河南省焦作市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析

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河南省焦作市2021-2022学年高三第一次模拟考试文科数学试题及答案

绝密★启用前★焦作市普通高中2021—2022学年高三年级第一次模拟考试★文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}0,1,2A =，{}22,Z B x x x =-<<∈，则A B ⋃=（） A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,22．已知复数z 满足2i 13i z =+，则z 的虚部为（） A ．32B ．12C ．12-D ．32-3．已知命题p ：N*x ∃∈，lg 0x <，q ：R x ∀∈，cos 1x ≤，则下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为（） A ．20B ．25C ．40D ．505．设函数()23x xf x =+的零点为0x ，则0x ∈（） A ．()4,2--B ．()2,1--C ．()1,2D ．()2,46．设{}n a 和{}n b 都是等差数列，前n 项和分别为n S 和n T ，若17136a a a ++=，1391112b b b b +++=，则1311S T =（） A ．2633B ．23C ．1322D ．13117．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为坐标原点，若AF ，FO ，OB 成等比数列，则C 的离心率为（）ABCD8．已知函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪+⎝⎭是奇函数，则使得()01f x <<的x 的取值范围是（）A ．9,11⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．90,11⎛⎫⎪⎝⎭C ．9,011⎛⎫-⎪⎝⎭D ．99,0,11111⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆．若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A ．21-B ．22-C ．322-D ．642-10．已知函数()()32,02a f x x x bx ab =-++>的一个极值点为1，则22a b 的最大值为（） A ．49 B ．94 C ．1681 D ．811611．已知数列{}n a 的前n 项和()()11N*2nn n n S a n =-+∈，则100S =（）A ．10012-B ．0C ．10012D ．1011212．如图，在正四面体ABCD 中，E 是棱AC 的中点，F 在棱BD 上，且4BD FD =，则异面直线EF 与AB所成的角的余弦值为（）A 3B 2C ．12D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),1a x =-，()0,5b =，若()2a a b ⊥+，则x =______．14．写出一个离心率与双曲线22:13y C x -=的离心率互为倒数的椭圆的标准方程：______． 15．已知,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，且4cos tan 32παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭α=______． 16．已知三棱锥P ABC -的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且32PA =5PB PC ==，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）某校举办歌唱比赛，A G 七名评委对甲、乙两名选手打分如下表所示：评委 ABCDEFG选手甲 91 94 96 92 93 97 95选手乙929590969491a（Ⅰ）若甲和乙所得的平均分相等，求a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率；（Ⅲ）若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个a 的值（直接写出结果，不必说明理由）． 18．（12分）在锐角ABC △中，60B =︒，3AB =，7AC =．（Ⅰ）求ABC △的面积；（Ⅱ）延长边BC 到D ，使得4BD BC =，求sin ADB ∠． 19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AD ==，120BAD ∠=︒，平行四边形ABCD 的面积为43，设E 是侧棱PC 上一动点．（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）当E 是棱PC 的中点时，求点C 到平面ABE 的距离． 20．（12分）已知函数()()e ln 1xf x k x =-+，R k ∈．（Ⅰ）若12x =是()f x 的极值点，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：当()0,e k ∈时，()0f x >． 21．（12分）已知抛物线()2:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线Γ于A ，C 两点，过A ，C 作l 的垂线分别与y 轴交于B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,2x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆O 的极坐标方程为()282cos sin ρρθθ-=+．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆O 的直角坐标方程；（Ⅱ）当,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数()()3621R f x x x m m =-++-∈．（Ⅰ）当2m =时，解不等式()12f x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式()10f x x ++≤无解，求m 的取值范围．★焦作市普通高中2021—2022学年高三年级第一次模拟考试★文科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．答案 C 命题意图本题考查集合的表示与运算．解析因为{}1,0,1B =-，{}0,1,2A =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-．2．答案 C 命题意图本题考查复数的概念和计算．解析由已知得()213i i 13i 3i 31i 2i 2i 222z ++-+====--，所以z 的虚部为12-． 3．答案 B 命题意图本题考查简单的逻辑联结词以及命题的真假判断．解析因为N*x ∀∈，lg 0x ≥，所以命题p 为假命题，p ⌝为真命题．因为R x ∀∈，cos 1x ≤成立，所以命题q 为真命题，所以()p q ⌝∧为真命题． 4．答案 A 命题意图本题考查分层抽样的概念和有关计算．解析应抽取博士生的人数为200180201200400200⨯=++．5．答案 B 命题意图本题考查函数的零点判定定理．解析易知()f x 在R 上单调递增．()1440163f -=-<，()122043f -=-<，()111023f -=->，当0x >时，()0f x >，所以()02,1x ∈--．6．答案 A 命题意图本题考查等差数列的性质．解析由等差数列的性质可得1713736a a a a ++==，所以72a =；139********b b b b b b +++=+=，所以63b =．由等差数列的前n 项和公式可得()1137131********a a a S +⨯===，()111611*********b b b T +⨯===，因此，13112633S T =．7．答案 D 命题意图本题考查椭圆的性质．解析设(),0F c -，则AF a c =-，FO c =，OB a =，根据题意可得()2a a c c -=，整理可得210e e +-=，解得e =． 8．答案 C 命题意图本题考查函数的单调性与奇偶性的应用．解析令()()0lg 20f a =+=，得1a =-，所以()21lg 1lg 11x f x x x -⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，定义域为()1,1-，因为11xy x-=+在()1,1-上单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，又()00f =，9111f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以使得()01f x <<的x 的取值范围是9,011⎛⎫- ⎪⎝⎭．9．答案 D 命题意图本题考查几何概型的概念与相关计算．解析设大圆的半径为R ，则等腰直角三角形的边长分别为2R，设等腰直角三角形的内切圆的半径为r，则()11222R r +=，解得)1r R =，则阴影部分的面积为()()222122212322S r R R πππ⎡⎤=⨯=⨯-=-⎣⎦，大圆的面积为22S R π=，则该点取自阴影部分的概率为()122322642S P S ==-=-． 10．答案 D命题意图本题考查导数的计算与应用．解析对()322a f x x x bx =-++求导得()23f x x ax b '=-++，因为函数()f x 的一个极值点为1，所以()130f a b '=-++=，所以3a b +=，又,0a b >，于是得2239224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32a b ==时取“=”，所以ab 的最大值为94，故22a b 的最大值为8116． 11．答案 B命题意图本题考查数列的递推关系与数列求和．解析由题意知10210210212S a =+，所以10210210110212S a S -==，又10110110112S a =-+，所以10110212a =，故1001011010S S a =-=． 12．答案 C命题意图本题考查空间几何体的结构，异面直线所成的角的计算．解析设G 为棱AD 上与点D 最近的一个四等分点，连接EG ，FG ，AF ，CF ，则GF AB ∥，所以异面直线EF 与AB 所成角即为EFG ∠（或其补角）．不妨设正四面体ABCD 的棱长为4，则114GF AB ==．在ADF △中，4AD =，1DF =，60ADF ∠=︒，由余弦定理得222411cos 602412AF +-︒==⨯⨯，解得13AF =，同理，13CF =．在等腰三角形ACF 中，()221323EF =-=．在AEG △中，2AE =，3AG =，60EAG ∠=︒，由余弦定理得cos60︒=2222312232EG +-=⨯⨯，解得7EC =．在EFG △中，由余弦定理得()2221371cos 2132EFG +-∠==⨯⨯．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案 3±命题意图本题考查平面向量的坐标运算．解析因为()()()2,120,5,9a b x x +=-+=，且()2a a b ⊥+，所以()()()2,1,90a a b x x ⋅+=-⋅=，解得3x =±． 14．答案 22143x y +=（答案不唯一）命题意图本题考查双曲线与椭圆的性质．解析双曲线22:13y C x -=的离心率为1321e +==，则椭圆的离心率为12e '=，所以椭圆的标准方程可以为22143x y +=． 15．答案 518π命题意图本题考查三角恒等变换的应用．解析cos 4cos sin cos 2sin 2cos 4cos tan 4cos 32sin sin sin παααααααααααα--⎛⎫--=-=== ⎪⎝⎭，所以2sin 23sin cos 2sin 6παααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，52,6123πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则26παα=+或26πααπ++=，得6πα=（舍去）或518πα=． 16．答案 34π命题意图本题考查多面体与球的关系以及有关计算．解析根据题意，三棱锥P ABC -可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a ，b ，c ，如图所示，则22218a b PA +==，22225a c PB +==，22225b c PC +==，解得3a =，3b =，4c =．所以该三棱锥的外接球的半径为22222233434222a b c R ++++===，所以该三棱锥的外接球的表面积为223444342S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查平均数与方差的概念与计算，概率的性质．解析（Ⅰ）由题意得()()119194969293979592959096949177a ++++++=++++++，解得100a =．（Ⅱ）七名评委中，有C ，F 两名评委对甲的打分高于对乙的打分，所以所求概率为27．（Ⅲ）a 的值可以为93． 18．命题意图本题考查解三角形，正弦定理和余弦定理的应用．解析（Ⅰ）设BC x =．由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，整理得2320x x -+=，解得1x =或2x =．当1x =时，222BC AC AB +<，此时ABC △是钝角三角形，不符合条件．当2x =时，符合条件，1sin 22ABC S AB BC B =⋅=△．（Ⅱ）根据题意48BD BC ==，由余弦定理得2222cos 49AD AB BD AB BD B =+-⋅=，所以7AD =．由正弦定理知sin sin AD ABB ADB =∠3sin ADB=∠，解得sin 14ADB ∠=． 19．命题意图本题考查空间位置关系的推理与证明，以及点到平面的距离计算．解析（Ⅰ）平行四边形ABCD 的面积为4AD =，120BAD ∠=︒，所以4sin120AB ⨯⨯︒=2AB =．在ACD △中，由4AD =，2CD =，180********ADC BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，得2222cos60164812AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒=+-=，AC =所以22212416AC CD AD +=+==，即AC CD ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，又PA AC A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ．又AE ⊂平面PAC ，所以CD AE ⊥．（Ⅱ）当E 是PC 的中点时，AE 是PAC △的中线，在Rt PAC △中，12AE PC === 因为CD AE ⊥，CD AB ∥，所以AB AE ⊥．设点C 到平面ABE 的距离为h ．由E ABC C ABE V V --=三棱锥三棱锥，得1111132232AB AC PA AB AE h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，即1111124232232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得7h =． 20．命题意图本题考查利用导数研究函数性质．解析（Ⅰ）由题意得()e x kf x x'=-，0x >，因为12x =是()f x的极值点，所以1202f k ⎛⎫'== ⎪⎝⎭，所以2k =．所以()1e f '=-()1e f =-，所以曲线()y f x =在()()1,1f处的切线方程为e 2y x ⎛=- ⎝⎭．（Ⅱ）因为()0,e k ∈，所以11,e k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以()e e ln 1ln 1e x x f x x x k k =-->--，设()e ln 1e x g x x =--，则()e 1e x g x x'=-，当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()()10g x g ≥=，所以()0f x k>，即()0f x >． 21．命题意图本题考查双曲线和抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系．解析（Ⅰ）双曲线方程22221y x -=化为标准方程是2211122y x -=，其焦点坐标为()0,1，()0,1-，因为抛物线()2:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合，所以()0,1F ，12p=，2p =，故抛物线Γ的方程为24x y =．（Ⅱ）设直线():10AC y kx k =+≠，代入抛物线方程得2440x kx --=，设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则124x x k +=，124x x ⋅=-，直线()2111:4x AB y x x k -=--，所以点2110,4x x B k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得2220,4x x D k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以四边形ABCD 的面积221212121211224x x x x S BD x x x x k --=⋅-=+- ()()()22221212811118124k x x x x k k k kk++=+-=+⋅+=，由抛物线的对称性，只需考虑0k >的情形，则()22381182k S k k kk +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，所以()()2222283111832k k S k k k -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，令0S '=，得k =0k <<时，0S '<，当k >0S '>，所以当k =ABCD ． 22．命题意图本题考查方程的互化以及有关计算．解析（Ⅰ）由,2,x t y t =-⎧⎨=-⎩得2y x =+，即直线l 的普通方程是20x y -+=．由()282cos sin ρρθθ-=+，代入cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得22822x y x y +-=+，即圆O 的直角坐标方程为222280x y x y +---=．（Ⅱ）由222280,20,x y x y x y ⎧+---=⎨-+=⎩解得2,0,x y =-⎧⎨=⎩或2,4,x y =⎧⎨=⎩因为,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,4x y =⎧⎨=⎩舍去，所以2,0,x y =-⎧⎨=⎩ 故直线l 与圆O 的公共点的极坐标为()2,π． 23．命题意图本题考查含绝对值不等式的解法以及性质．解析（Ⅰ）当2m =时，()12f x >即为3621212x x -++->，①当1x <-时，不等式可化为()()3621212x x ---+->，解得2x <-；②当12x -≤≤时，不等式可化为()()3621212x x --++->，解得6x <-，舍去；③当2x >时，不等式可化为()()3621212x x -++->，解得185x >．综上，()12f x >的解集为()18,2,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）不等式()10f x x ++≤无解，即3631x x m -++≤无解，所以()min 3631m x x <-++，因为()()3631363336339x x x x x x -++=-++≥--+=，所以9m <，即m 的取值范围是(),9-∞．。

