北京工业大学2010年高等代数研究生入学考试真题下
【数学二】2010年全国考研研究生入学考试真题及答案答案解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.) (1) 函数()f x =( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ,使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ) (A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==. (3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e.(4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关.(5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z z x y x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211lim n nn i j n n i n j →∞===++∑∑ ( ) (A) ()()1200111x dx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C) ()()1100111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()11200111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I :,,,r ααα可由向量组12II :,,,s βββ线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >.(8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( ) (A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 . (11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = . (12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=,,则1A B -+= .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分) ( I ) 比较()10ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln n t t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由;( II ) 记()10ln ln 1n n u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==,已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ. (18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3) (19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20u ξη∂=∂∂. (20)(本题满分10分)计算二重积分2 sin D I r θ=⎰⎰,其中(),|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明:存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分) 设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭,,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解.(23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得T Q AQ 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .。
2010年考研数学三真题及解析
(II) 求 Cov X, Y .
2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、选择题: 1~ 8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上
.
(1) 【分析】 通分直接计算等式左边的极限,进而解出 a.
1 【详解】 由于 lim[
( 10)【分析】 利用旋转体的体积公式即得。计算时须注意这是一个反常积分。
【详解】 V
y2( x)dx
e
1 e x(1 ln 2 x) dx
2
lim[ arc tan(ln x) ]
x
44
( 11)【分析】 此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法,利用弹性的定义列方程,然后解此微分方程
【详解】 由弹性的定义知,收益弹性为
(18) (本题满分 10 分 )
(1)比较
1
ln t [ln(1
t )] ndt 与 1t n ln t dt(n
1,2,
) 的大小 ,说明理由。
0
0
1
(2)记 un
ln t [ln(1
0
t)] n dt,( n
1,2,
) 求极限
lim
n
un 。
( 19) (本题满分 10 分 )
设函数 f x 在闭区间 0, 3 上连续 , 在开区间 0, 3 内存在二阶导数 , 且
x0
1
dx
法二:由
x
y
e
t2 dt
x x sint 2dt ,令 x 0 得 y 0
0
0
等式两端对 x 微分得 e (x y )2 (dx dy) ( x sin t 2dt)dx x sin x2dx 0
北京工业大学数学分析2010年考研真题(含答案)考研试题硕士研究生入学考试试题
十、 解:补充平面 S1 = {( x, y, z ), x 2 + y 2 ≤ 1,z = 1},方向向上.有
∫∫
=
f ( x , y ) 在原点处不可微。
共 6 页 第4 页(答案)
科目代码:
663
科目名称:
数学分析
2 2 七、 解: 上、 下半圆方程分别为 y1 = 2 + 1 − x 与 y2 = 2 − 1 − x .
旋转体体积 V = 旋转体表面积
∫
1
−1
2 π [ y12 - y2 ] dx = 8π ∫
收敛,求其极限。
[bx − f ( x)] = 0 ,其中 二、 证明:若函数 f ( x ) 在 [a, +∞) 上连续,且 xlim →+∞
b 为非零常数,则 f ( x ) 在 [a, +∞) 上一致连续。
三、 证明:若 ∀x ∈ (a,b) ,有 f ′′( x ) ≥ 0 ,则对 ∀x1 , x2 ,L , xn ∈ ( a, b ) , 下列不等式成立
当 | x1 − x2 |≤ δ1 =
ε 时,有 2|b|
| f ( x1 ) − f ( x2 ) |≤ b( x1 − x2 ) + bx1 − f ( x1 ) + bx2 − f ( x2 ) < ε.
其次,由 f ( x ) 在 [a, +∞) 上连续,知 f ( x ) 在 [ a , M + 1] 上连续且一 致连续。于是,对上述的 ε > 0 ,存在 δ 2 > 0 ,当 ∀x1 , x2 ∈ [a, M + 1] ,
| x1 − x2 |≤ δ 2 时,有 | f ( x1 ) − f ( x2 ) |< ε .
