江苏省淮安市2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

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2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章立体几何初步(章节专练解析版)

第八章立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=，即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误；如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴，又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=，故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=，故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=，整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=，故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=，整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-，若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥，但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾，故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______．【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ，又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）3．【详解】（1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ，所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥，又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。

2019-2020学年江苏省淮安市高一上学期期末数学试题及答案解析

2019-2020学年江苏省淮安市高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题 1．已知集合{}220A x x x =+=，{}2,1B =--，则AB =（）A ．{}2B ．{}2,1--C ．{}2,0D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】由已知得{}0,2A =-，利用集合并集的运算方法，得答案. 【详解】由已知{}220A x x x =+=，得{}0,2A =-且{}2,1B =-- 所以AB ={}2,1,0--故选：D 【点睛】本题考查集合的表示和并集运算，属于基础题. 2．已知角α的终边经过点()3,4P -，则tan α=（）A ．35B ．45-C ．43-D ．43【答案】C【解析】由正切的三角函数定义，得答案. 【详解】由正切的三角函数定义可知4tan 3y x α==- 故选：C【点睛】本题考查正切的三角函数定义，属于基础题.3．已知点()A 1,0=，()B 3,2=，向量()AC 2,1=，则向量BC (=)A ．()0,1-B ．()1,1-C ．()1,0D ．()1,0-【答案】A【解析】先求得AB 的坐标，然后利用减法求得BC 的坐标. 【详解】依题意()2,2AB =，所以()()()2,12,20,1BC AC AB =-=-=-，故选A. 【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4．设42ππx ≤≤=（）A ．2sin xB ．2cos xC ．2sin x -D ．2cos x -【答案】A【解析】由x 的范围，和三角函数线得sin cos x x >，将.【详解】因为42ππx ≤≤，由三角函数线的图像可知sin cos x x >，则22221sin 21sin 2sin cos 2sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x x x +-=+++-()()22sin cos sin cos x x x x =+-sin cos sin cos 2sin x x x x x =++-=故选：A 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简，还考查了判断三角函数值的大小，属于简单题. 5．已知m 是函数()22x f x x =+的零点，则实数m ∈（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】将条件转化为y x =22x y =-的交点的横坐标，作图观察，得答案. 【详解】函数()22x f x x +的零点，等价于y x =22x y =-的交点的横坐标，作图可知两函数的交点横坐标的范围在()1,2故选：B【点睛】本题考查函数零点问题，常见于转化为两基本函数的交点的横坐标处理，属于中档题.6．设，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先分析得到，再比较b,c的大小关系得解.【详解】由题得.,所以.故选：D【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．已知函数()22cos sin cos sin f x x x x x =+-（a 为常数）的图象关于直线6x π=对称，则函数()f x 的最大值是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】C【解析】化简()f x ，可知()()sin 2,tan f x x ϕϕ⎛=+= ⎝⎭，表示对称轴，由已知对称轴求得参数a ，带入()f x ，可得答案. 【详解】由题可知()()2222cos sin cos sin cos sin sin cos f x x x x x x x x x =+-=-+()cos 2sin 2sin 2,tan x x x ϕϕ⎛==+= ⎝⎭所以对称轴22x k πϕπ+=+，即2x k ππϕ=+-又因为图象关于直线6x π=对称，所以6k πϕπ=+，故tan tan 6k πϕπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又因为tan ϕ=，可知1a =，所以()()()sin 22sin 2f x x x ϕϕ=+=+故()f x 的最大值是2 故选：C 【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式化简三角函数，表示()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的对称轴和最值，属于中档题.8．函数2()log (1)f x x =-的图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题中函数知，当x ＝0时，y ＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案．【详解】观察四个图的不同发现，A 、C 、D 图中的图象过原点，而当x ＝0时，y ＝0，故排除B ；又由定义域可知x<1,排除D ．又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A ．故选：C ．【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.二、多选题9．下列函数中定义域是R 的有（） A ．2x y = B ．lg y x = C ．3y x = D ．tan y x =【答案】AC【解析】确定A 为指数函数；B 为对数函数；C 为幂函数；D 为正切函数，由对应基本初等函数定义域限制，得答案. 【详解】A 选项是指数函数，定义域为R ；B 选项是对数函数，定义域为()0,∞+；C 选项是正整数次幂函数，定义域为R ；D 选项是正切函数，定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 故选：AC 【点睛】本题考查基本初等函数的判定和定义域，属于基础题. 10．设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列叙述正确的有（）A ．若//a b ，//b c ，那么//a cB ．若a c b c ⋅=⋅，则a b =.C ．如果a 与b 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使λa b .D ．有且只有一对实数1λ，2λ，使12a b c λλ=+. 【答案】AC【解析】A 选项中由平行的传递性判定；B 选项中考虑特殊向量判定；C 选项中由向量的共线定理判定；D 选项中由基底需满足不共线判定. 【详解】A 选项由平面向量平行的传递性可知成立；B 选项中若0c，则错误；C 选项是向量的共线定理成立；D 选项中若要使用,b c 作为基底，必须满足,b c 不共线，错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了平面向量平行的判定，数量积运算法则，向量的共线定理，还考查了向量中基底成立的条件，属于简单题.11．已知函数()()131R xmf x m =+∈+为奇函数，则下列叙述正确的有（） A ．2m =- B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数 C ．()()1,1f x ∈- D ．函数()()sin F x f x x =-所有零点之和大于零【答案】ABC【解析】A ：由()f x 为奇函数且在0处有定义,代()00f =，解得m ,成立；B ：由基本初等函数确定单调性，再由单调性性质变换得()f x 单调性，成立；C ：利用换元法，求得()f x 的值域，成立；D ：利用函数奇偶性的性质，图像关于原点对称，交点也对称，其横坐标之和为零，错误. 【详解】因为函数()()131R x mf x m =+∈+为奇函数所以()00110312m mf =+=+=+，解得2m =-，故A 选项正确；因此()2131x f x =-+ 又因为31x y =+在定义域上是单调增函数，所以231x y =+为单调减函数即()2131x f x =-+在定义域上是单调增函数，故B 选项正确；令()31,0,xt t =+∈+∞，所以()21f t t=-在()0,t ∈+∞上的值域为()1,1-，故选项C 正确；函数()()sin F x f x x =-所有零点可以转化为()sin f x x =的两个函数的交点的横坐标因为()f x 和sin y x =都为奇函数，所以若有交点必然关于原点对称，那么其和应等于零故选项D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查了非基本初等函数的单调性的判定并求值域，还考查了利用奇偶性求解析式中的参数并以奇偶性的性质解决零点问题，属于难题. 12．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（） A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为MC ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心【答案】BCD【解析】已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】由题可知2T ππω==，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0x =时，()0sin 20sin 662Mf M M ππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选项A 错误；因为()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以最大值为M ，故选项B 正确；由解析式可知()f x 在3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确；由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26x k ππ+=，即212k x ππ=-当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选项D 正确.故选：BCD 【点睛】本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.三、填空题13．已知tan 2θ=，则()sin 2cos sin sin 2πθθπθθ+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】43-【解析】由诱导公式对所求式子化简，得一个简单齐次式，再对其分子分母同时除以cos θ，构建tan θ，最后代值，得出答案. 【详解】化简()sin 2cos sin 2cos sin cos sin sin 2πθθθθπθθθθ+---=+⎛⎫++ ⎪⎝⎭对上式分子分母同时除以cos θ，再带入tan 2θ= 即原式tan 2224tan 1213θθ----===-++ 故答案为：43- 【点睛】本题考查利用诱导公式化简三角函数式，还考查了三角函数中的齐次式的求值问题，属于简单题.14．已知扇形的周长为2，扇形的圆心角为2，则扇形的面积是______.【答案】14【解析】由周长C 和圆心角α构建方程，解得r,l ，再代入扇形的面积公式，得答案. 【详解】在扇形中周长22C r l =+=，2l rα，解得121r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以面积111112224S rl ==⋅⋅= 故答案为：14【点睛】本题考查弧度制的定义，扇形中圆心角、半径、所对弧长、周长和面积的相关公式，属于基础题.15．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________. 【答案】4【解析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅= 当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.16．已知平面向量a ，b ，c 满足a 与b 的夹角为锐角，4a=，2b =，1c =，且b ta +的最小值为3，则实数t 的值是_____，向量()12c a c b ⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭的取值范围是_____.【答案】14-323,323⎡-+⎣【解析】①由题可知2b ta +的最小值为3，用含t 的式子表示2b ta +，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于3构建方程，解得4a b ⋅=±，由a 与b 的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得t ； ②表示12a b +，展开()12c a c b ⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭（设1,2a b c θ=+），将已知模长代入展开式，可化简为323θ-，利用三角函数的值域，得答案. 【详解】 ①由题22222b ta b ta b t a+=+⋅+因为4a =，2b =，所以222222241624b ta a bt t t a bt +=+⋅+⋅=+⋅+因b ta +最小值为221616a b a bt ⋅⋅=-=-⋅时，2b ta +最小所以()2222min16244161616a ba b a b b taa b ⋅⎛⎫⎛⎫⋅⋅+=-+⋅-+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4a b ⋅=±又因为a 与b 的夹角为锐角，所以4a b ⋅=，故1164a b t ⋅=-=-； ②因为()221111122222c a c b c b c a c a b ca b a b c ⎛⎫⎛⎫-⋅-=-⋅-⋅+⋅=+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又有222111142a b a b a a b b ⎛⎫+=+=+⋅+=⋅= ⎪将模长代入()2111222ca cbc ab a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅-=+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1,2a b c θ=+即原式22111cos 141cos 3222c a b ab c θθθ=+⋅-+=+⋅-=-因为[]cos 1,1θ∈-，所以()12c a c b ⎛⎫-⋅-∈ ⎪⎝⎭33⎡-+⎣ 故答案为：①14-；②33⎡-+⎣ 【点睛】本题考查了由平面向量的模的最值求参数，还考查了以平面向量的运算法则、数量积运算为载体转化为三角函数求最值问题，属于难题.四、解答题17．已知()(){}110A x x x a =--+＜，{}2log 0B x x =＞，（1）当3a =时，求()RB A ⋂；（2）若[]2,3A ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[)2,+∞（2）4a ＞【解析】（1）当3a =时，解得A 集合，由集合补集运算求得RA ；解含对数式的不等式，得B 集合；最后由集合交集运算求得答案；（2）由子集关系构建图像，发现13a ->，解之得答案. 【详解】（1）因为()(){}110A x x x a =--+<，所以当3a =时，()1,2A =，所以(][),12,RA =-∞⋃+∞，又因为{}2log 0B x x =>，所以()1,B =+∞，所以()[)2,R B A ⋂=+∞；（2）法一：因为()(){}110A x x x a =--+<，[]2,3A ⊆,所以A φ≠,故2a ≠所以()1,1A a =-或()1,1A a =-因为[]2,3A ⊆，作图观察可知()1,1A a =-成立不满足条件所以13a ->，即4a >. 法二：设()21f x x ax a =-+-，则()()2030f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，解之得4a >.【点睛】本题考查集合交集、补集的运算，集合中由子集求参数问题，属于中档题.18．已知向量()1,2a =，()3,b k =-. （1）若//a b ，求b 的值；（2）若()2a a b ⊥+，求实数k 的值；（3）若a 与b 的夹角是钝角，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）（2）14k =（3）3k ＜2且6k ≠-. 【解析】（1）由向量平行的坐标运算，求出b 中的参数k ，再利用求模长的坐标运算，得答案；（2）由向量加减、数乘运算，表示2a b +，由向量垂直则其数量积为零，构建方程，解得答案；（3）由两向量夹角为钝角，其数量积小于0，且两向量不共线，构建不等式，解得答案. 【详解】（1）因为向量()1,2a =，()3,b k =-，且//a b ，所以()1230k ⨯-⨯-=，解得6k =-，所以()23b=-=（2）因为()25,22a b k +=-+，且()2a a b ⊥+，所以()()152220k ⨯-+⨯+=，解得14k =；（3）因为a 与b 的夹角是钝角，则20a b ⋅＜且a 与b 不共线. 即()1320k ⨯-+⨯＜且6k ≠-，所以3k ＜2且6k ≠-. 【点睛】本题考查平面向量坐标运算的加减、数乘，平行、垂直的坐标表示，还考查了两向量夹角为钝角，转化为数量积小于零且不共线的问题，属于中档题.19．已知()5cos 13αβ+=.（1）若()4cos 5αβ-=，求tan tan αβ的值；（2）若3sin 5β=，且α，β为锐角，求sin α的值.【答案】（1）27tan tan 77αβ=（2）3365【解析】（1）由两角和与差的余弦公式展开已知式子，整理后，再两式相除，得答案；（2）由α，β为锐角和象限角正负判定，优先考虑()sin αβ+、cos β的正负，再由同角三角函数关系求得()sin αβ+、cos β，最后观察sin β可以转化为()sin αββ⎡⎤+-⎣⎦，利用两角差的正弦公式展开，再代值运算，得答案. 【详解】（1）因为()5cos 13αβ+=，()4cos 5αβ-=，所以5cos cos sin sin 134cos cos sin sin 5αβαβαβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解之得772cos cos 65272sin sin 65αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以27tan tan 77αβ=；（2）因为α，β为锐角，所以0αβπ+＜＜，()sin 0αβ+＞，cos 0β＞，由()5cos 13αβ+=，得()12sin 13αβ+==；由3sin 5β=，得4cos 5β==，所以()()()33sin sin cos cos sin 65αββαββαββ+-=+-+=⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查三角函数中的给值求值问题，注意观察已知角和未知角的和差倍关系，以方便转化到已知，还应注意所求角的范围，考虑正负，属于中档题. 20．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）判断()f x 的奇偶性，并证明；（2）用定义证明函数()f x 在()0,2上单调递减；（3）若()2f x f -＜，求x 的取值范围.【答案】（1）偶函数；见解析（2）见解析（3）()0,1 【解析】（1）因为()f x 中含有对数，定义域需满足真数大于0，求得定义域为()2,2-，关于原点对称，再表示()f x -，判断其等于()f x ，为偶函数；（2）设任意1202x x ＜<<，对()()12,f x f x 作差，化简后由真数大于1的对数大于0，得()()12f x f x ＞，即得证明；（3）由（1）（2）可知()f x 是偶函数且在区间()0,2的单调递减，由偶函数的性质以及函数成立需满足定义域从而构建不等式组，解之得答案. 【详解】（1）因为()()()()2lg 2lg 2lg 4f x x x x =++-=-，所以函数()f x 的定义域为()2,2-，因为()()()()2lg 4f x x f x -=-=，所以()f x 是偶函数；（2）任取()12,0,2x x ∈且12x x ＜，则()()()()22211212224lg 4lg 4lg 4x f x f x x x x ⎛⎫--=---= ⎪-⎝⎭，因为()12,0,2x x ∈且12x x ＜，所以2212440x x --＞＞，所以2122414x x --＞，21224lg 04x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭＞即()()12f x f x ＞，所以()f x 在区间()0,2上单调递减. （3）因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x =，又因为()f x 定义域为()2,2-，且在区间()0,2的单调递减，因为()2f x f -＜，所以222222x x ⎧-⎪⎪--⎨⎪-⎪⎩＞＜＜，解之得01x ＜＜所以x 的取值范围是()0,1. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定、单调性的证明，还考查了抽象函数性质的综合运用，属于较难题. 21．已知函数()2x f x =，R x ∈.（1）若函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值和最小值之和为6，求实数a 的值；（2）设函数()()()()()1g x f x f a f b λλ=---，若函数()g x 在区间(),a b 上恒有零点，求实数λ的取值范围；（3）在问题（2）中，令12λ=，比较2a b g +⎛⎫ ⎪⎝⎭与0的大小关系，并说明理由.【答案】（1）1a =（2）01λ＜＜；（3）02a b g +⎛⎫⎪⎝⎭＜.见解析【解析】（1）由指数函数中底数大于1，函数单调递增，表示()f x 在[],2a a 上最大最小值，由已知构建方程，借助换元法求得答案；（2）由()f x 的单调性，可知()()g x f x =-常数的单调性也是单调增函数，由函数零点的存在性定理可知()()00g a g b ⎧⎪⎨⎪⎩＜＞，整理得()()()()()100f a f b f a f b λλ⎧⎡⎤--⎪⎣⎦⎨⎡⎤--⎪⎣⎦⎩＜＞，由()()f a f b ＜，解不等式组得答案；（3）当1=2λ时，表示2a b g +⎛⎫⎪⎝⎭，对其通分、化简、配成完全平方式，可得答案. 【详解】（1）因为()2x f x =在[],2a a 上单调递增，所以()2x f x =在[],2a a 上最大最小值分别为22a ，2a，又因为最大最小值之和为6，所以2226a a +=，设2,0,a tt，则26t t +=，解之得：12t =，23t =-（舍去）当12t =时得22a =，所以1a =；（2）因为()2xf x =在(),a b 上单调增函数，所以()()()()()1g x f x f a f b λλ=---在(),a b 上也是单调增函数，若函数()g x 在区间(),a b 上恒有零点，则必有()()00g a g b ⎧⎪⎨⎪⎩＜＞，即()()()()()()()()1010f a f a f b f b f a f b λλλλ⎧---⎪⎨---⎪⎩＜＞，整理得()()()()()100f a f b f a f b λλ⎧⎡⎤--⎪⎣⎦⎨⎡⎤--⎪⎣⎦⎩＜＞因为()()f a f b ＜，所以10λλ->⎧⎨-<⎩，解得01λ＜＜；（3）当1=2λ时，222222222222222202222a b ab a b a b a b a b g +⎡⎤-⎢⎥+++-⨯⨯⎛⎫⎣⎦=-=-=-≤ ⎪⎝⎭因为a b ＜，所以2222a b≠，所以02a b g +⎛⎫⎪⎝⎭＜.【点睛】本题考查了利用函数单调性讨论最值，还考查了借助函数零点的存在性定理求参数的取值范围问题，属于难题. 22．将函数()sin 2g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-=⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.【答案】（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12t x x -=- 【解析】（1）将()g x ⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫-⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原，得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x =②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x =，2cos x =；③当0t =时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题.。

