D．35°6．已知，如图，∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是（）A．＝ B．AB＝CD C．△AOB≌△COD D．△AOB、△COD都是等边三角形7．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．45 B．30 C．50 D．608．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1 D．9．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（）A．1 B．C．D．10．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒B点P位于点C的位置，……，则第2017秒点P所在位置的坐标为（）A．（，）B．（）C．（0，﹣1）D．（）二．填空题11．圆上有四个点，若它们两两连结后得到的所有线段只有两个不同的长度，则这四个点依次分圆弧的比为．12．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝．13．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是．14．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，BE＝DE，AB＝BE，且AC ＝8，则四边形ABCD的面积为．15．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为度．三．解答题16．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．（1）求证：AP＝AD；（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．17．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD，求证：AD＝BC．18．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，由题意得，2x+3x+4x＝360°，解得，x＝40°，则这个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，故选：D．2．解：如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4cm，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π（cm）．故选：D．3．解：直径是弦，A正确，不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；故选：B．4．解：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴＝，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．故选：B．5．解：如图，连接BF，OE．∵EF＝EB，OE＝OE，OF＝OB，∴△OEF≌△OEB（SSS），∴∠OFE＝∠OBE，∵OE＝OB＝0F，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，∵∠ABF＝∠AOF＝20°，∴∠OFB＝∠OBE＝20°，∵∠OFB+∠OBF+∠OFE+∠OBE+∠BEF＝180°，∴4∠EFO+40°＝180°，∴∠OFE＝35°，故选：D．6．解：∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，＝，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD，∴ABC成立，则D不成立，故选：D．7．解：∵OD⊥BC，∠ABC＝30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE＝60°（直角三角形的两个锐角互余），即∠DOB＝60°．又∵∠DCB＝∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB＝30°；故选：A．8．解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝6，∵＝，∴OD⊥AB，∵∠OAH＝∠CAB，∠AOH＝∠ACB＝90°，∴△AOH∽△ACB，∴＝＝∴＝＝∴OH＝，AH＝，∵DH＝OD﹣OH＝5﹣＝，∵DM⊥AC，∵∠DMH＝∠AOH＝90°，∠DHM＝∠AHO，∴△DMH∽△AOH，∴＝，∴＝，∴DM＝1，故选：C．9．解：∵弦AC＝BD，∴，∴，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD＝R，∵AD＝，∴R＝1，故选：A．10．解：2017÷8＝252…1，即第2017秒点P所在位置如图：过P作PM⊥x轴于M，则∠PMO＝90°，∵OP＝1，∠POM＝45°，∴PM＝OM＝1×sin45°＝，即此时P点的坐标是（，），故选：A．11．解：∵四个点两两连结后得到的所有线段只有两个不同的长度，∴圆上的四个点构成了圆的内接正方形，∵正方形的边长相等，即四条弦长相等，∴这四个点依次分圆弧的比为1：1：1：1．故答案为1：1：1：1．12．解：∵在⊙O中，，∴AC＝AB＝3，故答案为：313．解：连接OD、OE，∵的度数为35°，∴∠AOD＝35°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝35°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝35°，∴∠DOE＝110°，∴∠AOE＝75°，∴∠BOE＝105°，∴的度数是105°．故答案为105°．14．解：∵BE＝DE，AB＝BE，∴AB2＝2BE2＝BE•BD，∴AB：BE＝BD：AB，又∠EBA＝∠ABD，∴∠ADB＝∠BAE，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CAB，∴AB＝BC．连接BO，交AC于H，连接OA，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴CH＝AH，∴CH＝AH＝AC＝4∵AO＝5，∴OH＝＝3，BH＝OB﹣OH＝5﹣3＝2．∴S△ABC＝AC•BH＝×8×2＝8，∵E是BD的中点，∴S△ABE＝S△ADE，S△BCE＝S△DCE，∴S△ABC＝S△ADC，∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝16，故答案为16．