第二十二章量子力学基础§221德布罗意假设

(a)
(b)
2r n, n 1,2,3
由λ=h/m0v
mvr n h n, n 1,2,3
2
2.物质波的传播速度
note：λ→相速度, νλ=u
p=mv→群速度, uv=c2 德布罗意相速度永远大于光速,群速度永远小于光速
§22-2 电子衍射实验
1927年戴维孙和革末以电子射线代替x射线进 行了晶体的衍射实验。

i
E
t

2 x2


p2 2

(1887~1961)
奥地利物理学家,波动力学创始人, 1933年获诺贝尔物理学奖。
由E

p2 2m

i
t


2 2m
2 x2
这就是自由粒子波函数所遵从的微分方程
若不是自由粒子,则 E p2 U 2m

i
t


2 2m
E3
En

2 2n2
2mL2
E2
E1
o
4
3 2 1
Lx
例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒
子的状态为 f ( x) sin x sin 2x
a
a
多次测量其能量。问
每次可能测到的值和相应概率？
能量的平均值？
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解：已知无限深势阱中粒子的
n(x)
2 sin n x, n 1,2,3,
2.0104 kg m / s
x

6.631034
4 2.0104
3.31030 m
用不确定性关系作数量级估算
例．原子中电子运动不存在“轨道”
设电子的动能 Ek=10 eV，平均速度
v
速度的不确定度
2Ek 106 m / s
m
V

p


1 106 m / s
一维无限深势阱问题
U(x)
设粒子质量为m。
势函数：
0 , 0xL
U (x)
,x0,xL
定态薛定谔方程：
o

2 2m
d 2
dx2
U (x) (x)

E (x)
Lx
(1)在x≤0,x≥L 有限 0
(2)在0＜x＜L
2 d 2 E
2m dx2
令
k2
2 x2
U
若是三维情况
i
t


2 2m
2 ( x2

2 y2

2 z2 )
U
i (r, t) Hˆ (r, t) t
Hˆ

2
2 U(r,t)
哈密顿算符
2m
用哈密顿算符表示薛定谔方程
二.定态 不含时间的薛定谔方程
(r,t) (r) f (t)
me2
En 32 2022n2
n→主量子数:n=1,2,3, …
l→角量子数:l=0,1,2, …(n－1)
ml→磁量子数: ml =0, ±1, ±2, …±l
⒈基态:
n 1, l 0, ml 0. nlml

1
a03/ 2
r
e a0
E1


me4
32 2 022
电子枪
54v

探测器
d
2d sin k
①d=0.091nm(晶面间距),电子对晶面的掠射角
1800 500 650
2
由布拉格方程 2d sin k
对应k=1一级衍射最大:λ=0.165nm ②德布罗意公式:
12.27 A 0.167nm
U
两者结果惊人相似
§22-4 不确定性关系
一.力学量的不确定度 由统计解释: ①许多相同粒子在相同条件下实验,粒子在同一时刻 并不处在同一位置。 ②用单个粒子重复,粒子也不在同一位置出现。
x, y, z位置不确定度 px , py , pz动量不确定度
(1901~1976)
德国物理学家,量子力学矩阵形式的创建人, 1932年获诺贝尔物理学奖。
, a0

0.529 1010 m
⒉能量量子化:能量由n决定,结果与玻尔理论相同, 无人为条件。
第二十二章 量子力学基础
§22-1 德布罗意假设
一、德布罗意物质波假设
B
B
B
(a) ndl 0(b) pdl 2m(E V )dl 0.
A
A
A
⑴一个质量为m的实物粒子具有波动性,其对应的波 称为物质波。
E h
p h k

(1892~) 法国物理学家,1929年获诺贝尔物理学奖。
n2,
n 1,2,3,
• 能量取分立值（能级）能量量子化
• 当 n 时，量子化连续
•
最低能量(零点能)
E1

22
2mL2

0
—
波动性
用不确定关系:△x=L, ∴△p~h/L
E=p2/2m~(△p)2 /2m~h2/2mL
U(x)
n (x)
2 sin n x
LL
E4
概率密度
2.自由粒子平面波波函数
z
经典的平面波为
e i (kr0 t )
波面
由图 利用
ei(,kprkt )
k
r0
p
r
x
y
得
(r , t )

Ae
i
(
p

r
t)
(1882~1970)
德国物理学家,1954年获诺贝尔物理学奖,量子力学奠基人之一。
aa
En

22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
则 ( x) C f ( x)

1 2
2 sinx
aa
2 a
sin
2x
a

1
1
2 1( x) 2 2 ( x)
多次测量能量(可能测到的值)
E1

22
2ma 2
12
,
E2

22
2ma 2
②电子没发现“发胖”,故“小波包”不成立。
二.电子也不是经典的粒子 ①电子双缝衍射中,不管强电子束,还是单个电子,干涉 条纹分布相同。
②也不是与缝缘附近原子的相互作用。
三.波函数和概率波
1.玻恩假定 (r, t ) 概率振幅 (r, t ) 2 * (r, t )(r, t )

2mE 2
得
d 2
dx2
k 2
通解： C sin( kx )
由波函数连续性要求： (0) (L) 0
得 0,kL n,n 1,2,3,
由归一化 : C 2 L
能量本征值 由 k2＝2mEn , k n
2
L
得
En

22
2mL2
⑵一个沿x轴正向运动,能量为E、动量为p的自由粒子 对应沿x轴正向传播的单色平面波。
( x, t )

