初中数学冀教版九年级下册第三十章 二次函数30.2 二次函数的图象和性质-章节测试习题(5)
【冀教数学学九年级(河北)302 二次函数的图像和性质 第2课时
y=2x2+1
8
6
y=2x2
4
y=2x2-1
2
－4 －2
24
二次函数的图像
根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 抛物线 . (2)三条抛物线的开口方向__向__上___; (3)对称轴都是___y_轴______
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _(_0_，__1_)__( _0_,0_)__(_0_,-_1_)____
第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质
第二课时
1.会画二次函数y=ax2+k的图象. 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用. 3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.
二次函数的图像
探究：画出二次函数 y=2x², y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开 口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k__=_2_；若顶点位于x 轴上方，则k__>_2_；若顶点位于x轴下方，则k <2 .
6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. 向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；当x_=_0__时，
例1. 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相
等，则当x＝x1+x2时，其函数值为____c____.
8 6 4 2
－4 －2
24
【分析】由二次函数y＝ax2+c图象 的性质可知，x1，x2关于y轴对称， 即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数 表达式求出纵坐标为c.
冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》教学设计
冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》这一节主要让学生了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴等。
通过学习，学生能运用二次函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的概念、一次函数和二次函数的解析式，对函数有一定的认识。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还比较陌生，需要通过具体的实例和活动，让学生深化对二次函数图象和性质的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质，能运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象特征，二次函数的性质。
2.难点：二次函数性质的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，让学生在实践中学习，提高学生的动手能力和思维能力。
六. 教学准备1.教师准备：二次函数图象和性质的相关教学材料，如PPT、案例、习题等。
2.学生准备：九年级下册数学课本，一次和二次函数的相关知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
例如：一个抛物线形的水池，已知水池的深度和底面半径，如何求出水池的体积？2.呈现（10分钟）用PPT展示二次函数的图象，引导学生观察图象，发现二次函数的性质。
如：顶点坐标、开口方向、对称轴等。
3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，绘制二次函数的图象，并标注出其性质。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次函数的性质解决实际问题。
如：已知一个二次函数的顶点坐标和对称轴，求该二次函数的解析式。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：二次函数的性质在实际生活中有哪些应用？教师举例说明，并与学生互动交流。
冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》教学设计
冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》这一节主要让学生了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质。
教材通过具体的例子引导学生观察、分析、总结二次函数的图象和性质，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了函数、一次函数和二次函数的概念，对函数有一定的认识。
但二次函数的图象和性质较为抽象，需要通过具体的例子和实践活动来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的性质，能运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、实践，培养学生的动手操作能力和归纳总结能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象特征，二次函数的性质。
2.难点：二次函数性质的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.启发式教学法：引导学生观察、分析、总结二次函数的图象和性质。
3.合作学习法：分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作意识。
4.实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图象，加深对二次函数性质的理解。
六. 教学准备1.准备一些关于二次函数的图片和实例，用于导入和新课讲解。
2.准备课件，展示二次函数的图象和性质。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二次函数，如抛物线运动、抛物线形状的物体等，让学生感受二次函数的实际应用。
同时，引导学生回顾一次函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用课件展示二次函数的图象，引导学生观察二次函数的顶点、开口方向、对称轴等特点。
同时，让学生绘制一些二次函数的图象，加深对二次函数图象特征的理解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，共同探究二次函数的性质，如顶点坐标、开口大小、对称轴等。
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
【点拨】y＝(x－1)2＋2的图像开口向上，对称轴是直 线x＝1，顶点坐标是(1，2)，与x轴没有交点，故选C.
【答案】C
5．【中考·益阳】若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在 第一象限，则m的取值范围为( ) B
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
6．下列二次函数中，图像以直线x＝2为对称轴，且经过 点(0，1)的是( ) C
(2)求tan∠ABC.
