第三讲 一维稳态传递过程

壳层衡算法
对动量传递的应用 (2)
5. 根据边界条件积分动量通量微分方程，得 到动量通量的分布表达式。 6. 把牛顿粘性定律代入动量通量的分布表达 式，获得速度的微分方程。 7. 根据边界条件积分速度微分方程，得到速 度分布表达式。 8. 计算相关的物理量，例如最大速度、平均 速度、流量、压力变化、作用于固体表面 的力，等等。
降 膜 流 动 (6)
g cos vz 2
2
积分 (2.2-15)式，得到速度分布式为
x 1
2

(2.2-18)
获得速度分布式是求解动量传递问题的关 键。 基于 (2.2-18) 式，所有其它有关的物理 量都能计算。
§2.2
积分这个常微分方程，得到物理量E的 密度的空间分布表达式。 利用物理量E的密度的空间分布表达式 计算相关的其它物理量。
一维动量传递
For Isothermal Systems with Uniform Composition
壳层衡算法
对动量传递的应用 (1)
建模和求解问题的程序：
1. 2. 3. 4. 选择一个坐标系，使得流体沿着一个坐标 面流动。 构造一个壳层，使其的两个主表面平行于 上述坐标面。 对该壳层写出动量衡算式。 令壳层厚度趋于零，获得动量通量的常微 分方程。
降 膜 流 动 (7)

2 gW cos x 1 dx 2 2 2
质量流量等于
G
W y0 x0

vz dxdy
0
2 gW 3 cos 3
(2.2-22)
流体作用于固体壁面的剪切力为
F
注意：流体作用 于轴上的摩擦力 应该用附录中 (B.1-11) 式 计 算 。
(4)
一维稳态传递过程
For Nonisothermal Systems with uniform composition
内能的局部产生
所谓内能的产生是指其它形式的能量转 化为内能。有许多其它形式的能量可以转化 为内能，例如： • 核能 ( 核裂变或核聚变反应 ) • 化学能 ( 化学反应 ) • 电能 ( 电加热 ) • 电磁能 ( 微波加热 ) • 机械能 ( 耗散功，如摩擦生热 )
壳层衡算法应用于能量传递 §10.3 带有核热源的热传导 (5)
q
(F) r
b 1 3 Sn 0 r r ( F )2 5R 3
( F )3 1 b R Sn 0 2 3 5 r
(10.3-12) (10.3-13)
(C ) qr
在裂变材料区域，热通量沿半径方向 增大；在铝包壳区域，热通量沿半径方向 减小。 将傅里叶定律带入这两个方程，我们 得到了关于温度场的一阶常微分方程组：
§2.3
通过圆管的流动 (3)
r r
zz
来自对流传递的 z-向动量收入
MGC 2rL v r vz r 2rL v r vz 2rrL vz vz
z0
2rrL vz vz
0
来自分子传递的 z-向动量收入
MG M 2rL rz r 2rL rz r r 2rr p zz z 0 2rr p zz z z 2rL rz r 2rL rz r r 2rr p z 0 2rr p z z
x x
Lx W x
yz y
yz
yW
zz z
zz
z L



来自远程传递的动量收益 MGL LW x g cos
§2.2
降 膜 流 动 (4)
xz x x xz x x g cos
壳层衡算法应用于能量传递 §10.3 带有核热源的热传导 (1)
因为几何构型 和物理条件都具有 中心对称性，所以 传递过程必然沿着 球心向外的半径方 向进行。 于是球坐标和 球型壳层是合适的 选择。
壳层衡算法应用于能量传递 §10.3 带有核热源的热传导 (2) • 固体中不存在对流 传递。 • 内能产生的速率 取决于裂变物质 和中子的浓度， 可以表示为半径 的函数。 (F) S 0, r R
根据 B.C.1，积分常数 C1 必须等于零，于是
P0 PL rz r 2L
(2.3-13)
即，z-向动量通量沿管半径方向线性分布，如右上图 所示。
§2.3
通过圆管的流动 (6)
把牛顿粘性定律 ( 附录 B.1) 代入 (2.3-13) 式的左侧 , 获得
dvz P0 PL r dr 2 L
一维稳态传递过程
壳 层 衡 算 法 (1)
对于传递过程仅在一个方向进行的稳态 情况，可以运用壳层衡算法。 考虑一薄层空间区域 (即所谓壳层), 它的两 个主表面垂直于传递的方向，我们可以写 出任一物理量 E 的衡算方程： 来自分子 来自远程 来自对流 传递的 + 传递的 + 传递的 = 0 E 收入 E 收入 E 收入
W y 0 z 0 xz x

L

dvz dzdy y 0 z0 dx
W L
dzdy
x
WL g cos
(2.2-23)
§2.2
降 膜 流 动 (8)
通过与以下实验条件下的观察结果进行比较，检 验上述解的有效性： • Re < 20, 层流，液面涟波可以忽略。 • 20 < Re < 1500 层流，液面涟波明显。 • Re > 1500 湍流。 通过比较发现上述解只对第一种情况有效。 其原因是由于我们假定液膜的上表面是自由表面 边界，且忽略了进出口的端效应。
结果为
P0 PL R4 w 8 L
(2.3-21)
称为 Hagen-Poiseuille 方程。
更多示例： 柱坐标系
通过环隙的流动 参见 §2.4 可采用下述边界 条件求解
B.C.1 vz 0 , at r R B.C.2 vz 0 , at r R
(2)
来自远程传递的 z-向动量收入
MG L 2r rL g
§2.3

