天津市河西区2019届高三下学期一模考试数学答案(理科)

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【精品高考数学试卷】2019年天津市河西区高考数学一模试卷(理科)+答案

2019年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S＝{x|x＞﹣2}，T＝{x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁R S）∪T＝（）A．（﹣2，1]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）2．（5分）若变量x，y满足约束条件{y≤2xx+y≤1y≥−1，则x+2y的最大值是（）A．−52B．0C．53D．523．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．95B．116C．137D．1584．（5分）设x∈R，则“|x+1|＜1”是“x﹣1＜12”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设a＝log3e，b＝e1.5，c＝log1314，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 6．（5分）以下关于函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的命题，正确的是（）A．函数f（x）在区间(0，23π)上单调递增B ．直线x =π8是函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴 C ．点(π4，0)是函数y ＝f （x ）图象的一个对称中心D ．将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin2x 的图象7．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点M （1，m ）（m ＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x 2a−y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（） A ．19B ．125C ．15D ．138．（5分）如图梯形ABCD ，AB ∥CD 且AB ＝5，AD ＝2DC ＝4，E 在线段BC 上，AC →⋅BD →=0，则AE →⋅DE →的最小值为（）A ．1513B ．9513C ．15D ．−1513二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i 是虚数单位，若复数z 满足（3﹣4i ）z ＝5，则z ＝． 10．（5分）二项式（√x −1√x3）5的展开式中常数项为（用数字作答）11．（5分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2cm ，则四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为 cm 3．12．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为（2，2π3），则CP 的长度为．13．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且2x +8y ﹣xy ＝0，则xy 的最小值为．14．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）={x 2+2，0≤x ＜12−x 2，−1≤x ＜0，且f （x +2）＝f（x），g（x）=2x+5x+2，则方程f（x）＝g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，A，B，C对应的边为a，b，c，已知a cos C+12c＝b．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若b＝4，c＝6，求cos B和cos（A+2B）的值．16．（13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响，我国PM2.5标准如表所示，我市环保局从市区四个监测点2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示．PM2.5日均值（微克/立方米）范围空气质量级别（1，35]Ⅰ（35，75]Ⅱ大于75超标（1）求这15天数据的平均值；（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数ξ，求ξ的分布列和数学期望；（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级．17．（13分）如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝4，DC＝BC ＝2，G为线段AD的中点，PG⊥平面ABCD，PG＝2，M为线段AP上一点（M不与端点重合）．（1）若AM＝MP．①求证：PC∥平面BMG；②求直线PB 与平面BMG 所成的角的大小；（2）是否存在实数λ满足AM →=λAP →，使得平面BMD 与平面ADP 所成的锐角为π3，若存在，确定λ的值，若不存在，请说明理由．18．（13分）已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n +b n +1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．（1）若点C 的坐标为（43，13），且BF 2=√2，求椭圆的方程；（2）若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．20．（14分）已知函数f （x ）＝e x +x 2﹣x ，g （x ）＝x 2+ax +b ，a ，b ∈R ．（1）当a ＝1时，求函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的单调区间；（2）若曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的切线l 与曲线y ＝g （x ）切于点（1，c ），求a ，b ，c 的值；（3）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．2019年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合S ＝{x |x ＞﹣2}， ∴∁R S ＝{x |x ≤﹣2}，T ＝{x |x 2+3x ﹣4≤0}＝{x |﹣4≤x ≤1}，故（∁R S ）∪T ＝{x |x ≤1} 故选：C ．2．【解答】解：作出不等式组{y ≤2x x +y ≤1y ≥−1表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （−12，﹣1），B （13，23），C （2，﹣1）设z ＝F （x ，y ）＝x +2y ，将直线l ：z ＝x +2y 进行平移，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值＝F （13，23）=53故选：C ．3．【解答】解：当k ＝4时，k ＞4不成立，当k ＝5时，k ＞4成立，即程序功能是计算S ＝1+11×2+12×3+13×4+14×5 ＝1+1−12+12−13+⋯+13−14+14−15 ＝2−15=95，故选：A ．4．【解答】解：由|x +1|＜1得﹣1＜x +1＜1，得﹣2＜x ＜0，由x ﹣1＜12得1x＜12，得x ＜0或x ＞2，则“|x +1|＜1”是“x ﹣1＜12”的充分不必要条件，故选：A ．5．【解答】解：0＝log 31＜log 3e ＜log 33＝1，e 1.5＞e ＞2，1=log 1313＜log 1314＜log 1319=2；∴a ＜c ＜b 故选：D ．6．【解答】解：函数f （x ）＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π4），在区间(0，23π)上，2x −π4∈（−π4，13π12），故函数在区间(0，23π)上不单调，故排除A ；令x =π8，求得f （x ）＝0，不是函数的最值，故直线x =π8不是函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴，故排除B ；令x =π4，求得f （x ）＝1≠0，故点(π4，0)不是函数y ＝f （x ）图象的一个对称中心，故排除C ；将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π8个单位，可得到 y =√2sin[2（x +π8）−π4═√2sin2x 的图象，故D 正确．故选：D ．7．【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线方程为x =−p2，由抛物线的定义可得5＝1+p2，可得p ＝8，即有y 2＝16x ，M （1，4），双曲线x 2a−y 2＝1的左顶点为A （−√a ，0），渐近线方程为y ＝±√ax ，直线AM 的斜率为1+√a，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得√a=1+√a，解得a =19，故选：A ．8．【解答】解：在梯形ABCD ，AB ∥CD ，则向量AD →与AB →的夹角和向量AD →与DC →的夹角相等，不妨设为θ．由AC →⋅BD →=0可知，(AD →+DC →)⋅(AD →−AB →)=0，整理得16﹣20cos θ+8cos θ﹣10＝0，解之得cosθ=12，∴θ＝60°，即∠DAB ＝60°，过点D 向AB 作垂线垂足为O ，建立如图所示直角坐标系，则A （﹣2，0），B （3，0），D （0，2√3），C （2，2√3），则BE →=λBC →=(−λ，2√3λ)，∴E(3−λ，2√3λ)．所以AE →=(5−λ，2√3λ)，DE →=(3−λ，2√3(λ−1)）． AE →⋅DE →=(5−λ)(3−λ)+12λ(λ−1)=13λ2﹣20λ+15，又知0≤λ≤1，当λ=1013时，取得最小值9513．故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．【解答】解：由（3﹣4i ）z ＝5，得z =53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=35+45i ．故答案为：35+45i ．10．【解答】解：二项式（√x −1√x3）5的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r•（﹣1）r •x 15−5r 6，令15−5r 6=0，求得r ＝3，可得展开式中常数项为−C 53=−10，故答案为：﹣10．11．【解答】解：过A 作AO ⊥BD 于O ，AO 是棱锥的高，所以AO =3×332=3√22，所以四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为V =13×2×3√2×3√22=6．故答案为：6．12．【解答】解：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，得x 2+y 2＝4x ，即（x ﹣2）2+y 2＝4，其圆心（2，0），点P 的极坐标为（2，2π3），其直角坐标为（﹣1，√3），|CP |=√(−1−2)2+(0−√3)2=2√3 故答案为：2√3．13．【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，2x +8y ﹣xy ＝0， ∴xy ＝2x +8y ≥2√16xy =8√xy ，∴√xy ≥8，∴xy ≥64．当且仅当x ＝4y ＝16时取等号．故xy 的最小值为64．故答案为：6414．【解答】解：由题意知g(x)=2x+5x+2=2(x+2)+1x+2=2+1x+2，函数f （x ）的周期为2，则函数f （x ），g （x ）在区间[﹣5，1]上的图象如下图所示：由图形可知函数f （x ），g （x ）在区间[﹣5，1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为﹣3，若设C 的横坐标为t （0＜t ＜1），则点A 的横坐标为﹣4﹣t ，所以方程f （x ）＝g （x ）在区间[﹣5，1]上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t ）+t ＝﹣7．故答案为：﹣7．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵a cos C+12c＝b．∴由正弦定理可得：sin A cos C+12sin C＝sin B，又∵sin B＝sin（A+C），可得：sin A cos C+12sin C＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin C≠0，∴可得：cos A=1 2，∵A∈（0，π），∴A=π3⋯6分（Ⅱ）∵b＝4，c＝6，A=π3，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝16+36﹣2×4×6×12=28，可得：a＝2√7，∴由b sin A＝a sin B，可得：sin B=√3 7，∵b＜a，∴cos B=√1−sin2B=7，∴sin2B＝2sin B cos B=4√37，cos2B＝2cos2B﹣1=17，∴cos（A+2B）＝cos A cos2B﹣sin A sin2B=−1114⋯13分16．【解答】解：（1）随机抽取15天的数据的平均数为：x=115(25+28+31+⋯+92)=55（3分）（2）依据条件，ξ的可能值为0，1，2，3，当ξ＝0时，P(ξ=0)=C50C103C153=2491，（4分）当ξ＝1时，P(ξ=1)=C51C102C153=4591（5分）当ξ＝2时，P(ξ=2)=C52C101C153=2091，（6分）当ξ＝3时，P(ξ=0)=C53C100C153=291（7分）所以其分布列为：ξ0123P249145912091291（8分）数学期望为：Eξ=4591+2×2091+3×291=1（10分）（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P=515=13，（11分）一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B(360，13 )，∴Eη=360×13=120（天）所以一年中平均有120天的空气质量达到一级．（13分）17．【解答】（1）①证明：∵AM＝MP，即M为AP的中点，G是AD的中点，∴MG∥PD，又MG⊂平面BMG，PD⊄平面BMG，∴PD∥平面BMG．∵AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2，DG=12AD＝2，∴四边形BCDG是正方形，∴CD∥BG，又BG⊂平面BMG，CD⊄平面BMG，∴CD∥平面BMG．又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，∴平面PCD∥平面BMG，又PC⊂平面PCD，∴PC∥平面BMG．②解：∵PG⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG，由①知BG⊥AD，PG∩AD＝G，∴BG⊥平面P AD，又P A⊂平面P AD，∴BG⊥P A，∵PG＝AG，M是P A的中点，∴MG⊥P A，又BG∩MG＝G，∴P A⊥平面BMG，∴∠PBM为PB与平面BMG所成的角．∵PG ＝AG ＝BG ＝2，PG ⊥AG ，PG ⊥BG ，∴AP ＝BP ＝2√2，故PM =12AP =√2，∴sin ∠PBM =PM PB =12， ∴直线PB 与平面BMG 所成的角为30°．（2）解：以G 为原点，以GB ，GD ，GP 为坐标轴建立空间直接坐标系如图所示，则A （0，﹣2，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），∴DB →=（2，﹣2，0），BA →=（﹣2，﹣2，0），AP →=（0，2，2），∴BM →=BA →+AM →=BA →+λAP →=（﹣2，2λ﹣2，2λ），设平面BDM 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DB →=0n →⋅BM →=0，即{2x −2y =0−2x +(2λ−2)y +2λz =0，令x ＝λ可得n →=（λ，λ，2﹣λ），又BG ⊥平面ADP ，故m →=（1，0，0）为平面ADP 的一个法向量，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=λ√3λ−4λ+4，令√3λ2−4λ+4=12，解得λ＝2√2−2或λ＝﹣2√2−2（舍）． ∴存在实数λ＝2√2−2满足AM →=λAP →，使得平面BMD 与平面ADP 所成的锐角为π3．18．【解答】解：（1）由题意当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝3n 2+8n ﹣3（n ﹣1）2﹣8（n ﹣1）＝6n +5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；所以a n ＝6n +5，n ∈N *；（2）设数列{b n }的公差为d ，由{a 1=b 1+b 2a 2=b 2+b 3，即{11=2b 1+d 17=2b 1+3d，解之得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n +1，n ∈N *；（3）由（1）知c n =(a n +1)n+1(b n +2)n =(6n+6)n+1(3n+3)n =3（n +1）•2n +1，又T n ＝c 1+c 2+c 3+…+c n ，即T n =3[2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)2n+1]，所以2T n =3[2×23+3×24+4×25+⋯+(n +1)2n+2]，以上两式两边相减得﹣T n ＝3[8+23+24+…+2n +1﹣（n +1）•2n +2]＝3[8+8(1−2n−1)1−2−（n +1）•2n +2]，化简可得T n ＝3n •2n +2．19．【解答】解：（1）∵C 的坐标为（43，13）， ∴169a 2+19b 2=1，即16a 2+1b 2=9，∵BF 22=b 2+c 2=a 2，∴a 2＝（√2）2＝2，即b 2＝1，则椭圆的方程为x 22+y 2＝1．（2）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∵B （0，b ），∴直线BF 2：y =−b c x +b ，代入椭圆方程x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）得（1a +1c ）x 2−2c x =0，解得x ＝0，或x =2a 2c a 2+c 2， ∵A （2a 2c a +c ，−b(c 2−a 2)a 2+c 2），且A ，C 关于x 轴对称， ∴C （2a 2c a 2+c 2，b(c 2−a 2)a 2+c 2），则k F 1C =−b(c 2−a 2)a 2+c 22a 2c a 2+c 2+c =a 2b−bc 23a 2c+c 3， ∵F 1C ⊥AB ，∴b(a 2−c 2)3a 2c+c 3⋅×（−b c ）＝﹣1，由b 2＝a 2﹣c 2得c 2a =15，即e =√55．20．【解答】解：（Ⅰ）F （x ）＝e x ﹣2x ﹣b ，则F '（x ）＝e x ﹣2．令F '（x ）＝e x ﹣2＞0，得x ＞ln 2，所以F （x ）在（ln 2，+∞）上单调递增．令F '（x ）＝e x ﹣2＜0，得x ＜ln 2，所以F （x ）在（﹣∞，ln 2）上单调递减．…（4分）（Ⅱ）因为f '（x ）＝e x +2x ﹣1，所以f '（0）＝0，所以l 的方程为y ＝1．依题意，−a 2=1，c ＝1．于是l 与抛物线g （x ）＝x 2﹣2x +b 切于点（1，1），由12﹣2+b ＝1得b ＝2．所以a ＝﹣2，b ＝2，c ＝1．…（8分）（Ⅲ）设h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣（a +1）x ﹣b ，则h （x ）≥0恒成立．易得h '（x ）＝e x ﹣（a +1）．（1）当a +1≤0时，因为h '（x ）＞0，所以此时h （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．①若a +1＝0，则当b ≤0时满足条件，此时a +b ≤﹣1；②若a +1＜0，取x 0＜0且x 0＜1−b a+1，此时ℎ(x 0)=e x 0−(a +1)x 0−b ＜1−(a +1)1−b a+1−b =0，所以h （x ）≥0不恒成立．不满足条件；（2）当a +1＞0时，令h '（x ）＝0，得x ＝ln （a +1）．由h '（x ）＞0，得x ＞ln （a +1）；由h '（x ）＜0，得x ＜ln （a +1）．所以h （x ）在（﹣∞，ln （a +1））上单调递减，在（ln （a +1），+∞）上单调递增．要使得“h （x ）＝e x ﹣（a +1）x ﹣b ≥0恒成立”，必须有：“当x ＝ln （a +1）时，h （x ）min ＝（a +1）﹣（a +1）ln （a +1）﹣b ≥0”成立．所以b ≤（a +1）﹣（a +1）ln （a +1）．则a +b ≤2（a +1）﹣（a +1）ln （a +1）﹣1．令G （x ）＝2x ﹣xlnx ﹣1，x ＞0，则G '（x ）＝1﹣lnx ．令G '（x ）＝0，得x ＝e ．由G '（x ）＞0，得0＜x ＜e ；由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，当x＝e时，G（x）max＝e﹣1．从而，当a＝e﹣1，b＝0时，a+b的最大值为e﹣1．综上，a+b的最大值为e﹣1．…（14分）。