解：令 x＝0，则 y＝13(0－4)2－3＝73，则 OC＝73. ∵二次函数图像的顶点坐标为(4，－3)， ∴点 B 与点 A 关于直线 x＝4 对称． ∴B 点坐标为(7，0)．∴OB＝7.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图像先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图像．
11．【中考·泰州】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次 函数图像的顶点坐标为(4，－3)，该图像与x轴相交于 点A、B，与y轴相交于点C， 其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式；
解：由题意可设二次函数的表达式为 y＝a(x－4)2－ 3(a≠0)． 把 A(1，0)的坐标代入，得 0＝a(1－4)2－3，解得 a＝13. ∴该二次函数的表达式为 y＝13(x－4)2－3.
JJ版九年级下
第三十章二次函数
30．2 二次函数的图像和性质
第4课时 二次函数y＝ a(x－h)2＋k的图像和性质
提示：点击 进入习题
1D
2C
3A
4C
5B
答案显示
6C
7C
8D
提示：点击 进入习题
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图像
和性质
1D 2A 3B 4C 5C
提示：点击 进入习题
6D 7 见习题 8C 9B 10 D
答案显示
11 D 12 B 13 B 14 h≥1 15 见习题
提示：点击 进入习题
16 见习题
解：当x＜－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有 最大值．
8．【易错：混淆左右平移后表达式的特点而致错】将函数y＝x2 的图像向
左平移2个单位长度后，得到的新图像的表达式是( )
A．y＝x2＋2
B．y＝x2－2
C．y＝(x＋2)2
C
D．y＝(x－2)2
9．【2020·浙江衢州改编】二次函数y＝x2的图像平移后经过点(2，0)，则下
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC .
解：过点C作CD⊥x轴于D. 将C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2中，得b＝－4，即点C的坐标为(－ 3，－4)，∴S△ABC＝S梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝ ×3×(1＋4)－ ×4×(3－1)－
×1×1＝3.
1
1
1
2
2
2
17．已知抛物线y＝x2如图所示． (1)将抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度后，经过点A(0，3)，试求m的值；
解：由题意得，平移后得到的抛物线表 达式为y＝ (x－m)2. 把点A(0，3)的坐标
1 代入上式，得3＝ (0－m)2，解得m1＝3，m2＝－3. 3 ∵m>0，∴m＝3.
1 3
(2)画出(1)中平移后的图像； 解：如图所示．
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在 新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐 标．
九年级数学下册第三十章二次函数30.2二次函数的图像和性质教学课件新版冀教版
画法
描点法
以对称轴为中 心对称取点
二次函数y=ax2
的图像及性质
图像 性质
抛物线 轴 对 称 图 形
开口方向及大小
重点关注 4个方面
对称轴 顶点坐标
增减性
第2课时 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质
学习目标
1.会用描点法画出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图像. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图像的
它们的对称轴，
∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于 右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8
＝16.
方法总结
二次函数y＝ax2的图像关于y轴对称，因此左右
两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们 根据图像中点具有的对称性转变到同一变化区域中 (全部为升或全部为降)，根据图像中函数值高低去比 较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法， 将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到
y = x2 的图像．
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
这条抛物线关于y轴对称,
3
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图像形如物体抛射时所经过的路线,
y轴（直线x=0） （0,c）
函数的增减性 最值
当x<0时，y随x增大 而减小；当x>0时，y 随x增大而增大.
冀教版九年级下册数学：第三十章 二次函数 302 二次函数的图像和性质 二次函数y=a(
目标回馈
1、通过几个形如 y a(x h)2 k 形式的二
次函数图像的对比分析，总结出 h 和 k 对于 图像的影响；
课本P34 表格
2、通过简单练习的实践过程，体会 h 和 k 的 作用.