2010全国研究生入学考试数学试题一答案
2010考研数学(一)真题及参考答案一、选择题(1)、极限(C)A、1B、C、D、(2)、设函数,由方程确定,其中F为可微函数,且,则(B)A、B、C、D(3)、设施正整数,则反常积分的收敛性( C)A、仅与的取值有关B、仅与有关C、与都有关D、都无关(4)、( D )A、B、C、D、(5)、设A为型矩阵,B为型矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB=E,则(A)A、秩r(A)=m, 秩r(B)=mB、秩r(A)=m, 秩r(B)=nC、秩r(A)=n, 秩r(B)=mD、秩r(A)=n, 秩r(B)=n(6) 设A为4阶实对称矩阵,且,若A的秩为3,则A相似于(D)A. B.C. D.(7) 设随机变量的分布函数,则 {x=1}= (C)A.0 B. C. D.(8) 设为标准正态分布的概率密度,为上的均匀分布的概率密度,若为概率密度,则应满足:(A )A、B、C、D、二、填空题(9)、设求(10)、(11)、已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分0(12)、设则的形心坐标(13)设若由形成的向量空间维数是2,则 6(14)设随机变量概率分布为,则 2三、解答题(15)、求微分方程的通解解答:(16)、求函数的单调区间与极值解答:单调递减区间单调递增区间极大值,极小值(17)、(Ⅰ)比较与的大小,说明理由(Ⅱ)设,求极限解答:(18)、求幂级数的收敛域及和函数解答:收敛域,和函数(19)设为椭球面上的动点,若在点处的切平面为面垂直,求点的轨迹,并计算曲面积分,其中是椭球面位于曲线上方的部分解答:(1)(2)(20)、设已知线性方程组存在2个不同的解,(Ⅰ)求,;(Ⅱ)求方程组的通解。
解答:(Ⅰ)(Ⅱ)的通解为(其中k为任意常数)(21)已知二次型在正交变换下的标准形为,且的第3列为(Ⅰ)求矩阵;(Ⅱ)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵。
答案:(Ⅰ)(Ⅱ)证明:为实对称矩阵又的特征值为1,1,0的特征值为2,2,1,都大于0为正定矩阵。
数3--10真题答案
2010年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题(1)C (2)A (3)B (4)C (5)A (6)D (7)C (8)A 二、填空题(9)1− (10)2π4(11)31(1)3e p p − (12)3(13)3 (14)22σμ+ 三、解答题(15)1e −. (16)1415. (17)max u =,min u =−. (18)(Ⅰ)[]110ln ln(1)d ln d nn t t t t t t +<⎰⎰ (1,2,)n =.(Ⅱ)lim 0n n u →∞=.(19)略.(20)(Ⅰ)1λ=−,2a =−.(Ⅱ)通解为32110210k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭x ,k 为任意常数.(21)1a =−,0⎪=⎪⎪⎪⎪⎭Q .(22)1πA =.222(,)()()x xy y Y X X f x y f y x f x −+−==,y −∞<<+∞.(23)(Ⅰ)(,)X Y 的概率分布为(Ⅱ)4cov(,)45X Y =−. 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)参考答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)【答案】C .【解答】原式00111e lim e e lim 11xx x x x a a a x x x →→−⎛⎫=−+=+=−+= ⎪⎝⎭所以2a =.故选C .(2)【答案】A .【解答】由已知条件可得12y y λμ−是齐次方程()0y p x y '+=的解,带入可得,1122(())(())0y p x y y p x y λμ''+−+=,即()()0q x λμ−=,0λμ−=.又12y y λμ+是方程()()y p x y q x '+=的解,所以有,1122(())(())()y p x y y p x y q x λμ''+++=,可得()()()q x q x λμ+=,1λμ+=.所以12λμ==.故选A . (3)【答案】B .【解答】因为0()g x a =是()g x 的极值,且()g x 可导,所以0()0g x '=.记()()y f g x =,有 ()()()y f g x g x '''=⋅,()[]()2()()()()y f g x g x f g x g x ''''''''=⋅+⋅. 从而00()()0x x y f a g x ='''=⋅=,即0x 是()()f g x 的驻点.又[]02000()()()()()()x x y f a g x f a g x f a g x ='''''''''''=⋅+⋅=⋅,由极值的第二充分条件,当00()()0x x y f a g x ='''''=⋅<时,y 在0x 取极大值,因为0()0g x ''<,所以()0f a '>.故选B . (4)【答案】C . 【解答】因为10()limlim ()ln x x g x x f x x→+∞→+∞==+∞,10()elim lim ()xx x h x g x x →+∞→+∞==+∞,所以,当x 充分大时, ()()()f x g x h x <<.故选C . (5)【答案】A .【解答】因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示,所以1212(,,,)(,,,)r s r r αααβββ,若向量组Ⅰ线性无关,则12(,,,)r r r =ααα,从而1212(,,,)(,,,)r s r r r s =αααβββ,即r s .故选A .(6)【答案】D .【解答】设λ为A 的特征值,因为2+=A A O ,所以20λλ+=,1λ=−或0.