【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学一模试卷(理科)+答案

2019年天津市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）集合M ＝{y |y ＝ln （x 2+1）}，N ＝{x |2x ＜4}，则M ∩N 等于（） A ．[0，2]B ．（0，2）C ．[0，2）D ．（0，2]2．（5分）设变量满足约束条件{x −y +1≤02x +3y −6≥03x −2y +6≥0，则目标函数z ＝x ﹣2y 的最大值为（）A ．−6639B ．−135C ．﹣2D ．23．（5分）下列三个命题：①命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ＞0； ②命题p ：|2x ﹣1|≤1，命题q ：11−x＞0，则p 是q 成立的充分不必要条件；③在等比数列{b n }中，若b 5＝2，b 9＝8，则b 7＝±4；其中真命题的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．34．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）将函数y =cos(2x −π6)的图象向左平移φ（0＜φ＜π）的单位后，得到函数y =cos(2x +π3)的图象，则φ等于（） A ．π3B ．π6C ．π2D ．π46．（5分）已知a =log 130.60.3，b =log 1214，c =log 130.50.4，则实数a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c ＜a ＜bB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a7．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若△ABC 的面积为2a 2，则双曲线的渐近线方程为（） A ．y =±√22xB ．y =±√2xC ．y =±√33xD ．y =±√3x8．（5分）已知函数f(x)={|log 3(2−x)|，x ＜2−(x −3)2+2，x ≥2，g(x)=x +1x −1，则方程f （g （x ））＝a 的实根个数最多为（） A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．（5分）若z ＝1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，则a •b ＝．10．（5分）已知a =∫ π0sinxdx ，则(ax x )5的二项展开式中，x 2的系数为．11．（5分）已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为． 12．（5分）直线l ：{x =at y =1−2t （t 为参数），圆C ：ρ=−4√2sin(θ+3π4)（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为√2，则实数a ＝．13．（5分）已知x ＞0，y ＞0，√2是2x 与4y 的等比中项，则1x+xy 的最小值．14．（5分）在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45°，高为m ，Q 为折线段B ﹣C ﹣D 上的动点，AC →+AD →=2AE →设AE →⋅AQ →的最小值为f （m ），若关于m 的方程f （m ）＝km ﹣3有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b （2b ﹣c ）cos A ＝a 2+b 2﹣c 2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S △ABC =25√34，且a ＝5，求b +c ． 16．（13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．（Ⅰ）设事件A 为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）用X 表示抽取的4人中B 组女生的人数，求随机变量X 的分布列和期望． 17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，∠DAB =π3，AD ＝2，AM ＝1，E 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：AN ∥平面MEC ；（Ⅱ）求ME 与平面MBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P ﹣EC ﹣D 的大小为π3？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．18．（13分）设数列{a n }满足a 1＝2，且点P(a n ，a n+1)(n ∈N ∗)在直线y ＝x +2上，数列{b n }满足：b 1＝3，b n +1＝3b n ．（Ⅰ）数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n ⋅(b n −(−1)n )}的前n 项和为T n ，求T n ． 19．（14分）已知椭圆W ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，点P(√2a ，√3)，F 1，F 2分别是椭圆W 的左、右焦点，△PF 1F 2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合．过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ． ①求B 点坐标； ②求证：|EF 1|＝|F 1G |．20．（14分）函数f(x)=(n −mlnx)x 1n ，其中n ∈N *，x ∈（0，+∞）．（Ⅰ）当n＝2时，f（x）在[1，e]上单调递减，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m＝1时，①n为定值，求f（x）的最大值；②若n＝2，lna≥1，求证：对任意k＞0，直线y＝﹣kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．2019年天津市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．【解答】解：M ＝{y |y ≥0}，N ＝{x |x ＜2}； ∴M ∩N ＝[0，2）．故选：C ．2．【解答】解：变量满足约束条件{x −y +1≤02x +3y −6≥03x −2y +6≥0的可行域如下图所示：由图可知，由{2x +3y −6=03x −2y +6=0得A （−613，3013），由{2x +3y −6=0x −y +1=0解得B （35，85）目标函数z ＝x ﹣2y 化为y =12x −z2，平移直线经过的B 时，目标函数取得最大值：z ＝x ﹣2y 取最大值：−135．故选：B ．3．【解答】解：①：∀x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ≥0，故①错误， ②由|2x ﹣1|≤1，得﹣1≤2x ﹣1≤1得0≤x ≤1，由11−x＞0，得1﹣x ＞0得x ＜1，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件，故②错误，③在等比数列{b n }中，若b 5＝2，b 9＝8，则b 7＝b 5q 2；即b 7与b 7同号，则b 7＝4，故③错误，故真命题的个数为0个，故选：A ．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得S ＝1，k ＝1 S ＝2，不满足条件S ＞10，k ＝2，S ＝6 不满足条件S ＞10，k ＝3，S ＝15满足条件S ＞10，退出循环，输出k 的值为3．故选：B ．5．【解答】解：将函数y =cos(2x −π6)的图象向左平移φ（0＜φ＜π）的单位后，可得y ＝cos （2x +2φ−π6）的图象，根据已知得到函数y =cos(2x +π3)的图象， ∴2φ−π6=π3，∴φ=π4，故选：D ．6．【解答】解：a =log 130．60.3=0.3log 130.6，b =log 1214=2，c =log 130．50.4=0.4log 130.5； ∵0＜log 130.6＜log 130.5＜1；∴0＜0.3log 130.6＜0.4log 130.5＜1；∴a ＜c ＜b ．故选：C ．7．【解答】解：设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ，由题意可得AC ⊥BC ，可得四边形F ABC 为矩形，即有|AF |＝|BC |，设|AC |＝m ，|BC |＝n ，可得n ﹣m ＝2a ，n 2+m 2＝4c 2，12mn ＝2a 2，即有4c 2﹣8a 2＝4a 2，即有c =√3a ，b =√c 2−a 2=√2a ，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±√2x ．故选：B ．8．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t ＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．【解答】解：由z ＝1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，得（a +bi ）（1﹣2i ）＝（a +2b ）+（b ﹣2a ）i ＝8﹣i ， ∴{a +2b =8b −2a =−1，解得a ＝2，b ＝3． ∴ab ＝6．故答案为：6．10．【解答】解：已知a =∫ π0sinxdx =−cos x |0π=2，则(ax +x )5=(2x x)5 的二项展开式中，通项公式为 T r +1=C 5r •25﹣r•x 5−3r2，令5−3r 2=2，求得r ＝2，可得展开式中x 2的系数为C 52•23＝80，故答案为：80．11．【解答】解：圆柱的底面半径为2，则底面直径为4，又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为4和2的矩形，如图：则圆柱的外接球的半径为r =12√42+22=√5． ∴该圆柱的外接球的表面积为4π×(√5)2=20π．故答案为：20π．12．【解答】解：直线l ：{x =at y =1−2t （t 为参数）化为普通方程，得：2ax +y −1=0，圆C ：ρ=−4√2sin(θ+3π4)化为普通方程，得：（x +2）2+（y ﹣2）2＝8，圆心C （﹣2，2），半径r ＝2√2，∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为√2，∴圆心C （﹣2，2）到直线2ax +y −1=0的距离：d =|−2×2a +2−1|√4a2+1=√2，解得实数a ＝﹣4±2√6．故答案为：﹣4±2√6．13．【解答】解：x ＞0，y ＞0，√2是2x 与4y 的等比中项，则2x •4y ＝2， ∴x +2y ＝1， ∴1x +x y=x+2y x+x y=1+2y x +x y ≥1+2√2y x ⋅xy =1+2√2，当且仅当2y x =x y时，即x =√2−1，y =2−√22取等号，故答案为：2√2+114．【解答】解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以AB 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，由已知可得：A （﹣2，0），B （2，0），D （m ﹣2，m ），C （2﹣m ，m ）， ∵AC →+AD →=2AE →， ∴E 为DC 的中点， ∴E （0，m ），由Q 为折线段B ﹣C ﹣D 上的动点，故当Q 落在D 点时，AE →⋅AQ →取最小值f （m ）， ∵AE →=（2，m ），AD →=（m ，m ）即f （m ）＝（2，m ）•（m ，m ）＝m 2+2m ，（0＜m ＜2）；关于m 的方程f （m ）＝km ﹣3有两个不相等的实根，即m 2+（2﹣k ）m +3＝0在（0，2）上有两个不等式相等的实根，∴{△=(2−k)2−12＞00＜−2−k 2＜24+2(2−k)+3＞0解得：k ∈（2+2√3，112）∴实数k 的取值范围是（2+2√3，112）．