★直接确定顶点坐标、对称轴、增减性、最值
★描绘抛物线草图（坐标系中大致位置）
——便于今后解决问题
独立思考，点号抢答，+1
a决定：抛物线开口方向和大小
任务一
y x2 y (x 3)2 y (x 2)2
1、三个函数图像形状是否相同？为什么？
2、三个图像有什么不同？这些不同点和表达 式有什么关系？其中的道理是什么？
研究方法建议：
◆先选择好自己的研究 方式，独立完成5分钟；
1、可以画出图像，观察发现； ◆再小组汇总3分钟；
任务二
◆任务：独立完成学案上4个问题， 每组4号上黑板（不用抄题，只
写空内答案） ◆时间： 5分钟 ◆评价：对组交换，1、2题每空1分，
小组平均分即为所加分数
独立思考，点号抢答，+1
由抛物线 y 2(x 4)2 6 ， 可以看作是由抛物线 y 2x2 经 过_向_右_平_移_4个_单_位_，_向_上_平_移_6_个_单_位_得到的. 它的开口___向_下___，顶点坐标是 _（_4_,6_）__,对称轴是__直__线_x_=4__，当 x=__4__时，函数y有最_大___值， 是___6___.当x增大时，y的变化 情况是__当__x<_4_时_，_y_随_x的__增_大_而_增_大__；__ ——当—x>—4时—，y—随x—的增—大—而减—小——.
由抛物线 y 5(x 1)2 4 ， 可以看作是由抛物线 y 5x2 经 过_向_左_平_移_1个_单_位_，_向_下_平_移_4_个_单_位_得到的. 它的开口___向_上___，顶点坐标是 （__-1_,-_4_）_,对称轴是__直_线__x=_-_1_，当 x=__-1__时，函数y有最_小___值， 是___-4___.当x增大时，y的变化 情况是__当_x_<_-1_时_，_y_随_x_的_增_大_而_减__小_；__
九年级数学下第30章二次函数30.2二次函数的图像与性质第1课时二次函数y=ax2的图像和性质
知识点 1 二次函数y=ax2的图像
知1－导
在同一直角坐标系中，画出函数y = x2 和 y =－x2 的图象，这两个函数的图象相比， 有 什么共同点？有什么不同点？
函数图象画法 列表
x y=x2 y=－x2
－2 4 －4 －1.5 2.25 －2.25
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
诊断：－1≤x≤4时，既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这 个范围内对应的函数值y随x的变化情况要分段研究．实际上， 当x＝0时，函数取得最小值0.而x＝－1时，y＝1；x＝4时， y＝16，所以最大值为16.
正解：∵－1≤x≤4包含了x＝0，∴函数y＝x2的最小值为0.当x＝－1 时，y＝1；当x＝4时，y＝16. ∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16.
(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( C )
知1－练
6 【中考·南宁】如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛 物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：yx4 ＝2 (x≥0)交 于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛
物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y
轴和抛物线CSS1交OE AF 于DB 点E，F，D则
导引：根据二次函数y＝ax2(a≠0)的性质直接作答．
知2－讲
例3 已知抛物线y＝4x2过点(x1，y1)和点(x2，y2)，当x1＜x2＜0 时，y1 __＞______ y2.
导引：方法一：不妨设x1＝－2，x2＝－1， 将它们分别代入y＝4x2中，得y1＝16， y2＝4，所以y1＞y2. 方法二：在平面直角坐标系中画出抛 物线y＝4x2，如图，显然y1＞y2. 方法三：因为a＝4＞0，x1＜x2＜0，在对称轴的左侧， y随x的增大而减小，所以y1＞y2.
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数课后作 二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
y＝x2－2ax＋a2.
又OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，
a2)，∴a2＝a.∵a≠0，∴a＝1.
(2)存在．由(1)可得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为
(0，1)，由抛物线的对称性可知，C点的坐标为(2，
1)，此时可求AB＝AC，∠BAC＝90°.
又易知AB＝AC＝ 2，
解：(1)在y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y ＝4.∴点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)∵点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4.
∴S△AOB＝
1 2
OA·OB＝
1 2
×2×4＝4.
(3)抛物线的对称轴为x＝－2.
