2015年高中数学 3.2.2对数函数(1)课件 苏教版必修1
最新【苏教版】高一数学必修一：3.2.2《对数函数第一课时》同步练习(含答案)
最新教学资料·苏教版数学2.3.2 对数函数 第一课时1．函数y ＝1－x ＋lgx 的定义域为__________．2．函数f(x)＝log (a －1)x 是减函数，则a 的取值范围是__________． 3．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b ，则f(－a)＝__________.4．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是单调增函数的个数是__________． ①y ＝5x ②y ＝lgx ＋2 ③y ＝(12)x ④y ＝x 2＋1⑤y ＝log 12x5．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M ，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N ，则M ∩N ＝__________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a ＞0且a ≠1)恒过定点P ，则P 点的坐标为__________．7.下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3、43、35、110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 的值依次是__________．8．下列不等式成立的序号是__________．①log 32＜log 23＜log 25 ②log 32＜log 25＜log 23 ③log 23＜log 32＜log 25 ④log 23＜log 25＜log 329．(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x ，x ≤0.若f(a)＝12，则a ＝__________；(2)若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝__________. 10．记函数f(x)＝(12)－x 的反函数为f －1(x)，则函数y ＝f －1(x －1)的图象可由函数y ＝log 2x经过向__________平移__________个单位而得到．11．(1)已知log 0.7(2m)<log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是__________；(2)已知log a 25<1，则a 的取值范围是__________．12．画出函数f(x)＝|log 2x|的图象．13．求下列函数的定义域：(1)y＝log2(3x－2)x－3；(2)y＝log0.5(4x－3)；(3)y＝log(x＋1)(2－x)．14．已知函数y＝lg(x2＋1－x)，求其定义域，并判断函数的奇偶性、单调性．15．下列四图，当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的大致图象的序号是__________．16．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值是__________．17．三个数a ＝30.7，b ＝log 30.7，c ＝0.73按从大到小的顺序排列为__________． 18．若函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝__________.19．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≤0，log 2(x ＋2)，x ＞0，若f(x 0)≥2，则x 0的取值范围是__________．20．设a ＝log 34，b ＝log 43，c ＝log 3(log 43)，则a 、b 、c 的大小关系是__________．21．(1)已知函数f(x)＝log a x 满足f(9)＝2，则a ＝__________；(2)如果函数f(x)＝(3－a)x ，g(x)＝log a x 的单调性相同，则a 的取值范围是__________． 劲草敢做疾风，险峰只迎闯将。
高中数学 3.2.2 第1课时 对数函数概念、图像与性质同
教
学 教
3.2.2 对数函数
易 错
法
易
分 析
第 1 课时 对数函数的概念、图象与性质
误 辨
析
教
教师用书独具演示
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
●三维目标
达
标
课 前
1．知识与技能
自
课
主 导
(1)理解对数函数的概念．
时 作
学
业
(2)掌握对数函数的性质了解对数函数在生产实际中的简
课
堂 互
单应用．
动
探 究
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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SJ ·数学 必修1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
教
学 教
对数函数的概念
易 错
法
易
分
误
析
【问题导思】
辨 析
教
学 方
对于函数 y＝log2x，y＝ x.
当 堂
案
设
1．对自变量 x 有何限制？
双 基
计
达
课
【提示】 x>0.
标
前 自
2．两函数底数和真数有什么共同点？
课
主
导
【提示】 真数都是自变量，底数都是常数．
时 作
学
高中数学 2.3.2 对数函数课件(2) 苏教版必修1
情境问题： 情境问题：
对数函数的定义： 对数函数的定义： 函数y＝ 叫做对数函数． 函数 ＝logax (a＞0，a≠1)叫做对数函数． ＞ ， 叫做对数函数 对数函数的定义域为(0， 对数函数的定义域为 ，＋∞)，值域为 ． ，值域为R 对数函数的图象和性质： 对数函数的图象和性质： 对数函数的图象恒过点(1， ， 对数函数的图象恒过点 ，0)， 0＜a＜1时 对数函数在(0， 上递减； 当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋∞) 上递减； 上递增． 当a＞1时，对数函数在 ，＋∞)上递增． ＞ 时 对数函数在(0， 上递增 y 如图所示曲线是对数函数y＝ 的图像， 如图所示曲线是对数函数 ＝logax的图像， 的图像 已知a值取 值取1.5， ， ， ，则相应于C 已知 值取 ，e，0.5，0.2，则相应于 1，C2， C3，C4的a的值依次为 的值依次为 ． O
数学探究： 数学探究
的图象在同一坐标系中画出， 例2．分别将下列函数与 ＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者 ．分别将下列函数与y＝ 的图象在同一坐标系中画出 之间的关系. 之间的关系 y (1) y＝log3(x－2)； ＝ － ； (2) y＝log3(x＋2)； ＝ ＋ ； (3) y＝log3x－2； ＝ － ； (4) y＝log3x＋2. ＝ ＋ O y＝log3x y＝log3(x－2) ＝ ＝ － x
x O
数学应用： 数学应用：
例3．画出函数 ＝log2|x|的图象． ．画出函数y＝ |的图象． y
x O
结合函数y＝ 结合函数 ＝log2|x|的图象，说出它的有关性质． |的图象，说出它的有关性质． 总可以写作y＝ | | 注：偶函数y＝f(x)总可以写作 ＝f(|x|) ． 偶函数 ＝ 总可以写作 说出函数y＝ 说出函数 ＝log2(x－2)2的单调区间． － 的单调区间．
高中数学对数函数第一课时课件苏教版必修一
*评注: (1)同底数的对数的大小比较可以利用相应的对数函数的单调 性来解，也可用“作差法”进行比较；
(2)不同底数的对数的大小比较，可以借助适当的“中间量”
(如0或1)进行比较！
回顾反思：
1.对数函数的定义，图象及其性质；
2.对数函数与指数函数的关系——互为反函数；
互为反函数的性质；求反函数的方法； 3.同底数（不同下列各组数中两个数的大小：
(1) log23.4 , log23.8 ; (2) log0.5 1.8 , log0.52.1 ; (3) log75 , log67 . (1)、(2)两题属于同底数的对数的大小比较问题，可考虑构造 目标函数，再利用对数函数的单调性来解；(3)属于底数不同、 真数也不同的对数的大小比较问题，可以与一个适当的“中间 量”(如0或1)作比较！
互为反函数的图象关于直线 y=x 对称！
(1)由原函数 y=f(x)解析式解出 x= f -1(y) ， (2) x , y互换，得到反函数 y=f -1(x)的解析式， (3)注明反函数的定义域。
三、数学应用： 例1.求下列函数的定义域： (1) y = log 0.2(4-x) ; (2) y = 分析：本题主要考查对数函数的定义域！
代数意义
定义域： 值域：R 在 上是增函数
图象既不关于原点对称， 也不关于y轴对称 图象过定点(1,0)
第一象限内的图象在直 线x=1的右侧
既不是奇函数，也 不是偶函数 当x=1时，y=0 当x>1时， y>0
当0<x<1时，y<0 第四象限内的图象在直 线x=0与x=1之间 问题4、你能仿照上面的做法，说出当0<a<1时的图象的性质吗？
问题5、对于对数函数 f(x)= logax ，你能否归纳出，当a , x满足
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数名师导航学案苏教版必修1
3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。
苏教版必修一：第三章 指数函数、对数函数和幂函数3.2.1 第1课时
3．2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？★★答案★★不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．梳理对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．log10N可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于？★★答案★★设log a1＝t，化为指数式a t＝1，则不难求得t＝0，即log a1＝0.梳理(1)对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：log a Na＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．(2)对数的性质①1的对数为零；②底的对数为1；③零和负数没有对数．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________． ★★答案★★ 2<b <5且b ≠4 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0. 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域．解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域为(0,1)．类型二 应用对数的基本性质求值 例2 求下列各式中x 的值． (1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1. 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． ★★答案★★ 9解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9. 类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4.(2)log 2164＝－6.(3)log 327＝a .(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式．(2)解方程：⎝⎛⎭⎫13m＝5.解 (1)3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝⎛⎭⎫126＝164可化为12log 164＝6.(2)m ＝13log 5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ；(4)－lne 2＝x ；(5)21)log 13＋22＝x .解 (1)x ＝2364-＝233(4)-＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以x ＝166()x ＝168＝136(2)＝122＝ 2.(3)因为10x ＝100＝102，所以x ＝2. (4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2. (5)因为21)log -)13＋22＝x ，所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)43log 81；(3)345log 625.解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,43x＝34，∴x ＝16.(3)令x ＝345log 625，则⎝⎛⎭⎫354x＝625,435x ＝54，∴x ＝3.命题角度3 对数恒等式log a Na＝N 的应用例5 (1)求＝2中x 的值； (2)求的值(a，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)． 解 (1)∵＝33·＝27x ＝2，∴x ＝227. (2)＝＝＝N . 反思与感悟 应用对数恒等式时应注意 (1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝log a xa 并非相等的函数．跟踪训练5 设5log (21)25x -＝9，则x ＝________.