故答案为：（2+2√3，112）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵2b （2b ﹣c ）cos A ＝a 2+b 2﹣c 2， ∴2b(2b−c)cosA2ab=a 2+b 2−c 22ab，………（1分）∴（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，………（2分）∴由正弦定理得：（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，………（3分） ∴即：2sin B cos A ＝sin C cos A +sin A cos C ， ∴2sin B cos A ＝sin B ，………（4分） ∵0＜B ＜π，∴sin B ≠0，………（5分） ∴cosA =12，………（6分） ∵0＜A ＜π，∴A =π3．………（7分）（Ⅱ）∵S △ABC =12bcsinA =25√34，………（8分） ∴bc ＝25，………（9分）∵cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−252×25=12，………（10分） ∴b 2+c 2＝50，………（11分）∴（b +c ）2＝b 2+c 2+2bc ＝100，………（12分）即：b +c ＝10．………（13分） 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛，基本事件总数n =C 94，事件A 为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，则事件A 包含的基本事件个数m =C 31C 21C 42，∴事件A 发生的概率P(A)=C 31⋅C 21⋅C 42C 94=36126=27⋯⋯⋯（3分）（列式（2分），结果1分）（Ⅱ）X 可能取值为0，1，2，3………（4分） P(X =0)=C 64⋅C 30C 94=15126=542⋯⋯⋯（5分）（列式（1分），结果1分） P(X =1)=C 63⋅C 31C 94=60126=1021⋯⋯⋯（7分）（列式（1分），结果1分） P(X =2)=C 62⋅C 32C 94=45126=514⋯⋯⋯（9分）（列式（1分），结果1分） P(X =3)=C 61⋅C 33C 94=6126=121⋯⋯⋯（11分）（列式（1分），结果1分）∴X 的分布列为X 0123P 5421021514121EX =0×542+1×1021+2×514+3×121=43⋯⋯⋯（13分）（列式（1分），结果1分）（本题得数不约分不扣分） 17．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）CM 与BN 交于F ，连接EF由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF ………（1分）又EF ⊂平面MEC ，………（2分）AN ⊄平面MEC ，………（3分）所以AN ∥平面MEC ………（4分）解：（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，∠DAB =π3，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ．又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，平面ADNM ∩平面ABCD ＝AD ， ∴DN ⊥平面ABCD ………（5分）如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），E(√3，0，0)，C （0，2，0），M(√3，−1，1)，B(√3，1，0)，N （0，0，1）设平面MBC 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)， MB →=(0，2，−1)，BC →=(−√3，1，0)，{MB →⋅n 1→=0BC →⋅n 1→=0，∴{2y −z =0−√3x +y =0，∴n 1→=(1，√3，2√3)⋯⋯⋯（6分）ME →=(0，1，−1)⋯⋯⋯（7分）cos ＜ME →，n 1→＞=ME →⋅n 1→|ME →||n 1→|=−√32⋅4=−√68⋯⋯⋯（8分） ∴ME 与平面MBC 所成角的正弦值√68⋯⋯⋯（9分）（Ⅲ）设P(√3，−1，ℎ)，CE →=(√3，−2，0)，EP →=(0，−1，ℎ) 设平面PEC 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)则，{CE →⋅n 1→=0EP →⋅n 1→=0∴{√3x −2y =0−y +ℎz =0令y =√3ℎ，∴n 1→=(2ℎ，√3ℎ，√3)⋯⋯⋯（10分）又平面ADE 的法向量n 2→=(0，0，1)，cos ＜n 1→，n 2→＞=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√3√7ℎ+3=12⋯⋯⋯（11分）解得，ℎ=3√77⋯⋯⋯（12分）， ∵3√77＞1， ∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P ﹣EC ﹣D 的大小为π3．………（13分）18．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可知：对于数列{a n}：∵点P(a n，a n+1)(n∈N∗)在直线y＝x+2上，∴a n+1＝a n+2∴a n+1﹣a n＝2（n∈N*）．∴{a n}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列．∴a n＝a1+（n﹣1）2＝2n．对于数列{b n}：∵b1＝3，b n+1＝3b n，∴{b n}是以b1＝3为首项，3为公比的等比数列．∴b n=3n．（Ⅱ）由题意及（1）知：对于一般项：a n⋅(b n−(−1)n)=2n⋅(3n−(−1)n)=2n⋅3n−(−1)n⋅2n．由题意，可设{2n•3n}的前n项和为T n′=2⋅31+4⋅32+6⋅33+⋯+2(n−1)⋅3n−1+ 2n⋅3n①3T n′=2⋅32+4⋅33+6⋅34+⋯+2(n−1)⋅3n+2n⋅3n+1②①﹣②得−2T n′=2⋅31+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅3n−2n⋅3n+1，∴−2T n′=6(1−3n)1−3−2n⋅3n+1=−3+(1−2n)⋅3n+1，∴T n′=32+(n−12)⋅3n+1．同理，可设{（﹣1）n•2n}的前n项和为T n''，∴当n为偶数时，T n″=−2+4−6+8−⋯−2(n−1)+2n=2⋅n2=n，当n 为奇数时，n +1为偶数，则：T n +1″＝2+4﹣6+8﹣…﹣2n +2（n +1）=2⋅n+12=n +1． ∴T n ''＝T n +1''﹣2（n +1）＝n +1﹣2n ﹣2＝﹣n ﹣1． ∵T n ＝T n ′﹣T n ″．∴T n ={32+(n −12)⋅3n+1−n(n 为偶数)52+(n −12)⋅3n+1+n(n 为奇数)．19．【解答】解：（Ⅰ）由已知e =c a =√22，a 2＝b 2+c 2，得b ＝c ，a =√2c ， ∵△PF 1F 2为等腰三角形， ∴|F 1F 2|＝|F 2P |，则(2c)2=(√2a −1)2+(√3)2解得c ＝1， ∴a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆W 方程为x 22+y 2=1（Ⅱ）①由题意可得直线l 1的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立，由{y =x +1x 22+y 2=1可求B(−43，−13)．②当l 2与x 轴垂直时，C ，D 两点与E ，G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 1|＝|F 1G |．当l 2不与x 轴垂直时，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1）．由{y =k(x +1)x 22+y 2=1消去y ，整理得（2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0．则x 1+x 2=−4k22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1．由已知，x 2≠0，则直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，令x ＝﹣1，得点E 的纵坐标y E =x 2−y 2+1x 2．把y 2＝k （x 2+1）代入得y E =(x 2+1)(1−k)x 2．由已知，x 1≠−43，则直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)，令x ＝﹣1，得点G 的纵坐标y G =y 1−x 1−13(x 1+43)．把y1＝k（x1+1）代入得y G=(x1+1)(k−1)3x1+4．y E+y G=(x2+1)(1−k)x2+(x1+1)(k−1)3x1+4=(1−k)[(x2+1)(3x1+4)−x2(x1+1)]x2⋅(3x1+4)=(1−k)[2x1x2+3(x1+x2)+4]x2⋅(3x1+4)把x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1代入到2x1x2+3（x1+x2）+4中，2x1x2+3（x1+x2）+4=2×2k2−22k2+1+3×(−4k22k2+1)+4=0．即y E+y G＝0，即|EF1|＝|F1G|．20．【解答】解：（Ⅰ）当n＝2时，f(x)=(2−mlnx)x 12，f′(x)=(2−2√x−m x√x=2−mlnx−2m2√x≤在[1，e]恒成立．即2﹣mlnx﹣2m≤0在[1，e]恒成立，∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，∴m≥22+lnx，令u（x）=22+lnx，u′（x）=−2x(2+lnx)2＜0．∴u（x）=22+lnx在[1，e]单调递减，∴φ（x）max＝φ（1）＝1，∴m≥1．（Ⅱ）①当m＝1时，f(x)=(n−lnx)⋅x 1 n，f′(x)=−1x⋅x 1n+(n−lnx)1nx1n−1=−x1n−1+(n−lnx)1nx1n−1=−1n⋅lnx⋅x1n−1．∵x＞0，∴令f′（x）＝0，x＝1．x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）↗极大值↘∴f（x）max＝f（1）＝n．②要证明当a≥e，k＞0时，关于x的方程√x(2−lnx)=−kx+a有唯一解，令t=√x，即证明g（t）＝kt2+2t﹣2tlnt﹣a有唯一零点．我们先证三个引理【引理1】x（1﹣lnx）≤1…（由第1问取n＝1即可）【引理2】lnx≥1−1x⋯（由【引理1】变形得到）【引理3】lnx≤x﹣1…（可直接证明也可由【引理2推出】证明：lnx=−ln 1x≤−(1−11x)=x−1．证毕！．下面我们先证明函数g（t）存在零点，先由【引理2】得到：g(t)≤kt2+2t−2t(1−1t)−a=kt2+2−a．令t=√a−2k，可知g（t）≤0．再由【引理3】得到lnx＜x，于是g(t)=t(kt−4ln√t)+(2t−a)＞t√t(k√t−4)(2t−a)．令t＞16k2，且t＞a2，可知g（t）＞0．由连续性可知该函数一定存在零点．下面我们开始证明函数g（t）最多只能有一个零点．我们有g′(t)=2kt−2lnt=2t(k−lntt)．令ℎ(t)=lntt，则ℎ′(t)=1−lntt2，则h（t）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，即ℎ(t)max=1e．当k≥1e时，有g'（t）≥0恒成立，g（t）在（0，+∞）上递增，所以最多一个零点．当0＜k＜1e时，令g'（t1）＝g'（t2）＝0，t1＜e＜t2，即lnt1＝kt1，于是g（t1）＝t1lnt1+2t1﹣2t1lnt1﹣a＝t1（2﹣lnt1）﹣a．再令t1＝eT（0＜T＜1），由【引理1】可以得到g（t1）＝eT（1﹣lnT）﹣a＜e×1﹣a≤0．因此函数g（t）在（0，t1）递增，（t1，t2）递减，（t2，+∞）递增，t＝t1时，g（t）有极大值但其极大值g（t1）＜0，所以最多只有一个零点．综上，当k＞0，a≥e时，函数y＝f（x）与y＝﹣kx+a的图象有唯一交点．。