(4)存在．①以OA和OB为邻边可作平行四边形P1AOB， 易求得P1(－2，4)；②以AB和OB为邻边可作平行 四边形P2ABO，易求得P2(－2，－4)．
15．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点 为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． (1)求a的值． (2)在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰 直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求 S△ABC；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意将抛物线y＝x2平移后为抛物线y＝(x－a)2，即
－2时，函数有最大值．
14．已知抛物线y＝a(x－h)2向右平移3个单位长度后得 1
到抛物线y＝ 4 x2. (1)求a，h的值；
(2)写出抛物线y＝a(x－h)2的对称轴及顶点坐标． 解：(1)a＝ 1 ，h＝－3.
4 (2)抛物线y＝ 1 (x＋3)2的对称轴为x＝－3，顶点坐
4
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=ax2的图像和性质
(0，0)
0
大
0
6．在同一平面直角坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2，y3＝x2的图像，正确 的是( )
1 【点拨】当x＝1时，y1＝2x2，y2＝－2x2，y3＝ x2图像上的对应点分别是(1，
2 2)，(1，－2)， ，可知其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除
1，1 B，C；在第一象限内，y1的对应点(1，2)在上， y3的对应点
()
A．第一、二象限
B．第三、四象限 C．第一、三象限
1 x2
A
D．第二、四象限
12．【2020·四川南充】如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)， (3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2的图像与正方形有公共点，则实数a 的取值范围是( )
A
A.19≤a≤3 C.13≤a≤3
B.19≤a≤1 D.13≤a≤1
∴yB＝D＝－6 2m14，×122＝－6，
即桥拱顶部O离水面的距离为6 m.
16．如图①，这是某段河床横断面的示意图．
查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
x/
2
5 10 30 40 50
m
0
(1)请你以表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在如图②所示的坐标系中
画出y关y于/x的函0数.1图2像．0.
(3)判断点B(3，2)是否在该抛物线上；
解：将x＝3代入二次函数表达式，得 y＝ ×32＝3≠2，所以点B(3，2)不在该抛物线上．
1 3
(4)观察所画函数的图像，当－1＜x＜3时，y的取值范围是________． 0≤y＜3
10．【2019·河北唐山路南区模拟】若点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m＋1)在 同一个函数图像上，则这个函数图像可能是( )
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
1
x
2
向左平移1
个单位 y
1
(x
1)2
2
2
向下平移1 个单位
y 1 (x 1)2 1 2
感悟新知
例 3 设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线 y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小
知3－练
关系为( ) A．y1 ＞Ay2 ＞y3
a(地平线) B．y1 ＞y3 ＞y2
感悟新知
知3－练
1 对于抛物线y＝－ 1 (x＋1)2＋3，下列结 论：①抛物线的开2口向下；②对称轴为直线x＝1；
③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而减
小，其中正确结论的个数为( )
A．1
B．2
C．C3
D．4
课堂小结
二次函数
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点： (1)当a>0时， 开口向上；
感悟新知
特别解读
知1－讲
1. 从y=a（x-h）2+k（a ≠ 0）中可以直接看出抛物线的顶
点坐标，所以通常把它称为二次函数的顶点式，顶点坐
标是（h，k）.
2. 对二次项系数相同的二次函数，可以根据两抛物线的
顶点位置来判断平移的方式. 例如：抛物线y=（x+3）2+2
的顶点是（-3，2），可以看成是把y=x2 的图像先向左平
课时导入
回顾旧知
y＝ax2
k＞0 上移 k＜0 下移
y＝ax2＋k 顶点在y轴上
y＝ax2
左加 右减
y＝a(x－h)2 顶点在x轴上
问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
感悟新知
知1－讲
30.2二次函数的图像与性质第2课时 课件冀教版数学九年级下册
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
探究二：二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系
问题：怎样移动抛物线
y 1 x2 就可以得到抛物线
2
平移方法1
y
1 2
(x
1) 2
1
？
y
1
向左平移
y 1 (x 1)2 2
1
1个单位
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 x2 1 2
解析：抛物线y＝-2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝-2(x＋1)2的顶 点坐标是(-1，0)．则由二次函数y＝-2x2的图像向左平移1个单位即可 得到二次函数y＝-2(x＋1)2的图像．故选C.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
知识点二：二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质
画一画:画出函数 y 1 (x 1)2 1 和y=2（x+1）2-2的图像.指出它的
合作探究
当堂检测
课堂总结
知识点一：二次函数y=a（x-h）2的图像和性质
画一画：画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12
2
2
虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
的图像，并考
步骤1：列表
x
··· -3
y 1 x 12 ··· -2
y 21 x 12
2
···
-8
-2 -1
1 0
可以看作互相平移得到的.