★★答案★★ 2 解析 ∵5log (21)25x -＝()5log (21)25x -＝5log (21)2(5)x -＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3. ∴x ＝2.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是________． ★★答案★★ b a ＝N2．若log a x ＝1，则x ＝________. ★★答案★★ a3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________． ①e 0＝1与ln1＝0； ②138-＝12与log 812＝－13； ③log 39＝2与129＝3； ④log 77＝1与71＝7. ★★答案★★ ③33log 3x+log log log a b c b c Na ⋅⋅33log 3x +3log 3x log loglog a b c b c N a ⋅⋅log log log ()a b c b c Na⋅log c Nc4．已知log x 16＝2，则x ＝________. ★★答案★★ 45．设10lg x ＝100，则x 的值等于________． ★★答案★★ 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a Na＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．课时作业一、填空题 1．有下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的序号为________． ★★答案★★ ①③④解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式． 2．已知log 2(1－2x )＝1的解x ＝________. ★★答案★★ －12解析 ∵log 2(1－2x )＝1， ∴2＝1－2x ， ∴x ＝－12.3．3log＝________.★★答案★★ 8 解析 设3log＝t ，则(3)t＝81,32t＝34，t 2＝4，t ＝8. 4．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确等式的序号是________．★★答案★★ ①②解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0； ③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e . 5．(12)－1＋log 0.54的值为________．★★答案★★ 0解析 (12)－1＋log 0.54＝(12)－1＋log 124＝2－2＝0.6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是________．★★答案★★ 45解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝________.★★答案★★2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f (12)＝f (log 22)＝ 2.8．方程3log 2x＝14的解是________． ★★答案★★ x ＝19解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.9．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.★★答案★★24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x . ∴x12-＝(23)12-＝18＝122＝24. 10．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝________. ★★答案★★107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b ＝7，∴3a －b＝3a 3b ＝107. 11．22log 32+＋32log 93-＝________.★★答案★★ 13 解析22log 32+＋32log 33-＝22×2log 32＋32log 933＝4×3＋99＝12＋1＝13. 二、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值． ①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式． ①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝225-＝582.②因为log x 3＝－13，所以x 13-＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a . ②由6a ＝8，得6a＝23，即63a ＝2，所以log 62＝a3.③由63a ＝2，得23a＝6，所以log 26＝3a.13．设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}? 解 不存在a 的值，使M ∩N ＝{1}成立．若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义； 若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾． 所以不存在a ，使M ∩N ＝{1}． 三、探究与拓展14．log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝________.★★答案★★－1解析由题意，知log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝log(n＋1－n)(n＋1－n)－1＝－1.15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．解根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①然后，还有两种可能：x＝y，②或xy＝y.③由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对
第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。
高中数学 3.2.2对数函数(一)配套课件 苏教版必修1
小结 此题主要利用对数函数 y＝logax 的定义域为(0，＋∞) 求解．
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跟踪训练 1 求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)；(2)y＝log12x；(3)y＝log71－13x；
(4)y＝ log3x.
解 (1)由 1－x>0 得 x<1，
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3.2.2（一）
跟踪训练 3 函数 y＝loga(x－1)(a>0 且 a≠1)的反函数的图象经过点 (1,4)，求 a 的值．
解 根据反函数的概念，知函数 y＝loga(x－1)(a>0 且 a≠1)的图象经 过点(4,1)， ∴1＝loga3，∴a＝3.
2
图象的过程，观察图象，并指出这两个函数有哪些相同性质
和不同性质？
答 作图步骤： ①列表， ②描点，③用平滑曲线连接．过程
如下： x
…
1 4
1 2
1
2
4…
y＝log2x … －2 －1 0 1 2 …
y＝ log1 x … 2 1 0 －1 －2 … 2
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所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是 log23.4<log28.5； (2)考虑对数函数 y＝log0.3x，因为它的底数 0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是 log0.31.8>log0.32.7；
(3)当 a>1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数，
于是 loga5.1<loga5.9；
精品【苏教版】高一数学必修一：3.2.2《对数函数第一课时》同步练习(含答案)
苏教版数学精品资料2.3.2 对数函数 第一课时1．函数y ＝1－x ＋lgx 的定义域为__________．2．函数f(x)＝log (a －1)x 是减函数，则a 的取值范围是__________． 3．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b ，则f(－a)＝__________.4．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是单调增函数的个数是__________． ①y ＝5x ②y ＝lgx ＋2 ③y ＝(12)x ④y ＝x 2＋1⑤y ＝log 12x5．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M ，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N ，则M ∩N ＝__________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a ＞0且a ≠1)恒过定点P ，则P 点的坐标为__________．7.下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3、43、35、110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 的值依次是__________．8．下列不等式成立的序号是__________．①log 32＜log 23＜log 25 ②log 32＜log 25＜log 23 ③log 23＜log 32＜log 25 ④log 23＜log 25＜log 329．(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x ，x ≤0.若f(a)＝12，则a ＝__________；(2)若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝__________. 10．记函数f(x)＝(12)－x 的反函数为f －1(x)，则函数y ＝f －1(x －1)的图象可由函数y ＝log 2x经过向__________平移__________个单位而得到．11．(1)已知log 0.7(2m)<log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是__________；(2)已知log a 25<1，则a 的取值范围是__________．12．画出函数f(x)＝|log 2x|的图象．13．求下列函数的定义域：(1)y＝log2(3x－2)x－3；(2)y＝log0.5(4x－3)；(3)y＝log(x＋1)(2－x)．14．已知函数y＝lg(x2＋1－x)，求其定义域，并判断函数的奇偶性、单调性．15．下列四图，当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的大致图象的序号是__________．16．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值是__________．17．三个数a ＝30.7，b ＝log 30.7，c ＝0.73按从大到小的顺序排列为__________． 18．若函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝__________.19．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≤0，log 2(x ＋2)，x ＞0，若f(x 0)≥2，则x 0的取值范围是__________．20．设a ＝log 34，b ＝log 43，c ＝log 3(log 43)，则a 、b 、c 的大小关系是__________．21．(1)已知函数f(x)＝log a x 满足f(9)＝2，则a ＝__________；(2)如果函数f(x)＝(3－a)x ，g(x)＝log a x 的单调性相同，则a 的取值范围是__________． 劲草敢做疾风，险峰只迎闯将。
高中数学《对数》课件
数学 ·必修1
探究1 对数的概念
例 1 (1)使对数 log2(－2x＋1)有意义的 x 的取值范围为
()
A.0，12
B.12，＋∞
C.－∞，12 D.－∞，－12 (2)在对数式 b＝loga－2(5－a)中，实数 a 的取值范围是
()
A．a>5 或 a<2
B．2<a<5
C．2<a<3 或 3<a<5 D．3<a<4
11
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修1
解析 (1)要使对数 log2(－2x＋1)有意义，只要使真数 －2x＋1>0 即可，即 x<12，∴x 的取值范围为－∞，12，故 选 C.
a－2>0，
(2)由题意得a－2≠1， 5－a>0，
解得 2<a<3 或 3<a<5.
12
范围是( )
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
(2)在 log(2x－1)(x＋2)中求 x 的范围．
答案 (2)见解析
14
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修1
解析 (1)要使函数有意义，必有xx＋ －11>≠00，， 解得 x> －1 且 x≠1，故选 C.