2020-2021学年江苏省淮安市高一下学期期末调查测试数学试卷答案和解析

【最新】江苏省淮安市高一下学期期末调查测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}{}1,1,3,3A B x x =-=<，则A B = ．α()3,4P -cos α=3．方程21124x -=的解x = ． 4．某单位有青年职工、中年职工、老年职工共900人，其中青年职工450人，为迅速了解职工的家庭状况，采用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为15人，则抽取的样本容量为．5．下图是一个算法的流程图，当n 是时运算结束.()()()22cos x x f x m x x -=⋅+∈R m =7．现有7根铁丝，长度（单位：cm ）分别为2.01，2.2，2.4，2.5，2.7，3.0，3.5，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm 的概率是．8．已知函数()()13cos ,0,2f x x x x π⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()f x 的最大值为． {}n a 62a =0q >2122211log log log a a a +++=10．已知实数,x y 满足0,0,28,3x y x y x y 9,≥≥⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩,则23z x y =+的最大值是 .11．已知函数()221,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m ＝－有3个零点，则实数m 的取值范围是________．12．如图，在ABC ∆中，若2BE EA =，2AD DC =， ()DE CA BC λ=-，则实数=λ ．13．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若134,,a a a 成等比数列，则3253S S SS --的值为． 14．已知函数1lg(1)y x=-的定义域为A ，若对任意x A ∈都有不等式292222x m x mx x-->--恒成立，则正实数m 的取值范围是．二、解答题{}n a n 224n n S +=-{}n a{}n b 73b a =154b a ={}n b n n T16．在平面直角坐标系上，第二象限角α的终边与单位圆交于点03,5A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求22sin α+sin 2α的值；（2）若向量OA 与OB 夹角为60︒，且2OB =，求直线AB 的斜率．17．(本小题满分14分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.（1）求x ，y 的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.12(),(),()f x f x h x ,a b 12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅()h x 12(),()f x f x()h x 12(),()f x f x12()sin ,()cos ,()sin()3f xx f x x h x x π===+1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f()()12212log ,log ,2,1f x x f x x a b ====()h x 23()2()0h x h x t ++<[2,4]x ∈t19．(本小题满分16分)如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是6ECF π∠=,点,E F 在直径AB 上，且6ABC π∠=．（1）若13CE =AE 的长；（2）设ACE α∠=, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21)n n S a =-（，数列{}n b 满足：对任意*n N ∈有1ni i i a b =∑1(1)22n n +=-⋅+. （1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）记n n nb C a =，数列{}n C 的前n 项和为n T ，证明：当6n ≥时，21n n T -<．参考答案1．{}1,1-【解析】试题分析：{}|A B x x A x B 且=∈∈，而{}{}1,1,3,3A B x x =-=<，因此{}1,1A B =-考点：集合的交运算；2．35- 【解析】试题分析：由已知角α的终边过点()3,4P -，因此角α的终边与单位圆的交点坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据角余弦的定义3cos 5α=- 考点：余弦的定义；3．12- 【解析】试题分析：方程2121212224x x ---=⇔=，因此212x ，解得12x 考点：指数式方程的解；4．30【解析】试题分析：设抽取的样本容量为x ，则根据分层抽样的抽取方法有15900450x ，解得30x 考点：分层抽样；5．5【解析】试题分析：依次执行流程图，第一次执行循环结构：1123,112Sn ；第二次执行循环结构：2327,213S n ；第三次执行循环结构：37215,314S n ；第四次执行循环结构：415231,415S n ；第五次执行循环结构：53126333S ，因此当n 是5时运算结束考点：含有循环结构的流程图；6．-1【解析】试题分析：由于函数()()22cos x x f x m x -=⋅+是奇函数，且x ∈R ，因此有010f m ，所以1m考点：函数的奇偶性；7．17【解析】试题分析：从7根铁丝中依次随机抽取两根铁丝可能发生的基本事件有：2.01,2.2,2.01,2.4,2.01,2.5, 2.01,2.7,2.01,3.0,2.01,3.5,2.2,2.4,2.2,2.5,2.2,2.7,2.2,3.0,2.2,3.5, 2.4,2.5,2.4,2.7,2.4,3.0,2.4,3.5, 2.5,2.7,2.5,3.0,2.5,3.5,2.7,3.0, 2.7,3.5, 3.0,3.5,共21种，其中长度恰好相差0.3cm 的有 2.2,2.5,2.4,2.7, 2.7,3.0,共3种，因此所求的概率为31217考点：古典概型；8．2【解析】试题分析：化简函数()()1cos cos 2sin 6f x x x x x x π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，2,663x ，而当62x ，即3x 时，f x 取最大值，最大值为2考点：1.三角函数式的化简，2.三角函数的最大值；9．11【解析】试题分析：()212221121211log log log log a a a a a a +++=，在等比数列{}n a 中，21112106a a a a a因此()1121222112626log log log log 11log 11a a a a a +++===考点：1.等比中项；2.对数的运算性质；10．13【解析】试题分析：作出二元一次不等式组所表示的可行域如图所示：根据图像可知当23z x y =+经过直线28x y +=与直线3x y 9+=的交点2,3时，z 取最大值时，最大值为223313z =⨯+⨯=考点：二元一次不等式的线性规划问题；11．(0,1)【详解】画出图象，令()()0g x f x m ＝－＝，即()y f x =与y m ＝的图象的交点有3个， ∴01m ＜＜.答案 (0,1)12．13【解析】试题分析：如图，在ABC ∆中，212111333333DE DA AE CA AB CA AC CB CA BC 13CA BC ，所以1=3λ 考点：向量的加减运算；13．2【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由于134,,a a a 成等比数列，因此2314a a a ，即211123a d a a d ，整理得：140a d ，14a d ，所以32315345122227S S a a d d S S a a a d d-+-====-++- 考点：1.等差数列的通项公式；2.等比中项；3.等差数列的前n 项和；14．0,1⎛- ⎝⎭【解析】试题分析：解不等式110x ->得：01x ，因此0,1A ，对任意x A ∈都有不等式292222x m x mx x -->--恒成立，则有292222m m x x -->--，因此292221xm m x x+<+-在0,1上恒成立，而()992129132522212122x x x x x x x -+=+++≥+=--，因此有22522m m +<，由于0m ，所以01m <<-考点：1.对数函数定义域；2.不等式恒成立问题；15．（1）12(*)n n a n N +=∈；（2）21(1)32n n n T nb d n n -=+=+ 【解析】试题分析：（1）本小题考察n S 与n a 的关系，分1n >和1n =两种情况，当1n >时利用1n n n a S S -=-求解n a ，需要验证1n =时1a 的值，（2）根据（1）以及73b a =，154b a =求出等差数列{}n b 的公差与首项，再利用等差数列的前n 项和公式求出数列{}n b 的前n 项和n T试题解析：（1）因为数列{}n a 的前n 项和224n n S +=-.所以311244a S ==-=，当1n >时，2111(24)(24)2n n n n n n a S S +++-=-=---=，因为1n =时也适合，所以12(*)n n a n N +=∈；（2）设等差数列{}n b 的首项为1b ，公差为d ，因为73b a =，154b a =，12n n a +=,所以 11616,1432.b d b d +=⎧⎨+=⎩ 解得14,2.b d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n b 前n 项和21(1)32n n n T nb d n n -=+=+. 考点：1. n S 与n a 的关系；2.等差数列的前n 项和；16．【解析】（1）825（2）34 试题分析：（1）利用三角函数的定义以及同角三角函数之间的关系可以得到2203()15y -+=，求解出0y ，从而得出sin α=45， cos α=35-，利用正弦的倍角公式化简22sin α+sin 2α，再代入求值即可；（2）先设B 点坐标为(,)m n ，则OB =(,)m n ，利用cos60OA OB OA OB ⋅=︒以及2OB =得出关于,m n 的方程组，解方程组得出B 点的坐标，从而得出直线AB 的斜率试题解析：（1）因为角α的终边与单位圆交于点03,5A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2203()15y -+=，解得0y =45±，又因为角α是第二象限角，所以0y =45，所以sin α=45， cos α=35-，所以22sin α+sin2α=22sin 2sin cos ααα+2=⨯24()5432()55+⨯⨯-825=；（2）由（1）知，34,55OA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设B 点坐标为(,)m n ，则OB =(,)m n ，因为2OB =，所以224m n +=， om] 又因为OA 与OB 夹角为60︒，所以cos60OA OB OA OB ⋅=︒，[即34155m n -+=，联立解得35m n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或35m n ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以B 点坐标为(35-+,45+)或），所以4,55AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭或,55AB ⎛=-- ⎝⎭，所以直线AB 的斜率为34．考点：1.三角函数的定义；2.正弦的倍角公式；3.向量的数量积；4.直线的斜率；17．（1）6x =，3y =（2）512（3）甲队成绩较为稳定，理由略；【解析】试题分析：（1）分别根据甲乙两队的中位数和平均数的求解方法，得出x ，y 的值；（2）甲队中成绩不低于80的有三名学生，乙队中成绩不低于80的有四名，列举出甲、乙两队各随机抽取一名的所有可能发生事件，然后挑出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的种数，两个数做比值即可得到概率；（3）分别计算甲乙两队的方差，方差较小的比较稳定；试题解析：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以6x =；因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以3y =；（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲、乙两队各随机抽取一名，种数为3412⨯=，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。

2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)

19．已知复数z满足，的虚部为2，
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间、、…、、．
【详解】
∵向量，
∴ ，又，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为，可知正六棱柱的高为，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为，由题意可知正六棱柱的高为，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为上的高为，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C，，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A，，可判断错误；对于B找出反例不满足题意，判定错误；对于C若，则其不正确；对于D，，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）

江苏省淮安市溧阳中学2020年高一化学月考试题含解析

江苏省淮安市溧阳中学2020年高一化学月考试题含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 现有三组溶液：①汽油和氯化钠溶液②39％的乙醇溶液⑧氯化钠和单质溴的水溶液，分离以上各混合液的正确方法依次是（）。

A .分液、萃取、蒸馏 B. 萃取、蒸馏、分液C .分液、蒸馏、萃取 D. 蒸馏、萃取、分液参考答案：C略2. 下列装置所示的实验中，能达到实验目的的是（）参考答案：D略3. 某元素最高正价与负价绝对值之差为4，该元素的离子与跟其核外电子排布相同的离子形成的化合物是（）A．K2S B．MgO C．MgS D．NaFA试题分析：某元素最高正价与负价绝对值之差为4，说明是第ⅥA元素，氧元素没有最高价，则该元素是S，硫离子核外电子数是18，该元素的离子与跟其核外电子排布相同的离子形成的化合物是K2S，答案选A。

