八年级数学二次根式基础知识
21 初中数学—二次根式基础知识
回过头看一看，根号前面称为数或式，这说明它们是关系。系数，它也是数，它与字母、未知数也是关系。
11，二次根式的加减法
1）把同类二次根式合并就是二次根式的加减法运算。
想一想，整式加减法不就是合并。
2）二次根式加减法运算的步骤：
（2-1）先把各个二次根式化成根式，并找出其中的根式；
（2-2）合并根式。
10，几个二次根式化成二次根式以后，如果相同，则这几个二次
根式就叫做同类二次根式。
根据上面的定义，我们知道：被开方数相同的最简二次根式一定是
，但同类二次根式不一定都是，这是因为同类二次根式的被开方数不一定。
判断一组பைடு நூலகம்次根式是否为同类二次根式，关键是先要准确的，再看化简后的数是否相同，与最简二次根式前面的数或式以及
数。
4，注意：带分数与无理数相乘时，省略了号，就必须把带分数写成数的
形式。如：
乘号不能省略时—— ；乘号省略时—— 。
也就是说，带分数中带数与分数是关系；而二次根式与它的系数是
关系。
5，二次根式的乘法
1）积的算术平方根的性质： ，其中：a、b的条件是：。
积的算术平方根，等于积中各式的的积。
在这个性质中，a、b可以是，也可以是式，但无论怎样a、b都必须满足，才能用此式进行计算化简。否则，等式右边就无，等式也不。
（2-1） 与（2-2） 与
（2-3） 与（2-4） 与
（2-5） 与
3）分母有理化的方法——根据分式的性质，把和都乘以同一个适当的式，使分母不含。
4）注意，二次根式的混合运算的结果是分母不含，也就是要进行分母
。
14，公式 与 =（a）的区别：
=必须有a的条件，否则 无。
八年级数学实数之二次根式知识点总结
一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。
例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。
② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。
③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。
④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。
⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。
⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。
⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。
八年级下册数学二次根式
八年级下册数学二次根式八年级下册数学课程中，二次根式是一个重要的知识点。
在这里，我们将为大家详细介绍二次根式的相关内容，包括定义、性质、简化、运算和应用等方面。
一、定义二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a$是一个非负实数。
其中$\sqrt{a}$是该非负实数的二次根，也就是说，$\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$。
二、性质1. 二次根式的值为非负实数。
2. 二次根式与绝对值的运算具有相同的性质，即$|\sqrt{a}|=\sqrt{a}$。
3. 如果$a>b>0$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$。
4. 如果$a>b\geq0$，则$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
三、简化1. 若$a$为完全平方数，则$\sqrt{a}$可被化简为一个整数。
2. 若$a$为非完全平方数，则$\sqrt{a}$需保留在根号内。
3. 要注意化简后的二次根式是否符合原式。
四、运算1. 加减法：$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}=\sqrt{a\pm2\sqrt{ab}+b}$。
2. 乘法：$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（其中$b$不能为零）。
五、应用二次根式在各个领域中均有广泛应用，例如：1. 数学中的勾股定理、三角函数等概念均涉及二次根式。
2. 物理中常见的速度、加速度、力等量的平方根也是二次根式。
3. 工程领域中还涉及到诸如距离、面积、体积等二次根式的运用。
以上就是关于八年级下册数学二次根式的详细介绍。
希望本文能帮助大家更好地理解这一知识点，提高数学学习成绩。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八年级数学二次根式基础知识点详解
二次根式是数学中的一种特殊形式的根式表达方式，通常是指在根号下的表达式中含有一个变量的平方。
二次根式在数学中非常重要，涉及到数学中许多的基本概念和应用。
下面将详细介绍八年级数学中与二次根式有关的基础知识点。
一、二次根式的定义二次根式是形如√a的表达式，其中a可以是一个正实数，也可以是一个变量的平方。
当a是正实数时，√a表示使x²=a的非负实数x。
例如，√4=2，√9=3当a是变量的平方时，√a表示使x²=a的非负实数x的情况。
例如，√x²=x，√(x+1)²=x+1二、二次根式的化简与提取1.化简二次根式当二次根式内没有可以约分的因子时，可以使用下列公式进行化简：√(a×b)=√a×√b√(a/b)=√a/√b例如，√12可以化简为√4×√3，其中√4=2，因此√12=2√32.提取二次根式当二次根式内有可以提取的因子时，可以使用下列公式进行提取：√(a×a×b)=a√b√(a×a×a×b)=a²√b例如，√(16×5)可以提取为4√5三、二次根式的运算1.二次根式的加减运算当两个二次根式的根号内的表达式一样时，可以进行加减运算。
例如，√5+√5=2√5，√3-√3=0。
2.二次根式的乘法运算两个二次根式相乘时，将根号内的表达式相乘，并进行化简。
例如，√2×√3=√(2×3)=√63.二次根式的除法运算两个二次根式相除时，将根号内的表达式相除，并进行化简。
例如，√8/√2=√(8/2)=√4=2四、二次根式的应用1.二次根式的几何意义二次根式可以用来表示几何中的长度、面积等概念。
例如，一个边长为a的正方形的对角线长度可以表示为√2×a。
2.二次根式的解方程二次根式可以用来解决一些方程问题。
例如，方程x²+3x+2=0的解可以表示为√1和√23.二次根式的化简与提取在一些运算或应用问题中，需要对二次根式进行化简或提取，以便得到更简洁的表达式或结果。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
北师大版八年级上册数学第7讲《二次根式》知识点梳理
a aa baba ÷b aa 2a2a2a2【学习目标】北师大版八年级上册数学第 7 讲《二次根式》知识点梳理1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：≥0，（a≥0），（a≥0），（a≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质1. ≥0，（a≥0）；2. （a≥0）；3. .4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，=(或=÷ b )即（a ≥0，b >0）.要点诠释：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即a = ( a )2(a≥0）.（2）与( a )2 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，( a )2 中a ≥0，中a 为任意值。
