2016_2017学年高中数学第三讲逆变换与逆矩阵3.2二阶行列式与逆矩阵课件

-3 10
∴det(AB)= -5 12 = (−5) × 10 − (−3) × 12 = −14. ∴
-3 10
(AB)-1=
-
5 7
-
3 14
6
7 5
.
14
答案:
-
5 7
-
3 14
6
7 5
14
1234 5
5.判断所给矩阵是否有逆矩阵,若有,则求出逆矩阵.
31
m2
(1)A=
; (2)B=
.
0 -1
������ ������
≠0
时,A
存在逆矩阵
A-1=
det������ -������
det������
-������
det������ .
������ det������
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
行列式的计算
【例 1】
计算下列行列式:(1)
3 -1
2 5
;
(2) 7 -9 . 84
分析:根据行列式的定义,把对角线上的数相乘再相减即可.
解:(1)
32 -1 5
= 3 × 5 − (−1) × 2 = 17.
(2) 7 -9 = 7 × 4 − (−9) × 8 = 100. 84
题型一 题型二 题型三 题型四
反思二阶行列式 ������ ������
������ ������
的展开式为ad-bc,它是位于两条对角线
上的元素的乘积之差.若行列式的两行或两列元素相同或对应成比
-������ ������-2������
-2
������-2������ .
������ ������-2������
-3 -1
(−3) × 2 = 1.
答案:A
1234 5
3.设矩阵 M=
a 1
6 5
存在逆矩阵M-1=
������ 4
-
3 2
-
1 4
������ 4
,
则������ =
, ������ =
.
解析:∵M-1=
������ 4
-
3 2
-
1 4
������ 4
=
������ 4 -1 4
-6
4 ,M=
例,则此行列式的值为零.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
逆矩阵
【例 2】 判断下列矩阵是否有逆矩阵,若有,求出逆矩阵.
21
a3
(1)A=
; (2)B=
.
43
11
分析:判断一个矩阵是否有逆矩阵,应判断矩阵的行列式是否为
0.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)∵detA=
2 4
1 3
= 2 × 3 − 4 × 1 = 2,
10 5
题型一 题型二 题型三 题型四
-2 4
62
62
∵
������ =
,∴A-1AX=A-1
.
3 -1
1 -2
62
12
∴X=A-1
1 -2
=
10 3
5 1
10 5
1 -2
62
1 -2
=
1 2
-
3 5
1
.
5
1234 5
1.行列式
23 -1 1
的值为(
)
A.-3
B.7
C.5
D.-5
解析:
23 -1 1
;
由①×d-②×c,得(ad-bc)x=d,
∴x=
������ ������������-������������
=
������ det������
;
由③×b-④×a,得(ad-bc)v=a,
∴v=
������ ������������-������������
=
������ det������
;
由③×d-④×c,得(ad-bc)u=-c,
= 2 × 1 − (−1) × 3 = 5.
答案:C
1234 5
-1 -2
2.已知 A=
, 则A-1 的行列式的值为( )
35
A.1
B.-1
C.11
D.-11
解析:∵detA= -1 -2 = −5 − (−2) × 3 = 1,
35 52
∴A-1=
. ∴ detA-1=
5 -3 -1
2 = 5 × (−1) −
=
-
1 10
1
5
3
20
-
1 20
.
ab
1.二阶矩阵
与二阶行列式
������ ������
������ ������
的主要区别是什么?
cd 剖析:二阶矩阵对应的是变换,是 4 个数构成的数的方阵,而行列
式
������ ������
������ ������
= ������������ − ������������则是一个数.写法上也不同,二阶矩阵是用括号,
∴u=−
������ ������������-������������
=
−
de������t������.
������
-������
∴B= det������
-������ det������
det������ .
������ det������
������
∴当 ad-bc≠0,即
������ ������
3 1
2 1
= 3 × 1 − 1 × 2 = 1,
∴x2-2x=1,∴x=1± 2.
题型一
题型二
题型三 题型四
题型四
易错辨析
-2 4
62
【例 4】 若
������ =
, 求X.
3 -1 -2 4
1 -2
错解:设 A=
,
∵detA= -2
3
3 -1
4 = −10≠0,∴矩阵 A 可逆,
-1
题型一 题型二 题型三 题型四
即
������������ + ������������ = 0, ② ������������ + ������������ = 0, ③
������������ + ������������ = 1, ④
01
该方程组有解,由①×④-②×③,得
(ax+cy)(bu+dv)-(bx+dy)(au+cv)=1,
的展开式,它是位于
两条对角线上元素的乘积之差.
2.可以利用行列式来判断矩阵 A 是否可逆,当
������ ������
������ ������
≠0,即
ad-bc≠0 时,A 可逆;当
������ ������
������ ������
= 0, 即ad-bc=0 时,A 不可逆.
3.行列式是一个实数,可以为正数,也可以为负数,还可以为 0,它
-2
∴A-1= 10
3 10
-2
4 10 -1
=
-
1 5
2 5
3
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
10
10 10
4
62
62
∵
������ =
,∴A-1AX=A-1
,
3 -1
1 -2
6
∴X=A-1
2
=
-
1 5
2 5
3 -1
1 -2
10 10
1 -2
62
=
-
4 5
-
6 5
17
4.