4. 用98%的浓硫酸（密度1.84g · mL-1）配制100mL 1mol·L-1的稀硫酸。

现给出下列配制中可能用到的仪器：①100 mL量筒②10 mL量筒③50 mL烧杯④托盘天平⑤100 mL容量瓶⑥胶头滴管⑦玻璃棒。

按使用仪器的先后顺序作出的下列排列中正确的是（）A．④③⑥⑦⑤⑥ B．②⑥③⑦⑤⑥C．①③⑤⑦⑤⑥ D．②③⑥⑦⑤⑥参考答案：B5. 标准状况下，在臭氧发生器中装入100mL氧气，最后的体积变为95mL。

则最终状态时混合气体的密度是A、1.3g?L—1B、1.5g?L—1C、1.7g?L—1D、1.9g?L—1参考答案：B6. .下列叙述中，正确的是（）A．二氧化硫具有漂白性，因而通入紫色石蕊试液中先变红后褪色B．浓硫酸和浓硝酸在常温下均可迅速与铜片反应放出气体C．浓硫酸与亚硫酸钠反应制备二氧化硫时,浓硫酸表现强氧化性D．稀硫酸和稀硝酸都具有氧化性D略7. 下列物质中，不可能是乙烯的加成产物的是()A．CH3CH2Br B．CH3CH3C．CH3CHCl2 D．CH3CH2OH参考答案：C解析乙烯的加成反应是在双键两端的碳原子上结合一个原子或原子团，故CH3CHCl2不符合。

2020-2021学年江苏省淮安市清江中学高一化学月考试卷含解析

2020-2021学年江苏省淮安市清江中学高一化学月考试卷含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 单质X和Y相互反应生成X2+，Y2-，现有下列叙述①X是氧化剂②X是还原剂③X被氧化④Y被氧化，其中正确的是（）A．②③ B．①②③④ C．②③④ D．①④参考答案：A略2. 下列分散系均能发生丁达尔现象的选项（）A. 酒、生理盐水、花生油B. 雾、含灰尘颗粒的空气、有色玻璃C. 水晶、金刚石、冰D. 大理石、高岭石、电石参考答案：B【详解】A、酒、生理盐水是溶液，不能发生丁达尔现象，故A错误；B、雾、含灰尘颗粒的空气、有色玻璃是胶体，能发生丁达尔现象，故B正确；C、水晶是二氧化硅晶体，金刚石是碳晶体，冰为水的固体，都不是胶体，不能发生丁达尔现象，故C错误；D、大理石主要成分是碳酸钙，高岭石主要是碳酸镁，电石主要是碳化钙，是矿石混合物，不是胶体，不能发生丁达尔现象，故D错误；故选B。

3. 下列有关物理量相应的单位表达错误的是A. 摩尔质量g/molB. 气体摩尔体积L/molC. 溶解度g/100gD. 密度g/cm3参考答案：C略4. 如表是某矿物质饮用水的部分标签说明则该饮用水中还可能较大量存在A. OH－B. Ag+C. Na+D. Ba2+参考答案：CA．OH-离子与Mg2+离子反应生成难溶物氢氧化镁，在溶液中不能大量共存，故A错误；B．Ag+离子能够与Cl-离子反应生成氯化银，在溶液中不能大量共存，故B错误；C．Na+离子不与Mg2+、Cl-、K+、SO42-离子发生反应，在溶液中能够大量共存，故C正确；D．Ba2+与SO42-离子发生反应生成硫酸钡，在溶液中不能大量共存，故D错误；故选C。

点睛：本题以物质的量浓度载体，考查了离子共存的判断，学生容易利用电荷守恒计算解答，导致计算量大，容易出错，注意掌握离子反应发生条件，明确常见的离子不能共存的情况，如生成难溶物、弱电解质、气体、发生氧化还原反应等。

2019-2020学年江苏省淮安市高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|x 2+2x ＝0}，B ＝{−2, −1}，则A ∪B ＝（） A.{2} B.{−2, −1} C.{2, 0} D.{−2, −1, 0}2. 已知角α的终边经过点P(3, −4)，则tan α＝（） A.35B.−45C.−43D.433. 已知点A ＝(1, 0)，B ＝(3, 2)，向量AC →=(2,1)，则向量BC →=( ) A.(0, −1) B.(1, −1) C.(1, 0) D.(−1, 0)4. 设π4≤x ≤π2，则√1+sin 2x +√1−sin 2x =( )A.2sin xB.2cos xC.−2sin xD.−2cos x5. 已知m 是函数f(x)=√x −2x +2的零点，则实数m ∈( ) A.(0, 1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(3, 4)6. 已知a ＝log 123，b ＝(13)0.2，c ＝213，则它们的大小关系是（）A.c <b <aB.a <b <cC.c <a <bD.b <a <c7. 已知函数f(x)＝cos 2x +2√3a sin x cos x −sin 2x （a 为常数）的图象关于直线x =π6对称，则函数f(x)的最大值是（） A.4 B.3C.2D.18. 函数函数f(x)＝log 2(1−x)的大致图象为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.下列函数中定义域是R 的有（） A.y ＝2x B.y ＝lg xC.y ＝x 3D.y ＝tan x设a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的有（） A.若a →∥b →，b →∥c →，那么a →∥c →B.若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →C.如果a →与b →是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使a →=λb →D.有且只有一对实数λ1，λ2，使a →=λ1b →+λ2c →已知函数f(x)=1+m3x +1(m ∈R)为奇函数，则下列叙述正确的有（） A.m ＝−2B.函数f(x)在定义域上是单调增函数C.f(x)∈(−1, 1)D.函数F(x)＝f(x)−sin x 所有零点之和大于零设函数f(x)=M sin (ωx +π6)(M >0, ω>0)的周期是π，则下列叙述正确的有（） A.f(x)的图象过点(0,12)B.f(x)的最大值为MC.f(x)在区间[π6,2π3]上单调递减 D.(5π12,0)是f(x)的一个对称中心三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.已知tan θ＝2，则sin (π+θ)−2cos θsin θ+sin (π2+θ)的值是________．已知扇形的周长为2，扇形的圆心角为2，则扇形的面积是________．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________．已知平面向量a →，b →，c →满足a →与b →的夹角为锐角，|a →|=4，|b →|=2，|c →|=1，且|b →+ta →|的最小值为√3，则实数t 的值是________，向量(c →−12a →)⋅(c →−b →)的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知A ＝{x|(x −1)(x −a +1)<0}，B ＝{x|log 2x >0}，（1）当a ＝3时，求B ∩(∁R A)；（2）若[2, 3]⊆A ，求实数a 的取值范围．已知向量a →=(1,2)，b →=(−3,k)．（1）若a →∥b →，求|b →|的值；（2）若a ¯⊥(a →+2b →)，求实数k 的值；（3）若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．已知cos (α+β)=513．（1）若cos (α−β)=45，求tan αtan β的值；（2）若sin β=35，且α，β为锐角，求sin α的值．已知函数f(x)＝lg (2+x)+lg (2−x)．（1）判断f(x)的奇偶性，并证明；（2）用定义证明函数f(x)在(0, 2)上单调递减；（3）若f(x−2)<f(√x)，求x的取值范围．已知函数f(x)＝2x，x∈R．（1）若函数f(x)在区间[a, 2a]上的最大值和最小值之和为6，求实数a的值；（2）设函数g(x)＝f(x)−λf(a)−(1−λ)f(b)，若函数g(x)在区间(a, b)上恒有零点，求实数λ的取值范围；（3）在问题（2）中，令λ=12，比较g(a+b2)与0的大小关系，并说明理由．将函数g(x)＝sin2x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的√3倍（横坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，设函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)．（1）求函数ℎ(x)的解析式；（2）若对任意α,β∈[π2,π]，不等式a≤ℎ(α)−ℎ(β)≤b恒成立，求b−a的最小值；（3）若ℎ(x2−π6)=t在[0, 2π)内有两个不同的解x1，x2，求cos(x1−x2)的值（用含t的式子表示）．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 【答案】A,C【答案】A,C【答案】A,B,C【答案】B,C,D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.【答案】−4 3【答案】14【答案】 4【答案】−14,[3−2√3, 3+2√3]四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】因为A ＝{x|(x −1)(x −a +1)<0}，所以当a ＝3时，A ＝(1, 2)，所以∁R A ＝(−∞, 1]∪[2, +∞)；又B ＝{x|log 2x >0}，所以B ＝(1, +∞)，所以B ∩(∁R A)＝[2, +∞)；因为A ＝{x|(x −1)(x −a +1)<0}，所以A ＝(1, a −1)或A ＝(a −1, 1)，又因为[2, 3]⊆A ，所以A ＝(1, a −1)，所以a −1>3，即a >4 故实数a 的取值范围为(4, +∞)．【答案】因为向量a →=(1,2)，b →=(−3,k)，且a →∥b →，所以1×k −2×(−3)＝0，解得k ＝−6，所以|b →|=√(−3)2+(−6)2=3√5．因为a →+2b →=(−5,2+2k)，且a ¯⊥(a →+2b →)，所以1×(−5)+2×(2+2k)＝0，解得k =14，因为a →与b →的夹角是钝角，则a →⋅2b →<0且a →与b →不共线．即1×(−3)+2×k <0且k ≠−6，所以k <32且k ≠−6．【答案】因为cos (α+β)=513，cos (α−β)=45，所以{cos αcos β−sin αsin β=513cos αcos β+sin αsin β=45，解之得{2cos αcos β=77652sin αsin β=2765 ，所以tan αtan β=2777；因为α，β为锐角，所以0<α+β<π，sin (α+β)>0，cos β>0，由cos (α+β)=513，得sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=1213；由sin β=35，得cos β=√1−sin 2=45，所以sin [(α+β)−β]=sin (α+β)cos β−cos (α+β)sin β=3365．【答案】根据题意，函数f(x)＝lg (2+x)+lg (2−x)，则有{2+x >02−x >0 ，解可得−2<x <2，即函数f(x)的定义域为(−2, 2)，又由f(x)＝lg (2+x)+lg (2−x)＝lg (4−x 2)，f(−x)＝lg (4−(x)2)＝f(x)，故f(x)是偶函数；任取x 1，x 2∈(0, 2)且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=lg (4−x 12)−lg (4−x 22)=lg (4−x 124−x 22)，因为x 1，x 2∈(0, 2)且x 1<x 2，所以4−x 12>4−x 22>0，所以4−x 124−x 22>1，lg (4−x 124−x 22)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在区间(0, 2)上单调递减；因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，又因为f(x)定义域为(−2, 2)，且在区间(0, 2)的单调递减，因为f(x −2)<f(√x)，所以{|x −2|>|√x|−2<x −2<2−2<√x <2 ，解之得0<x <1，所以x 的取值范围是(0, 1)．【答案】由题意，可知f(x)＝2x 在[a, 2a]上单调递增，故f(x)＝2x 在[a, 2a]上最大最小值分别为22a ，2a ， ∴ 2a +22a ＝6，令t ＝2a >0，则t 2+t ＝6，解得t 1＝2，或t 2＝−3（舍去）． ∴ 2a ＝2， ∴ a ＝1．由题意，f(x)＝2x 在(a, b)上单调增函数，故g(x)＝f(x)−λf(a)−(1−λ)f(b)在(a, b)上也是单调增函数，若函数g(x)在区间(a, b)上恒有零点，则必有{g(a)<0g(b)>0 ，即{f(a)−λf(a)−(1−λ)f(b)<0f(b)−λf(a)−(1−λ)f(b)>0 ，整理，得{(1−λ)[f(a)−f(b)]<0λ[f(b)−f(a)]>0 ，∵ f(a)<f(b)， ∴ 0<λ<1．∴ 实数λ的取值范围为(0, 1)．当λ=12时， g(a+b 2)＝f(a+b 2)−12[f(a)+f(b)]=2a+b 2−2a +2b 2=−12(2a+2b−2⋅2a2⋅2b2)=−12(2a2−2b2)≤0．又∵a<b，∴2a2≠2b2，∴g(a+b2)<0．【答案】将函数g(x)＝sin2x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的√3倍（横坐标不变），得到函数y=√3sin2x的图象，再将y=√3sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到函数y＝f(x)，所以f(x)=√3sin2(x+π4)=√3cos2x，又ℎ(x)＝f(x)+g(x)，所以ℎ(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)；当x∈[π2,π]时，(2x+π3)∈(43π,73π)，所以sin(2x+π3)∈[−1,√32]，所以2sin(2x+π3)∈[−2,√3]，由题意知b≥√3+2，a≤−2−√3，所以b−a≥2√3+4即b−a的最小值为2√3+4；法一：因为ℎ(x2−π6)=2sin[2(x2−π6)+π3]=2sin x，所以x1，x2是2sin x＝t在[0, 2π)内有两个不同的解，所以x1+x2＝π或x1+x2＝3π，所以x1−x2＝π−2x2或x1−x2＝3π−2x2所以cos(x1−x2)=2sin2x2−1=t22−1；法二：①当t>0时，不妨设x1<x2，则有0<x1<π2<x2<π，所以cos x1=√1−t24，cos x2=√1−t24；②当t<0时，不妨设x1<x2，则有π<x1<3π2<x2<2π，所以cos x1=√1−t24，cos x2=√1−t24；③当t＝0时，显然有x1＝0，x2＝π，所以cos(x1−x2)=cos x1cos x2+sin x1sin x2=t22−1．。

江苏南通徐州宿迁淮安泰州镇江六市联考2020-2021学年下高三第一次调研考试数学试题(全解析)

江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市联考2021届高三第一次调研测试数学2021．02注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ＝{}26x N x ∈<<，B ＝{}2log (1)2x x -<，则A B ＝A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{3，4}D ．{3，4，5} 2．已知2＋i 是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a ＝A ．2－iB ．－4C ．2D ．4 3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0(1e )kt k x k-=-，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg /h ）．经测试发现，当t ＝23时，02k x k=，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69） A ．3100 B ．310 C ．103 D ．10035．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32n n--6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A BC D 7．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA PB PC ++=0；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-；丙：PA PB PC ==；丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅．如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在A (1x ，1y )，B (2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C (3x ，3y )，D (4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2020-2021学年江苏省淮安市高一上学期期末数学试卷及答案