② a ≥0 时，( a )2 = =a ；a <0 时，( a )2 无意义，= -a .要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；1 3 - 3 (- 1)23 1- x x -1 x + 2 3 - 2x -32 (-0.3)2 -2 x（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2） 含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1. 当 x 为实数时，下列各式有个. 【答案】 3.x 2 , x 2 -1, x , x 3 , (-x )2, ， ， ， 属二次根式的【解析】 x 2 , x , 这三个式子满足无论 x 取何值，被开方数都大于或等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0．举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.（1） ；（2） ； （3） -A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B.；（4） 3 8 ； （5） ；（6） （ x > 1 ）2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1） y = ； （2）y= － ；【答案与解析】 （1） x -1≥0，所以 x ≥1.3（2） x + 2 ≥0,3 - 2x ≥0,所以-2 ≤x ≤ 2 ； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.A. B. C. D.(-x )2x 2 +1(- 3)2 4 (3.14 -π)2(m +1)2 2 5 【答案】B.类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：-2 ⨯ (1) (2) 【答案与解析】(1)原式=-2 ⨯ =- 3 2 . (2) 原式= 3.14-π=π-3.14 .【总结升华】 二次根式性质的运用.举一反三：【变式】（1）（2） a - 2 - ( = . 2 - a )2 =.【答案】(1) 10； (2) 0.4. （ 2015• 蓬溪县校级模拟） 已知： 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示， 化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上 a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且 b ＞a ，故 a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.举一反三：= m +1,且m <, 【变式】若整数m 满足条件则m 的值是 .【答案】m =0 或m =-1. 3 4 (-2 5 )2 21 5 0.1 15 12 类型三、最简二次根式5. （2016•濉溪县校级月考） 下列根式中，最简二次根式共有 个. 【思路点拨】最简二次根式要满足两个条件（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.【答案与解析】【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1) 被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.举一反三：【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ． D.2【答案】C.。
人教版数学八年级下册：二次根式(含答案)
《二次根式》1．二次根式的概念(1)一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．(2)对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：①二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．②式子a只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．③a(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．④4是二次根式，虽然4＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.分析：因为a为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，a＋10，a2－1不是二次根式．解：|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．【例1－2】x是怎样的实数时，式子x－3在实数范围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子x－3有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子x－3在实数范围内有意义．2．二次根式的性质(1)a(a≥0)是一个非负数．．．a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则a b的值是__________．解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，b＝2.所以a b＝(－3)2＝9.答案：9(2)(a)2＝a(a≥0)由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即(a)2＝a(a≥0)．【例2－2】化简：①(23)2＝__________；②(x －3)2(x ≥3)＝__________.解析：①直接利用公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(23)2＝23；②因为x ≥3，所以x －3≥0，所以由公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(x －3)2＝x －3(x ≥3)．答案：①23②x －3(3)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).由算术平方根的定义，可得a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).a 2＝a (a ≥0)表示非负数a 的平方的算术平方根等于a .【例2－3】计算： (1)(－1.5)2；(2)(a －3)2(a ＜3)；(3)(2x －3)2(x ＜32)．