15．解：∵，（已知）∴∠AOE＝∠COA（等弧所对的圆心角相等）；又∠AOE＝32°，∴∠COA＝32°，∴∠COE＝∠AOE+∠COA＝64°．故答案是：64°．16．（1）证明：连AM，AN，∵＝，＝，∴∠BAM＝∠ANM，∠AMN＝∠CAN，∵∠APD＝∠AMN+∠BAM，∠ADP＝∠CAN+∠ANM，∴AP＝AD．（2 ）解：连AO，OM交AB于E，设PE＝x，∵＝，∴OM⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵OE2＝OA2﹣AE2＝OP2﹣PE2∴52﹣（x+3）2＝（）2﹣x2，∴x＝1，∴AE＝4，OE＝3，ME＝2，∴MP＝＝＝．17．证明：∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝，∴AD＝BC．18．（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB ＝12，在Rt△ABD 中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．。
九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步训练习题(含答案)
24.1.3 弧、弦、圆心角5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 思路解析：作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.答案：C3.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( ) A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 思路解析：∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0. 答案：D10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 思路解析：41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 答案：90°2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 思路解析：如图，OD ⊥AB ，OD=DB=AD. 设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB,∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 答案：2∶2 90°3.如图24-1-3-2，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图24-1-3-2(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.思路分析：求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来. （1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）. 4.(经典回放)如图24-1-3-3所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图24-1-3-3思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.5.如图24-1-3-4，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图24-1-3-4思路分析：如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决. 解：过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）.在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ， ∴DF=CF.∴CD=2CF=215（ cm ）.6.如图24-1-3-5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂足为F ，我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF ∥AB 时,情况又怎样?图24-1-3-5思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线. 解：当EF 交AB 于P 时,过O 作OM ⊥CD 于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF. 当EF ∥AB 时,同理作OM ⊥CD 于M,可证四边形AEFB 为矩形. 所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF. 快乐时光数到100再说某冬日,上课了,伊万老师靠教室壁炉站着,对学生们说:“说话前要多考虑,至少要数到50下才说,重要的话要数到100下.”学生们争先恐后地数起来,最后不约而同地爆发出:“99、100,老师的衣服着火了!” 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.如图24-1-3-6所示，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦BE=BD ，则弧AC 与弧BE 是否相等？为什么？图24-1-3-6思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC 与弧BE 所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC 以及弧BE 相等.解：弧A C=弧BE. 原因如下：法一：连结AC ，∵AB 、CD 是直径， ∴∠AOC ＝∠BOD.∴AC ＝BD.又∵BE ＝BD ，∴AC ＝BE.∴弧AC=弧BE. 法二：∵AB 、CD 是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O 于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图24-1-3-7思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图24-1-3-8思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.