河南省焦作市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

河南省焦作市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A 【解析】【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r＝.答案：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.2．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=u u u u r u u u ru u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33t OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u ur ,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断()g t 的零点的个数,即为所求. 【详解】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r ,依题意可得1ln 03t t+=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,所以min1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭,1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C 【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.3．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】设数列的公差为,0d d ≠，125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.125,,a a a Q 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.4．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩ ，得5sin 25cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5254sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 5．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（）． A ．21 B ．63C ．13D ．84【答案】B 【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】解：因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．6．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（） A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 【答案】D 【解析】【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩，其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a mmπ+= 故选：D ．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 7．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.8．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】D 【解析】【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得，将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈，所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.9．已知函数1()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】【分析】化简()1sin cos 22f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。

2021年河南省焦作市中考数学一检试卷(附答案详解)

2021年河南省焦作市中考数学一检试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2021的绝对值是()A. 2021B. −2021C. 12021D. −120212.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是()A. B.C. D.3.2021年是“十四五“开局之年，全国经济在疫情过后持续恢复，其中消费品市场加快恢复，1−2月份，全国社会消费品零售总额69737.2亿元，同比增长33.8%.其中“69737.2亿“用科学记数法表示正确的是()A. 6.97372×1012B. 0.697372×1013C. 6.97372×1013D. 6.97372×10114.如图，ABCD为一长条形纸带，AB//CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为()A. 60°B. 65°C. 72°D. 75°5.为了丰富学生的课余生活，光明中学测试成绩举行歌唱比赛，最终入围决赛的三名选手的成绩统计如表：测试成绩测试项目王军李鹏张乐唱功989580音乐常识8090100综合知识8590100若唱功、音乐常识、综合知识按6：3：1的比例计算总成绩，排出冠军，亚军，季军，则冠军、亚军、季军分别是()A. 王军、张乐、李鹏B. 李鹏、王军、张乐C. 王军、李鹏、张乐D. 李鹏、张乐、王军6.下列一元二次方程中，没有实数根的是()A. x2+2x+1=0B. x2+x+2=0C. x2−2x=0D. (x−3)2−2=07.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC−∠DAE的度数为()A. 45°B. 40°C. 30°D. 25°8.已知(−3,y1)，(−2,y2)，(1,y3)是抛物线y=−3x2−12x+m上的点，则()A. y3<y2<y1B. y3<y1<y2C. y2<y3<y1D. y1<y3<y29.已知锐角∠AOB，如图，⏜，交射线OB于点D，连(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作MN接CD；(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；(3)作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()A. CP//OBB. CP=2QCC. ∠AOP=∠BOPD. CD⊥OP10.如图，等边△ABC的顶点A(1,1)，B(3,1)，规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为()A. (−2020，√3+1)B. (−2019，−√3−1)C. (−2018，√3+1)D. (−2017，−√3−1)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）)−1−√8=______．11.(−1212.手机“微信”推出了红包游戏功能，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包“，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包“，总金额为10元，随机被甲，乙、丙三人抢到．记金额最多、居中．最少的红包分别为A，B，C，求甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为______．13.如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为____．14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2−S1=______．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC 上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1，其中a=√2．17.某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如图：(1)本次比赛参赛选手共有______人，扇形统计图中“79.5−89.5”这一范圈的人数占总参赛人数的百分比为______；(2)补全图2频数分布直方图；(3)赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖，某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由．18.如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将CD⏜沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC(1)求CD的长；(2)求证：PC是⊙O的切线；⏜的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E.交BC⏜于点F(F(3)点G为ADB与B、C不重合).问GE⋅GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．19.如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF=EF=FG=1m．(1)若移动滑块使AE=EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．(2)当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？(结果精确到0.1m.参考数据：√3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)20.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(6,4)，抛物线y=x2−5x+a−2的顶点为C．(1)若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；(2)若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．21.某书店为了迎接“读书节“决定购进A、B两种新书，相关信息如表：(1)已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；(2)经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书每本标价降低a元(0<a<5)销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？22.有这样一个问题：探究函数y=x+2的图象与性质，小航根据学习函数的经验，对x−1的图象与性质进行了探究．下面是小航探究的过程，请补充完整：函数y=x+2x−1(1)函数y=x+2的自变量x的取值范围是______．x−1(2)下表是y与x的几组对应值则m的值为______；(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；(4)观察图象，写出该函数的一条性质：______；(5)若函数y=x+2的图象上有三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)且0<x1<1< x−1x2<x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为______．23.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部成边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是______，CE与AD的位置关系是______；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(请结合图2的情况予以证明或说理)(3)如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2，BE=√31，求四边形ADPE的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：−2021的绝对值为2021，故选：A．根据绝对值的定义直接求得．本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义及性质是解题的关键．2.【答案】B【解析】【分析】考查了正方体相对两个面上的文字的知识，解题的关键是将手确定为正面，然后确定其对面，难度不大．利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：A、手的对面是勤，不符合题意；B、手的对面是口，符合题意；C、手的对面是罩，不符合题意；D、手的对面是罩，不符合题意；故选B．3.【答案】A【解析】解：69737.2亿=6973720000000=6.97372×1012，故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．据此解答即可．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．4.【答案】C【解析】解：由翻折的性质可知：∠AEF=∠FEA，∵AB//CD，∴∠AEF=∠1，∵∠1=2∠2，设∠2=x，则∠AEF=∠1=∠FEA=2x，∴5x=180°，∴x=36°，∴∠AEF=2x=72°，故选：C．由题意∠1=2∠2，设∠2=x，易证∠AEF=∠1=∠FEA′=2x，构建方程即可解决问题．本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用方程思想解决问题，属于中考常考题型．5.【答案】B=91.3(分)，【解析】解：王军的平均成绩为98×6+80×3+85×16+3+1=93(分)，李鹏的平均成绩为95×6+90×3+90×16+3+1=88(分)，张乐的平均成绩为80×6+100×3+100×16+3+1所以冠军是李鹏，亚军是王军，季军是张乐，故选：B．根据加权平均数的定义分别计算出三人的平均成绩，再比较大小即可得出答案．本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．6.【答案】B【解析】解：A、Δ=22−4×1=0，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；B、Δ=12−4×2=−7<0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C、Δ=(−2)2−4×0=4>0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、整理整理为x2−6x+7=0，Δ=62−4×7=8>0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．7.【答案】A【解析】解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AC2=AG2=12+22=5，CG2=12+32=10，∴AC2+AG2=CG2，∴∠CAG=90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠ACG=45°，∵CF//AB，∴∠ACF=∠BAC，在△CFG和△ADE中，{CF=AD∠CFG=∠ADE=90°FG=DE，∴△CFG≌△ADE(SAS)，∴∠FCG=∠DAE，∴∠BAC−∠DAE=∠ACF−∠FCG=∠ACG=45°，故选：A．如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG=90°，从而知△CAG是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC−∠DAE=∠ACG，即可得解．本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．