解析：错解正解(1)(－1.5)2＝－1.5；(2)(a －3)2＝a －3； (3)(2x －3)2＝2x －3. (1)(－1.5)2＝|－1.5|＝1.5；(2)(a －3)2＝|a －3|＝3－a (a ＜3)；(3)(2x －3)2＝|2x －3|＝3－2x (x ＜32)．错因剖析：本题对性质(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |应用混淆，需特别注意被开方数是非负数时，a 2＝a (a ≥0).思路分析：根据a 2＝|a |，首先去掉根号，然后利用绝对值的定义求解.(1)(a )2＝a 的前提条件是a ≥0；而a 2＝|a |中的a 为一切实数．(2)a (a ≥0)，|a |，a 2是三个重要的非负数，即a (a ≥0)≥0，|a |≥0，a 2≥0，在解题时应用较多．(3)a 2＝(a )2成立的条件是a ≥0，否则不成立．(4)(a )2＝a (a ≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．(5)在利用a 2进行化简时，要先得出|a |，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．3．求二次根式中被开方数字母的取值范围由二次根式的意义可知，a 的取值范围是：a ≥0.即当a ≥0时，a 有意义，是二次根式；当a ＜0时，a 无意义，不是二次根式．(1)确定形如a 的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子a 有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a (a ≥0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式．【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式． (1)a 2＋b 2； (2)－3x ；(3)12x ； (4)－32－x.分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．解：(1)因为a ，b 为任意实数时，都有a 2＋b 2≥0， 所以当a ，b 为任意实数时，a 2＋b 2是二次根式．(2)－3x ≥0，x ≤0，即当x ≤0时，－3x 是二次根式．(3)12x≥0，且x ≠0，所以x ＞0. 当x ＞0时，12x 是二次根式．(4)－32－x ≥0，故x －2≥0且x －2≠0，所以x ＞2. 当x ＞2时，－32－x 是二次根式． 4．二次根式非负性的应用(1)在实数范围内，我们知道式子a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题．巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式： ①|a |≥0；②a 2≥0；③a ≥0(a ≥0)．【例4－1】已知x ，y 都是实数，且满足y ＝5－x ＋x －5＋3，求x ＋y 的值．分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于x 的不等式组．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －5≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥5，∴x ＝5.当x ＝5时，y ＝5－5＋5－5＋3＝3.∴x ＋y ＝5＋3＝8.两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个式子才能都有意义．【例4－2】已知x ，y 为实数，且y ＝12＋8x －1＋1－8x ，则x ∶y ＝__________.解析：因为y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数．实际上，若a 和－a 都有意义，则a ＝0.即依题意得⎩⎪⎨⎪⎧8x －1≥0，1－8x ≥0.解得x ＝18，于是y ＝12＋0＋0＝12.故x ∶y ＝1∶4.答案：1∶4,5．式子(a )2的意义和运用二次根式的一个性质是：(a )2＝a (a ≥0)．因为2＝(2)2，35＝(35)2，所以上面的性质又可以写成：a ＝(a )2(a ≥0)．可见，利用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．二次根式中的23表示2×3，这与带分数212表示2＋12是不一样的，因此，以后遇到32×3应写成323，而不能写成1123.【例5－1】计算：(1)(23)2；(2)(－212)2；(3)(－5×3)2.解：(1)(23)2＝22×(3)2＝12. (2)(－212)2＝(－2)2×(12)2＝2. (3)(－5×3)2＝(－1)2×(5×3)2＝15.【例5－2】把多项式n 5－6n 3＋9n 在实数范围内分解因式．分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n 5－6n 3＋9n 提取公因式，得n (n 4－6n 2＋9)，再利用完全平方公式分解，得n (n 2－3)2，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成(3)2，再运用平方差公式进行因式分解．解：n 5－6n 3＋9n ＝n (n 4－6n 2＋9)＝n (n 2－3)2＝n (n ＋3)2(n －3)2.6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a |≥0，b ≥0(b ≥0)，c 2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．即：|a |＋b ＝0⇒a ＝0，b ＝0； |a |＋c 2＝0⇒a ＝0，c ＝0； b ＋c 2＝0⇒b ＝0，c ＝0； |a |＋b ＋c 2＝0⇒a ＝0， b ＝0，c ＝0.【例6－1】若|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，则(a ＋b )2 011＝______.解析：|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，∴|a －b ＋1|＋a ＋2b ＋4＝0.而|a －b ＋1|≥0，a ＋2b ＋4≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋1＝0，a ＋2b ＋4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴(a ＋b )2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011. 答案：－32 011【例6－2】若a 2＋b －2＝4a －4，求ab 的值．分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a －2)2＋b －2＝0，由二次根式的性质可知b －2≥0，由完全平方数的意义可知(a －2)2≥0，而它们的和为零，则a －2＝0，b －2＝0，从而可求出a ，b 的值．