2015届高考数学一轮复习课时跟踪检测41 空间几何体的表面积与体积文湘教版

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高考数学一轮复习学案：空间几何体的表面积与体积(含答案)

高考数学一轮复习学案：空间几何体的表面积与体积（含答案）8.2空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积最新考纲考情考向分析了解球.棱柱.棱锥.棱台的表面积和体积的计算公式.本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征.三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.1多面体的表面积.侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱.圆锥.圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧r1r2l3.柱.锥.台.球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体棱柱和圆柱S表面积S侧2S底VSh锥体棱锥和圆锥S表面积S侧S 底V13Sh台体棱台和圆台S表面积S侧S上S下V13S上S下S上S下h球S4R2V43R3知识拓展1与体积有关的几个结论1一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差2底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切.接常用结论1正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R3a；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2R2a.2若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2Ra2b2c2.3正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1多面体的表面积等于各个面的面积之和2锥体的体积等于底面积与高之积3球的体积之比等于半径比的平方4简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差5长方体既有外接球又有内切球6圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.题组二教材改编2P27T1已知圆锥的表面积等于12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A1cmB2cmC3cmD.32cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3P28A组T3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________答案147解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1131212a12b12c148abc，剩下的几何体的体积V2abc148abc4748abc，所以V1V2147.题组三易错自纠4xx西安一中月考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A3B4C24D34答案D解析由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为22212121243.5xx全国体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A12B.323C8D4答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4R22R212，故选A.6xx大连调研如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________答案11解析由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥132383，V半球124323163，所以V剩余V半球V圆锥83，故剩余部分与挖去部分的体积之比为11.题型一求空间几何体的表面积1xx全国如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是A17B18C20D28答案A解析由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球被过球心O 且互相垂直的三个平面切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和由43R31843R3283，得球的半径R2.则得S784223142217，故选A.2xx黑龙江哈师大附中一模已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.73B.172C13D.173102答案C解析由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示则CC平面ABC，上.下底均为等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，AB2，AB22.棱台的上底面面积为121112，下底面面积为12222，梯形ACCA的面积为121223，梯形BCCB的面积为121223，过A作ADAC 于点D，过D作DEAB，则ADCC2，DE为ABC斜边高的12，DE22，AEAD2DE232，梯形ABBA的面积为122223292，几何体的表面积S122339213，故选C.思维升华空间几何体表面积的求法1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用题型二求空间几何体的体积命题点1以三视图为背景的几何体的体积典例xx浙江某几何体的三视图如图所示单位cm，则该几何体的体积单位cm3是A.21B.23C.321D.323答案A解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，该几何体体积为V1312123131222321.命题点2求简单几何体的体积典例xx广州调研已知E，F 分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1B1EDF的体积为________答案16a3解析方法一如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1HB1D于点H.因为EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF平面B1EDF，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离易知平面B1D1D平面B1EDF，又平面B1D1D平面B1EDFB1D，所以O1H平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1B1EDF的高因为B1O1HB1DD1，所以O1HB1O1DD1B1D66a.所以11CBEDFV131BEDFS四边形O1H1312EFB1DO1H13122a3a66a16a3.方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D12a.由题意得，11111CBEDFBCEFDCEFVVV四棱锥三棱锥三棱锥131CEFSh1h216a3.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略1若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体.锥体或台体，则可直接利用公式进行求解2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法.分割法.补形法等方法进行求解3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练1xx新乡二模已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323B.163C.83D.43答案C解析该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，VV柱V锥1211121312111283，故选C.2如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为A.23B.33C.43D.32答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF12，AGGDBHHC32，取AD 的中点O，连接GO，易得GO22，SAGDSBHC1222124，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC132412224123.故选A.题型三与球有关的切.接问题典例xx全国在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V 的最大值是A4D.323答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为92.引申探究1若将本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球体对角线BC1的长为球O的直径因此2R324212213.故S球4R2169.2若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，4r222r2，解得r94，则球O的体积V球43r34394324316.思维升华空间几何体与球接.切问题的求解方法1求解球与棱柱.棱锥的接.切问题时，一般过球心及接.切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接.切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解2若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解跟踪训练xx深圳调研如图所示，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD2，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为C.23D2答案A解析如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD2，所以AE22，EO12.所以OA32.在RtBDC中，OBOCOD12BC32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O，半径为32.所以该球的体积V4332332.三视图基本的.和球联系的考点分析三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积.体积等知识，所涉及的几何体既包括柱.锥.台.球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体典例1已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于A.1603B160C64322D60解析由题意知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，如图所示，其中直三棱柱的高为844，故V直三棱柱8432，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥13164643，故该几何体的体积VV直三棱柱V四棱锥326431603，故选A.答案A典例2某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为________解析如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为32，所以该组合体的体积V131221321144313343.答案343。

高考数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第八章立体几何课时跟踪训练41含解析

课时跟踪训练(四十一)[基础巩固]一、选择题1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是()A．8 B．20＋8 2C．16 D．24＋8 2[解析]由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，其侧棱为4，故其表面积S表＝2×4＋2×4＋22×4＋12×2×2×2＝20＋8 2.[答案] B2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A.312B.34C.612D.64[解析] V B 1－ABC 1＝V C 1－ABB 1＝13×12×1×1×32＝312. [答案] A3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 ( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛[解析] 米堆的体积为14×13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫8×42π2×5＝3203π.将π＝3代入上式，得体积为3209立方尺．从而这堆米约有3209×1.62≈22(斛)．[答案] B4．(2017·河北唐山二模)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )A ．24－πB ．24－3πC ．24＋πD ．24－2π[解析] 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方18球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π，故选A.[答案] A5．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3[解析] 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A.[答案] A6．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16[解析] 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为(2＋4)×22×2＝12，故选B. [答案] B 二、填空题7．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析] 由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3.设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，所以这个球的体积为4π3R 3＝4π3×278＝9π2.[答案] 9π28．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．[解析] 该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，(半)球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为2、2、1，∴该几何体的表面积为：S ＝16＋12×4π×12－π×12＝16＋π.[答案] 16＋π9．(2017·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．[解析] 由三视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分别为2,1,1，其体积V 1＝2×1×1＝2；两个14圆柱合起来就是圆柱的一半，圆柱的底面半径r ＝1，高h ＝1，故其体积V 2＝12×π×12×1＝π2.故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝2＋π2. [答案] 2＋π2 三、解答题10．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．[解]由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V＝V圆台－V圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.[能力提升]11．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36π B．64π C．144π D．256π[解析]如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△OAB＝12R2，要使V O－ABC＝13·S△OAB·h最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且(V O－ABC )max＝13×12R2×R＝16R3＝36，此时R＝6，所以球O的表面积为S球＝4πR2＝144π.故选C.[答案] C12．(2017·重庆诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.332 B ．2 3 C.532 D ．3 3[解析] 该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体ABB 1DC 1C ，其体积是底边边长为2的等边三角形，高为3的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A －A 1C 1D 的体积，即33－13×3×32＝532.[答案] C13．(2017·河南南阳一中四模)球O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，AB ＝2，E ，F 分别为棱AD ，CC 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．[解析]设EF与球面交于M，N两点，因为AB＝2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，所以EF＝6，OE＝OF＝2，取EF中点O′，则O′F＝62，所以OO′＝(2)2－⎝⎛⎭⎪⎫622＝22.由球O为正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，可得ON＝1，由勾股定理得O′N＝2 2，故MN＝ 2.所以直线EF被球O截得的线段长为 2.[答案] 214．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2，P A＝PC＝22，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是__________．[解析]由已知得，△P AD，△PDC，△P AB，△PBC都是直角三角形．设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP ，易知V P －ABCD ＝V O －ABCD ＋V O －P AD ＋V O －P AB ＋V O －PBC ＋V O －PCD ，即13×22×2＝13×22×R ＋13×12×22×R ＋13×12×22×2×R ＋13×12×22×2×R ＋13×12×22×R ，解得R ＝2－2，所以此球的最大半径是2－2.[答案] 2－ 215．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，△ABC 为等边三角形，AA ′⊥平面ABC ，AB ＝3，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC ′到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)三棱锥C －MNP 的体积．[解] (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如下图，设PC ＝x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2.∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又∵NC ∥AM ，故PC P A ＝NC AM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.(3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M －PCN 中，M 到面PCN 的距离，即h ＝32×3＝332.∴V C －MNP ＝V M －PCN ＝13·h ·S △PCN ＝13×332×45＝235.16．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ADC 是正三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．[解] (1)证明：取AC 的中点O ，连接BO 、DO ，如图所示．因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD .(2)连接EO .由(1)及题设知，∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO .在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.[延伸拓展](2017·安徽蚌埠一模)如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( )A.22＋12B.62＋12C.32D.32＋12[解析] 蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.因为鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ＝1－14＝32，而截面到底面的距离即为三角形的高12，所以球心到底面的距离为32＋12.[答案] D合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