8.【答案】B=−2，【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−−122×(−3)∵a=−3<0，∴x=−2时，函数值最大，又∵−3到−2的距离比1到−2的距离小，∴y3<y1<y2．故选：B．求出抛物线的对称轴为直线x=−2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，∴∠AOP=∠BOP，故C正确，不符合题意；由作图(1)(2)可知：OC=OD，CP=DP，∴OP是CD的垂直平分线，∴CD⊥OP，故D正确，不符合题意；由作图(2)可知：CD=CP=PD，∴△CDP是等边三角形，∵CD⊥OP，∴CP=2CQ，故B正确，不符合题意；∵∠AOP=∠BOP，当OC=CP时，∠AOP=∠CPO，∴∠CPO=∠BOP，∴CP//OB，故A错误，符合题意；故选：A．由作图知OC=OD，CD=CP=DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．本题考查作图−基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型．10.【答案】C【解析】[分析]根据轴对称判断出点C变换后在x轴下方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出坐标即可．本题考查了坐标与图形变化−平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续这样的变换得到三角形在x轴上方还是下方是解题的关键．[详解]解：∵△ABC是等边三角形，AB=3−1=2，∴点C到x轴的距离为1+2×√3=√3+1，2横坐标为2，∴C(2,√3+1)，第2020次变换后的三角形在x轴上方，点C的纵坐标为√3+1，横坐标为2−2020×1=−2018，∴点C的对应点C′的坐标是(−2018,√3+1)，故选C．11.【答案】−2−2√2【解析】解：原式=−2−2√2．故答案为：−2−2√2．直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．12.【答案】16【解析】解：画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中甲抢到红包A，乙抢到红包C的情况有1种，．则甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为16．故答案为：16画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲抢到红包A，乙抢到红包C的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解题的关键．13.【答案】2√15【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．首先证明CF=BC=8，利用相似三角形的性质求出BF，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=12，AD=BC=8，AE//BC，AB//CD，∴∠CFB=∠FBA，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CFB=∠CBF，∴CB=CF=8，∴DF=12−8=4，∵DE//CB，∴△DEF∽△CBF，∴EFBF =DFCF，∴2BF =48，∴BF=4，∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG=FG=2，在Rt△BCG中，CG=√BC2−BG2=√82−22=2√15，故答案为2√15．14.【答案】6π−16【解析】解：由图形可知，扇形ADB的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积−正方形ABCD的面积=阴影部分②的面积，∴S2−S1=扇形ADC的面积+半圆BC的面积−正方形ABCD的面积=90⋅π⋅42360+12×π×22−42=4π+2π−16=6π−16，故答案为：6π−16．根据图形得到S2−S1=扇形ADB的面积+半圆BC的面积−正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S=nπr2360是解题的关键．15.【答案】2√2−2【解析】解：由已知可得A(0,4)B(4,0)，∴三角形OAB是等腰直角三角形，∵OC⊥AB，∴C(2,2)，又∵P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，∵P在线段OC上运动，所以P′的运动轨迹也是线段，当P在O点时和P在C点时分别确定P′的起点与终点，∴P′的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，在△AOB中，AO=AN=4，AB=4√2，∴NB=4√2−4，又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，∴HB=4−2√2，∴CP′=OB−BH−2=4−(4−2√2)−2=2√2−2．故答案为2√2−2．由点P的运动确定P′的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小．本题考查了直角三角形的性质；一次函数点的特点；动点运动轨迹的判断；垂线段最短；16.【答案】解：原式=(3a+1−a2−1a+1)÷(a−2)2a+1=4−a2a+1÷(a−2)2a+1=−(a+2)(a−2)a+1⋅a+1 (a−2)2=−a+2a−2，当a=√2时，原式=√2+2√2−2=√2)2(2+√2)(2−√2)=6+4√24−2=6+4√22=3+2√2．【解析】先计算括号内分式的减法，将除式的分子因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将a的值代入计算即可．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17.【答案】5036%【解析】解：(1)(8+4)÷24%=50(人)，“59.5−69.5”所占的百分比为(2+3)÷50=10%，∴79.5−89.5”所占的百分比为1−10%−30%−24%=36%，故答案为：50，36%；(2)样本中，“69.5−74.5”的人数为50×30%−8=7(人)，“79.5−84.5”的人数为50×36%−8=10(人)，补全频数分布直方图如下：(3)能获奖．理由为：获奖人数为50×40%=20(人)，而“84.5−99.5”的人数为8+8+4=20(人)，∴得分为88分的一定能获奖．(1)根据两个统计图中，“89.5−99.5”的频数为8+4=12人、所占调查人数的24%，可求出调查人数；求出“59.5−69.5”所占的百分比，由各组频率之和为由频率=频数总数100%，可求出答案；(2)求出“69.5−74.5”“79.5−84.5”的频数，即可补全频数分布直方图；(3)求出成绩由高到低前40%的人数，调查相应的分数与88分比较即可．本题考查频数分布直方图，扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率=频数总数是得出正确答案的关键．18.【答案】(1)解：如图，连接OC，∵CD⏜沿CD翻折后，点A与圆心O重合，∴OM=12OA=12×2=1，CD⊥OA，∵OC=2，∴CD=2CM=2√OC2−OM2=2√22−12=2√3；(2)证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=12CD=√3，∠CMP=∠OMC=90°，∴PC=√MC2+PM2=√(√3)2+32=2√3，∵OC=2，PO=2+2=4，∴PC2+OC2=(2√3)2+22=16=PO2，∴∠PCO=90°，又OC是半径，∴PC是⊙O的切线；(3)解：GE⋅GF是定值，证明如下，连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF，∵点G为ADB⏜的中点∴∠GOE=90°，∵GH是直径，∴∠HFG=90°，又∠OGE=∠FGH，∴△OGE∽△FGH，∴OGGF =GEGH，∴GE⋅GF=OG⋅GH=2×4=8．【解析】(1)连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；(2)利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；(3)连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF，求证△OGE∽△FGH，可得OGGF =GEGH，即可求解..本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于(3)作辅助线构造出相似三角形．19.【答案】解：(1)∵AE=EF=AF=1(m)，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，连接MF并延长交AE于K，则FM=2FK，∵△AEF是等边三角形，∴AK=12(m)，∴FK=√AF2−AK2=√32(m)，∴FM=2FK=√3(m)，∴BC=4FM=4√3≈6.92≈6.9(m)；(2)∵∠AFE=74°，∴∠AFK=37°，∴KF=AF⋅cos37°≈0.80，∴FM=2FK=1.60(m)，∴BC=4FM=6.40(m)<6.92(m)，6.92−6.40=0.5(m)，答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．【解析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，正确的理解题意是解题的关键．(1)根据等边三角形的性质得到∠AFE=60°，连接MF并延长交AE于K，则FM=2FK，求得FK=√AF2−AK2=√32(m)，于是得到结论；(2)解直角三角形即可得到结论．20.【答案】解：(1)由题意可得：4=36−5×6+a−2，∴a=0，∴抛物线的解析式为：y=x2−5x−2，∵y=x2−5x−2=(x−52)2−334，∴顶点C坐标为(52,−334)；(2)如图，当顶点C在线段AB下方时，由题意可得：{a −2<436−30+a −2≥4，解得：0≤a <6；当顶点C 在AB 时，当x =52时，y =4，∴254−252+a −2=4， ∴a =494，综上所述：当0≤a <6或494时，抛物线与线段AB 恰有一个公共点．【解析】(1)将点B 坐标代入解析式可求a 的值，由顶点坐标可求点C 坐标；(2)分顶点C 在线段AB 下方和线段AB 上两种情况讨论，由图象列出不等式组可求解．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求解析式，二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．21.【答案】解：(1)设B 类图书的标价为x 元，则A 类图书的标价为1.5x 元，根据题意可得：5401.5x =540x −10，解得：x =18，经检验：x =18是原分式方程的解，且符合题意，则A 类图书的标价为：1.5x =1.5×18=27(元)，答：A 类图书的标价为27元，B 类图书的标价为18元；(2)设购进A 类图书t 本，总利润为w 元，A 类图书的标价为(27−a)元(0<a <5)，由题意得，w =(27−a −18)t +(18−12)(1000−t)=(3−a)t +6000，根据题意得：{18t +12(1000−t)≤16800t ≥600，解得：600≤t ≤800，∵0<a <5，∴①当5−a>0，即0<a<3时，w随t的增大而增大，∴当t=800时，即A类图书购进800本，B类图书购进200本时，总利润最大；②当3−a=0，即a=3时，w与t的取值无关，购进A类图书600～800本，书店应能获得最大利润；③当3−a<0，即3<a<5时，w随t的增大而减小，∴当t=600，即A类图书购进600本，B类图书购进400本时，总利润最大；答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．【解析】(1)先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．(2)先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为(1000−t)本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价−总成本，求出最佳的进货方案．本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．22.【答案】x≠174x<1时，y随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而减小y2> y3>y1【解析】解：(1)由题意得：x−1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1；(2)当x=5时，m=5+25−1=74，故答案为：74；(3)图象如图所示：(4)观察函数图象发现：x<1时，y随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而减小．故答案为：x<1时，y随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而减小；(5)∵0<x1<1<x2<x3，由图象得：y1、y2、y3之间的大小关系为y2>y3>y1．故答案为：y2>y3>y1．(1)根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；(2)将x=5代入函数解析式中求出m值即可；(3)连点成线即可画出函数图象；(4)观察函数图象即可求解；(5)观察函数图象即可求解．本题属于函数图象综合题，考查了函数图象上点的坐标特征，函数自变量取值范围及函数图像的形成等知识，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．23.【答案】BP=CE CE⊥AD【解析】解：(1)如图1，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∵∠BAC=∠PAE，∴∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，{AB=AC∠BAP=∠CAE AP=AE，∴△BAP≌△CAE(SAS)，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，延长CE交AD于H，∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD，故答案为：BP=CE，CE⊥AD；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论还成立，理由如下：如图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∵∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，{AB=AC∠BAP=∠CAE AP=AE，∴△BAP≌△CAE(SAS)，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD；(3)如图3，连接AC交BD于O，连接CE，作EH⊥AP于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，∴∠ABO=30°，∴AO=1，BO=DO=√3，∴BD=2√3，由(2)知CE⊥AD，∵AD//BC，∴CE⊥BC，∵BE=√31，BC=AB=2，∴CE=√BE2−BC2=√31−4=3√3，∴由(2)知BP=CE=3√3，∴DP=BP−BD=3√3−2√3=√3，∴OP=2√3，∴AP=√OA2+OP2=√1+12=√13，∵△APE是等边三角形，∴AH=12AP=√132，AE=AP=EP=√13，∴EH=√AE2−AH2=√392，∵S四边形ADPE=S△ADP+S△APE，∴S四边形ADPE =12DP⋅AO+12AP⋅EH=12×√3×1+12×√13×√392=15√34，∴四边形ADPE的面积是15√34．(1)连接AC，根据SAS证△BAP≌△CAE，即可得出BP=CE，延长CE交AD于H，再根据∠CAH+∠ACH=90°得出CE⊥AD；(2)连接AC交BD于O，设CE交AD于H，根据SAS证△BAP≌△CAE，即可得出BP=CE，再根据∠CAH+∠ACH=90°得出CE⊥AD；(3)连接AC交BD于O，连接CE，作EH⊥AP于H，利用勾股定理分别求出OA，OP，AP，EH的长度，再根据S四边形ADPE=S△ADP+S△APE，即可求出四边形的面积．本题是四边形综合题，考查菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