绝密★启用前2020-2021学年江苏省淮安市高一上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{1,2,3}M =，{2,3}N =，则（） A ．MNB ．M N ⋂=∅C ．M N ⊆D ．N M ⊆答案：D【分析】根据集合直接判断即可. 解：{1,2,3}M =，{2,3}N =，M N ∴≠，故A 错误；{}23M N ⋂=≠∅，，故B 错误；N M ⊆，故C 错误，D 正确. 故选：D.2．设全集为R,函数()f x M,则C M R 为（） A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(,1][1,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞答案：D[]()()()-1,1,11,R f x M C M ==-∞-⋃+∞的定义域为，故,选 D.要注意避免出现1x ±及求补集时区间端点的取舍错误.【考点定位】本题考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合运算等知识.属于容易题. 3．“1a >”是“11a<”的（）条件 A ．充要 B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要答案：B由11a<，解得：a 0a 1，或， ∴“1a >”是“11a<”的充分不必要条件故选B4．函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为（）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π答案：B【分析】根据正切函数的最小正周期的计算公式，即可求解. 解：由题意，根据正切函数的最小正周期的计算公式，可得函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为2T wππ==.故选：B.点评：本题主要考查了正切型函数的最小正周期的计算，其中解答中熟记正切函数的最小正周期的计算公式是解答的关键，属于基础题.5．设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<答案：B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 的大小关系. 解：0.5.50.5log 1log 0.6log 0.5<<，即01a <<，0.60.6log 1.2log 10b =<=，0.601.2 1.21c =>=，因此，b a c <<. 故选：B.6．要得到函数y=sin(2x+6π)的图像,只需把函数y=sin2x 的图像（） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移12π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位答案：B【分析】将目标函数变为πsin 212y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由此求得如何将sin 2y x =变为目标函数.解：依题意，目标函数可转化为πsin 212y x ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故只需将sin 2y x =向左平移12π个单位，故选B.点评：本小题主要考查三角函数图像变换中的平移变换，属于基础题.7．函数3()f x x x =+，()3x g x x =+，3()log h x x x =+的零点分别是a ，b ，c ，则它们的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>答案：C【分析】在同一平面直角坐标系中作出33,3,log ,xy x y y x y x ====-的图象，根据图象的交点的横坐标大小关系确定出,,a b c 的大小关系.解：由题意可知：3()f x x x =+，()3x g x x =+，3()log h x x x =+的零点即为33,3,log x y x y y x ===图象与y x =-图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出33,3,log ,xy x y y x y x ====-的图象如下图：根据图象可知：c a b >>，故选：C.点评：关键点点睛：解答本题的关键是理解“函数()()()h x f x g x =-的零点⇔方程()()f x g x =的根⇔()y f x =的图象和()y g x =图象的交点的横坐标”.8．新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：)(rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，其中指数增长率0.38r ≈，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（ln10 2.30≈）（） A ．4天B ．6天C ．8天D ．10天答案：B【分析】设所需时间为1t ，可得()10.380.3810t t t e e +=，解出即可. 解：设所需时间为1t ，则()10.380.3810t t t e e +=，则10.3810t e =，10.38ln10 2.3t ∴=≈，1 2.360.38t ∴=≈. 故选：B. 二、多选题9．下列各组函数中，()f x 与()g x 是同一函数的有（）A ．()f x x =，ln ()xg x e =B ．()|1|f x x =-，1,1()1,1x x g x x x -≥⎧=⎨-<⎩C ．2()f x x =，()g x D ．()f x x =，2()x g x x=答案：BC【分析】满足定义域和对应关系一样的函数才是相等函数.解：A.定义域不一样，()f x 定义域为R ，ln ()xg x e =的定义域为0,，不是同一函数；B.()|1|f x x =-，当1≥x ，时()1f x x ；当1x <时，()1f x x =-()f x 与()g x 定义域和对应关系一样，为同一函数；C.2()g x x ==，()f x 与()g x 定义域和对应关系一样，为同一函数；D.定义域不一样，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≠ 故选:BC10．下列命题为真命题的是（） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则11a b> C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0c a b >>>，则a bc a c b>-- 答案：BD 【分析】分析0c的情况并判断A 选项；根据作差法判断B 选项；再根据不等式的性质分析CD 选项，由此判断出真命题.解：A ．当0c 时，22ac bc =，故错误；B ．因为11b a a b ab --=，且0,0b a ab ->>，所以110->a b ，所以11a b>，故正确；C ．因为0a b <<，所以,a a a b a b b b ⋅>⋅⋅>⋅，所以22b ab a <<，故错误；D ．因为0c a b >>>，所以0,0c a c b ->->，又1,1c a c c b ca ab b--=-=-，且c ca b<，所以0c a c ba b --<<，所以a b c a c b>--，故正确，故选：BD.点评：方法点睛：常见的比较大小的方法：（1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）；（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；（4）中间值法：取中间值进行大小比较.11．下列函数中满足：对定义域中任意1x ，()212x x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭的有（） A ．()2x f x = B ．()lg f x x = C ．2()f x x = D ．()f x x =答案：AC【分析】作出22,lg ,,xy y x y x y x ====的图象，在图象上任取两点且两点的横坐标为()1212,x x x x <，根据图象分析()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系. 解：A ．作出2x y =的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故满足； B ．作出lg y x =的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故不满足； C ．作出2yx 的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故满足； D ．作出y x =的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，故不满足，故选：AC.点评：关键点点睛：解答本题的关键是熟练掌握指数函数、对数函数、二次函数、一次函数的函数图象，通过分析直观的图象，去判断和函数值有关的不等式是否正确. 12．一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(),x y ，它与原点的距离是r.我们规定：比值x y ，r y ，rx分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作cot α，csc α，sec α，把cot y x =，csc y x =，sec y x =分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（） A ．5cot14π= B ．sin sec 1αα⋅=C ．sec y x =的定义域为,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．2222sec sin csc cos 5αααα+++≥ 答案：ACD【分析】依据题意结合教材正弦余弦函数的定义逐一判断.解：51cot =154tan 4ππ=，故A 正确； 1sin sec sin 1cos αααα⋅=⋅≠，故B 不正确；1sec cos y x x ==，cos 0,,2x x k k Z ππ≠≠+∈，故C 正确；2222222211sec sin csc cos sin cos cos sin αααααααα+++=+++ 2221411sin cos sin 2ααα=+=+1sin 21α-≤≤，244sin 2α≥，2415sin 2α+≥，即2222sec sin csc cos 5αααα+++≥，故D 正确. 故选:ACD 三、填空题13．命题：“x R ∃∈，210x +≥”的否定是__________. 答案：x R ∀∈，210x +<【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得. 解：根据特称命题的否定是全称命题，则命题：“x R ∃∈，210x +≥”的否定是“x R ∀∈，210x +<”. 故答案为：x R ∀∈，210x +<.14．求值：232lg 5lg 48++=__________. 答案：6【分析】根据分式指数幂和对数的运算法则以及对数恒等式lg 2lg51+=求解出原式的结果.解：原式()()23232lg52lg 222lg 2lg52246=++=++=+=，故答案为：6.15．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式sin ()0x f x ⋅>，[,]x ππ∈-的解集为_________. 答案：()()2,02,π-【分析】设()()sin g x x f x =⋅，先分析出()g x 的奇偶性，然后分类讨论()g x 在[]0,π上的取值情况，最后根据()g x 的奇偶性求解出()0g x >在[],ππ-上的解集. 解：设()()sin g x x f x =⋅，因为sin y x =为奇函数，()f x 为偶函数，所以()()()()()sin sin g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-，且定义域为R 关于原点对称，所以()g x 为奇函数，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，当0x =时，sin 0x =，所以sin ()0x f x ⋅=，当()0,2x ∈时，()sin 0,0x f x ><，所以sin ()0x f x ⋅<，当2x =时，()20f =，所以sin ()0x f x ⋅=，当()2,x π∈时，()sin 0,0x f x >>，所以sin ()0x f x ⋅>，所以当[]0,x π∈时，若()0g x >，则()2,x π∈，又因为()g x 为奇函数，且[],x ππ∈-，根据对称性可知：若()0g x >，则()()2,02,x π∈-，故答案为：()()2,02,π-.点评：方法点睛：已知()f x 的单调性和奇偶性，求解不等式()()00f x ><在指定区间上的解集的常用方法：（1）分类讨论法：根据临界值采用分类讨论的方法将区间分成几段，分别考虑每一段上()f x 的正负，由此求解出不等式的解集；（2）数形结合法：根据题意作出()f x 的草图，根据图象直接写出不等式()()00f x ><的解集.四、双空题16．已知α是第三象限角，且33cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，则tan α=___________；sin()cos()cos 2a a ππαπ-+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭___________.答案：3445- 【分析】先根据诱导公式化简3cos 2πα⎛⎫-⎪⎝⎭，然后求解出sin ,cos αα的值，则tan α的值可求；利用诱导公式化简sin()cos()cos 2a a ππαπ-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据前面所得结果求解出sin()cos()cos 2a a ππαπ-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.解：因为33cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以3sin 5α-=，所以3sin 5α=-，又因为α是第三象限角，所以4cos 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==；因为sin()cos()sin cos cos sin cos 2a a ππααααπα-+-==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以sin()cos()45cos 2a a ππαπ-+=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故答案为：34；45-.点评：关键点点睛：解答本题的关键是熟练运用诱导公式对待求式子进行化简，同时在知弦求切的过程中要注意角的象限对三角函数符号的影响. 五、解答题17．从①12log (1)2A x x ⎧⎫⎪⎪=+≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，②11282xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，③301x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知集合__________，集合{}121B x a x a =--≤≤+. （1）当1a =时，求AB ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围. 答案：（1）{}13x x -<≤；（2）[)1,+∞.【分析】（1）若选①：先根据对数函数的单调性求解出A ，代入a 的值求解出集合B ，然后根据集合的交集运算求解出AB ；若选②：先根据指数函数的单调性求解出集合A ，代入a 的值求解出集合B ，然后根据集合的交集运算求解出A B ；若选③：先根据分式不等式的解法求解出集合A ，代入a 的值求解出集合B ，然后根据集合的交集运算求解出AB ；（2）根据A B B ⋃=得到A B ⊆，由此列出关于a 的不等式组，求解出a 的取值范围.解：若选①：因为12log (1)2A x x ⎧⎫⎪⎪=+≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，所以21012x -⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以13x -<≤，所以{}13A x x =-<≤；若选②：因为11282x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，所以31111222x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以13x -<≤，所以{}13A x x =-<≤；若选③：因为301x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，所以()()13010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩，所以13x -<≤，所以{}13A x x =-<≤；（1）当1a =时，{}23B x x =-≤≤且{}13A x x =-<≤，所以{}13A B x x ⋂=-<≤；（2）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，所以B ≠∅，所以11213121a a a a --≤-⎧⎪+≥⎨⎪--≤+⎩，所以1a ≥，即[)1,a ∈+∞.点评：结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系：（1）若A B A ⋃=，则有B A ⊆；（2）若AB A =，则有A B ⊆.18．已知函数1()sin 2126f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（其中a 为常数）. （1）求()f x 的单调减区间；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2，求a 的值. 答案：（1）2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）54. 【分析】（1）采用整体替换的方法令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，由此求解出x 的取值范围即为对应的单调递减区间；（2）先分析26x π+这个整体的范围，然后根据正弦函数的单调性求解出sin 26x的最小值，即可确定出()f x 的最小值，从而a 的值可求. 解：（1）令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，所以2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，令72,666t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，又因为sin y t =在,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在7,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，且171sin ,sin6262ππ==-，所以sin y t =的最小值为12-，所以min 1sin 262x π⎡⎤⎛⎫+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时2x π=，所以()min 111222f x a ⎛⎫=⨯-++= ⎪⎝⎭，所以54a =. 点评：思路点睛：求解形如sin ωφf x A x B 的函数的单调递减区间的步骤如下：（1）先令32,2+,22x k k k Z ππππωϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦+∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 对应的单调递减区间. 19．已知关于x 的不等式2120x mx +-<的解集为(6,)n -. （1）求实数m ，n 的值；（2）正实数a ，b 满足22na mb +=. ①求11a b+的最小值； ②若2160a b t +-≥恒成立，求实数t 的取值范围.答案：（1）42m n =⎧⎨=⎩；（2）①9；②(-∞. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集先求解出m 的值，然后求解出不等式的解集即可求解出n 的值；（2）①先根据条件得到41a b +=，然后利用“1”的代换将11a b+变形为()114a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭，再结合基本不等式求解出最小值； ②根据条件可得到()min216a bt +≥，利用基本不等式求解出()min216a b +，则t 的范围可求.解：（1）因为2120x mx +-<的解集诶()6,n -，所以()266120m ---=，所以4m =，所以24120x x +-<，所以()()620x x +-<，所以解集为()6,2-，所以2n =，故42m n =⎧⎨=⎩；（2）①因为282a b +=，所以41a b +=，所以()111144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，取等号时4a bb a =且41a b +=，即11,36a b ==，所以min119a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭； ②2160a b t +-≥恒成立，所以()min216a bt +≥，因为41422222212226a a b a b b +=+≥==⋅=+⋅，取等号时4a b =，即11,28a b ==，所以()min216a b+=t ≤，即(t ∈-∞.点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 20．已知函数()4()log 41xf x =+.（1）利用函数的单调性定义证明：()f x 在R 上为单调增函数；（2）设1()()2=-g x f x x ，判断()g x 的奇偶性，并加以证明. 答案：（1）证明见解析；（2）偶函数，证明见解析【分析】（1）设12x x <，计算化简()12()f x f x -并判断正负，即可得证；（2）计算化简()g x -，可得()()g x g x -=，即可得出. 解：（1）410x +>恒成立，()f x ∴的定义域为R ，设12x x <，则()()()11221244441()log 41log 41log 41x x x x f x f x +-=+-+=+，12x x <，1244x x ∴<，124141x x ∴+<+，则1241141x x +<+，12441041log log 41x x <+∴=+，即()12()0f x f x -<，∴()f x 在R 上为单调增函数；（2）()41()log 412xg x x =+-，定义域为R 关于原点对称， ()()41()log 412x g x x --=+-- 4411log 42x x x +=+()441log 41log 42x x x =+-+()()41log 412x x g x =-+=()g x ∴是偶函数.点评：思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：（1）在定义域内任取12x x <；（2）计算()()12f x f x -并化简整理；（3）判断()()12f x f x -的正负；（4）得出结论，若()()120f x f x -<，则()f x 单调递增；若()()120f x f x ->，则()f x 单调递减.21．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的距离z （单位：米，在水面以下，则z 为负数）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P 位于水面上方？答案：（1）()4sin 20306t z t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）40秒. 【分析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系，根据O 距离水面的高度计算出0P 坐标，再利用三角函数表示出P 点坐标，将P 的纵坐标加2即可得到z 关于t 的函数；（2）根据条件可知0z >，解对应的不等式求解出t 的范围，由此确定出有多长时间点P 位于水面上方.解：（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意可知：()023,2P -，则3tan 3ϕ=，所以6π=ϕ，因为水轮每分钟逆时针转动1圈，所以t 秒可转动的角度为26030tt ππ=，所以P 的坐标为4cos ,4sin 306306t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且P 的纵坐标加上2即为P 到水面的距离，所以()4sin 20306t z t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）因为[]110,60,,30666t t ππππ⎛⎫⎡⎤∈-∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令4sin 20306t ππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以1sin 3062t ππ⎛⎫->-⎪⎝⎭，所以763066t ππππ-<-<，所以040t <<，所以在水轮转动1圈内，有40秒时间点P 位于水面上方点评：关键点点睛：解答本题的关键是通过建立合适平面直角坐标系结合三角函数定义求解出z 关于t 的函数，其中着重去分析P 点的纵坐标值得注意. 22．已知函数()2xf x =，()()()g x f x f x =+．（1）解不等式：(2)(1)3f x f x -+>；（2）当1[1,]2x ∈-时，求函数()g x 的值域；（3）若1x ∀∈(0，+∞)，2x ∃∈[﹣1，0]，使得112(2)()2()0g x ag x g x ++>成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）{}2|log 3>x x ；（2）；（3）()+∞．【分析】（1）由(2)(1)3f x f x -+>，化简得(23)(21)0-+>x x ，结合对数的运算性质，即可求解；（2）由()()()22=+=+xxg x f x f x ，分类讨论，结合指数的单调性，即可求解. （3）根据题意，转化为[]1112min (0,),(2)()2()x ∈+∞+∀>-g x ag x g x ，由（2）求得2max 5(())2=g x ，分离参数，得到115(2)22>-+⋅x x a 恒成立，结合基本不等式，即可求解.解：（1）由题意，函数()2xf x =，又由不等式(2)(1)3f x f x -+>，可得212230+-->x x ，即(23)(21)0-+>xx，解得23x >，可得2log 3x >，所以不等式的解集为{}2|log 3>x x ；（2）由()()()22=+=+xxg x f x f x ，①当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()2+⎡=∈⎣x g x ；②当[1,0)x ∈-时，1()22xxg x =+，令2x t =，则2111,,1,102'⎡⎤=+∈=-<⎢⎥⎣⎦y t t y tt ，即1y t t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故5()2,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g x ；综上得：当11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为. （3）由题意得，[]1112min (0,),(2)()2()x ∈+∞+∀>-g x ag x g x ，当[]21,0x ∈-，由（2）得2max 5(())2=g x ，所以[]2min 2()5-=-g x ，所以1122(2)225⋅+⋅>-x xa 恒成立，即115(2)22>-+⋅x x a 恒成立，又115222+≥=⋅x x 12log =x 时取等号，所以实数a 的取值范围为()+∞．点评：有关任意性和存在性问题的求解：此类逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达，解决此类问题是对“任意性或存在性”问题进行“等价转化”为两个函数的最值或值域之间的关系，结合基本不等式或不等式的解法等进行求解.。