2015届高考数学一轮复习课时跟踪检测40 空间几何体的结构特征及三视图与直观图文湘教版

课时跟踪检测(四十)空间几何体的结构特征及三视图与直观图
第Ⅰ组：全员必做题
1.(2014·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为()
2．三视图如图所示的几何体是()
A．三棱锥B．四棱锥
C．四棱台D．三棱台
3．(2013·郑州模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()
2．解：(1)直观图如图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，
∴侧视图中VA＝＝2，
11.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的__________．(填入所有可能的图形前的编号)
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．
12.(2013·合肥检测)已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为________cm2.
A．4 cm2B．4cm2
C．8 cm2D．8cm2
6．(2014·江西九校联考)如图，三棱锥VABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为，则其侧视图的面积为()
A.B.
C.D.
7．如图所示，三棱锥PABC的底面ABC是直角三角形，直角边长AB＝3，AC＝4，过直角顶点的侧棱PA⊥平面ABC，且PA＝5，则该三棱锥的正视图是()
4．给出下列四个命题：
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()
A．0B．1

2015高考数学一轮导学案：空间几何体的表面积和体积

第二节空间几何体的表面积和体积【考纲下载】了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．2．多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平，分别得到什么图形？提示：分别得到矩形、扇形、扇环．1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 ( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π解析：选C 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，即a ＝2. 故该正方体的内切球的半径r ＝1，所以该正方体的内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.2．直角三角形两直角边AB ＝3，AC ＝4，以AB 为轴旋转一周所得的几何体的体积为( )A ．12πB ．16πC ．9πD ．24π解析：选B 以AB 为轴旋转一周所得到的几何体为圆锥，且底面圆的半径为4，圆锥的高为3.故体积V ＝13×π×42×3＝16π.3. (2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是 ( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 4．(2013·陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析：该几何体是底面圆半经为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V ＝12×13×(π×12)×2＝π3.答案：π35．(2013·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为2，高为4的圆柱中间挖去一个底面边长为2，高为4的正四棱柱后剩下的部分，所以其体积为π×22×4－22×4＝16π－16.答案：16π－16[典例] (2013·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240[解题指导] 将三视图还原为几何体，然后再选用相关公式求解．[解析] 由三视图可得该几何体是直四棱柱，其底面为上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，棱柱高为10，如图所示，故体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200.[答案] C某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：选A 该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12π×22×4＝16＋8π.考点一空间几何体的表面积[例1] (1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[自主解答] (1)该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P 在底面上的投影D 在棱AB 上，且∠ABC ＝90°，据正、俯视图知，AD ＝2，BD ＝3，PD ＝4，据侧视图知，BC ＝4.综上所述，可知BC ⊥平面P AB ， PB ＝PD 2＋BD 2＝5，PC ＝BC 2＋PB 2＝16＋25＝41， AC ＝AB 2＋BC 2＝41， P A ＝PD 2＋AD 2＝2 5. ∵PC ＝AC ＝41，∴△P AC 的边P A 上的高为h ＝ PC 2－⎝⎛⎭⎫P A 22＝6.∴S △P AB ＝12AB ·PD ＝10，S △ABC ＝12AB ·BC ＝10，S △PBC ＝12PB ·BC ＝10，S △APC ＝12P A ·h ＝6 5.故三棱锥的表面积为S △P AB ＋S △ABC ＋S △PBC ＋S △APC ＝30＋6 5. (2)该几何体的直观图如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱．∴S 表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38. [答案] (1)B (2)38 【方法规律】空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )A ．372B ．360C ．292D ．280解析：选B 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属容易题．2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积． [例2]（1）(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3 (2)(2012·江苏高考)如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.[自主解答] (1)根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，则几何体的体积V ＝6×6×3－13×12×4×4×3＝100 cm 3.(2)由题意，四边形ABCD 为正方形，连接AC ，交BD 于O ，则AC ⊥BD .由面面垂直的性质定理，可证AO ⊥平面BB 1D 1D .四棱锥底面BB 1D 1D 的面积为32×2＝62，从而VA -BB 1D 1D ＝13×OA ×S 长方形BB 1D 1D ＝6.[答案] (1)B (2)6空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．1．(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163D ．6解析：选B 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π解析：选A 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为62＝3，母线长为2，故V ＝10×4×5＋1π×32×2＝200＋9π.[例3] (2014·沈阳模拟)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310[自主解答] 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝ ⎝⎛⎭⎫522＋62＝132. [答案] C 【互动探究】侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的外接球半径是多少？解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－⎝⎛⎭⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.【方法规律】与球有关的组合体的类型及解法(1)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．(2)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A 设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2)cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3cm 3.——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1种思想——转化与化归思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2种方法——割补法与等积法(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．2个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.[全盘巩固]1．设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 1S 2的值等于( )A.2πB.6πC.π6D.π2解析：选D 设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S 1S 2＝4πR 26×⎝⎛⎭⎫233R 2＝π2.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.16B.13C.23D ．1 解析：选B 根据该三视图可知，该几何体是三棱锥，V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×2＝13. 3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A ．24－3π2B ．24－π3C ．24－πD ．24－π2解析：选A 据三视图可得该几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.4．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎫95－π2cm 2B.⎝⎛⎭⎫94－π2cm 2 C.⎝⎛⎭⎫94＋π2cm 2 D.⎝⎛⎭⎫95＋π2cm 2 解析：选C 该几何体的上下部分为长方体，中间部分为圆柱．S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2. 5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．163C ．24 3D ．48 3 解析：选D 如图设球的半径R ，由43πR 3＝323π，得R ＝2. ∴正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝4 3.∴V ＝34×(43)2×4＝48 3.6．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是( )A ．24 cm 2 B.643cm 2C ．(6＋25＋22)cm 2D ．(24＋85＋82)cm 2 解析：选D 如图所示，依题意可知四棱锥P -ABCD 是此几何体的直观图，在四棱锥P - ABCD 中，平面P AB 与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是正方形，△P AD ≌△PBC ，△P AB 是等腰三角形，设M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，连接PM 、PN 、MN ，由题知PM ＝AB ＝4，MN ＝4，则PN ＝42，故此几何体的表面积为S ＝S 正方形ABCD ＋S △P AB ＋2S △PBC ＋S △PCD ＝4×4＋12×4×4＋2×12×4×25＋12×4×42＝(24＋85＋82)cm 2. 7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．解析：如图所示，设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝13R .由勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1，故R 2＝1＋⎝⎛⎭⎫13R 2，即R 2＝98. 由球的表面积公式，得S ＝4πR 2＝9π2.答案：9π28．(2014·杭州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．解析：据三视图可知该几何体为四棱锥，其中底面为正方形，对角线长为10，四棱锥的高为5，故侧面高为h ′＝52＋⎝⎛⎭⎫5222＝562，因此表面积S ＝12×4×52×562＋12×10×10＝50(1＋3)．答案：50(1＋3)9．一个几何体的三视图如图所示，其中的长度单位为cm ，则该几何体的体积为________cm 3.解析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面直角梯形的上底为4 cm ，下底为5 cm ，高为3 cm ，四棱柱的高为4 cm ，所以该几何体的体积为4＋52×3×4＝54 cm 3.答案：5410.如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1-B 1EDF 的体积．解：连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1-B 1EDF ＝VB 1-C 1EF ＋VD -C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. 11．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形，所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.12.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F -ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式．(2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ，∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0<x <2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·F A ＝23x 4－x 2(0<x <2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－(x 2－2)2＋4. ∵0<x <2，∴0<x 2<4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43. [冲击名校]1．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22解析：选A 由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 的底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍．所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍．在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63，故V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26. [高频滚动]1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选C侧视图是从图形的左边向右边看，看到一个矩形的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线，故选C.2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直．若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为()A．1 B. 2 C. 3 D．2解析：选C在四棱锥P-ABCD中，连接AC，由正视图和侧视图可得PC＝BC＝CD＝1，故AC＝2，最长的棱为P A＝PC2＋AC2＝ 3.。

