备考2020年高考物理 专题1.12 动力学中的临界极值问题精准突破(含解析)

专题1.12 动力学中的临界极值问题

【专题诠释】

1．临界或极值条件的标志

(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点．

(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态．

(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点．

(4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度．

2．几种临界状态和其对应的临界条件

【高考领航】

【2019·江苏高考】如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：

(1)A被敲击后获得的初速度大小v A；

(2)在左边缘再次对齐的前、后，B 运动加速度的大小a B 、a B ′； (3)B 被敲击后获得的初速度大小v B 。

【答案】 (1)2μgL (2)3μg μg (3)22μgL 【解析】 A 、B 的运动过程如图所示：

(1)A 被敲击后，B 静止，A 向右运动，由牛顿第二定律知，A 的加速度大小a A ＝μg

A 在

B 上滑动时有2a A L ＝v 2A

解得：v A ＝2μgL 。 (2)设A 、B 的质量均为m

对齐前，A 相对B 滑动，B 所受合外力大小

F ＝μmg ＋2μmg ＝3μmg

由牛顿第二定律得F ＝ma B ，得a B ＝3μg

对齐后，A 、B 相对静止，整体所受合外力大小F ′＝2μmg 由牛顿第二定律得F ′＝2ma B ′，得a B ′＝μg 。

(3)设B 被敲击后，经过时间t ，A 、B 达到共同速度v ，位移分别为x A 、x B ，A 的加速度大小等于a A 则v ＝a A t ，v ＝v B －a B t

x A ＝1

2a A t 2，x B ＝v B t －12

a B t 2

且x B －x A ＝L

解得：v B ＝22μgL 。

【2012·重庆理综】某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为x .比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a 的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v 0时，再以v 0做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾

角为θ0，如图所示．设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m ，重力加速度为g .

(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数k ；

(2)求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v 变化的关系式；

(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v 0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r 的下边沿掉落，求β应满足的条件． 【答案】见解析

【解析】 (1)在匀速运动阶段，有mg tan θ0＝kv 0 得k ＝mgtan θ0v 0

.

(2)加速阶段，设球拍对球的支持力为F′N ，有

F′N sin θ－kv ＝ma F′N cos θ＝mg

得tan θ＝a g ＋v v 0

tan θ0.

(3)以速度v 0匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F ，有

F ＝

mg

cos θ

球拍倾角为θ0＋β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a ′，有F sin β＝ma ′

设匀速跑阶段所用时间为t ，有t ＝x v 0－v 0

2a

球不从球拍上掉落的条件12a ′t 2

≤r

得sin β≤

2r cos θ

g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x v 0－v 02a 2.

【方法技巧】．

处理临界问题的三种方法

【最新考向解码】

【例1】(2019·安徽宣城高三上学期期末)质量为m ＝1 kg 、大小不计的物块，在水平桌面上向右运动，经过O 点时速度为v ＝4 m/s ，此时对物块施加F ＝6 N 的方向向左的拉力，一段时间后撤去拉力，物块刚好能回到O 点。已知与桌面间动摩擦因数为μ＝0.2，重力加速度g ＝10 m/s 2

。求：

(1)此过程中物块到O 点的最远距离； (2)撤去F 时物块到O 点的距离。 【答案】 (1)1 m (2)2

3

m

【解析】 (1)物块向右做匀减速运动时，设物块向左的加速度大小为a 1，物块与O 点的最远距离为x 1， 则有F ＋μmg ＝ma 1 解得a 1＝8 m/s 2

； 由v 2

＝2a 1x 1， 可得x 1＝1 m 。

(2)物块向左运动过程中，有力F 作用时做匀加速运动，设加速度大小为a 2，最大速度大小为v 1，加速位移大小为x 2，撤去拉力F 后做匀减速运动，设加速度大小为a 3，减速位移大小为x 3，则有

F －μmg ＝ma 2，解得a 2＝4 m/s 2

μmg ＝ma 3，解得a 3＝2 m/s 2

由v 2

1＝2a 2x 2

v 21＝2a 3x 3