2019-2020学年江苏省淮安市高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年江苏省淮安市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为30的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（）A．9B．10C．11D．122．直线x﹣y+1＝0的倾斜角的大小为（）A．B．C．D．3．已知直线2x+3y﹣2＝0和直线mx+（2m﹣1）y＝0平行，则实数m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．34．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和A1B所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＝b cos A，则△ABC形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形6．已知棱长为的正方体的所有顶点在球O的球面上，则球O的体积为（）A．B．C．D．4π7．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积S＝．若c＝2，b sin C ＝4sin A，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．8．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高为．设酒杯上部分（圆柱）的体积为V1，下部分（半球）的体积为V2，则的值是（）A．1B．2C．3D．4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则C的值可以是（）A．30°B．60°C．120°D．150°10．设α，β是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，下列选项中正确的有（）A．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β11．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k 的取值可以是（）A．﹣1B．﹣C．0D．112．如图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天．下列说法正确的有（）A．该市14天空气质量指数的平均值大于100B．此人到达当日空气质量优良的概率为C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为cm．14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点P在圆x2+（y﹣a）2＝4上，若满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则实数a的取值范围为．16．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，则＝，b的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某机器人兴趣小组有男生3名，记为a1，a2，a3有女生2名，记为b1，b2，从中任意选取2名学生参加机器人大赛．（1）求参赛学生中恰好有1名女生的概率；（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B的值；（2）若cos A＝，求sin C的值．19．已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为3，且与直线4x+3y+7＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝x+1与圆C相交于点A，B，求△ACB的面积．20．工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据上表数据计算得，，，，求回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，若该产品的单价被定为8.7元，且该产品的成本是4元/件，求该工厂获得的利润．（利润＝销售收入﹣成本）附：回归方程中，系数a，b为：，．21．如图，三棱锥P﹣ABC中，棱PA垂直于平面ABC，∠ACB＝90°．（1）求证：BC⊥PC；（2）若PA＝AB＝2，直线PC与平面ABC所成的角的正切值为，求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值．22．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交于点Q．（1）若过点P的直线l1与圆O相切，求直线l1的方程；（2）若过点P的直线l2与圆O交于不同的两点A，B．①设线段AB的中点为M，求点M纵坐标的最小值；②设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，问：k1+k2是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为30的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（）A．9B．10C．11D．12【分析】由题意用样本容量乘以高二年级的学生人数占的比例，即为所求．解：由题意可得高二年级的学生人数占的比例为＝，则应从高二年级抽取的学生人数为30×＝10，故选：B．2．直线x﹣y+1＝0的倾斜角的大小为（）A．B．C．D．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．解：直线x﹣y+1＝0的斜率为1，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），由tanθ＝1，得．故选：B．3．已知直线2x+3y﹣2＝0和直线mx+（2m﹣1）y＝0平行，则实数m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据两直线平行，它们的斜率相等，解方程求得m的值．解：∵直线l1：2x+3y﹣2＝0和直线l2：mx+（2m﹣1）y+1＝0平行，∴﹣＝﹣，解得m＝2，故选：C．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和A1B所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】法一：（几何法）连结A1C1、BC1，由A1C1∥AC，得∠BA1C1是异面直线A1B 与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与AC所成角．法二：（向量法）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与AC所成角．【解答】解法一：（几何法）连结A1C1、BC1，∵A1C1∥AC，∴∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），∵A1C1＝A1B＝BC1，∴∠BA1C1＝60°，∴异面直线A1B与AC所成角是60°．解法二：（向量法）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A1（1，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），C（0，1，0），＝（0，1，﹣1），＝（﹣1，1，0），设异面直线A1B与AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，∴异面直线A1B与AC所成角是60°．故选：C．5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＝b cos A，则△ABC形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【分析】利用正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（A﹣B）的值为0，由A和B都为三角形的内角，得出A﹣B的范围，进而利用特殊角的三角函数值得出A﹣B＝0，即A＝B，利用等角对等边可得a＝b，即三角形为等腰三角形．解：∵a cos B＝b cos A，由正弦定理可得：sin A cos B＝sin B cos A，即sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）＝0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0，即A＝B，∴a＝b，则△ABC的形状是等腰三角形，故选：A．6．已知棱长为的正方体的所有顶点在球O的球面上，则球O的体积为（）A．B．C．D．4π【分析】易知，正方体的外接球的球心为正方体的体对角线的交点，体对角线长即为球的直径，由此可求出球的半径，则体积可求．解：设球的半径为R，则由已知得：，故R＝1，所以球的体积为：．7．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积S＝．若c＝2，b sin C ＝4sin A，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】首先利用正弦定理的应用求出b＝2a，进一步利用二次函数的性质和不等式的应用求出最大值．解：b sin C＝4sin A，利用正弦定理bc＝4a，由于c＝2，整理得b＝2a，所以设y＝＝＝，当时，，所以．故选：D．8．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高为．设酒杯上部分（圆柱）的体积为V1，下部分（半球）的体积为V2，则的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知可得圆柱的底面半径，再由圆柱与球的体积公式分别表示出V1，V2，则解：由题意可知，上部分圆柱的底面半径为R，圆柱的高为，则酒杯上部分（圆柱）的体积为V1＝；下部分（半球）的体积为V2＝．则＝．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则C的值可以是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】直接根据正弦定理即可求出．解：△ABC中，B＝30°，AB＝2＞2＝AC，由正弦定理可得＝，∴sin C＝＝＝，∵0＜C＜180°，∴C＝60°或120°，故选：BC．10．设α，β是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，下列选项中正确的有（）A．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β【分析】对于A，由线面平行的判定定理得m∥α；对于B，α与β相交或平行；对于C，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则线面垂直的判定定理得n⊥β．解：由α，β是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，知：对于A，若m∥n，n⊂α，m⊄α，则由线面平行的判定定理得m∥α，故A正确；对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若m⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则线面垂直的判定定理得n⊥β，故D正确．故选：ACD．11．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k 的取值可以是（）A．﹣1B．﹣C．0D．1【分析】由圆的方程可得圆心坐标及半径，进而求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和半个弦长构成直角三角形可得求出弦长的表达式，由题意可得k的取值范围，进而选出答案．解：由圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4可得圆心C的坐标为（3，2），半径r为2，圆心C到直线y＝kx+3即kx﹣y+3＝0的距离d＝＝，所以弦长MN＝2＝2≥2，即≤1，解得﹣≤k≤0，故选：BC．12．如图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天．下列说法正确的有（）A．该市14天空气质量指数的平均值大于100B．此人到达当日空气质量优良的概率为C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大【分析】结合所给统计图，逐一分析即可解：该市14天空气质量指数的平均值＝＝113.5＞100，故A正确；6月1日至6月13日中空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．空气质量优良的天数为6，故其概率为，故B正确；此人在该市停留期间两天的空气质量指数（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P＝，故C正确；方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大，故D正确．故选：ABCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为cm．【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．解：半径为2的半圆弧长为2π，圆锥的底面圆的周长为2π，其轴截面为等腰三角形如图：圆锥的底面半径为：1∴圆锥的高h＝＝．故答案是．14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为30．【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数．解：由图知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10＝1，解得a＝0.03∴身高在[120，130]内的学生人数为100×0.03×10＝30．故答案为：30．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点P在圆x2+（y﹣a）2＝4上，若满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则实数a的取值范围为（﹣，）．【分析】根据题意，设P（x，y），若PA＝2PO，则有（x﹣3）2+y2＝4（x2+y2），变形分析可得P的轨迹以及轨迹方程，又由满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则圆（x+1）2+y2＝4与圆x2+（y﹣a）2＝4相交，由圆与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，设P（x，y），若PA＝2PO，则有（x﹣3）2+y2＝4（x2+y2），变形可得：x2+y2+2x﹣3＝0，即（x+1）2+y2＝4，则P的轨迹是以（﹣1，0）为圆心，半径r＝2的圆，点P在圆x2+（y﹣a）2＝4上，又由x2+（y﹣a）2＝4，其圆心为（0，a），半径R＝2，若满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则圆（x+1）2+y2＝4与圆x2+（y﹣a）2＝4相交，则有0＜1+a2＜16，解可得：﹣＜a＜，即a的取值范围为（﹣，）；故答案为：（﹣，）．16．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，则＝6，b的取值范围为（3，3）．【分析】先根据正弦定理，结合二倍角公式即可求出，可得b＝6cos A，再求出A的取值范围，即可求出b的范围．解：由正弦定理可得＝＝＝，∴＝6，∴b＝6cos A，∵△ABC为锐角三角形，∴30°＜B＜90°，30°＜A＜90°，∴30°＜2A＜90°，∴30°＜A＜45°，∴＜cos A＜，∴3＜6cos A＜3，∴3＜b＜3，故答案为：6，（3，3）．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某机器人兴趣小组有男生3名，记为a1，a2，a3有女生2名，记为b1，b2，从中任意选取2名学生参加机器人大赛．（1）求参赛学生中恰好有1名女生的概率；（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．【分析】（1）从5名学生中任选取2名学生，利用列举法求出基本事件有10个，设事件A表示“参赛学生中恰好有1名女生”，利用列举求出事件A包含的基本事件有6个，由此能求出参赛学生中恰好有1名女生的概率．（2）设事件B表示“参赛学生中至少有1名女生”，利用列举法求出事件B包含的基本事件有7个，由此能求出参赛学生中至少有1名女生的概率．解：（1）从5名学生中任选取2名学生，基本事件有10个，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），设事件A表示“参赛学生中恰好有1名女生”，则事件A包含的基本事件有6个，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），∴参赛学生中恰好有1名女生的概率P（A）＝＝．（2）设事件B表示“参赛学生中至少有1名女生”，则事件包含的基本事件有7个，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），∴参赛学生中至少有1名女生的概率P（B）＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B的值；（2）若cos A＝，求sin C的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可计算得解sin C的值．解：（1）∵a2+c2﹣b2＝ac，∴由余弦定理可得cos B＝＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵cos A＝，A∈（0，π），∴sin A＝＝，∴sin C＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sin A cos+cos A sin＝＝．19．已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为3，且与直线4x+3y+7＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝x+1与圆C相交于点A，B，求△ACB的面积．【分析】（1）设C（a，0），利用圆心到直线的距离为半径3得到＝3，易得a的值；（2）利用点的直线的距离公式和两点间的距离公式求得相关线段的长度，然后结合三角形的面积公式解答．解：（1）设C（a，0），其中a＞0，因为圆C的半径问3，且与直线4x+3y+7＝0相切，所以＝3．解得a＝2（负值舍去）．得到圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝9；（2）由直线l：y＝x+1知圆心C到直线l的距离为d＝＝．所以AB＝2＝2＝3．所以△ACB的面积为AB•d＝＝．20．工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据上表数据计算得，，，，求回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，若该产品的单价被定为8.7元，且该产品的成本是4元/件，求该工厂获得的利润．（利润＝销售收入﹣成本）附：回归方程中，系数a，b为：，．【分析】（1）由已知求得与的值，则y关于x的线性回归方程可求；（2）由定价求出产量，进一步求得利润．解：（1），，＝，＝80+20×8.5＝250．∴y关于x的线性回归方程为；（2）∵产品定价为8.7元，∴估计产量为﹣20×8.7+250．利润为（﹣20×8.7+250）（8.7﹣4）＝357.2万元．故工厂获得的利润为357.2万元．21．如图，三棱锥P﹣ABC中，棱PA垂直于平面ABC，∠ACB＝90°．（1）求证：BC⊥PC；（2）若PA＝AB＝2，直线PC与平面ABC所成的角的正切值为，求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值．【分析】（1）推导出BC⊥AC，BC⊥PA，从而得到BC⊥平面PAC，由此能证明BC⊥PC．（2）过A作AH⊥PC于H，推导出BC⊥PH，AH⊥平面PBC，从而∠ABH是直线AB 与平面PBC所成角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，∵PA∩AC＝A，PA、AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∵PC⊂面PAC，∴BC⊥PC．（2）如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，AH⊂平面PAC，∴BC⊥PH，∵PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成角，∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC与平面ABC所成角，∵tan∠PCA＝＝，PA＝2，∴AC＝．∴Rt△PAC中，AH＝＝，∵AB＝2，∴Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．22．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交于点Q．（1）若过点P的直线l1与圆O相切，求直线l1的方程；（2）若过点P的直线l2与圆O交于不同的两点A，B．①设线段AB的中点为M，求点M纵坐标的最小值；②设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，问：k1+k2是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）当过P的直线l1的斜率不存在时可得与圆O相切，当直线l1的斜率存在时，设直线的方程，求出圆心O到直线的距离等于半径可得斜率的值，进而求出过P的切线的方程；（2）①设弦AB的中点为M可得OM⊥MP，所以可得数量积•＝0，可得M的轨迹方程，与圆O联立求出交点坐标，可得M的纵坐标的最小值；②设A，B的坐标，直线l1与圆O联立求出两根之和及两根之积，进而求出k1+k2的代数式，将两根之和及两根之积代入可得为定值．解：（1）当直线l1的斜率不存在时，则直线l1的方程为：x＝2，圆心O到直线l1的距离d＝2＝r，显然x＝2符合条件，当直线l1的斜率存在时，由题意设直线l1的方程为y﹣4＝k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k+4＝0，圆心O到直线l1的距离为d＝＝2，解得k＝，所以切线方程为x﹣y﹣2+4＝0，即3x﹣4y+10＝0，综上所述：过P点的切线方程为x＝2或3x﹣4y+10＝0；（2）①设点M（x，y），因为M是弦AB的中点，所以MO⊥MP，又因为＝（x，y），＝（x﹣2，y﹣4），所以x（x﹣2）+y（y﹣4）＝0，即x2+y2﹣2x﹣4y＝0，联立解得或，又因为M在圆O的内部，所以点M的轨迹是一段圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0以（﹣，）和（2，0）为端点的一段劣弧（不包括端点），在圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0方程中，令x＝1，得y＝2，根据点（1，2﹣）在圆O内部，所以点M的纵坐标的最小值为2﹣；②联立，整理可得（1+k2）x2﹣4k（k﹣2）x+（2k﹣4）2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以k1+k2＝+＝+＝2k++＝2k+＝2k+＝2k﹣＝﹣1，所以k1+k2为定值﹣1．。