2015届高考数学(文)第一轮复习达标课时跟踪检测：7-2 空间几何体的表面积和体积含答案

[A 组基础演练·能力提升]一、选择题1.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )A.11π2B.11π2＋6C ．11πD.11π2＋3 3解析：这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，高为3，母线长是2，其表面积是两个半圆、圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故S ＝12π×12＋12π×22＋12π(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3. 答案：D2．(2013年高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603 B.5803C ．200D ．240解析：由三视图可得该几何体是上、下底面均为矩形，左、右侧面均为等腰梯形的多面体，如图所示，故体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200.答案：C3.(2013年高考广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163D ．6解析：由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.答案：B4.已知正三棱锥P －ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A ．4πB ．12π C.16π3D.64π3解析：由主视图得到正三棱锥的侧棱长为4，由俯视图得到正三棱锥的底面是边长为23的正三角形，所以正三棱锥的高为23，所以外接球的半径为433，所以外接球的表面积为643π，故选D.答案：D5.(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12×22π×4＝16＋8π，选择A.答案：A6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．32B ．18C ．16D ．10解析：由三视图可知直观图如图所示，则该几何体可以看成正方体沿着某顶点削去了一半，所以体积为12×43＝32.答案：A 二、填空题7.(2013年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为半径r ＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S ＝πr 2＋2πr 2＝3π.答案：3π8．将边长为a 的正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的体积为________．解析：该几何体是正方体截去两个全等的三棱锥剩下的部分，所以其体积V ＝a 3－2(13×S△A 1B 1D 1×AA 1)＝23a 3.答案：23a 39．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为________．解析：根据三视图可以画出直观图(如图所示)，其中SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，SA ＝2，设AB ＝AC ＝x ，外接球的半径为r ，由题意可知，22＋2x 2＝2r ＝4，∴x ＝6，所以三棱锥的体积为13×12×6×6×2＝2.答案：2 三、解答题10.(2014年郑州检测)一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的表面积S .解析：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形，S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.11.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．解析：过PA 与球心O 作截面PAE 与平面PCB 交于PE ，与平面ABC 交于AE ，因△ABC 是正三角形，易知AE 即是△ABC 中BC 边上的高，又是BC 边上的中线，作为正三棱锥的高PD 通过球心，且D 是三角形△ABC 的重心，据此根据底面边长为26，即可算出DE ＝13AE ＝13×32×26＝2，PE ＝1＋22＝3，由△POF ∽△PED ，知r DE＝1－rPE，∴r2＝1－r3，r ＝6－2. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝3×12×26×3＋34×(26)2＝92＋6 3.12．(能力提升)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．解析：(1)证明：在图1中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)由(1)可知BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2， ∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，42 3.由等体积性可知几何体D－ABC的体积为。

山东省2015高考数学(理)总复习课时限时检测40空间几何体的表面积与体积 Word版含解析

课时限时检测(四十) 空间几何体的表面积与体积(时间：60分钟满分：80分)命题报告1．如图7－2－12，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )图7－2－12A.π4B.π2C.2π2D.2π4【解析】此几何体是底面半径为12，母线长为1的圆锥，其侧面积S ＝πrl ＝π×12×1＝π2.【答案】 B2．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )A.72π B ．56π C ．14π D ．64π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，令球的半径为R ，则(2R )2＝22＋12＋32＝14， ∴R 2＝72， ∴S 球＝4πR 2＝14π. 【答案】 C3．(2014·淄博一中期中)如图7－2－13，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯高图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为( )图7－2－13A ．2 3 B. 3 C ．2 2 D ．4【解析】观察三视图可知，该几何体是正三棱柱，底面边长、高均为2，所以，其侧视图是一个矩形，边长分别为2,2sin 60°＝3，其面积为23，选A.【答案】 A4．如图7－2－14所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1—ABC 1的体积为( )图7－2－14A.312B.34C.612D.64【解析】在△ABC 中，BC 边长的高为32，即棱锥A —BB 1C 1上的高为32，又S △BB 1C 1＝12，∴VB 1—ABC 1＝VA —BB 1C 1＝13×32×12＝312. 【答案】 A5．点A 、B 、C 、D 在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝6，则该球的体积为( )A ．323πB ．48πC ．643πD ．163π【解析】由题意知，球心O 到△ABC 的中心O ′的距离为3，即OO ′＝12AD ＝3，AO ′＝23×32×3＝3，∴OA ＝32＋3＝23， ∴V 球＝43π×(23)3＝323π. 【答案】 A6．(2013·湖北高考)一个几何体的三视图如图7－2－15所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )图7－2－15A ．V 1<V 2<V 4<V 3B ．V 1<V 3<V 2<V 4C ．V 2<V 1<V 3<V 4D ．V 2<V 3<V 1<V 4【解析】由三视图可知，四个几何体自上而下依次是：圆台、圆柱、正方体、棱台，其体积分别为V 1＝13×1×(π＋2π＋4π)＝73π，V 2＝π×12×2＝2π，V 3＝23＝8，V 4＝13×1×(4＋8＋16)＝283，于是有V 2<V 1<V 3<V 4.【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图7－2－16所示，则该几何体的表面积为________．图7－2－16【解析】根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S ＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.【答案】 38 8．(2013·福建高考)图7－2－17已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图7－2－17所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．【解析】由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R ，则2R ＝23，∴R ＝ 3.∴S 球表＝4πR 2＝4π×3＝12π. 【答案】 12π9．圆锥的全面积为15π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为________cm 3.【解析】设底面圆的半径为r ，母线长为a ，则侧面积为12×(2πr )a ＝πra .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧πra ＋πr 2＝15π，πra ＝16πa 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝157，a 2＝36×157，故圆锥的高h ＝a 2－r 2＝53，所以体积为V ＝13πr 2h＝13π×157×53＝2537π(cm 3)．【答案】 2573π三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．【解】在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE 、AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，∴BE ＝6，在Rt △BEE 1中， BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23， ∴2R ＝23，则R ＝3，∴球的体积V 球＝43πR 3＝43π，球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.11．(12分)如图7－2－18，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．图7－2－18(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．【解】 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．图7－2－1912．(13分)如图7－2－19，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F —ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．【解】 (1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ， ∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)， ∴S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·F A ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2 ＝23－(x 2－2)2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.。

2015年高考数学一轮复习课时训练第2节空间几何体的表面积和体积

第2节空间几何体的表面积和体积课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥体积是( B )(A)8 (B)(C)4 (D)解析:由题意可以得到原四棱锥的底面正方形的边长为2,四棱锥的高为2,体积为V=×4×2=,故选B.2.(2013陕西宝鸡市模拟)若一个底面是等腰直角三角形(C为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于( A )(A)1 (B)(C)(D)解析:由正视图知,该三棱柱的底面两直角边的长为,高为1,所以该三棱柱的体积V=×××1=1.故选A.3.(2013西安联考)某个容器的三视图中正视图与侧视图相同,如图所示,则这个容器的容积(不计容器材料的厚度)为( B )(A)π(B)π(C)π(D)π解析:由三视图知,原几何体为圆锥和圆柱的组合体,其中圆锥和圆柱的底面半径为1,圆柱的高为2,圆锥的高为1,所以这个容器的容积为V=π×12×2+×π×12×1=,故选B.4.(2013兰州市诊断测试)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( C )(A) (B)8-(C)8-(D)8-2π解析:由三视图知,几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,所以该几何体的体积为V=23-×π×12×2=8-,故选C.5.(2012年高考广东卷)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公式可得组合体的体积为30π,故选C.6.(2013梅州市高三质检)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球表面积为( A )(A)29π(B)30π(C)π(D)216π解析:如图,由题中三视图知三棱锥直观图为D1ACD.其中D1D,AD,DC两两垂直,则其外接球直径2R==.则外接球表面积为S=4π·2=29π,故选A.二、填空题7.(2013年高考江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥F ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2= .解析:==··=×××=.答案:1∶248.(2013天津市一中月考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图可知几何体是一个圆柱体由平面截后剩余的一部分,并且可知该几何体是一个高为6,底面半径为1的圆柱体的一半,则知所求几何体体积为×π×12×6=3π.答案:3π9.(2013山西师大附中模拟)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为,一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为.解析:由三视图知,该几何体是由两个完全相同的正四棱锥组合在一起的.因为正视图、侧视图都是面积为,一个内角为60°的菱形,所以菱形的边长为1,即正四棱锥的底面边长为1,侧面的斜高为1. 因此,这个几何体的表面积为S=×1×1×8=4.答案:410.(2013广东六校第三次联考)有一个各棱长均为1的正四棱锥,想用一张正方形包装纸将其完全包住,不能剪裁,可以折叠,那么包装纸的最小面积为.解析:这是一个折叠与展开的问题,将展开平铺后的正四棱锥放在正方形的纸上,当正四棱锥的顶点和正方形的顶点重合(如图所示)时,纸的面积最小.此时,设正方形的边长为a,由余弦定理a2=12+12-2cos 150°=2+,2=2+.故S答案:2+三、解答题11.如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q A1D1P的组合体.由PA=,A1D1=AD=2,可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×+2××()2=22+4(cm2),体积V=23+×()2×2=10(cm3).12.(2013山东潍坊期末)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,求该球的表面积.解:如图所示该几何体的直观图是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥C1ABCD.其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,=2R,则球的直径为AC所以球的半径为R=2,所以球的表面积是4πR2=4π×(2)2=48π.13.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,由已知条件解得r=,l=4,S=πrl+πr2=10π,h==,V=πr2h=.B组14.(2013大连市一模)一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92 m2,则h等于( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,几何体的表面积是2××4+(2+4+5+)h=92,即16h=64,解得h=4.故选C.15.(2013潍坊市一模)已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球O的表面积为.解析:圆柱的底面直径与母线长均为2,所以球的直径===2,即球半径为,所以球的表面积为4π×()2=8π.答案:8π16.(2013安徽黄山三校联考)如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).(1)求证:EF⊥A′C;(2)求三棱锥F A′BC的体积.(1)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,∴EF⊥AC,在四棱锥A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,又A′C⊂平面A′EC,∴EF⊥A′C.(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,∴S △FBC =BC ·EC=4,∵A ′O ⊥平面BCEF,∴A ′O ⊥EC,又∵O 为EC 的中点,∴△A ′EC 为正三角形,边长为2, ∴A ′O=, ∴==S △FBC ·A ′O=×4×=.。