2019届天津市河西区高三一模数学(理)试题(解析版)

18．已知数列的前n项和，是等差数列，且 .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令 .求数列的前n项和 .
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和 .
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】略
8．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先建系解得坐标，再设坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.
【详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，
因此，
3．集合法：若 ⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
5．设，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先判断三个数取值范围，再根据范围确定大小.
【详解】
因为，所以，选D.
【点睛】
比较大小：一般根据函数的单调性，确定各数取值范围，再根据范围判断大小.
6．以下关于的命题，正确的是（）
19．如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接 .
（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若求椭圆离心率的值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程的关系式，求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）求出点的坐标，利用建立斜率之间的关系，解方程即可求出的值.

2019届天津市部分区高三联考一模数学(理)试题(解析版)

2019届天津市部分区高三联考一模数学（理）试题一、单选题1．若集合{}21A x x =<，{}02B x x =<<，则A B =（）A ．{}01x x << B ．{}10x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}12x x -<<【答案】D【解析】先化简集合A ，再利用并集的定义求解即可. 【详解】集合{}{}2111A x x x x =<=-<<,{}02B x x =<<, ∴属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{}12A B x x ⋃=-<<，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用奇偶性的定义证明充分性成立，利用特殊函数证明必要性不成立，从而可得结果. 【详解】若()f x 和()g x 都是偶函数，则()()()() f x f x g x g x -=-=，，()()()() f x g x f x g x -⋅-=⋅，即()()f x g x ⋅是偶函数，充分性成立；当()f x x =,() 2g x x =时，()()f x g x ⋅是偶函数，但是()f x 和()g x 都不是偶函数，必要性不成立，∴“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的充分而不必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩，将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时，直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】C【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值. 【详解】输入1,1n S ==，第一次循环3,2S n ==；第二次循环7,3S n ==；第三次循环15,4S n ==；第四次循环31,5S n ==，退出循环，输出31S =,故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π= 【答案】D【解析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.6．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（） A ．108石 B ．169石C ．237石D ．338石【答案】A【解析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】256粒内夹谷18粒，∴米中含谷的频率为189256128=， 1536∴石中夹谷约为91536129108128⨯=⨯=（石）.故选A. 【点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.7．已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C【解析】分别求出四个选项中双曲线的离心率，判断是否为53，利用排除法可得结果. 【详解】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了抛物线的方程与性质，考查了选择题的特殊解法，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.8．已知函数()y f x =的定义域为(),ππ-，且函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，当()0,x π∈时，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中()'f x 是()f x 的导函数），若()log 3a f π=,13log 9b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【解析】求出()'f x ,可得'2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，能确定()'f x 的解析式，分类讨论可确定()'f x 的符号，可得()f x 在()0,π上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较13log 32ππ、、的大小关系，结合函数()f x 的奇偶性与单调性可得结果.【详解】()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()''cos 2f x f x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()'2cos f x x x π=-，当2x π≤<π时，()2cos 0,'0x f x ≤>；当02x π<<时，()2,2cos 2,'0x f x xπ><∴>，即()f x 在()0,π上递增，()2y f x =+的图象关于2x =-对称，()2y f x ∴=+向右平移2个单位得到()y f x =的图象关于y 轴对称，即()y f x =为偶函数，()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，0log 1log 3log 1ππππ=<<=， 1103212πππ=<<<，即130log 32πππ<<<<，()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭，即b c a >>. 故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． .二、填空题 9．i 是虚数单位，若21aii++是纯虚数，则实数a 的值为_________. 【答案】2-【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，再利用纯虚数的定义求解即可. 【详解】()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a +-++-+==++-， 2i1i a ++是纯虚数， 202a +∴=且202a -≠，2a =-∴.故答案为2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．在的展开式中，含项的系数为_________.（用数字填写答案）【答案】【解析】试题分析：由题意可得，令，综上所述，的系数为，故答案为.【考点】1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.11．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 【答案】2π【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的，高为1的圆锥组成的组合体，利用圆锥的体积公式可得结果. 【详解】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体1，体积为212123ππ⨯⨯⨯=.故答案为2π. 【点睛】本题主要考查圆锥的性质、圆锥的体积公式的应用，考查空间想象能力以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.12．已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B两点，且AB ，则直线l 的斜率为_________.【答案】15±【解析】直线参数方程化为普通方程，圆方程化为标准方程求得圆心与半径，由AB ，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可.【详解】由x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，得tan y x α=，设tan k α=，得直线y kx =，由22430x y x +-+=，得()2221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，∴圆心到直线y kx =12==，得15k =±.故答案为15±. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.13．若对任意的x ∈R ，不等式1221x x a --+≤-恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】(][)12-∞-⋃+∞，，【解析】利用绝对值三角不等式求得12x x --+的最大值为3，解不等式213a -≥，即可得结果【详解】()()12123y x x x x =--+≤--+=，∴要使1221x x a --+≤-恒成立，则213a -≥，213a -≥或213a -≤-，即2a ≥或1a ≤-，∴实数a 的取值范围是(][)12-∞-⋃+∞，，.故答案为(][)12-∞-⋃+∞，，.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.14．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，点,E F 分别在边,AD DC 上，()12BE BA BD =+，13DF DC =，则BE BF ⋅=_________. 【答案】223【解析】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系，求得,BE BF 的坐标，从而可得结果. 【详解】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系，菱形边长为2，60ABC ∠=，()(()(1,0,0,,1,0,A B C D ∴-，()12BE BA BD =+E ∴为AD 的中点，1,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,,333BF DC F ⎛=∴ ⎝⎭， 13315,,23BE BF ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，11522623BE BF ∴⋅=-+=.故答案为223. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的坐标表示，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三、解答题 15．在中，内角所对的边分别为，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）在中，由，利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）先求得，由正弦定理可得，利用二倍角的正弦公式可得，由同角三角函数的关系可得，进而由两角和的正弦公式可得结果.【详解】（1）在中，根据余弦定理，，于是，解得或（舍去），故.（2）在中，，于是.根据正弦定理，得，.又为钝角，为锐角，即.从而，，.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从,,,A B C D四所高校中选2所.（1）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；（2）若甲必选A，记X为甲、乙、丙三名同学中选D校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）18；（2）43.【解析】（1）利用组合知识，由古典概型概率公式可得结果；（2）求出甲同学选中D高校的概率与乙、丙同学选中D高校的概率，判断X所有可能的取值为0,1,2,3，根据互斥事件的概率公式与独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】（1）设“甲、乙、丙三名同学都选D 高校”为事件M ，则()11133322244418C C C P M C C C ==. （2）甲同学选中D 高校的概率为：1=3P 甲，乙、丙同学选中D 高校的概率为：13241=2C P P C ==乙丙， X 所有可能的取值为0,1,2,3，∴，有()2111011326P X ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()22111151112323212P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()11111111112=111=3223223223P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()1111332212P X ==⨯⨯=;∴X 的分布列为∴()1511401236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ；（Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB段DH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）56π；（3）32. 【解析】先利用线面垂直的性质证明直线PD ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，（1）可得()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量，求得()0,2,1QB =-，利用0QB AD ⋅=，且直线QB ⊄平面PDC 可得结果；（2）利用向量垂直数量积为0，列方程组分别求出平面PBC 与平面PBQ 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，()2,2,2PB =-，由cos<,15PB AH >==，解方程可得结果.【详解】（1）平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ADPQ ⊂平面，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD .由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C ，()()()2,0,0,2,0,1,0,0,2A Q P .依题意，易证：()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量，又()0,2,1QB =-，∴ 0QB AD ⋅=，又直线QB ⊄平面PDC ，∴ //QB PDC 平面. （2）()()2,2,2,=0,22PB PC =--，.设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量，则110n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =.设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的法向量，又()()2,2,2,2,0,1PB PQ =-=-，则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =，∴ 1212123cos<,n n n n n n ⋅>==⋅ 又二面角C PB Q --为钝二面角，∴二面角C PB Q --的大小为56π. （3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，又()2,2,2PB =-，又cos<,15PB AH>==，∴ 2625240h h -+=，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为32.【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行、求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a a +=+（*N n ∈），3412a a +=.数列{}n b 为等比数列，且1223,b a b S ==. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)nn n n c a b =-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）()1341388n n n T +-=-⋅-. 【解析】（1）先得到数列{}n a 是以2为公差的等差数列，由3412a a +=求出首项，可得{}n a 的通项公式，由1223,b a b S ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】（1）由已知得：12n n a a +-=，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列.3412a a +=，121012a ∴+=，11a ∴=， 21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，12233,b a b S ===，2339b q S ∴===，3q ∴=， 3n n b ∴=.（2）由题意，得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，()()()()()23133353213nn T n ∴=⋅-+⋅-+⋅-+⋯+-⋅-， ()()()()()()23131333233213n n n T n n +∴-=⋅-+⋅-+⋯+-⋅-+-⋅-.上述两式相减，得()()()()()231432333213n n n T n +⎡⎤=-+-+-+⋯+---⋅-⎣⎦()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅- , ()1341388n n n T +-∴=-⋅- .【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆经过点离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点的直线(不经过点且不与轴重合)与椭圆交于两点，与直线:交于点，记直线的斜率分别为.则是否存在常数，使得向量共线？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据椭圆经过点，离心率，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果；（2）直线的方程为，代入椭圆方程整理得，求得的坐标为，求出,利用韦达定理化简可得，从而可得结果.【详解】（1）由在椭圆上，.①由已知得，又，.②②代入①解得.椭圆的方程为.（2）假设存在常数，使得向量共线，，即.由题意可设的斜率为，则直线的方程为，③代入椭圆方程并整理，得，设，则有，.④在方程③中令得，的坐标为.从而，，., ⑤④代入⑤得，又，.故存在常数符合题意.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径. 20．设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果. 【详解】（1）()()2ln 0f x ax x x =-->，∴()11'ax f x a x x-=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=.从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数.综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数；又22110f e e⎛⎫=>⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<；故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈；又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===，由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ⊂，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