解：在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图24-1-3-9思路解析：因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.答案：（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC；（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.图24-1-3-10思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.解：过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.∴OA2－52=52－1.∴OA=7，即⊙O的半径为7 cm.7.⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)解：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD. ∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离 ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.。
人教版九年级数学上册24.1.3弧弦圆心角同步练习题
24.1.3弧弦圆心角同步练习题姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二总分评分一、单选题（共15题；共60分）1.如图，在⊙O中，AB⌢＝AC⌢，∠A＝40°，则∠B的度数是（）A. 60°B. 40°C. 50°D. 70°2.如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（）A. 36°B. 48°C. 72°D. 96°3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A. AB=ADB. BC=CDC. AB⌢=AD⌢ D. ∠BCA=∠DCA4.下图中∠ACB是圆心角的是( )A. B. C. D.5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⌢的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E，则∠A的度数为（）A. 45º－12α B. 12α C. 45º＋12α D. 25º＋12α6.如果两条弦相等，那么( )A. 这两条弦所对的圆心角相等B. 这两条弦所对的弧相等C. 这两条弦所对的弦心距相等D. 以上说法都不对7.如图，在⊙O中AĈ= BD̂，∠AOB=40°，则∠COD的度数（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°8.如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B=70°，∠C=50°，则∠ADB的度数是（）A. 70°B. 80°C. 82°D. 85°9.如图，在⊙O中，若点C是AB⌢的中点，∠A=50°，则∠BOC=( )A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，AE=2，则弦CD的长是（）A. 4B. 6C. 8D. 1011.如图，已知AB是⊙O的直径，∠CBA=25°，则∠D的度数为（）A. B. C. D.12.如图，在⊙O中，AB̂= AĈ，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°13.已知，如图，∠AOB=∠COD，下列结论不一定成立的是（）A. AB=CDB. AB⌢=CD⌢ C. △AOB≅△COD D. △AOB、△COD都是等边三角形14.下列命题中，正确的分别是（）A. 相等的圆心角，所对的弧也相等B. 两条弦相等，它们所对的弧也相等C. 在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等D. 顶点在圆周的角是圆周角15.在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（）A. 这两条弦所对的弦心距相等B. 这两条弦所对的圆心角相等C. 这两条弦所对的弧相等D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分第1题图第7题第2题图第8题第9题第10题第11题第13题第12题二、填空题（共15题；共60分）16.如图，在⊙O中，AĈ=BD̂，若∠AOB＝40°，则∠COD＝________．17.如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝________．18.如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于________度.19.如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于________度．20.某校全体同学的综合素质评价的等级统计如图所示,其中评价为C等级所在扇形的圆心角是________度.21.如图，在⊙O中，AĈ = BD̂，若∠AOB=40°，则∠COD=________°．22.过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．23.如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则BC⏜的度数为________．24.如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E.则∠DOE 的度数为________.25.在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为________．26.如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC=30∘，则∠AOB的度数为________．27.如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则AC∧的度数为________ ．28.在⊙O中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙O的直径为 ________cm．29.已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 ________°.30.