2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：7.2空间几何体的表面积和体积

• 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积圆柱 S 侧＝2πrh
体积 V＝Sh＝πr2h 1 1 2 V＝3Sh＝3πr h 1 2 2 2 ＝ πr l －r 3
圆锥
S 侧＝πrl
1 V＝ (S 上＋S 下＋ 3 圆台 S 侧＝π(r1＋r2)l S上S下)h 1 2 2 ＝3π(r1＋r2＋r1r2)h 直棱柱正棱锥 S 侧＝Ch′ 1 S 侧＝2Ch′ (h′为斜高) V＝Sh 1 V＝ Sh 3
• 题型二空间几何体的体积 • (2013·湖北)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 • ( )
• A．V1＜V2＜V4＜V3 • C．V2＜V1＜V3＜V4
(2)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图)，由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm，点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度． AC＝ AB2＋BC2＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm. 【答案】 (1)A (2)5π
正棱台
1 S 侧＝2(C＋C′)h′ S 球面＝4πR
2
1 V＝3(S 上＋S 下＋ S上S下)h 4 3 V＝3πR
球
•
• • •
• 对点演练 (1)(教材改编)一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 • ( ) A．8π B．6π C．4π D．π 答案：C
(2)(教材改编)如图所示，在棱长为 4 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 是 A1B1 上一点，且 1 PB1＝4A1B1，则多面体 P－BCC1B1 的体积为________． 1 1 16 2 解析：VP－BCC1B1＝3SBCC1B1· PB1＝3×4 ×1＝ 3 . 16 答案： 3

2015届高考数学一轮复习课时跟踪检测42 空间点、直线、平面之间的位置关系文湘教版

课时跟踪检测(四十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系第Ⅰ组：全员必做题1．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( )A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．一定垂直2．(2014·聊城模拟)对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线3．(2013·广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013·新乡月考)已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( )A ．与a ，b 都相交B ．只能与a ，b 中的一条相交C ．至少与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 都平行5．若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则( )A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面6.(2014·三亚模拟)如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( ) A.36 B ．－36 C.33 D ．－337.(2013·沧州模拟)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C．90°D．120°8．(2013·临沂模拟)过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条9．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．11．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．(第11题图)(第12题图)12．如上图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．第Ⅱ组：重点选做题1．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．2．(2013·许昌调研)如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？答案第Ⅰ组：全员必做题1．选D ∵a ⊥b ，b ∥c ，∴a ⊥c .2．选C 不论l ∥α，l ⊂α还是l 与α相交，α内都有直线m 使得m ⊥l .3．选A 若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．4．选C 若c 与a ，b 都不相交，则c 与a ，b 都平行，根据公理4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．5．选B 对于A ，若正确，则l ∥m ，这与已知矛盾，由此排除A ；对于B ，由于l 和m 有且只有一条公垂线a ，而过P 有且只有一条直线与直线a 平行，故B 正确；易知C 、D 不正确．6.选A 延长CD 至H .使DH ＝1，连接HG 、HF 、则HF ∥AD .HF ＝DA ＝8，GF ＝6，HG ＝10.∴cos ∠HFG ＝8＋6－102×6×8＝36. 7．选B 连接AB1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C ，B 1C 与BC 1交于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ，故所求的两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.8．选D 如图，连接体对角线AC 1，显然AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC ，BA ，BB 1所成的角都相等，∵BB 1∥AA 1，BC ∥AD ，∴体对角线BD 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C ，DB 1也与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1，A 1C ，DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．9．解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有5条．答案：510．解析：还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .答案：②③④11．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：312．解析：∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC .∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB ′CC ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA .在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°.答案：30°第Ⅱ组：重点选做题1．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.2．解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF 綊BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．。

高考数学一轮复习教学案空间几何体的表面积和体积

第二节空间几何体的表面积和体积[知识能否忆起]柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱 S 侧＝2πrl V ＝Sh ＝πr 2h圆锥S 侧＝πrlV ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)lV ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝Ch V ＝Sh 正棱锥 S 侧＝12Ch ′V ＝13Sh正棱台 S 侧＝12(C ＋C ′)h ′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h球 S 球面＝4πR 2V ＝43πR 3[小题能否全取]1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的全面积是( )A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于22a ， ∴S 全＝34a 2＋3×12×⎝⎛⎭⎫22a 2＝3＋34a 2. 2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．12πB ．36πC ．72πD ．108π解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为 (32)2－⎝⎛⎭⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为( )A ．24B ．80C ．64D ．240解析：选B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V ＝13×8×6×5＝80.4．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，则πrl ＋πr 2＝3π，πl ＝2πr . 解得r ＝1，即直径为2. 答案：25.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．答案：2(π＋3)1.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．2．求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．几何体的表面积典题导入[例1](·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[自主解答]由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5.所以其表面积为2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.[答案]92由题悟法1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．以题试法1．(·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为( )A.3 B ．2 3 C ．43 D ．4解析：选D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×⎝⎛⎭⎫12×1×1＝4.几何体的体积典题导入[例2] (1)(·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π(2)(·山东高考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．[自主解答] (1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.V ＝V 半球＋V 圆锥＝12·43π·33＋13·π·32·4＝30π.(2)VA －DED 1＝VE －ADD 1＝13×S △ADD 1×CD ＝13×12×1＝16.[答案] (1)C (2)16本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为________．解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×32×4－13π×32×4＝24π.答案：24π由题悟法1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．以题试法2．(1)(·长春调研)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，且PD 垂直于底面ABCD ，N 为PB 中点，则三棱锥P －ANC 与四棱锥P －ABCD 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶8解析：选C 设正方形ABCD 面积为S ，PD ＝h ，则体积比为13Sh －13·12S ·12h －13·12Sh 13Sh ＝14.(·浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )A ．32B ．24C ．8D.323解析：选B 此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S ＝9＋2×12×3×1＝12，所以几何体体积V ＝12×2＝24.与球有关的几何体的表面积与体积问题典题导入[例3] (·新课标全国卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B.36C.23D.22[自主解答] 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63，∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.[答案] A由题悟法1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．2．记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②正方体的内切球，则2R ＝a ； ③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.以题试法3．(1)(·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．23π B.8π3 C ．4 3D.16π3(2)(·潍坊模拟)如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示．其中侧面DBC ⊥底面ABC ，取BC 的中点O 1，连接AO 1，DO 1知DO 1⊥底面ABC 且DO 1＝3，AO 1＝1，BO 1＝O 1C ＝1.在Rt △ABO 1和Rt △ACO 1中，AB ＝AC ＝2，又∵BC ＝2，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为底面ABC 外接圆的直径，O 1为圆心，又∵DO 1⊥底面ABC ，∴球心在DO 1上，即△BCD 的外接圆为球大圆，设球半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，∴R ＝23. ∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫232＝16π3.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62. 故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案：(1)D (2)6π1．(·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )A ．8 B.83 C ．4D.43解析：选D 将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V ＝13S 正方形ABCD ×P A ＝13×12×2×2×2＝43. 2．(·山西模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为( )A.51 B ．351 C ．251D ．651解析：选A 依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥O －ABCD 的高等于42－⎝⎛⎭⎫1232＋222＝512，所以棱锥O －ABCD 的体积等于13×(3×2)×512＝51. 3．(·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4π B.154π C ．5πD.174π 解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π. 4．(·济南模拟)用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )A ．24B ．23C ．22D ．21解析：选C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.5． (·江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4解析：选D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2×12×2×1＝4，所以该几何体的体积为4×1＝4.6.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值解析：选D 因为V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×4＝163，故三棱锥A ′－EFQ 的体积与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值．7．(·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案：268．(·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为3，体积为33π.答案：33π 9．(·郑州模拟)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π.答案：43π10．(·江西八校模拟)如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(1)求证：面ABEF ⊥平面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积．解：设原正六边形中，AC ∩BE ＝O ，DF ∩BE ＝O ′，由正六边形的几何性质可知OA ＝OC ＝3，AC ⊥BE ，DF ⊥BE .(1)证明：在五面体ABCDE 中，OA 2＋OC 2＝6＝AC 2， ∴OA ⊥OC ，又OA ⊥OB ，∴OA ⊥平面BCDE .∵OA ⊂平面ABEF ， ∴平面ABEF ⊥平面BCDE .(2)由BE ⊥OA ，BE ⊥OC 知BE ⊥平面AOC ，同理BE ⊥平面FO ′D ，∴平面AOC ∥平面FO ′D ，故AOC －FO ′D 是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B －AOC 和E －FO ′D 为大小相同的三棱锥，∴V ABCDEF ＝2V B －AOC ＋V AOC －FO ′D ＝2×13×12×(3)2×1＋12×(3)2×2＝4.11．(·大同质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面P AD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求三棱锥A －PBC 的体积．解：(1)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2，所以BF 綊CD . 所以四边形BCDF 为平行四边形．所以DF ∥BC .在△P AB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，所以EF ∥PB . 又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ，所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC . (2)取AD 的中点O ，连接PO . 在△P AD 中，P A ＝PD ＝AD ＝2，所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3.又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2， AB ⊥AD ，所以S △ABC ＝12×AB ×AD ＝12×4×2＝4.故三棱锥A －PBC 的体积V A －PBC ＝V P －ABC ＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝433.12．(·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，故该几何体是直三棱柱，其体积V＝S△ABC·BB1＝12×1×3×3＝3 2.(2)证明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C.因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1.而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.1．(·潍坊模拟)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC 把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于()A．8πB．16πC．482πD．不确定的实数解析：选B设矩形长为x，宽为y，周长P＝2(x＋y)≥4xy＝82，当且仅当x＝y＝22时，周长有最小值．此时正方形ABCD沿AC折起，∵OA＝OB＝OC＝OD，三棱锥D－ABC的四个顶点都在以O为球心，以2为半径的球上，此球表面积为4π×22＝16π.2．(·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm 3.解析：由题意得VA －BB 1D 1D ＝23VABD －A 1B 1D 1＝23×12×3×3×2＝6.答案：63．(·深圳模拟)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？ (2)当AD ⊥BC 时，求α的大小．解：(1)由题知CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥BD ，又BD ⊥CD ，CO ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面COD . ∴BD ⊥OD .∴∠ODC ＝α.V C －AOD ＝13S △AOD ·OC ＝13×12·OD ·BD ·OC＝26·OD ·OC ＝26·CD ·cos α·CD ·sin α ＝23·sin 2α≤23，当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号．∴当α＝45°时，三棱锥C －OAD 的体积最大，最大值为23.(2)连接OB ，∵CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥AD ，又AD ⊥BC ， ∴AD ⊥平面BOC . ∴AD ⊥OB .∴∠OBD ＋∠ADB ＝90°.故∠OBD ＝∠DAB ，又∠ABD ＝∠BDO ＝90°， ∴Rt △ABD ∽Rt △BDO . ∴OD BD ＝BD AB. ∴OD ＝BD 2AB ＝(2)22＝1，在Rt △COD 中，cos α＝OD CD ＝12，得α＝60°.1．两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内部，且互相外切，若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切，球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切，则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )A ．(6－33)πB ．(8－43)πC ．(6＋33)πD ．(8＋43)π解析：选A 设球O 1、球O 2的半径分别为r 1、r 2，则3r 1＋r 1＋3r 2＋r 2＝3， r 1＋r 2＝3－32，从而4π(r 21＋r 22)≥4π·(r 1＋r 2)22＝(6－33)π. 2．已知某球半径为R ，则该球内接长方体的表面积的最大值是( ) A ．8R 2 B ．6R 2 C ．4R 2D ．2R 2解析：选A 设球内接长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则a 2＋b 2＋c 2＝(2R )2，所以S 表＝2(ab ＋bc ＋ac )≤2(a 2＋b 2＋c 2)＝8R 2，当且仅当a ＝b ＝c ＝233R 时，等号成立．3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π解析：选A 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2.故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×12π＝20＋3π.4．(·湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈3300157V D ．d ≈32111V 解析：选D ∵V ＝43πR 3，∴2R ＝d ＝ 36V π，考虑到2R 与标准值最接近，通过计算得6π－169≈0.132 08，6π－2≈－0.090 1，6π－300157≈－0.001 0，6π－2111≈0.000 8，因此最接近的为D 选项．5．(·上海高考)如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是________．解析：如图过点B 在平面BAD 中作BE ⊥AD ，垂足为E ，连接CE ，因为BC ⊥AD ，所以AD ⊥平面BCE .所以四面体ABCD 的体积为13S △BCE ·AD .当△BCE 的面积最大时，体积最大．因为AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，所以点B ，C 在一个椭圆上运动，由椭圆知识可知当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝a 时，BE ＝CE ＝a 2－c 2为最大值，此时截面△BCE 面积最大，为12×2a 2－c 2－1＝a 2－c 2－1，此时四面体ABCD 的体积最大，最大值为13S △BCE ·AD ＝2c3·a 2－c 2－1.答案：23c a 2－c 2－1。