因为A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A 相似于对角阵Λ,()()3r r ==A Λ,因此1110−⎛⎫⎪− ⎪= ⎪− ⎪⎝⎭Λ.故选D . (7)【答案】C .【解答】{}{}{}()()11111111101e e 22P X P X P X F F −−==−<=−−=−−=−. 故选C . (8)【答案】A .【解答】221()x f x −=,21,13,()40,x f x ⎧ −⎪=⎨⎪ ⎩其它.利用概率密度的性质,3312100131()d ()d ()d ()d d 2424a a f x x af x x bf x x f x xb x b +∞+∞−∞−∞−∞==+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰,所以234a b +=.故选A .二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)【答案】1−. 【解答】220e d sin d x yxt t x t t +−=⎰⎰, ①两边对x 求导得2()220e(1)sin d sin xx y y t t x x −+'+=+⎰. ②把0x =代入①式,得0y =,把0x =,0y =代入②式,得1y '=−,即d 1d x yx==−.(10)【答案】2π4.【解答】222e ee1ππd πd πarctan(ln )(1ln )4V y x x x x x +∞+∞+∞====+⎰⎰. (11)【答案】31(1)3ep p −.【解答】由收益弹性3d 1d p R p R p =+,整理得2d 1d R p p R p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,解得313e p R Cp =. 代入()11R =,得13e C −=,所以31(1)3()ep R p p −=.(12)【答案】3.【解答】232,62y x ax b y x a '''=++=+. 令0y ''=,得13ax =−=−,所以3a =. 又曲线过点(1,0)−,代入曲线方程,得3b =. (13)【答案】3. 【解答】因为1111111()E −−−−−−−+=+=+=+A BAE B ABB AA B A A B B ,所以11111()3−−−−−+=+=⋅+⋅=A B A A B B A A B B . (14)【答案】22σμ+.【解答】2222221111()()()()n n i i i i ET E X E X E X DX EX n n σμ======+=+∑∑.三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸...指定位置上. (15)(本题满分10分) 解: 11111ln(1)ln(1)lim ln ln ln lim (1)lim eex x x x x xxxxx x x →+∞−−→+∞→+∞−==,其中,1ln 0lim lim ee 1x x xx x x →+∞→+∞===,1112111ln ln(1)1ln 1lim lim lim1ln (1)xxx x x x xx xx x x x xx x x→+∞→+∞→+∞−−−−==−1ln 1ln 1ln limlim1,1ln (e1)x x x xx xx x x x→+∞→+∞−−===−⋅−所以原式1e −=.解:积分区域如图,33223()d d (33)d d DDI x y x y x x y xy y x y =+=+++⎰⎰⎰⎰,根据对称性,13232(3)d d 2(3)d d DD I x xy x y x xy x y =+=+⎰⎰⎰⎰, 其中{}21(,)01,21D x y y y x y =+是D 的上半部分,从而 2111324202091142d 3)d 2(2)d 4415y I yx xy x y y y +=+=−++=⎰⎰⎰.(17)(本题满分10分)解:构造拉格朗日函数222(,,,)2(10)L x y z xy yz x y z λλ=++++−,由 22220,220,220,100.xyzL y x L x z y L y z L x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=+=⎪⎪'=++−=⎩解得可能的最值点有5,2),(1,5,2),(5,2),(1,5,2),(22,0,2),(22,0,2)−−−−−−−−,因为5,2)(1,5,2)55u u =−−−=,(1,5,2)(5,2)55u u −=−−=−,(22,0,2)(22,0,2)0u u −=−=,所以max 55u =,min 55u =−.(18)(本题满分10分)解:(Ⅰ)当01t <时, 令()ln(1)f t t t =−+,有(0)0,'()0f f t =>,所以()0f t >且单调递增,故有0ln(1)t t <+<,所以[]ln ln(1)ln nnt t t t +<.由积分的比较性质,[]11ln ln(1)d ln d nn t t t t t t +<⎰⎰,(1,2,)n = .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知10ln d nn u tt t <<⎰,而1111200011ln d ln d ln d()1(1)nnn t t t t t t t t n n +=−=−=++⎰⎰⎰, 所以,210(1)n u n <<+,又21lim 0(1)n n →∞=+,由夹逼定理,lim 0n n u →∞=.解:(Ⅰ)由积分中值定理,2()d 2()f x x f η=⎰,(0,2)η∈,因为22(0)()d f f x x =⎰,所以(0)()f f η=,(0,2)η∈.(Ⅱ)因为(2)(3)(0)2f f f +=,所以由介值定理,存在[2,3]c ∈,使得()(0)f c f =.从而有 (0)()()f f f c η==.