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数________．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：∵AB⌢=AC⌢，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝12（180°﹣∠A）＝12×（180°﹣40°）＝70°.故答案为：D.【分析】先利用等腰三角形的性质得∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数.2.【答案】C【解析】【解答】解：∵点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，∴弧BD的度数为144度，∴∠A＝72°.故答案为：C.【分析】根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半即可算出答案.3.【答案】B【解析】【解答】解：A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴AB⌢与AD⌢不一定相等，故本选项错误；D.∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误。
人教版-数学-九年级上册-24.1 圆 第三课时 课后作业
24.1圆第三课时 弧、弦、圆心角一、教学目标 掌握圆心角的定义，并能理解弧、弦、圆心角之间的关系.二、教学重难点重点：弧、弦、圆心角之间的关系 难点：弧、弦、圆心角之间的关系三、在线课堂1． 新课引入如图，在⊙O 中，AB=CD ，若将△OCD 绕O 点旋转，△OCD 能与△OAB 完全重合吗？由此你能得出哪些相关的结论呢？2．例题设计 知识与技能例1．如图，在⊙O 中，AB=CD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：∠AEF=∠CFD.运用.方法与技巧例2．已知：B 为⊙O 的半径OA 的中点，过B 点作弦CD ⊥OA ，求CD 所对圆心角的度数.点拔：CD 即为∠COD.探究与实践例3．如图，在⊙O 中，AB BCCD ==，AC 、OB 交于点E ，BD 、OC交于点F ，求证：OE=OF.点拔：弧相等⇒弦相等⇒弦心距相等.巩固练习1 如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于点P ，AB=CD ，求证：OP 平分∠BPD.巩固练习2 已知：如图，AB 为半⊙O 的直径，C 、D 、E 为半圆弧上的点，CD DE EA ==，∠BOE=55°，则∠AOC 的度数为 .巩固练习3 如图，在⊙O 中，AB=AC ，P 、Q 分别为AB 、AC 的中点过P 、Q 两点作弦DE ，求证：DP=EQ.A CAAE D3．课堂小结（1）弦、弧、圆心角之间的关系往往结合垂径定理进行综合运用； （2）弦相等⇒弧相等，要注意分清弦对的两条弧； （3）圆心角的定义及与圆有关的角度计算.四、课后作业一、判断题（正确的填A ，错误的填B ）1. 顶点在圆心的角叫做圆心角. （ ）2. 圆心角相等，则圆心角所对的弧一定相等. （ ）3. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧一定相等. （ ）4. 等弧所对的圆心角相等. （ ） 二、选择题1. 在⊙O 中，AB 、CD 为两条弦，下列说法：①若AB=CD ，则AB CD =；②若AB CD =则AB=CD ；③若2AB CD =则AB=2CD ；④若2AOB COD ∠=∠，则2AB CD =.其中正确的有（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2.在半径为2的圆中，长为( ).(A)60° (B)90° (C)120° (D)135° 3. 若⊙O 内一条弦把圆周分为3:1两段弧，若⊙O 的半径为R ，那么这条弦的长为（ ）.(A)R (B)2R4.如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 分别为OA 、OB 的中点，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，下列 结论：①CE=DF ；②AE EF FB ==；③AF=2CE ；④四边形CDFE 为正方形. 其中正确的是（ ）.(A)②③④ (B)①② (C)①②③ (D) ①②③④三、填空题1.在⊙O 中，弦AB=3，圆心角∠AOB=120°，则⊙O 的半径为 .2．如图，在⊙O 中，AD=BC ，要使O 点在PQ 的垂直平分线上，则图中的线段必满足的条件是 .A3.已知A 、B 、C 、D 为⊙O 上依次的四个点，且:::1:2:3:4AB BC CD DA ，则AOB= .4.在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是 . 四、解答题1. 已知⊙O 的半径为5，AB 、AC 为两条弦，AB=52，AC=53，求圆心角∠BOC 的度数.2. 过⊙O 外一点P 作两条直线分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，PO 平分∠BPD ，求证：AB=CD.五、探究实践如图，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DE 交AC 于点F. (1) 求证：AC=2DE ； (2) 求证：AF=DF.ODCBAPE OD CBAF答案： 一、ABBA 二、CCCC三、1° 4.四、1. 30°或150° 2.过O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，∴OE=OF ，∴AB=CD.五、（1）延长DE 交⊙O 于G 点，AG AD CD ==，∴AC DG =，∴AC=DG=2ED ；（2）连OD 交AC 于H 点，证△OAH ≌△ODE ，∴∠OAH=∠ODE.∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，∴∠FDA=∠FAD ，∴FA=FD.。
九年级数学人教版上册 第二十四章 圆 24.1.3 弧、弦、圆心角(附答案)
人教版数学第二十四章圆之弧、弦。