版高考数学一轮复习7.2空间几何体的表面积和体积课时跟踪训练文【含答案】

【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 7.2空间几何体的表面积和体积课时跟踪训练文一、选择题1．(2015·日照一模)如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是( )A ．8B ．20＋8 2C ．16D ．24＋8 2解析：由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，其侧棱为4，故其表面积S 表＝2×4＋2×4＋22×4＋12×2×2×2＝20＋8 2.答案：B2．(2015·龙岩质检)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为( )A ．64,48＋16 2B ．32,48＋16 2 C.643，32＋16 2 D.323，48＋16 2解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其直观图如图所示．体积V ＝12×4×4×4＝32，表面积S ＝2×12×42＋4×(4＋4＋42)＝48＋16 2.答案：B3．(2014·福州模拟)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312 B.34 C.612 D.64解析：VB 1－ABC 1＝VC 1－ABB 1＝13×12×1×1×32＝312.答案：A4．在棱长为1的正方体骨架内放一球，使该球与各棱都相切，则该球的体积为( ) A.π6 B.3π2 C.2π3 D.6π3解析：如图，球O 与正方体骨架的各个棱都相切，所以球的直径是正方体两对棱间的距离MN ，MN ＝2，所以球O 的半径为22，故球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝2π3.答案：C5．(2014·四川卷)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)( )A ．3B ．2 C. 3 D ．1解析：由俯视图可知三棱锥的底面是一个边长为2的正三角形，底面面积为12×2×2×sin 60°＝3，由侧视图可知三棱锥的高为3，故此三棱锥的体积V ＝13×3×3＝1，故选D.答案：D6．(2014·湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，且AB ＝8，BC ＝6，BB 1＝12.若要得到半径最大的球，则此球与平面A 1B 1BA ，BCC 1B 1，ACC 1A 1相切，故此时球的半径与△ABC 内切圆的半径相等，故半径r ＝6＋8－102＝2.故选B.答案：B 二、填空题7．(2015·长春一模)下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．解析：该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，(半)球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为2、2、1，∴该几何体的表面积为：S ＝16＋12×4π×12－π×12＝16＋π.答案：16＋π8．一四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大的面积是__________．解析：该几何体的直观图为三棱锥B －ACD ，如图所示，结合图形可知面积最大的是一个边长为22的正三角形，其面积为12×22×6＝2 3.答案：2 39．(2014·石家庄二模)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′－BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．解析：如图所示，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接A ′E ，EO ，OD ，A ′O .由于平面A ′BD ⊥平面BCD ，A ′E ⊥BD ，所以A ′E ⊥平面BCD .因为A ′B ＝A ′D ＝CD ＝1，BD ＝2，所以A ′E ＝22，EO ＝12，所以OA ′＝32，在Rt △BCD 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体A ′－BCD 的外接球球心为O ，球的半径为32，所以V ＝43π323＝32π. 答案：32π 三、解答题10．(2014·重庆卷改编)已知某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积．解：根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的ABC －DEF ，故其表面积为S ＝S △DEF ＋S △ABC ＋S 梯形ABED ＋S 梯形CBEF ＋S 矩形ACFD ＝12×3×5＋12×3×4＋12×(5＋2)×4＋12×(5＋2)×5＋3×5＝60.11．如图1所示，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．现将三角形ABC 沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD (如图2)，求三棱锥C －DEF 的体积．解：过点E 作EM ⊥DC 于点M ，因为平面ACD ⊥平面BCD ，平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，而EM ⊂平面ACD ，所以EM ⊥平面BCD .即EM 是三棱锥E －CDF 的高．又CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，F 为BC 的中点，所以S △C DF ＝12S △BCD ＝12×12CD ×BD ＝14× 2a 2－a 2×a ＝34a 2.因为E 为AC 的中点，EM ⊥CD ，所以EM ＝12AD ＝12a .所以三棱锥C －DEF 的体积V C －DEF ＝V E －CDF ＝13S △CDF ×EM ＝13×34a 2×12a ＝324a 3. 12.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求： (1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解：(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正三棱锥侧面的斜高为12＋ 2 2＝ 3. ∴S 侧＝3×12×26×3＝9 2.∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2＝92＋6 3.(2)设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P －ABC ＝V O －PAB ＋V O －PBC ＋V O －PAC ＋V O －ABC＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r ＝(32＋23)r .又V P －ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23 32－2318－12＝6－2.∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.。

高三数学理一轮总复习课时跟踪检测：41空间几何体的表面积与体积(江苏专用)(含答案解析)