现对()f x 分别在区间[0,]η和[,]c η上应用罗尔定理,得12()()0f f ξξ''==,其中12[0,],[,]c ξηξη∈∈.又()f x 二阶可导,再对()f x 在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理,得()0f ξ''=,其中12(,)(0,3)ξξξ∈⊂.(20)(本题满分11分) 解:(Ⅰ)对增广矩阵进行初等行变换,得211111()010101011110011a a λλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−+⎝⎭⎝⎭A b .当1λ=时,()1,(,)2r r ==A A b ,方程组无解;当1λ=−时,()(,)23r r ==<A A b ,方程组有无穷多解,满足=Ax b 存在两个不同的解的条件,所以1λ=−,2a =−.(Ⅱ)当1λ=−,2a =−时,增广矩阵经初等变换得3101211111()0201010200000000⎛⎫− ⎪−⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭A b ,其导出组的通解为1101k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ,方程组=Ax b 的一个特解为32120⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭η,故通解为32110210k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭x ,k 为任意常数.解:因为Q 的列是A的特征向量,所以设T 1=α是A 的对应于特征值1λ的特征向量,由111λ=A αα,即10141113224011a a λ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪−= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得12,1a λ==−.由14131(4)(2)(5)041λλλλλλλ−−=−=+−−=−E A 得,A 的特征值为1232,5,4λλλ===−.对25λ=,由(5)−=E A x 0,解得A 的对应于25λ=的特征向量为T2(1,1,1)=−α. 对34λ=−,由(4)−−=E A x 0,解得A 的对应于34λ=−的特征向量为T3(1,0,1)=−α.因为A 为实对称矩阵,不同特征值的特征向量相互正交,只需单位化:T T 2323231,1),1,0,1)==−==−ααββαα,则123(,,)0⎪==⎪⎪⎪⎪⎭Q αββ,使T 254⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪−⎝⎭Q AQ Λ.(22)(本题满分11分) 解: 由概率密度的性质,222222()1(,)d d ed de e d d x xy y x y xf x y x y A x y A x y +∞+∞+∞+∞+∞+∞−+−−−−−∞−∞−∞−∞−∞−∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()ed ed()πx y x Ax y x A +∞+∞−−−−∞−∞=−=⎰⎰,所以1πA =. X 的边缘概率密度为222()1()(,)d e e d()πx y x x X f x f x y y y x +∞+∞−−−−−∞−∞==−=⎰⎰,x −∞<<+∞当x −∞<<+∞时,条件概率密度222(,)()()x xy yY XXf x yf y xf x−+−==,y−∞<<+∞.(23)(本题满分11分)解:(Ⅰ)X的所有可能取值为0,1,Y的所有可能取值为0,1,2.{}232610,05CP X YC====,{}11232620,15C CP X YC====,{}10,215P X Y===,{}11132611,05C CP X YC====,{}21,115P X Y===,{}1,20P X Y===.从而(,)X Y的概率分布为(Ⅱ)cov(,)()X Y E XY EX EY=−⋅,21101333EX=⨯+⨯=,2812012515153EY=⨯+⨯+⨯=,22()111515E XY=⨯⨯=,4cov(,)45X Y=−.。
高代10真题 2
2010年招收硕士研究生入学考试试卷一、填空题(每小题,满分30分)1、当t =________,多项式3231x x tx -+-有重根。
2、写出4级行列式所有带有正好并且含有因子23a 的项_______________。
3、设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知123,,ηηη是它的三个解向量,且12(1,2,3,4)ηη'+=,3(2,3,4,5)η'=,该方程组的通解为___________。
4、向量组123,,ααα与向量组12,ββ生成相同子空间⇔______________。
5、实二次型21232121323(,,)242f x x x x x x x x x x =+++的秩、正负惯性指数与符号差为_________。
二、简答题;6、判别二次型222123123121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定。
7、设1V 和2V 分别是齐次线性方程组122...0n x x nx +++=与12...n x x x ===的解空间,证明:数域P 上n 维列空间12n P V V =⊕(1)n >。
8、求矩阵131616576687A ⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭的不变因子、初等因子、若当标准型和有理标准型。
9、求向量组1(1,1,2,1,0)α=-,2(2,2,4,2,0)α=--,3(3,0,6,1,1)α=-,4(0,3,0,0,1)α=的秩,一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。