圆心角（附答案）一、选择题1.如图，AD是⊙O的直径，且AD＝6，点B，C在⊙O上，⌒AmB＝⌒AnC，∠AOB＝120°，点E是线段CD的中点，则OE等于()A． 1B．3√32C． 3D． 2√32.如图，在⊙O中，⌒AB＝⌒CD，∠1＝45°，则∠2等于()A． 60°B． 30°C． 45°D． 40°3.如图，⌒AB＝2⌒CD，则下列正确的是()A．AB＝2CDB．AB＞2CDC．AB＜2CDD．无法确定4.下列语句中，正确的有()A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．平分弦的直径垂直于弦C．长度相等的两条弧相等D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴5.如图，∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是()A．AB＝CDB．⌒AB＝⌒CDC．△AOB≌△CODD．△AOB、△COD都是等边三角形6.在⊙O上有顺次三点A，B，C，且⌒AB＝⌒BC＝⌒AC，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空题7.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．________(填“正确”或“错误”)8.在⊙O中，已知⌒AB＝2⌒CA，那么线段AB与2AC的大小关系是________．(从“＜”或“＝”或“＞”中选择)9.如图，⌒AD＝⌒BC，若AB＝3，则CD＝________.10.如图，在⊙O中，⌒AB＝⌒CD，如果∠AOC＝65°，则∠BOD＝________.三、解答题11.如图，在⊙O中，点C为⌒AB的中点，AD＝BE.求证：CD＝CE.12.已知A，B，C三点在⊙O上，AB＝BC，求证：OB平分∠AOC.13.如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝∠BOC＝120°.求证：△ABC是等边三角形．14.如图，在⊙O中，已知AC＝BD，证明：(1)OC＝OD；(2)⌒AE＝⌒BF.15.如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.(1)求证：AB＝CD；(2)如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．答案解析1.【答案】B【解析】∵⌒AmB ＝⌒AnC ，∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝∠AOB ＝120°，∴∠DOC ＝60°，∵OD ＝OC ，E 为DC 的中点，∴∠COE ＝12∠DOC ＝30°，OE ⊥DC ，∴CE ＝12OC ，∵OC ＝OD ＝12AD ＝12×6＝3，∴CE ＝32， 在Rt △EOC 中，由勾股定理可得OE ＝√OC 2−CE 2＝√32−(√32)2＝3√32.2.【答案】C【解析】∵⌒AB＝⌒CD ，∴∠2＝∠1＝45°. 3.【答案】C【解析】如图，取⌒AB 的中点E ，则⌒AE ＝⌒BE ，则⌒AB ＝2⌒AE ，∵⌒AB ＝2⌒CD ，∴⌒AE ＝⌒EB ＝⌒CD，∴AE ＝BE ＝CD ， 在△AEB 中，由三角形的三边关系得AB ＜AE ＋BE ，∴AB ＜2CD .4.【答案】A【解析】此题是圆心角、弧、弦的关系定理，故A 正确；平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故B 错误；在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，故C 错误；任何图形的对称轴都是直线，而圆的直径是线段，故D 错误．5.【答案】D【解析】∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，⌒AB＝⌒CD，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD，故选D.6.【答案】C【解析】⌒AB＝⌒BC＝⌒AC，∴AB＝BC＝CA，∴△ABC是等边三角形．7.【答案】正确【解析】8.【答案】＜【解析】如图，∵⌒AB＝2⌒CA，∴⌒AC＝⌒CB，∴AC＝BC，在△ABC中，AC＋BC＞AB，∴AB＜2AC.9.【答案】3【解析】∵⌒AD＝⌒BC，∴⌒AB＝⌒DC，∴CD＝AB＝3.10.【答案】65°【解析】∵在⊙O中，⌒AB＝⌒CD，∴⌒AC＝⌒BD，∵∠AOC＝65°，∴∠BOD＝65°.11.【答案】证明：连接OC，∵点C为⌒AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC.∵AD＝BE，OA＝OB，∴OD＝OE.在△COD与△COE中，{OD=OE,∠DOC=∠EOC, OC=OC,∴△COD≌△COE(SAS)．∴CD＝CE.【解析】连接OC，先根据点C为⌒AB的中点，得出∠AOC＝∠BOC，再由AD＝BE，OA＝OB可得OD ＝OE，根据SAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．12.【答案】证明：连接OA，OC，∵AB＝BC，∴∠AOB＝∠COB，∴OB平分∠AOC.【解析】连接OA，OC，再根据AB＝BC即可得出结论．13.【答案】证明：∵点A，B，C都在⊙O上，∴∠AOB，∠BOC，∠AOC都是圆心角，又∵∠AOB＝∠BOC＝120°，∴∠AOC＝120°，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．【解析】由点A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝∠BOC＝120°，可得∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，根据圆心角与弦的关系，可得AB＝BC＝AC，即可证得△ABC是等边三角形．14.【答案】证明：(1)连接OA，OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.在△OAC和△OBD中，{OA=OB,∠A=∠B, AC=BD,∴△OAC≌△OBD(SAS)．∴OC＝OD.(2)∵△OAC≌△OBD，∴∠AOC＝∠BOD.∴⌒AE＝⌒BF.【解析】(1)首先连接OA，OB，利用SAS可判定△OAC≌△OBD，继而证得OC＝OD.(2)由△OAC≌△OBD，可证得∠AOC＝∠BOD，然后由圆心角与弦的关系，证得结论．15.【答案】(1)证明：∵AD＝BC，∴⌒AD＝⌒BC.∴⌒AB＝⌒CD，∴AB＝CD.(2)解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.则AF＝FD，BG＝CG.∵AD＝BC，∴AF＝CG.在Rt△AOF与Rt△COG中，{AF=CG,OA=OC,∴Rt△AOF≌Rt△COG(HL)，∴OF＝OG.又AD⊥CB，∴四边形OFEG是正方形．∴OF＝EF.设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x＋1，在Rt△OAF中．由勾股定理得到x2＋(x＋1)2＝52，解得x＝3.则AF＝3＋1＝4，即AE＝AF＋EF＝4＋3＝7.【解析】(1)欲证明AB＝CD，只需证得⌒AB＝⌒CD.(2)如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．。