课时追踪检测（四十一）空间几何体的表面积与体积一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________．分析：设球的半径为R，则表面积是16π，即 4πR2＝ 16π，解得R＝ 2.因此体积为43πR3＝ 32π3.答案：32π32．若一个圆台的母线长 l，上、下底面半径r1， r 2知足 2l＝ r 1＋ r 2，且侧面积为 8π，则母线长 l ＝ ________.分析： S 圆台侧＝π(r＋ r )l ＝2πl2＝ 8π，因此 l ＝ 2.12答案： 23．在三角形 ABC 中， AB＝3，BC＝4，∠ ABC＝ 90°，若将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为 ________．分析：依题意知几何体为底面半径为3，母线长为 5 的圆锥，所得几何体的侧面积等于π× 3×5＝15π.答案： 15π4．棱长为 a 的正方体有一内切球，该球的表面积为________．分析：由题意知球的直径2R＝a，a2a22∴ R＝ .∴ S＝4πR＝ 4π×＝πa .24答案：πa25．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱长都为3， D 为 CC1上一点，且 CD＝ 2DC1，则三棱锥A1-BCD 的体积 ________．分析：过 A1作 A1H⊥ B1C1，垂足为 H.由于平面A1B1C1⊥平面 BB1C1C，因此 A1H ⊥平面1×3133BB 1C1C，因此 VA1-BCD ＝2×3× ×2×3＝2.32答案：332二保高考，全练题型做到高考达标1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．分析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r .由 S＝π(r＋3r) ·3＝ 84π，解得 r ＝7.答案： 72．若一个圆锥的侧面睁开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．分析：由于半圆面的面积为1πl2＝ 2π，因此 l2＝ 4，解得 l＝ 2，即圆锥的母线为l ＝ 2，底2面圆的周长2πr＝πl＝ 2π，因此圆锥的底面半径r＝ 1，因此圆锥的高 h＝l2－ r2＝3，因此圆锥的体积为1213π3πr h＝3×π×3＝ 3.答案：3π33．已知正六棱柱的 12 个极点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为 ________．分析：设正六棱柱的高为h，则可得 (2h226) ＋＝ 3 ，解得 h＝ 2 3.4答案：2 34．已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为 6 cm，那么它的体积为 ________ cm3.分析：设正六棱柱的底面边长为x cm ，由题意得6x·6＝ 72，因此 x＝ 2 cm，于是其体积323V＝4×2 ×6×6＝36 3 cm.答案： 3635．(2016 南·通调研 )一个正四棱柱的各个极点在一个直径为 2 cm 的球面上，假如正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为 ________cm2.分析：作出轴截面图，此中圆的内接矩形为正四棱柱的对角面，易求棱柱的侧棱长为2，因此 S 表＝ 4×1× 2＋ 2×12＝ 2＋ 4 2(cm2)．答案： 2＋4 26．已知正三棱锥 S-ABC ，D，E 分别是底面边AB，AC 的中点，则四棱锥S-BCED 与三棱锥 S-ABC 的体积之比为 ________．分析：设正三棱锥 S-ABC 底面△ ABC 面积为4S.由S△ADE＝1 2，因此， S△ADE＝ S， S 四边S△ABC2形BCDE＝ 3S，因两个棱锥的高同样，因此V S-BCED∶ V S-ABC＝3∶4. 答案： 3∶ 47．已知矩形ABCD 的极点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且AB＝ 6，BC＝ 23，则棱锥 O-ABCD 的体积为 ________．分析：如图，连接 AC， BD 交于 H ，连接 OH .在矩形 ABCD 中，由 AB ＝ 6，BC＝ 2 3可得 BD ＝4 3，因此 BH ＝ 2 3，在 Rt△ OBH 中，由 OB＝ 4，因此 OH ＝ 2，因此四棱锥O-ABCD 的体积 V ＝ 1×6×2 3×2＝ 8 3.3答案： 8 38． (2016 盐·城调研 )在半径为 2 的球面上有不一样的四点 A ， B ， C ， D ，若 AB ＝ AC ＝ AD＝ 2，则平面 BCD 被球所截得图形的面积为 ________．分析：过点 A 向平面 BCD 作垂线，垂足为M ，则 M 是△ BCD 的外心，而外接球球心O 位于直线 AM 上，连接 BM ，设△ BCD 所在截面圆半径为 r ，∵ OA ＝ OB ＝ 2＝ AB ，∴∠ BAO ＝ 60°，在 Rt △ABM 中， r ＝ 2sin 60 ＝° 3，∴所求面积 S ＝πr 2 ＝3π. 答案： 3π9．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内灌水，使水面恰巧与铁球面相切．将球拿出后，容器内的水深是多少？解：如图，作轴截面，设球未拿出时，水面高PC ＝ h ，球拿出后，水面高 PH ＝x.依据题设条件可得 AC ＝ 3r ， PC ＝ 3r ，则以 AB 为底面直径的圆锥容积为V 圆锥＝1212 3 3π×AC×PC ＝ 3π(3r ) ×3r ＝ 3πr .4 3V 球＝ 3πr .球拿出后，水面降落到 EF ，水的体积为V121213.水＝ 3π×EH×PH ＝3π(PHtan 30)°PH ＝9πx又 V 水＝V 圆锥－V 球，则1πx 3＝ 3πr 3－ 4πr 3，93解得 x ＝315r.故球拿出后，容器内水深为 3 15r .10.(2016 安·徽六校联考 ) 如下图，在多面体 ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ ADE ，△ BCF 均为正三角形， EF ∥AB ， EF ＝2，求该多面体的体积．解：法一：如下图，分别过 A ，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G ， H ，连接 DG ， CH ，则原几何体切割为两个三棱锥和一个直三棱柱，∵三棱锥高为 12，直三棱柱柱高为 1，AG ＝1 2－ 123， 2 ＝ 2取 AD 中点 M ，则 MG ＝2，∴ S △AGD ＝ 1×1× 2＝ 2，2 2 2 4∴ V ＝21 2 1 24×1＋ 2× × × ＝3.3 42法二：如下图，取EF 的中点 P ，则原几何体切割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥 P-AED 和三棱锥 P-BCF 都是棱长为 1 的正四周体，四棱锥 P-ABCD 为棱长为 1 的正四棱锥．∴ V ＝1 221 × 3 ×6 ＝ 2×1 ×2＋ 2× 4 33.33三登台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，平面四边形ABCD 中， AB ＝ AD ＝ CD ＝ 1， BD ＝ 2， BD ⊥ CD ，将其沿对角线 BD 折成四周体 A ′BCD - ，使平面 A ′BD ⊥平面 BCD ，若四周体 A ′BCD - 的极点在同一个球面上，则该球的表面积为 ________．分析：由图示可得角三角形，由此可得BD ＝ A ′C ＝2，BC ＝ 3，△ DBC 与△ A ′BC 都是以 BC 为斜边的直BC 中点到四个点A ′，B ，C ，D 的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为3，因此该外接球的表面积S ＝ 4π×3 2＝ 3π.2答案： 3π2．(2015 南·京二模) 一块边长为10 cm的正方形铁片按如下图的暗影部分裁下，而后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共极点示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为P 为极点，加工成一个如图所3分析：如下图，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm 为边长的正方形，侧面的斜高PM ＝ 5 cm ，高 PO ＝ PM 2－ OM 2＝ 52－ 32＝ 4 cm ，因此所求容12 3积为 V ＝ ×6 ×4＝ 48(cm )．3答案： 483.如图，在三棱锥D-ABC 中，已知 BC ⊥ AD ， BC ＝ 2，AD ＝ 6，AB＋ BD ＝ AC＋ CD＝ 10，求三棱锥D -ABC 的体积的最大值．解：由题意知，线段AB＋ BD 与线段 AC＋ CD 的长度是定值，由于棱AD 与棱 BC 互相垂直．设 d 为 AD 到 BC 的距离．1 1则 V D-ABC＝ AD ·BC×d× ×＝ 2d，2 3当 d 最大时， V D -ABC体积最大，∵AB＋ BD ＝ AC＋ CD＝ 10，∴当 AB＝BD＝ AC＝ CD ＝ 5 时，d 有最大值42－ 1＝ 15.此时 V＝215.。

