北师大版七年级数学上册3.5第1课时探索数字与图形规律同步练习含答案

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七年级上(北师大版)3.5探索规律

七年级数学上探索规律解题指导例（1）观察等式：，＝＋，＝＋，＝＋433332222111222⨯⨯⨯。

请你猜想规律并用代数式表示出来。

（2）按照某规律填上适当的数值在横线上1，-１２，13，-14，，，（3）下图(1)表示1张餐桌和6张椅子(每个小半圆代表1张椅子)，若按这种方式摆放20张餐桌需要的椅子张数是________________。

（4）据测算，树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表（树苗原高100厘米）：①填出第4年树苗可能达到的高度；②请用含a 的代数式表示: a 年后树的高度h =____________； ③根据这种长势，10年后这棵树可能达到的高度是厘米。

基础验收题一、选择题 1．观察下列算式：，，　，　，　，　，　，　，　2562128264232216282422287654321======== 根据上述算式中的规律，你认为202的末位数字是（）．A. 2B. 4C. 6D. 82．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二．若这种细菌由1个分裂到16个，那么这个过程要经过………………………………( )A ．1.5小时；B ．2小时；C ．3小时；D ．4小时．二、填空题1．有一列数：1，2，3，4，5，6，……当按顺序从第二个数数到第n 个数时，共数了________个数；当按顺序从第m 个数数到第n 个数(n >m )时, 共数了________个数。

2. ●表示实心圆，用○表示空心圆，现有若干个实心圆与空心圆，按一定的规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…… 问：前2001个圆中，有__________个空心圆。

3．已知，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝218737293243381327393337654321推测203的个位数字是_______ . 4. 如图是由长方形与正方形从左到右逐个交替并连而成，请观察图形并填表（n 为正整数）。

北师大版七年级上册3.5图形规律(1一2)同步练习题

本套试卷主要考查图形规律，观察图形的结构和特点，利用分类、去重、补形，转化为数的规律或其他图形的规律等方法解决问题．训练学生从多角度观察图形构成，不断探索，分析并解决问题的能力．思考问题问题1：学习图形规律的思考方向：①观察图形构成：________________________；②转化：________________________________．问题2：观察图1至图4中点的摆放规律，按照这样的规律继续摆放，记第n个图中点的个数为_______．（用含n代数式表示）图形规律（一）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列是由火柴棒拼出的一系列图形，依此规律，第100个图形中的火柴棒有( )根．A.400B.304C.301D.3002.观察下列图形它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形阴影三角形的个数为( )A.63B.60C.57D.663.观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为( )A.31B.42C.45D.514.有一长条型链子，其外型由边长为1的正六边形排列而成．如图是此链子的任意一段示意图，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若此链子上共有35个黑色六边形，则共有( )个白色六边形．A.140B.142C.210D.2125.一块瓷砖的图案如图1所示，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图2的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图3的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图4的图案，其中完整的圆一共有25个，依此规律，第10个图中，完整的圆一共有( )A.100个B.101个C.181个D.221个6.探索规律：下面是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么第20个“上”字需用( )枚棋子．A.62B.80C.78D.827.下列图形是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第1个图形有1颗棋子，第2个图形共有6颗棋子，第3个图形共有16颗棋子，…，则第6个图形中棋子的颗数为( )A.51B.70C.76D.818.下列图形是由同样大小的五角星按一定的规律排列组成，其中第1个图形共有2个五角星，第2个图形共有8个五角星，第3个图形共有18个五角星，…，则第10个图形中五角星的个数为( )A.100B.162C.196D.2009.观察下列图形，图1由3张同样大小的小正方形纸片组成，图2由6张同样大小的小正方形纸片组成，图3由10张同样大小的小正方形纸片组成，…，依此规律，图8需要同样大小的小正方形纸片( )张．A.28B.36C.45D.6610.观察下面图形相应的点数，按照这样的规律，第7个图形的点数为( )A.28B.56C.42D.21CBABC DCDCA思考问题问题1：学习图形规律的思考方向：①观察图形构成：________________________；②转化：________________________________．问题2：观察图1至图4中点的摆放规律，按照这样的规律继续摆放，记第n个图中点的个数为_______．（用含n代数式表示）图形规律（二）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.按如图所示规律摆放阴影三角形，则第13个图形中阴影三角形的个数是( )A.40B.41C.42D.392.已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③．如此反复操作下去，则第2015个图形中的直角三角形有( )A.8056个B.4028个C.4032个D.4026个3.按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第9个图形中的黑色小正方形地砖有( )A.85块B.113块C.145块D.181块4.下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图2比图1多出2个“树枝”，图3比图2多出4个“树枝”，图4比图3多出8个“树枝”，…，照此规律，图6比图5多出( )个“树枝”．A.60B.32C.16D.645.下列图形是按照一定规律组成的，第1个图形中共有2个三角形，第2个图形中共有8个三角形，第3个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第5个图形中的三角形共有( )个．A.28B.26C.24D.226.观察下列图形中每一个大三角形中黑色三角形的排列规律，则第6个图形中黑色三角形的个数为( )A.729B.364C.243D.7207.学生李军在一次数学活动中，将一圆形纸板，经过多次剪裁，把它剪裁成若干个扇形.操作要求：第1次剪裁，将圆形纸板等分成4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的做法进行下去，第10次裁剪所得扇形的总个数为( )A.33B.35C.31D.348.如图，按图中结构规律的第20个图形中三角形的个数是( )A.79B.81C.77D.78BCCBB ACC。

北师大版七年级上册 3.5 探索与表达规律练习(带答案)

探索与表达规律练习一、选择题1. 一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，若第n 个数为57，则n =( )A. 50B. 60C. 62D. 712. 已知有理数a ≠1，我们把11−a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−(−1)=12.如果a 1=−2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+⋯+a 100的值是( )A. −7.5B. 7.5C. 5.5D. −5.53. 观察以下一列数的特点：0，1，−4，9，−16，25，…，则第11个数是( )A. −121B. −100C. 100D. 1214. 观察点阵图的规律，第100个图的小黑点的个数应该是( )A. 399B. 400C. 401D. 4025. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( )A. 11B. 13C. 15D. 176. 仔细观察下列数字排列规律，则a =( )A. 206B. 216C. 226D. 2367.按一定规律排列的单项式：x3，−x5，x7，−x9，x11，……，第n个单项式是()A. (−1)n+1x2n−1B. (−1)n x2n−1C. (−1)n+1x2n+1D. (−1)n x2n+18.求1+2+22+23+⋯+22016的值，可设S=1+2+22+23+⋯+22016，于是2S=2+22+23+⋯+22017，因此2S−S=22017−1，所以S=22017−1.我们把这种求和方法叫错位相减法．仿照上述的思路方法，计算出1+5+52+53+⋯+ 52016的值为()A. 52017−1B. 52016−1C. 52017−14D. 52016−149.在下列数字宝塔中，从上往下数，2018在_____层等式的______边．1+2=34+5+6=7+89+10+11+12=13+14+1516+17+18+19+20=21+22+23+24正确的答案是()A. 44，左B. 44，右C. 45，左D. 45，右10.观察下列各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第5个图形中小圆点的个数为()．A. 49B. 50C. 53D. 5611.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，那么：71+72+73+⋅⋅⋅+72021的末位数字是()A. 9B. 7C. 6D. 012.观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…若第ｎ个相同的数是103，则ｎ等于()A. 18B. 19C. 20D. 2113.计算9个{a+a+⋯+ab⋅b⋯⋅b7个=()A. 9a7b B. a97bC. 9ab7D. a9b714.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题15.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成：……，按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________．16.如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，其中图①有4根火柴棍，图②有12根火柴棍，图③有24根火柴棍……以此类推，则图⑩中火柴棍的根数是_____________．17.已知a1=t1+t ，a2=11−a1，a3=11−a2，…，a n+1=11−an(n为正整数，且t≠0，1)，则a2016=______(用含有t的代数式表示)．18.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2020次输出的结果为______________．19.如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图……若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30，则第n个矩形的边长分别是______，______．三、解答题20.观察下列关于自然数的等式：2×4−12+1=8；3×5−22+1=12；4×6−32+1=16；5×7−42+1=20；…利用等式的规律，解答下列问题：(1)若等式8×10−a2+1=b(a,b都为自然数)具有以上规律，则a=_________，a+b=_________．(2)写出第n个等式(用含n的代数式表示)．21.请观察下列算式，找出规律并填空：①11×2=1−12；②11×3=12×(1−13)；③11×4=13×(1−14)；④11×5=14×(1−15)……(1)第6个算式是__________________，第n(n为正整数)个算式是_________________；(2)从以上规律你可以得到哪些启示？根据你的启示，试解答下列问题：若有理数a，b满足|a−1|+(b−4)2=0，求1ab+1(a+3)(b+3)+1(a+6)(b+6)+1(a+9)(b+9)+⋯+1(a+30)(b+30)的值．22. 符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)=1+21，f(2)=1+22，f(3)=1+23，f(4)=1+24… (1)利用以上运算的规律写出f(n)=______；(n 为正整数) (2)计算：f(1)⋅f(2)⋅f(3)…f(100)的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，可写为：11，(12,21)，(13,22,31)，(14,23,32,41)，…， ∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为111,210,39,48,57,66,75,84,93,102,111，∴第n 个数为57，则n =1+2+3+4+⋯+10+5=60，2.【答案】A【解答】解：∵a 1=−2， ∴a 2=11−(−2)=13，a 3=11−13=32，a 4=11−32=−2，…… ∴这个数列以−2，13，32依次循环，且−2+13+32=−16， ∵100÷3=33…1，∴a 1+a 2+⋯+a 100=33×(−16)−2=−152=−7.5，故选：A ．3.【答案】B【解析】解：0=−(1−1)2，1=(2−1)2，−4=−(3−1)2，9=(4−1)2，−16=−(5−1)2，∴第11个数是−(11−1)2=−100，4.【答案】C【解析】解：∵第1个图形中小黑点个数为1+4×1=5个，第2个图形中小黑点个数为1+4×2=9个，第3个图形中小黑点个数为1+4×3=13个，…∴第100个图形中小黑点个数为1+4×100=401个，5.【答案】B【解答】解：观察图形知：第①个图形有3个正方形，第②个有5=3+2×1(个)，第③个图形有7=3+2×2(个)，…故第⑥个图形有3+2×5=13(个)，故选B．6.【答案】C【解答】解：观察发现：2=1×2−0；10=3×4−2；26=5×6−4；50=7×8−6；…a=15×16−14=226，故选C．7.【答案】C【解答】解：∵第1个式子：x3=(−1)1+1x2×1+1，第2个式子：−x5=(−1)2+1x2×2+1，第3个式子：x7=(−1)3+1x2×3+1，第4个式子：−x9=(−1)4+1x2×4+1，第5个式子：x11=(−1)5+1x2×5+1，……∴由上可知，第n个单项式是：(−1)n+1x2n+1，故选C．8.【答案】C【解析】解：设S=1+5+52+53+⋯+52016，则5S=5+52+53+⋯+52017，∴5S−S=52017−1，∴S=52017−1．49.【答案】B【解答】解：第1层等式左右两边共3个数，第2层等式左右两边共5个数，第3层等式左右两边共7个数，第4层等式左右两边共9个数，…，第n层等式左右两边共2n+1个数，3+5+7+9+⋯+2n+1=n(n+2)，当n=43时，n(n+2)=1935，当n=44时，n(n+2)=2024，∵1935<2018<2024，∴2018在第44层，又∵2018−1935=83，83>44+1，∴2018在第44层的右边．故选：B．10.【答案】B【解答】解：根据题意分析可得：第1个图形中小圆点的个数为10=(1+2)2+1；第2个图形中小圆点的个数为17=(2+2)2+1；第3个图形中小圆点的个数为26=(3+2)2+1；…；，第n个图形中小圆点的个数为(n+2)2+1，∴第5个图形中小圆点的个数为7×7+1=50．故第5个图形中小圆点的个数为50．故选B．11.【答案】B【解答】解：由71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，...可知；个位数字的变化规律为：7，9，3，1，所以2021÷4=505...1，所以72021的末位数字为7，∴所有数的个位数之和为：(7+9+3+1)×505+7=10107，所以71+72+73+⋯+72021的末位数字是7．故选B ．12.【答案】A【解答】解：第1个相同的数是1=0×6+1，第2个相同的数是7=1×6+1，第3个相同的数是13=2×6+1，第4个相同的数是19=3×6+1， …，第n 个相同的数是6(n −1)+1=6n −5，所以6n −5=103，解得n =18．故选A ．13.【答案】C【解析】解：9个{a+a+⋯+ab⋅b⋯⋅b7个=9ab 7，14.【答案】D【解析】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k =12k(k +1)，应停在第12k(k +1)−7p 格，这时P 是整数，且使0≤12k(k +1)−7p ≤6，分别取k =1，2，3，4，5，6，7时，12k(k +1)−7p =1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7<k ≤2020，设k =7+t(t =1,2，3)代入可得，12k(k +1)−7p =7m +12t(t +1)，由此可知，停棋的情形与k =t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．15.【答案】9n +3【解析】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…，∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．16.【答案】220【解答】解：设摆出第n个图案用火柴棍为S n．①图，S1=4；②图，S2=4+3×4−(1+3)=4+2×4=4×(1+2)；③图，S3=4(1+2)+5×4−(3+5)=4×(1+2+3)；…；图⑩火柴棍的根数是：S10=4×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=220，故答案为220．17.【答案】−1t【解答】解：根据题意得：a1=t1+t ，a2=11−t1+t=1+t，a3=11−1−t=−1t，a4=11+1t=tt+1⋯2016÷3=672，∴a2016的值为−1t，故答案为−1t．18.【答案】3【解答】解：∵第二次输出的结果为12，∴第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3，…，∴从第三次开始，第偶数次输出的为3，第奇数次输出的为6，∴第2020次输出的结果为3．故答案为3．19.【答案】10×(12)n−1； 5×(12)n−1【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，∠D =∠C =90°∵M 为CD 的中点，∴DM =CM ，∴△ADM≌△BCM(SAS)，∴AM =BM ，∵AM ⊥MB ，∴△ABM 是等腰直角三角形，∴∠MAB =∠MBA =45°，∴∠DAM =∠CBM =45°，∴∠DAM =∠DMA ，∴AD =MD =12CD ，∵矩形ABCD 的周长为30，∴CD =10，AD =5，∵P 、Q 分别是AM 、BM 的中点，∴矩形PSRQ 的长和宽之比为2：1，在△ABM 中，PQ =5，则宽为52，同理可得：第三个矩形的边长为10×(12)2 和5×(12)2，则可得：第n 个矩形的边长分别是10×(12)n−1，5×(12)n−1． 20.【答案】解：(1)7，39；(2)由已知的等式可得：第n 个等式为(n +1)(n +3)−n 2+1=4(n +1)．【解答】解：(1)∵2×4−12+1=8；3×5−22+1=12；4×6−32+1=16；5×7−42+1=20；....∴第7个等式为8×10−72+1=4×(7+1)，故a =7，b =32，∴a +b =7+32=39，故答案为7，39；(2)见答案．21.【答案】解：(1)11×7=16×(1−17)，11×(n+1)=1n ×(1−1n+1)；(2)∵|a −1|+(b −4)2=0，∴a −1=0，b −4=0，∴a =1，b =4，∴原式=11×4+14×7+17×10+110×13+···+131×34，=13×(1−14)+13×(14−17)+⋯+13×(131−134)，=13×(1−14+14−17+⋯+131−134)，=13×(1−134)，=1134．22.【答案】解：(1)1+2n ；(2)f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(100)=(1+21)(1+22)(1+23)(1+24)…(1+2100) =31×42×53×64×…×102100 =101×1021×2=5151．(1)根据f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的运算方法，写出f(n)的表达式即可．(2)根据(1)中求出的f(n)的表达式，求出f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(100)的值是多少即可．【解答】解：(1)∵f(1)=1+21，f(2)=1+22，f(3)=1+23，f(4)=1+24…∴f(n)=1+2n ．。