江苏省淮安市2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

江苏省淮安市2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据负角化正角、大角化小角的原则，利用诱导公式进行计算.【详解】故选：A【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，诱导公式的应用．在利用诱导公式进行计算时，转化口诀：负化正、大化小，化成锐角解决了．2.已知集合，集合2，3，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集和并集运算，即可求出正确结果.【详解】集合，集合2，3，，．故选：A．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知幂函数的图象过点，则的值为A. B. 2 C. 4 D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义和待定系数法，求出幂函数的表达式，即可求值．【详解】设幂函数为，的图象过点，．，，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，同时考查了幂函数的概念，属于基础题.4.已知向量满足，且，则A. 8B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直的性质，得到两个向量的数量积为，问题得以解决．【详解】；；又；；．故选：B．【点睛】本题考查平面向量数量积的运算和性质，以及向量垂直的性质，本题解题的关键是求出两个向量的数量积.5.三个数，，的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】容易看出，从而可得出这三个数的大小关系．【详解】，，；．故选：D．【点睛】考查指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及指数函数的值域．6.将函数的图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】函数的图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到：，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到：，故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.已知扇形的周长为6cm，圆心角为1rad，则该扇形的面积为______A. 2B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】结合扇形的周长公式以及弧长公式求出半径和弧长，利用扇形的面积公式进行计算即可．【详解】设扇形的半径为R，则弧长，则扇形的周长为，即，则，则扇形的面积，故选：A．【点睛】本题主要考查扇形的面积的计算，结合扇形的弧长公式以及面积公式是解决本题的关键．8.已知函数，则满足的t的取值范围是A. B. C. D.【解析】【分析】由分段函数，结合对数函数和一次函数的单调性，可判断在上递增，即可得到，求得的范围．【详解】函数，可得时，递增；时，递增，且处，可得在R上为增函数，由，即，解得，即t的范围是．故选：C．【点睛】本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．9.如图所示，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据条件，可对的两边平方得出，，对两边同时点乘即可得出，联立①②即可解出的值．【详解】与的夹角为，与的夹角为，且；对两边平方得：；对两边同乘得：，两边平方得：；得：；根据图象知，，，代入得，；．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的概念，向量加法的平行四边形法则．10.下列说法中正确的有个的图象关于对称；的图象关于对称；在内的单调递增区间为；若是R上的奇函数，且最小正周期为T，则．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由余弦函数的对称性可判断①；由正切函数的对称中心可判断②；由正弦函数的单调性解不等式可判断③；由奇函数和周期函数的定义，计算可判断④．【详解】，可得，不为最值，故图象不关于对称，故错误；，由，，可得，，时，可得，图象关于对称，故正确；，由，可得，，可得在内的单调递增区间为，，故错误；若是R上的奇函数，且最小正周期为T，则，可得，即有，故正确．故选：B．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要三角函数的图象和性质，考查化简运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共36.0分）11.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】求函数的定义域，只需要令对数的真数大于0，及偶次方根被开方数非负，列出不等式组求解即可。

江苏省淮安市淮阴中学高一数学文下学期期末试卷含解析

江苏省淮安市淮阴中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f （x））=x的解集为( )A．{1} B．{2} C．{3} D．?参考答案：C【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】把x=1、2、3分别代入条件进行检验，通过排除与筛选，得到正确答案．【解答】解：当x=1时，g（f（1））=g（2）=2，不合题意．当x=2时，g（f（2））=g（3）=1，不合题意．当x=3时，g（f（3））=g（1）=3，符合题意．故选C．【点评】本题考查函数定义域、值域的求法．2. 已知等比数列{a n}的公比q＜0，其前n 项的和为S n，则a9S8与a8S9的大小关系是（）A．a9S8＞a8S9 B．a9S8＜a8S9 C．a9S8≥a8S9 D．a9S8≤a8S9参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将两个式子作差，利用等比数列的前n项和公式及通项公式将差变形，能判断出差的符号，从而得到两个数的大小．【解答】解：a9S8﹣a8S9=﹣==﹣a12q7∵q＜0∴﹣a12q7＞0∴S8a9＞S9a8故选A．3. （3分）已知直线a?α，给出以下三个命题：①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（）A．②B．③C．①②D．①③参考答案：D考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定．专题：分析法．分析：对于①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；由面面平行显然推出线面平行，故正确．对于②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为一个线面平行推不出面面平行．故错误．对于③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，因为线面不平面必面面不平行．故正确．即可得到答案．解答：解①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a?α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相加时候，仍然可以存在直线a?α使直线a∥平面β．故错误．③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．故选D．点评：此题主要考查平面与平面平行的性质及判定的问题，属于概念性质理解的问题，题目较简单，几乎无计算量，属于基础题目．4. 已知函数，则与的大小关系是:A. B. C. D.不能确定参考答案：A略5. 明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y 与x之间函数关系的大致图象是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由题意可以得出各段过程中y随x变化而变化的趋势，即可得答案.【详解】由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；解除故障到河口这段时间，y随x增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y随x增大而减少.故选：A 【点睛】本题考查了函数的图像，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想，属于基础题.6. 已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0参考答案：B【考点】3F：函数单调性的性质；3W：二次函数的性质．【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求【解答】解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选B7. 函数y=log（x﹣2）（5﹣x）的定义域是（）A．（3，4）B．（2，5）C．（2，3）∪（3，5）D．（﹣∞，2）∪（5，+∞）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由对数的运算性质列出不等式组，求解即可得答案．【解答】解：由，解得2＜x＜5且x≠3．∴函数y=log（x﹣2）（5﹣x）的定义域是：（2，3）∪（3，5）．故选：C．8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是增函数．令，，，则（）A．B．C．D．参考答案：A9. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A． 4 B． 8 C． 16 D ． 20参考答案：C10. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.48B.C.D.80参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________参考答案：3分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故答案为：3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.12. 在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为、，若2a sin B＝b，则角A等于________．参考答案：略13. 若，全集，则___________。

江苏省淮安市重点中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省淮安市重点中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知α、β为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β=（） A ．13B ．3C ．913D ．1392．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．153．某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均数是84，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知向量a ，b 的夹角为60︒，且2a =，1b =，则a b -与12a b +的夹角等于 A ．150︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒5．l ：2360x y +-=与两坐标轴所围成的三角形的面积为A ．6B ．1C ．52D ．36．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（）A ．14B ．27C ．28D ．327．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（）A ．1232+B ．1262+C ．932+D ．962+8．已知m 个数的平均数为a ，n 个数的平均数为b ，则这m n +个数的平均数为（） A ．2a b+ B ．a bm n++ C ．ma nba b++D ．ma nbm n++9．设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（） A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．131,272⎛⎤⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫⎪⎝⎭10．若集合，则的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

〖精选3套试卷〗2020学年江苏省淮安市高一数学下学期期末质量检测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是38，则该阴影区域的面积是（）A ．3B ．32C ．2D ．342．在正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．一个体积为123的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（）A ．63B ．3C ．83D ．12 4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（） A ． B ．2 C ．3 D ．5．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为A ．23B ．43C ．3D ．36．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A ．18π-B ．4πC ．14π-D ．与a 的值有关联7．已知数列{}n a 满足1212,(*)n n a a a a n +=>∈N ，则（）A ．35a a ＞B ．35a a <C ．24a a >D ．24a a <8．各项不为零的等差数列}{n a 中，23711440a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（） A ．4 B ．8 C ．16 D ．649．已知一扇形的周长为15cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为( )A ．29cmB ．210.5cmC ．213.5cmD ．217.5cm10．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为A ．112B ．51C ．28D ．1811．在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2a =，3b =，120C =︒，则其面积等于（）A ．32B ．3C ．33D ．3312．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i <二、填空题：本题共4小题13．已知无穷等比数列{}n a 的所有项的和为3，则首项1a 的取值范围为_____________.14．已知当x θ=时，函数22()(1)sin cos (1)cos 2222x x x f x a a a =+--+-（a R ∈且1a >）取得最大值，则tan 2θ=-时，a 的值为__________．15．在直角坐标系xOy 中，直线1:1l y kx =-与直线2l 都经过点(3,2)，若12l l ⊥，则直线2l 的一般方程是_____.16．给出下列四个命题：①正切函数tan y x = 在定义域内是增函数；②若函数()3cos(2)6f x x π=+，则对任意的实数x 都有55()()1212f x f x ππ+=-； ③函数cos sin ()cos sin x x f x x x+=-的最小正周期是π； ④cos()y x =-与cos y x =的图象相同.以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年江苏省淮安市高一下期末数学试卷((有答案))