2019年天津市部分区高考一模数学试卷含参考答案（理科）

密……封……圈……内……不……能……答……题密……封……圈……内……不……能……答……题 2019年天津市部分区高考一模数学试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1．（5分）若集合A＝{x|x2＜1}, B＝{x|0＜x＜2}, 则A∪B＝（） A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|1＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2} 2．（5分）若f（x）, g（x）均是定义在R上的函数, 则“f（x）和g（x）都是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）设变量x, y满足约束条件, 则目标函数z＝2x+y的最大值是（）A．2 B．3 C．5 D．74．（5分）阅读如图的程序框图, 运行相应的程序, 则输出S的值为（）A．7 B．15 C．31 D．635．（5分）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）, 则下列结论中错误的是（） A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间（）上单调递减D．f（x+）的一个零点为x＝6．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮, 有人送来米1536石, 验得米内夹谷, 抽样取米一把, 数得256粒内夹谷18粒, 则这批米内夹谷约为（）A．108石 B．169石 C．237石 D．338石7．（5分）已知离心率为的双曲线C：＝1（a＞0, b＞0）的左、右焦点分别是F1, F2, 若点P是抛物线y2＝12x的准线与C的渐近线的一个交点, 且满足PF1⊥PF2, 则双曲线的方程是（）A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝18．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π, π）, 且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称, 当x∈（0, π）时, f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f （x）的导函数）, 若a＝f（logπ3）, b＝f（log9）, c＝f（）, 则a, b, c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a二、填空题（本大题共6小题, 每小题5分, 共30分．)9．（5分）i是虚数单位, 若是纯虚数, 则实数a的值为．10．（5分）在（x2+）6的展开式中, 含x3项的系数为．（用数字填写答案）11．（5分）已知等边三角形的边长为2, 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．12．（5分）已知直线l的参数方程是（t为参数）, 若l与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于A, B两点, 且|AB|＝, 则直线l的斜率为．13．（5分）若对任意的x∈R, 不等式|x﹣1|﹣|x+2|≤|2a﹣1|恒成立, 则实数a的取值范围为．14．（5分）已知菱形ABCD的边长为2, ∠ABC＝60°, 点E, F分别在边AD, DC上, ＝（）, ＝, 则＝．三、解答题（本大题共6小题, 共80分；解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤．）15．（13分）在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, a＝4, c＝3, cos A＝．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求sin （2B +）的值．16．（13分）分）某中学的甲、某中学的甲、某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试乙、丙三名同学参加高校自主招生考试, 每位同学彼此独立的从A , B , C , D 四所高校中选2所．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率；（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢A 高校, 他必选A 校, 另在B , C , D 三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱, 因此他们每人在四所高校中随机选2所．（i ）求甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率；（ii ）记X 为甲、乙、丙三名同学中选D 校的人数, 求随机变量X 的分布列及数学期望． 17．（13分）在如图所示的几何体中, 四边形ABCD 是正方形, 四边形ADPQ 是梯形, PD ∥QA , ∠PDA ＝, 平面ADPQ ⊥平面ABCD , 且AD ＝PD ＝2QA ＝2．（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ；（Ⅱ）求二面角C ﹣PB ﹣Q 的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上, 且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为, 求线段DH 的长．18．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n , 且a n +1＝a n +2（n ∈N *）, a 3+a 4＝12, 数列{b n }为等比数列, 且b 1＝a 2, b 2＝S 3．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n ＝（﹣1）n a n •b n , 求数列{c n }的前n 项和T n ． 19．（14分）已知椭圆＝1（a ＞b ＞0）经过点P （﹣2, ）, 离心率e ＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F的直线（不经过点P且不与x轴重合）与椭圆交于A、B两点, 与直线l：x＝﹣3交于点M, 记直线P A, PB, PM的斜率分别为k1, k2, k3（k3≠0）, 则是否存在常数λ, 使得向量＝（k1+k2, λ）, ＝（k3, 1）共线？若存在求出λ的值；若不存在, 说明理由．20．（14分）设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时, 试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时, 若对∀x∈（1, +∞）, 都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立, 求k的最大值．2019年天津市部分区高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1．（5分）若集合A＝{x|x2＜1}, B＝{x|0＜x＜2}, 则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|1＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2} 【解答】解：∵集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1},B＝{x|0＜x＜2},∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：D．2．（5分）若f（x）, g（x）均是定义在R上的函数, 则“f（x）和g（x）都是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（x）和g（x）都是偶函数, 则f（x）•g（x）是偶函数, 即充分性成立, 当f（x）和g（x）都是奇函数时, 满足f（x）•g（x）是偶函数, 即必要性不成立, 即“f（x）和g（x）都是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”充分不必要条件,故选：A．3．（5分）设变量x, y满足约束条件, 则目标函数z＝2x+y的最大值是（） A．2 B．3 C．5 D．7【解答】解：作出变量x, y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z,平移直线y＝﹣2x+z,由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时, 直线y＝﹣2x+z的截距最大,此时z最大．由, 解得, 即A（3, ﹣1）,代入目标函数z＝2x+y得z＝2×3﹣1＝5．即目标函数z＝2x+y的最大值为5．故选：C．4．（5分）阅读如图的程序框图, 运行相应的程序, 则输出S的值为（）A．7 B．15 C．31 D．63【解答】解：当n＝5时查询终止,则程序的功能是计算S＝1+2+22+23+24＝1+2+4+8+16＝31,故选：C．5．（5分）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）, 则下列结论中错误的是（） A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间（）上单调递减D．f（x+）的一个零点为x＝【解答】解：f（x）＝sin x+cos x＝．f（x）的一个周期为2π, 故A正确；f（x）的最大值为2, 故B正确；由＜x＜, 得＜＜π, ∴f（x）在区间（）上单调递减, 故C 正确； f （x +）＝,取x ＝时, 函数值为,故D 错误．故选：D ．6．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮, 有人送来米1536石, 验得米内夹谷, 抽样取米一把, 数得256粒内夹谷18粒, 则这批米内夹谷约为（） A ．108石B ．169石C ．237石D ．338石【解答】解：粮仓开仓收粮, 有人送来米1536石, 验得米内夹谷, 抽样取米一把, 数得256粒内夹谷18粒, 这批米内夹谷约为：1536×＝108（石）．故选：A ．7．（5分）已知离心率为的双曲线C ：＝1（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别是F 1, F 2, 若点P 是抛物线y 2＝12x 的准线与C 的渐近线的一个交点, 且满足PF 1⊥PF 2, 则双曲线的方程是（） A ．＝1B ．＝1C ．＝1D ．＝1【解答】解：离心率为的双曲线C ：＝1（a ＞0,b ＞0）可得, 则,双曲线的一条渐近线方程为：4x ﹣3y ＝0, 抛物线y 2＝12x 的准线：x ＝﹣3, 可得P （﹣3, ﹣4）, 双曲线C ：＝1（a ＞0, b ＞0）的左、右焦点分别是F 1（﹣c , 0）, F 2（c , 0）,满足PF 1⊥PF 2, （3﹣c , 4）•（3+c , 4）＝0, 解得c ＝5, 则a ＝3；b ＝4；舍去的双曲线方程为：＝1．故选：C ．8．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π, π）, 且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称, 当x∈（0, π）时, f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f （x）的导函数）, 若a＝f（logπ3）, b＝f（log9）, c＝f（）, 则a, b, c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣π, π）, 且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称,∴函数f（x）为R上的偶函数．当x∈（0, π）时, f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数）, f′（x）＝﹣f′（）cos x,令x＝, 则f′（）＝2,∴f′（x）＝﹣2cos x,当x∈时, ≥2, 2cos x≤2．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．当x∈时, ＞0, 2cos x≤0．