10、设,A B 为同阶正定矩阵(1)若AB BA =,且A B -为正定矩阵,证明:22A B -也是正定矩阵。
(2)若A B -为正定矩阵,问:22A B -是否一定是正定矩阵? 三、解答题11、,a b 取什么值时,线性方程组1234512345123451234513232337443222x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨++++=⎪⎪+++-=⎩有解?在有解的情形,求一般解。
10-11第1学期开学初线性代数(工)补考试卷
北京工业大学2010-2011学年第1学期开学初线性代数(工) 补考试卷考试方式:闭卷 考试时间:2010年 08月 日 学号 姓名 成绩 注:本试卷共8大题,满分100分. 得分登记(由阅卷教师填写)一. 填空题(每小题3分,共30 分).1. 行列式2122103xx x --的完全展开式中,3x 的系数是2. 设n 阶方阵A 满足:20A A E -+=,E 是n 阶单位矩阵,则A E +可逆,且1()A E -+=3. 设A 是3阶实方阵。
,,2A A E A E --均不可逆。
则行列式2A A E -+=4. 010101010011010011101-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 如果三维列向量组123{,,}ααα和12{,}ββ满足11222312223αββαβαββ=-⎧⎪=-⎨⎪=+⎩,则矩阵()123,,ααα的行列式()123,,ααα= (要求填具体数字)6. 设矩阵13101112202A a -⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎝⎭,B 是3阶非零矩阵,且0AB =,则=a 7. 设A 为5阶方阵。
若秩()2r A =,则齐次线性方程组0AX =的基础解系中含有解向量的个数为8. 设121,1λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值,(1,1,1),(,2,1)T Tt t αβ=-+=- 是分别属于1,1-的特征向量,则t =9. 若矩阵0cos sin sin a b c ed θθθ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交矩阵,且0b <,则1A -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭10. 二次型112323131(,,)512120x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭的正、负惯性指数之和=二. 单项选择题(每小题3分,共15分)。
将正确答案的字母填入括号内。
1. 矩阵 011101110--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 和100020001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的关系是 【 】 (A ) 合同但不相似 (B ) 相似但不合同(C ) 合同而且相似 (D ) 既不合同又不相似2. 若0,1-是实对称矩阵A 的特征值,123,,ααα是A 的属于0的一个特征向量组, 12,ββ是A 的属于1-的一个特征向量组, 则 【 】 (A) 121,,ααβ一定是线性无关向量组 (B ) 12,αβ一定正交 (C ) 121,,ααβ一定是线性相关向量组 (D ) 前三个选项都不正确3. 设n 阶实对称矩阵A 满足90A =(其中9n <),那么,下列陈述中不正确的是 【 】(A ) A 的特征值是零 (B ) 0A ≠(C) A 可以相似对角化 (D ) A E +是可逆矩阵4. 下列陈述中不正确的是 【 】 (A )初等矩阵的行列式都是正数 (B )若实方阵A 的行列式1A <-,则1T A A -≠ (C )有些初等矩阵的逆矩阵是其本身(D )实方阵A 及其伴随矩阵*A 满足*AA A E =5. 如果200001010010010a a ⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪-⎝⎭是实正定矩阵,则 【 】 (A )1a >- (B ) 1a <- (C )1a = (D )a 可以是任何负实数三.(10分)记行列式11011111120813027D --=--的第三列元素位置的代数余子式依次是13233343,,,A A A A 。
2010年真题及答案
设总体 的概率分布为
1
2
3
其中 未知,以 来表示来自总体 的简单随机样本(样本容量为 )中等于 的个数 试求常数 使 为 的无偏估计量,并求 的方差.
考点:无偏估计概念.
解:
典型错误:
①
②
注:
解:(1)
其中矩阵Q的第3列就是属于特征值0的特征向量,记为 .
设 为A的属于特征值1的特征向量.由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的,则
即为属于特征值1的两个标准正交的特征向量.
(2)解法1因A的特征值为1,1,0,所以矩阵A+E的特征值为2,2,1;又A+E为实对称矩阵,故A+E是正定矩阵
解题思路:由非齐次方程组Ax =b存在两个不同的解,则|A | =0,可求得参数,进步可解方程组.
解(1)因为非齐次线性方程组Ax =b有两个不同的解,即解不是唯一的,所以系数行列式
(2)
典型错误:
①部分考生将非齐次方程组Ax =b的特解与齐次方程组Ax =0的非零解弄混.
②还有人得出齐次方程组Ax =0的基础解系包含两个解向量.
为A的特征值, 为其对应的特征向量.由
由此可知只有选项(D)是正确的.
注:本题中“A为实对称矩阵冶的条件是可以不要的,但若取消该条件,题目的难度将加大,
此时,因为证明A相似于对角阵本身不是一个容易的证明题.