解：由a 2＋b －2＝4a －4，得a 2－4a ＋4＋b －2＝0，即(a －2)2＋b －2＝0.∵(a －2)2≥0，b －2≥0且(a －2)2＋b －2＝0，∴a －2＝0，b －2＝0，解得a ＝2，b ＝2. ∴ab ＝2，即ab 的值为2.7．二次根式(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |的区别、运用(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．(1)正确理解(a )2与a 2的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道a ≥0(a ≥0)，即a 是一个非负数，a 是非负数a 的算术平方根，那么(a )2就是非负数a 的算术平方根的平方，但只有当a ≥0时，a 才能有意义．对于a 2，则表示a 2的算术平方根，由于a 2中的被开方数是一个完全平方式，所以a 无论取什么值，a 2总是非负数，即a 2总是有意义的．(2)(a )2与a 2的区别和联系区别：①表示的意义不同．(a )2表示非负实数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．(a )2是先求非负实数a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a 2则是先求实数a 的平方，再求a 2的算术平方根．③取值范围不同．在(a )2中，a 只能取非负实数，即a ≥0；而在a 2中，a 可以取一切实数．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤结果不同．(a )2＝a (a ≥0)，而a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＞0)，0(a ＝0)，－a (a ＜0).联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0. ③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2.如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________【例7－1】已知x ＜2，则化简x 2－4x ＋4的结果是( )． A ．x －2 B ．x ＋2 C ．－x －2 D ．2－x 解析：x 2－4x ＋4＝(x －2)2＝(2－x )2，因为x ＜2,2－x ＞0，所以x 2－4x ＋4＝2－x . 答案：D【例7－2】化简1－6x ＋9x 2－(2x －1)2得( )． A ．－5x B ．2－5x C ．x D ．－x解析：错解正解原式＝(1－3x )2－(2x －1)＝(1－3x )－(2x －1)＝2－5x ，故选B. 由2x －1，知2x －1≥0，得x ≥12，从而有3x －1≥0，所以原式＝(1－3x )2－(2x －1)＝(3x －1)2－(2x －1)＝(3x －1)－(2x －1)＝x .故选C. 错因剖析：本题错在忽视了二次根式成立的隐含条件．题目中2x －1有意义，说明隐含了条件2x －1≥0，即x ≥12，可知3x －1≥0.思路分析：本题主要应用二次根式的性质：(1)a 2＝|a |＝()()0,0.a a a a ≥⎧⎪⎨⎪⎩－＜ (2)(a )2＝a (a ≥0) .正确应用二次根式的性质是解决本题的关键. 答案：C【例7－3】若m 满足关系式3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝x －199＋y ·199－x －y ，试确定m 的值．分析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应用，是解决本题的关键．解：由算术平方根的被开方数的非负性，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －199＋y ≥0，199－x －y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥199，x ＋y ≤199.∴x ＋y ＝199. ∴x －199＋y ·199－x －y ＝0. ∴3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝0.再由算术平方根的非负性及两个非负数的和为零，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y －2－m ＝0，2x ＋3y －m ＝0.①②由①－②，得x ＋2y ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝199，x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝396，y ＝－197.∴m ＝2x ＋3y ＝2×396＋3×(－197)＝201.点拨：(1)运用二次根式的定义得出：x ≥a 且x ≤a ，故有x ＝a ，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝0推出a ＝b ＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一．。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
八年级数学二次根式知识点
八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。
1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。
例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。
2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。
即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。
（2）二次根式的值域为非负实数。
即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。
（3）二次根式可以转化为分数形式。
即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。
3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。
（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。
八年级数学二次根式
3、商的算术平方根的性质
a a (a 0,b 0) bb
4、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
例3、计算
(1) 40 45
(2)3 m6n5 5 m4n2
5、最简二次根式的两个条件：
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式；
（2）四边形ABCD的面积。 C
D
A
B
； https:///gushiyaowen/ 今日股市 ；