2019-2020学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．5．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ．8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是．9．（5分）已知{an }是等差数列，Sn是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC= ．11．（5分）在数列{an }中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和．若sn=254，则n= ．12．（5分）已知{an }是等差数列，a1=1公差d≠0，Sn为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10= ．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．16．（14分）已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．（1）求{an }的首项a1和公差d的值；（2）设数列{bn }满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．20．（16分）已知数列{an }的前n项和为Sn，且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1=对任意正整数．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．2019-2020学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．【解答】解：原式=sin30°=，故答案为：．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是 2 ．【解答】解：=（1+2+3+4+5）÷5=3，S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．故答案为：2．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．【解答】解：∵x（1﹣x）=﹣，x∈（0，1）∴当x=时，x（1﹣x）的最大值为故答案为：．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9 ．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：95．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．【解答】解：设事件A=“灯与两端距离都大于2m”根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分因此，事件A发生的概率为P（A）==故答案为：6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3 ．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，得，=1﹣4=﹣3．此时zmin故答案为：﹣3．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是7 ．【解答】解：由tanα=﹣2，tan（α+β）=，得tanβ=tan [（α+β）﹣α]=．故答案为：7．9．（5分）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，若2a 7﹣a 5﹣3=0，则S 17的值是 51 ．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵2a 7﹣a 5﹣3=0，∴2（a 1+6d ）﹣（a 1+4d ）﹣3=0，化为：a 1+8d=3，即a 9=3．则S 17==17a 9=17×3=51．故答案为：51．10．（5分）已知△ABC 中，AB=，BC=1，A=30°，则AC= 1或2 ．【解答】解：∵AB=c=，BC=a=1，cosA=，∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，即1=b 2+3﹣3b ，解得：b=1或2，则AC=1或2．故答案为：1或211．（5分）在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若s n =254，则n= 7 ．【解答】解：由数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n ，可知：此数列为等比数列，首项为2，公比为2．又s n =254， ∴254=，化为2n =128，解得n=7．故答案为：7．12．（5分）已知{a n }是等差数列，a 1=1公差d ≠0，S n 为其前n 项的和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，S 10= 100 ．【解答】解：若a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1a 5=（a 2）2，即a 1（a 1+4d ）=（a 1+d ）2，则1+4d=（1+d ）2，即2d=d 2，解得d=2或d=0（舍去），则S 10==10+90=100，故答案为：100．13．（5分）在锐角△ABC 中，sinA=sinBsinC ，则tanB+2tanC 的最小值是 3+2 ．【解答】解：锐角△ABC 中，sinA=sinBsinC ， ∴sin （B+C ）=sinBsinC ，即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC ， ∴cosBsinC=sinB （sinC ﹣cosC ）， ∴sinC=（sinC ﹣cosC ），两边都除以cosC ，得tanC=tanB （tanC ﹣1）， ∴tanB=；又tanB ＞0，∴tanC ﹣1＞0， ∴tanB+2tanC=+2tanC=+2tanC=1++2（tanC ﹣1）+2≥3+2=3+2，当且仅当=2（tanC ﹣1），即tanC=1+时取“=”；∴tanB+2tanC 的最小值是3+2．故答案为：3+2．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为[2，）．【解答】解：a，b，c成等比数列，设==q，q＞0，则b=aq，c=aq2，∴∴，解得＜q＜．则=+=+q，由f（q）=+q在（，1）递减，在（1，）递增，可得f（1）取得最小值2，由f（）=f（）=，即有f（q）∈[2，）．故答案为：[2，）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵α∈（），sinα=，∴cosα=﹣．∴=sin cosα+cos sinα=；（2）∵sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=，∴==．16．（14分）已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．（1）求{an }的首项a1和公差d的值；（2）设数列{bn }满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．【解答】解：（1）因为{an }是等差数列，a2=4，S5=30，所以解得a1=2，d=2（2）由（1）知即所以bn==于是数列{bn }的前n项和Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006．…（4分）（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[40，50）上为事件A．…（5分）=0.004×10×50=2，记为1，2号因为样本中评分在[40，50）的师生人数为：m1=0.006×10×50=3，记为3，4，5号…（7分）样本中评分在[50，60）的师生人数为：m2所以从5人中任意取2人共有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种等可能情况，2人中恰有1人评分在[40，50）上有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种等可能情况．∴2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率为P（A）==．…（10分）（3）服务质量评分的平均分为：=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）∵76.2＞75，∴食堂不需要内部整顿．…（14分）18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．【解答】解：（1）因为不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≤0的解集为[﹣1，2]，所以方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，所以△=（a﹣2）2﹣4a•（﹣2）≥0且﹣1×2=，解得：a=1；（2）由ax2+（a﹣2）x﹣2≤0，得（x+1）（ax﹣2）≤0，当﹣2＜a＜0时，解集为{x|x≤或x≥﹣1}，当a=﹣2时，解集为R；当a＜﹣2时，解集为{x|x≤﹣1或x≥}．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．【解答】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BA•BCcos∠ABC，…（2分）即（（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y•2x•cos60°，所以．…（5分）由AB ﹣AC ＜BC ，得．又因为＞0，所以x ＞1．所以函数的定义域是（1，+∞）．…（6分）（2）M=30•（2y ﹣1）+40x ．…（8分）因为．（x ＞1），所以M=30即 M=10．…（10分）令t=x ﹣1，则t ＞0．于是M （t ）=10（16t+），t ＞0，…（12分）由基本不等式得M （t ）≥10（2）=490，当且仅当t=，即x=时取等号．…（15分）答：当x=km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M 为490万元．…（16分）20．（16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =n 2﹣4n ，数列{b n }中，b 1=对任意正整数．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n •b n +μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．【解答】解：（1）当n=1时，a 1=S 1=﹣3，…（1分）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣4n ﹣（n ﹣1）2+4（n ﹣1），即a n =2n ﹣5，…（3分）n=1也适合，所以a n =2n ﹣5．…（4分）（2）法一：假设存在实数μ，使数列{3n •b n +μ}是等比数列，且公比为q ．…（5分）因为对任意正整数，，可令n=2，3，得 b 2=，b 3=﹣．…（6分）因为{3n b n +μ}是等比数列，所以=，解得 μ=﹣ …（7分）从而 ===﹣3 （n ≥2）…（9分）所以存在实数μ=﹣，公比为q=﹣3．…（10分）法二：因为对任意正整数．所以，设3n b n +μ=﹣3（3n ﹣1b n ﹣1+μ），则﹣4μ=1，…（8分）所以存在，且公比．…（10分）（3）因为a 2=﹣1，a 3=1，所以，，所以，即，…（12分）于是b 1+b 2+…+b n =+++…===…（13分）当是奇数时：b 1+b 2+…+b n =，关于递增，得≤b 1+b 2+…+b n ＜．…（14分）当是偶数时：b 1+b 2+…+b n =，关于递增，得≤b 1+b 2+…+b n．…（15分）综上，≤b 1+b 2+…+b n．…（16分）。

江苏省淮安市中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试题含解析

江苏省淮安市中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：B由图象可知A＝1，∵图象过点(，0)，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝π，∴φ＝∴y＝sinx先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．2. 下列函数中，不满足的是（）A. B. C. D.参考答案：D3. 已知为锐角，且，则等于A. B.C. D.参考答案：D4. 在下列函数中，与函数是同一个函数的是（）A． B． C ． D．参考答案：D5. 若偶函数在上是增函数，则（）A． B．C． D．参考答案：D6. 若直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，则m、n的关系是（）A．m﹣n﹣2=0 B．m+n﹣2=0 C．m+n﹣4=0 D．m﹣n+4=0参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，所以可知：圆心在直线上．【解答】解：直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，所以可知：圆心在直线上．由圆的一般方程圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，得知：（x﹣2）2+（y+1）2=9，圆心O（2，﹣1），半径r=3；圆心在直线上，即：2m﹣2n﹣4=0?m﹣n﹣2=0故选：A7. 已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】原问题等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：由二次函数的知识可知，当x=时，抛物线取最低点为，函数y=m的图象为水平的直线，由图象可知当m∈（，0）时，两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点，故选C8. （多选题）已知函数，则下面结论正确的是（）A. f(x)为偶函数B. f(x)的最小正周期为C. f(x)的最大值为2D. f(x)在上单调递增参考答案：ABD【分析】首先将f(x)化简为，选项A，f(x)的定义域为R，，故A 正确。

2020年淮安市高一数学下期末一模试题(附答案)

2020年淮安市高一数学下期末一模试题(附答案)一、选择题1．已知向量()cos ,sin a θθ=v，(b =v ，若a v 与b v 的夹角为6π，则a b +=v v （）A ．2BCD ．12．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）4．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （）A ．68B ．67C ．61D ．605．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( ) A ．23B ．24C ．25D ．266．已知函数21(1)()2(1)ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-7．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则4a b +的最小值为（） A ．2B ．4C ．5D ．99．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生10．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2π B ．C ．D ．3π 11．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=12．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．14．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.15．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为． 16．对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2exf x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）17．函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.18．设，则________19．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 20．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 三、解答题21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．22．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.23．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC V 外接圆的半径，22243a cb +-=，其中S 为ABC V 的面积．（1）求sin C ；（2）若23a b -=ABC V 的周长．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+．（1）求n a ；（2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 25．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.26．ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC 2，求BD 和AC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】先计算a r 与b r的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+r r r r 即可计算求值.【详解】因为()cos ,sin a θθ=r，(2b =r ，所以||1a =r ，||3b =r又222222()2||2||||cos ||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+r r r r r r r r r r r r31337=++=，所以a b +=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】【分析】【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.3．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 4．B解析：B 【解析】【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案．【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .故选：B ．【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.5．C解析：C 【解析】【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b ba ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案．【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25．本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．7．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.8．D解析：D 【解析】 ∵111,,2a b成等差数列，()11114144559a b a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++= ⎪⎝⎭，…，当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立，本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．C解析：C 【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.10．A解析：A 【解析】【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解．【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()2a A B a BM a ==+=，，222313()2a A M a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=，．故选A ．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．11．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-2，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --=322=2，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．12．C解析：C 【解析】【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >，且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤，综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．二、填空题13．36π【解析】三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S −ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半解析：36π 【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9，可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ，可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3.球O 的表面积为：2436r ππ= .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值解析：3π【解析】【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值．【详解】由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．15．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．16．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点2 ⎥⎝⎦【解析】【分析】先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果【详解】由()()13log 2e x f x x -=+-，令()0f x =所以1x =，又已知函数()()13log 2ex f x x -=+- 与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则()0g x =在02x <<有解即1224x x a +-=在02x <<有解，令()1224x xh x +-=，又令2x t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2222111222t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭ 当112t =时max 12y = 当11t =时0y = 所以10,2y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以()10,2h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.17．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；4【解析】【分析】利用换元法，令sin x t =，[]1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值．【详解】令sin x t =，[]1,1t ∈-，则2113324y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t =-时，函数有最小值134-，故答案为134-. 【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x b y c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为22sin()y a b x φ=++求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】，，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值． 19．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答解析：13【解析】【分析】【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为2163=；故答案为13．解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题． 20．【解析】故答案为解析：75【解析】 1tan tan 17446tan tan 144511tan tan 644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭ 故答案为75. 三、解答题21．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4【解析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4．22．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)453. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，. 又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N 为的中点，所以N 到平面的距离为. 取的中点，连结.由得，. 由得到的距离为，故145252BCM S =⨯⨯=V . 所以四面体的体积14532N BCM BCM PA V S -=⨯⨯=V . 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．23．（1）264；（23263 【解析】【分析】（1）由正弦可得R 2sin a A=，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解；（2）由正弦定理得sin 2sin 3a A b B ==，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解.【详解】（1）由正弦定理得cos 2sin a a A A=，sin21A ∴=，又022A π<<， 22A π∴=，则4A π=.由222431csin 2a c b a B +-=⋅，由余弦定理可得232cos sin ac B B =，tan B ∴=0B π<<，=3B π∴，()sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭. （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，又a b -=a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩又sin C =422c ∴==22a b c ∴++=+. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.24．（1）21n a n =+；（2）见解析【解析】【分析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2）由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+，则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2）由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+．则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭．所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 34<．【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.25．（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9.【解析】【分析】【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x 的值.试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 300 000×0.12="36" 000．（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x –2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．26．（1）12；（2）1 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.试题解析：（1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠. （2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =， ∴2BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 222AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅ 222232cos 22x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅ ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232222x -=1x =，即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．。