北师大版数学7年级上册3.5《探索与表达规律》同步练习

《探索与表达规律》同步练习A 100 B. 125 C. 150 D.175答案：C解析：解答：∵2=1+1=13+12，12=8+4=23+22，36=27+9=33+32，80=64+16=43+42，∴下一个数是53+52=125+25=150．（第n个数为n3+n2）．故选C分析:所给的数正好可以分成同一个数的立方与平方的和，从而得解.2.现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）答案：D解析：解答:A.∵ 2有3个，∴不可以作为S1，故A选项错误；B.∵ 2有3个，∴不可以作为S1，故B选项错误；C.3只有1个，∴不可以作为S1，故C选项错误；D.符合定义的一种变换，故D选项正确．选：D．分析:根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择3.将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 3 5 7第二行15 13 11 9第三行17 19 21 23第四行31 29 27 25…根据上面规律，2007应在（）A．125行，3列B．125行，2列C．251行，2列D．251行，5列答案：D解析：解答: 因为（2007+1）÷2=2008÷2=1004所以2007是第1004个奇数；因为1004÷4=251，所以2007在第251行；又因为奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，所以2007应在第5列，综上，可得2007应在第251行第5列．选：D．分析: 首先判断出2007是第1004个奇数；然后根据每行有4个奇数，用1004除以4，判断出2007在第251行；最后根据奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，可得2007应在第5列，据此判断4. 一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答:∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．故选：A分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可.5.多位数139713…、684268…，都是按如下方法得到的：将第1位数字乘以3，积为一位数时，将其写在第2位；积为两位数时，将其个位数字写在第2位．对第2位数字进行上述操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字为4时，所得多位数前2014位的所有数字之和是（）A．10072 B．10066 C．10064 D．10060答案:B解析：解答:当第1位数字为4时，得到42684268…，每四个数字一循环，∵2014÷4=503…2，∴第2014位的数字是2，则（4+2+6+8）×503+4+2=20×503+6=10066．选：B．分析: 通过计算发现，每4位数为一个循环组依次循环，然后用2014除以4即可得出第2014位数字是第几个循环组的第几个数字，由此进一步计算得出答案6.小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果：3-2=1，8+7-6-5=4，15+14+13-12-11-10=9，24+23+22+21-20-19-18-17=16，…根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（）A．360 B．339 C．440 D．483答案:C解析：解答: ∵3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…∴第20个式子左起第一个数是：212-1=440．选：C．分析: 根据左起第一个数3，8，15，24…的变化规律得出第n行左起第一个数为（n+1）2-1，由此求出7.四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到2015时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（）A．小沈B．小叶C．小李D．小王答案:A解析：解答: 去掉第一个数，每6个数一循环，（2015-1）÷6=2014÷6=335…4，则2015时对应的小朋友与5对应的小朋友是同一个．选：C．分析: 从图上可以看出，去掉第一个数，每6个数一循环，用（2015-1）÷6算出余数，再进一步确定2015的位置8.观察下列数据：0，3，8，15，24…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（）A．40400 B．40040 C．4040 D．404答案:A解析：解答: ∵0=12-1，3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…，∴第201个数据是：2012-1=40400．选A．分析: 观察不难发现，各数据都等于完全平方数减1，然后列式计算即可得解9.对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．例如：f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值为（）A．6 B．4022 C．4028 D．6708答案:C解析：解答:∵f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，∴每5个数一循环，分别为2，6，2，0，0…∴2012÷5=402..2∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=2+6+2+0+0+2+6+2+…+2+6=402×（2+6+2）+8=4028．选：C．分析: 首先根据已知得出规律，f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，进而求出10.两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．151答案:A解析：解答: 第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m+4，第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n+3，∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12，∵第一个相同的数为7，∴相同的数的组成的数列的通式为12a-5，第10个相同的数是：12×10-5=120-1=115．选：A．分析: 根据两组数的变化规律写出两组数的通式，从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值，再结合第一个相同的数写出通式，然后把序数10代入进行计算11.对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（）A．0 B．1 C．3 D．5答案:C解析：解答: ∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，∴5!、…、10!的末尾数都是0，∴1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．选C．分析: 根据n!=1×2×3×...×n得到1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，且5!、...、10!的数中都含有2与5的积，则5!、...、10!的末尾数都是0，于是得到1!+2!+3!+ (10)的末尾数为312.一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答: ∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．选：A．分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答13.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252答案:C解析：解答: ∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209选：C．分析: 首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4-1=3，6-2=4，8-3=5，10-4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值14.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）答案:B解析：解答：2015是第201512+=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n-1）≥1008，即()1212n n+-≥1008，解得：当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024-1=2047，第32组的第一个数为：2×962-1=1923，则2015是（201512923-+1）=47个数．故A2015=（32，47）．选B．分析:先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是（）A．25 B．27 C．55 D．120答案:C解析：解答：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55．所以第10个数是55．选C．分析: 观察发现，从第三个数开始，后一个数是前两个数的和，依次计算求解得之差在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，9，8，依此类推，则从数串，开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___答案:520解析：解答:一个依次排列的n个数组成一个数串：a1，a2，a3，…，a n，依题设操作方法可得新增的数为：a2- a1，a3- a2，a4- a3，a n- a n -1，所以，新增数之和为：（a2- a1）+（a3- a2）+（a4- a3）+…+（a n - a n -1）= a n - a1，原数串为3个数：3，9，8，第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8，根据（*）可知，新增2项之和为：6+（-1）=5=8-3，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8，根据（*）可知，新增2项之和为：3+3+（-10）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（8-3）=520，答案为：520．分析: 根据题意，计算可得第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8；进而可得第2次操作后所得数串；分析可得其规律，运用规律可得答案17.将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是______答案: 50解析：解答: 由排列的规律可得，第n-1行结束的时候排了1+2+3+…+n-1=12n（n-1）个数．所以第n行从左向右的第5个数12n（n-1）+5．所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50．答案为：50．分析：先找到数的排列规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数18.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为_________答案:4解析：解答: ∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；∴50÷4=12余2，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需报到：9，21，33，45这4个数时，应拍手4次．答案为：4．分析: 根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案19.观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015= _________ 答案：1016064解析：解答：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008-1）=10082=1016064答案为：1016064．分析: 根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n-1）=n2，据此求出1+3+5+…+2015的值20.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________ 答案：45解析：解答: 第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45分析: 根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案52-1=24=8×3，72-1=48=8×6，92-1=80=8×10，…你发现了什么？答案:（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解答: （1）n=1时，（2×1+1）2-1=8×1；n=2时，（2×2+1）2-1=24=8×（1+2）；n=3时，（2×3+1）2-1=48=8×（1+2+3）；n=4时，（2×4+1）2-1=80=8×（1+2+3+4）；…n=n时，（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）．即发现的规律为：（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解析：分析: 式子的左边是一个奇数的平方减去1；等式右边是8的倍数，即（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）22.观察下列各式你会发现什么规律？1×5=5，而5=32-222×6=12，而12=42-223×7=21，而21=52-22…（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；答案:解答: 10×14=140=122-22；（2）将你猜想的规律用只含一个字母n的等式表示出来，并说明等式的正确性．答案: n（n+4）=（n+2）2-22．解答:第n个等式为n（n +4）=（n+2）2-22．∵左边= n（n +4）=n2+4n右边=（n +2）2-22=n2+4n+4-4═n2+4n左边=右边∴n（n+4）=（n+2）2-22．解析：分析: 由1×5=5，而5=5=32-22；2×6=12，而12=42-22；3×7=21，而21=52-22…可以看出两个因数相差4，所得的积是大的因数减去2的差的平方再减去2的平方，由此规律计算23.有规律排列的一列数：2、4、6、8…它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示；有规律的一列数：1、-2、3、-4、5、-6、7、-8…它的第100个数是什么？第n个数是什么？答案：100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；解析：解答：（1）奇数为正数，偶数为负数，并且第n个数的绝对值为n，所以100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；分析: 先得到符号的规律，再得到绝对值的规律即可；24.观察下列等式：12-02 ①，22-12 ②，32-22 ③，42-32 ④，…（1）按此规律猜想写出第⑥和第⑩个算式；答案：观察所给的4个算式，可知⑥、⑩个算式为：62-52，102-92；（2）请用含自然数n的等式表示这种规律．答案：用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2解析：解答：（1）观察所给的4个算式，可知⑥、⑩个算式为：62-52，102-92；（2）用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2分析: 本题考查规律型终端额数字变化问题，比较简单，考查学生的观察和总结能力25.观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624，34×36=1224…，（1）上面两数相乘后，其末尾的两位数有什么规律？答案：末尾都是24；（2）如果按照上面的规律计算：124×126（请写出计算过程）．答案：124×126=12×（12+1）×100+24=15600+24=15624；答案：（10a+4）（10a+6）=100a2+100a+24=100a（a+1）+24．解析：分析:本题考查了数字的变化类问题，仔细观察算式发现规律是解答本题的关键。