1 -2
10
5
题型一 题型二 题型三 题型四
错因分析:把矩阵 A 的逆矩阵求错了,应该是 A-1=
不同于绝对值.
12
【做一做 1】 行列式 1 -1 的值为( ) 20
A.-2
解析: 1 2
答案:B
B.2
C.0
D.-1
-1 = 1 × 0 − (−1) × 2 = 2. 0
12
2.定理
ab
二阶矩阵 A=
可逆, 当且仅当 detA=ad-bc≠0.
cd
ab
������
当矩阵 A=
可逆时,A-1= det������
即 adxv+bcyu-aduy-bcxv=1,
∴ad(xv-uy)-bc(xv-uy)=1.
∴(ad-bc)(xv-uy)=1 成立.∴ad-bc≠0.
由①×b-②×a,得(bc-ad)y=b,
∴y=
-������ ������������-������������
=
-������ det������
二阶行列式用绝对值号或两竖线表示.二阶矩阵反应的是变换,二阶
ab
行列式是用来判断矩阵 A=
是否可逆的.
cd
ab
2.为什么当 ad-bc≠0 时,A=
可逆呢?
ab
cd
xy
剖析:假设 A=
是可逆的,其逆矩阵为 B=
,
x
y
cd ab
10
uv
即BA=E2,∴
=
.
uv cd
������������ + ������������ = 1, ①
������ 4
a 1
6 ,
5
∴detM=4,且 b=5.∴
������ 1
6 5
= 5������ − 6 = 4.
∴a=2.
答案:2 5
1234 5
-3 2
1 -2
4.矩阵 A=
,B=
, 则(AB)-1 为
.
14
-1 3
1234 5
-3 2
解析:∵AB=
1 -2
-5 12
=
,
1 4 -1 3
∴A 存在逆矩阵,
且 A-1=
3 2 -4 2
-
1 2
2
2
=
3 2
-2
-
1 2
.
1
(2)∵detB=
������ 1
3 1
= ������ − 3,
∴当 a=3 时,B 不存在逆矩阵;
1
当 a≠3 时,B 存在逆矩阵,其逆矩阵 B-1= ������-3
-1 ������-3
-3
������-3 .
12
【做一做 2】 求下列矩阵的逆矩阵.
15
26
(1)A=
; (2)B=
.
73
解:(1)∵1×3-5×7=-32≠0,
84
∴A 存在逆矩阵 A-1.∴A-1=
-
3 32
7
32
5
32
-
1 32
.
(2)∵2×4-6×8=-40≠0,∴B 存在逆矩阵 B-1.
∴B-1=
46 -40 40
82 40 -40
值.
分析:先求出矩阵 AB,然后分别求出|AB|与|A|,令其相等即可.
题型一 题型二 题型三 题型四
32
解:∵AB=
x1
7x 3 + 2x
=
,
1 1 2x x
3x 1 + x
∴|AB|=
7������ 3������
3 + 2������ 1 + ������
= 7������·(1+x)-3x·(3+2x)=x2-2x.又|A|=
-������
cd
det������
–������
det������ .
������ det������
12
ab 名师点拨1.数 ad-bc 对于判断矩阵 A=
cd 是否可逆以及求其逆矩阵具有特别的重要性,这是我们把它定义为 矩阵 A 的行列式 detA 的重要原因. 2.要计算 A-1,可以先求出行列式 detA,再写出 A-1.
-1 -4
12
-10 -3
-10 -2
=
10 3
5 1
, 因而计算时不要用错公式.
-10 -10
10 5
-2 4
正解:设 A=
,
3 -1
∵detA= -2 4 = 2 − 12 = −10≠0,
3 -1
-1 -4
12
∴矩阵 A 可逆,∴A-1= -10
-3
-10 -2
=
10 3
5 1
.
-10 -10
二 二阶行列式与逆矩阵
1.了解二阶行列式的定义. 2.会用二阶行列式求逆矩阵.
12
1.行列式
ab
如果矩阵 A=
是可逆的, 则������������ − ������������≠0,表达式 ad-bc 称
cd
为二阶行列式,记作
������ ������
������ ������
,即
������ ������
a1
1234 5
解:(1)∵|A|=
3 0
1 -1
= −3≠0,
11
∴A 有逆矩阵,且 A-1= 3 3 .
0 -1
(2)∵|B|=
������ ������
2 1
= ������ − 2������,
当 m-2a=0 时,B 不存在逆矩阵;
当 m-2a≠0 时,B 有逆矩阵,
且 B-1=
1 ������-2������
������ ������
= ������������ − ������������,
������ ������
������ ������
ab
也称为二阶矩阵A=
的行列式, 记为 detA 或|A|.
cd
12
名师点拨
1.ad-bc 也称为二阶行列式
������ ������
������ ������
������ ������-3
题型一 题型二 题型三 题型四
反思当detA=ad-bc≠0时,二阶矩阵可逆;当detA=ad-bc=0时,二阶 矩阵不可逆.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三
逆矩阵与行列式的综合应用
32
x1
【例 3】 已知 A=
,B=
, 若|AB|=|A|,求 x 的
11
2x x