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴x∈（0, π）时, f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴函数f（x）在x∈（0, π）时单调递增．∵a＝f（logπ3）, b＝f（log9）＝f（﹣2）＝f（2）, c＝f（）,∵0＜logπ3＜1＜＜2,∴a＜c＜b．即b＞c＞a．故选：A．二、填空题（本大题共6小题, 每小题5分, 共30分．)9．（5分）i是虚数单位, 若是纯虚数, 则实数a的值为 ﹣2 ．【解答】解：∵＝是纯虚数,∴,即a ＝﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）在（x 2+）6的展开式中, 含x 3项的系数为 20 ．（用数字填写答案）【解答】解：由于（x 2+）6的展开式的通项公式为 T r +1＝•x 12﹣3r ,令12﹣3r ＝3, 解得r ＝3, 故展开式中x 3的系数是＝20,故答案为：20．11．（5分）已知等边三角形的边长为2, 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 2π ．【解答】解：等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径,以1为高的两个圆锥的组合体,∴将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为： V ＝2×＝2π．故答案为：2π．12．（5分）已知直线l 的参数方程是（t 为参数）, 若l 与圆x 2+y 2﹣4x +3＝0交于A , B 两点, 且|AB |＝,则直线l 的斜率为 ± ．【解答】解：根据题意, 直线l 的参数方程是（t 为参数）,圆的方程为x 2+y 2﹣4x +3＝0,若l 与圆x 2+y 2﹣4x +3＝0交于A , B 两点,则有（t cos α）2+（t sin α）2﹣4t cos αx +3＝0, 变形可得t 2﹣4t cos αx +3＝0,则有t 1+t 2＝4cos α, t 1t 2＝3, 又由|AB |＝,则有（t 1+t 2）2﹣4t 1t 2＝16cos 2α﹣12＝3, 解可得cos 2α＝, 则有sin 2α＝,则有tan α＝±,则直线l 的斜率tan α＝±；故答案为：±．13．（5分）若对任意的x∈R, 不等式|x﹣1|﹣|x+2|≤|2a﹣1|恒成立, 则实数a的取值范围为（﹣∞, ﹣1]∪[2, +∞）．【解答】解：由|x﹣1|﹣|x+2|＝|x﹣1|﹣|﹣2﹣x|≤|（x﹣1）+（﹣2﹣x）|＝3,∴不等式|x﹣1|﹣|x+2|≤|2a﹣1|恒成立转化为|2a﹣1|≥3成立,即2a﹣1≥3或2a﹣1≤﹣3,可得a≥2或a≤﹣1,故答案为（﹣∞, ﹣1]∪[2, +∞）．14．（5分）已知菱形ABCD的边长为2, ∠ABC＝60°, 点E, F分别在边AD, DC上, ＝（）, ＝, 则＝．【解答】解：由＝（）, ＝, 可得点E为线段AD的中点, 点F 为线段DC的三等分点靠近点D处,由菱形ABCD的边长为2, ∠ABC＝60°, 得：||＝2, ∠ABD＝30°,则＝（）•（）＝﹣+＝×12﹣+×＝,故答案为：．三、解答题（本大题共6小题, 共80分；解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤．）15．（13分）在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, a＝4, c＝3, cos A ＝．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中, 由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A,又a＝4, c＝3, cos A＝,2b2+3b﹣14＝0,解得b ＝2；（Ⅱ）由cos A ＝﹣, 所以sin A ＝,由正弦定理得：,得sin B ＝, 又0,所以cos B ＝, 所以sin2B ＝2sin B cos B ＝, cos2B ＝2cos 2B ﹣1＝, 所以sin （2B +）＝+＝,故答案为：．16．（13分）分）某中学的甲、某中学的甲、某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试乙、丙三名同学参加高校自主招生考试, 每位同学彼此独立的从A , B , C , D 四所高校中选2所．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率；（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢A 高校, 他必选A 校, 另在B , C , D 三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱, 因此他们每人在四所高校中随机选2所．（i ）求甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率；（ii ）记X 为甲、乙、丙三名同学中选D 校的人数, 求随机变量X 的分布列及数学期望．【解答】解：（I ）设甲、乙、丙三名同学分别选D 高校的概率为P i （i ＝1, 2, 3）．则P 1＝P 2＝P 3＝,∴甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率P ＝＝．（II ）（i ）设乙、丙未选D 高校的概率都为：＝．∴甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率＝＝．（ii ）X 的取值为0, 1, 2, 3．P（X＝0）＝（1﹣）××＝,P（X＝1）＝+2×（1﹣）××＝,P（X＝2）＝++（1﹣）×＝．P（X＝3）＝×＝．∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P ∴数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．17．（13分）在如图所示的几何体中, 四边形ABCD是正方形, 四边形ADPQ是梯形, PD ∥QA, ∠PDA＝, 平面ADPQ⊥平面ABCD, 且AD＝PD＝2QA＝2．（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣Q的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上, 且异面直线AH与PB所成角的余弦值为, 求线段DH的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形, ∴AB∥CD,∵四边形ADPQ是梯形, PD∥QA, AB∩QA＝A, CD∩PD＝D,∴平面ABP∥平面DCP,∵QB⊂平面ABQ, ∴QB∥平面PDC．解：（Ⅱ）以D为原点, DA为x轴, DC为y轴, DP为z轴, 建立空间直角坐标系, 则C（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, B（2, 2, 0）, Q（2, 0, 1）, ＝（2, 2, ﹣2）, ＝（0, 2, ﹣2）, ＝（2, 0, ﹣1）,设平面PBC的法向量＝（x, y, z）,则, 取y＝1, 得＝（0, 1, 1）,设平面PBQ的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, 2）,设二面角C﹣PB﹣Q的大小为θ, 由图形得θ为钝角,则cosθ＝﹣＝＝﹣,∴θ＝,∴二面角C﹣PB﹣Q的大小为．（Ⅲ）点H在棱PD上, 且异面直线AH与PB所成角的余弦值为,设DH＝t, 则H（0, 0, t）, A（2, 0, 0）, ＝（﹣2, 0, t）, ＝（2, 2, ﹣2）,∴|cos＜＞|＝＝＝,解得t＝, ∴线段DH的长为．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n, 且a n+1＝a n+2（n∈N*）, a3+a4＝12, 数列{b n}为等比数列, 且b1＝a2, b2＝S3．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n ＝（﹣1）n a n •b n , 求数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）根据题意, 数列{a n }满足a n +1＝a n +2, 则数列{a n }是公差为2的等差数列,又由a 3+a 4＝12, 则a 3+a 3+d ＝12, 解可得a 3＝5, 则a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝2n ﹣1,又由数列{b n }为等比数列, 且b 1＝3, b 2＝1+3+5＝9, 则数列{b n }的公比为3, 则b n ＝3n ,（Ⅱ）根据题意, 由（Ⅰ）的结论, a n ＝2n ﹣1, b n ＝3n ,则c n ＝（﹣1）n a n •b n ＝（﹣1）n ×（2n ﹣1）×3n ＝（2n ﹣1）（﹣3）n ,则T n ＝1×（﹣3）+3×（﹣3）2+……+（2n ﹣1）（﹣3）n , ① ﹣3T n ＝1×（﹣3）2+3×（﹣3）3+……+（2n ﹣1）（﹣3）n +1, ② ①﹣②可得：4T n ＝﹣3+2[（﹣3）2+（﹣3）3+……（﹣3）n ]﹣（2n ﹣1）×（﹣3）n +1＝﹣×（﹣3）n ﹣1,变形可得：T n ＝﹣×（﹣3）n ﹣1．19．（14分）已知椭圆＝1（a ＞b ＞0）经过点P （﹣2,）, 离心率e ＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F 的直线（不经过点P 且不与x 轴重合）与椭圆交于A 、B 两点, 与直线l ：x ＝﹣3交于点M , 记直线P A , PB , PM 的斜率分别为k 1, k 2, k 3（k 3≠0）, 则是否存在常数λ, 使得向量＝（k 1+k 2, λ）, ＝（k 3, 1）共线？若存在求出λ的值；若不存在, 说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得,解得a 2＝6, b 2＝2, 故椭圆的方程为+＝1,（Ⅱ）假设存在常数λ, 使得向量＝（k1+k2, λ）, ＝（k3, 1）共线,∴k1+k2＝λk3,由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y＝k（x+2）, ①代入椭圆方程并整理得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6＝0设A（x1, y1）, B（x2, y2）, 则有x1+x2＝﹣, x1x2＝,在方程①中, 令x＝﹣3得, M（﹣3, ﹣k）,从而k1＝, k2＝, k3＝＝k+,∴k1+k2＝+＝+＝2k﹣•＝2k﹣×＝2k+＝2（k+）＝2k3, ∵k3＝k+≠0,∴k1+k2＝2k3．故存在常数λ＝2符合题意20．（14分）设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时, 试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时, 若对∀x∈（1, +∞）, 都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立, 求k的最大值．【解答】解：（I）f′（x）＝a﹣, （x＞0）．a≤0时, f′（x）＜0, 函数f（x）在（0, +∞）上单调递增．a＞0时, f′（x）＝, （x＞0）．则f（x）在（0, ）上单调递减, 在（, +∞）上单调递增．（II）a＝1时, f（x）＝x﹣2﹣lnx（x＞0）．f′（x）＝, （x＞0）．则f（x）在（0, 1）上单调递减, 在（1, +∞）上单调递增．x＝1时, 函数f（x）取得极小值即最小值, f（1）＝﹣1．x→0+时, f（x）→+∞；x→+∞时, f（x）→+∞．∴函数f（x）存在两个零点．（III）当a＝1时, 对∀x∈（1, +∞）, 都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立,化为：4k＜lnx+＝g（x）,g′（x）＝+＝．令u（x）＝x﹣lnx﹣2, x∈（1, +∞）,u′（x）＝1﹣＞0, ∴函数u（x）在x∈（1, +∞）单调递增,u（3）＝1﹣ln3, u（4）＝2﹣2ln2,∴存在唯一的x0∈（3, 4）, 使得u（x0）＝0, 即x0﹣lnx0﹣2＝0,函数g（x）在（1, x0）内单调递减, 在（x0, +∞）内单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝lnx0+＝x0﹣2+＝x0+﹣1∈（, ）, ∵4k＜, k∈Z．∴k的最大值为0．注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上。