2021年全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷(含答案及解析)

A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】，
故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
故选：AC
11.已知点在圆上，点、，则（）
A.点到直线的距离小于
B.点到直线的距离大于
C.当最小时，
D.当最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.记是内角，，的对边分别为，， .已知，点在边上， .
（1）证明：；
（2）若，求 .
20.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
15.函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】A：且，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
C：，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；

河南省焦作市2021-2022学年高三第一次模拟考试理科数学试题(含答案解析)

河南省焦作市2021-2022学年高三第一次模拟考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--<，{}210B x x =+<，则A B =（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．若i 13i z =+，则z =（） A ．3i +B ．3i -C ．32i +D ．32i -3．已知命题p ：*x N ∃∈，lg 0x <，q ：x R ∀∈，cos 1≤x ，则下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．下列函数中，最小正周期为8π的是（） A ．sin 4xy =B ．sin8y x =C ．cos 4xy =D ．()tan 8y x =-5．设函数()23x xf x =+的零点为0x ，则0x ∈（） A ．()4,2--B ．()2,1--C ．()1,2D ．()2,46．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4Cπ，2a =，2sin 3sin B A =，则ABC 的面积为（）A B C ．3 D ．7．已知函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪+⎝⎭是奇函数，则使得()01f x <<的x 的取值范围是（） A ．9,11⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．90,11⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．9,011⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．99,0,11111⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（） A ．21种B ．231种C ．238种D ．252种9．花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆．若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A1 B．2C．3-D．6-10．已知函数()()32,02a f x x x bx ab =-++>的一个极值点为1，则22a b 的最大值为（） A ．49B ．94C ．1681D ．811611．如图，在正四面体ABCD 中，E 是棱AC 的中点，F 在棱BD 上，且4BD FD =，则异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值为（）ABC ．12D ．1312．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为C 上一点，且12MF F △的内心为()0,2I x ，若12MF F △的面积为4b ，则1212MF MF F F +=（）A ．32B ．53CD ．43二、填空题13．已知向量(),1a x =-，()0,5b =，若()2a a b ⊥+，则x =______．14．写出一个离心率与双曲线22:13y C x -=的离心率互为倒数的椭圆的标准方程：______．15．计算：tan 402cos502︒︒-=___________. 16．已知三棱锥P ABC -的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且ABC是底边长为___________. 三、解答题17．某科技公司有甲､乙､丙三个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为13，12，35.现安排甲组和乙组研发新产品A ，丙组研发新产品B ，设每个小组研发成功与否相互独立，且当甲组和乙组至少有一组研发成功时，新产品A 就研发成功. (1)求新产品A ，B 均研发成功的概率.(2)若新产品A 研发成功，预计该公司可获利润180万元，否则利润为0万元；若新产品B 研发成功，预计该公司可获利润120万元，否则利润为0万元.求该公司研发A ，B 两种新产品可获总利润（单位：万元）的分布列和数学期望. 18．已知数列{}1n a -是递增的等比数列，25a =且3426a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n na 的前n 项和n S .19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AD ==，120BAD ∠=︒，平行四边形ABCD 的面积为E 是侧棱PC 上一动点.(1)求证：CD AE ⊥； (2)记()01PEPCλλ=<<，若直线PC 与平面ABE 所成的角为60°，求λ的值. 20．已知抛物线()2:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合．(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线Γ于A ，C 两点，过A ，C 作l 的垂线分别与y 轴交于B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．21．已知函数()()1ln f x x x mx =++，()221e x g x m x -=，其中0m >.(1)讨论函数()g x 的单调性；(2)若1m ≥，证明：当0x >时，()()g x f x ≥.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,2x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆O 的极坐标方程为()282cos sin ρρθθ-=+．(1)求直线l 的普通方程和圆O 的直角坐标方程；(2)当π,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．23．设函数()()3621R f x x x m m =-++-∈． (1)当2m =时，解不等式()12f x >；(2)若关于x 的不等式()10f x x ++≤无解，求m 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】【分析】化简集合A ，B ，根据交集计算即可. 【详解】由已知可得{}()2201,2A x x x =--<=-，1,2B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭，所以11,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝=⎭⋂.故选：C 2．A 【解析】【分析】由复数的除法运算化简后即可写出复数的共轭复数. 【详解】由i 13i z =+，得()213i i 13i 3i3i i i 1z ++-+====--，所以3i z =+. 故选：A 3．B 【解析】【分析】根据条件判断命题p 、q 真假，结合复合命题真假关系进行判断即可. 【详解】∵*x N ∀∈，lg 0x ≥，∵命题p 为假命题，即p ⌝为真命题，又∵x R ∀∈，cos 1≤x 成立，∵命题q 为真命题， ∵()p q ⌝∧为真命题．故选：B . 4．D 【解析】【分析】根据正弦型、余弦型、正切线函数的周期公式求解即可. 【详解】 A 项，2814T ππ==，故A 不符合； B 项，284T ππ==，故B 不符合； C 项，2814T ππ==，故C 不符合； D 项，88T ππ==-，故D 符合. 故选：D 5．B 【解析】【分析】根据零点存在性定理进行求解. 【详解】易知()f x 在R 上单调递增且连续．由于()1440163f -=-<，()122043f -=-<，()111023f -=->，当0x >时，()0f x >，所以()02,1x ∈--．故选：B 6．A 【解析】【分析】由正弦定理求b ，再由三角形面积公式求解. 【详解】因为2sin 3sin B A =，由正弦定理化角为边可得23b a =，所以332b a ==，所以ABC的面积11sin 2322S ab C ==⨯⨯=. 故选：A 7．C 【解析】【分析】根据()00f =求得1a =-，再根据单调性即可求解不等式. 【详解】令()()0lg 20f a =+=，得1a =-，所以()21lg 1lg 11x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，定义域为()1,1-， ()()11lg lg 11x xf x f x x x+--==-=--+，满足()f x 为奇函数，因为12111x y x x-==-++在()1,1-上单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，又()00f =，9111f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以使得()01f x <<的x 的取值范围是9,011⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C. 8．B 【解析】【分析】利用间接法求解，先求出任选5人的选法再减去甲乙丙三人都不被选的选法即可得解. 【详解】10人中选5人有510C 252=种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有57C 21=种，则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有55107C C 231-=种.故选：B 9．D 【解析】【分析】设大圆的半径为R ，等腰直角三角形的内切圆的半径为r ，进而得出等腰直角三角形的边长，利用三角形面积公式列出方程，解出r 的值，根据圆的面积公式求出阴影部分和大圆的面积，结合几何概型的概率公式计算即可. 【详解】设大圆的半径为R ，则等腰直角三角形的边长分别为2R ，设等腰直角三角形的内切圆的半径为r ，则()11222R r =，解得)1r R =，则阴影部分的面积为)(222122123S r R R πππ⎡⎤=⨯=⨯=-⎣⎦，大圆的面积为22S R π=，则该点取自阴影部分的概率为(12236S P S ==-=- 故选：D 10．D 【解析】【分析】利用极值点的概念得到()130f a b '=-++=，结合基本不等式得到ab 的最大值，从而得到22a b 的最大值为8116．【详解】对()322a f x x x bx =-++求导得()23f x x ax b '=-++，因为函数()f x 的一个极值点为1，所以()130f a b '=-++=，所以3a b +=，又,0a b >，于是得2239224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32a b ==时等号成立，所以ab 的最大值为94，故22a b 的最大值为8116．故选：D 11．C 【解析】【分析】作出辅助线，找到异面直线EF 与AB 所成角即为EFG （或其补角），利用余弦定理求出EG =，由勾股定理求出3EF =，利用余弦定理求出答案.【详解】设G 为棱AD 上与点D 最近的一个四等分点，连接EG ，FG ，AF ，CF ，则GF AB ∥，所以异面直线EF 与AB 所成角即为EFG （或其补角）．不妨设正四面体ABCD 的棱长为4，则114GF AB ==．在ADF 中，4=AD ，1DF =，60ADF ∠=︒，由余弦定理得：222411cos 602412AF +-︒==⨯⨯，解得：AF =CF =ACF 中，3EF ==．在AEG △中，2AE =，3AG =，60EAG ∠=︒，由余弦定理得cos60︒=2222312232EG +-=⨯⨯，解得：EG =．在EFG 中，由余弦定理得:222131cos 2132EFG +-∠==⨯⨯．故选：C 12．B 【解析】【分析】根据椭圆的定义，三角形的面积可求出椭圆的离心率，所求即为离心率的倒数可得解. 【详解】由题意可得，12MF F △的内心()0,2I x 到x 轴的距离就是内切圆的半径. 又点M 在椭圆C 上，由椭圆的定义，得121222MF MF F F a c ++=+，()()121222242MF F S a c a c b =+⨯=+=△，即2a c b +=. 又c ea =，所以()12a eb +=，因为222a bc =+，所以()222212a e a e a +⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，即()22144e e ++=，所以25230e e +-=，解得35e =或1-（舍去），所以121221523MF MF a F F c e +===. 故选：B13．3± 【解析】【分析】先求出向量2a b +的坐标，再根据向量垂直得数量积为0即可求出. 【详解】因为()()()2,120,5,9a b x x +=-+=，且()2a a b ⊥+，所以()()()22,1,990a a b x x x ⋅+=-⋅=-=，解得3x =±．故答案为：3±.14．22143x y +=（答案不唯一）【解析】【分析】求出双曲线的离心率，进而求出椭圆的离心率，写出符合要求的椭圆方程. 【详解】双曲线22:13y C x -=的离心率为2e ==，则椭圆的离心率为12，所以椭圆的标准方程可以为22143x y +=．故答案为：22143x y +=15【解析】【分析】先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解. 