课后课时精练
数学 ·必修1
拓展提升 由指数式 ab＝N 可以写成 logaN＝b(a>0，且 a≠1)，这 是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数 量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：
高中数学(苏教版)必修一讲义：第三章 3.2 对数函数
问题1：若2x ＝16，(13)x ＝9，x 的值分别为多少？提示：4，－2.问题2：若2x ＝3，(13)x ＝2，你现在还能求得x 吗？这是一种什么运算？提示：不能．这是一种已知底数和幂值，求指数的运算． 问题3：若2x ＝0，(13)x ＝－1，这样的x 存在吗？为什么？提示：不存在．因为2x >0，(13)x >0，所以原方程无解．1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数log 10N 简记为lg_N . 在科学技术中，常常使用以e 为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e ＝2.718 28…是一个无理数)，正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln_N .对数符号log a N 只有在N >0，a >0且a ≠1时才有意义．零和负数无对数，即N ≤0时log a N 无意义(因为a x >0)．[例1] 求使对数log (a －2)(7－2a )有意义的a 的取值范围． [思路点拨] 根据对数中底数与真数的取值范围求解． [精解详析] 在log a N 中，N >0，a >0且a ≠1， ∴依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧7－2a >0，a －2>0，a －2≠1.解得2<a <72且a ≠3.故a 的取值范围是2<a <72，且a ≠3.[一点通] 解决此类问题只需根据对数的意义，即底数大于0且不等于1，真数大于0，列不等式组求解即可．1．已知对数log a (3a －2)有意义，则实数a 的取值范围为________． 解析：要使log a (3a －2)有意义， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －2>0a >0a ≠1.∴a >23且a ≠1.★答案★：{a |a >23且a ≠1}2．求下列各式中的x 的范围．(1)log (x 2＋1)(－3x ＋8)；(2)log (2x －1)(x ＋2)． 解：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋8>0x 2＋1>0x 2＋1≠1，解得x <83且x ≠0.所以x 的取值范围是x <83且x ≠0.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>02x －1>02x －1≠1，解得x >12且x ≠1.所以x 的取值范围是x >12且x ≠1.[例2] 将下列指数式与对数式互化： (1)43＝64；(2)(13)－2＝9；(3)2－2＝14；(4)log 327＝3；(5)log 128＝－3；(6)log 2x ＝5.[思路点拨] 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)进行转化． [精解详析] (1)log 464＝3； (2)log 139＝－2； (3)log 214＝－2；(4)33＝27； (5)(12)－3＝8； (6)x ＝(2)5＝4 2.[一点通] 指数式a b ＝N 中的幂N 即为对数式log a N ＝b 中的真数N .利用此关系可以进行指数式与对数式的互化，求某些对数值就可以把它转化成指数问题．3．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________． ①N ＝a 2与log N a ＝2；②log 2 4＝4与 2 4＝4； ③(14)－3＝64与log 6414＝－13； ④log x 7y ＝z 与x z ＝y 17.解析：①错，N ＝a 2⇒log a N ＝2；②正确； ③错误，(14)－3＝64⇒log 1464＝－3；④正确．★答案★：②④4．求下列各式中x 的值：(1)log x 27＝32；(2)log 3x ＝6；(3)log 3(lg x )＝1.解：(1)∵log x 27＝32，∴x 32＝27，x ＝2723＝32＝9.(2)由log 3x ＝6，得(3)6＝x ，∴x ＝33＝27. (3)由log 3(lg x )＝1，得lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.[例3] 求下列各式的值： (1)log (2－3)(2＋3)－1;(2)log 327; (3)32＋log 35.[思路点拨] 利用对数的基本性质和对数与指数之间的转化求解． [精解详析] (1)设x ＝log (2－3)(2＋3)－1，则(2－3)x ＝(2＋3)－1＝12＋3＝2－ 3. ∴x ＝1. 即log (2－3)(2＋3)－1＝1.(2)∵33＝27，∴log 327＝3. (3)32＋log 35＝32·3log 35＝9·3log 35. 令3log 35＝x ，∴log 35＝log 3x 即x ＝5.∴原式＝9×5＝45. [一点通](1)求对数的值时，可先设其值为x ，转化为指数式后再求． (2)log a a N ＝N (a >0且a ≠1)，这是对数恒等式，使用时要注意格式．5．求下列各式的值：(1)log 525；(2)log 2116；(3)lg 1 000；(4)lg 0.001.解：(1)∵52＝25，∴log 525＝2； (2)∵2－4＝116，∴log 2116＝－4；(3)∵103＝1 000，∴lg 1 000＝3； (4)∵10－3＝0.001，∴lg 0.001＝－3. 6．计算下列各题： (1)2122；(2)22＋log 25；(3)71－log 75. 解：(1)212log25＝(212)2＝(2)2＝5；(2)22＋log25＝22×2log 25＝4×5＝20； (3)71－log75＝71÷7log 75＝7÷5＝75.1．在求解对数问题时，要注意log a N 中对a ，N 的要求：①对a 的要求是：a >0且a ≠1；②对N 的要求是：N >0.2．对数的基本性质对于对数log a N (a >0，a ≠1，N >0)，具有以下性质：①零和负数无对数，即N >0；②log a a ＝1；③log a 1＝0；④a log a N ＝N .一、填空题1．若对数式log (x －1)(x ＋3)有意义，则x 的取值范围为________． 解析：若log (x －1)(x ＋3)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x －1>0，x －1≠1解得x >1且x ≠2.★答案★：(1,2)∪(2，＋∞)．2．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于________．解析：由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8， 所以x12-＝812-＝18＝122＝24. ★答案★：243．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 解析：由log a 2＝m 得a m ＝2，由log a 3＝n 得a n ＝3. ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. ★答案★：124．若f (10x )＝x ，则f (1 000)的值为________．解析：令10x ＝t ，∴x ＝lg t . ∴f (t )＝lg t 即f (x )＝lg x .∴f (1 000)＝lg 1 000，∵103＝1 000，∴f (1 000)＝3. ★答案★：35．若10α＝2，β＝lg 3，则10012αβ-＝________.解析：∵β＝lg 3，∴10β＝3. ∴100α12-β＝100α10012β＝(10α)210β＝223＝43. ★答案★：436．若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)的值为________． 解析：∵log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝31，即a ＝2. ∴log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 2(2－1)＝1＋0＝1. ★答案★：1 二、解答题7．(1)将对数式log 139＝－2，化为指数式；(2)将指数式10－3＝0.001，化为对数式； (3)已知log 2(log 5x )＝1，求x 的值． 解：(1)∵log 139＝－2，∴(13)－2＝9；(2)∵10－3＝0.001，∴log 100.001＝－3， 即lg 0.001＝－3；(3)∵log 2(log 5x )＝1，∴log 5x ＝2，∴x ＝52＝25. 8．求下列各式中x 的值： (1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 2(log 5x )＝0；(4)log 3(lg x )＝1. 解：(1)由log 8x ＝－23，得x ＝823-＝(23)23-＝2－2＝14.(2)由log x 27＝34，得x 34＝27，x ＝(33)43＝34＝81.(3)由log 2(log 5x )＝0，得log 5x ＝1，所以x ＝5.(4)由log 3(lg x )＝1，得lg x ＝3，所以x ＝103＝1 000. 9．已知log 2x ＝3，log 2y ＝5，求log 2xy 的值．解：∵log 2x ＝3，log 2y ＝5， ∴x ＝23，y ＝25，x y ＝2325＝14∴log 2x y ＝log 214＝log 22－2＝－2.问题1：你知道对数log 22，log 24，log 28，log 232的值分别是多少吗？ 提示：1，2，3，5.问题2：这几个对数与log 22有什么形式上的关系？提示：log 24＝log 222＝2log 22，log 28＝log 223＝3log 22，log 232＝log 225＝5log 22. 问题3：log 24，log 28，log 232之间存在什么关系？ 提示：log 24＋log 28＝log 232＝log 2(4×8)，log 2328＝log 24＝log 232－log 28，log 2324＝log 28＝log 232－log 24.问题4：利用上面的数值，log a (MN )＝log a M log a N 成立吗？ 提示：不成立，如log 232≠log 24×log 28.对数的运算性质(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M ，(其中a >0，a ≠1，M >0，N >0，n ∈R .)问题1：对数log 24，log 42的值分别是多少？提示：2，12.问题2：log 24，log 42的关系是什么？log a b 与log b a 是否具有同样的关系？ 提示：log 24log 42＝1，log a b log b a ＝1.问题3：令a ＝lg 5，b ＝lg 3，试用a ，b 表示log 35. 提示：由a ＝lg 5知10a ＝5，由b ＝lg 3知10b ＝3.又10a ＝(10b )ab，5＝3a b，∴log 35＝a b ，即log 35＝lg 5lg 3.换底公式的定义：一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1.)这个公式称为对数的换底公式．对数的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立，如log 2[(－3)·(－5)]是存在的，但log 2(－3)与log 2(－5)均不存在，故不能写成log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)．[例1] 计算下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 5＋lg 2； (2)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (3)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 2 2；(4)(1－log 62)2＋log 62·log 618＋lg 10－ln e 2.[思路点拨] 利用对数的运算性质，将式子转化为只含一种或几种真数的形式再进行计算．[精解详析] (1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5·lg(5×2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.(2)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg102·lg(2×10)＋lg 2 2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg 2)·(lg 2＋1)＋lg 2 2＝2＋1－lg 22＋lg 22＝3.(4)(log 66－log 62)2＋log 62·log 6(2×32) ＝⎝⎛⎭⎫log 6622＋log 62·(log 62＋log 632) ＝log 263＋log 262＋2log 62·log 63 ＝(log 63＋log 62)2＝1. 又lg 10＝12，ln e 2＝2，∴原式＝1＋12－2＝－12.[一点通] 利用对数的运算性质解题时，应根据所求式子的结构，对真数进行分解或合并，常见的方法有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算性质将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．1．(1)(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20的值是________． (2)log 39100＋2log 310＝________. 解析：(1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20 ＝lg 5＋lg 20＝lg (5×20)＝lg 100＝2. (2)原式＝log 39100＋log 3100 ＝log 3⎝⎛⎭⎫9100×100＝log 39＝2. ★答案★：(1)2 (2)22．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，3x (x <0).则f [f (－2)]等于________．解析：f (－2)＝3－2＝19.∴f [f (－2)]＝f (19)＝log 319＝log 33－2＝－2.★答案★：－23．求值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 243lg 9；(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2.解：(1)法一(公式的正向运用)：原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2 ＝0.法二(公式的逆向运用)： 原式＝lg 14－lg(73)2＋lg 7－lg 18＝lg14×7(73)2×18＝lg 1＝0.(2)原式＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52.(3)原式＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.