2019届天津市河西区高三下学期一模考试数学试卷(理工类)附解析

2019届天津市河西区高三下学期一模考试数学试卷（理工类）附解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+·如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P AB P ⋅=·柱体的体积公式Sh V=·锥体的体积公式Sh V31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积 h 表示柱（锥）体的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则()R C S T =（A ）(2,1]- （B ）]4,(--∞ （C ）]1,(-∞（D ）),1[+∞（2）若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值是（A ）5-2（B ）0（C ）53（D ）52（3）某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（A ）59 （B ）116 （C ）137（D ）158（4）设x ∈R ，则“|1|1x +<”是“112x -<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设3log a e =, 1.5b e =，131log 4c =，则（A ）c a b << （B ）b a c <<（C ）a b c << （D ）b c a <<（6）以下关于()x x x f 2cos 2sin -=的命题，正确的是（A ）函数()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛32,0π上单调递增（B ）直线8π=x 是函数()x f y =图象的一条对称轴（C ）点⎪⎭⎫⎝⎛0,4π是函数()x f y =图象的的一个对称中心（D ）将函数()x f y =图象向左平移8π个单位，可得到x y 2sin 2=的图（第3题图）象（7）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（A ）19（B ）125（C ）15（D ）13（8）如图梯形ABCD ，CD AB //且5AB =,24AD DC ==，E 在线段 BC 上，0AC BD ⋅=，则AE DE ⋅的最小值为（A ）1315 （B ）1395 （C ）15 （D ）1315-（第8题图)河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数学试卷（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津市河西区2019届高三数学下学期一模考试试题理

天津市河西区2019届高三数学下学期一模考试试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U·如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=·柱体的体积公式Sh V =·锥体的体积公式Sh V 31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积h 表示柱（锥）体的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则()R C S T =U（A ）(2,1]- （B ）]4,(--∞ （C ）]1,(-∞ （D ）),1[+∞（2）若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值是（A ）5-2（B ）0 （C ）53（D ）52（3）某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（A ）59 （B ）116 （C ）137（D ）158（4）设x ∈R ，则“|1|1x +<”是“112x -<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设3log a e =, 1.5b e =，131log 4c =，则（A ）c a b << （B ）b a c << （C ）a b c <<（D ）b c a <<（6）以下关于()x x x f 2cos 2sin -=的命题，正确的是（A ）函数()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛32,0π上单调递增（B ）直线8π=x 是函数()x f y =图象的一条对称轴（C ）点⎪⎭⎫⎝⎛0,4π是函数()x f y =图象的的一个对称中心（D ）将函数()x f y =图象向左平移8π个单位，可得到x y 2sin 2=的图象（7）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（A ）19（B ）125（C ）15（D ）13（第3题图）（8）如图梯形ABCD ，CD AB //且5AB =,24AD DC ==，E 在线段BC 上，0AC BD ⋅=uuu r uu u r ，则AE DE ⋅uu u r uu u r的最小值为（A ）1315 （B ）1395 （C ）15 （D ）1315-河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数学试卷（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津市河西区2019届高三下学期一模考试化学试卷附答案

（3）反应的目的是_________________________________。
气体Z的电子式：________________。
写出反应的离子方程式：___________________________________________。
（4）将回收的H溶于少量水，所得溶液中所有离子的浓度由大到小依次是
a.容器内压强保持恒定
b.混合气体的密度保持恒定的状态
c. N2H4和NH3的物质的量之比保持恒定的状态
d.单位时间内生成1mol N2的同时消耗4molNH3
若该反应在不同温度下达到平衡时，混合气体中各组分的体积分数如上图所示，其中曲线a表示的是（填物质的化学式）的体积分数随温度的变化情况；为促进肼的分解，可采取的合理措施有_____________________________________________。
3滴浓KI溶液
中溶液
振荡
无明显现象
过量稀硫酸
中溶液
边滴边振荡
溶液颜色由黄色逐渐变橙色，最后呈墨绿色
已知：K2CrO4溶液为黄色；Cr3+在水溶液中为绿色。
请按要求回答下列问题：
（1）写出K2Cr2O7在酸性条件下平衡转化的离子方程式：______________________。对比实验与，可得结论是该转化反应的△H_____0（填“˃”或“<”）。
（2）结合实验、，分析导致中现象出现的主要因素是________________。
（3）推测实验中实验现象为________________________。对比实验、、中实验现象，可知，常温下K2Cr2O7中Cr在碱性条件下主要以__________离子形式存在。
（4）对比实验与，可知：在________条件下，+6价Cr被I-还原为__________。

天津市河西区2019届高三下学期理数总复习质量调查(三)