【详解】 tan 40sin 402cos502sin 4022cos 40︒︒︒-=︒-︒4sin 40cos 40sin 402sin80sin 402cos 402cos 40︒︒-︒︒-︒==︒︒()2cos 4030sin 402cos10sin 402cos 402cos 40︒-︒-︒︒-︒==︒︒=16．34π 【解析】【分析】把三棱锥放入一个长方体中，转化为求长方体外接球的半径即可得解. 【详解】三棱锥P ABC -可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，如图，设PA BC ==，PB AC PC AB x ====，长方体交于一个顶点的三条棱长为a ，b ，c，则12ABCS =⨯=△5x =.由题得(222218a b PA +===，22225a c AC +==，22225b c PC +==，解之得3a =，3b =，4c =.所以该三棱锥的外接球的半径为R ===所以该三棱锥的外接球的表面积为224434S R πππ==⨯=⎝⎭.故答案为：34π 17．(1)25(2)分布列答案见解析，数学期望：192 【解析】【分析】（1）设新产品A 研发成功为事件M ，根据对立事件的概率求()P M ，再由相互独立事件同时发生的概率公式求解；（2）写出离散型随机变量的可能取值，求对应概率得到分布列求期望即可. (1)设新产品A 研发成功为事件M ，新产品B 研发成功为事件N .则()112111323P M ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()35P N =，所以()()()25P MN P M P N ==.(2)设该公司研发A ，B 两种新产品可获总利润为随机变量X ，则X 的可能取值为0，120，180，300.()2320113515P X ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()2311201355P X ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭；()23418013515P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭；()23005P X ==.所以X 的分布列如下：则数学期望()21420120180300192155155E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18．(1)21nn a =+(2)()2112222n n n n S n +=-+++ 【解析】【分析】（1）根据题意列出方程求出{}1n a -公比可得；（2）根据错位相减法及分组求和即可得解. (1)设数列{}1n a -的公比为q ，1n n b a =-，则1n n a b =+. 由25a =得24b =，由3426a a +=得3424b b +=，所以()2424q q+=，解得2q或3q =-（舍去），所以222422n n nn b b q --==⨯=.所以数列{}n a 的通项公式为21nn a =+.(2)由条件知2n n na n n =⋅+，设231222322n n A n =⨯+⨯+⨯++⨯，则()23412122232122n n n A n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，将以上两式相减得()()23111222222212122n n n n n n A n n n +++-=++++-⨯=--⨯=--，所以()1122n n A n +=-+.设()11232n n n B n +=++++=，则()()()2111122122222n n n n n n n n n S A B n n +++=+=-++=-+++.19．(1)证明见解析 (2)27λ=或67λ= 【解析】【分析】（1）证明AC CD ⊥再由线面垂直得出PA CD ⊥，可得CD ⊥平面PAC ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法计算求解. (1)平行四边形ABCD 的面积为4=AD ，120BAD ∠=︒，所以4sin120AB ⨯⨯︒=2AB =.在ACD △中，由4=AD ，2CD =，180********ADC BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，得2222cos60164812AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒=+-=，所以22212416AC CD AD +=+==，即AC CD ⊥. 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，又PAAC A =，所以CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ，所以CD AE ⊥. (2)以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为4PA =，2AB =，AC =所以点()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,0,4P，()C . 设(),,E x y z ，由PEPCλ=，得PE PC λ=. 所以()(),,44x y z λ-=-，所以0x =，y =，44z λ=-，即点(),44E λ-. 所以()2,0,0AB =，()0,,44AE λ=-，()4PC =-. 设平面ABE 的法向量为()000,,=m x y z .由()()()()()000000000,,2,0,020,,,,44440,m AB x y z x m AE x y z y z λλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩得000,x z =⎧⎪⎨=⎪⎩取01y =，得平面ABE的一个法向量为m ⎛= ⎝⎭. 因为直线PC 与平面ABE 所成的角为60°，所以0,1,sin 60cos ,m PC m PC m PC⎛ ⋅⎝︒====，化简得()()72760λλ--=，解得27λ=或67λ=. 所以当实数27λ=或67λ=时，直线PC 与平面ABE 所成的角为60°. 20．(1)24x y =【解析】【分析】（1）抛物线()2:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合求解；（2）设直线():10AC y kx k =+≠，代入抛物线方程得2440x kx --=，设点211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线()2111:4x AB y x x k -=--，得到2110,4x x B k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2220,4x x D k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后由四边形ABCD 的面积221212121211224x x x x S BD x x x x k --=⋅-=+-，利用导数法求解. (1)解：双曲线方程22221y x -=化为标准方程是2211122y x -=，其焦点坐标为()0,1，()0,1-，因为抛物线()2:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合，所以()0,1F ，12p=，2p =，故抛物线Γ的方程为24x y =． (2)设直线():10AC y kx k =+≠，代入抛物线方程得2440x kx --=，设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则124x x k +=，124x x ⋅=-，直线()2111:4x AB y x x k -=--，所以点2110,4x x B k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得2220,4x x D k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以四边形ABCD 的面积221212121211224x x x x S BD x x x x k --=⋅-=+-， ()()()22221212811118124k x x x x k k k kk++=+-=+⋅+=，由抛物线的对称性，只需考虑0k >的情形，则()22381182k S k k kk +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，所以()()2222283111832k k S k k k -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，令0S '=，得k =当0k <<时，0S '<，当k >0S '>，所以当k =ABCD ．21．(1)在(),2-∞-上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，解不等式求单调区间；（2）原不等式转化为()221e 1ln 0x m x x x mx --+-≥，令()()221e 1ln x t m m x x x mx -=-+-，看作关于m 的二次函数，利用二次函数的最值及利用导数求相关最值即可得证. (1)由题可知()()21e 2x g x m x x -'=+，令()0g x '<，得20x -<<，令()0g x '>，得2x <-或0x >，故函数()g x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增. (2)由()()g x f x ≥得()221e 1ln 0x m x x x mx --+-≥.令()()221e 1ln x t m m x x x mx -=-+-，将()t m 看做关于m 的二次函数，其图象的对称轴为212ex x m x -=.令2112e x x x -=，可得11e 2x x -=，易知函数()1e x u x x -=在()0,∞+上单调递增，又()00u =，()11u =，故存在对()00,1x ∈，满足()012u x =. （i ）当[)0,x x ∈+∞时，11e 2x x -≥，所以2112e x x x -≤，此时()()()211e 1ln x t m t x x x x -≥=-+-.此时需证()()21e 1ln 0x h x x x x x -=-+-≥.()()2112e ln 2x h x x x x x-'=+---，设()()p x h x '=，则()()()21222211111142e 42222x x p x x x x x x x x x x x -'=+++-≥++⋅+-=++. 显然当0x >时，()0p x '>，从而()h x '单调递增，又()10h '=，所以当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()()10h x h ≥=.（ii ）当()00,x x ∈时，11e 2x x -<，所以2112e x x x ->，此时()()1114e 1ln 112e 4e x x x x x t m t x ---++⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭.此时需证()()14e1ln 10x k x x x -=++≤.()()()121114e 1114e 4e 124e 1x x x x k x x x x x ----≤+-+=-+<-+，令()124e1x q x x -=-+，则()124e x q x -'=-，则当()0,1ln 2x ∈-时，()0q x '>，当()1ln 2,x ∈-+∞时，()0q x '<，所以()()1ln 212ln 20q x q ≤-=-<. 综合（i ）（ii ），原命题得证. 【点睛】关键点点睛：在利用导数证明不等式时，首先要对所证不等式进行适当转化，转化后构造恰当的函数，利用导数求函数的单调性、极值、最值是此类问题的常规操作，注意在研究上述单调性及最值过程中经常需要继续构造函数，能力要求较高. 22．(1)20x y -+=，222280x y x y +---= (2)()2,π 【解析】【分析】（1）消去参数，得到普通方程，利用公式化极坐标方程为直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系下求出交点坐标，再化为极坐标，注意舍去不合要求的点. (1)由,2,x t y t =-⎧⎨=-⎩消去t 得：2y x =+，即直线l 的普通方程是20x y -+=．由()282cos sin ρρθθ-=+，代入cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得：22822x y x y +-=+，即圆O 的直角坐标方程为222280x y x y +---=． (2)由222280,20,x y x y x y ⎧+---=⎨-+=⎩解得：20x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩，因为π,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以交点在平面直角坐标系的第二象限或x 轴负半轴，或y 轴正半轴上，故2,4x y =⎧⎨=⎩舍去，所以交点为()2,0-，化为极坐标为()2,π故直线l 与圆O 的公共点的极坐标为()2,π． 23．(1)()18,2,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)(),9-∞ 【解析】【分析】（1）分1x <-，12x -≤≤和2x >三种情况求解即可，（2）由题意可得()min 3631m x x <-++，然后利用绝对值三角不等式求出3631x x -++的最小值，从而可得m 的取值范围 (1)当2m =时，()12f x >即为3621212x x -++->，∵当1x <-时，不等式可化为()()3621212x x ---+->，解得2x <-；∵当12x -≤≤时，不等式可化为()()3621212x x --++->，解得6x <-，舍去； ∵当2x >时，不等式可化为()()3621212x x -++->，解得185x >．综上，()12f x >的解集为()18,2,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．(2)不等式()10f x x ++≤无解，即3631x x m -++≤无解，所以()min 3631m x x <-++，因为()()3631363336339x x x x x x -++=-++≥--+=，所以9m <，即m 的取值范围是(),9-∞．。