Aei (t kx )

Aei ( kx t )

i ( pxEt)
Ae
Ψ称为波函数
注：实物粒子的波动既不是机械波也不是电磁波， 它被称为“物质波”或“德布罗意波”。
例：m=1g，v=1cm/s的实物粒子
(r, t ) Aei ( pr t ) ， (r, t ) 2 常数
在空间各点发现自由粒子的概率相同
3. 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流 (2)入射弱电子流
• 概率波的干涉结果 4. 波函数满足的条件
• 标准条件：单值、有限和连续
• 归一化条件 r,t 2 dV 1 ( 全空间)
m 2m x
V~V 轨道概念不适用!
例．威尔逊云室(可看到一条白亮的带状的痕 迹—粒子的径迹)
p ~ 1028 kg m/s
p ~ 1023 kg m/s
p＞＞p
例：关于原子核的组成(核半径＜10-12cm) 解:如电子处在核中，则△x＜10-12 ,按不确定关系:
px

h x
22
1 mv2
2
p mv 2m
21.671027 6.171021 4.551024 m kg s1
h 1.461010 m 1.46 A
p
§22-3 波函数的几率解释
一.电子不是经典的波
①发现电子在反射、折射时,要么整个返回,要么整个 透入,没有发现分成折射和反射。
~ 1015
g
cm /
s
∴它的动能
Ek

px2 2m
~
(px )2 2m
~ 103 mev
这样电子无法束缚在原子核中
一般L(粒子运动范围) ＞＞λ是判断微观粒子是否 可作为经典粒子处理的条件。
§22-5 薛定谔方程
一.薛定谔方程


Ae i
(
pxE
t
)


i
i ( pxEt)
EAe

例题:将波函数 归一化
f x exp 2 x2 2
设归一化因子为C，则归一化的波函数为
(x)= C exp(-2x2/2)


( x)
2
dx

1

计算积分得 Ｃ２＝／１／２
Ｃ＝（／１／２）１／２ｅｉ
取 ＝0，则归一化的波函数为
(x)=（／１／２）１／２ exp(-2x2/2)
则:
i f (t) t
f (t)

Hˆ(r(r) )

E
i f (t)

Ef (t)
f (t)
i E t
e
t
Hˆ
(r )

E
(r )
定态薛定谔方程
解称为能量本征函数,E称为能量本征值
(r,
t
)


(r)e
iE
t
一维定态:

2 2m
d 2
dx2
海森伯不确定关系：


x px 2 y py 2

E t
2
z pz 2
例题：试比较电子和质量为10g的子弹位置的不确定量， 假设它们在x方向都以速度200m/s运动，速度的不确定 度在0.01%内。
解：
x px 2


x

2px 4px
二.不确定关系
电子的单缝衍射
y d
sin
1


d
，一级衍射极小
y p 1 py p
d
1
0 py p sin 1
∴在同一oy轴线上，py

p

d
D
由p=h/λ,则
p y

h d

ypy

h
如把次极大也计算在内,则ypy h
结论：对于微观粒子，不能同时用确定的位置 和动量来描述。
22
概率各1/2
能量的平均值
11
5 2 2
E 2 E1 2 E2
2
2ma 2
§22-7 隧道效应
1．梯形势
0, x0 U( x) U0, x0
薛定谔方程：
x 0: x 0:
1( x) k121( x) 0
k12

2mE 2
2( x) k222 ( x) 0
电子: px 0.01%mvx 104 9.11031 200
1.81032 kg m / s
x

6.631034
4 1.81032

2.93103 m
～
h
x

2px 4px
子弹: px 0.01%mvx 104 10103 200
k22

2m(U 0 2

E)
通解： ( x) Aeik1 x Beik1 x 1 2 ( x)Cek2 x Dek2 x
特解：
(x ) 0 D 0 2
( x) Aeik1x
1

(x)

Cek2 x
2

Beik1x (EU＝0,振动解） （EU＝U0,衰减解）
戴维孙和革末实验证实了德布罗意波
• 电子通过金多晶薄膜的衍射实验 （汤姆逊1927）
• 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验 （约恩逊1961)
应用:电子显微镜,慢中子衍射技术,可用来研究晶体结构
例题：计算25℃时，慢中子的德布罗意波长。
解：


3 kT

3 1.381023 298 6.17 1021 J


h mv

6.631034 103 102

6.631029 m
电子质量 m= 9.1110-31kg，加速电压为U
1 mv2 eU 2
v 2eU m
h h 12.27 A
mv 2emU U
U 150V 1A
有关物质波的两个问题： 1.原子中电子的环行驻波
U

E
定态：能量不随时间变化的状态。
定态波函数描述的粒子具有的性质：
1、空间各处的几率密度不随时间变化。
(几率密度 (r,t) (r,t) 2

*
(r )e
i
Et

(r )e
i
Et


(r )
2)
2、一切力学量（不含时间t）的平均值不变。
§22-6 一维势箱
• 电子逸出金属表面的模型
2.隧道效应（势垒贯穿）
2a
T e
2m(U0E )
应用：隧道两极管，约瑟夫森结等固体电子元件。
§22-9 氢原子 电子的轨道角动量
一.氢原子 势能:
U
e2
40r
2

2m 2
(E

e2 ) 40r

0
拉盖尔多项式
球贝塞尔函数
解: nlml Rnl (r)Ylml (,)