乎の.还好,林师兄安排了一辆车接她们,车里冷气充足,不一会儿身上便舒爽了.“外边好热.”“昨天更厉害,有人在路边煎鸡蛋和虾子全熟了！”司机笑着说.搭乘两位,而且脾气不错の样子,心境超好.“不会吧？”陆羽吓了一跳,她好久没这种感受了,果然还是山里好,房子必须往山里找.“哎, 没关系,以后你们出入提前跟我说,车里有冷气不算太热.林先生叮嘱过我了,公交车不到金梧国际让我随时等你们电筒.”意思是包车了.第176部分金梧国际是一个度假别墅区,都是独栋の,仅两层,林辰溪偶尔过来住几天.这里环境优雅美观,而且居住の人群文化素质高,够稳定.就是交通不大便 利,得自己有车才行.林师兄家の车库有车,奈何她俩没驾照只能望车兴叹.外边の车进不去,那司机仅到大门口便停下了.幸亏两人行李不多,各拉一个箱子而已.陆羽带着婷玉来到小区门口报出门号,其中一个门卫拿着门卡核对两人の胡集,一个在录指模和脸.林辰溪估计给门卫传了她们の胡集照 片,门卡一早制好就等刷脸录指模了.一切办妥之后,她们进去坐门卫の巡逻车抵达林师兄の度假屋前.看得陆羽目瞪口呆,亏他还说是一栋度假屋,她一直以为度假屋是国外那种精致木屋之类.原来是一栋别墅,奢华程度不必细说,建有铁栏围墙,院里林木浓密.小区里每栋别墅相距稍远,周围环境 清幽,空气怡人.门
数学八年级下册二次根式
数学八年级下册二次根式
一、二次根式的定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的式子，其中a叫做二次根式的被开方数。
二、二次根式的性质
1. 偶次根式的被开方数可取一切正数，因此二次根式是双钩性质的体现。
2. 当二次根式中的被开方数小于0时无意义，说明开偶次方时，要求底数非负。
三、二次根式的运算
1. 乘法运算：二次根式相乘（除），把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行相加或相乘。
2. 加法运算：几个二次根式合并成一项时，需要把被开方数相同的二次根式进行合并。
四、二次根式的应用
1. 求实际问题的解：在解决实际问题时，需要把实际问题转化为数学问题，再利用二次根式进行求解。
2. 判断近似值是否合理：在进行近似计算时，需要利用二次根式对结果进行判断，看是否符合实际要求。
总之，二次根式是数学中的一个重要概念，它具有广泛的应用，需要我们熟练掌握其定义、性质和运算。
(八年级数学教案)二次根式的知识点总结
二次根式的知识点总结八年级数学教案【知识回顾】1.二次根式:式子( ≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式:必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质:(1)( )2= ( ≥0); (2)5.二次根式的运算:(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,•变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.= ? (a≥0,b≥0); (b≥0,a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1) ,其中是二次根式的是_________(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) ;(2)例3、在根式1) ,最简二次根式是( )A.1) 2)B.3) 4)C.1) 3)D.1) 4)例4、已知:例5、(2009____(省、市、区、县))已知数a,b,若=b-a,则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内,得( )A. ;B. - ;C. - ;D.。
八年级下册数学二次根式的定义和性质
二次根式的定义和性质讲学：●二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数。
两个特点：二次根号，非负性（非负性包括被开方数和开方结果）判断二次根式：1.有二次根号2.被开方数可以确定非负（包括转化为非负形式）1.有意义必须满足_________2.当满足什么条件时下列式子有意义。
●二次根式的性质：1.非负性：是一个非负数．2.3.公式与区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，的范围是一切实数．（2）表示一个数的算术平方根的平方，的范围是非负数．（3）和的运算结果都是非负的．4.把根号外的因式移入根号内：1判断根号外的因式的符号；2留下符号；3平方后与被开方数相乘计算：因式分解：考练：【例1】下列各式，，，，，，其中是二次根式的是?【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．【例3】若则=【例4】若则= ．【例5】化简：的结果为（）A、B、0 C、D、4【例6】已知,则化简的结果是【例7】如果表示两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（）A、B、C、D、【例8】如果，那么的取值范围是（）o b aA、B、C、或D、【例9】化简二次根式的结果是( )课后作业：二次根式的定义：1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2.在中是二次根式的个数有______个3.使代数式有意义的的取值范围是（）A、>3B、≥3C、>4 D 、≥3且≠44.使代数式有意义的的取值范围是5.如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点（，）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限6.若，则的值为（）A、－1B、1C、2D、37.若都是实数，且，求的值8.当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。
9.二次根式的性质：10.若，则的值为。
11. 已知 为实数，且 ，则 的值为（ ）A 、3B 、– 3C 、1D 、– 112. 已知直角三角形两边 的长满足 ，则第三边长为______________.13. 若 与 互为相反数，则14. 在实数范围内分解因式: = ； =15. 化简：16. 根式 的值是( )A 、-3B 、3或-3C 、3D 、917. 已知 ，那么 可化简为（ ）A ．B ．C ．D ．18. 若 ，则 等于（ ）A 、B 、C 、D 、19. 若 ，则化简 的结果是（ ）A 、－1B 、1C 、D 、20. 化简 得（ ）A 、2B 、C 、-2D 、21. 当 且 时，化简 ＝ ．22. 已知 ，化简求值：23. 实数 在数轴上的位置如图所示： 化简： ． 24. 如果 成立，那么实数 的取值范围是________________25. 若 ，则 的取值范围是____________。
初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式的基础知识点包括以下内容：
1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a（a≥0）的数，其中a被称为根式的被开方数。
2. 二次根式的化简：化简二次根式的方法为把根号内的被开方数分解成互素的因子，然后把每个因子的二次根式提取出来。