(7)设随机变量 的分布函数 则 =
(A)0(B)
(C) (D)
答:(C).
考点:分布函数的性质.
答:6.
考点:本题考查向量空间维数的概念.
解题思路:由向量空间维数的概念可知所给向量组线性相关即可求参数.
2010年考研数学真题及答案
考研数学二真题(2010年)一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1~8小题,每小题8分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。
(1)函数3()sin x x f x nx-=与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小,则()(A )1(B )2(C )3(D )无穷多个(2)当0x →时,()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小,则() (A )11,6a b ==-(B )11,6a b == (C )11,6a b =-=-(D )11,6a b =-= (3)设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点(0,0)() (A )不是(,)f x y 的连续点 (B )不是(,)f x y 的极值点 (C )是(,)f x y 的极大值点(D )是(,)f x y 的极小值点(4)设函数(,)f x y 连续,则222411(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰=()(A )2411(,)ydx f x y dy -⎰⎰(B )241(,)xxdx f x y dy -⎰⎰(C )2411(,)ydx f x y dx -⎰⎰(D )221(,)ydx f x y dx ⎰⎰(5)若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点(1,1)的曲率圆为222x y +=,则()f x 在区间(1,2)内() (A )有极值点,无零点 (B )无极值点,有零点(C )有极值点,有零点(D )无极值点,无零点(6)设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为()(7)设A、B 均为2阶矩阵,,A B **分别为A 、B 的伴随矩阵。
2010高等代数考研真题.856答案
2010年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码: 856 考试科目名称: 高等代数一.(40分)答:1.(D)2.(D)3.(A)4.(D)5.(B)6.(C)7.(B)8.(D)9.(D) 10.(C)二.(20分)证明下列命题:(1). 如果多项式(),()f x g x 不全为零,证明:()((),())f x f xg x 与()((),())g x f x g x 互素。
(2). 证明:0x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是1000()()()0k f x f x fx -'==== 而0()0kf x ≠.答:(1).证: 存在多项式(),()u x v x , 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+. (4分)因而()()()()1((),())((),())f x g x u x v x f x g x f x g x +=. (7分)由定理3,()(),1.((),())((),())()f x g x f x g x f x g x = (10分)(2). 必要性:设0x 是()f x 的k 重根。
那么0x 是()f x '的1k -重根,……,是1()k fx -的1重根,是()k f x 的0重根,即不是()k f x 的根,(3分)所以 1000()()()0k f x f x fx -'==== 而0()0kf x ≠. (5分)充分性:设1000()()()0k f x f x f x -'==== 而0()0kf x ≠. 设0x 是()f x 的l 重根。
由必要性的证明 1000()()()0l f x f x fx -'==== 而0()0lf x ≠. 从而l k =.(10分)三.(15分)已知行列式12114126211214783D --=. 求13233343A A A A +++,其中ij A 是元素ija 的代数余子式。
2010考研数学二真题及答案解析
(20)(本题满分 10 分)
∫∫ 计 算 二 重 积 = 分 I r2 sinθ 1− r2 cos 2θ drdθ D
=D
( r ,θ
)
|
0
≤
r
≤
secθ , 0
≤θ
≤
π 4
.
,其中
(21) (本题满分 10 分)
设函数 f (x) 在闭区间 [0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且 f (0) = 0 , f (1) = 1 ,证
= n2 + j2 )( i 1
1) n+i
∑ ∑ = = lni→m∞ jn1= n2 +n j2 lni= →m∞ 1n jn1 1+ (1 j )2
n
∫1 1
0 1+ y2 dy,
∑ ∑ ∫ = lim n n li= m 1 n 1
= n→∞ i 1= n + i n→∞ n i 1 1 + ( i )
.
(12) 当 0 ≤ θ ≤ π 时,对数螺线 r = eθ 的弧长为
.
(13) 已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加.则当
l = 12cm , w = 5cm 时,它的对角线增加的速率为
.
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A= 3,B= 2, A−1 + B= 2 ,则 A + B−1 =
x ∂z + y ∂z = yF1′ + zF2′ − yF1′ = F2′ ⋅ z = z .