北师大版七年级(上)数学3.5.1探索与表达规律(1)课时同步检测(原创)

北师大版七年级（上)数学3.5.1探索与表达规律（1)课时同步检测（原创)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（）A．11 B．13 C．15 D．172．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（）A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+33．下表给出的是某月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（）A．69 B．54 C．27 D．404．为庆祝六一儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图：按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（） A ．(62)n +根B ．(68)n +根C ．(44)n +根D ．8n 根5．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（）根火柴．A ．156B ．157C ．158D ．1596．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中平行四边形的个数是（）A ．3nB ．3n （n+1）C ．6nD ．6n （n+1）7．观察图中给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为（）．A ．3n －2B ．3n －1C ．4n ＋1D ．4n －38．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第n 个图形中需要黑色瓷砖多少块(用含n 的代数式表示)( )A．4n B．3n＋1C．4n＋3D．3n＋2二、填空题9．如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．在第n个图形中有______个三角形（用含n的式子表示）10．如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么(1)第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第n个图案中有白色地面砖________ 块．11．如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需_____根火柴棒．12．如图，每个图案都由若干个棋子摆成，按照此规律，第n个图案中棋子的总个数可用含n的代数式表示为______.…第1个第2个第3个第4个…13．如图所示，将多边形分割成三角形.图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出_____个三角形．14．观察下列图形并填表：三、解答题15．学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如下表：(1)当桌子上放有x(个)碟子时，请写出此时碟子的高度(用含x的式子表示)；(2)分别从三个方向上看，其三视图如上图所示，厨房师傅想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度．16．如图，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点A B C D E的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）：,,,,内部有1个点内部有2个点内部有3个点（1）填写下表：（2）原五边形能否被分割成2019个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部有多少个点？若不能，请说明理由.17．如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．（1）若x=17，则a+b+c+d=．（2）移动十字框，用x表示a+b+c+d=．（3）设M=a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．18．若按下图方式摆放餐桌和椅子，请探索规律并填表：19．用同样大小的灰、白两种正方形地砖铺设地面，方法是(如图)：第一层只有2块白色地砖，第二层是在第一层外面围一圈灰色地砖，第三层是在第二层外面围一圈白色地砖……(1)第七层共有几块地砖，是白色的还是灰色的？(2)第n层共有几块地砖(结果化成最简)？如果这些地砖是白色的，那么正整数n有什么特点？20．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式．①·↔4×0＋1＝4×1－3；②↔4×1＋1＝4×2－3；③↔4×2＋1＝4×3－3；④↔______________；⑤↔______________；(2)通过猜想，写出与第个图形相对应的等式．参考答案1．B【解析】【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．【详解】观察图形知：第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，…故第⑥个图形有3+2×5=13（个），故选B．【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．2．D【解析】观察可知：①中有棋子6个，6=3×1+3，②中有棋子9个，9=3×2+3，③中有棋子12个，12=3×3+3，…所以第n个图形用的棋子个数为：3n+3，故答案为3n+3.【点睛】主要考查了规律性问题，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．3．D【解析】【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是x ，则上面的数是7x -，下面的数是7x +，列式计算即可判断．【详解】设中间的数是x ，则上面的数是7x -，下面的数是7x +．则这三个数的和是：()()773x x x x -+++=，因而这三个数的和一定是3的倍数．69、54、27都是3的倍数，只有40不是3的倍数，则这三个数的和不可能是40．故选：D ．【点睛】本题考查了数表中的规律；解决的关键是观察图形找出数之间的关系，从而找到三个数的和的特点． 4．A 【解析】【分析】观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6．【详解】解：第②个图比第①个图多6根火柴棒，第③个图比第②个图多6根火柴棒，则第n 个图需86(1)866(62)n n n +-=--=+根火柴棒，故选A.【点睛】本题考查了对图形变化规律的考查，查出前三个图形的火柴棒的根数，并观察出后一个图形比前一个图形多6根火柴棒是解题的关键． 5．B 【解析】根据第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第n 个图案需n （n+3）+3根火柴，再把11代入即可求出答案．解：根据题意可知：第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，…，第n个图案需n（n+3）+3根火柴，则第11个图案需：11×（11+3）+3=157（根）；故选B．“点睛”此题主要考查图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题，难度一般偏大，属于难题.6．B【解析】【分析】从题中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系．从而求出第n个图中平行四边形的个数．【详解】从图中我们发现=⨯⨯(1)中有6个平行四边形，6312,=⨯⨯，(2)中有18个平行四边形,18323=⨯⨯，(3)中有36个平行四边形,36334∴第n个中有3n(n+1)个平行四边形.故选B.7．D【解析】根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第n个点阵中的点的个数是1+4（n-1）=4n-3．故选D.8．B【解析】通过观察可得:第1个图中正方形的个数是4,第2个图中正方形的个数是437,+=第3个图中正方形的个数是43310,++=所以第n 个数是()43131n n +-=+,故选:B. 9．()43n - 【解析】【分析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．如图③中三角形的个数为9=4×3-3．按照这个规律即可求出第n 各图形中有多少三角形．【详解】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，图①中三角形的个数为1=4×1-3；图②中三角形的个数为5=4×2-3；图③中三角形的个数为9=4×3-3； …可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．按照这个规律，如果设图形的个数为n ，那么其中三角形的个数为4n-3．故答案为4n-3．【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．10．18； 4n ＋2 【解析】【分析】根据所给的图案，发现：第一个图案中，有6块白色地砖，后边依次多4块，由此规律解决问题．【详解】解：第1个图案中有白色六边形地面砖有6块；第2个图案中有白色六边形地面砖有6+4=10（块）；第3个图案中有白色六边形地面砖有6+2×4=14（块）；第4个图案中有白色六边形地面砖有6+3×4=18（块）；第n个图案中有白色地面砖6+4（n-1）=4n+2（块）．故答案为18，4n+2．【点睛】此题考查图形的变化规律，结合图案发现白色地砖的规律是解题的关键．11．2n+1．【解析】【分析】【详解】解：根据图形可得出：当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为9；……由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2（n﹣1）=2n+1．故答案为：2n+1．n n+12．()1【解析】【分析】从每个图案的横队和纵队棋子个数分析与n的关系【详解】每个图案的纵队棋子个数是：n，每个图案的横队棋子个数是：n+1，那么第n个图案中棋子的总个数可以用含n的代数式表示为：n（n+1）．故答案为：n（n+1）．【点睛】本题主要考查图形的变化规律：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善于联想来解决这类问题．n-13．()1【解析】【分析】（1）三角形分割成了两个三角形；（2）四边形分割成了三个三角形；（3）以此类推，n边形分割成了（n−1）个三角形．【详解】n边形可以分割出（n−1）个三角形．【点睛】此题注意观察：是连接n边形的其中一边上的点．根据具体数值进行分析找规律．n边形分割成了（n−1）个三角形．n+14．8 11 14 17 32【解析】【分析】通过分析可知：一个梯形的周长是5=3×1+2，两个梯形的周长是8=3×2+2，…，总结可知当梯形的个数为n时，周长=3n+2．【详解】解：由题意可知：n=1时，周长=5=3×1+2，n=2时，周长=8=3×2+2，n=3时，周长=11=3×3+2，…∴当梯形的个数为n时，周长=3n+2．n故答案为：8，11，14，17，32【点睛】本题主要考查通过对图形的分析总结规律，关键在于通过认真分析周长并结合图形总结出n 与周长之间的关系．15．（1）1.5x+0.5;(2)21.5cm.【解析】【分析】（1）由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为x时，碟子的高度为2+1.5（x﹣1）；（2）根据三视图得出碟子的总数，代入（1）即可得出答案．【详解】（1）由题意得：2+1.5（x﹣1）=1.5x+0.5；（2）由三视图可知共有12个碟子，∴叠成一摞的高度=1.5×12+0.5=18.5（cm）．答：叠成一摞后的高度为18.5cm．【点睛】本题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有获取信息（读表）、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键．16．（1）详见解析；（2）1008【解析】【分析】（1）查出题干图形中三角形的个数，并观察发现，每多一个点，三角形的个数增加2，然后据此规律填表即可；（2）根据（1）中规律，列式求解，如果n是整数，则能分割，如果不是整数，则不能分割．【详解】（1）有1个点时，内部分割成5个三角形；有2个点时，内部分割成5+2=7个三角形；有3个点时，内部分割成5+2×2=9个三角形；有4个点时，内部分割成6+2×3=11个三角形；…以此类推，有n个点时，内部分割成5+2×（n-1）=（2n+3）个三角形；故可填表为：（2）可以，n=.令232019n+=，解得1008∴此时正方形ABCD内部有1008个点．【点睛】本题是对图形变化问题的考查，根据数据的变化规律，结合图形，总结出每增加一个点，三角形的个数增加2的规律是解题的关键．17．（1）68（2）4x（3）M的值不能等于2020【解析】【分析】(1)直接求和；（2）a+b+c+d=（x﹣12）+（x﹣2）+（x+2）+（x+12），化简即可;（3）令M=2020，则4x+x=2020，求出x，若x是奇数就说明成立，否则就不能为2020. 【详解】观察图1，可知：a=x﹣12，b=x﹣2，c=x+2，d=x+12．（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29，∴a+b+c+d=5+15+19+29=68．故答案为68．（2）∵a=x﹣12，b=x﹣2，c=x+2，d=x+12，∴a+b+c+d=（x﹣12）+（x﹣2）+（x+2）+（x+12）=4x．故答案为4x．（3）M的值不能等于2020，理由如下：令M=2020，则4x+x=2020，解得：x=404．∵404是偶数不是奇数，∴与题目x为奇数的要求矛盾，∴M不能为2020．【点睛】本题考核知识点：观察总结规律. 解题关键点：用式子表示规律.18．详见解析.【解析】【分析】第一张桌子坐的人数为6+4×0，第二张桌子坐的人数为6+4×1，第三张桌子坐的人数为6+4×2，第四张桌子坐的人数为6+4×3，所以可以猜想第10张桌子坐的人数为6+4×9=42人，第n张桌子坐的人数为6+4×（n－1）,即4n＋2.【详解】【点睛】此题主要考查图形的规律探索，解题的关键是找出图形间的联系与规律.19．（1）50块，白色；（2）正整数n是奇数．【解析】【分析】（1）由图形可知单数层是白色瓷块，双数层是灰色地砖；第一层中白色瓷块有1×2块，第二层中灰色地砖有3×4-1×2块，第三层中白色瓷块有5×6-3×4块，…，可知第7层的地砖的块数；（2）由（1）可知第n层的地砖有2n（2n-1）-（2n-2）（2n-3）=8n-6，从这些地砖是白色的，可知正整数n是奇数．【详解】解：(1)第7层是奇数层，地砖是白色的，地砖的块数是2×7×(2×7−1)−(2×7−2)(2×7−3)=182−132=50块(2)第n层的地砖有2n(2n−1)−(2n−2)(2n−3)=8n−6，∵这些地砖是白色的，∴正整数n是奇数.【点睛】考查了规律型:图形的变化,解决这类问题首先要从简单图形入手,抓住随着“层数”增加时,后一个图形与前一个图形相比,在数量上增加(或倍数)情况的变化,找出数量上的变化规律,从而推出一般性的结论.20．(1) 4×3＋1＝4×4－3 ；4×4＋1＝4×5－3 (2) 4(n－1)＋1＝4n－3【解析】试题分析：⑴ 根据前三个式子的形式，可知第四个式子为4×3+1=4×4−3，第五个式子为4×4+1=4×5−3 .⑵点阵图形第一层有1个点，每增加一层，就增加4个点，所以第n个图形的总点数为1+ 4(n−1)或4n−3，即对应的等式为4(n−1)+1=4n−3.试题解析：⑴ ④4×3+1=4×4−3；⑤4×4+1=4×5−3.⑵ 第n个图形的总点数为4(n−1)+1或4n−3，所以与第n个图形相对应的等式为4(n−1)+1=4n−3.点睛：本题考查逻辑推理能力，解题的关键在于分析等式的组成与图形的关系，进而推导出等式的一般形式.。