y = a(x-h)2 +k 左 右 平 移 y = ax2 + k
上 下 平 移 y = a(x - h )2
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=ax2的图像和性质
14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝kx在第一象限内交于点 A(2，4)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：将A(2，4)的坐标代入y＝ax2得4＝4a，∴a＝1. ∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2.
【点拨】本题利用了分类讨论思想．由于△AOP的 腰不确定，所以在求点P的坐标的时候，需要分OA ＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论．
解：由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1. 又由题意知a＞0，∴a＝1.
13 ． 已 知 函 数 y ＝ ax2(a≠0) 的 图 像 与 直 线 y ＝ 2x － 3 交 于 点 A(1，b)．
(1)求a和b的值；
解：把点A(1，b)的坐标代入y＝2x－3 得b＝2×1－3＝－1， 把点A(1，－1)的坐标代入y＝ax2得a＝－1.
正解：∵－1≤x≤4包含了x＝0，∴函数y＝x2的最小值 为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16. ∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16，最小值为0.
11．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数． (1)求m的值；
解：根据题意，得mm2＋＋33≠m0，－2＝2， 解得mm≠＝－－34. 或1，∴m＝－4 或 m＝1.
(2)当x取何值时，二次函数y＝ax2(a≠0)中的y随x的增大而 增大？
解：∵a＝－1， ∴二次函数为y＝－x2，它的图像开口向下， 对称轴为y轴， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
(3)求二次函数y＝ax2(a≠0)的图像与直线y＝2x－3的另一 个交点B的坐标．
解方程组yy＝＝2－x－x2，3，得xy11＝＝－1，1，xy22＝＝－－93.， ∴二次函数 y＝ax2(a≠0)的图像与直线 y＝2x－3 的另一 个交点 B 的坐标是(－3，－9)．
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
易求得直线 y＝－2x＋1 与 x 轴的交点 C 的坐标为12，0，∴OC＝12， ∴S△ OAB＝S△ AOC＋S△ BOC ＝12OC·AF＋12OC·BE＝12OC·(AF＋BE) ＝12×12×(2 2－1＋1＋2 2)＝ 2.
15．【2020·衡阳】在平面直角坐标系xOy中，关于x的二 次函数y＝x2＋px＋q的图像过点(－1，0)，(2，0)．
【答案】D
8．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图像如图所示，下列说法正确的是( ) B
A．abc＜0，b2－4ac＞0 B．abc＞0，b2－4ac＞0 C．abc＜0，b2－4ac＜0 D．abc＞0，b2－4ac＜0
9.【中考·深圳】已知 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示， 则 y＝ax＋b 和 y＝xc的大致图像为( C )
解：当m＝2时，n＝32＋2＝11.
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图像直接写出n的 取值范围．
解：2≤n＜11.
14．【中考·黄冈】已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－ 4x.
(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
证明：由题意得yy＝＝kxx2－＋41x，， 消去 y，得 x2－(4＋k)x－1＝0， ∴b2－4ac＝(4＋k)2＋4＞0， 故直线 l 与该抛物线总有两个交点．
5．二次函数y＝x2－ax＋b的图像如图所示，对称轴为直线 x＝2，下列结论不正确的是( )
A．a＝4 B．当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8) C．b＞－5 D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【答案】C
6．已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的 取值范围内，下列说法正确的是( ) D A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
10．抛物线的函数表达式为y＝3x2，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向
左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式
为( )
A．y＝3(x＋3)2＋2
B．y＝3(x－3)2＋2
C
C．y＝3(x－3)2－2
D．y＝3(x＋3)2－2
11．把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像先向左平移1个单位长度，再向上平移5个
B
【点拨】本题需要考虑h＜1，1≤h≤3，h>3三种情况．
1 13．【2019·广西玉林】已知抛物线C：y＝ (x－1)2－1，顶点为D(如图)，将C
2 沿水平方向向右(或向左)平移|m|个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，
C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于( )
A
A．±4 3
∵当h＝－2时，线段OA被l分为三部分，∴不合题意，舍去． 把(－4，0)代入y＝－(x－h)2＋1，得0＝－(－4－h)2＋1， 解得h＝－5或h＝－3. ∵当h＝－3时，线段OA被l分成三部分，∴不合题意，舍去． 综上所述，h的值是0或－5.