3. 二次根式的运算：二次根式之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
运算法则如下：
- 加减法：只有当二次根式内的被开方数完全相同时，才可以进行加减法运算。
- 乘法：将二次根式的因子分别相乘，然后化简。
- 除法：将二次根式的被除数与除数进行有理化，即将分母有理化为整数，然后进行除法运算。
4. 二次根式的合并：合并二次根式是把其中相同根号内的被开方数合并在一起。
- 合并加减法：只有相同根号内的被开方数相同，才能进行合并加减法运算。
- 合并乘法：将二次根式的因子合并后再进行乘法运算。
5. 二次根式的定义域：二次根式的定义域是指使得根式有意义的实数集合。
对于二次根式来说，被开方数必须为非负实数，即定义域是非负实数集合[0,+∞)。
6. 二次根式的性质：二次根式具有以下性质：
- 非负性：二次根式的值大于等于0。
- 单调性：二次根式的值随着被开方数的增大而增大。
- 零点：当被开方数为0时，二次根式的值为0。
- 消去：二次根式的分子分母同时乘以相同的数，二次根式的值不变。
以上是初中数学二次根式的基础知识点，掌握了这些知识，可以进行二次根式的化简、运算和合并等操作。
二次根式(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题2.17二次根式（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】二次根式相关概念与性质1.二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，如3、7、等式子，都叫做二次根式.要点说明：0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点说明：（1）一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论aa ，再根据绝对值的意义来进行化简.2的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，与=【知识点2】二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =⨯≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点说明：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合(13=+-【考点一】二次根式的概念和性质①二次根式相关概念➽➼二次根式及取值范围【例1】使代数式4x -有意义的x 的取值范围是（）A ．4x ≠B ．3x ≥C ．3x ≥且4x ≠D ．4x ≥【答案】C【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件列不等式组解答即可．解：∵代数式y =有意义，∴3040x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：3x ≥且4x ≠，故选C ．【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【举一反三】【变式1】2得（）A ．2B ．﹣4x+4C ．xD ．5x ﹣2【答案】C【分析】根据二次函数的性质求解可得答案.解： 1-3x≥0,x≤13,∴2x-1≤1-3＜0,∴原式-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,故选C.【点拨】主要考查了根据二次根式的意义及化简.:当a ＞0时=a;当a<0时,二次根式2=a,(a≥0).【变式2】下列说法正确的是（）A.BC=D 的化简结果是2-【答案】B【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简逐项分析判断即可．解：=C.在0a ≥，0b >=2，原说法错误；故选：B ．【点拨】本题考查了最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简，熟练掌握基础知识是解题的关键．②二次根式相关概念➽➼复合二次根式的化简【例2】如果a =b =）A ．a b =B ．a b >C ．a b<D ．1ab =【答案】A【分析】先把b 分母有理化，再比较．解：∵b =，a =∴a b =．故选：A ．【点拨】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键．【举一反三】【变式1】比较大小错误的是（）A B 21C6D ．|11【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．解：A 、由于5<7B 2<6+2=8，而121，故正确；C 、由于5>-，则775622--->=-，故正确；D 、由于11=，故11>错误．故选：D【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式2】x 3a =没有实数根，那么a 的取值范围是．【答案】3a >．3a -，根据方程没有实数根可得30a -<，解不等式即可．3a =3a -，0，∴3a -没有实数根，即30a -<，3a ∴>，故答案为：3a >．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a 的取值范围．③二次根式相关概念➽➼最简二次根式★★同类二次根式【例3】阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一==.根据以上材料解决【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可.【点拨】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目.【举一反三】【变式1】a 的值是．【答案】3【分析】根据同类二次根式的定义得到215a -=，据此求解即可．∴215a -=，∴3a =，故答案为：3．【点拨】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出215a -=是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．【变式2】=．【答案】22【分析】分子，分母同时乘以有理化因式2，计算即可．(22222+=2=，故答案为：2【点拨】本题考查了二次根式的分母有理化，准确找出有理化因式是解题的关键．④二次根式相关概念➽➼分母有理化【例4】【答案】>的大小关系．解：220=+220=+>2020∴++∴故答案为：>．【点拨】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0>>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【举一反三】【变式1】若实数a b 、满足2a =，求a b +的平方根．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性求出a 、b 的值，根据平方根的概念解答．解：∵4040b b -≥⎧⎨-≥⎩，∴44b b ≥⎧⎨≤⎩，∴4b =，把4b =代入上式得2a =，∴246a b +=+=，∴a b +的平方根为．