∂x ∂y
F2′
F2′ F2′
∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) n n
2010年高等代数(A)卷参考答案
2010高等代数1(A 卷)参考答案一、填空题 1.n <; 2. 0; 3. 1627-; 4. 0λ≠且3λ≠-; 5. 6,16a b =-= 二、判断题 6.⨯7.⨯8.√9.⨯ 10. √三、单项选择11. (D) 12. (B) 13. (A) 14. (B) 15 (B)四、解答题 16. 解: x+1∴ (f(x),g(x))=x-3 (7分)17. 解:(4分)2131415143r r r r r r r r ---+−−−→3242523r r r r r r +-+−−−→1234511231111133542563157A ααααα⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪----⎝⎭1213141511123021202120636402123ααααααααα⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪---- ⎪ ⎪+⎝⎭12132142152111230212000020000300002αααααααααααα⎛⎫⎪---- ⎪⎪+- ⎪-- ⎪ ⎪++⎝⎭∴12345()2,r α,α,α,α,α=12α,α是它的一个极大无关组, (6分) 且3124125123α=2α-α,α=α+α,α=-2α-α (7分) 18.解:方程组的系数行列式为 (1分)(1) 当2k ≠-且1k ≠ 时,方程组有唯一解; (2分)(2)2k =-时,(3)()3()2R A R A =≠=,此时,方程组无解; (4分)(3)1k =,此时方程组有无穷多解, (6分)通解为 :1212111010,,001k k k k k R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
(7分)19.解:因为A = , 所以A 可逆, (2分)则(3分) 21111(2)(1)11k k k k k=+-111111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2131r r r r --−−−→()()13R A R A n ==<=015153522321≠=1123123x x A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211112121124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭13112412122111r r ↔-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭21212112403360339r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭2132112403360003r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪⎪⎝⎭()123100123100123100123100225010021210018301018301351001018301021210001541211221201005551381010151515412001151515A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∣E =→---→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎪⎪ ⎪→---→ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭31341515151381010151515412001151515⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭即 1231341515151381151515412151515A -⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(6分) 则(7分)20.解: 二次型的矩阵为 (1分)()21311212213113111221122400110110100221100112240211002110042211011201010201010010022110001210001200001r r r r r r c c c c c c r r c A -+++-+←−→←→--⎛⎫- ⎪⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∣E =-−−−→-−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭3111110011001222211110100010022220041111001022c −----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪−−−−→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123231341515151113812015151530412151515x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭021201110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭则非退化线性变换X CY == (6分) 把二次型()123,,f x x x 化222123x x x +- 。
2010年数一试题及答案
ln 2 (1 x )
n
x
dx 的收敛性( D
)
(B)仅与 n 有关 (D)与 m 、 n 都无关
【解】 :显然 x 0, x 1 是两个瑕点,有
1m
ln 2 (1 x)
n
0
x
dx
1 m 2 0
ln 2 (1 x)
n
x
dx 1
1 m
ln 2 (1 x)
n
2
x
dx .
B ) (C) x (D) z
(A) x
(B) z
【解】 等式两边求全微分得: F1 d 即 F1
y z F2 d 0 , x x
xdy ydx xdz zdx F2 0 F1 ( xdy ydx) F2 ( xdz zdx) 0 , 2 x x2
.
【解】令 x t , 原式为
2
0
x cos x dx 2 t 2 cos t dt 2 t 2 sin t | 0 2t sin t dt
0
4 t sin t dt 4 t cos t | 0 cos t dt 4 .
0
0
0
2t t e ln 1 t 2 e t 2 1 2t 1 t t e2 t ln(1 t 2 ) 2 2 t e 1 t e
d2 y 0 2 故 d x t 0 .