高考数学一轮复习 7.2 空间几何体的表面积和体积课时作业理(含解析)新人教A版

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 7.2 空间几何体的表面积和体积课时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·内江市第二次模拟)已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A.23 B.43 C ．2 D ．4解析：该几何体为底面是正方形有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图．SD ⊥底面ABCD ，SD ＝2，四边形ABCD 为正方形，边长为1，所以棱锥的体积为V ＝13×1×2＝23，选A.答案：A2．(2013·山东潍坊模拟)有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为( )A．21 3B．6＋15 3C．30＋6 3D．42解析：如图该平行六面体上、下、右、左面为矩形，前、后面为平行四边形表面积S＝3×3×2＋2×3×2＋3×3×2＝30＋63，故选C.答案：C3．(2013·石家庄市高三模拟)已知正三棱锥P－ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A．4πB．12πC.16π3D.64π3解析：由三棱锥的主视图知，棱锥的侧棱为4，由俯视图知底面边长为23，如图，O′为△ABC 中心，O 为外接球球心，O ′C ＝33BC ＝2，PC ＝4，∴PO ′＝2 3.OO ′＝23－R ，∴(23－R )2＋4＝R 2，解得R ＝43，∴外接球表面积S ＝4πR 2＝643π，选D.答案：D4．(2014·河南开封高三接轨考试)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，则V 1∶V 2＝( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶1D ．1∶4解析：由三视图可知，几何体为圆柱中间挖去一个圆锥，故V 1＝22π×2－22π×2×13＝163πV 2＝43π×23＝323π，故V 1∶V 2＝1∶2，选A. 答案：A5．(2013·河北唐山第二次模拟)一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示，它的表面积为( )A．4 3 B．8 C．12 D．4 2 解析：由三视图可知，几何体为正八面体，棱长为 2.∴S表＝2×2×32×12×8＝4 3.答案：A6．(2013·辽宁六校联考)从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体的三视图及尺寸(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A.223 cm 3B.476 cm 3C.233cm 3D ．8 cm 3解析：该几何体的直观图是棱长为2的正方体截去一角，其体积V ＝23－13×12×1×1×1＝476(cm 3)，故选B. 答案：B 7.(2013·云南昆明高三调研)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为( )A ．1＋ 2B ．2＋2 2 C.13 D ．2＋ 2解析：依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥P －ABCD ，其中底面边长为1，PD ＝1，PD ⊥平面ABCD ，S △PAD ＝S △PCD ＝12×1×1＝12，S △PAB ＝S △PBC ＝12×1×2＝22，S 正方形ABCD ＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋2，选D. 答案：D8．(2013·河南洛阳统考)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π解析：取SC 的中点E ，连接AE 、BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S －ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，球O 的表面积为4π×OA 2＝16π，选C. 答案：C 二、填空题9．(2013·河南郑州第一次质量预测)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由三视图知，该几何体是由一个长方体和一个圆锥拼接而成的组合体，故其体积V ＝3×2×1＋13×π×12×3＝6＋π.答案：6＋π10．(2013·吉林长春三校调研)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：根据三视图，我们先画出其几何直观图，几何体为正方体切割而成，即正方体截去一个棱台．如图所示，故所求几何体的体积V ＝173.答案：17311．(2013·吉林长春第一次调研)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a2＝63π.答案：63π三、解答题12．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．求(1)该几何体的体积V ；答案图(2)该几何体的侧面积S .解：由三视图可知，该几何体底面是边长为8和6的矩形，高为4.顶点在底面射影恰为底面矩形的中心．如图，E 、F 分别为CD 、BC 的中点，易求PE ＝42，PF ＝5.∴(1)V ＝13S 矩形ABCD ·PO ＝13×6×8×4＝64.(2)S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·PF ＋12CD ·PE＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. [热点预测]13．(1)(2013·襄阳调研统一测试)在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12 B.125π9 C.125π6D.125π3(2)(2013·北京朝阳期末考试)在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 1，P 2分别是线段AB ，BD 1(不包括端点)上的动点，且线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，则四面体P 1P 2AB 1的体积的最大值是( )A.124B.112C.16D.12(3)(2013·东北三校第二次联考)在底面半径为3，高为4＋23的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小11 球的个数最多为( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个解析：(1)依题意，外接球的球心在Rt △ACD 的斜边AC 的中点，∵AB ＝4，BC ＝3，由勾股定理求得外接球的半径R ＝12AC ＝52，∴四面体ABCD 的外接球的体积为： V＝43·⎝ ⎛⎭⎪⎫523·π＝125π6，故选C. (2)可设AP 1＝x ，则BP 1＝1－x ，因线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，故由相似比例可得P 2到面P 1AB 1的距离为1－x ，故所求四面体P 1P 2AB 1的体积V ＝13×12×x ×1×(1－x )＝16x (1－x )≤16×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝124，当且仅当x ＝12时取等号． (3)由题可得图1，O 1O ＝3＋r ，O 1A ＝4＋23－3－r ＝1＋23－r ，OA ＝3－r ，△O 1OA 为直角三角形，所以由勾股定理得(3＋r )2＝(3－r )2＋(1＋23－r )2，解得r ＝1，放入的小球的半径为1.由图2知OO 1＝OO 2＝3－1＝2，O 1O 2＝2，所以∠O 1OO 2＝60°，所以放入小球的个数最多为6个，选C.答案：(1)C (2)A (3)C。

高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十)空间几何体的表面积与体积理(普通高中)

课时跟踪检测（四十）空间几何体的表面积与体积(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．(2018·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．48＋πB ．48－πC ．48＋2πD ．48－2π解析：选A 该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S ＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：选A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：选B 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V＝14×13π×r 2×5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)． 4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15解析：选D 由三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15. 5．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 上的动点，记四面体EFMC 的体积为V 1，多面体ADF BCE 的体积为V 2，则V 1V 2＝()A.14B.13C.12D.15解析：选B 由三视图可知多面体ADF BCE 是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a )，且四边形DFEC 与四边形ABCD 都是正方形，它们的边长均为a .∵M 是AB 上的动点，且易知AB ∥平面DFEC ，∴点M 到平面DFEC 的距离等于点B 到平面DFEC 的距离，距离为a ，∴V 1＝V E FMC ＝V M EFC ＝13·12a ·a ·a ＝a 36，又V 2＝12a ·a ·a ＝a32，故V 1V 2＝a 36a 32＝13. 6．(2018·广东五校协作体第一次诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.＋22π2＋1B.13π6C.＋2π2＋1D.＋22π2＋1解析：选C 由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为22π＋1＋2π×2＋32π＝＋2π2＋1，故选C.7．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝＋2×1＝32.答案：328．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为_______．解析：设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7. 答案：79．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×34×22×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋32＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.答案：1210.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，BD ＝23，设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ，则OA ⊥BD ，OC ⊥BD ，结合正视图可知AO ⊥平面BCD .又OC ＝CD 2－OD 2＝1，∴V 三棱锥A BCD ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33.答案：33B 级——中档题目练通抓牢1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 cm ，粗线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．2 cm 3B ．4 cm 3C ．6 cm 3D ．8 cm 3解析：选B 由三视图知几何体是一个以俯视图中的直角梯形为底面，高h ＝2 cm 的四棱锥．由三视图中的数据得四棱锥的底面面积S ＝12×(2＋4)×2＝6(cm 2)，所以其体积V ＝13Sh ＝13×6×2＝4(cm 3)．2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．64－16π3B ．64－32π3C ．64－16πD ．64－64π3解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V 锥＝13Sh ＝13×π×22×4＝163π，∴V ＝V 正方体－V 锥＝43－163π＝64－163π. 3．(2018·江西七校联考)如图，四边形ABCD 是边长为23的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，若四面体PAEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．92π解析：选C 因为∠APE ＝∠EPF ＝∠APF ＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA ，PE ，PF 是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R ，由题意知2R ＝32＋32＋32＝32，故该球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎫3222＝18π. 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－13×12×2×2×2－13×12×1×1×1＝132.答案：1325．已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为a 的正方形，所有侧棱长相等且等于2a ，若其外接球的半径为R ，则a R＝________.解析：如图，设四棱锥的外接球的球心为E ，半径为R ，则OB ＝OC ＝22a ，PO ＝142a ，所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－R 2，解得R ＝414 a ，所以a R＝a414a ＝144. 答案：1446．已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋r 2＝R 2，即h ＝2R 2－r 2.因为S ＝2πrh ＝4πr ·R 2－r 2＝ 4πr2R 2－r2≤4πr 2＋R 2－r 224＝2πR 2，当且仅当r 2＝R 2－r 2，即r ＝22R 时，取等号，即当内接圆柱底面半径为22R ，高为2R 时，其侧面积的值最大，最大值为2πR 2. 7.如图是一个以A1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求：(1)该几何体的体积； (2)截面ABC 的面积．解：(1)过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2，则该几何体的体积V ＝VA 1B 1C 1A 2B 2C ＋VC ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC 中，AB ＝22＋－2＝5，BC ＝22＋－22＝5， AC ＝22＋－2＝2 3.则S △ABC ＝12×23×52－32＝ 6.C 级——重难题目自主选做1.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( )A.34B.14C.12D.38解析：选C 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为12. 2.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD A1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3C.π6D.33π解析：选C 平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC ＝CD 1＝AD 1＝2，所以内切圆的半径r ＝22×tan 30°＝66，所以S ＝πr 2＝π×16＝16π.。