2020-2021学年江苏省淮安市高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知复数z =1+i ，则复数z 在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检( )A. 20家B. 10家C. 15家D. 25家3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2−√3bc ，则角A 的大小为( )A. π6B. 2π3C. π3D. 5π64. 已知α是第二象限角，sinα=45，则tan2α=( )A. −247B. 247C. −2425D. 24255. 如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，β−α=( )A. π2 B. π3 C. π4 D. π66. 已知m ，n ，l 是不重合的三条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，则( )A. 若m//n ，m ⊂α，则n//αB. 若l ⊥β，m ⊂α，l ⊥m ，则α//βC. 若α⊥β，γ⊥β，α∩γ=l ，则l ⊥βD. 若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//β7. 古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为( )A. 198π立方丈B. 1912π立方丈C.19π8立方丈D.19π12立方丈8. 已知点P 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上的一点，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为( ) A. −14B. −12C. −1D. −2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列说法中正确的是( )A. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ B. 对于向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，有(a ⃗ ⋅b ⃗ )⋅c ⃗ =a(b ⃗ ⋅c ⃗ )C. 向量e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(5,7)能作为所在平面内的一组基底D. 设m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是“m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ <0”的充分而不必要条件 10. 某位同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数( )A. 众数为2和3B. 标准差为85C. 平均数为3D. 第85百分位数为4.511. 正六角星形是人们普遍知道的犹太人标志，凡是犹太人所到之处，都可看到这种标志．正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成(如图一).如图二所示的正六角星的中心为O ，A ，B ，C 是该正六角星的顶点，则( )A. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120° B. 若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6 C. |OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB −|D. 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =112. 如图，点M 是棱长为1的正方体ABD −A 1B 1C 1D 1的侧面ADD 1A 1上的一个动点，则下列结论正确的是( )A. 二面角M −AD −B 1的大小为45°B. 存在点M ∈AD 1，使得异面直线CM 与A 1B 1所成的角为30°C. 点M 存在无数个位置满足CM ⊥AD 1D. 点M 存在无数个位置满足CM//面A 1BC 1三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若向量a⃗ =(−1,−2)，写出一个与向量a ⃗ 方向相反且共线的向量______．14.若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且OA′=3，B′C′=1，则该平面图形的面积为______．15.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长都相等的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，正四棱锥的高与蛋黄半径的比值为______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知α∈(0,π2),β∈(π2,π),sinβ=2√23,sin(α+β)=79，则sinα的值为(1)；tanα2的值为(2)．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设复数z1=2+3i，z2=m−i(m∈R,i为虚数单位)．(1)若z1z2为实数，求m的值；(2)若z=z1⋅z2−，且|z|=√26，求m的值．18.4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；(2)若采用分层抽样的方法，从样本在[60,80)[80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．19.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为线段A1B 与A1C上的中点．(1)求证：EF//平面A1B1C1D1；(2)从三棱锥A1−ABC中选择合适的两条棱填空：______⊥______，使得三棱锥A1−ABC为“鳖臑”；并证明你的结论．20.某企业生产两种如图所示的电路子模块R，Q：要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型．假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响．在电路子模块R中，当号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．(1)若备选电子元件A，B型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正常工作的概率；(2)若备选电子元件A，B，C型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块Q能正常工作的概率最大，并说明理由．21.从①(b−2c)cosA+acosB=0；②b2+c2−a2=4√3S；③b(tanA+tanB)=2ctanB这三个条件中3选一个，补充到下面问题中，并完成解答．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且____．(1)求角A的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，b=2√3，求△ABC的周长的取值范围．22.如图，在三棱锥O−ABC中，OA=1，OB=2，OC=3，且OA，OB，OC两两夹角都为θ．(1)若θ=90°，求三棱锥O−ABC的体积；(2)若θ=60°，求三棱锥O−ABC的体积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵复数z=1+i对应的点为(1,1)，∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．由于复数z=1+i对应的点为(1,1)，可知复数z在复平面内对应的点所在的象限．本题考查了复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检27×10020+100+15=20(家)．故选：A．根据分层抽样原理求出粮食加工品店需要被抽检的家数．本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意b2+c2=a2−√3bc，可得cosA=−√32，A是三角形的内角，所以A=56π．故选：D．利用余弦定理，求出A的余弦函数值，然后求解A即可．本题考查余弦定理的应用，是基础题．4.【答案】A【解析】解：因为α是第二象限角，sinα=45，则cosα=−√1−sin2α=−35，tanα=sinαcosα=−43，所以tan2α=2tanα1−tan2α=−247．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而根据二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由图可得，tanα=12，tanβ=3，∴tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanβ⋅tanα=3−121+3×12=1，∴β−α=π4．故选：C．根据已知条件，结合正切函数的两角差公式，即可求解．本题考查了正切函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：对于A，若m//n，m⊂α，则n//α或n⊂α，故选项A错误；对于B，若l⊥β，m⊂α，l⊥m，则α//β或α与β相交，故选项B错误；对于C，若α⊥β=m，γ⊥β=n，则平面β内各作一条直线a⊥m，b⊥n，且a与b相交，则a⊥α，b⊥γ，又α∩γ=l，则l⊥a，l⊥b，又a与b相交，a，b在平面β，则l⊥β，故选项C正确；对于D，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β或α与β相交，故选项D错误．故选：C．利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对四个选项逐一分析判断，即可得到答案．本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查了空间想象能力、推理论证能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则2πr =2，2πR =3，得r =1π，R =32π．又圆台的高为1，∴圆台的体积V =13π×1×(1π2+1π×32π+94π2)=1912π立方丈．故选：B ．设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，由已知周长求得r 与R ，代入圆台体积公式求解．本题考查圆的周长公式、圆台体积公式，考查计算能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：建立平面直角坐标系如下，则B(0,0)，A(0,1)，C(1,0)，D(1,1)，设P(x,y)，∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(1,1)，∴x =λ，y =λ，∴P(λ,λ)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−λ)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,1−2λ)， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−λ(1−2λ)×2=4λ2−2λ=4(λ−14)2−14，λ∈[0,1]， ∴当λ=14时，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )取得最小值为−14，故选：A ．建立平面直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 的坐标，设P(x,y)，通过平面向量的坐标运算得PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4(λ−14)2−14，λ∈[0,1]，从而得解．本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系，借助平面向量的坐标运算，将原问题转化为求二次函数最值问题是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】CD【解析】解：对于A ：a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，当b ⃗ 不能为0⃗时，a ⃗ //c ⃗ ，故A 错误；对于B ：向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，有(a ⃗ ⋅b ⃗ )⋅c ⃗ =a(b ⃗ ⋅c ⃗ )，由于a ⃗ 和b ⃗ 这两向量方向未必相同，故B 错误；对于C ：向量e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(5,7)，所以e 1⃗⃗⃗ 和e 2⃗⃗⃗ 不共线，所以这两个向量能作为所在平面内的一组基底，故C 正确；对于D ：设m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则当“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”时，则“m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ <0”成立，当“m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ <0”成立时，可能m ⃗⃗⃗ 和n ⃗ 的夹角为钝角，故D 正确．故选：CD ．直接利用向量的共线的充要条件，充分条件和必要条件的应用，基底的定义判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：向量的共线的充要条件，充分条件和必要条件的应用，基底的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：∵众数为2和3，∴A 正确， ∵平均数为1+3×2+3×3+4+2×510=3，∴C 正确，∵标准差s =√(1−3)2+(2−3)2+⋯⋯+(5−3)210=2√105，∴B 错误， ∵这组数按照从小到大排为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，又∵10×85%=8.5，且8.5非整数，∴第85百分位数为第九个数5，∴D 错误．故选：AC ．利用众数的定义判断A ，求出平均数判断C ，求出标准差判断B ，求出百分位数判断D ．本题考查众数，平均数，标准差，百分位数的求法，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A ：∠AOB 由两个小正三角形，为120°.故正确；对于B ：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，故正确；对于C ：有平行四边形法则可知，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.故正确；对于D ：由平行四边形法则可知，若以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底分解，则系数和应该为负值，否则方向与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不一致，故错误．故选：ABC．利用三角形的内角求出∠AOB判断A；向量的数量积求出结果判断B；利用平行四边形法则判断C，利用平行四边形法则判断D即可．本题考查向量的数量积，向量的夹角，平行四边形法则的应用，命题的真假的判断，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：A：这个二面角的大小即为A1−AD−B1的二面角大小，由于平面A1AD⊥底面平面ABCD，故所求二面角大小为45°；B：∵CD//A1B1，∴∠MCD为异面直线CM与A1B1所成角，当M在线段AD1，移动时，M取AD1中点，∠MCD最小，正弦值为√2，错误；2C：当M在A1D上时，满足条件．∵A1D⊥AD1，AD1⊥CD，CD∩A1D=D，∴AD1⊥平面CA1D，∵CM∈平面CA1D，∴CM⊥AD1，正确；D：AD1//BC1，BC1⊂平面A1BC1，AD1⊄平面A1BC1∴AD1//平面A1BC1，∵CD1//A1B，A1B⊂平面A1BC1，CD1⊄平面A1BC1∴CD1//平面A1BC1∵AD1∩CD1=D1∴平面AD1C//平面A1BC1，当M在AD1时，CM⊂平面AD1C∴CM//平面A1BC1，正确．故选：ACD．对于A，易知所求二面角的大小为平面A1AD与底面平面ABCD所成角的一半；对于B，∠MCD为异面直线CM与A1B1所成角，易知，当M取AD1中点，∠MCD最小；对于C，先证明AD1⊥平面CA1D即可判断；对于D，先证明平面AD1C//平面A1BC1，再由面面平行的性质即可判断．本题考查空间中线线，线面以及面面间的位置关系，考查空间角的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】(1,2)【解析】解：设与向量a⃗方向相反且共线的向量为：b⃗ =k a⃗，k<0时，所以当k=−1，b⃗ =(1,2)=−a⃗．故答案为：(1,2)．与向量a⃗方向相反且共线的向量为b⃗ =k a⃗，当k<0时，能求出结果．本题考查向量的运算，考查平行向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】4√2【解析】解：解法一、计算等腰梯形OA′B′C′的面积为S′=12(OA′+B′C′)⋅(OA′−B′C′)sin45°⋅sin45°=1 2×2×2×√22×√22=1，所以原平面图形的面积为S=4√2S′=4√2．解法二、作C′D⊥OA′，B′E⊥OA′，因为∠C′OA′=45°，B′C′=1，OA′=3所以DE=B′C′=1，OD=A′E=1.因此OC′=ODcos45∘=√2．又根据斜二测画法的特征可得，在原图中AB⊥BC，AD//BC，即原图为直角梯形，且高为直观图中OC′的2倍，所以该平面图形的面积为S=12(1+3)×2√2=4√2．故答案为：4√2．解法一、求出直观图等腰梯形OA′B′C′的面积S′，再根据平面图形直观图与原图形的面积之间关系，求出原平面图形的面积S．解法二、把直观图还原为原图形，再计算原平面图形的面积．本题考查了原平面图形与它的直观图面积的计算问题，是基础题．15.【答案】√3+1【解析】解：设正四棱锥的棱长均为2acm，球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切．正四棱锥的高ℎ=√(√3a)2−a 2=√2acm ，设球半径为r ，四棱锥的面积V =13S 表⋅r ， S 表=4×12×2a ×2a ×√32+2a ×2a =a 2(4√3+4)cm ，V =13a 2(4√3+4)⋅r =13×4a 2×√2a =4√23a 3r(4√3+4)=4√2a ，r =√6−√22a ，所以nr =√2a√6−√22a=√3+1．故答案为：√3+1．首先设出棱长，然后找到满足题意的几何体的结构特征，最后利用等体积法进行计算即可求得正四棱锥的高与蛋黄半径的比值．本题主要考查球与椎体的切接关系，空间想象能力的培养，数学知识的实际应用等知识，属于中等题．16.【答案】133−2√2【解析】解：∵α∈(0,π2)，β∈(π2,π)， ∴α+β∈(π2,3π2)，…1分∴cos(α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−4√29，…3分 ∴cosβ=√1−sin 2β=−13，…5分∴sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ=79×(−13)−(−4√29)×2√23=13．∵cosα=√1−sin 2α=2√23， ∴tan α2=√1cos2α2−1=√21+cosα−1=3−2√2．故答案为：13,3−2√2．由已知可求范围α+β∈(π2,3π2)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(α+β)，sinβ的值，利用角的关系α=(α+β)−β，根据两角差的正弦函数公式即可化简求值，进而可求cosα，利用同角三角函数基本关系式，降幂公式即可计算得解tanα2的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，降幂公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】(1)由于z1z2=2+3im−i=(2+3i)(m+i)m2+1=(2m−3)m2+1+(3m+2)m2+1i∈R，所以(3m+2)m2+1=0，解得m=−23；(2)由于z=z1⋅z2−=(2m−3)+(3m+2)i，所以|z|=√(2m−3)2+(3m+2)2=√26，解得m=±1．【解析】(1)利用复数的除法运算法则以及实数的定义，列式求解即可；(2)利用共轭复数的定义以及复数的乘法运算法则，求解即可．本题考查了复数的运算，主要考查了复数的除法运算法则以及乘法运算法则的运用，复数模定义的应用，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，(0.0025+0.01+a+0.015+0.01)×20=1，即a=0.0125，这1000名学生每日的平均阅读时间x−=10×0.05+30×0.2+50×0.25+70×0.3+90×0.2=58分钟．(2)∵由频率分布直方图，可知样本在[60,80)[80，100]内的学生频率分布为0.3，0.2，∴样本在[60,80)[80，100]采用分层抽样的比例为3：2，∴[60,80)抽取了3人a，b，c，[80,100]抽取了2人d，e，则再从5人中抽取2人共有{ab,ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}10种不同的抽取方法，抽取的2人来自不同组共有{ae,bc，bd，be，cd，ce}6种，∴抽取的2人来自不同组的概率P=610=35．【解析】(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求a的值，再将各区间的中点乘以对应的频率，并求和，即可求解．(2)样本在[60,80)[80，100]内的学生频率分布为0.3，0.2，即样本在[60,80)[80，100]采用分层抽样的比例为3：2，再结合古典概型，即可求解．本题考查了频率分布直方图的应用问题，频率、频数与样本容量的应用问题，以及古典概率的问题，属于基础题．19.【答案】BC AB【解析】(1)证明：在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，因为E，F分别为△A1BC边A1B与A1C的中点，所以EF//BC．又因为BC//B1C1，所以EF//B1C1．因为EF⊄平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以EF//平面A1B1C1D1；(2)若BC⊥AB，则三棱锥A1−ABC为“鳖臑”；且△ABC为直角三角形；证明：在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥AC，A1A⊥AB，所以△A1AC，△A1AB均为直角三角形；因为A1A⊥BC，BC⊥AB，A1A∩AB=A，A1A，AB⊂平面ADD1A1，所以BC⊥平面AA1B；又因为AB⊂平面AA1B，所以BC⊥A1B，所以A1BC为直角三角形．因此，三棱锥A1−ABC的四个面均为直角三角形，三棱锥A1−ABC为“鳖儒”．(1)根据题意通过推知EF//B1C1来证明EF//平面A1B1C1D1；(2)根据“鳖臑”的定义进行解答．本题涉及了线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查了直线与平面平行，考查逻辑推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)假设事件A，B，C分别表示电子元件A，B，C正常工作，电路子模块R不能正常工作的概率为P(AB−)，由于事件A，B互相独立，所以P(AB−)=P(A−)⋅P(B−)=(1−0.9)×(1−0.8)=0.02，因此电路子模块R能正常工作的概率为1−0.02=0.98．(2)由于当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块Q才能正常工作，①若1号位元件为电子元件A，则电路子模块Q 正常工作的概率为P(A)[1−P(BC −)]=0.7(0.8+0.9−0.8×0.9)=0.686； ②若1号位元件为电子元件B ，则电路子模块Q 正常工作的概率为： P(B)[1−P(AC −)]=0.8(0.7+0.9−0.7×0.9)=0.776；③若1号位元件为电子元件c ，则电路子模块Q 正常工作的概率为： P(C)[1−P(AB −)]=0.9(0.7+0.8−0.7×0.8)=0.846；因此，1号位接入正常工作概率最大的元件C 时，电路子模块Q 正常工作的概率最大．【解析】(1)假设事件A ，B ，C 分别表示电子元件A ，B ，C 正常工作，电路子模块R 不能正常工作的概率为P(AB −)，由事件A ，B 互相独立，能求出电路子模块R 能正常工作的概率．(2)由于当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块Q 才能正常工作，分别求出若1号位元件为电子元件A ，电路子模块Q 正常工作的概率，若1号位元件为电子元件B ，电路子模块Q 正常工作的概率，若1号位元件为电子元件c ，则电路子模块Q 正常工作的概率，由此能求出1号位接入正常工作概率最大的元件C 时，电路子模块Q 正常工作的概率最大．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)若选①，在△ABC 中，由正弦定理得：sinBcosA −2sinCcosA +sinAcosB =0，因为A +B +C =π，A ，B ，C ∈(0,π)，所以sinC −2sinCcosA =0，且sinC ≠0，因此cosA =12，A ∈(0,π)，可得A =π3；若选②，在△ABC 中，由余弦定理得2bccosA =4√33×12bcsinA ，所以sinA =√3cosA ，因为sinA ≠0，因此tanA =√3，且A ∈(0,π)，故A =π3；若选③，在△ABC 中，2cb =1+tanAtanB =sinAcosB+cosAsinBcosAsinB=sinCcosAsinB ，且sinC ≠0，由正弦定理得：2cb =2sinCsinB=sinCcosAsinB，故cosA=12，可得A=π3；(2)因为△ABC为锐角三角形，所以B∈(0,π2)，C∈(0,π2)，因此B∈(π6,π2 )，由正弦定理得：2√3sinB =csinC=asin，可得c=2√3sinCsinB，a=3sinB，所以△ABC的周长为a+c+b=2√3sinC+3sinB +2√3=2√3sin(B+π3)+3sinB+2√3=31+cosBsinB+3√3=3√3+3tan B2，由于B∈(π6,π2)，可得B2∈(π12,π4)，可得tan B2∈(2−√3,1)，所以△ABC的周长取值范围为(3+3√3,6+6√3)．【解析】(1)若选①，由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式化简可得cosA=12，结合A的范围可得A 的值．若选②，由余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA=√3，结合范围A∈(0,π)，可得A的值．若选③，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosA=12，结合A的范围可得A的值．(2)由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求△ABC的周长为a+c+b=3√3+3tan B2，由题意可求范围B∈(π6,π2)，进而根据正切函数的性质即可求解△ABC的周长取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，OB，OC⊂平面OBC所以OA⊥平面OBC，因此V O−ABC=13S△ABC⋅OA=1，(2)在线段OC上取点D，使得OD=2，连接AD，BD，因为∠AOB=60°，OA=1，OB=2，由于余弦定理可得：AB=√3，所以AB⊥OA同理可得：AD⊥OA，又因为AB∩AD=A，AD，AB⊂平面ABD，所以OA⊥平面ABD，在等腰三角形ABD中，因为AB=AD=√3，BD=2，所以S△ABD=√2，所以三棱锥O−ABD的体积为V O−ABD=13S△ABD⋅OA=√23．由于OC=32OD，因此V O−ABC=32V O−ABD=√22．【解析】(1)首先确定三棱锥的高度，然后利用体积公式即可确定三棱锥的体积；(2)由题意首先找到三棱锥的高，然后分别求得底面积和高，最后利用体积公式即可确定三棱锥的体积．本题主要考查三棱锥体积的求解，点面距离的求解等知识，属于中等题．。