2021届河南省焦作市高三第一次模拟数学(理)试题Word版含解析

2021届河南省焦作市高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|04M x x =≤≤，{}|3,N x y x y M ==-∈，则M N ⋂= ( )A ．[]0,3B ．[]0,4C ．[]1,4-D ．[]1,3-【答案】A【解析】根据集合M ，求得集合N ，再根据集合的交运算求得结果即可.【详解】依题意得034x ≤-≤，解得13x -≤≤，即{}|13N x x =-≤≤，所以{}|03M N x x ⋂=≤≤.故选：A.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题. 2．已知复数z 满足 ()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 【答案】B 【解析】因为()211i i z +=-，所以22(1)112i i z i i i ==+=-- ，选B. 3．人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）.其判定标准如下表：某小学生的身高为1.5m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是( )A ．47kgB ．51kgC ．66kgD ．70kg【答案】C【解析】根据题意中给出的体重计算公式，即可对体重进行估算.【详解】题意得，体重＝BMI ×身高2，因为此人属于超标，所以[]24,29.9BMI ∈，所以此学生的体重范围为2224 1.5,29.9 1.5⎡⎤⨯⨯⎣⎦，即[]54,67.275，故选：C.【点睛】本题考查实际问题中，函数值域的求解，属基础题.4．若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则43z x y =+的最小值为( )A ．9B ．6.5C ．4D ．3【答案】D【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得.【详解】不等式组所表示的可行域为下图中的ABC ∆，因为目标函数与直线43y x =-平行，故当目标函数对应的直线经过点()0,1B 时，z 取得最小值3.故选：D.【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题.5．已知数列{}n a 是等差数列，且93a =，则48122a a a ++=( )A ．12B ．9C ．6D ．3【答案】A 【解析】根据等差数列通项的基本量的计算，整理化简后，根据已知条件，即可求得.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则()4812119243248412a a a a d a d a ++=+=+==.故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项的基本量的计算，属基础题.6．某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型2lg y x =进行拟合.在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该( )A ．使x 增加1个单位B ．使x 增加2个单位C ．使x 增加到原来的2倍D ．使x 增加到原来的10倍【答案】D【解析】根据y 的增加量，根据题意，进行对数运算，即可求得结果.【详解】设y 的增加量为12y y y =-，x 的增加量为12x x x =-，故可得1122222lg2x y lgx lgx x =-==，解得1210x x =，故要使得y 增加2个单位，x 应增加到原来的10倍.故选：D.【点睛】本题考查回归模拟，本质是考查对数的运算，属综合基础题.7．已知O 是ABC ∆的重心，且20OA OB BC λ++=，则实数λ=( )A ．3B ．2C ．1D ．12【答案】C【解析】将BC 用OA ，OB 表示出来，根据O 是重心，即可列方程求得参数的值.【详解】()()2220OA OB BC OA OB OC OB OA OB OC λλλλ++=++-=+-+=因为O 是ABC ∆的重心，所以211λλ-=⎧⎨=⎩，解得1λ=.故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及三角形重心的向量表示，属基础题.8．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A ．65B ．73C ．45D ．89【答案】B 【解析】将展开图折成立体图形，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，即可求得结果.【详解】将展开图折成立体图形，如下图所示：然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如下图所示.因为8AJ =，3CJ =，所以223873AC =+即AK CK +73故选：B.【点睛】本题考查几何体的还原，以及几何体上距离的最值问题，属综合性基础题.9．已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则下列说法正确的个数为( )①()70f =；②()f x 的一个周期为8；③()f x 图象的一个对称中心为()3,0；④()f x 图象的一条对称轴为2019x =.A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】根据()1f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则可得函数周期，根据函数的周期性，即可对每个选项进行逐一分析，从而求得结果.【详解】因为1x =是()f x 的对称轴，()1,0-是()f x 的对称中心，所以()f x 是周期函数，且8为函数()f x 的一个周期，故②正确；()()710f f =-=，故①正确；因为每隔半个周期出现一个对称中心，所以()3,0是函数()f x 的对称中心，故③正确；201982523x ==⨯+，所以2019x =不是函数()f x 的图像的对称轴，故④错误.故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属函数性质综合基础题.10．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点按照向量()(),00m a a =≠平移得到函数()g x 的图象，若3355f g ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a 的最小值为( ) A ．415π B ．1330π C ．1315π D ．1715π 【答案】C【解析】求出函数()f x 的对称轴，根据与35x π=最近的对称轴求得点33,55P f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于该对称轴的对称点，即可计算求得结果.【详解】令32x k πππ+=+得()f x 图像的对称轴为()6x k k Z ππ=+∈，其中距离35x π=最近的对称轴为6x π=. 点33,55P f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线6x π=对称的点为43',155P f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 要使a 最小，则341351515a πππ=+=. 故选：C.【点睛】本题考查由正弦型函数的图像变换，求参数值的问题，属基础题.11．如图所示，直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若4OA OB ⋅=-，且AOB ∆的面积为42，则E 的离心率为( )ABC ．2 D【答案】B 【解析】设AOx θ∠=，根据面积公式和向量数量积的运算，列出方程组，求得tan θ，即可得,a b 的等量关系，再转化为离心率即可.【详解】设02AOx πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，由题意可得cos24OA OB θ=-，1sin 22OA OB θ=所以sin 2tan 2cos 2θθθ==-，由22tan 1tan θθ=--可得tan θ=，又因为tan b aθ=，所以c e a ====故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及向量的数量积运算，三角形的面积公式，正余弦的倍角公式，属综合基础题.12．已知函数()1212log ,182,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为( ) A ．14 B ．12 C．2 D ．1【答案】B【解析】根据题意，画出()f x 的函数图像，根据对数和指数运算，用中间变量k 求出,a b ，再求ab 的最小值即可.【详解】函数()f x 的图象如下图所示：设()()f a f b k ==，则(]2,4k ∈. 由122log a k +=，2b k =，得212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log b k =.当4k =时，14a =，2b =，12ab =. 考虑()223221111log log 22222k k k ab k k ---⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由下图可知：当(]2,4k ∈时，32log 20k k --≥，所以102ab -≥，即12ab ≥，故ab 的最小值为12. 故选：B.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数和对数运算，属综合性中档题.二、填空题13．6122x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中24x y 项的系数为______. 【答案】60【解析】根据二项展开式的通项公式，通过赋值，即可求得.展开式的通项为()62661661222r r r r r r r r T C C x y x y ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭.令4r =，得24560T x y =. 故答案为：60.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的计算，属基础题.14．曲线()22x y x e =+在点()0,2处的切线方程为______. 【答案】220x y -+=【解析】求出函数的导函数，解得()0f '，再用点斜式即可求得切线的方程.【详解】由()()22x y f x x e ==+，得()()()2222'22x x x xe x e x x e f x +=++=+. 所以()'02f =.所以曲线()22x y x e =+在点()0,2处的切线方程为 ()220y x -=-，即220x y -+=.故答案为：220x y -+=.【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及切线方程的求解，属基础题.15．已知圆C ：()()2224x a y -+-=，直线l ：10x ay +-=与圆C 交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a =______.【答案】1或17- 【解析】根据三角形的形状，以及半径长度，即可求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式，即可求得参数.由题意得(),2C a ，圆C 的半径为2，因为ABC ∆为等腰直角三角形，所以圆心C 到直线l的距离d ==解得1a =或17a =-. 故答案为：1或17-. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属基础题.16．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比教列，其前n 项和为n S ，且11a =，37S =.若关于n 的不等式22log n n S k a +<的解集中有6个正整数，则实数k 的取值范围是______. 【答案】1279,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】根据等比数列基本量的计算，求得n S 和n a ，结合函数21x y =-，()1y k x =+的图像，夹逼出不等式，解不等式即可.【详解】由题意可知0q >且217q q ++=，解得2q ，所以12n n a ，212121n n n S -==--. 由22log n n S k a +<，得()211n k n -<+.结合函数21x y =-，()1y k x =+的图像如下图所示：若原不等式的解集中有6个正整数，则()()6721612171k k ⎧-<+⎪⎨-≥+⎪⎩，解得91278k k >⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以实数k 的取值范围为1279,8⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故答案为：1279,8⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，涉及指数函数图像的绘制，以及数形结合的数学思想，属综合困难题.17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为382x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为233x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）. （1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值及此时P 点的坐标.【答案】（1）80x +=，24y x =；（2）52，(3,. 【解析】（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）直线l 的普通方程为80x -+=.在曲线C 的参数方程中，22124y s x ==，所以曲线C 的普通方程为24y x =.（2）设点()23,P s . 点P 到直线l 的距离()2236831522s s s d -+-+==. 当1s =时，min 52d =，所以点P 到直线l 的距离的最小值为52.此时点P 的坐标为(3,.【点睛】本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.三、解答题18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan a A b B =. （1）证明：ABC ∆是等腰三角形；（2）若::1::a b c x y =，且ABC ∆，求y 的值.【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）对tan tan a A b B=切化弦，再根据角度的范围，即可得到结论；（2）根据（1）中所求，可以求得x ，再根据面积公式，即可求得,sinC cosC ，再结合余弦定理，即可求得y .【详解】（1）由正弦定理及tan tan a A b B=，得sin sin cos sin sin cos AA AB BB=，即cos cos A B =. 因为(),0,A B π∈，所以A B =，所以ABC ∆是等腰三角形.（2）由（1）知a b =，所以1x =.因为1sin 26ABC S ab C ∆==，所以sin 3C =. 又()0,C π∈，所以2cos 3C ==±. 若2cos 3C =，则222223a b c ab +-=，即22223y -=，解得y = 若2cos 3C =-，则222223a b c ab +-=-，即22223y -=-，解得3y =所以y =或y =【点睛】本题考查三角形形状的判断，以及余弦定理的应用，属综合基础题.19．某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元.该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，N n ∈），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率.（1）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望.（2）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（3）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望.【答案】（1）17.75；（2）19；（3）分布列见解析，685.【解析】（1）根据条形图计算每日需求量的概率，结合数学期望的计算公式即可求得；（2）根据题意，计算18n =和19的概率，即可进行判断；（3）根据题意，得到Y 的可取值，写出其分布列，通过分布列计算数学期望即可.【详解】（1）由题意得X 的数学期望为()101520105161718192017.756060606060E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）因为()3180.84P n ≤=<，()11190.812P n ≤=>，所以包子店每天至少要做19笼包子.（3）当16n =时，1640220600Y =⨯-⨯=；当17n =时，174020660Y =⨯-=；当18n ≥时，1840720Y =⨯=.所以Y 的可能取值为600，660，720，且()16006P Y ==，()16604P Y ==，()11772016412P Y ==--=. 所以Y 的分布列为 Y600 660 720P 16 14 712所以Y 的数学期望为()1176006607206856412E Y =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，涉及条形图中概率的计算，属中档题.20．如图，已知四棱锥S ABCD -，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，SA SD =.（1）若120BAD ∠=︒，证明：SC BC ⊥；（2）若368BD AC SA ==，求平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）19. 【解析】（1）根据题意，取AD 中点为H ，通过证明AD ⊥平面SHC 进而推证线线垂直；（2）以ABCD 对角线的交点为O ，建立直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过求解法向量的夹角，进而求得二面角的大小.【详解】（1）取AD 的中点H ，连接CH ，SH .如下图所示：∵SA SD =，∴SH AD ⊥.∵四边形ABCD 是菱形，且120BAD ∠=︒，∴AC CD =，∴CH AD ⊥.∵SH CH H ⋂=，∴AD ⊥平面SCH ，∴AD SC ⊥.又在菱形ABCD 中，//BC AD ，∴SC BC ⊥.（2）设AC 与BD 交于点O ，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，不妨设2OA OC ==，则4OB OD ==，3SA =.2225AD OA OD +=2SH =.由（1）知SH AD ⊥，∵平面SAD ⊥平面ABCD ，∴SH ⊥平面ABCD .则()0,2,0A -，()4,0,0B ，()4,0,0D -，()2,1,2S --，()()()()2,1,2,2,1,2,2,1,2,4,2,0SA SD SD AB DC =--=--=--==，设平面SAB 的法向量为n ()111,,x y z =，∵00n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11111220420x y z x y --=⎧⎨+=⎩，取12y =，得n ()1,2,2=--.设平面SCD 的法向量为m ()222,,x y z =，∵00m SD m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22222220420x y z x y -+-=⎧⎨+=⎩，取22y =，得m ()1,2,2=-.设平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角为θ，则19m n cos m n θ⋅==. 故平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为19. 【点睛】本题考查由线面垂直推证线线垂直，以及用向量法求解二面角，属综合性中档题；本题的难点在于如何建立直角坐标系.21．设椭圆C ：()22211x y a a +=>的左顶点为A ，右焦点为F ，已知2AF = （1）求椭圆C 的方程；（2）抛物线()220y px p =>与直线2x =交于P ，Q 两点，直线AP 与椭圆C 交于点B （异于点A ），若直线BQ 与AP 垂直，求p 的值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2.【解析】（1）根据2a c +=+221a c -=，解方程组即可求得椭圆方程；（2）根据题意，先求出点,P Q 的坐标，再写出直线AB 方程，联立椭圆方程，求得点B ，再根据向量0AP BQ ⋅=，即可得到p 的方程，求解即可得到结果.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则2AF a c =+=又因为221a c -=，所以222a c a c a c --==+解得2a =，c =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）将2x =代入22y px =得y =±不妨取(2,P ，(2,Q -，由（1）可知()2,0A -，从而直线AP的方程为)2y x =+.联立方程组)22214y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得21104p x px p +++-=. 设(),B B B x y ，因为点B 异于点A ，由根与系数的关系得()4121B p x p--=+，所以221B p x p -=+，)2B B y x =+=所以BQ4,1p p ⎛= +⎝⎭，AP (4,=. 因为BQ AP ⊥，所以AP BQ ⋅()4216011p p p p p+=-=++，解得2p =.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时，韦达定理的应用，涉及抛物线的方程，属综合中档题.22．已知函数()()2ln 0f x ax x a =≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若存在()0,a ∈+∞，对任意的()0,x ∈+∞，不等式()422x f x bx ≤+恒成立，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）当0a >时，()f x的单调递减区间为⎛⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎭；当0a <时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎭；（2）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）求导，对参数a 进行分类讨论，求得不同情况下的单调性即可；（2）根据题意构造函数2ln 2x y a x b =--，将问题转化为求解该函数最大值的问题，进而利用导数研究其单调性求得结果即可.【详解】（1）()()()'2ln 2ln 1f x a x x x ax x =+=+.令()'0f x =，则x=，当0a >时，在⎛⎝上，()'0f x <，在⎫+∞⎪⎭上，()'0f x >， ∴()f x 的单调递减区间为⎛⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎭. 当0a <时，在⎛⎝上，()'0f x >，在⎫+∞⎪⎭上，()'0f x <， ∴()f x 的单调递增区间为⎛⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎭. （2）由()422x f x bx ≤+，得2ln 2x a x b ≤+，即2ln 02x a x b --≤. 设()2ln 2x a x b g x =--，则()0g x ≤恒成立，即()max 0g x ≤. ()2'a a x x g x x x-=-=，因为0a >，则在(上，()'0g x >，在)+∞上，()'0g x <，∴()g x 在(上单调递增，在)+∞上单调递减.∴()max2a g x g a b ==-()ln 12a a b =--. 存在()0,a ∈+∞，使得()ln 102a a b --≤成立，则()min ln 12a b a ⎡⎤≥-⎢⎥⎣⎦. 令()()ln 12x h x x =-，()()11ln ln 22'12x x h x =-+=， ∴在()0,1上，()'0h x <，在()1,+∞上，()'0h x >，∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.∴()()min 112h x h ==-.∴b 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及利用导数处理恒成立问题的能力，属综合性中档题.23．已知a ，b ，c 为正数，且1abc =，证明：（1）()()()21212127a b c +++≥；（2）()()()22211134a b c b a c c a b ++≤+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用均值不等式a b c ++≥即可求证；（2）利用()214ab a b ≤+，结合1abc =，即可证明. 【详解】（1）∵211a a a +=++≥21b +≥21c +≥∴()()()21212127a b c +++≥=.（2）∵()22224a b a ab b ab +=++≥，∴()214aba b ≤+. 同理有()214ac a c ≤+，()214bc b c ≤+. ∴()()()222111a b c b a c c a b +++++ ()()()222abcabc abc a b c b a c c a b =+++++ ()()()222bcac ab b c a c a b =+++++ 11134444≤++=. 【点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及1的妙用，属综合性中档题.。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理(含解析)