通过圆管的流动 (4)
p0 p L r r g L
壳层动量衡算方程简化为
r rz r r r rz r

取 r 趋于零时的极限，获得常微分方程
d r rz dr
壳层衡算法应用于能量传递 §10.3 带有核热源的热传导 (4) 带有一个有限性边界条件
B.C.1 : at r 0, q
(F) r
is finite
(10.3-10)
和一个连续性边界条件
B.C.2 :
at r R( F ) , q r( F ) q r( C )
(10.3-11)
常微分方程组 ( 式 10.3-6, 7) 满足边界条件 (式10.3-10, 11) 的特解给出了热通量沿半径 方向的分布：
p0 pL P0 PL g r r (2.3-10) L L
B.C.1 rz finite , at r 0
带有以下边界条件
§2.3
通过圆管的流动 (5)
积分 (2.3-10) 式得到
C1 P0 PL rz r r 2L
壳层动量衡算方程简化为
对上式取 x 趋于零时的极限，获得常微分方程
d xz g cos dx
边界条件为
(2.2-10)
B.C.1 :
xz x 0 0
(2.2-12)
称为 自由表面 边界条件。
§2.2

降 膜 流 动 (5)
xz g cos x
重新排列上式为
P0 PL dvz r dr 2 L
(2.3-15)
相应的边界条件为
B.C.2: vz 0 , at r R
(2.3-17)
§2.3
通过圆管的流动 (7)
常微分方程(2.3-15) 式对应于边界条件(2.3-17)式的特 解为 2 2 P0 PL R r vz 1 (2.3-18) 4 L R 速度沿管半径 呈抛物分布， 如右图所示。
更多示例： 柱坐标系
(3)
上述方法可推广用于求解下列问题： 习题 2B.7 ，内柱面轴向运动的环隙流动。
采用右侧边 界条件求解。
B.C.1 B.C.2
vz v0 , vz 0 ,
at r R at r R
更多示例： 柱坐标系
习题 3A.2： 滑动轴承 流体沿着圆柱坐 标面周向流动。
§2.3
通过圆管的流动 (8)
在管截面上对流体密度和速度的乘积进 行积分，可得流经圆管的质量流量：
2 2 P P R r 0 L w vz ds 1 rdrd 4 L s 0 r 0 R 2 R
壳 层 衡 算 法 (2)
令壳层的厚度趋于零，应用一阶导数的 定义获得关于物理量E的通量的常微分 方程。 积分这个常微分方程，得到物理量E的 通量的空间分布表达式。 把物理量 E 的通量的分子传递表达式代 入上述分布表达式，获得关于物理量 E 的密度的常微分方程。
壳 层 衡 算 法 (3)
§2.3
通过圆管的流动 (1)
密度和黏度为常数的流体向 下流经一根垂直的圆管。 假定： 1) 层流； 2) 稳态； 3) L>>R 因而在管的中部可 以忽略“端效应”的影响。 于是流动仅沿管道中心线 的方向发生。
§2.3
通过圆管的流动 (2)
对于沿着圆 柱面进行的一维 流动，适于采用 右图所示的圆柱 坐标系和圆柱面 壳层。
§2.2
降 膜 流 动 (1)
考虑斜板的中间部分，在该区域中端效 应的影响可以忽略。
§2.2
降 膜 流 动 (2)
直角坐标系是合适的选择，然后按照上 图所示的方式构造壳层。
§2.2

降 膜 流 动 (3)
MGC LW vx vz x v x vz
来自Байду номын сангаас流传递的动量收益

以及
r 2 S Sn 0 [1 b( ( F ) ) ], r R( F ) R
壳层衡算法应用于能量传递 §10.3 带有核热源的热传导 (3) 壳层衡算方程简化为
(4 r qr ) r (4 r qr ) r r
2 2
1 S4 [r r r ( r ) ( r )3 ] 0 3
壳层衡算法应用于能量传递 §10.3 带有核热源的热传导 (6)
k
(F)
dT b 1 3 Sn 0 r r ( F )2 dr 5R 3
(F)
(10.3-14) (10.3-15)
x x
W x vz vz z vz vz z L 0

Lx v v
y z y
v y vz
yW



来自分子传递的动量收益
MG M LW xz x xz

x x
LW xz x xz
2 2
用 4 r 除以方程的两侧，取 r →0时的 极限，获得一阶常微分方程组
2 d 2 (F) r 2 ( r qr ) Sn 0 1 b ( F ) r dr R
(10.3-6) (10.3-7)
d 2 (C ) ( r qr ) 0 dr
(2.2-13)
积分 (2.2-10)式，得到动量通量分布式为

将牛顿粘性定律代入(2.2-13)式左侧， 获得常微分 方程
dvz g cos dx
边界条件为 B.C.2 :
称为 无滑移 边界条件。
x
(2.2-15) (2.2-17)
vz x 0
§2.2