九年级数学上册 第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.3弦、弧、圆心角课后作业(新版)新人教
⌒ ⌒
24.1.3弦、弧、圆心角
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等 ，•所对的也相等．
2、如果两个圆心角相等，那么（ ）
A ．这两个圆心角所对的弦相等;
B ．这两个圆心角所对的弧相等
C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;
D ．以上说法都不对
3、如图7，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（ ）． A ．AB=2AC B ．AB=AC C ．AB<2AC D ．AB>2AC
4、已知⊙O 的半径为2，弦AB 所对的劣弧为圆的3
1，则弦AB 的长为，AB 的弦心距为. 5、如图，在半径为2的⊙O 内有长为32的弦AB, 则此弦所对的圆心角∠AOB=°.
6、如图，在⊙O 中，弦AB=CD 。
求证：（1）DB=AC;（2）∠BOD=∠AOC.
参考答案：
1、
弧，弦，相等；弦，圆心角，相等；圆心角，弧，相等 2、
D 3、
C 4、
32 5、
120° 6、 略 ⌒ ⌒
_ B。
人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1.3 弧、县、圆心角 课后练习
人教版九年级数学上册第二十四章圆24.1.3 弧、县、圆心角课后练习一、选择题1．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（）①CE ＝OE②∠C＝50°③ ACD ＝ ADC ④AD＝2OEA．①④B．②③C．②③④D．①②③④2．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC、BD交于E，F为BC上一点，连AF、BF、AB、AD，下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD R；③在②的条件下，若CF CD=，AB，则BF+CE＝1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．如图，AB是⊙O的直径，C是线段OB上的一点（不与点B重合），D，E是半圆上的点且CD与BE交于点F,用①=，②DC⊥AB，③FB=FD中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）DB DEA．0B．1C．2D．34．如图，AB是O的直径，AB＝4，C为AB的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B C．D5．如图：已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．若∠COA＝60°，∠CDO ＝70°，∠ACD的度数是（）A．60°B．50°C．30°D．10°6．已知点A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，分别以A、D为圆心，AE和DF长为半径画圆弧交于点P．以下说法正确的是( )①∠PAD=∠PDA=60º；②△PAO≌△ADE；③r；④AO∶OP∶PA=1A．①④B．②③C．③④D．①③④7．下列命题是假命题的是( )A．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．两条平行线间的距离处处相等D．正方形的两条对角线互相垂直平分8．如图 ，MN 是⊙O 的直径，MN=8，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是 直径MN 上的一个动 点，则PA+PB 的最小值为( )A ．B ．2C ．3D ．49．如图，点A 是半圆上的一个三等分点，点B 为弧AD 的中点，P 是直径CD 上一动点，⊙O 的半径是2，则PA PB +的最小值为（ ）A ．2BC 1D ．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中()(),3,0,3,0A B -,若在直线y x m =-+上存在点P 满足60APB ∠=︒,则m 的取值范围是（ ）A m ≤≤B ．m ≤≤C m ≤≤D ．m ≤≤二、填空题11．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=8，点E是AB的中点，以AE为边作等边△ADE（点D与点C 分别在AB异侧），连接CD，则△ACD的面积是_________．12．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为_____．13．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上，30∠，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，AMN=则PA+PB的最小值为______________.14．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若∠AOB+∠C=180°，∠COD=∠A，则∠AOB= ________15．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，若AB CD BC AD+=+，且弦AB=8，CD=4，则⊙O的半径为________．三、解答题16．如图，在平面直角坐标系中，点P 是y 轴正半轴上一点，⊙P 与x 轴交与A ，B 两点，与y 轴交与C 点，OC 、OA 分别是方程214480x x -+=的两个根（OC ＞OA ），点D 是弧AC 上的一动点，点F 是弧AD 的中点．（1）求⊙P 的半径；（2）试判断∠CFA 与∠EFC 的大小关系，并说明理由；（3）随着D 点的运动，CE 的长度变化吗？若不变，请求出其值；若变化，请求出其变化范围．17．某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔A ，B ，通告所有船只不要进入以AB 为弦的弓形区域（阴影部分）内（含边界）以免触礁，如图所示.现有一艘货轮P 正向暗礁区域靠近，当APB ∠多大时，才能避开暗礁？