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直D．∥4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．88．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．611．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B． C． D．112．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M （x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10 （Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣或x＞3，即B={x|x＜﹣或x＞3}，∵A={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}，故选：D．2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直D．∥【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，对选项中的命题进行分析判断即可．【解答】解：∵向量=（2，0），=（1，1），∴||=2，||===2，||=||，A正确；•=2×1+0×1=2，B正确；（﹣）•=（1，﹣1）•（1，1）=1×1﹣1×1=0，∴（﹣）⊥，C正确；2×1﹣0×1≠0，∴∥不成立，D错误．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵|x|≥0，∴若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，∴0＜a＜1，当x＞0时，数y=log a|x|=log a x，为减函数，当x＜0时，数y=log a|x|=log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a 的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故选D．8．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】由题意知函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值，从而可得（•+a）2=3+a2，从而解出f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），从而确定单调增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=，∴函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值；∴（•+a）2=3+a2，解得，a=1；故f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），故2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，故2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故选：C．9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．且a2k﹣1则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．故选：C．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．11．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B． C． D．1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：如图，由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F2Q交F1P延长线于M，得PM=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PM=MF1=2a，连接OQ，知OQ是三角形F1F2M的中位线，∴OQ=a，又OQ=2b，∴a=2b，则a2=4b2=4（a2﹣c2），即c2=a2，∴===2b+≥2=．当且仅当2b=，即b=时，有最小值为．故选：C．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A． B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f （x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d，再由弦长公式可得弦长．【解答】解：圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d==1，半径r=2，故|AB|=2=2，故答案为：2．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，化为直线方程的斜截式，利用线性规划知识求出t的范围，取绝对值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y﹣3，则，由图可知，当直线过O时，直线在y轴上的截距最小，t有最小值为﹣3；直线过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最大值为﹣1．∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．故答案为：1．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为5．【考点】类比推理．【分析】f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，∴f（x）=+的最小值为=5．故答案为：5．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10 （Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由统计数据能作出频率分布直方图，利用频率分布直方图能估算这100学生的数学平均成绩．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由统计数据作出频率分布直方图如下：∴估算这100学生的数学平均成绩：=10（85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03125×0.02+135×0.01）=113.8．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2PEξ==．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，∴平面ABF∥平面DCE，∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=，由相似比得，即，得x=4（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD=，取CD的中点M，则MD与AB平行且相等，则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD=，∵BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，又∵ED∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．又∵BC⊂平面BCE，∴平面BDE⊥平面BEC．（ III）建立空间坐标系如图：设AB=1，∵x=2，∴CD=2，则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面EF的一个法向量为=（x，y，z），则由得，则取=（0，1，1），设平面EBC的法向量为=（x，y，z），则，得，令y=1，则z=2，x=1，即=（1，1，2），则cos＜，＞===，则＜，＞=30°，∵二面角F﹣EB﹣C是钝二面角，∴二面角F﹣EB﹣C的大小为150°．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）利用垂径定理和勾股定理列方程解出p即可得出抛物线方程；（II）联立方程组，由根与系数的关系得出A，B纵坐标的关系，假设存在符合条件的P 点，则k PA+k PB=0，代入斜率公式化简即可求出x0，y0．【解答】解：（I）设抛物线的准线方程为x=﹣．圆O的半径r=2，由垂径定理得=4，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（II）联立方程组得y2+4y﹣4m=0，∴△=16+16m＞0，解得m＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4m．若抛物线上存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称，则k PA+k PB=0，∴+=+==0，∴y0=﹣=2，x0==1．∴存在点P（1，2），只要m＞﹣1，直线PA，PB关于直线x=1对称．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（Ⅱ）求导，根据中点坐标公式得到=﹣（x1+x2）+a+，①，分别把两个零点x1，x2，代入到F（x）中，转化，分离参数得到a﹣（x1+x2）=，再代入得到= [ln+]，换元，构造函数得到h（t）=lnt+，根据导数求出h（t）的最大值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+a﹣=，令f′（x）＞0，得x＞，f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）在（，+∞）为增函数，在（0，）为减函数，（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+2lnx，∴F（x）=3g（x）﹣2xg′（x）=﹣x2+ax+3lnx﹣2，∴F′（x）=﹣2x+a+，即： =﹣（x1+x2）+a+，①∵函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，∴﹣x12+ax1+3lnx1﹣2=0，②﹣x22+ax2+3lnx2﹣2=0，③②﹣③得﹣（x12﹣x22）+a（x1﹣x2）+3（lnx1﹣lnx2）=0可得（x1﹣x2）[a﹣（x1+x2）]+3ln=0，∴a﹣（x1+x2）=，代入①得： =+=[ln+]= [ln+]，令=t，则0＜t＜1，∴h（t）=lnt+，∴h′（t）=+=﹣=≥0∴h（t）在（0，1）上为增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∵x1＜x2，∴＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F 四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∴=，又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，又BE•EC=AE•ED=12，∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，所以PA=为所求…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．8月1日。

2021年全国数学新高考1卷解析

1. 设集合 A = {x | −2 < x < 4}, B = {2, 3, 4, 5}, 则 A ∩ B =( ).
A： {2}
B： {2, 3}
答案：B.
解析：由集合的基本定义可知 A ∩ B = {2, 3}, 选 B.
2. 已知 z = 2 − i, 则 z(z¯ + i) =( ).
C： {3, 4}
=
sin2 θ + sin θ cos θ sin2 θ + cos2 θ
=
tan2 θ + tan θ tan2 θ + 1
=
2 ,
5
选 C.
7. 若过点 (a, b) 可以作曲线 y = ex 的两条切线, 则 ( ).
A： eb < a
B： ea < b
C： 0 < a < eb
D： 0 < b < ea
6
,
不满足;
C:
(π,
3 π),
2
当
x
−
π 6
∈
5 ( π,
6
4 π)
3
,
Hale Waihona Puke 不满足;D:3π ( , 2π),
2
当
x−
π 6
∈
4 ( π,
3
11 π)
6
,
不满足.
5. 已知 F1, F2
是椭圆 C
:
x2 9
+
y2 4
=
1 的两个焦点,
点M
在C
上, 则 |M F1| · |M F2| 的最大值为 (
).
P (a1