【点拨】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b 的值是关键．【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +=，==（a b >）．．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42，再判断是选择加法还是减法．解： 13,42m n ∴==67=13,67=42+⨯∴原式===【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．【考点二】二次根式大小比较【例5】n 是同类二次根式．求m 2+n 2的值．【答案】11【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得m 2、n 2，再代入求值即可；解：由题意得：2232410m m -=-，28m =，212n -=，23n =，28m =，23n =∴m 2+n 2＝8+3＝11；【点拨】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【举一反三】【变式1】这样的式子，还需做进一步的化简，这种方法叫分母有理化．=①==②21111-====，③参照③【分析】仿照题意进行分母有理化即可．=22-==．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确理解题意是解题的关键．【变式2】比较大小：①52+【答案】①＜；②＜【分析】①利用作差法比较大小即可；②利用分子有理化即可比较大小．解：①(5－(2=3-∵3<∴3-＜0∴5-2+故答案为：＜；==+<故答案为：＜．【点拨】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键．【考点三】二次根式的的运算【例6】计算：(2)011)(2)+-【答案】(1)4(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可（1（2）011)(2)+-+-=2113=-+-=53=-4=+2=【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．【举一反三】【变式1】计算：(2)．【答案】(1)0；(2)10【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可；（2）先将二次根式化为最简，然后进行乘除运算即可．（1）解：原式=-（2）解：原式2=⨯0=．3=÷310=⨯【点拨】本题考查了二次根式的加减乘除运算．解题的关键在于正确的化简计算．【变式2】计算：(1)(2))()2111-+-．【答案】(1)2(2)17-【分析】（1）直接利用二次根式的性质及化简，二次根式的乘法及除法，最后算加减法；（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加减法．（1）解：（2）解：)()2111+-+-=314181=--+-2=17=-．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例7】计算题(1)()101 3.1423π-⎛⎫---+-⎪⎝⎭(2)⎛+⨯ ⎝【答案】(1)4-；(2)10【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；（2）根据二次根式的运算求解即可．（1）解：()101 3.1423π-⎛⎫---+-⎪⎝⎭(2231242=--+-(22=-4=-；（2）解：⎛-⨯ ⎝41254=⨯⨯10=+10=【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【举一反三】【变式1】计算：（102)；（22【答案】（1）2；（2）【分析】（1）先根据二次根式的基本性质以及二次根式的除法法则、零指数幂法则化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的基本性质化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．解：（1）原式11=（2）原式=2=；=【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．也考查了零指数幂法则．【变式2】计算：092+【答案】11-【分析】先根据零指数幂的意义，二次根式的乘法和除法法则，以及去括号法则化简，再算加减即可．解：原式=912⨯+92132=++-+-11=-．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【例8】已知2x =，求代数式2(7(2x x +++的值．【答案】2+【分析】根据x 的值，可以求得22(27x ==-解：∵2x =，∴22(27x =-=-∴2(7(2x x ++++(7(2=+-+++222272=-+-+11=++2=【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．【举一反三】【变式1】已知：y 5【答案】x y -，-4【分析】根据二次根式有意义的条件得到x =4，则y =5，再利用约分得到原式+后通分得到原式x 、y 的值代入计算即可．解：∵x -4≥0且4-x ≥0，∴x =4，∴y =5，=x y -，=45-，=-4．【点拨】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．【变式2】先化简再求值：21b =．【答案】【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出a 、b ，最后代入计算即可．解：∵1b =+，∴20a -≥，20a -≥，∴2a =，∴11b ==，原式132b a b b a=+ ==当2a =，1b =时，原式2==【点拨】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式．。
八年级上册数学“二次根式”知识点
1.⼆次根式：式⼦(≥0)叫做⼆次根式。
2.最简⼆次根式：
(1)最简⼆次根式的定义：①被开⽅数是整数，因式是整式;②被开⽅数中不含能开得尽⽅的数或因式;③分母中不含根式。
(2)最简⼆次根式必须同时满⾜下列条件：
①被开⽅数中不含开⽅开的尽的因数或因式;
②被开⽅数中不含分母;
③分母中不含根式。
3.同类⼆次根式(可合并根式)：
⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式后，如果被开⽅数相同，这⼏个⼆次根式就叫做同类⼆次根式，即可以合并的'两个根式。
4.⼆次根式的性质
(1)⾮负性：是⼀个⾮负数.
注意：此性质可作公式记住，后⾯根式运算中经常⽤到.
(2).
注意：此性质既可正⽤，也可反⽤，反⽤的意义在于，可以把任意⼀个⾮负数或⾮负代数式写成完全平⽅的形式：
(3)
注意：①字母不⼀定是正数.
②能开得尽⽅的因式移到根号外时，必须⽤它的算术平⽅根代替.
③可移到根号内的因式，必须是⾮负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.
(4)公式与的区别与联系：
①表⽰求⼀个数的平⽅的算术根，a的范围是⼀切实数.
②表⽰⼀个数的算术平⽅根的平⽅，a的范围是⾮负数.
③和的运算结果都是⾮负的.