∵点C在原点下方， ∴OC＝m2－1. ∴m＋1＝m2－1. 解得m1＝2，m2＝－1(舍去)． ∴m＝2.
16．【中考·河北】如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l： y＝－(x－h)2＋1(h为常数)与y轴的交点为C.
(1)若l经过点B，求它的表达式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
解：把(2，1)代入y＝－(x－h)2＋1，得1＝－(2－h)2＋1. 解得h＝2. ∴抛物线l的表达式为y＝－(x－2)2＋1， ∴抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)．
(2)设点C的纵坐标为yC，求yC的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中 x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数课后作 二次函数y=ax2+c的图像和性质
第三十章 二次函数
第2课时 二次函数y=ax2+c的 图像和性质
1 利用二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c的关系求函数表达式 2 利用二次函数图像上点的坐标求函数表达式 3 利用抛物线的特征探究存在性问题 4 利用二次函数的图像和性质解实际问题
14．抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是(0，2)，且形状及开
解：由题意得点E，F的纵坐标为8，把y＝8代入y＝－
1 40
x2
＋10，解得x＝4 5或x＝－4 5，
所以EF＝|4 5－(－4 5 )|＝8 5 ≈
18(m)，即这两盏灯的水平距离约
为18 m.
口方向与抛物线y＝－ 1 x2相同． 2
(1)确定a，k的值；
(2)画出抛物线y＝ax2＋k.
解：(1)由题意易知a＝－
1 2
，把点(0，2)的坐标代入y＝
1
－ 2 x2＋k，得k＝2.
(2)略．
15．【中考·衡阳】如图，顶点M在y轴上的抛物线与 直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上， 点B的横坐标为2，连接AM，BM. (1)求抛物线的函数表达式； (2)判断△ABM的形状，并说明理由．
解：(1)∵A点为直线y＝x＋1与x轴的交点，∴A(－1，0)．又B 点的横坐标为2，代入y＝x＋1可求得y＝3，∴B(2，3)．
∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线的表达式为y＝ax2
＋c，把A，B两点坐标代入可得
a c 0, 4a c 3,
解得
a 1, c 1.
OA＝OB＝2，又易知OC＝
2，故△OAC是等腰直角三角形．假设存在一点M，使
△MAC≌△OAC，∵AC为公共边，OA＝OC，∴点M
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章节测试题
1.【答题】二次函数y=4（x﹣3）2+7的图象的顶点坐标是______．【答案】（3，7）
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.【解答】∵y=4（x﹣3）2+7，
∴顶点坐标为（3，7），
故答案为：（3，7）．
2.【答题】抛物线y=5（x﹣4）2+3的顶点坐标是______．
【答案】（4，3）
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.【解答】抛物线y=5（x﹣4）2+3，
∴顶点坐标是（4,3）
3.【答题】抛物线y=2（x﹣1）2+5的顶点坐标是______．
【答案】（1，5）
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】抛物线y=2(x﹣1)2+5的顶点坐标是(1，5)，故答案为(1，5)．
4.【答题】抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是______.
【答案】（﹣1，3）
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】∵在抛物线中，顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为：.
故答案为：.
5.【答题】抛物线的在对称轴的______侧的部分上升．（填“左”或“右”）
【答案】右
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】解：
对称轴的右侧的部分上升.
故答案为：右.