河南省焦作市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析

河南省焦作市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（） ABC ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由1PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得223a c =，所以离心率==ce a．故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．2．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=【答案】B 【解析】【分析】把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项．【详解】由题意2sin()13πϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22k πϕπ=+，k Z ∈，不妨取6πϕ=-或2ϕπ=，若2ϕπ=，则函数为sin(2)cos 22y x x π=+=，四个选项都不合题意，若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3x π=是对称轴．故选：B ．【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．3．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（）A ．13B ．6 C ．3 D ．23【答案】A 【解析】【分析】首先找出PC 与面PAB 所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【详解】由题知ABC V 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形，设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知62PO =，22CO =，同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥，所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角，有22222cos 2PO CO PC POC PO CO +-∠==⋅，故1sin 1cos 3POC POC ∠=-∠=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.4．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A 【解析】【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =，方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰，矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.5．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】因为22|sin()||sin |22()66()1()1x x f x f x x x--===+-+ ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |242()61111f πππππ==++11101122<-=-=+,故排除B , 因为2|sin |22()2()621()2f ππππ==+426164ππ+42616444>-+46662425=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 6．已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】构造函数()()11ln1x F x f x x x +=-=+-，由101xx+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111lnln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭，所以()F x 为奇函数，而()12lnln 111x F x x x x x +⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以1011102111a a a a a ++>⎧⎪-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.7．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -【答案】C 【解析】【分析】根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得1y e -=，故选C ．【点睛】本题考查程序框图，是基础题．8．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（） A ．22B ．3 C ．23D ．3 【答案】D 【解析】【分析】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得12m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．【详解】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==，设1PF m =，2PF n =，则12m n =，且有2m n a +=，解得23a m =，43an =，设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切2QF 于点N ，则2223aNF MF ==，1QN QF t ==，由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23at =，43a PQ m t ∴=+=，2243aPF QF ==Q ，所以2PF Q ∆为等边三角形，所以，423ac =，解得c a =.因此，该椭圆的离心率为3. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．9．0y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．1C D 1【答案】B 【解析】【分析】【详解】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o ，则||AE =，所以双曲线C 的离心率为1e =.故选B ．10．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r，所以向量m r ，n r共线且方向相反，所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件．故选B ．【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 11．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确；对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确；对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，；对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e--=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【分析】由函数的性质可得：()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，可得()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，函数()y f x =的图像与函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像的位置关系如图所示，可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省焦作市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析

河南省焦作市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16D ．12【答案】B 【解析】【分析】【详解】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 2．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u v u u u u v，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v 等于（） A ．49B ．49-C ．43D ．43-【答案】B 【解析】【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r∴P 是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r2||PA AP PA u u u r u u u r u u u r =⋅=-又∵AM ＝1∴2||3PA =u u u r∴()49PA PB PC ⋅+=-u u u r u u u r u u u r故选B ．【点睛】判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r或222AP BP CP ++u u u r u u u r u u u r 取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】【分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项. 【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.4．设a r ，b r是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-r r r r 成立，则A ．//a bB ．a b ⊥v vC ．()-⊥r r r a b aD ．()-⊥a b b rr r【答案】D 【解析】【分析】画出a r ，b r ，根据向量的加减法，分别画出()a b λ-r r的几种情况，由数形结合可得结果.【详解】由题意，得向量()a b -rr是所有向量()a b λ-rr中模长最小的向量，如图，当AC BC ⊥，即()-⊥a b b r r r 时，||AC 最小，满足a b a b λ-≤-r r r r，对于任意的R λ∈，所以本题答案为D. 【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.5．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C 【解析】【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数. 【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形. ∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.6．已知向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a b ⨯r r 为a r 与b r 的“向量积”，且a b ⨯r r是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=r r r r ，若()2,0u =r ，(1,u v -=r r ，则()u u v ⨯+=r r r（）A ．BC ．6D ．【答案】D 【解析】【分析】先根据向量坐标运算求出(u v +=r r和cos ,u u v +r r r ，进而求出sin ,u u v +r r r ，代入题中给的定义即可求解. 【详解】由题意()(v u u v =--=r r r r ，则(u v +=r r ，cos ,2u u v +=r r r ，得1sin ,2u u v +=r r r ，由定义知()1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=r r r r r r r r r ，故选:D. 【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.7．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果．设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．2 D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．9．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤- D ．{}35x x -≤≤【答案】C 【解析】【分析】根据韦恩图可确定所表示集合为()R N M I ð，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.由韦恩图可知：阴影部分表示()R N M I ð，()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<Q ，{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤， (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-ð.故选：C . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.10．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =L 是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（）A ．36B ．21C ．12D ．6【答案】B 【解析】【分析】先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到. 【详解】考虑与平面11A C B 平行的平面148PP P ，平面10116P P P ，平面9523712P P P P P P ，共有22623321C C C ++=，故选：B. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题. 11．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（） A ．1 B ．0C ．1-D ．132-+ 【答案】C 【解析】根据复数代数形式的运算法则求出z，再根据共轭复数的概念求解即可．【详解】解：∵1z-=，∴122z i==-+，则12z=-，∴1z z+=-，故选：C．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题．12．若复数21z m mi=-+（m R∈）在复平面内的对应点在直线y x=-上，则z等于( ) A．1+i B．1i-C．1133i--D．1133i-+【答案】C【解析】【分析】由题意得210m m-+=，可求得13m=，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得210m m-+=，解得13m=，所以1133z i=-+，所以1133z i=--，故选：C.【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届河南省焦作市高考数学学业质量监测试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32C ．25D ．5 2．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭3．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-4．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-5．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）235 2.236≈≈≈） A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（） A ．4B ．6C ．3D ．88．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．11．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（）A ．232B ．12C ．252D ．1312．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省焦作市2020-2021学年高三年级第一次模拟考试数学(理)试卷及答案解析

河南省焦作市2020-2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合}13A x x =-≤，{},0B x x k k =<>，若B A ⊆，则k 的最大值为（）A.1B.2C.3D.4 2.在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（）A.45B.54C.99D.81 3.设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（）A.10B.9C.8D.74.在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF 为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()216V AB EF AD h =+⨯⨯，其中h 是刍甍的高，即点F 到平面ABCD 的距离.若底面ABCD 是边长为4的正方形，2EF =，且//EF 平面ABCD ，ADE 和BCF △是等腰三角形，90AED BFC ∠=∠=︒，则该刍甍的体积为（）B.3C.D.4035.椭圆22145x y +=上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（）A.2B.4C.D.66.函数()2sin1xf xx=-的部分图象大致是（）A. B.C. D.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案1.B【解析】1.由绝对值的性质确定集合,A B ，再由子集的概念得出k 的范围，从而得最大值．解：由题[]2,4A =-，(),B k k =-，∵B A ⊆，∴02k <≤，∴k 的最大值为2. 故选：B ．2.C【解析】2.利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=. 故选C3.D【解析】3.根据复数的模的性质求模，然后可解得a ．解：()()()()24242422221212501111i i i i aai ai ++++====+--，解得7a =. 故选：D ．4.B【解析】4. 做出图形，如图，计算点F 到平面ABCD 的距离FG ，并代入公式求解即可. 解：如图所示，设点F 在底面的射影为G，H 为BC 的中点，则FG 即为刍甍的高，由题意可知1GH =，BCF △是等腰直角三角形122FH BC ==，所以FG =所以()1242463V =⨯⨯+⨯=. 故选：B.5.D【解析】5. 椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，然后算出即可.椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，所以最大值为6=. 故选：D6.A【解析】6.确定函数的奇偶性，排除D ，再确定(0,1)(1,)x π∈时的函数值的正负可排除BC ，从而得正确选项．解：当1x ≠±时，()()()()22sin sin 11x x f x f x x x --==-=----，所以()f x 为奇函数，排除D ；当()()0,11,πx ∈⋃时，()0f x >，排除BC ，故选：A.。

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2021年河南省焦作市普通高校对口单招数学一模测试卷(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）A.19B.20C.21D.222.2与18的等比中项是（）A.36B.±36C.6D.±63.函数y=Asin(wx+α)的部分图象如图所示，则（）A.y=2sin(2x-π/6)B.y=2sin(2x-π/3)C.y=2sin(x+π/6)D.y=2sin(x+π/3)4.函数y=|x|的图像( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于y=x直线对称5.直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和上顶点B，该椭圆的离心率为（）A.1/5B.2/5C.D.6.已知集合，A={0,3}，B={-2,0，1，2}，则A∩B=()A.空集B.{0}C.{0,3}D.{-2,0，1，2,3}7.椭圆x2/2+y2=1的焦距为（）A.1B.2C.3D.8.拋掷两枚骰子，两次点数之和等于5的概率是（）A.B.C.D.9.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4πB.3πC.2πD.π10.现无放回地从1,2,3,4,5,6这6个数字中任意取两个，两个数均为偶数的概率是( )A.1/5B.1/4C.1/3D.1/211.若函数y=log2（x+a）的反函数的图像经过点P（-1，0），则a的值为（）A.-2B.2C.D.12.设集合A={1，2,4}，B={2,3,4}，则A∪B=()A.{1,2}B.{2,4}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3}13.直线以互相平行的一个充分条件为（）A.以都平行于同一个平面B.与同一平面所成角相等C.平行于所在平面D.都垂直于同一平面14.椭圆的焦点坐标是( )A.(,0)B.(±7,0)C.(0,±7)D.(0,)15.已知椭圆x2/25+y2/m2=1(m＞0)的左焦点为F1（-4,0)则m=()A.2B.3C.4D.916.己知|x-3|<a的解集是{x|-3<x<9}，则a=（）A.-6B.6C.±6D.017.A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.小于180°的正角18.执行如图所示的程序，若输人的实数x=4,则输出结果为（）A.4B.3C.2D.1/419.A.B.C.D.20.A.10B.5C.2D.12二、填空题(20题)21.有一长为16m的篱笆要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.22.己知两点A(-3,4)和B(1，1)，则= 。

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