初中北师大版数学七年级上册3.5【同步练习】《探索与表达规律》

北师大版初中数学七年级上册《3.5 探索与表达规律》同步练习卷(含答案解析

北师大新版七年级上学期《3.5 探索与表达规律》同步练习卷一．解答题（共37小题）1．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+ (22015)解：设S=1+2+22+23+24+…+22015①，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+22015+22016②②式减①式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1所以1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+ (2)（2）利用（1）的结论计算1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299．2．计算：1+3+32+33+34+…+399+3100时，可设S=1+3+32+33+34+…+399+3100 ①则：3S=3+32+33+34+…+3100+3101②②﹣①得2S=3101﹣1∴S=试利用上述方法计算：1+8+82+ (82006)3．阅读下列材料：因为=，=，=，=，…所以+++…+=．解答下列问题：（1）在和式+++…中，第五项为，第n项为．（2）利用上述结论计算：+++…+．4．若=+，对任意自然数n都成立，（1）求a，b的值；（2）试根据（1）的变式，计算：+++…+．5．（1）先观察，然后想一想其中的规律，并利用你所想的规律计算．==，==，==，请你计算：+．（2）试计算（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）的值．6．看清题目，奇思妙算．规定：正整数的“运算”是①当n为奇数时，H=3n+13；②当n为偶数时，H=n×××…（其中H为奇数）如：数n=3经过1次“运算”的结果是22（=3×3+13），经过2次“运算”的结果是11（=22×），经过3次“运算”的结果是46（=11×3+13），经过4次“运算”的结果是23（=46×），请解答：数257经这257次“H运算”得到的结果．7．观察下列计算过程，发现规律，利用规律猜想并计算：1+2==3；1+2+3==6，1+2+3+4==10；1+2+3+4+5= =15；…（1）猜想：1+2+3+4+…+n=．（2）利用上述规律计算：1+2+3+4+ (200)（3）尝试计算：3+6+9+12+…3n的结果．8．观察下列各等式：13=1=×11×2213+23=9=×22×3213+23+33=36=×32×42…用你发现的规律解答下列问题：（1）填空：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×（）2×（）2（n为正整数）；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；②23+43+63+…+983+10039．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11=．10．观察下列等式：=（1﹣），=（﹣），=（﹣），…（1）猜想并写出第n个等式；【猜想】（2）计算：+++…+．11．求1+2+22+23+…+22016的值，令S=1+2+22+23+…+22016，则2S=2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S=22017﹣1，S=22017﹣1．参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．12．观察下列等式：=1﹣，=﹣，，将以上三个等式两边分别相加得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=（1）猜想并写出：=（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+=（3）探究并计算：+++…+．13．观察下列各等式，并回答问题：=1﹣；=；=；=；…（1）填空：=（2）猜想：=（n是正整数）（3）计算：…．14．观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣，…，=﹣将以上等式两边分别相加，可得+++…=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣+﹣﹣+…﹣=1﹣=用你发现的规律解答下列问题（1）猜想并写出：=（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+=；②+++…+=；（3）探究并计算：+++…+．15．观察下列算式：①1×3﹣22=3﹣4=﹣1②2×4﹣32=8﹣9=﹣1③3×5﹣42=15﹣16=﹣1④…（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）再按以上规律写出第n个算式（n为正整数）．16．先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的题目：例：计算：1+2+22+23+…+2100解：设S=1+2+22+23+…+2100（1）则2S=2+22+23+24+…+2101（2）（2）﹣（1）得：S=2101﹣1请计算：1+5+52+53+ (52018)17．阅读观察下列解题过程：例：计算+++…++解：因为==﹣所以+++…++=﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1﹣=计算：+++…+．18．探究与应用请观察下列各式：①，②，③，④．（1）第10个算式为=；（2）请计算：+++…+；（3）请参照以上各式特点计算：+++…+．19．观察下列等式：第1个等式：a1==（1﹣）第2个等式：a2==（﹣）第3个等式：a3==（﹣）第4个等式：a4==（﹣）…请回答下列问题：（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a5==（2）用含n的式子表示第n个等式：a n==（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．20．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22016+22017，等式两边同时乘2得：2S=2++22+23+24+25…+22017+22018将下式减去上式得：2S﹣S=22018﹣1S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．21．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：解：设S=1+2+22+23+…+299+2100•式在等式两边同乘以2，则有2S=2+22+23+…+299+2100+2101‚式‚式减去式，得2S﹣S=2101﹣1即S=2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100=2101﹣1【理解运用】计算（1）1+3+32+33+…+399+3100（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．22．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22017，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22018将下式减去上式得2S﹣S=22018﹣1 即S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+ (32016)23．阅读理解并解答：为了求1+2+22+23+24+…+22013的值．可令S=1+2+22+23+24+…+22013，则2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014因此2S﹣S=（2+22+23+…+22013+22014）﹣（1+2+22+23+…+22013）=22014﹣1．所以：S=22014﹣1．即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1．请依照此法，求：1+5+52+53+54+…+52016的值．24．德国著名数学家高斯在上小学时，有一次老师让同学计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．解：设S=1+2+3+…+100，①则S=100+99+98+…+1．②①+②，得2S=101+101+101+ (101)所以2S=100×101，S=×100×101=50×101=5050所以1+2+3+…+100=5050．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．阅读上面扥文字，解答下面的问题：（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+ (200)（2）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+n．（3）请你利用（2）中的结论计算：1+2+3+ (2000)25．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：=1﹣，=﹣，=﹣…=﹣所以：+++…+=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣+﹣+…+﹣=1﹣=问题：计算：①+++…+；②+++…+．26．观察下列等式：=1，，．再以上三个等式两边分别相加得：=1=1﹣．（1）猜想并写出：=．（2）直接写出下列各式的计算结果：①=．②．（3）探究并计算：．27．观察下列等式=﹣，=﹣，=1﹣，++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=以上三个等式两边分别相加得：（1）猜想并写出：=；（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+ =；（3）探究并计算：+++…+．28．连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a ＜b＜c）若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a2+b2＞c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：=2；若有5个连续整数：=2；若有7个连续整数：=2；…由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．29．计算：观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=；（2）求和：+++…+；（3）求和：+++…+；（4）求和+++…+．30．观察下列三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…①0，6，﹣6，18，﹣30，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行的数按什么规律排列？写出第①行的第n个数；（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行第7个数，计算这三个数的和．31．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…10=？经过研究，这个问题的一般结论是1+2+3+…+n=n（n+1），其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完这段材料，请你计算：（1）1×2+2×3+…+100×101（2）1×2+2×3+…+n（n+1）（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）32．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=×3×4×5=20．根据以上材料，请你完成下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11；（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=；（用含n的代数式表示）（3）根据以上学习经验，猜想1×2×3+2×3×4+…+18×19×20=．（写出最后结果）33．阅读理解：为了求1+3+32+33+…+3100的值，可M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此3M﹣M=3101﹣1．所以M=，即1+3+32+33+…+3100=．问题解决：仿照上述方法求下列式子的值．（1）1+4+42+43+ (420)（2）5101+5102+5103+ (52016)34．先阅读并填空，再解答问题：我们知道，，，那么（1）=；=．（2）用含有n的式子表示你发现的规律：．（3）依据（2）中的规律计算：．（写解题过程）（4）的值为．35．阅读与理解在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：a⊕b⊕c=（|a﹣b﹣c|+a+b+c）．如：（﹣1）⊕2⊕3=[|﹣1﹣2﹣3|+（﹣1）+2+3]=5解答下列问题：（1）计算：3⊕（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）在﹣，﹣，﹣，…，﹣，0，，，，…，这15个数中，任意取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算结果中的最大值．36．观察下列算式，你发现了什么规律？13=；13+23=，13+23+33=；13+23+33+43=；…（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：13+23+33+43+53；（2）请用一个含n的算式表示这个规律：13+23+33+…+n3=．37．观察下列式子：=1﹣，=﹣，=﹣…将以上三个等式两边分别相加得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=用你发现是规律解答下列问题：（1）①+++…+=．②+++…+=（其中n为大于1的自然数）．（2）探究并计算：+++…+．北师大新版七年级上学期《3.5 探索与表达规律》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共37小题）1．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+ (22015)解：设S=1+2+22+23+24+…+22015①，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+22015+22016②②式减①式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1所以1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+ (2)（2）利用（1）的结论计算1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299．【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+2n的值；（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到结果．【解答】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+2n，则2S=2+22+23+24+…+2n+1，∴2S﹣S=S=2n+1﹣1，则1+2+22+23+24+…+2n=2n+1﹣1；（2）设S=1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299，①∴2S=2+2×22+3×23+…+99×299+100×2100，②①﹣②得，﹣S=1+2+22+23+24+…+299﹣100×2100=2100﹣1﹣100×2100，∴1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299=1+99×2100．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．2．计算：1+3+32+33+34+…+399+3100时，可设S=1+3+32+33+34+…+399+3100 ①则：3S=3+32+33+34+…+3100+3101②②﹣①得2S=3101﹣1∴S=试利用上述方法计算：1+8+82+ (82006)【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【解答】解：设S=1+8+82+ (82006)则8S=8+82+ (82007)∴8S﹣S=7S=82007﹣1，则S=1+8+82+…+82006=．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．3．阅读下列材料：因为=，=，=，=，…所以+++…+=．解答下列问题：（1）在和式+++…中，第五项为，第n项为．（2）利用上述结论计算：+++…+．【分析】（1）由已知等式得出第n项为，据此可得；（2）利用裂项法得出原式=×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣），进一步运算可得．【解答】解：（1）∵第1项=，第2项=，第3项=，∴第5项为=，第n项为，故答案为：，；（2）原式=×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=×=．