天津市河西区2019届高三下学期理数总复习质量调查（三)一、单选题 (共8题；共16分)1．（2分）已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={y|y=2x−1,x∈A}，则A∩B=（）A．{1,3}B．{1,3,5}C．{1,2,5}D．{1,4}2．（2分）设变量x，y满足约束条件{2x+y≥0,x+2y−2≥0,x≤0,y≤3,则目标函数z＝x＋y的最大值为（）A．B．1C．D．33．（2分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为15，则输出N的值为（）A．0B．1C．2D．34．（2分）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件5．（2分）若log a3<log b3<0，则（）A．0<a<b<1B．0<b<a<1C．a>b>1D．b>a>16．（2分）函数f（x）=sinx-cos(x+ π6)的值域为（）A．[ -2 ,2]B．[- √3, √3]C．[-1,1 ]D．[- √32, √3 2]7．（2分）双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，则C的焦距等于（）A．2B．2√2C．4D．4√28．（2分）△ABC中，AB=5，AC=4，AD⇀=λAB⇀+(1−λ)AC⇀(0<λ<1)，且AD⇀⋅AC⇀= 16，则DA⇀⋅DB⇀的最小值等于（）A．−754B．−214C．−94D．−21二、填空题 (共6题；共6分)9．（1分）已知复数z=2−i（i是虚数单位），则z̅z=．10．（1分）长方体ABCD−A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=√3，AA1=1，则球的表面积为．11．（1分）(x√y y√x)8的展开式中x2y2的系数为.12．（1分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是{x=t+1y=t−3（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ= 4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为．13．（1分）若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为．14．（1分）若函数y=mx与函数y=|x|−1|x−1|的图象无公共点，求实数m的取值范围．三、解答题 (共6题；共35分)15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosBcosC=−b2a+c．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=2，c=3，求cosA和sin(2A−B)的值．16．（5分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：（Ⅰ）取出的3件产品中一等品件数X的分布列及期望；（Ⅱ）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．17．（5分）已知平行四边形ABCD中∠A=60°，AB=2AD=2，平面AED⊥平面ABCD，三角形AED为等边三角形，EF∥AB．（Ⅰ）求证：平面BDF⊥平面AED；（Ⅱ）若BC⊥平面BDF①求异面直线BF与ED所成角的余弦值；②求二面角B−DF−C的正弦值．18．（5分）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N∗，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列．（Ⅰ）求q的值和{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a2n−1a2n，n∈N∗，求数列{b n}的前n项和．19．（5分）如图，椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，以椭圆C的上顶点T为圆心作圆T：x2+(y−1)2=r2(r>0)，圆T与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求TA⇀⋅TB⇀的最小值，并求出此时圆T的方程；（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，O的坐标原点，求证：|OM|⋅|ON|为定值．20．（10分）已知函数f(x)=e x,g(x)=lnx,ℎ(x)=kx+b．（1）（5分）当b=0时，若对任意x∈(0,+∞)均有f(x)⩾ℎ(x)⩾g(x)成立，求实数k的取值范围；（2）（5分）设直线ℎ(x)与曲线f(x)和曲线g(x)相切，切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2))，其中x1<0．①求证：x2>e；②当x≥x2时，关于x的不等式a(x1−1)+xlnx−x≥0恒成立，求实数a取值范围．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为集合A={1,2,3,4,5}，所以B={y|y=2x−1,x∈A}={1,3,5,7,9}，所以A∩B={1,3,5}，故选B.【分析】先化简集合B，再利用交集的定义求解即可. 2．【答案】D【解析】【解答】目标函数为四边形ABCD及其内部，如图：其中A(0,1),B(0,3),C(−32,3),D(−23,43)，所以直线z=x+y过点B时取最大值3，故答案为：D.【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，由可行域找出最优解，再利用最优解即可求出线性目标函数的最大值。

2019届天津市河西区高三第二学期总复习质量调查(二)数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年天津市河西区高三第二学期总复习质量调查（二）数学（理）试题一、单选题1．设全集{|110},{1,2,3,5,8},{1,3,5,7,9}U n N n A B =∈≤≤==，则()U C A B ⋂=（） A ．{}6,9 B ．{}6,7,9 C ．{}7,9 D ．{}7,9,10【答案】C【解析】先求U C A ，再求交集. 【详解】因为{}{|110},1,2,3,5,8,U n N n A =∈≤≤=所以{}467910U C A =，，，，，因此(){}7,9U C A B ⋂=，选C. 【点睛】本题考查集合补集与交集，考查基本求解能力，属基础题.2．若变量满足约束条件则的最小值等于（） A ． B ．C ．D ．2【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】解：由变量x ，y 满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立，解得A （﹣1，）．∴z ＝2x ﹣y 的最小值为2×（﹣1）．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 3．如图所示，程序框图的输出结果是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】执行流程图，通过计算等比数列求和确定输出结果. 【详解】执行流程图，01501622263100,222127100+++=<+++=>，所以循环结果为617.k =+=选C. 【点睛】本题考查循环结构流程图以及等比数列求和，考查基本分析与求解能力，属基础题.4．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.【考点】等比数列5．设()0.50.433434,,log log 443a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】先根据指数函数以及对数函数单调性确定三个数取值范围，再根据范围判断大小. 【详解】因为()0.500.43334433440011,?log log 4log 104433a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈==>==<= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，,所以c a b <<，选B. 【点睛】本题考查指数函数以及对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题. 6．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】因为对任意恒成立，所以，则或，当时，，则（舍去），当时，，则，符合题意，即，令，解得，即的单调递减区间是；故选A.7．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的一个交点，若直线AF（） A．13B．23C．33D．43【答案】B【解析】先根据相同的焦点F 解得2pc =，再联立方程组解得A 点坐标，最后根据直线AF 的斜率求离心率. 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，所以2pc =, 由224y px cx ==，22221x y a b-=得2222222()4()0c a x a cx a c a ----=解得12()(),a c a a c a x x c a c a +--==-+，所以(),A a c a x c a+=- 不妨设c,0F（）,则222343()()A A AF A AA A y y k cx x c x c x c ==⇒=⇒=---, 因此222222()()43()4()3(2)a c a a c a cc ca c a a ac c c a c a++=-∴-=+---，2224324(1)3(12),31661630e e e e e e e e ∴-=+--+++=，222(341)(43)013e e e e e e +∴----=>∴=或2e =+，因为点A 在x 轴上方，所以2()20,112A a c a x c e e e e c a+=>∴+-<>∴<<-因此23e +=，选B. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.8．在平行四边形ABCD 中，||2,||4,60,,AD CD ABC E F ︒==∠=分别是,BC CD 的A ．12B ．16C ．125D ．165【答案】C【解析】先根据几何条件得45AH AF =,再利用向量数量积求结果. 【详解】11204242AB AD AB AD cos ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭,取DE 中点M ，则1,2FM CE =所以445AH AD AH AF HE FM ==∴=, 因此()()4441155522AH DE AF DE AD DF DC CE AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⋅+=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2243114311124164542254225AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=⨯-+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选C. 【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题9．设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+=____. 【答案】22i +【解析】根据复数除法运算法则以及共轭复数概念化简即可. 【详解】221i 112 2.1z i i i z i+=++=+++=+- 【点睛】本题考查复数除法运算法则以及共轭复数概念，考查基本求解能力，属基础题. 10．三棱锥P ABC -中， ,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ， P ABC -的体积为2V ，则12V V = 【答案】141离为12h ，所以， 1211132.143DAB PAB S h V V S h ∆∆⋅== 【考点】几何体的体积.11．523x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为____.（用数字作答）【答案】270【解析】先根据二项式展开式通项公式求3x 的项数，再代入得结果. 【详解】因为7102552155(3)((3)(1)r r rrr rrr T C x C x---+==-，所以由71032r-=得2r =，因此3x 的系数为25225(3)(1)=270.C --【点睛】本题考查二项式展开式求特定项系数，考查基本求解能力，属基础题.12．已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【答案】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【考点定位】坐标系与参数方程 13．若，则的最小值为_____.【答案】【解析】试题分析：由得，即，所以，，当且仅当时取等号，所以【考点】1．对数的性质；2．基本不等式．【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．14．已知函数()f x 满足，(),0ln ,0kx k x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，其中0k ≥，若函数()()1y f f x =+有4个零点，则实数k 的取值范围是___. 【答案】1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】先作函数()f x 图象，结合图象确定()1f m =-的根的情况，再结合图象与根的情况确定函数()()1y f f x =+有4个零点所需满足的条件.【详解】先作函数()f x 图象，由图可得()1f m =-有两根，其中1211,=m m e<-，因此1()f x m =必有两根,因此要使函数()()1y f f x =+有4个零点，需2()f x m =有两根,即21k m k e≥∴≥，【点睛】本题考查函数图象与函数零点，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题15．在ABC ∆中，,,A B C 对应的边为,,a b c . π（2）若B 是钝角，且312cos ,sin 513A B ==，求 sin C 的值. 【答案】（1）a ＝2，b ＝2 （2）1665 【解析】(1)∵A ＋B ＋C ＝π，C ＝3π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ＝－cos 3π＝－12.由余弦定理及已知条件得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 12absin C ab ＝4. 联立方程组224{4a b ab ab +-== 解得a ＝2，b ＝2. (2)∵B 是钝角，且cos A ＝35，sin B ＝1213，∴sin A 45，cos B ＝－513， ∴sin C ＝si n[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B) ＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝45×513⎛⎫-⎪⎝⎭＋35×1213＝1665. 16．甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为，且三位学生是否做对相对独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（Ⅰ）求至少有一位学生做对该题的概率；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的数学期望。