18．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AD 上运动（不运动至两端点），射线BE ，CD 交于点F ，O 为BDF ∆的外接圆，连结OA ，OF ，OB ．（1）求OFB ∠的度数．（2）求证：180AOF AEF ∠+∠=︒．（3）若正方形ABCD 的边长为2．①当E 为AD 中点时，求四边形OAEF 的面积．②设OD ，BF 交于点M ，设BED ∆，EMD ∆，MFD ∆的面积分别为1S ，2S ，3S ，当BA 平分OBF ∠时，123::S S S =_________（直接写出答案）．19．（理论学习）学习图形变换中的轴对称知识后，我们容易在直线l 上找到点P ，使AP BP +的值最小，如图1所示，根据这一理论知识解决下列问题：（1）（实践运用）如图2，已知O 的直径CD 为4，弧AD 所对圆心角的度数为60︒，点B 是弧AD 的中点，请你在直径CD 上找一点P ，使BP AP +的值最小，并求BP AP +的最小值．（2）（拓展延伸）在图3中的四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使APB APD ∠=∠．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法）．20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于P点，过其顶点C作直线CH⊥x轴于点H．（1）若∠APB＝30°，请直接写出满足条件的点P的坐标；（2）当∠APB最大时，请求出a的值；（3）点P、O、C、B能否在同一个圆上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由．（4）若a＝15，在对称轴HC上是否存在一点Q，使∠AQP＝∠ABP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+y1y2＝0，且A，B均不为原点，则称A和B互为正交点．比如：A（1，1），B（2，﹣2），其中1×2+1×（﹣2）＝0，那么A和B互为正交点．（1）点P和Q互为正交点，P的坐标为（﹣2，3），①如果Q的坐标为（6，m），那么m的值为多少；②如果Q的坐标为（x，y），求y与x之间的关系式；（2）点M和N互为正交点，直接写出∠MON的度数；（3）点C，D是以（0，2）为圆心，半径为2的圆上的正交点，以线段CD为边，构造正方形CDEF，圆心F在正方形CDEF的外部，求线段OE长度的取值范围．22．如图，在⊙O中，AB、DE为⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AD=CE．（1）BE与CE有什么数量关系？为什么？（2）若∠BOE=60°，则四边形OACE是什么特殊的四边形？请说明理由．23．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E．（1）求证：=AC CE．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的长；②如图2，将BC沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为【参考答案】1．B 2．D 3．D 4．D 5．D 6．C 7．B 8．D 9．D 10．D11．412或13．14．108°15．16．解：（1）解方程214480x x -+=，得16x =，28x =，OA OC <，6OA ∴=，8OC =，连接AP ，设⊙P 的半径为r ，则在Rt AOP △中，222AP OP AO =+，即()22268r r =+-， 解得254r =； （2）连接AC ，AP ，BP∵12AFB APB ACO PAC ∠=∠=∠+∠， 且1122CFB CPB CPA ∠=∠=∠， ∴CFA CFB AFB ∠=∠+∠，180EFC CFB ∠=︒-∠，∴21801800CFA EFC CFB AFB CPA ACO PAC ∠-∠=∠+∠-︒=∠+∠+∠-︒=， ∴∠CFA 与∠EFC 相等；（3）不变；∵点F 是弧AD 的中点，∴ECF ACF ∠=∠，易得CEF CAF ≌，∴10CE AC ===．17．解：货轮P 在航行时，只要使∠APB<55°，即在ACB 外行驶，就能避开暗礁. 18．（1） 解：∵∠ADB=45°， ∠ADF=90°，∴∠BDF=135°∴优弧BF =270°．∴BF =90°，∠BOF =90°∵OB=OF，∴∠OFB=∠OBF=45°故答案为：45°（2）证明：连结OD（如图１），∵OB=OD，OA=OA，AB=AD，∴△OAB≌△OAD（SSS）．∴∠OAB=∠OAD=360901352︒-︒=︒．∵∠OFB=45°，∴∠AOF+∠AEF=360°-135°-45°=180°图1（3）①作OH⊥AD，OG⊥FD，垂足分别为H，G，连结OD（如图2），图2由AE=ED，易得△ABE≌△DFE，∴FD=AB=2，由OD=OF ，OG ⊥FD ，得GD=12FD = 由OH ⊥AD ，OG ⊥FD ，∠ADF=90°，得矩形OHDG ，∴OH=GD=1．由∠OAH=∠OAB-∠HAB=135°-90°=45°，得∠HOA=∠HAO=45°∴AH=OH=1，OG=HD=AH+AD=1+2=3．∵△OAD 的面积=21122AD OH ⨯⨯==， △ODF 的面积=23322DF OG ⨯⨯==， △FDE 的面积=12122ED DF ⨯⨯==， ∴四边形OAEF 的面积=△OAD 的面积+△ODF 的面积-△FDE 的面积=1+3-1=3． ②OD 与BF 交于点M 如图3：BA 平分OBF ∠∴OBA ABE MDE ∠=∠=∠又∵AEB MED ∠=∠ ∴AEB MED ∆∆∴90EMD BAE ∠=∠=︒∵OF=OB∴BM=MF设圆的半径为r∵OBA ABE MED MFD ∠=∠=∠=∠∵90FDE FMD ∠=∠=︒∴DEF MED ∆∆∴2DM ME MF =2(r ME =1)ME r =，1)(12BE BM ME r r =-==- BED ∆，EMD ∆，MFD ∆的面积分别为1S ，2S ，3S ，三个三角形的高均为MD∴312::::(1):1)1):(2:12S S BE ME MF r r S ==-=图3故答案为：1):(2:1-19．解：（1）作点B 关于CD 的对称点E ，则点E 在圆上，连接AE 交CD 于点P ，则AP BP +最短，连接OA OB OE ，，. 60AOD ∠=︒，B 是弧AD 的中点，30AOB DOB ∴∠=∠=︒，B 关于CD 的对称点E ，3090DOE DOB AOE ∴∠=∠=︒∴∠=︒，又2OA OE ==，OAE ∴是等腰直角三角形，∴AE =（2）如图，作点B 关于AC 的对称点B′，连接DB′交AC 于点P ，由AC 是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD.20．