[例2] 已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 3645.[思路点拨] 利用换底公式，把题目中不同底的对数化成同底的对数，再进一步应用对数的运算性质求值．[精解详析] 法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a .法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.[一点通](1)换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，解决一般对数求值问题．(2)换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．4．若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为________． 解析：由x log 23＝1得x ＝1log 23＝log 32.∴3x ＋9x ＝3log 32＋9log 32＝2＋9log 94 ＝2＋4＝6. ★答案★：65．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 498. 解：log 498＝lg 98lg 4＝lg 49＋lg 22lg 2＝2lg 7＋lg 22lg 2，∵lg 2＝a ，lg 7＝b ，∴log 498＝2b ＋a2a.6．计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)． 解：法一：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)·(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125) ＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13.法二：原式＝(lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8)(lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125)＝(3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2)(lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5)＝(13lg 53lg 2)(3lg 2lg 5)＝13.[例3] 设x ，y ，z 均为正数，且3x ＝4y ＝6z . 求证：1z －1x ＝12y.[思路点拨] 由条件可知，可以令3x ＝4y ＝6z ＝k ， 用k 分别表示出x ，y ，z .然后再代入进行证明． [精解详析] 设3x ＝4y ＝6z ＝k ， 因为x ，y ，z 均为正数，所以k >1.所以x ＝log 3k ＝1log k 3，y ＝log 4k ＝1log k 4＝12log k 2， z ＝log 6k ＝1log k 6，所以1x ＋12y ＝log k 3＋log k 2＝log k 6＝1z ，即1z －1x ＝12y. [一点通] 在证明恒等式或进行对数值运算时，多借助于换底公式化为同底的对数，至于底数取什么数值，一般是根据已知条件灵活选取．7．已知2x ＝5y ，则xy 的值为________．解析：令2x ＝5y ＝k (k >0)， 则x ＝log 2k ，y ＝log 5k ， ∴x y ＝log 2k log 5k ＝log k 5log k 2＝log 25. ★答案★：log 25 8．设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 2 19，B ＝1log 2 π＋1log 5 π，试比较A 与B 的大小． 解：利用换底公式，可得A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360，B ＝log π2＋log π5＝log π10. ∵log 19360<log 19192，log π10>log ππ2， ∴log 19360<2，log π10>2，∴A <B .[例4] 2013年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2013年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4.精确到1年)[思路点拨] 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．[精解详析] 设经过x 年，我国国民生产总值是2013年的2倍． 经过1年，总产值为a (1＋8%)， 经过2年，总产值为a (1＋8%)2. ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x . 由题意得a (1＋8%)x ＝2a ，即1.08x ＝2，两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2，则x＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2013年的2倍．[一点通]解对数应用题的步骤(1)理解题意，弄清各字母的含义；(2)恰当地设未知数，建立数学模型，即已知a x＝N(a，N是常数，且a>0，a≠1)，求x；(3)在a x＝N两边取以a为底的对数得x＝log a N.(4)还原为实际问题，归纳结论．9．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？解：M＝7时，7＝lg A1－lg A0，∴A1A0＝107，即A1＝107A0；当M＝5时，A2＝105A0，∴A1A2＝107A0105A0＝100(倍)．因此7级地震的最大震幅是5级地震最大振幅的100倍．10．我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y＝10lg II0.这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0＝10－12 w/m2，当I＝I0时，y＝0.(1)如果I＝1 w/m2，求相应的分贝值；(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的多少倍？解：(1)∵I＝1 w/m2，∴y＝10lg II0＝10lg110－12＝10lg 1012＝120(dB)．(2)由70＝10lg II0，得lgII0＝7，∴II0＝107.又由60＝10lg I′I0，得lgI′I0＝6，∴I′I0＝106.∴II′＝107106＝10，即I＝10I′.1．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．2．根据对数的换底公式，可得出下列结论．(1)log a n b m ＝mnloga b (a >0，a ≠1，b >0，m ∈R ，n ∈R 且n ≠0)；(2)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，a ≠1，b ≠1，c ≠1)．一、填空题1．lg 5＋lg 20的值是________． 解析：lg 5＋lg 20＝lg 100＝1. ★答案★：12．(陕西高考改编)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是________．①log a b ·log c b ＝log c a ②log a b ·log c a ＝log c b ③log a (bc )＝log a b ·log a c ④log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：对①式：log a b ·log c b ＝log c a ⇒log a b ＝log c a log c b ，显然与换底公式不符，所以不恒成立；对②式：log a b ·log c a ＝log c b ⇒log a b ＝log c blog c a ，显然与换底公式一致，所以恒成立；对③式：log a (bc )＝log a b ·log a c ，显然与公式不符，所以不恒成立．对④式：log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c ，同样与公式不符，所以不恒成立．★答案★：②3．已知a 2＝1681(a >0)，则log 23a ＝________.解析：由a 2＝1681(a >0)得a ＝49，所以log 2349＝log 23⎝⎛⎭⎫232＝2. ★答案★：24．已知lg 2＝a,10b ＝3，则lg 108＝________(用a ，b 表示)． 解析：由条件可知lg 2＝a ，lg 3＝b ， ∴lg 108＝lg(27×4)＝lg 4＋lg 27＝2lg 2＋3lg 3 ＝2a ＋3b . ★答案★：2a ＋3b5．已知3a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 的值为________．解析：由条件可知a ＝log 3m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 3＋log m 5＝2，∴log m 15＝2. 即m 2＝15，∴m ＝15. ★答案★：156．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．★答案★：6 10 000 二、解答题7．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解：(1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝3. 8．(1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log27.解：(1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2，∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9. (2)由对数换底公式，得 log27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2⎝⎛⎭⎫1a －1＝2(1－a )a .9．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)解：假设经过x 年，该物质的剩余量是原来的13，根据题意得：0.75x ＝13，∴x ＝log 0.7513＝－lg 3lg 3－lg 4＝－lg 3lg 3－2lg 2≈4.故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.细胞分裂的过程中，1个分裂成2个，2个分裂成4个，依此类推，… 问题1：当细胞分裂成64个时，分裂了多少次？ 提示：6次．问题2：当细胞的数目确定时，分裂的次数是唯一确定的吗？提示：是唯一确定的．问题3：当已知细胞数目y时，分裂次数x如何表示？提示：由y＝2x可得x＝log2y.一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．考察函数y＝log2x和y＝logx的图象．12问题1：试作出这两个函数的图象．提示：如图所示：问题2：它的图象与y轴有交点吗？为什么？提示：没有交点．因为x>0.问题3：它的图象与x轴有公共点吗？y＝log a x过这一点吗？提示：有公共点(1,0)，过．问题4：这两个函数的图象有什么关系？提示：关于x轴对称．问题5：它们的增减性怎样？提示：y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增．x在(0，＋∞)上单调递减．y＝log12对数函数的图象与性质0＜a＜1a＞1图象性定义域：(0，＋∞)质值域：(－∞，＋∞)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数问题1：作出函数y＝2x与y＝log2x的图象．提示：如图：问题2：它们的图象有什么关系？提示：关于直线y＝x对称．指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．1．对数函数是一个形式概念，只有形如y＝log a x(a>0，a≠1)的函数才是对数函数．如函数y＝log2x＋1，y＝log2(x＋1)，y＝2log2x等都不是对数函数．2．由指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的关系不难发现其对应关系：由此可知：对数函数中的自变量x的范围等同于指数函数中的函数值范围；对数函数中的函数值的范围等同于指数函数中的自变量的范围．3．不论a(a>0且a≠1)取何值，函数f(x)＝log a x必过定点(1,0)，这是因为“不论底数为何值，1的对数等于0”．因此涉及与对数函数有关的定点问题，均可利用此性质求解．[例1]求下列函数的定义域．(1)f(x)＝log(x－1)(x＋2)；(2)f(x)＝log(1－2x)(3x＋2)；(3)f(x)＝1 log2(x－1).[思路点拨]根据对数式中底数、真数的范围列不等式(组)求解．[精解详析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x－1>0，x－1≠1，x＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x≠2，x>－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x≠2.故函数的定义域是{x|x>1且x≠2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x>0，1－2x≠1，3x＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧x<12，x≠0，x>－23，∴⎩⎪⎨⎪⎧－23<x<12，x≠0.故函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－23<x<12且x≠0.(3)由log2(x－1)≠0知x－1≠1，∴x≠2.又x－1>0，∴x>1.故函数的定义域是{x|x>1且x≠2}．[一点通]求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义时自变量的取值范围．常用的方法有：①分母不等于零；②根指数为偶数时，被开方数为非负数；③对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.1．(广东高考改编)函数f(x)＝lg(x＋1)x－1的定义域是________．解析：要使函数有意义，须满足：⎩⎪⎨⎪⎧x＋1>0x－1≠0⇒x>－1且x≠1，∴函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．★答案★：(－1,1)∪(1，＋∞)2．求下列函数的定义域：(1)y＝log2(4x－3)；(2)y＝log5－x(2x－2)．解：(1)要使函数有意义，须满足： log 2(4x －3)≥0＝log 21， ⇒1≤4x －3⇒x ≥1，∴函数的定义域为[1，＋∞)． (2)要使函数有意义，须满足： ⎩⎪⎨⎪⎧2x －2>05－x >05－x ≠1⇒1<x <5且x ≠4.∴函数的定义域为(1,4)∪(4,5).[例2] 作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象，并指出其单调区间． [思路点拨] 按下列顺序作图，作图后再观察得出单调区间． y ＝log 2x →y ＝log 2(x ＋1)→y ＝|log 2(x ＋1)|→y ＝|log 2(x ＋1)|＋2. [精解详析] 第一步：作出y ＝log 2x 的图象，如图(1)．