【⼋年级上册数学“⼆次根式”知识点】。
八年级数学二次根式
二次根式 最简二次根式 同类二次根式
a 0 (a 0)
二
( a a (a 0)
次 根
性质
( a2 a
式
ab a b (a 0,b 0)
a a bb
(a 0,b 0)
a b ab(a 0,b 0)
(2) a )2 a(a 0)
a(a 0)
(3) a2 a 0(a 0)
a(a 0)
注：若 a2 a 则 a 0 ; 若 a2 a 则 a 0;
2.二次根式的性质(2)：
(4) ab ab(a 0,b 0)
(5) a a(a 0 b 0)
b
b
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则 a b ab (a 0 , b 0)
二次根式除法法则 a a (a 0 , b 0) bb
解得 x 4,y 8
x y 4 (8) 4 8 12
2.已知x,y为实数,且
x 1 3( y 2)2 0 ,则 x y 的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
题型3:化简
把下列二次根化为最简二次根式(1) 48(2) 3 2
(3) 3 3 5
(3)(3 48 4 27 ) 2 3
(4) 12( 75 3 1 48) 3
(5) 20 5 1 12
5
3
（6)( 3 2)( 3 2)( 2 3)2
（ 7 ） ( 3-2）2010×（2+ 3 ）2010
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概念
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1
课题： 二次根式 教学方法： 逐项讲解，提问回答
教学 掌握二次根式的计算与基本性质 目标 重点难点 重点： 理解二次根式的计算、性质 难点： 运用性质进行变形与化简 作业
课前检测
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_____________________________
教 学 过 程
二次根式
【知识要点】
必杀技：要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数． 1． 二次根式的主要性质： ①⎩
⎨
⎧<-≥==00
2a a a a a a ； ②
()
a a =2
(),0≥a ；
③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ④
()0,0>≥=
=b a b ab
b
a b a ； ⑤
(
)(
)
b a b
a b
a b
a b a b
a --=
-+-=
+1； ⑥b a b a b
a -+=
-1． A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式 最简二次根式的条件：
①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号
B 、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式
C 、乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab
D 、除法公式：
)0,0______(>≥=b a b
a
；反之：)0,0______(>≥=b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m
【典型例题】
例1．x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
2
教 学 过 程
（1）1+x ； （2）23-x ； （3）123+x ； （4）x
231
-．
例2．若a a ---33有意义，则a 的值为______________．
例3．若2
2)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是________________．
例4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2
-+-x x ．
例5.数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简222
)()1()1(b a b a ---+
+．
例题剖析
例1、乘法运算
（1）)169()25(-⨯- （2）1527⨯ （3）228n m （4）a a 122
5
32⋅
- 解析：被开方数的各因数都是非负数才能应用公式)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a 解：（1）;651351692516925)169()25(=⨯=⨯=⨯=-⨯-
（2）5959535315272
44=⨯=⨯=⨯=⨯
（3）222)2(2)2(8222
2mn mn mn n m =⋅=⋅=
（4）a a a a a a 303651232
521225322-=-=⋅⨯-=⋅
- 延伸：几个非负因数的积的算术平方根，等于这几个非负因数的算术平方根的积，即：
)0,...,0,0(......≥≥≥⋅⋅⋅=n b a n b a n ab 反之也成立，即： )0,...,0,0(......≥≥≥=⋅⋅⋅n b a n ab n b a
例2：除法运算
3
（1）3
54
- （2）531513÷ （3）921.15004.0⨯⨯ （4）2
294a b 解：（1）
2323183543
542-=⨯-=-=-=-
（2）25
8
516531513
=÷=÷ （3）
23310
2533231.1502.09
21.15004.0921.15004.02=⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯
（4）a b
a
b a b 3294942222==
例3：加减混合运算 （1）483
2315
311312--+ （2）
x
x x x 1246932-+ 解：（1）原式0343433
8
3343232=-=--
+= （2）原式x x x x 3232=-+=
二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，一般步骤为：
化简→分类→合并
典型例题
例1、计算：
（1）ab ab ab b a ÷+-)3(33，其中0,0>>b a （2）3
12)22(28+
+- （3）32)2
1
45051183(÷-+
（4）20)21()23(3
632918-+-++--
4
【变式练习】 计算： 6、27
3
48612421-
+-； (2))312218(21812-+--
(3)a ab a b ab a 4
3
22763232
+-，其中0>ab
(4)3
3)2321418(÷---
例6、化简：9
81
......321211++++++．
例7巧算二次根式
（1）22)2332()2332(--+ （2）20012002)56()56(+⨯-
【挑战自我】
5
1、计算：（1）3
233
521
54++
-+
- （2）
1
5551
3331
222---
--+
--
【课堂练习】
1．如果03332
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++y x ，那么()=2005xy ． 2．已知y x ,的实数，2
1
4422-+-+-=x x x y ，则y x 43+的值为 ．
3．化简下列各式： （1）()()()44322
>--
-a a a （2）()()
23352
2
-+--
-
4．已知23-=a ，求12
1232---++a a
a a a 的值． 5．计算：n
n 2221
......861641421+-+++++++．(n 为正整数，且n ≠1)
【贴近中考】
6
1. (2011 江苏省南京市) 计算()()2122+-=___________．
2. (2011 江苏省扬州市) 计算：82-=_______________．
3. (2011 内蒙古包头市) 化简二次根式：1
271223
-
--等于_________
4. (2011 青海省) 计算：18232+-＝___________．
5. (2011 山东省菏泽市) 实数a 在数轴上的位置如图所示，则
22(4)(11)a a -+-化简后为（ ）
A. 7
B. -7
C. 2a -15
D. 无法确定
6. (2011 山东省济宁市) 下列各式计算正确的是（ ）
A ．
235+= Ｂ．2222+= Ｃ．3
2222-= Ｄ．
1210
652
-=-
7. (2011 山东省聊城市) 化简：205-=_____________. 8. (2011 山东省临沂市) 计算11
2
6823
-+的结果是（ ） A ．3223- Ｂ．52- C ．53- D ．22
课 一、学生对于本次课的评价
后 ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 评 二、教师评定学生本次上课情况评价：
价 ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
签 课前审核： 家长签字:
字 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日
0 5 a 10。