6.【答题】抛物线y=x2+2x+4的顶点坐标是 ______．
【答案】（-1，3）
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.【解答】∵y=x2+2x+4=(x+1)2+3,
∴y=x2+2x+4的顶点坐标是（-1,3）.
7.【答题】抛物线y=（x-2）2+1的顶点坐标是______.
【答案】（2，1）
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.【解答】∵顶点式y=a（x-h）2 +k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y=（x-2）2+1的顶点坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）.
8.【答题】二次函数的最小值是______。
【答案】2
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】解：对于二次函数，它的最值为k，则本题中函数的最小值为2．
9.【答题】抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．
【答案】向上,（2，0）,直线x＝2,≥2,2,小,0,右,2
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】解：抛物线y＝3（x－2）2的开口方向是向上，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x＝ 2．当x≥2时，y随x的增大而增大；当x＝2时，y有最小值是0，它可以由抛物线y＝3x2向右平移2个单位得到．
故答案为：向上；（2，0）；直线x＝ 2；≥2 ；2；小； 0；右；2．
10.【答题】已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1______y2.(填“＜”“＞”或“＝”)
【答案】＞
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】解：根据函数表达式可以判断抛物线对称轴是x=1,开口向下，所以当x>1时，y随x的增大而减小，a>2,所以y1>y2
11.【答题】函数的顶点坐标是______．
【答案】（﹣1，3）
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】根据二次函数的顶点坐标确定方法，直接得出二次函数的顶点坐标是：(−1, 3).
故答案为：(−1, 3).
12.【答题】抛物线y=2 (x- 1)²+5 的顶点坐标是______
【答案】（1，5）
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】∵y=2(x−1) ²+5是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1,5).
13.【答题】二次函数y＝a(x－1)2＋k(a>0)中x，y的两组对应值如下表.
表中m，n的大小关系为______．(用“<”连接)
【答案】n＜m
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为x=1，
∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∵−2<1，
∴m>n，
故答案为：n<m.
14.【答题】已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是______.
【答案】a≤2
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】由二次函数的解析式得到对称轴为x=a，函数图象的开口向上，
∴在对称轴x=a的右边函数值y随着x的增大而增大，
故只要a≤2时，x＞2，y随x的增大而增大，
所以a的取值范围为a≤2.
故答案为：a≤2.
方法总结：本题主要考查二次函数的性质.结合二次函数图象和性质进行分析是解题的关键.
15.【答题】如果二次函数y=a(x+3)2有最大值，那么a______0，当x=______时，函数的最大值是______.
【答案】＜ -3 0
【分析】由二次函数的开口方向和顶点坐标可求得答案．
【解答】解：∵y=a(x+3)2有最大值，
∴抛物线开口向下，
∴a<0，当x=−3时，y=0，
即当x=−3时，函数的最大值是0，
故答案为：<0；−3；0.
16.【答题】若抛物线的顶点在轴上，则的值为______.【答案】±2
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】解：∵抛物线顶点在x轴上，∴，解得：b=±2．故答案为：±2．
17.【答题】抛物线的顶点坐标为P（2，3），且开口向下，若函数值y随自变量的x增大而减小，那么x的取值范围为______．
【答案】x＞2
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】∵抛物线的开口向下，顶点坐标为P（2，3），且函数值y随自变量的x 增大而减小，
∴x的取值范围为：x>2.
18.【答题】抛物线y=4（x+h）2+k的顶点在第三象限，则有h，k满足
h______0，k______0．
【答案】＞＜
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】∵抛物线y=4（x+h）2+k的顶点在第三象限，即点（-h，k）在第三象限，
∴ -h<0，k<0，
∴（1）h>0；（2）k<0.
19.【答题】抛物线经过点（-2，1），则______。
【答案】
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】解：将点(-2,1)代入函数解析式可得：，则a=1．
20.【答题】函数y＝－(x＋1) ²＋5的最大值为______.
【答案】5
【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.
【解答】本题考查二次函数顶点式的最值问题,根据二次函数顶点式
图象性质可知: 函数y＝－(x＋1) ²＋5的最大值为5.。