高考总复习精品课件6函数的单调性与最大(小)值(1)

错源二 判断复合函数的单调性时,未弄清内､外函数的单调 性而致错
【典例2】利用定义判断函数f x x x2 1在区间
R上的单调性.
[错解]设x1, x2 R,且x1 x2,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1),
当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说函数f(x)在区间 D上是减函数
自左向右看图象 是下降的
(2)单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说 y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单 调区间. (3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为 增函数;当f′(x)<0时,f(x)为减函数.
[分析] 利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.
[解]1 f x f x 0恒成立,
即
x2
xa bx 1
x2
xa bx 1
0
恒成立,则2a b x2 2a 0对任意的实数x恒成立.
a b 0.
2
f
x
x
x 2
1
x
R 是奇函数,
只需研究0, 上f x的单调区间即可.
任取x1, x2 0, ,且x1 x2,则f x1 f x2
∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数. 又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到, 故f(x)在[-1,1]上是增函数.(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增, 在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处可取得最大值. ∴f(1)=， ∴函数的最大值为 ,无最小值.
第六讲 函数的单调性与最大(小)值
回归课本 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
定义
图象 描述
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义 域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数
自左向右看图象是上升的
x1 x12
1
x2 x22 1
(
x2 x1)(x1x2 1) (x12 1)(x22 1)
.
∵x21+1>0,x22+1>0,x2-x1>0, 而x1,x2∈[0,1]时,x1x2-1<0, ∴当x1,x2∈[0,1]时,f(x1)-f(x2)<0, 函数y=f(x)是增函数; 当x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)>0, 函数y=f(x)是减函数. 又f(x)是奇函数,
a 0时, f x1 f x2 ,函数f x在1,1上递增.
解法二 :
对f
x求导,有f x
a(x2 1) (x2 1)2
,
x 1,1, x2 1 2 0, x2 1 0,
当a 0时, f x 0, f x为增函数.
当a 0时, f x 0, f x为减函数.
[反思感悟] 利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时,比 较f(x1)与f(x2)的大小常用作差法,有时可运用作商法､放缩 法等;讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域.
[分析] (1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义. (2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”, 为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.
[解] (1)设x1,x2∈R,且x1<x2. ∴x2-x1>0,则f(x2-x1)>1. ∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1,
2.函数的最值
前提 条件
结论
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 在实数M满足
①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M;
①对于任意 x∈I,都有
f(x)≥M;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M.
M为最大值
②存在x0∈I,使 得f(x0)=M. M为最小值
结论 M为最大值 M为最小值
定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在 [m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).
(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数 y 1 与y=f(x)的
单调性相反;
f (x)
(3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增 函数等;
(4)复合函数单调性判断,要注意掌握“同增､异减”的原则.
3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单 调性的方法.
【典例1】判断函数f
答案:①③
类型一
函数单调性的判定与证明
解题准备: 判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法､直接法､图象法. 1.用定义法证明函数单调性的步骤: (1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x1<x2,则 Δx=x2-x1>0; (2)作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通过因式分解､配方､有理化 等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;
(3)定号:确定差值Δy的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论; (4)判断:根据定义作出结论.
2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数､ 二次函数､反比例函数的单调性均可直接说出.了解以下结论,对 直接判断函数的单调性有好处: (1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
因为x1 x2 ,则x2 x1 0,且 x22 1 x12 1 0,
所以f x2 f x1 0,即f x2 f x1 . 以函数f x在R上是单调递增函数.
[剖析]上述解法产生错误的原因在于没有弄清函数
g x x2 1的单调性.事实上,在R上函数g x
不具有单调性,因此当x1 x2时,不能推出 x22 1 x12 1.
类型二
函数的奇偶性与单调性
解题准备: 因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇函数 在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于y轴 对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反.
【典例2】已知f
x
x2
xa bx 1
是奇函数.1求a, b的值;
2求f x的单调区间,并加以证明; 3求f xx 0的最值.
x
上是增函数.若 a 1,即a 1时, f x 在区间[1, )
上先减后增, f x f ( a ) 2 a 2; min
若 a≤1,即0 a 1时, f x在区间1, 上是增函数.
f x f 1 a 3. min
类型四
抽象函数的单调性与最值
解题准备:抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质 的根本方法是“赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值转化 或配凑. 【典例4】 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
类型三
求函数的最值
解题准备: (1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法. (2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调 性,然后利用单调性求最值. (3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用 此法.
(4)导数法:当函数较复杂(如指､对数函数与多项式结合)时, 一般采用此法. (5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件 的几何意义,在图上找其变化范围.
A. 1
B. 1
4
2
C. 2 2
D. 3 2
答案:C
x 3的最大值
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题: ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
③ f (x1) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f (x1) f (x2 ) 0. 其中能x推1 出x2函数y=f(x)为增函数的命题为________.
数在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小
值大于(1,+∞)上的最大值,从而得出错误结果.
[正解]据题意要使原函数在定义域R上为减函数, 要满足
3a 1 0,且0 a 1, 及x 1时3a 1 1 4a loga1,
解得a的取值范围为
1 7
,
1 3
,
故选C.
[答案] C
【典例3】已知函数f x x2 2x a ,
x
1当a 4时,求f x 的最小值;
2当a 1 时,求f x 的最小值;
2
3若a为正数,求f x 的最小值.
[分析] 在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不 等式求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.若 条件不具备,应从函数单调性的角度考虑.
错源一
不注意分段函数的特点
【典例1】已知f
x
(3a 1)x 4a, logax, x 1
x≤1,.是
,
上的减函数, 那么a的取值范围是(
)
A.(0,1)
C.
1 7
,
1 3
B.
0,
1 3
D.
1 7
,1
[错解]依题意应有
3a 1 0, 0 a 1,
解得0
a
1 3
, 选B.
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函
x
x
ax 2
1
a
0 在区间 1,1 上的单调性.