【点评】本题主要考查数字的变化规律和分式的化简，根据题意得出第n项为且=（﹣）是解题的关键．4．若=+，对任意自然数n都成立，（1）求a，b的值；（2）试根据（1）的变式，计算：+++…+．【分析】（1）由+=结合=+对任意自然数n都成立得出，解之可得；（2）利用（1）中的结论可得，原式=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣），进一步计算可得．【解答】解：（1）+==，∵=+对任意自然数n都成立，∴，解得：；（2）由（1）知，+++…+=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=．【点评】本题主要考查分式的化简、解方程组的能力及数字的变化规律，将分式变形由等式对任意自然数n都成立得出关于a、b的方程组及利用已得结论裂项求解是解题的关键．5．（1）先观察，然后想一想其中的规律，并利用你所想的规律计算．==，==，==，请你计算：+．（2）试计算（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）的值．【分析】（1）利用连续整数乘积的倒数等于两整数倒数的差，将原式拆解开，再计算即可得；（2）先计算括号内的减法，再计算乘法即可得．【解答】解：（1）原式=﹣+﹣+﹣+…+﹣=﹣=﹣=；（2）原式=××…××=．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出连续整数乘积的倒数等于两整数倒数的差是解题的关键．6．看清题目，奇思妙算．规定：正整数的“运算”是①当n为奇数时，H=3n+13；②当n为偶数时，H=n×××…（其中H为奇数）如：数n=3经过1次“运算”的结果是22（=3×3+13），经过2次“运算”的结果是11（=22×），经过3次“运算”的结果是46（=11×3+13），经过4次“运算”的结果是23（=46×），请解答：数257经这257次“H运算”得到的结果．【分析】按照①②运算一次一次的输入，得出它们的结果，从中发现规律，从第10次开始偶数次等于1，奇数次等于16．从而求数257经过257次“H运算”得到的结果．【解答】解：1次=3×257+13=7842次=784×0.5×0.5×0.5×0.5=493次=3×49+13=1604次=160×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=55次=3×5+13=286次=28×0.5×0.5=77次=3×7+13=348次=34×0.5=179次=3×17+13=6410次=64×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=111次=3×1+13=1612次=16×0.5×0.5×0.5×0.5=1=第10次所以从第10次开始，偶数次等于1、奇数次等于16，∵257是奇数所以第257次是16．【点评】此题考查了数字的变化规律；关键是找出规律：从第10次开始，偶数次等于1、奇数次等于16．7．观察下列计算过程，发现规律，利用规律猜想并计算：1+2==3；1+2+3==6，1+2+3+4==10；1+2+3+4+5= =15；…（1）猜想：1+2+3+4+…+n=．（2）利用上述规律计算：1+2+3+4+ (200)（3）尝试计算：3+6+9+12+…3n的结果．【分析】（1）从1开始连续自然数的和，等于两端的数相加乘数的个数，再除以2，由此得出答案即可；（2）利用（1）的规律计算即可；（3）把整体和提公因式3可进行计算．【解答】解：（1）1+2+3+4+…+n=；故答案为：；（2）1+2+3+4+…+200==20100．（3）3+6+9+12+…3n=3（1+2+3+4+…+n）=．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键．8．观察下列各等式：13=1=×11×2213+23=9=×22×3213+23+33=36=×32×42…用你发现的规律解答下列问题：（1）填空：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×（n）2×（n+1）2（n为正整数）；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；②23+43+63+…+983+1003【分析】（1）括号内是两个连续的自然数，最小的数与等号左边的最大底数相同；（2）①根据规律得所有底数和的平方，计算即可；②提公因式23，可得结论．【解答】解：（1）13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×n2×（n+1）2（n为正整数）；故答案为：n，n+1；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；=（1+2+3+…+50）2，=[]2，=12752，=1625625，②23+43+63+…+983+1003，=23（13+23+33+…+503），=8×1625625，=13005000．【点评】此题考查算式的规律，注意结果与等式左边的各个数的关系是解题的关键，并进一步利用规律解决问题．9．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=n（n+1）（n+2）；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11=2970．【分析】根据给定等式的变化找出变化规律“n（n+1）=[n（n+1）（n+2）﹣（n ﹣1）n（n+1）]”．（1）根据变化规律将算式展开后即可得出原式=×10×11×12，此题得解；（2）根据变化规律将算式展开后即可得出原式=n（n+1）（n+2），此题得解；（3）通过类比找出变化规律“n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n ﹣1）n（n+1）（n+2）]”，依此规律将算式展开后即可得出结论．【解答】解：观察，发现规律：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），…，∴n（n+1）=[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]．（1）原式=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11），=×10×11×12，=440．（2）原式=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，=n（n+1）（n+2）．故答案为：n（n+1）（n+2）．（3）观察，发现规律：1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3），2×3×4=（2×3×4×5﹣1×2×3×4），3×4×5=（3×4×5×6﹣2×3×4×5），…，∴n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，∴原式=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（9×10×11×12﹣8×9×10×11），=×9×10×11×12，=2970．故答案为：2970．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．10．观察下列等式：=（1﹣），=（﹣），=（﹣），…（1）猜想并写出第n个等式；【猜想】（2）计算：+++…+．【分析】（1）根据所给出的等式找出规律，即可得出第n个算式；（2）根据（1）得出的规律解答即可．【解答】解：（1）第n个等式为：；（2）===．【点评】此题考查数字的变化规律，发现规律，利用规律解决问题．11．求1+2+22+23+…+22016的值，令S=1+2+22+23+…+22016，则2S=2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S=22017﹣1，S=22017﹣1．参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．【分析】仿照例题可设S=5+52+53+…+52016，从而得出5S=52+53+…+52017，二者做差后即可得出结论．【解答】解：设S=5+52+53+...+52016，则5S=52+53+ (52017)∴5S﹣S=52+53+…+52017﹣（5+52+53+…+52016）=52017﹣5，∴S=．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，仿照例题找出4S=52017﹣5是解题的关键．12．观察下列等式：=1﹣，=﹣，，将以上三个等式两边分别相加得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=（1）猜想并写出：=﹣（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+=（3）探究并计算：+++…+．【分析】（1）先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；（2）根据（1）中的猜想计算出结果；（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解．【解答】解：（1）=﹣，故答案为：﹣，；（2）+++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：；（3）+++…+=（+++…+）=（1﹣）=×=．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．13．观察下列各等式，并回答问题：=1﹣；=；=；=；…（1）填空：=﹣（2）猜想：=﹣（n是正整数）（3）计算：…．【分析】（1）根据已知等式的规律：两个连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差，即可得；（2）根据（1）中的规律可得；（3）利用（1）中的规律，裂项求和可得．【解答】解：（1）根据题意，得：=﹣，故答案为：﹣；（2）猜想：=﹣，故答案为：﹣；（3）原式=1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据已知等式得出两个连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差是解题的关键．14．观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣，…，=﹣将以上等式两边分别相加，可得+++…=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣+﹣﹣+…﹣=1﹣=用你发现的规律解答下列问题（1）猜想并写出：=﹣（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+=；②+++…+=1﹣；（3）探究并计算：+++…+．【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）先探索当分母为连续偶数时如何写成差的形式，再计算．【解答】解：（1）=﹣；故答案为：﹣；（2）①+++…+=1﹣+﹣+﹣，…+﹣=；②+++…+=﹣1﹣+﹣+﹣，…+﹣=1﹣；故答案为：；1﹣；（3）+++…+=（+++…+）=（1﹣+﹣+﹣，…+﹣）=（1﹣）=．【点评】此题考查了分式的加减法，弄清拆项法则是解本题的关键．15．观察下列算式：①1×3﹣22=3﹣4=﹣1②2×4﹣32=8﹣9=﹣1③3×5﹣42=15﹣16=﹣1④4×6﹣52=24﹣25=﹣1…（1）请你按以上规律写出第4个算式﹣1；（2）再按以上规律写出第n个算式（n为正整数）n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．【分析】根据题目给出的规律即可求出当．【解答】解：（1）4×6﹣52=24﹣25=﹣1（2）n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1故答案为：（1）﹣1；（2）n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1【点评】本题考查数字规律，解题的关键是正确理解题目给出的规律，本题属于基础题型．16．先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的题目：例：计算：1+2+22+23+…+2100解：设S=1+2+22+23+…+2100（1）则2S=2+22+23+24+…+2101（2）（2）﹣（1）得：S=2101﹣1请计算：1+5+52+53+ (52018)【分析】根据题意设出5S，进而解答即可．【解答】解：设S=1+5+52+53+…+52018（1）则5S=5+52+53+…+52019（2）（2）﹣（1）得：4S=52019﹣1∴S=．【点评】此题考查规律型：数字的变化，关键是设出5S，进而解答．17．阅读观察下列解题过程：例：计算+++…++解：因为==﹣所以+++…++=﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1﹣=计算：+++…+．【分析】利用=×（﹣）列项求解可得．【解答】解：+++…+=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=．【点评】本题主要考查数字的变化规律，熟练掌握=×（﹣）列项求解是解题的关键．18．探究与应用请观察下列各式：①，②，③，④．（1）第10个算式为=﹣；（2）请计算：+++…+；（3）请参照以上各式特点计算：+++…+．【分析】（1）第1个算式的分子为1，分母为1×2，第2个算式的分子为1，分母为2×3，…第10个算式的分子为1，分母为10×11，第n个算式的分子为1，分母为n×（n+1）；（2）依据上面这种算式的规律把各个分数分解为2个分数的差，化简后只剩2个数的差，计算即可；（3）把各个分数分解为2个分数的差乘，化简后计算即可．【解答】解：（1）第10个算式为=﹣；（2）+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）+++…+=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=．【点评】此题考查数字的变化规律；得到分子为1，分母为两个相邻数的分数的计算规律是解决本题的关键．19．观察下列等式：第1个等式：a1==（1﹣）第2个等式：a2==（﹣）第3个等式：a3==（﹣）第4个等式：a4==（﹣）…请回答下列问题：（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a5==×（﹣）（2）用含n的式子表示第n个等式：a n==（﹣）（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．【分析】（1）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．（2）运用（1）中变化规律计算得出即可．（3）运用以上规律裂项求和即可．【解答】解：（1）观察下列等式：第1个等式：a1==（1﹣）第2个等式：a2==（﹣）第3个等式：a3==（﹣）第4个等式：a4==（﹣）…则第5个等式：a5==×（﹣）；故答案为，×（﹣）；（2）由（1）知，a n==（﹣），故答案为：，（﹣）；（3）原式=+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×=．【点评】此题考查了数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．20．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22016+22017，等式两边同时乘2得：2S=2++22+23+24+25…+22017+22018将下式减去上式得：2S﹣S=22018﹣1S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．【分析】（1）设原式=S，两边乘2变形后，相减求出S即可；（2）设原式=S，两边乘3变形后，相减求出S即可．【解答】解：（1）设S=1+2+22+ (210)两边乘2得：2S=2+22+ (211)两式相减得：2S﹣S=S=211﹣1，则原式=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+…+3n，两边乘3得：3S=3+32+33+…+3n+1，两式相减得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1），则原式=（3n+1﹣1）．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解运算方法是解题的关键．21．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：解：设S=1+2+22+23+…+299+2100•式在等式两边同乘以2，则有2S=2+22+23+…+299+2100+2101‚式‚式减去式，得2S﹣S=2101﹣1即S=2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100=2101﹣1【理解运用】计算（1）1+3+32+33+…+399+3100（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．【分析】（1）利用题中的方法求出原式的值即可；（2）根据题中的方法利用加法即可．【解答】解：（1）设S=1+3+32+33+…+3100，①①式两边都乘以3，得3S=3+32+33+…+3101，②②﹣①得：2S=3101﹣1，即S=，则原式=；（2）设S=1﹣3+32﹣33+…+3100，①①式两边都乘以3，得3S=3﹣32+33﹣…+3101，②②+①得：4S=3101+1，即S=，则原式=．