第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位得到y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图(2)． 第三步：将y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方得到y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)．第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴方向向上平移2个单位，得到y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调递减区间是(－1,0)，单调递增区间是(0，＋∞)．[一点通] 按函数图象的平移，翻折变换作图，先作出基本的函数y ＝f (x )图象，然后再按顺序作函数y ＝|f (x ＋a )|＋b 的图象．3．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )在同一坐标系中的图象为________(填序号)．解析：法一：首先，曲线y ＝a x 位于x 轴上方，y ＝log a (－x )位于y 轴左侧，从而排除(1)(3)．其次，从单调性入手，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，又可排除(4)．法二：若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过点(0,1)，而曲线y ＝log a (－x )上升且过点(－1,0)，所有选项均不符合这些条件．若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过点(0,1)，而曲线y ＝log a (－x )下降且过点(－1,0)，只有(2)满足条件．法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图象关于y 轴的对称图象为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定(2)．★答案★：(2)4．如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为________． 解析：过点(0,1)作平行于x 轴的直线，与C 1、C 2、C 3、C 4的交点的坐标为(a 1,1)、(a 2,1)、(a 3,1)、(a 4,1)，其中a 1、a 2、a 3、a 4分别为各对数的底数，显然a 1>a 2>a 3>a 4，所以C 1、C 2、C 3、C 4的底数值依次为3、43、35、110.★答案★：3、43、35、110[例3] 比较下列各组数的大小： (1)log 0.13与log 0.1π； (2)log 45与log 65； (3)3log 45与2log 23.[思路点拨] 所给的四组数的大小均与对数有关，可借助对数函数的单调性比较大小． [精解详析] (1)∵函数y ＝log 0.1x 是减函数，π>3， ∴log 0.13>log 0.1π.(2)∵函数y ＝log 4x 和y ＝log 6x 都是增函数， ∴log 45>log 44＝1，log 65<log 66＝1. ∴log 45>log 65.(3)∵3log 45＝log 453＝log 4125＝log 2125log 24＝12log 2125＝log2125，2log 23＝log 232＝log 29，又∵函数y ＝log 2x 是增函数，125>9， ∴log 2125>log 29，即3log 45>2log 23.[一点通] 比较两个对数值的大小与比较两个指数值的大小的方法基本类似．当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；当底数不同时，可用换底公式或找中间值联系传递，如取0,1，－1等进行比较．5．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：∵1>log 54>log 53>0，∴(log 53)2<log 53. 又∵log 45>log 44＝1，∴c >a >b . ★答案★：c >a >b6．(重庆高考改编)设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 由小到大的顺序为________．解析：a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343，函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，43＜32＜2，即c ＜b ＜a .★答案★：c <b <a7．比较下列各组数的大小： (1)log 0.30.1与log 0.33；(2)log a (a ＋2)与log a (a ＋3)(a >0，a ≠1)； (3)log 3π，log 76与ln 0.2.解：(1)∵函数y ＝log 0.3x 是减函数，0.1<3， ∴log 0.30.1>log 0.33. (2)∵a ＋2<a ＋3，∴①当a >1时，log a (a ＋2)<log a (a ＋3)， ②当0<a <1时，log a (a ＋2)>log a (a ＋3)． (3)∵log 3π>1,0<log 76<1，ln 0.2<0， ∴log 3π>log 76>ln 0.2.函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a >1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0<a <1时a 越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．一、填空题1．(重庆高考改编)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x >2且x ≠3.★答案★：(2,3)∪(3，＋∞)2．函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a >0且a ≠1)必过定点________． 解析：∵log a 1＝0，∴x ＝0时f (x )＝2. 故函数f (x )过定点(0,2)． ★答案★：(0,2)3．(新课标卷Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：由题意知：a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，因为log 23<log 25<log 27，所以a >b >c . ★答案★：a >b >c4．若y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，∴0<log 12a <1.∴12<a <1.★答案★：(12，1)5．函数y ＝log a x ，x ∈[2,4]，a >0且a ≠1，若此函数的最大值比最小值大1，则a ＝________. 解析：当a >1时，log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2， 当0<a <1时，log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.∴a ＝2或12.★答案★：2或126．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，(12)x (x ≤0)，则f [f (127)]＝________.解析：因为f (127)＝log 3127＝－3，所以f [f (127)]＝f (－3)＝(12)－3＝8.★答案★：8 二、解答题7．已知函数f (x )＝log 2(x －3)． (1)求f (51)－f (6)的值；(2)若f (x )≥0，求x 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝log 2(x －3)，∴f (51)－f (6)＝log 2(51－3)－log 2(6－3) ＝log 248－log 23＝log 216＝4.(2)f (x )≥0即log 2(x －3)≥0，∴x －3≥1解得x ≥4. 所以x 的取值范围为[4，＋∞)．8．设y 1＝log a (3x ＋1)，y 2＝log a (－3x )，其中0<a <1. (1)若y 1＝y 2，求x 的值； (2)若y 1>y 2，求x 的取值范围．解：(1)∵y 1＝y 2，∴log a (3x ＋1)＝log a (－3x )， ∴3x ＋1＝－3x ，解得x ＝－16，经检验x ＝－16在函数的定义域内，∴x ＝－16.(2)y 1>y 2，即log a (3x ＋1)>log a (－3x )(0<a <1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，－3x >0，3x ＋1<－3x ，解得－13<x <－16，∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－13，－16. 9．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)当0<a <2时，有f (a )>12，利用图象求a 的取值范围．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝12，即log 3x ＝12，解得x ＝ 3.由如图所示的图象知： 当0<a <2时， 若f (a )>12，则3<a <2.故当0<a <2时，满足f (a )>12的a 的取值范围为(3，2)．[例1] 求函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调区间．[思路点拨] 首先确定出该函数的定义域，把函数转化为两个函数y ＝log 12u ，u ＝6＋x＋2x 2构成，根据它们各自的单调性来进行判断．[精解详析] 由6＋x ＋2x 2>0得2(x ＋14)2＋478>0，即函数定义域是R 令u (x )＝2x 2＋x ＋6，则函数u (x )＝2x 2＋x ＋6的单调增区间为 (－14，＋∞)，单调减区间为(－∞，－14)． 又∵y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调增区间为(－∞，－14)，单调减区间为(－14，＋∞)．[一点通](1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；(2)对于形如y ＝f (g (x ))的函数的单调性，必须考虑u ＝g (x )与y ＝f (u )的单调性，从而得出f (u )＝f (g (x ))的单调性；(3)判断函数的单调性，或者求函数的单调区间，也可画出函数图象求解．1．函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调递增区间是________．解析：由1－2x >0得x <12，∵u ＝1－2x 在(－∞，12)上单调递减，y ＝log 12u 在(0，＋∞)上单调递减．∴f (x )＝log 12(1－2x )在(－∞，12)上单调递增．★答案★：(－∞，12)2．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围________． 解析：根据复合函数的单调性知， ⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，22－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4. ★答案★：(－4,4]3.判断函数y ＝f (x )＝log a (1－x )的单调性．解：由1－x >0，得函数f (x )＝log a (1－x )的定义域为(－∞，1)． 令u ＝1－x ＝－x ＋1，∴y ＝log a u . ∵u ＝－x ＋1在(－∞，1)上是减函数，当a >1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数；当0<a <1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上是减函数； ∴当a >1时，f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是减函数； 当0<a <1时，f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是增函数.[例2] 解下列不等式： (1)log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)； (2)log x 12>1.[思路点拨] (1)利用y ＝log 2x 的单调性求解； (2)分类讨论，分x >1和0<x <1讨论． [精解详析] 因为对数式中真数大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，－x ＋5>0.解得12<x <5.又函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以原不等式化为2x －1<－x ＋5，解得x <2. 所以原不等式的解集是{x |12<x <2}．(2)当x >1时，原不等式化为log x 12>log x x .∴x <12，这与x >1矛盾；当0<x <1时，原不等式可化为log x 12>log x x ，∴x >12.结合0<x <1，所以12<x <1.故原不等式的解集为(12，1)．[一点通] 解对数不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．4．不等式log 2(x －3)>1的解集为________． 解析：∵log 2(x －3)>1， ∴log 2(x －3)>log 22. ∴x －3>2，x >5. ★答案★：{x |x >5}5．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.72x <log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． 解：(1)由log a 12>1得log a 12>log a a .①当a >1时，有a <12，此时无解．②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x <log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)[例3] 已知函数f (x )＝log m (x ＋1)－log m (1－x )(m >0且m ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性．[思路点拨] (1)确定定义域是解x ＋1>0且1－x >0，而不是x ＋11－x >0；(2)判断奇偶性可利用定义来判定．[精解详析] (1)由x ＋1>0且1－x >0得 －1<x <1.∴f (x )的定义域是(－1,1)． (2)函数的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝log m (－x ＋1)－log m (1＋x ) ＝－[log m (1＋x )－log m (1－x )]＝－f (x )， ∴y ＝f (x )是奇函数．[一点通] 对数函数的综合问题的考查主要体现在：对数的运算，与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题．