(10)
2
0
x cos x dx
4
x
x
x
(a b) x ab (a b) x ab ( a b ) x ab lim 1 lim 1 x ( x a )( x b) x ( x a )( x b)
北京工业大学2010-2013学年数理统计与随机过程(研)试卷
北京⼯业⼤学2010-2013学年数理统计与随机过程(研)试卷北京⼯业⼤学2010-2011学年第⼀学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号姓名成绩注意:试卷共七道⼤题,请写明详细解题过程。
数据结果保留3位⼩数。
考试⽅式:半开卷,考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江⼤学盛骤等编第三版(或第四版)⾼等教育出版社,不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。
考试时允许使⽤计算器。
考试时间120分钟。
考试⽇期:2011年1⽉4⽇1.某茶叶制造商声称其⽣产的⼀种包装茶叶平均每包重量不低于150克,已知茶叶包装重量服从正态分布,现从⼀批包装茶叶中随机抽取100包,经计算得到样本均值为149.7,样本标准差为0.9,试在α=0.01的显著性⽔平上检验该制造商的说法是否可信?2. 某⾷品市场的经理将根据预期到达商店的顾客来决定职员分配数⽬以及收款台的数⽬。
为检验⼯作⽇上午顾客到达数(⽤5分钟时间段内进⼊商店的顾客数来定义)是否服从泊松分布,随机选取了⼀个由3周内⼯作⽇上午的128个5分钟时间段组成通过这些样本,请你帮忙分析到达顾客数服从泊松分布吗?(取显著性⽔平)3.⼀家关于MBA 报考、学习、就业指导的⽹站希望了解国内MBA 毕业⽣的起薪是否与各⾃所学的专业有关,为此,他们在已经在国内商学院毕业并且获得学位的MBA 学⽣中按照专业分别随机抽取了5⼈,调查了他们的起薪情况,数据如下表所⽰(单位:万元),根据这些数据他们能否得出专业对MBA 起薪有影响的结论?(取显著性⽔平050.=α)4.为定义⼀种变量,⽤来描述某种商品的供给量与价格之间的相关关系.⾸先要收集(1)试确定(2)对回归⽅程进⾏显著性检验(α=0.05);(3)当x=20时,求y 的95%的预测区间。
5.6.设{,}n X n T ∈是⼀个齐次马尔可夫链,其状态空间{0,1,2}I =,其⼀步转移概率矩阵为 3104411142431044P ?? ? ?= ? ? ???其初始状态的概率分布为01(0)(),0,1,2,3i i p P X i i ====求:(1)求2{1}P X =;(2)求2{2|1}n n P X X +==;(3)求012{1,2,1}P X X X ===;(4)讨论此链是否具有遍历性,若是遍历的求其极限分布。
2010年考研数学二真题word打印版
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数2221()11x x f x x x-=+-的无穷间断点的个数为( ) ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3(2) 设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解,若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解,21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解,则( )()A 21,21==μλ ()B 21,21-=-=μλ ()C 31,32==μλ ()D 32,32==μλ(3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a =( )()A 4e ()B 3e ()C 2e ()D e(4) 设,m n 为正整数,则反常积分210ln (1)m n x dx x -⎰的收敛性( )()A 仅与m 取值有关 ()B 仅与n 取值有关()C 与,m n 取值都有关 ()D 与,m n 取值都无关(5) 设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z x y x y∂∂+∂∂=( ) ()A x()B z ()C x - ()D z - (6) 2211lim ()()n n n i j n n i n j →∞==++∑∑= ( ) ()A 12001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰ ()B 1001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰()C 11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ ()D 112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ (7) 设向量组12:,,,r I ααα ,可由向量组12II ,,,s βββ :线性表示,下列命题正确的是:( )()A 若向量组I 线性无关,则s r ≤ ()B 若向量组I 线性相关,则r>s()C 若向量组II 线性无关,则s r ≤ ()D 若向量组II 线性相关,则r>s(8) 设A 为4阶实对称矩阵,且20A A +=.若A 的秩为3,则A 相似于( ) ()A 1110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()B 1110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()C 1110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ()D 1110-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 3阶常系数线性齐次微分方程022=-'+''-'''y y y y 的通解y=__________(10) 曲线1223+=x x y 的渐近线方程为_______________ (11) 函数__________)0(0)21ln()(==-=n yn x x y 阶导数处的在 (12) ___________0的弧长为时,对数螺线当θπθe r =≤≤(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加,则当l=12cm,w=5cm 时,它的对角线增加的速率为___________(14) 设A ,B 为3阶矩阵,且__________,2,2,311=+=+==--B A B A B A 则三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 求函数2221()()x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值. (16) (Ⅰ) 比较10ln [ln(1)]n t t dt +⎰与10ln (1,2,)n t t dt n =⎰ 的大小,说明理由;(Ⅱ) 记10ln [ln(1)](1,2,),n n u t t dt n =+=⎰ 求极限lim n n u →∞.(17) 设函数()y f x =由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩,((1)t >-所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)2ψ=,'(1)6ψ=,已知2234(1)y x t ∂=∂+,求函数()t ψ .(18) 一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面的高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m ,质量单位为kg ,油的密度为常数3kg m ρ)(19) 设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂. 确定,a b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20u ξη∂=∂∂. (20) 计算二重积分 22sin 1cos 2D I rr drd θθθ=-⎰⎰,其中(,)0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) 设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且1(0)0,(1)3f f ==, 证明:存在11(0,),(,1)22ξη∈∈,使得22'()'()f f ξηξη+=+. (22) 设1101011A λλλ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,11a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.已知线性方程组 存在2个不同的解, (Ⅰ)求λ,a ;(Ⅱ)求方程组Ax b =的通解. (23) 设0141340A a a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,正交矩阵Q ,使得T Q AQ 为对角矩阵.若的第一列为 T )1,2,1(61,求,a Q .。