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．22．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22017，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22018将下式减去上式得2S﹣S=22018﹣1 即S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+ (32016)【分析】（1）设原式=S，两边乘以2变形后，相减求出S即可；（2）设原式=S，两边乘以3变形后，相减求出S即可．【解答】解：（1）设S=1+2+22+ (210)两边乘以2得：2S=2+22+ (211)两式相减得：2S﹣S=S=211﹣1，则原式=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+ (32016)两边乘以3得：3S=3+32+33+ (32017)两式相减得：3S﹣S=32017﹣1，即S=（32017﹣1），则原式=（32017﹣1）．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解运算方法是解题的关键．23．阅读理解并解答：为了求1+2+22+23+24+…+22013的值．可令S=1+2+22+23+24+…+22013，则2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014因此2S﹣S=（2+22+23+…+22013+22014）﹣（1+2+22+23+…+22013）=22014﹣1．所以：S=22014﹣1．即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1．请依照此法，求：1+5+52+53+54+…+52016的值．【分析】根据题目信息，设S=1+5+52+53+…+52016，求出5S，然后相减计算即可得解．【解答】解：设S=1+5+52+53+ (52016)则5S=5+52+53+54 (52017)两式相减得：4S=52017﹣1，则S=．∴1+5+52+53+54+…+52016的值为．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．24．德国著名数学家高斯在上小学时，有一次老师让同学计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．解：设S=1+2+3+…+100，①则S=100+99+98+…+1．②①+②，得2S=101+101+101+ (101)所以2S=100×101，S=×100×101=50×101=5050所以1+2+3+…+100=5050．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．阅读上面扥文字，解答下面的问题：（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+ (200)（2）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+n．（3）请你利用（2）中的结论计算：1+2+3+ (2000)【分析】（1）通过观察可知，题目中的加数构成一个公差为1的等差数列，则本题根据高斯求和的有关公式计算即可；（2）根据等差数列和=（首项+末项）×项数÷2，即可解答；（3）根据（2）中的规律，即可解答．【解答】解：（1）1+2+3+4+5+…+200=（1+200）×200÷2=201×200÷2=20100．（2）1+2+3+…+n=（1+n）•n÷2=．（3）1+2+3+…+2000==2001000．【点评】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是明确等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．25．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：=1﹣，=﹣，=﹣…=﹣所以：+++…+=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣+﹣+…+﹣=1﹣=问题：计算：①+++…+；②+++…+．【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=1﹣﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（2）原式=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=．【点评】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．26．观察下列等式：=1，，．再以上三个等式两边分别相加得：=1=1﹣．（1）猜想并写出：=﹣．（2）直接写出下列各式的计算结果：①=．②．（3）探究并计算：．【分析】（1）利用规律即可写成结果；（2）①②把一个式子写成两个式子的差，再加减即可．（3）模仿（2）进行恒等变形，即可解决问题；【解答】解：（1）=﹣．故答案为﹣．（2）①=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．②=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故答案为，（3）=（﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．【点评】本题考查规律型：数字的变化类、有理数的混合运算等知识，解题的关键是学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．27．观察下列等式=﹣，=﹣，=1﹣，++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=以上三个等式两边分别相加得：（1）猜想并写出：=﹣；（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+=；（3）探究并计算：+++…+．【分析】（1）根据已知等式做出猜想，写出即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）仿照（2）将：+++…+转换成×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）就可轻易算出结果．【解答】解：（1）猜想得到=﹣；（2）+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）+++…+=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=×=；故答案为：（1）﹣，（2）．【点评】本题考查了数字的变换规律问题，解题的关键是能够总结出规律等式=﹣并应用于求和运算．28．连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a ＜b＜c）若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a2+b2＞c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：=2；若有5个连续整数：=2；若有7个连续整数：=2；…由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．【分析】（1）根据“魔幻数组”的定义，找出所有的“魔幻数组”即可得出结论；（2）根据规律找出n=9，设出这9个数，再根据“科幻数组”的特征找出关于m 的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”，∴“魔幻数组”为：1，2，3及2，3，4．（2）由已知可得：32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272，…故可知n=9，可设这9个数为m﹣4，m﹣3，m﹣2，m﹣1，m，m+1，m+2，m+3，m+4，则有：（m﹣4）2+（m﹣3）2+（m﹣2）2+（m﹣1）2+m2=（m+1）2+（m+2）2+（m+3）2+（m+4）2，整理得：m2﹣40m=0，由题意m不为0，故m=40，∴这9个数为36，37，38，39，40，41，42，43，44．【点评】本题考查了数字的变化类问题以及新定义的应用，根据新定义的意义找出方程是解题的关键．29．计算：观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=﹣；（2）求和：+++…+；（3）求和：+++…+；（4）求和+++…+．【分析】（1）根据已知等式做出猜想，写出即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（4）仿照（2）将：转换成×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）就可轻易算出结果．【解答】解：（1）猜想得到=﹣；（2）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（4）原式=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=；故答案为：（1）﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的拆项规律是解本题的关键．30．观察下列三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…①0，6，﹣6，18，﹣30，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行的数按什么规律排列？写出第①行的第n个数；（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行第7个数，计算这三个数的和．【分析】（1）第①行有理数是按照﹣2的正整数次幂排列的；（2）第②行为第①行的数加2；第③行为第①行的数的一半，分别写出第n个数的表达式；（3）根据各行的表达式求出第7个数，然后相加即可得解．【解答】解：（1）第①行的有理数分别是﹣2，（﹣2）2，（﹣2）3，（﹣2）4，…，故第n个数为（﹣2）n（n是正整数）；（2）第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（﹣2）n+2（n是正整数），第③行的数等于第①行相应的数的一半，即第n个数是×（﹣2）n（n是正整数）；（3）∵第①行的第7个数为（﹣2）7=﹣128，第②行的第7个数为（﹣2）7+2=﹣126，第③的第7个数为×（﹣2）7=﹣64，所以，这三个数的和为：（﹣128）+（﹣126）+（﹣64）=﹣318．【点评】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．31．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…10=？经过研究，这个问题的一般结论是1+2+3+…+n=n（n+1），其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完这段材料，请你计算：（1）1×2+2×3+…+100×101（2）1×2+2×3+…+n（n+1）（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）【分析】（1）根据题目中的信息可以解答本题；（2）根据题目中的信息可以解答本题；（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．【解答】解：（1）1×2+2×3+…+100×101==343400；（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=；（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=++…+[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]=n（n+1）（n+2）（n+3）．【点评】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．32．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=×3×4×5=20．根据以上材料，请你完成下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11；（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=n×（n+1）×（n+2）；（用含n的代数式表示）（3）根据以上学习经验，猜想1×2×3+2×3×4+…+18×19×20=35910．（写出最后结果）【分析】（1）利用已知材料得出原式=×10×11×12，进而求出即可；（2）利用（1）中所求，进而求出即可；（3）仿照已知得出原式=（1×2×3×4）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（18×19×20×21﹣17×18×19×20），进而求出即可．【解答】解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11）=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+10×11×12﹣9×10×11）=×10×11×12=440；（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+ [n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]=n×（n+1）×（n+2）．故答案为n×（n+1）×（n+2）；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+18×19×20=（1×2×3×4）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（18×19×20×21﹣17×18×19×20）=×18×19×20×21=35910．故答案为35910．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用找出的规律解决问题．33．阅读理解：为了求1+3+32+33+…+3100的值，可M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此3M﹣M=3101﹣1．所以M=，即1+3+32+33+…+3100=．问题解决：仿照上述方法求下列式子的值．（1）1+4+42+43+ (420)（2）5101+5102+5103+ (52016)【分析】（1）根据题目信息，设S=1+4+42+43+…+420 ，求出4S，然后相减计算即可得解；（2）设P=5101+5102+5103+…+52016，求出5P，两式相减计算即可得．【解答】解：（1）设S=1+4+42+43+…+420 ①，则4S=4+42+43+…+420+421②，②﹣①得：3S=421﹣1，∴S=，即1+4+42+43+…+420=；（2）设P=5101+5102+5103+…+52016①，则5P=5102+5103+…+52016+52017②，②﹣①得：4P=52017﹣5101，∴P=，即5101+5102+5103+…+52016=．【点评】本题考查了有理数的乘方和数字的变化类，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．34．先阅读并填空，再解答问题：我们知道，，，那么（1）=﹣；=﹣．（2）用含有n的式子表示你发现的规律：=﹣．（3）依据（2）中的规律计算：．（写解题过程）（4）的值为．【分析】（1）根据题意可得；（2）由已知等式可得=﹣；（3）利用（2）中的结论，裂项求和可得；（4）根据=（﹣）裂项求和可得．【解答】解：（1）根据题意得，=﹣；=﹣，故答案为：﹣，﹣；（2）由题意知=﹣，故答案为：=﹣；（3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（4）原式=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=×=，故答案为：．【点评】本题主要考查数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题意得出=﹣和=（﹣）及裂项求和的方法是解题的关键．35．阅读与理解在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：a⊕b⊕c=（|a﹣b﹣c|+a+b+c）．如：（﹣1）⊕2⊕3=[|﹣1﹣2﹣3|+（﹣1）+2+3]=5解答下列问题：（1）计算：3⊕（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）在﹣，﹣，﹣，…，﹣，0，，，，…，这15个数中，任意取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算结果中的最大值．【分析】（1）根据给定的新定义，代入数据即可得出结论；（2）分a﹣b﹣c≥0和a﹣b﹣c≤0两种情况考虑，分别代入定义式中找出最大值，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：3⊕（﹣2）⊕（﹣3），=（|3﹣（﹣2）﹣（﹣3）|+3+（﹣2）+（﹣3）），=（8﹣2），=3．（2）当a﹣b﹣c≥0时，原式=（a﹣b﹣c+a+b+c）=a，此时最大值为a=；当a﹣b﹣c≤0时，原式=（﹣a+b+c+a+b+c）=b+c，此时最大值为b+c=+=．∵＞，。