解决这些问题必须熟练的掌握对数的相关运算性质、基本初等函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性的求解方法与技巧．6．已知f (x )是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2x )<1的解集为________．解析：函数f (x )在[－2,2]上单调递增且f (x )的最大值为1，∴f (2)＝1.∴f (log 2x )<1可化为f (log 2x )<f (2)，即log 2x <2，即0<x <4.又－2≤log 2x ≤2，∴14≤x ≤4.故14≤x <4.★答案★：[14，4)7．设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0<a <1. (1)证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)若f (x )>1，求x 的取值范围． 解：(1)证明：令0<a <x 1<x 2， g (x )＝1－ax，则g (x 1)－g (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－a x 1－⎝⎛⎭⎫1－a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2<0， ∴g (x 1)<g (x 2)，又∵0<a <1， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数． (2)∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x >1，∴0<1－ax <a . ∴1－a <ax <1，∵0<a <1，∴1－a >0，从而a <x <a1－a .∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫a ，a1－a .1．对于函数y ＝log a f (x )(a >0且a ≠1)单调性的判断，首先应求满足f (x )>0的x 的范围，即函数的定义域．假设f (x )在定义域的子区间I 1上单调递增，在区间I 2上单调递减，则(1)当a >1时，原函数与内层函数f (x )的单调性相同，即在I 1上单调递增，在I 2上单调递减．(2)当0<a <1时，原函数与内层函数f (x )的单调性不同，即在I 1上单调递减，在I 2上单调递增．2．关于对数函数性质的几点应用：(1)y ＝log a x 中定义域(0，＋∞)――――――→可延伸为y ＝log a f (x )的定义域，需f (x )>0. (2)y ＝log a x 过定点(1,0)――――――→可延伸为y ＝log a f (x )过定点，只需f (x )＝1即可． (3)y ＝log a x 的单调性――――――→可延伸为 y ＝log a f (x )的单调性，利用y ＝log a u 和u ＝f (x )的单调性判断．(4)考查y ＝log a f (x )的奇偶性，定义域关于原点对称后利用函数奇偶性的定义来判定较容易．一、填空题1．(江苏高考)函数ƒ(x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：由题意知，函数ƒ(x )＝log 5(2x ＋1)的定义域为{x |x ＞－12}，所以该函数的单调增区间为(－12，＋∞)．答案：(－12，＋∞)2．函数y ＝3x 的反函数是________，y ＝log 12x 的反函数是________．解析：∵函数y ＝a x 与函数y ＝log a x 互为反函数，∴函数y ＝3x 的反函数是y ＝log 3x ，函数y ＝log 12x 的反函数是y ＝(12)x .答案：y ＝log 3x y ＝(12)x3．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14x )<0的集合为________．解析：因为定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0]上单调递增．又f (12)＝0，所以f (－12)＝0，由f (log 14x )<0可得log 14x <－12或log 14x >12，解得x ∈(0，12)∪(2，＋∞)．答案：{x |0<x <12或x >2} 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是__________(从小到大排列)．解析：∵a ＝0.32∈(0,1)．b ＝20.3∈(1,2)，c ＝log 25∈(2,3)，d ＝log 20.3∈(－1,0)，∴d <a <b <c . 答案：d <a <b <c5．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．解析：由奇函数图象的对称性，知函数f (x )的图象如图所示．由图象知满足f (x )>0的x 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．解析：函数f (x )的图象如图∵f (a )＝f (b )，即|lg a |＝|lg b |.∴ab ＝1，又10<c <12∴abc ∈(10,12)．答案：(10,12)二、解答题7．解不等式：log a (3x －4)>log a (x －2)．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ log a (3x －4)>log a (x －2)，3x －4>0，x －2>0.(1)当a >1时，又等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4>x －2，3x －4>0，x －2>0，解得x >2.(2)当0<a <1时，又等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4<x －2，3x －4>0，x －2>0，不等式无解．综上可知：当a >1时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0<a <1时，不等式无解．8．已知函数f (x )＝lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的草图；(3)求函数f (x )的单调递减区间，并加以证明．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如图所示．(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．证明：设x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|.∵x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，∴|x 1|>|x 2|>0.∴|x 1||x 2|>1.∴lg |x 1||x 2|>0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(－∞，0)．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4，x <1，log a x ，x ≥1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ，x <1log 12x ，x ≥1，当x <1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数，所以f (x )>f (1)＝－2，即x <1时，f (x )的值域是(－2，＋∞)．当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是减函数， 所以f (x )≤f (1)＝0，即x ≥1时，f (x )的值域是(－∞，0]．于是函数f (x )的值域是(－∞，0]∪(－2，＋∞)＝R .(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立：①当x <1时，f (x )＝x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4是减函数，于是4a ＋12≥1， 则a ≥14； ②当x ≥1时，f (x )＝log a x 是减函数，则0<a <1；③12－(4a ＋1)·1－8a ＋4≥0，则a ≤13. 于是实数a 的取值范围是[14，13]．。
高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.2 对数函数 第1课时 对数
第1课时对数函数的概念、图象及性质1.了解对数函数的概念．2.会画对数函数的图象，记住对数函数的性质．3．掌握对数函数图象和性质的应用．[学生用书P52]1．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数的定义域是(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x(a>0且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域{x|x>0}值域R单调性增函数减函数共点性图象过点(1，0)，即log a1＝0函数值x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log a x与y＝log1ax的图象关于x轴对称趋势a值越大图象越靠近x，y轴a值越小图象越靠近x，y轴x趋于零，y趋于－∞；x趋于＋∞，y趋于＋∞x趋于零，y趋于＋∞；x趋于＋∞，y趋于－∞3.y＝a x称为y＝log a x的反函数，反之，y＝log a x也称为y＝a x的反函数，一般地，如果函数y ＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝log x3都不是对数函数．( )(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )(3)当0＜a ＜1时，若x ＞1，则y ＝log a x 的函数值都大于零．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．函数y ＝log 4.3x 的值域是________． 答案：R3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)log a x 是对数函数，则a ＝________． 答案：34．函数f (x )＝log 5(1－x )的定义域是________． 答案：{x |x <1}与对数函数有关的定义域问题[学生用书P52]求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x21－x； (2)y ＝log (2x －1)3x －2. 【解】 (1)要使函数有意义， 需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜1.所以－1＜x ＜1.所以函数的定义域为(－1，1)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，2x －1≠1，3x －2＞0，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞).若将例题(2)函数改为“y ＝log3x －2(2x －1)”，则其定义域应为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，3x －2＞0，3x －2≠1，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则①分母不能为0；②根指数为偶数时，被开方数非负； ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (2)求函数定义域的步骤①列出使函数有意义的不等式(组)； ②化简并解出自变量的取值范围； ③确定函数的定义域．1.求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg （x ＋1）－3；(2)y ＝log a （4x －3）(a ＞0，且a ≠1)．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1）－3≠0，x ＋1＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x ＞－1， 所以x ＞－1，且x ≠999，所以函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)log a (4x －3)≥0⇒log a (4x －3)≥log a 1. 当a ＞1时， 有4x －3≥1，x ≥1 . 当0＜a ＜1时，有0＜4x －3≤1，解得34＜x ≤1.综上所述，当a ＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 对数函数的图象和性质[学生用书P53](1)如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值可为35，110，3，43，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数a 的值依次为________．(2)若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b ，c 的值分别为________，________.【解析】 (1)由底数对对数函数图象的影响，可知C 4的底数<C 3的底数<C 2的底数<C 1的底数．故相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数依次是3，43，35，110.(2)因为函数的图象恒过定点(3，2)， 所以将(3，2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c ， 得2＝log a (3＋b )＋c .又当a >0，a ≠1时，log a 1＝0恒成立， 所以log a (3＋b )＝0，所以b ＝－2，c ＝2. 【答案】 (1)3，43，35，110(2)－2 2(1)对数函数的性质可以结合图象去理解记忆．(2)对数函数图象的画法有两种：一是描点法；二是通过图象变换画出．2.已知a ＞0，且a ≠1，则函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B.法一：若0＜a ＜1，则函数y ＝a x的图象下降且过点(0，1)，而函数y ＝log a (－x )的图象上升且过点(－1，0)，以上图象均不符合．若a ＞1，则函数y ＝a x的图象上升且过点(0，1)，而函数y ＝log a (－x )的图象下降且过点(－1，0)，只有B 中图象符合．法二：首先指数函数y ＝a x的图象只可能在x 轴上方，函数y ＝log a (－x )的图象只可能在y 轴左方，从而排除A ，C ；再看单调性，y ＝a x与y ＝log a (－x )的单调性正好相反，排除D.只有B 中图象符合．法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图象关于y 轴的对称图象为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接确定选B.利用对数函数的单调性比较大小[学生用书P53]比较下面各组数中两个值的大小． (1)log 33.4，log 38.5； (2)log 0.21.8，log 0.22.7；(3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0且a ≠1)． 