安徽省2015届高考数学一轮复习 7.2 空间几何体的表面积与体积课后自测理

7.2 空间几何体的表面积与体积课后自测理(见学生用书第313页)A 组基础训练一、选择题1．(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图7－2－8所示，则该四棱台的体积是( )图7－2－8A ．4 B.143 C.163D ．6【解析】由三视图可还原出四棱台的直观图如图所示，其上底和下底都是正方形，边长分别是1和2，与底面垂直的棱为棱台的高，长度为2，故其体积为V ＝13×(12＋1×4＋22)×2＝143，选B. 【答案】 B图7－2－92．如图7－2－9所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1—ABC 1的体积为( )A.312 B.34 C.612 D.64【解析】在△ABC 中，BC 边长的高为32，即棱锥A —BB 1C 1上的高为32，又S △BB 1C 1＝12， ∴VB 1—ABC 1＝VA —BB 1C 1＝13×32×12＝312.【答案】 A3．(2013·合肥高三第二次质检)某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示，则该几何体的表面积为( )图7－2－10A ．92＋14π B．82＋14π C ．92＋24π D．82＋24π【解析】观察三视图可知，该几何体是长方体与一个半圆柱的组合体，根据所标注的尺寸可以计算出表面积为(4×5＋4×5＋4×4)×2－4×5＋π·22＋π·2·5＝92＋14π.【答案】 A4．(2013·广东高考)某三棱锥的三视图如图7－2－11所示，则该三棱锥的体积是( )图7－2－11A.16B.13C.23D ．1【解析】如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B.【答案】 B图7－2－125．(2013·课标全国卷Ⅰ)如图7－2－12，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3cm 3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42， ∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．【答案】 A 二、填空题6．(2013·北京模拟)某四棱锥的三视图如图7－2－13所示，该四棱锥的体积为________．图7－2－13【解析】由几何体的三视图可知该几何体是一个底面是正方形的四棱锥，其底面边长为3，且该四棱锥的高是1，故其体积为V ＝13×9×1＝3.【答案】 37．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O —ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA 为半径的球的表面积为________．【解析】 V 四棱锥O —ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π. 【答案】 24π8．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图7－2－14所示，则该几何体的表面积为________．图7－2－14【解析】根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S ＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.【答案】 38 三、解答题9．一个几何体的三视图及其相关数据如图7－2－15所示，求这个几何体的表面积．图7－2－15【解】这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．【解】在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE 、AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ， ∴BE ＝6，在Rt △BEE 1中， BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23， ∴2R ＝23，则R ＝3，∴球的体积V 球＝43πR 3＝43π，球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.B 组能力提升1．某几何体的三视图如图7－2－16所示，该几何体的体积是( )图7－2－16A ．8 B.83 C ．4 D.43【解析】将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V ＝13S 正方形ABCD ×PA＝13×12×2×2×2＝43.【答案】 D2．(2012·江苏高考)如图7－2－17，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm 3.图7－2－17【解析】连接AC 交BD 于O ，在长方体中， ∵AB ＝AD ＝3， ∴BD ＝32且AC ⊥BD. 又∵BB 1⊥底面ABCD ， ∴BB 1⊥AC. 又DB∩BB 1＝B ， ∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AO 为四棱锥A －BB 1D 1D 的高且AO ＝12BD ＝322.∵S 矩形BB 1D 1D ＝BD×BB 1＝32×2＝62， ∴VA －BB 1D 1D ＝13S 矩形BB 1D 1D·AO＝13×62×322＝6(cm 3)．【答案】 63．已知某几何体的三视图如图7－2－18所示(单位：cm)．图7－2－18(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．【解】 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体．由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。

【状元之路】(新课标通用版)2015届高考数学一轮复习 9-2空间几何体的表面积和体积检测试题(

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 9-2空间几何体的表面积和体积检测试题（2）文一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )A ．8B .83C ．4 D .43解析：将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V ＝13S 正方形ABCD ×PA＝13×12×2×2×2＝43.答案：D2．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥OABCD 的体积为( )A .51B ．351C ．251D ．651解析：依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥OABCD 的高等于42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＋222＝512，所以棱锥OABCD 的体积等于13×(3×2)×512＝51.答案：A3．如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4πB .154πC ．5πD .174π解析：由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π. 答案：D4．用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )A ．24B ．23C ．22D ．21解析：这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.答案：C5．一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )A .11π2B .11π2＋6 C ．11πD .11π2＋3 3 解析：这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，高为3，母线长是2，其表面积是两个半圆、圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故S ＝12π×12＋12π×22＋12π(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.答案：D6．如图，正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D′C′上，则三棱锥A′EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D．与点E，F，Q位置均无关，是定值解析：因为V A′－EFQ＝V Q－A′EF＝13×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×4×4＝163，故三棱锥A′EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值．答案：D7．[2014·某某市期末]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．8π＋16 B．8π－16C．8π＋8 D．16π－8解析：由三视图可知，该几何体为底面半径r＝2，高h＝4的半圆柱挖去一个底面为等腰直角三角形，直角边长为22高为4的直三棱柱，故所求几何体的体积为V＝π×22×4×12－12×22×22×4＝8π－16，故选B.答案：B8．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥SABC的体积为( )A .33B .233C .433D .533解析：如图，设球心为O ，OS ＝OA ＝OC 得∠SAC＝90°，又∠ASC＝45°，所以AS ＝AC ＝22SC ，同理BS ＝BC ＝22SC ，可得SC⊥面AOB ，则V S －ABC ＝13S △AOB ·SC＝13×3×4＝433，故选C . 答案：C9．已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A .26B .36C .23D .22解析：设三角形ABC 的中心为M ，球心为O ，则OM ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63，则点S 到平面ABC 的距离为263.所以V ＝13×12×32×263＝26，所以选A .答案：A10．[2014·某某质检一]已知球O ，过其球面上A 、B 、C 三点作截面，若O 点到该截面的距离是球半径的一半，且AB ＝BC ＝2，∠B＝120°，则球O 的表面积为( )A .64π3B .8π3C ．4πD .16π9解析：如图，球心O在截面ABC的射影为△ABC的外接圆的圆心O′.由题意知OO1＝R2，OA＝R，其中R为球O的半径．在△ABC中，AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝22＋22－2×2×2×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝2 3.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝ACsin120°＝2332＝4，得r＝2，即O′A＝2.在Rt△OO1A中，OO21＋O1A2＝OA2，即R24＋4＝R2，解得R2＝163，故球O的表面积S＝4πR2＝64π3，故选A.答案：A二、填空题11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．解析：设底面半径为r，如图所示．12·2πr·l＝2π，∴rl＝2，又∵12πl 2＝2π，∴l＝2，∴r＝1.∴h＝l 2－r 2＝3， ∴V＝13·π·12·3＝33π.充分利用展开图是半圆这一条件，才能求出r 与l. 答案：33π 12．如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥ABB 1D 1D 的体积为__________cm 3.解析：连接AC 交BD 于O 点，∵AB＝AD ， ∴ABCD 为正方形，∴AO⊥BD.在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，B 1B⊥面ABCD ，又AO ⊂面ABCD ，∴B 1B⊥AO. 又B 1B∩BD＝B ，∴AO⊥面BB 1D 1D ，即AO 长为四棱锥ABB 1D 1D 的高，∴AO＝AC 2＝322，答案：613．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是__________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案：2614．[2014·某某模拟]在三棱锥ABCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R)2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π.答案：43π 三、解答题15．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S.解析：(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是相邻两边长分别为6和8的矩形，高HO ＝4，O 点是AC 与BD 的交点，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×6×4＝64.(2)如图所示，作OE⊥AB，OF⊥BC，侧面HAB 中，HE ＝HO 2＋OE 2＝42＋32＝5， ∴S △HAB ＝12×AB×HE＝12×8×5＝20.侧面HBC 中，HF ＝HO 2＋OF 2＝42＋42＝4 2. ∴S △HBC ＝12×BC×HF＝12×6×42＝12 2.∴该几何体的侧面积S ＝2(S △HAB ＋S △HBC )＝40＋24 2. 答案：(1)64 (2)40＋24 216．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m )：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解析：(1)直观图如图所示：(2)方法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE⊥A 1B 1于E ，则AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1 m .在Rt △BEB 1中，BE ＝1m ，EB 1＝1 m ， ∴BB 1＝2m . ∴几何体的表面积＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝7＋2(m 2)．∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)．∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.方法二：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一， V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1 ＝32(m 3)． ∴几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.答案：(1)图略；(2)(7＋2)m 2，32m 3 创新试题教师备选教学积累资源共享教师用书独具1．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋162C ．48D ．16＋32 2解析：由三视图知，四棱锥是底面边长为4，高为2的正四棱锥，∴四棱锥的表面积是16＋4×12×4×22＝16＋162，故选B .答案：B2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，此几何体的体积为V ＝13×12×6×3×3＝9.正确地理解三视图是解题的关键．答案：B3．[2014·某某演练]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A .163πB .1912πC .193πD .43π解析：由三视图可知该几何体是底面边长为2，高为1的正三棱柱．其外接球的球心为上下底面中心连线的中点． ∴R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝1912，S ＝4πR 2＝193π，故选C . 答案：C4．[2014·某某江南十校摸底联考]某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是( )A .203πB ．6πC .103πD .163π解析：该几何体是半个圆柱与半个圆锥的组合体，由体积公式易知选C.答案：C5．如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A．183B．12 3C．93D．6 3解析：该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V＝3×3×3＝9 3.答案：C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A .283πB .163πC .43π＋8D ．12π解析：由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π. 答案：A。

2015届高考数学一轮复习 课时跟踪检测41 空间几何体的表面积与体积 文 湘教版