北师大版七年级数学上册第三章3.5.1探索规律同步测试题

北师大版七年级数学上册第三章3.5.1探索规律同步测试题北师大版七年级数学上册第三章 3.5.1探索规律同步测试题一、选择题1．观察一串数：0，2，4，6，…，则第n个数是( )A．2(n－1) B．2n－1 C．2(n＋1) D．2n＋1 2．已知a1＝3＋1，a2＝32＋2，a3＝33＋3，a4＝34＋4，…，则a n的值为( ) A．3n＋n B．3n C．3n＋3 D．3＋3n 3．观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是( )A．－121 B．－100 C．100 D．121 4．按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，…，第n个单项式是( )A．(－1)n－1x2n－1B．(－1)n x2n－1 C．(－1)n－1x2n＋1D．(－1)n x2n＋1 5．在某月的月历上用长方形圈出a，b，c，d四个数(如图)，如果d＝20，那么a＋b＋c＝( )A．38 B．44 C．48 D．586．如图所示，下列图形都是由相同的五角星按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第6个图形中共有五角星的个数是( )A ．23B ．24C ．25D ．267．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第7个图形中小圆圈的个数为( )A ．46B ．52C ．56D ．608．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2 019的值是( )A ．5B ．－14C.43D.459．已知一列数：1，－2，3，－4，5，－6，…，将这列数排成下列形式：按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是( ) A ．－46B ．－36C ．37D ．4510．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 019的结果的个位数字是( )A．0 B．1 C．7 D．82．假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y＝( )A．2 B．3 C．6 D．x＋3二、填空题11．如图所示，图1表示1张餐桌和6把椅子(三角形表示餐桌，每个小圆表示一把椅子)，图2表示2张餐桌和8把椅子，图3表示3张餐桌和10把椅子，….若按这种方式摆放25张桌子，需要_____把椅子．…图1 图2 图312．观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为_____ 13．已知一列数：a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是_____14．假设有足够多的黑白棋子，按照一定的规律排列成一行：请问第2 020个棋子是_____．(填“黑棋”或“白棋”)15．有一列数：1，2，3，4，5，6，…，当按顺序从第二个数数到第n个数时，共数了(n －1)个数；当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时，共数了_____个数．16．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有_____根小棒．17．用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“F”，第1个“F”需要4根，第2个需要7根，第3个需要10根，依此规律，第6个需要19根，第n个需要_____根(用含n的代数式表示)．三、解答题18．观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…，回答下列问题：(1)这组单项式的系数的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？(4)请你根据猜想，写出第2 019，2 020个单项式．19．如图所示是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数．(1)写出a，c的关系式；(2)当a＋b＋c＋d＝32时，求a的值．20．如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，根据图示填写下列表格：…21．将连续偶数2，4，6，…排成如下形式，用十字框框出5个数，问：…(1)十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系？(2)5个数的和与32有什么关系？(3)如果将十字框上下左右移动，仍框住5个数，这5个数还有这种规律吗？(4)设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数的和．参考答案一、选择题1．观察一串数：0，2，4，6，…，则第n个数是(A)A．2(n－1) B．2n－1 C．2(n＋1) D．2n＋1 2．已知a1＝3＋1，a2＝32＋2，a3＝33＋3，a4＝34＋4，…，则a n的值为(A) A．3n＋n B．3n C．3n＋3 D．3＋3n 3．观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是(B)A．－121 B．－100 C．100 D．121 4．按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，…，第n个单项式是(C)A．(－1)n－1x2n－1B．(－1)n x2n－1 C．(－1)n－1x2n＋1D．(－1)n x2n＋1 5．在某月的月历上用长方形圈出a，b，c，d四个数(如图)，如果d＝20，那么a＋b＋c＝(B)A．38 B．44 C．48 D．586．如图所示，下列图形都是由相同的五角星按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第6个图形中共有五角星的个数是(B)A．23 B．24 C．25 D．267．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第7个图形中小圆圈的个数为(D)A．46 B．52 C．56 D．608．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2 019的值是(D)A ．5B ．－14C.43D.459．已知一列数：1，－2，3，－4，5，－6，…，将这列数排成下列形式：按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是(A) A ．－46B ．－36C ．37D ．4510．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 019的结果的个位数字是(A) A ．0B ．1C ．7D ．82．假设嘉嘉抽到牌的点数为x ，淇淇猜中的结果应为y ，则y ＝(B)A ．2B ．3C ．6D ．x ＋311．如图所示，图1表示1张餐桌和6把椅子(三角形表示餐桌，每个小圆表示一把椅子)，图2表示2张餐桌和8把椅子，图3表示3张餐桌和10把椅子，….若按这种方式摆放25张桌子，需要54把椅子．…图1 图2 图3二、填空题12．观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为(n＋1)2－1＝n(n＋2)．13．已知一列数：a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是13a＋21b．14．假设有足够多的黑白棋子，按照一定的规律排列成一行：请问第2 020个棋子是黑棋．(填“黑棋”或“白棋”)15．有一列数：1，2，3，4，5，6，…，当按顺序从第二个数数到第n个数时，共数了(n －1)个数；当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时，共数了(n－m＋1)个数．16．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有(5n＋1)根小棒．17．用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“F”，第1个“F”需要4根，第2个需要7根，第3个需要10根，依此规律，第6个需要19根，第n个需要(3n＋1)根(用含n的代数式表示)．三、解答题18．观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…，回答下列问题：(1)这组单项式的系数的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？(4)请你根据猜想，写出第2 019，2 020个单项式．解：(1)这组单项式的系数的符号规律是(－1)n，系数的绝对值规律是2n－1.(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．(3)第n个单项式是(－1)n(2n－1)x n.(4)第2 019个单项式是－4 037x2 019，第2 020个单项式是4 039x2 020.19．如图所示是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数．(1)写出a，c的关系式；(2)当a＋b＋c＋d＝32时，求a的值．解：(1)a，c的关系式是：a＝c－5.(2)因为a＋b＋c＋d＝32，所以a＋a＋1＋a＋5＋a＋6＝32.所以a＝5.20．如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，根据图示填写下列表格：…21．将连续偶数2，4，6，…排成如下形式，用十字框框出5个数，问：…(1)十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系？(2)5个数的和与32有什么关系？(3)如果将十字框上下左右移动，仍框住5个数，这5个数还有这种规律吗？(4)设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数的和．解：(1)十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小12，下面的数比中间的数大12，左面的数比中间的数小2，右面的数比中间的数大2.(2)因为5个数的和为20＋30＋32＋34＋44＝160，160＝32×5，所以5个数的和是32的5倍．(3)仍有这种规律．(4)十字框框住的5个数的和为(a－12)＋(a－2)＋a＋(a＋2)＋(a＋12)＝5a.。

2019年北师大版深圳专用数学七年级上册同步分层训练第三章5探索与表达规律第1课时探索数字与图形规律含答案

5第1课时探索数字与图形规律知识点1探索整式的数字规律1．礼堂第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多一个座位，则第n排的座位个数是()A．a＋(n－1) B．n＋1C．a＋n D．a＋(n＋1)2．一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，________，________，________．这列数是小明按照一定规则写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么这串数的最后三个数应该是()A．31，32，64 B．31，62，63C．31，32，33 D．31，45，463．2018·梧州按一定规律排列的一列数依次为2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是()A．9999 B．10000 C．10001 D．10002知识点2探索算式的数字规律4．观察下列各式的计算过程：5×5＝0×1×100＋25，15×15＝1×2×100＋25，25×25＝2×3×100＋25，35×35＝3×4×100＋25，…请猜想第n个算式(n为正整数)应表示为：________________________________________________________________________.知识点3探索表格的数字规律5．教材“想一想”变式在某月的月历上用长方形圈出a，b，c，d四个数(如图3－5－1)，如果d＝20，那么a＋b＋c等于()图3－5－1A．38 B．44C．48 D．586．小何用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：那么当输入的数据是8时，输出的数据是()A.861B.863C.864D.865知识点4探索图形规律7．2018·重庆图3－5－2中的图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片……按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为()A．11 B．13 C．15 D．178．将全体自然数按图3－5－3中的方式进行排列：图3－5－3按照这样的排列规律，2019应位于()A．A位B．B位C．C位D．D位9．观察下列图形的排列规律(其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星)．若第1个图形是三角形，则第2019个图形是______．(填图形的名称)图3－5－410．已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，根据上述算式中的规律，32019的末位数字是()A．3 B．9 C．7 D．111．2018·随州我们将如图3－5－5所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)，在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的值为()A．33 B．301 C．386 D．57112．已知9×1＋0＝9，9×2＋1＝19，9×3＋2＝29，9×4＋3＝39，…，根据此规律写出第6个式子为________________．13．如图3－5－6所示，用●表示实心圆，用○表示空心圆，现有若干个实心圆和空心圆按一定规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…图3－5－6则前2019个圆中，有________个空心圆．14．把正整数按从小到大的顺序依次排列成如下形式：12 345 678910…图3－5－7观察规律，求出第10行的最后一个数和第20行的第一个数．15．观察图3－5－8，根据图中的规律完成后面的问题．图3－5－8图(1)表示：1＋3＝4＝22；图(2)表示：1＋3＋5＝9＝32；图(3)表示：1＋3＋5＋7＝16＝42；以此类推，图(4)表示：_________________________________________. 解决问题：求1＋3＋5＋7＋…＋2019的值．详解详析1．A 2.B3．A [解析] 因为第奇数个数2＝12＋1，10＝32＋1，26＝52＋1，…，第偶数个数3＝22－1，15＝42－1，35＝62－1，…，所以第100个数是1002－1＝9999.4．答案不唯一，如[10(n －1)＋5]·[10(n －1)＋5]＝100n (n －1)＋25或5(2n －1)·5(2n －1)＝100n (n －1)＋25 5．B [解析] 依题意得a ＋1＝b ，c ＋1＝d ，c ＝a ＋7，d ＝7＋b ，而d ＝20，则b ＝13，c ＝19，a ＝12，所以a ＋b ＋c ＝44.6．D [解析] 从表中可以看出，输出的数据是一个分数，分子就是输入的数据，分母是输入的数据的平方加上1.7．B [解析] 观察图形知，第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5＝3＋2×1(张)黑色正方形纸片，第③个图中有7＝3＋2×2(张)黑色正方形纸片……故第⑥个图中有3＋2×5＝13(张)黑色正方形纸片．8．D [解析] 由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，因为2019是第2020个数，所以2020÷4＝505，所以2019应位于第505循环组的第4个数的位置，即在D 位．9．五角星 [解析] 观察图形，可知：图形每6个一循环．因为2019＝336×6＋3，所以第2019个图形和第3个图形相同．10．C [解析] 因为31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，所以末位数字每4个一循环．因为2019÷4＝504……3，所以32019的末位数字是7.故选C.11．C [解析] 由图形知第n 个“三角形数”为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，第n 个“正方形数”为n 2.当n ＝19时，n （n ＋1）2＝190＜200，当n ＝20时，n （n ＋1）2＝210＞200.所以在小于200的数中，最大的“三角形数”m ＝190.当n ＝14时，n 2＝196＜200，当n ＝15时，n 2＝225＞200.所以在小于200的数中最大的“正方形数”n ＝196.则m ＋n ＝386.12．9×6＋5＝59 13.67314．[解析] 表中数的排列是有规律的，根据表中数的排列规律可知第n 行的第m 个数为1＋2＋3＋…＋(n －1)＋m .解：第10行的最后一个数为1＋2＋3＋…＋10＝55；第20行的第一个数为1＋2＋3＋…＋19＋1＝190＋1＝191. 15．解：1＋3＋5＋7＋9＝25＝52解决问题：因为1＋3＋5＋7＋9＋…＋2n ＋1＝(1＋2n ＋12)2＝(n ＋1)2，所以1＋3＋5＋7＋…＋2019＝(1＋20192)2＝10102.。