【解】 (1)考察对数函数y ＝log 3x ，因为它的底数3＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数， 于是log 33.4＜log 38.5.(2)考察对数函数y ＝log 0.2x ，因为它的底数0.2＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log 0.21.8＞log 0.22.7.(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件并未明确指出底数a 与1哪个大，因此要对底数a 进行讨论：当a ＞1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 于是log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数， 于是log a 5.1＞log a 5.9.(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论． (2)如果不同底，一种方法是化为同底对数，另一种方法是寻找中间变量．(3)如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小的关系解决或利用换底公式化为同底，再进行比较．(4)若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．3.比较下列各组数的大小：(1)log 0.20.4，log 0.20.3，log 0.23； (2)log 123，log 133，log 143；(3)log 23，log 45，log 76.解：(1)因为函数y ＝log 0.2x 是区间(0，＋∞)上的单调减函数，且0.3<0.4<3， 所以log 0.20.3>log 0.20.4>log 0.23.(2)因为函数f (x )＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<14<13<12<1，所以log 314<log 313<log 312<0，即1log 143<1log 133<1log 123<0， 所以log 123<log 133<log 143. (3)log 23＝log 49>log 45>1， 而log 76<log 77＝1， 故log 76<log 45<log 23.1．关于对数函数概念的两点说明(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．(2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．2．a 对对数函数的图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象对应位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为________．[解析] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x －1>0，解得x >2.[答案] (2，＋∞)(1)解答本题只注意被开方数大于零，而忽视真数大于零．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．1．下列函数表达式中，是对数函数的有( ) ①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ； ④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有③、④，其他的均不符合．2．函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)解析：选C.要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1，且x ≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.3．函数y ＝2x的反函数为________．解析：由对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)和y ＝a x (a ＞0，a ≠1)互为反函数知y ＝2x的反函数为y ＝log 2x .答案：y ＝log 2x4．若函数y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)的图象过点(－1，0)． (1)求a 的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )， 则－1＋a ＝1，所以a ＝2.(2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，x ＋2＞0，解得x ＞－2， 所以函数的定义域为{x |x ＞－2}．[学生用书P112(单独成册)])[A 基础达标]1．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝( ) A ．－1 B ．5 C ．－1或5D ．1解析：选B.由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.2．已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选B.a ＝log 0.60.5＞log 0.60.6＝1，b ＝ln 0.5＜0，0＜c ＝0.60.5＜0.60＝1，故a ＞c ＞b .3．函数y ＝lg(x －1)＋lg(x －2)的定义域为M ，函数y ＝lg(x 2－3x ＋2)的定义域为N ，则( ) A ．MN B ．N MC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选A.y ＝lg(x 2－3x ＋2) ＝lg[(x －1)(x －2)]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x －2<0，即x >2或x <1.所以N ＝{x |x >2或x <1}． 又M ＝{x |x >2}． 所以MN .4．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图象过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m ＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是{x |x >3}，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A.函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .6．下列四个数：0.2－0.1，log 1.20.3，log 0.20.3，log 0.20.5，由小到大的顺序为________．解析：因为0.2－0.1>1，log 1.20.3<0，0<log 0.20.5<log 0.20.3<log 0.20.2＝1， 所以log 1.20.3<log 0.20.5<log 0.20.3<0.2－0.1. 答案：log 1.20.3<log 0.20.5<log 0.20.3<0.2－0.17．已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b的图象上，则b ＝________．解析：当x ＋3＝1，即x ＝－2时， 对任意的a >0，且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上， 则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1.答案：－18．已知log a 3>log b 3>0，则a ，b 的大小关系是________． 解析：因为log a 3>log b 3>0，所以a >1，b >1. 由换底公式有1log 3a >1log 3b >0，所以log 3b >log 3a >0. 所以b >a . 答案：b >a9．求下列函数的定义域：①y ＝log 3(3x )；②y ＝log 34x －5； ③y ＝1log 12x ；④y ＝ log 2（2x ＋6）.解：①由3x >0，得x >0，所以函数y ＝log 3(3x )的定义域为(0，＋∞)． ②由4x －5>0，得x >54，所以函数y ＝log 34x －5的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞. ③由x >0及log 12x ≠0得x >0且x ≠1，所以函数y ＝1log 12x的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．④log 2(2x ＋6)≥0，得2x ＋6≥1，即x ≥－52，所以函数y ＝log 2（2x ＋6）的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞.10．解不等式：log a (2x －5)>log a (x －1)． 解：当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.所以原不等式的解集为{x |x >4}． 当0<a <1时，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52<x <4.[B 能力提升]1.已知函数f (x )＝lg|x |，设a ＝f (－3)，b ＝f (2)，则a 与b 的大小关系是________． 解析：f (x )＝lg|x |定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上为增函数．a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f (2)，因为f (3)>f (2)，所以a >b .答案：a >b2.已知f (x )＝|lg x |，若1c>a >b >1，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是________．解析：先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|lg x |的图象，如图．由图可知，f (x )＝|lg x |在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c＞f (a )＞f (b )，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )．所以f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：f (c )＞f (a )＞f (b )3.已知函数f (x )＝log (2a －1)(2x ＋1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上满足f (x )>0，试求实数a 的取值范围． 解：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，2x ＋1>4>1.因为log(2a －1)(2x ＋1)>0＝log (2a －1)1，所以2a －1>1，即2a >2，解得a >1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．4.(选做题)已知函数f (x )＝log 21＋x 1－x. (1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值． 解：(1)证明：左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2 ＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2. 右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2. 所以左边＝右边．(2)因为f (－b )＝log 21－b 1＋b ＝－log 21＋b 1－b ＝12， 所以f (b )＝log 21＋b 1－b ＝－12， 利用(1)可知：f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ， 所以f (a )－12＝1， 解得f (a )＝32.。
原创1：3.2.2 对数函数（导学式）
(3) loga5.1与loga5.9 ( a＞0,且a≠1 )
(3)当a>1时，∵对数函数y=logax在(0,+∞)上是增函数, ∴loga5.1<loga5.9.
当0<a<1时，∵对数函数y=logax在(0,+∞)上是减函数, ∴loga5.1＞loga5.9.
变式拓展：题型二：对数值大小比较
↘
(0,+∞)
R
(0,1)
↘
y= log x
–2
定义域
y=log2x
2
O
底数
y= log x
y= log x
0< <1
探究点2
对数函数的图象和性质
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质
a>1
y
x=1
0<a<1
y
y=logax(a>1)
x=1
(1,0)
图 象
O
定义域
得ቐ
2
x> ，
3x－2>0，
3
2
2
∴x > 且x ≠ 1，∴函数定义域为{x|x > 且x ≠ 1}.
3
3
课堂练习
2．求下列函数的定义域.
(1)y=
；
log3(3x－2)
(2)y=log(2x－1)(－4x+8)
x<2，
－4x+8 > 0，
Hale Waihona Puke (2)由ቊ得ቐ1x > ，且x ≠ ，
2x－1>0，且2x－1 ≠ ，
苏教版高中数学必修一课件3.2.2对数函数(3)(新版)
数学应用：
例3．已知loga0.75＞1，试求实数a取值范围．
数学应用：
例4．已知函数y＝loga(1－ax)(a＞0，a≠1)． (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的单调区间．
数学应用：
(1)下列函数(1)y＝x－1；(2)y＝log2(x－1)；(3)y＝；(4x)y＝1 lnx，其中值
域为R的有(请写出所有正确结论的序号)．
(2)函数y＝lg(－12)的图象关于对称． 1 x
(3)已知函数(fa(＞x)0，lao≠g1a)1的x图m1象x 关于原点对称，那么实数m＝．
数学应用：
(4)求函数，y 其l中ogx32x[7， l9o]g的3(值3x域) ．
1 27
小结：
(2)函数，y xlo(g0，1 x8]的值域是．
2
(3)函数的y 值l域og．1 (
x2
6x
17)
(4)函数的y 值l域og是12(_2___x_2_) _________．
2
数学应用：
例2．判断下列函数的奇偶性：
(1) y lg 1 x 1 x
(2) y ln( 1 x2 x)
高中数学课件
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高中数学必修１
情境问题：
对数函数的定义： 函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数． 对数函数的定义域为(0，＋)，值域为R． 对数函数的图象和性质： 对数函数的图象恒过点(1，0)， 当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋)上递减； 当a＞1时，对数函数在(0，＋)上递增．
借助于对数函数的性质研究对数型函数的定义域与值域； 换元法在求值域中的运用： 数形结合．
作业：
课本P87－10，12，13．
高中数学对数运算和对数函数3.2对数函数y=log2x的图象和性质课件
上的最值.