解：（1）作△PAB 的外接圆⊙D ，连接DP 、DA 、DB ，如图1∴DP ＝DA ＝DB ，∵C 为抛物线顶点且CH ⊥x 轴∴CH 为抛物线对称轴，即CH 垂直平分AB∴D 在直线CH 上∵∠APB ＝30°∴∠ADB ＝2APB ＝60°∴△ABD 是等边三角形∵当y＝0时，a（x﹣1）（x﹣5）＝0 解得：x1＝1，x2＝5 ∴A（1，0），B（5，0）∴DP＝DA＝AB＝4，H（3，0），直线CH：x＝3∴AH＝2，DH＝∴D（3，设P（0，p）（p＞0）∴PD2＝32+（﹣p）2＝42解得：p1＝+p2＝∴点P坐标为（0，+0，（2）作△PAB的外接圆⊙E，连接EP、EA、EB，如图2 ∵∠AEB＝2∠APB∴∠AEB最大时，∠APB最大∵AB＝4是定值∴EH最小时，∠AEB最大，此时⊙E与y轴相切于点P∴EP⊥y轴于P∴四边形OHEP是矩形∴PE＝OH＝3∴EA＝PE＝3∴Rt△AEH中，EH==∴OP＝EH∴点P坐标为（05a∴a（3）点P、O、C、B能在同一个圆上．连接PB，取PB中点F，连接FO、FC∵∠POB＝90°∴OF＝PF＝FB＝12PB∴点P、O、B在以点F为圆心、FB的长为半径的圆上若点C在⊙F上，则FC＝FB∵抛物线解析式y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a ∴P（0，5a），C（3，﹣4a）∵B（5，0），F为PB中点∴F55,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴22222 22551169552525 34,5222442244a a a a FC a FB⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=+=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴22 11692525 4444a a +=+解得：a1＝6，a2＝﹣6（舍去）∴a（4）对称轴HC上存在一点Q，使∠AQP＝∠ABP作△PAB的外接圆⊙G，连接GP、GA，设⊙G与直线CH交于点Q ∴∠AQP＝∠ABP当a＝15时，点P（0，1）设G（3，b）（b＞0）∴GP2＝32+（b﹣1）2，GA2＝（3﹣1）2+b2∵GP＝GA∴32+（b﹣1）2＝（3﹣1）2+b2解得：b＝3∴G（3，3），GQ＝GA=∴点Q坐标为（3，3+ 3，321．（1）①由题意：﹣2×6+3m＝0，解得m＝4，故答案为4．②由题意：﹣2x+3y＝0，∴y＝23 x．（2）设M（m，n），N（p，q），∴直线OM的解析式为y＝nmx，直线ON的解析式为y＝qpx，∵点M和N互为正交点，∴mp+nq＝0，∴k OM•k ON＝nqmp＝﹣1，∴OM⊥ON．∴∠MON＝90°．（3）如图1中，连接EF交CD于H，作FQ⊥CD于Q．由题意DF＝CF＝2，CD＝DE＝，DQ＝QC＝FQ，∵FQ∥DE，∴QH：DH＝FQ：DE＝FH：EH＝1：2，∴HQ＝3，FH=，∴EH＝2FH＝，3∴EF＝FH+EH＝在△OFE中，EF﹣OF≤OE≤EF+OF，∴当点E在y轴的正半轴上时，O、F、E共线，此时OE的值最大，最大值为∵原点O在正方形CDEF的外部，∴当点E在y轴负半轴上时，OE的值最小，最小值为2．∴符合条件的OE的范围为：2≤OE22．（1）∵AB、DE是⊙O的直径，∴∠AOD=∠BOE，∴AD BE=，∵AD CE=，∴BE CE，∴BE=CE．（2）连结OC，∵∠BOE=60°，BE=CE，∴∠COE=60°，∵OC=OE，∴△COE是等边三角形，∵∠AOC=180°﹣60°﹣60°=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴OE=CE=OA=AC=OC，∴四边形OACE是菱形．23．解：（1）如图1，连接OC交AE于M，∵DC与⊙C相切于点C，∴OC⊥DC，即：∠OCD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠CDB＝90°，∴CD∥AE，∴OC⊥AE，∴弧AC=弧CE；（2）①由（1）知，∠D＝∠OCD＝∠DEM＝∠EMC＝90°，∴四边形CMED是矩形，∴CD＝ME＝AM＝12AE＝6，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD8，∴cos∠DBC＝45，word 版 初中数学21 / 21 ∵∠CAM ＝∠DBC ，∴cos ∠CAM ＝AM AC ＝45， ∴AC ＝152， 在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AB ＝252； ②如图2，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得，BE＝72连接EF ，∵弧AC =弧CE ，∴∠ABC ＝∠DBC ，由折叠知，BF ＝BE ，∴AF ＝AB ﹣BF ＝252﹣72＝9， 故答案为：9．。
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.3弦弧圆心角课后作业新版新人教版(含答案)
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九年级数学上册第二十四章圆：
24.1.3弦、弧、圆心角
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的弦也 ．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等 ，•所对的 也相等．
2、如果两个圆心角相等，那么（ ）
A ．这两个圆心角所对的弦相等;
B ．这两个圆心角所对的弧相等
C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;
D ．以上说法都不对
3、如图7，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（ ）． A ．AB=2AC B ．AB=AC C ．AB<2AC D ．AB>2AC
4、已知⊙O 的半径为2，弦AB 所对的劣弧为圆的3
1，则弦AB 的长为 ，AB
5、如图，在半径为2的⊙O 内有长为32的弦AB, 则此弦所对的圆心角∠AOB= °.
6、如图，在⊙O 中，弦AB=CD 。
求证：（1）DB=AC;（2）∠BOD=∠AOC.
参考答案：
1、 弧，弦，相等；弦，圆心角，相等；圆心角，弧，相等
2、 D
3、 C
4、 32
5、 120°
6、 略
A ⌒ ⌒ _ B。