北师大版七年级数学上：3.5《探索与表达规律》课时练习初一数学试题.doc

2个图案中有11根小棒‘…，则第n 个图7.观察下列图★★ * * ★ 第3个图形它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个★ * ★* 第1个★ * ★ * 第2个* * * * *第4个图形 3.5探索与表达规律01 基础题知识点1用代数式表示数的规律1 •观察下列一组数：1，4，9，…，则第4个数是 _______ ，第n 个数是 ________ .2•在日历中画一个正方形，使它圈起3行3列的9个日期，如果左上角的日期设为n ，那么第一行的三个日期依次为n 、 __________ 、 _________ ；第二行的三个日期依次为 ________ 、 ________ 、 ________ ;第三行的三个日期依次为 ________ 、 ________ 、 ______ .12 3 4 53-(广东中考)观察下列一组数：rf ■■■'根据该组数的排列规律，可推出第io 个数是. 4 •若：ai = l —|，a 2=|—|，a 3=|—|，加=+—舟，…，贝！1 a n = ____________ (”=］，2，3，…). 知识点2用代数式表示图形的变化规律5-如图是用火柴拼成的图形，则第n 个图形需 ________ 根火柴棒. △ A7 AA AZV -(1) (2) (3) (4)6.(益阳中考)如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第知识点3用代数式表示表格的变化规律8•从2开始，连续的偶数相加‘它们和的情况如下表: 加数的个数n 连续偶数的和S12=1X2 22+4=6=2X3 32+4+6=12=3X4 42+4+6+8 = 20=4X55 2+4+6+8 + 10=30=5X6根据表中的规律猜想：用n 的代数式表示S 的公式为：S=2+4+6+8 + ・・・+2n= ___________ . 02 中档题9 •如图是将正整数从小到大按1、2、3、4、…、n 、…的顺序组成的鱼状图案，则数“iT 出现的个数为()★ (1) 2C • 66A. In — 1B. 2n C • 2n+l D. 2n+210 •填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是（）A. 38B. 52D. 74 11 （娄底中考）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…‘则第n （n 为正整数）个图案由个▲组成.第1个團塞第？个图塞第3个冈家第4个冈家12.如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”…、，则搭n 条“金鱼”需要火柴 ____________ 根. 1务 2务 3务13.当n 等于1，2,3，“将'，由白色小方形和黑色小正芳形组成的图形分别如图所示.贝1|第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 ____________ .（用"表示，"是正整数）n= 1 n=2 n=314 •（湘潭中考）如图，按此规律，第6行最后一个数字是 ______ ，第 _______ 行最后一个数是2 014. 名称及图形几何点数层数三角形数正方形数五边形数. 六边形数/^\第1层几何点数1 111第2层几何点数 2 3 4 5▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲参考答案基础题1 - 16 n2 2.n+l n+2 n+7 n+8 n+9 n+,14 n+15 n+16 3.普4.~~ 5.(2n+ 1) 6.(5n+l)7 - 28 8.n(n+l)中档题9 - A 10.D ll.(3n+l) 12.(6n+2) 13.n2+4n 14.16 672综合题15 •因为前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，所以第6层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；因为前三层正方形的几何点数分别是：1 =2X1-1、3 = 2X2—1、5 = 2X3—1，所以第6 层的几何点数是：2X6-1 = 11 ＞第n层的几何点数是2n—1；因为前三层五边形的几何点数分别是：1=3X1—2、4=3X2—2、7 = 3X3—2，所以第6层的几何点数是：3X6-2=16，第n层的几何点数是3n—2；前三层六边形的几何点数分别是：1=4X1—3、5=4X2—3、9=4X3—3，所以第6层的几何点数是：4X6-3=21，第n层的几何点数是4n—3.赠:我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。

北师大版-数学-七年级上册-3.5《探索规律(1)》课时作业

3.5《探索规律（1）》课时作业：
基础题目：
1．1，4，9，…，则第4个数是________，第n 个数是________．
2．在日历中画一个正方形，使它圈起3行3列的9个日期，如果左上角的日期设为n ，那么第一行的三个日期依次为n 、________、________；第二行的三个日期依次为________、________、________；第三行的三个日期依次为________、________、________． 3．(广东中考)观察下列一组数：13，25，37，49，5
11，…，根据该组数的排列规律，可推出第
10个数是________．
4．观察：a 1＝1－13，a 2＝12－14，a 3＝13－15，a 4＝14－1
6，…，则a n ＝________________(n ＝1，
2，3，…)．
综合提高题目
5．当n 等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于________．(用n 表示，n 是正整数)
n ＝1 n ＝2 n ＝3
6．如图，按此规律，第6行最后一个数字是________，第________行最后一个数是2 014.
1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …
中考真题链接题目答案：
1．16 n 2 2.n ＋1 n ＋2 n ＋7 n ＋8 n ＋9 n ＋14 n ＋15 n ＋16 3.1021 4.1n －1
n ＋2
5.n 2＋4n
6.16。

北师大版七年级上册3.5探索与表达规律

3.5探究与表达规律（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行15 13 119第三行17 19 21 23第四行31 29 27 25依据上边规律，2019应在（）A ． 125行， 3列B ． 125行， 2列C． 251行， 2列D ． 251行， 5列2．如下图的是某年5月的日历表 ,随意圈出一竖列上相邻的三个数,发现这三个数的和不行能是（ )日一二三四五六1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29 30 31A ． 27 B． 36 C． 40D ．543．察看图中正方形四个极点所标的数字规律，可知，数2019应标在（）2 1 6 5 10 8 14 1330741181512第 1 个正方形第2个正方形第3个正方形第4个正方形A ．第 504个正方形的左下角B．第 504个正方形的右下角C．第 505个正方形的左上角D．第 505个正方形的右下角4．一根绳索曲折成如图1所示的形状，当用剪刀像图2那样沿虚线 a把绳索剪断时，绳索被剪为 5段；当用剪刀像图3那样沿虚线 b（b∥a）把绳索再剪一次时，绳索就被剪为 9段．若用剪刀在虚线 a， b之间把绳索再剪（ n 2）次（剪刀的方向与 a平行），这样一共剪 n次时绳索的段数是（）a a bA ． 4n+1B ． 4n+2C． 4n+3 D． 4n+55．如下图，把相同大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，依据这样的规律摆下去，则图 1 ( )第 n(n是大于 0的整数 )个图形需要黑色棋子的个数是图 2D． 2n－1 图 2A ． 3nB． n(n＋2) C． n(n＋1)6．古希腊有名的毕达哥拉斯学派把1，3， 6， 10，⋯⋯，这样的数称为“三角形数”，而把 1， 4， 9， 16，⋯⋯，这样的数称为“正方形数”；从图中能够发现，任何一个大于1的“正方形数”都能够看作两个相邻“三角形数”之和；则以下切合这一规律的等式是（）A ． 20=4+16 B． 25=9+16C． 36=15+21 D． 40=12+281 / 47．同用样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，依据这样的规律摆下去，第10个图案需要的黑色五角星的个数是（）A ． 15B ． 16C．17D． 188．以下图形都是由相同大小的五角星按必定的规律构成，此中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，⋯⋯，则第⑥个图形中五角星的个数为（）图①图②图③A ． 50 B． 64 C． 68 D． 729．如图，以下图案均是长度相同的火柴按必定的规律拼搭而成：第1个图案需 7根火柴，第2个图案需 13根火柴，⋯⋯，依此规律，第11个图案需（）根火柴A ． 156B ． 157 C． 158D． 15910．如图，都是由边长为 1的正方体叠成的立体图形，比如第（1）个图形由 1个正方体叠成，第（ 2）个图形由 4个正方体叠成，第（3）个图形由 10个正方体叠成，挨次规律，第（ 6 ）个图形由（）个正方体叠成；A ． 36 B． 37 C． 56 D ．84二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．察看以下算式：31=3， 32=9， 33=27， 34=81 ， 35=243， 36=729 ， 37 =2187， 38=6561，⋯，依据上述算式中的规律，32019的末位数字是 _______；12．下边每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，依据这类规律，则第4个正方形中间数字 m为，第 n个正方形的中间数字为；（用含n的代数式表示）1 2 5 6 9 10 135 13 21 m4 3 8 7 12 11第 1 个第 2 个第 3 个第 4 个13．将一些半径相同的小圆按如下图的规律摆放：（1）填写下表：图形序号 1 2 3 4 5小圆个数 6 10 16（2）照这样的规律摆放，第100个这样的图形需要个小圆；14．察看以下图形，它们是按必定规律摆列的，依据此规律，第n个图形有个；15．将一个正方体木块涂成红色，而后如图把它的棱三平分，再沿平分线把正方体切开，能够获得 27个小正方体 .察看并回答以下问题：（1）此中三面涂色的小正方体有 ________个，两面涂色的小正方体有 ______个，各面都没有涂色的小正方体有 ________个；2 / 4（2）假如将这个正方体的棱 n平分，所得的小正方体中三面涂色的有 _________个，各面都没有涂色的有 ________个；（3）假如要获得各面都没有涂色的小正方体125个 , 那么应当将此正方体的棱 ______平分；三．解答题：（写出必需的说明过程，解答步骤）16．察看下边数表：12343456745678 9 10(1)依此规律：第 6行最后一个数字是 ________；第 n行最后一个数字是 ________．(2)此中某一行最后一个数字可能是 2019吗？若不行能，请说明原因；若可能，恳求出是第几行？17．将连续的奇数1， 3， 5，7， 9，⋯⋯，排成如下图的数阵．（1）十字框中的五个数的和与中间数15有什么关系？（2）设中间数为 a，求出十字框中五个数之和；（3）十字框中五个数之和能等于 2 015吗？若能，请写出这五个数；若不可以，说明原因．18．如图 1是一个三角形，分别连结这个三角形三变的中点获得图2，在分别连结图3中间的小三角形三边中点，获得图 3，按此方法持续下去，请你依据每个图中三角形个数的规律，达成以下问题：（1）将下表填写完好图形编号12345⋯⋯三角形个数159（2）在第 n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）？19．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，而后将此中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将此中的一个正方形剪成四个小正方形，这样持续下去，⋯⋯，请你依据以上操作方法获得的正方形的个数的规律达成各题；（1）将下表填写完好；操作次数 1 2 3 4 5 ⋯⋯n正方形个数 4 5 10 a n（2） a n = ___________________ （用含 n的代数式表示）；（3）依据上述方法，可否获得 2019个正方形？假如能，恳求出 n；假如不可以，请简述原因．20．用相同规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，察看以下图形并解答相关问题．（1）在第 n个图中，第一横行共 _____________ 块瓷砖，第一竖列共有 ____________ 块瓷砖；（均用含 n的代数式表示）（2）在第 n个图中，铺设地面所用黑瓷砖的总块数为______________ ；（3）某商铺黑瓷砖原价每块4元，则铺设第n个图的矩形地面，共需花多少元购置黑瓷砖？此刻该商铺举行“双11”促销活动，活动一：凡参加买黑瓷砖活动者赠予2块黑瓷砖；活动二：不赠予瓷砖，每块黑瓷砖打9折；此刻需要购置黑瓷砖，铺设n= 6时矩形地面，参加哪个活动合算？3.5探究与表达规律参照答案：1~10DCDAB CBDBC11.7 ；3 / 412.29 ， 8n-3 ；13.24 ， 34， 10104；14.(n 2n 1 ) ；15. （ 1） 8， 12， 1；（ 2） 8，(n2)3；（3）7；16.（ 1） 6， 3n-2 ；（ 2）可能， 672 行；17.（ 1） 15 的 5 倍；（ 2） 5a；（ 3）能；18.（ 1） 13， 17；（ 2） 4n-3 ；19.（ 1） 13， 16；（ 2） a n =3n+ 1；n 6721 （3）由 3n+ 1=2019 得： 3这时， n不是整数，依据上述方法，不可以获得2019个正方形；20．（ 1）（ n+3），（ n+2）；（ 2） 4n+6；（ 3）参加活动二合算；4 / 4。

北师大版七年级数学上学期同步练习：3.5 探索与表达规

5 探索与表达规律
1．观察下列一组数：23，45，67，89，1011，……，它们是按一定规律排列的，那么这一组
数的第k 个数是________．
2．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是________．
3．如图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：
1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝________．(用n 表示，n 为正整数)
4．一张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起．
n 张桌子拼在一起可坐________人．
5．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星……则第⑥个图形中五角星的个数为 ( )
A ．50
B ．64
C ．68
D ．72
5探索与表达规律
1.
2k 2k＋1
2．4n－2 3.n2 4.2n＋4 5.D。