解:作函数y=log2x的图象如图:
(1)由图象知 y=log2x 在定义域(0,+∞)上是增函数.
- > ,
由 f(x-1)>f(1),得
- > ,
解得 x>2,∴x 的取值范围是(2,+∞).
(2)∵≤x≤,∴≤2x-1≤4,
∴log2≤log2(2x-1)≤log24,
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错
误的画“×”.
(1)函数y=2log2x是对数函数.( × )
(2)函数 y=2x 的反函数是 y=
.(
× )
(3)对数函数y=log2x在区间(1,+∞)上单调递增.( √ )
(4)若x>1,则y=log2x的函数值都大于零.( √ )
所以2≤x≤4,所以f(x)的定义域为[2,4].
答案:[2,4]
5.已知函数f(x)=log2(x+3)-1.
(1)求函数的定义域;
(2)若f(a)>f(1),求a的取值范围.
解:(1)由题意知x+3>0,即x>-3,
∴函数的定义域为(-3,+∞).
(2)f(a)=log2(a+3)-1,f(1)=log2(1+3)-1=1.
3.2
对数函数y=log2x的图象和性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 1.会画函数y=log2x的图象.
2.能应用函数y=log2x的图象和性质解决问题.
3.感悟数学抽象的过程,体会数学直观在解决数
高中数学 3.2.2对数函数(二)配套课件 苏教版必修1
第九页，共23页。
研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高效
3.2.2（二）
探究点二 函数图象的变换
例 2 分别将下列函数与 y＝log3x 的图象在同一坐标系中画出， 并说明二者之间的关系．
(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝log3(x＋2)； (3)y＝log3x－2；(4)y＝log3x＋2. 解 (1)在同一直角坐标系中画出 y＝log3x 与 y＝log3(x－2)的图 象，经观察可得：
个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，①中
单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数 g(x)
＝
21－x＝2×
1 2
x
，其图象经过(0,2)点，且为单调
减函数，②中单调
递减的函数与 y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；④中两个函数都
是单调递增的，故也不满足，所以答案为③.
∴log323<log565.
②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2，
∴0>log0.71.1>log0.71.2. ∴log01.71.1<log01.71.2， 由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7.
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研一研•问题探究(tànjiū)、课堂更高效
3.2.2（二）
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研一研•问题探究(tànjiū)、课堂更高效
3.2.2（二）
例 1 (1)比较下列各组数的大小：
①log323与 log565；②log1.10.7 与 log1.20.7.
(2)已知log1 b<log1 a<log1 c，比较 2b,2a,2c 的大小关系．
苏教版高中数学必修1课件 3.2.2对数函数(2)课件2
4．作出函数 y＝|log2(x＋1)|＋2 的图象，并写出单调区间． 【解】 先作 y＝log2x 的图象―向―1个左―单―平位―移→y＝log2(x＋ 1) ―当―对－―称―1，<―x当<―0x时―>0―，时―图，―象图―关象―于不―x变―轴→ y ＝ |log2(x ＋ 1)|―向―上―平―移―2―个―单―位→y＝|log2(x＋1)|＋2.
第 2 课时 对数函数的图象与性质的应用
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握对数函数的单调性． (2)会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较． (3)能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图 象，并研究它们的有关性质．
2．过程与方法 (1)通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方 法． (2)培养学生的数学应用的意识． (2)渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想． 3．情感、态度与价值观 (1)用联系的观点分析、解决问题． (2)认识事物之间的相互转化． (3)加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生 对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力．
【自主解答】
(1) 法 一
log0.14
＝
1 log40.1
，
log0.54
＝
1 log40.5.
∵y＝log4x 是增函数，∴log40.1<log40.5<0.
∴log140.1>log140.5，即 log0.14>4.1，log0.54＝lglg04.5.
忽略对数函数定义域致误
间．
试求函数 f(x)＝log4(7＋6x－x2)的单调递增区
高中数学第四章对数运算与对数函数3对数函数 对数函数y=log2x的图象和性质课件北师大版必修第一册
(2)因为函数 y＝log2x 在定义域(0，＋∞)上是增函数，且 0.5＜0.8，
所以 log20.5＜log20.8＜0，所以log120.8＜log120.5．
(3)因为函数 y＝log1x 在定义域(0，＋∞)上是减函数，且 3.2＜3.6，
4
所以 log13.2＞log13.6．
4
4
[归纳提升] 关于对数大小的比较 (1)对于底数相同的数,首先考查所涉及的函数的单调性,再比较真数 的大小,最后利用单调性比较两个数的大小． (2)对于底数不同的数,可以借助换底公式化同底,再比较大小．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数 y＝log2x 的图象都在 y 轴的左侧．
(2)函数 y＝log1x 在定义域(0，＋∞)上是增函数．
2
(×) (×)
(3)函数 y＝log2x 的图象在直线 x＝1 右侧，图象位于 x 轴上方；在直
线 x＝1 左侧，图象位于 x 轴下方．
题型三
函数y＝log2x的性质的应用
例 3 使不等式log2(2x)＞log2(5x－3)成立的实数x的集合为 ___x_35_＜__x_＜__1__．
[解析] 因为函数 y＝log2x 是(0，＋∞)上的增函数， 2x＞0，
所以52xx－＞35＞x－03，，解得35＜x＜1． 所 以 使 不 等 式 log2(2x) ＞ log2(5x － 3) 成 立 的 实 数 x 的 集 合 为 x35＜x＜1．
【对点练习】❷ 已知 a＝log20.2，b＝log10.2，c＝log42，则 a，b，
2
c 由小到大的顺序为___a_＜__c_＜__b___．
[解析] 因为 a＝log20.2＜0，b＝log120.2＝log1251＝log25，c＝log42＝
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类似地，前面提到的放射性物质，经过的时间x(年)与物质的剩 余量y的关系为y＝0.84 x.反之，写成对数式为x＝log0.84 y.
数学建构：
对数函数的定义： 一般地，函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数． 思考问题：
1．在对数函数的解析式y＝logax中，为什么要规定a＞0且a≠1？
2．对数函数的定义域是什么？ 3．对数函数的值域是什么？
数学应用：
例1．在同一个直角坐标系中分别画出下列函数的图象． x 1 (2) y log 1 x与y (1) y＝log2x与y＝2x； 2 2 x 1 y 2 x y ＝ 2 y y
y＝log2x
性质
数学建构：
函数y＝ax与y＝logax (a＞0且a≠1)是互为反函数： x 1 x y y＝2 y 2 y y＝log2x
x
O y＝ x 一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数， y＝x － 1 那么它的反函数记为y＝f (x)，且函数 y＝f －1(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．
数学应用：
求函数y＝log0．5(1－x)＋log0．5 (x＋3)的最小值． 解下列方程： (1)log2(3x)=log2(2x＋1) (2)log5(2x＋1)=log5(x2－2) (3)
lg x－1 =lg (x－1)
小结：
对数函数的定义： 函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数． 对数函数的定义域为(0，＋)，值域为R ．
(3) log75，log67 ；
(4)log3 ，log0.31.5 ； (5) log25，log748 ； (6)log3.42；log1.12．
利用中间量“1”
利用中间量“0” 利用中间量“2” 利用图象性质
小结： 在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作一个函数 的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如(1)、(2)．当 两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大 小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实 际问题也可能是其它数值，此外还要心中有函数的图象．
高中数学 必修１
情境问题：
在细胞分裂问题中，细胞个数y是分裂次数 x的指数函数y＝2x.因此， 知道x的值(输入值是分裂的次数)，就能求出y的值(输出值是细胞个数). (1)用含有 y的代数式表示 x，如何表达？
x ＝log2y． (2)上述关系式中， x是y的函数吗？ y＝2x y x x x＝log2y y
对数函数的图象和性质： 对数函数的图象恒过点(1，0)， 当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋)上递减； 当a＞1时，对数函数在(0，＋)上递增．
作业：
课本 P87习题2，3，4.
x
O
y log 1 x
2
数学应用：
例2．求下列函数定义域： (1) y＝log0.2(4－x) (2) y＝loga 变式： y＝log (5－x) (2x－3)
x 1 (a＞0且a≠1)
பைடு நூலகம்
y＝log0.5x2
数学应用：
例3．比较大小： (1) log23.4，log23.8； (2)log0.51.8，log0.52.1； 利用单调性
x O O
x
y log 1 x
2
数学建构：
对数函数的图象与性质： 一般地，对数函数y＝logax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图 象和性质如下表所示： a＞ 1
y
0＜ a＜ 1
y
图象
O 定义域 值域
1 1
x O x
(0，＋)
R
图象恒过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 R上的增函数 R上的减函数